《两角和与差的三角函数》《倍角、半角的三角函数》复习

一． 学习目标：熟记并能灵活运用两角和与差的三角函数公式、倍角、半角公式进行简单的恒等变换。

二．基础知识：1．两角和与差的正余弦公式：cos(α＋β)＝_____________________； cos(α－β)＝_____________________； sin(α＋β)＝_____________________； sin(α－β)＝_____________________. 2．两角和与差的正切公式：tan(α＋β)＝_______________________； tan(α－β)＝________________________(α、β≠k π＋π2，α－β≠k π＋π2，k ∈Z)3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝________，sin φ＝________，tan φ＝________. φ的终边所在象限由________来确定，角φ称为辅助角． 4. 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin αcos α cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos 2α－sin 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α5.常见的角的代换有：α＝(α＋β)－β α＝β－(β－α) α＝12[(α＋β)＋(α－β)] α＝12[(β＋α)－(β－α)]6.两角和的正切公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，就必须掌握如下的一些变换：tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan(α＋β) tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)－tan α－tan β1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan α＋β tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)7.公式的逆向变换与有关变形 （a ）1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2(b) 1＋cos α＝2cos 2α2 (c) 1－cos α＝2sin 2α2 (d) cos 2α＝12(1＋cos2α)(e) sin 2α＝12(1－cos2α)上述公式中，b 、c 又称为升幂公式，d 、e 又称为降幂公式．8.和差化积公式: sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2积化和差公式:sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)] cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)三. 典型例题解析： 例1求下列各式的值： (1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°； (2)sin75°－sin15°； (3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°；(4)cos15°－sin15°cos15°＋sin15°.例2化简： (1)cos72°·cos36°； (2)cos20°·cos40°·cos60°·cos80°；(3)cos α·cos α2·cos α22·cos α23·…·cos α2n －1.例3已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．例4不查表，计算3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°.例5求tan20°＋4sin20°的值例6已知tan(π4＋θ)＝3，求sin2θ－2cos 2θ的值．例7已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．例8求证以下条件恒等式：(1)已知：2sin β＝sin α＋cos α，sin 2γ＝2sin α·cos α，求证：2cos2β＝cos 2γ； (2)已知：5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.例9已知tan α2＝2， 求：(1)tan(α＋π4)的值； (2)6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值．例10求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.四．巩固提高：1．已知△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0.求角A 、B 、C 的大小．2．已知sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限的角，那么tan β的值是( ) A.43 B ．－43C ．7D ．－7 3．化简：(1tanα2－tan α2)·(1＋tan α·tan α2)．4．化简：1＋sin α－cos α1＋sin α＋cos α＋1＋cos α＋sin α1－cos α＋sin α.5．求[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280的值6．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，其中α∈(π2，π)，β∈(0，π2)．求cos(α＋β)．7．已知tan α＝17，tan β＝13，并且α、β均为锐角，求α＋2β.8．已知sin β＝m ·sin(2α＋β)，其中m ≠0,2α＋β≠k π(k ∈Z)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α.9．求证：2(cos θ－sin θ)1＋sin θ＋cos θ＝cos θ1＋sin θ－sin θ1＋cos θ.10．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R. (1)求f (x )的最大值及相应的x 的取值集合； (2)求f (x )的单调递增区间．。

两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。

具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。

具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。

二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。

具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。

三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。

具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。

分类解析
目标 1 和、差、倍角公式的直接应用
(1) (2020·全国Ⅲ卷)已知 2tan θ－tan θ＋π4＝7，那么 tan θ 等于( D )
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2
【解析】 2tan θ－tan θ＋π4＝2tan θ－11＋－ttaann θθ＝7，化简得 tan2 θ－4tan θ＋4＝0， 解得 tan θ＝2.
tan2α＝1－2tatannα2α.
3. 常用变形结论 (1) tanα±tanβ＝_______t_a_n_(α_±_β_)_(_1_∓_ta_n_α_t_a_n_β)________；
(2) 降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α；
(3) 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝
(2) 若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为( A )
A. －492
B.
－2
2 9
22 C. 9
42 D. 9
【解析】 因为 sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－232，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×13×－2
2. 1－2tatann1251°5°等于( A ) A. 3 C. 1
3 B. 3 D. －1
【解析】 因为1－2tatann1251°5°＝tan30°＝ 33，所以原式＝ 3.
3. sin1π2－cos1π2·sin1π2＋cos1π2等于( B )
A. －12
B.
－
3 2

