2019高考总复习数学(理科)课件：第三章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式

1 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式

1．(2016年新课标Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin 2α＝(

) A.725 B.15

C．－15 D．－725

2．4cos 50°－tan 40°＝( )

A.2 B.2＋32

C.3 D．2 2－1

3．(2017年上海师大附中统测)函数y＝2cos2x－π4－1是( )

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为π2的奇函数

D．最小正周期为π2的偶函数

4．(2015年上海)已知点A的坐标为(4 3，1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB，则点B的纵坐标为( )

A.3 32 B.5 32 C.112 D.132

5．(2017年江苏)若tanα－π4＝16， 则tan α＝________.

6．(2017年北京)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝13，cos(α－β)＝________.

7．(2016年新课标Ⅲ)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移______个单位长度得到．

8．(2016年上海)若函数f(x)＝4sin x＋acos x的最大值为5，则常数a＝________.

9．(2016年上海)方程3sin x＝1＋cos 2x在区间[0,2π]上的解为__________．

10．(2015年浙江)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，最小值是________，单调递减区间是____________________．

11．(2014年江苏)已知α∈π2，π，sin α＝55.

(1)求sinπ4＋α的值；

(2)求cos5π6－2α的值．

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式

第四章 (对应学生用书(文)、(理)49～50页)

考情分析 考点新知

掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．

能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用.

1. (必修4P105例1改编)已知sinα＝－45，α∈－π2，π2，则sin2α＝__________．

答案：－2425

解析：∵ sinα＝－45，α∈－π2，π2，

∴ α∈－π2，0，cosα＝35.

∴ sin2α＝2sinαcosα＝－2425.

2. (必修4P108习题3.2第5(2)题改编)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝________．

答案：－53

解析：∵ sinα＋cosα＝33， ∴ (sinα＋cosα)2＝13，

∴ 2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.

∵ α为第二象限角且sinα＋cosα＝33>0，

∴ 2kπ＋π2

∴ cos2α＝－1－sin22α＝－53.

3. (必修4P108习题3.2第3题改编)若sin(π2＋θ)＝35，则cos2θ＝________．

答案：－725

解析：∵ sinπ2＋θ＝35，∴ cosθ＝35，

∴ cos2θ＝2cos2θ－1＝－725.

4. (必修4P106练习第1(1)题改编)函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期是________．

答案：π

解析：∵ f(x)＝sinxcosx＝12sin2x，∴ T＝2π2＝π.

5. (必修4P108习题3.2第5(3)题改编)若5π2≤α≤7π2，则1＋sinα＋1－sinα＝________．

答案：－2sinα2

解析：∵ 5π2≤α≤7π2，∴ 5π4≤α2≤7π4.

1 【考纲解读】

内容要求备注

A B C

基本初

等函数

Ⅱ（三角

函数）、

三角恒

等变换两角和（差）的正弦、

余弦及正切√1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切

公式．

3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦．

4．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

5．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二

倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包

括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公

式不要求记忆)．二倍角的正弦、余弦及

正切√

【直击考点】

题组一常识题

1．[教材改编] sin 75°＋3cos 75°的值是________．

2．[教材改编] 函数f(x)＝sin22x＋1

2sin 4x(x∈R)的最小正周期是________．

【解析】f(x)＝sin22x＋1

2sin 4x＝1－cos 4x

2＋sin 4x

2＝1

2(sin 4x－cos 4x)＋1

2＝2

2

sin4x－π

4＋1

2，所以最小正周期T＝2π

4＝π

2.

3．[教材改编] 已知cos(α＋β)＝1

3，cos(α－β)＝1

5，则tan α2tan β的值为

2 ________．

【解析】由cos(α＋β)＝1

3，cos(α－β)＝1

5，得cos αcos β－sin αsin β＝1

3，

cos αcos β＋sin αsin β＝1

5，

即cos αcos β＝4

15，

sin αsin β＝－1

15，所以tan αtan β＝sin αsin β

cos αcos β＝－1

4.

题组二常错题

4．若sin θ＋cos θ＝1

5，θ∈(0，π)，则cos 2θ＝________．

5．若sin 2α＝1

4，则sin2α＝________．

【解析】由sin 2α＝1

4得cos 2α＝±1－sin22α＝±15

4，所以sin2α＝1－cos 2α

2

＝1±15

4

2＝4±15

8.

题组三常考题

6．若tan α＝3，则sin αcos α＝__________．

第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数

考点梳理

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β；

cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β；

tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan

αtan

β．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin__αcos__α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝2tan α1－tan2α．

3．有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β)；

(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝2sinα±π4.

考向一 三角函数式的化简

【例1】(1)化简（1＋sin θ＋cos θ）sin θ2－cos

θ22＋2cos θ(0

(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°.

【训练1】 化简下列各式：

(1) 12－12 12＋12cos 2αα∈3π2，2π＝________．

(2)cos2α－sin2α2tanπ4－αcos2π4－α＝________．

考向二 三角函数的求值或求角问题

【例2】(1)已知0

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．

【训练2】 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0

(1)求tan 2α的值；

(2)求β.

考向三 三角变换的简单应用

【例3】已知f(x)＝1＋1tan xsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.