第20讲 简单的三角恒等变换激活思维1. (人A 必一P219例4(1))sin72°cos42°－cos72°sin42°＝ 12 . 解析： sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.2. (人A 必一P217练习3)已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( D )A. －210 B. 7210 C. －71010D. 210解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45，因此cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45×22＝210. 3. (人A 必一P220练习5)设sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，且β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ 10 .解析： 由sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，得sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.因为β是第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210.4. (人A 必一P223练习3改编)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( A )A. 17 B. 7 C. －17D. －7解析： 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，得tan α＝－34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.5. (人A 必一P223练习5改编)(多选)下列各式的值为22的是( BD ) A. sin π12cos π12B. cos 2π8－sin 2π8C.tan π81－tan 2π8D. 2cos 222.5°－1解析： 对于A ，sin π12cos π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝12sin π6＝14，不符合题意；对于B ，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22，符合题意；对于C ，tan π81－tan 2π8＝12tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝12tan π4＝12，不符合题意；对于D,2cos 222.5°－1＝cos45°＝22，符合题意．基础回归1. 两角和、差公式(1) C (α∓β)：cos(α∓β)＝ cos αcos β±sin αsin β ； (2) S (α±β)：sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ； (3) T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝ 2sin αcos α ；cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α ； tan2α＝2tan α1－tan 2α.3. 辅助角公式函数y ＝a sin x ＋b cos x 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式， a sin x ＋b cos xtan φ＝ba .4. 常用结论(1) tan α±tan β＝ tan(α±β)(1∓tan αtan β) ；(2) 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2； (3) 1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1 (1) tan18°＋tan12°＋33tan18°tan12°等于( D ) A. 3 B. 2 C. 22D. 33解析： 因为tan30°＝tan(18°＋12°)＝tan18°＋tan12°1－tan18°tan12°＝33，所以tan18°＋tan12°＝33(1－tan18°tan12°)，所以原式＝33.(2) (2022·湛江一模)已知cos α＝45，0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( B )A. 210 B. 7210 C. －210D. －7210解析： 由cos α＝45，0<α<π2，得sin α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝22×35＋22×45＝7210.解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．此类题的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”．1. (2022·岳阳三模)1－2cos 267.5°等于( D ) A. －12 B. －22 C. －32D. 22解析： 由余弦的倍角公式可得1－2cos 267.5°＝－cos(2×67.5°)＝－cos135°＝22.2. (2022·扬州模拟)1－tan75°1＋tan75°＝ －3 .解析： 1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝－tan(75°－45°)＝－tan30°＝－33.3. (2022·海南模拟)若sin α＝55，则cos(π－2α)等于( A ) A. －35 B. －25 C. 25D. 35解析： cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35.4. 若tan α＝－23，tan β＝13，则sin(2α＋2β)等于( C ) A. －7130130 B. 11130130C. －3365D. 9130解析： 由tan α＝－23，知sin α＝－213，cos α＝313或sin α＝213，cos α＝－313，则sin2α＝2sin αcos α＝－2×213×313＝－1213，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±2132＝513.由tan β＝13，知sin β＝110，cos β＝310或sin β＝－110，cos β＝－310，则sin2β＝2sin βcos β＝2×110×310＝35，cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±1102＝45，则sin(2α＋2β)＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝－1213×45＋513×35＝－3365.拆、配角问题例2 (1) (2022·烟台期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，则cos α的值为5 .解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α＋π4<3π4.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝31010，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1010＋31010＝255. (2) 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α等于( B )A. 43＋310 B. 43－310 C.33＋410D. 33－410解析： 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35(α为锐角)，所以α＋π6为锐角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．1. (2022·济南模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，则sin2α的值为( A ) A. 12 B. －12 C. 32D. －32解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，所以sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－1＝12.2. (2022·株洲一模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝55，则tan θ等于( C )A. 2B. 12 C. 3D. 13解析： 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π4<θ－π4<π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝255，所以sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝31010，故cos θ＝1－sin 2θ＝1010，因此tan θ＝sin θcos θ＝3.3. 已知α，β为锐角，且cos (α＋β)＝1213，cos (2α＋β)＝35，那么cos α＝ 5665 . 解析： 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，2α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2.又cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.4. (2022·淄博期末)cos10°2sin10°－2cos 10°等于( A ) A. 32 B. 2 C. 3D. 2解析： cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°2sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－(cos10°－3sin10°)2sin10°＝32.随堂内化1. (2022·潮州期末)已知cos x ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 等于( A )A. －79 B. 79 C. －89D. 89解析： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x ＝2cos 2x －1＝2×19－1＝－79.2. (2022·惠州三模)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，63是角α的终边与单位圆的交点，则sin2α等于( C )A. 13 B. －13 C. －223D. 63解析： 由题知，由任意角三角函数的定义可得sin α＝63，cos α＝－33，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×63×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－223.3. (2022·衡阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，则cos2α等于( D )A. －79 B. －13 C. 13D. 79解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13，即sin α＝13，从而得cos2α＝1－2sin 2α＝79.4. 已知sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝ －2 .解析： 因为sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos β＝－45.由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，得25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.5. 计算：3cos15°－4sin 215°cos15°解析：3cos15°－4sin 215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°·cos15°＝3cos15°－2sin15°sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2.练案❶ 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。