有理数乘方

《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界里，有理数的运算多种多样，其中有理数的乘方是一个非常重要的概念。

它不仅在数学计算中经常出现，还在实际生活中有着广泛的应用。

那么，什么是有理数的乘方呢？让我们一起来探索吧！二、有理数乘方的定义乘方，简单来说，就是指同一个数相乘若干次的简便运算形式。

比如，2×2×2 可以写成 2³，其中 2 叫做底数，3 叫做指数，2³整体叫做幂。

再比如，（－3)×（－3)×（－3)×（－3)可以写成(－3)⁴，其中-3 是底数，4 是指数。

一般地，aⁿ 表示 n 个 a 相乘，其中 a 叫做底数，n 叫做指数，aⁿ 叫做幂。

需要注意的是，指数为 1 时，通常省略不写，例如 5¹＝ 5。

三、有理数乘方的运算1、正数的乘方正数的任何次幂都是正数。

例如，3²＝ 9，3³＝ 27 。

2、负数的乘方负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

比如，（－2)³＝－8 ，（－2)²＝ 4 。

3、 0 的乘方0 的任何正整数次幂都是 0。

即0ⁿ ＝ 0（n 为正整数）在进行有理数乘方运算时，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。

四、有理数乘方的规律1、底数为 1 或-11 的任何次幂都为 1，即1ⁿ ＝ 1。

－1 的奇次幂为-1，－1 的偶次幂为 1 。

2、底数互为相反数如果两个底数互为相反数，指数相同，那么它们的幂互为相反数。

例如，2³和(－2)³，2³＝ 8 ，（－2)³＝－8 。

3、指数变化规律当底数大于 1 时，指数越大，幂越大；当底数大于 0 小于 1 时，指数越大，幂越小。

五、有理数乘方的应用1、计算面积和体积例如，正方形的边长为 a ，则面积为 a²；正方体的棱长为 b ，则体积为 b³。

2、科学记数法在表示较大或较小的数时，经常用到科学记数法，例如 560000 可以写成 56×10⁵。

有理数的乘方公式完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。

正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

有理数的乘方法则：同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。

a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n均为自然数）幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算：1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。

3、零的零次幂无意义。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。

6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

有理数的乘方
•有理数乘方的定义：
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在a n中，a叫做底数，n叫做指数。

22、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次
幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。

①习惯上把22叫做2的平方，把23叫做2的立方；
②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要
写得小些。

•乘方的性质：
乘方是乘法的特例，其性质如下：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
（3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
（4）a2是一个非负数，即a2≥0。

•有理数乘方法则：
①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

例如：（-2）3=-8，（-2）2=4
②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：22=4,23=8,03=0
点拨：
①0的次幂没意义；
②任何有理数的偶次幂都是非负数；
③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
④负数的乘方与乘方的相反数不同。

•乘方示意图：。

有理数乘方的定义
有理数乘方是指一种由有理数和次幂组成的表示方式，例如4的3次方，表示为4，其中4是有理数，3是次幂，这样的组合叫做有
理数乘方。

有理数乘方的定义
有理数乘方的定义是有理数和次幂的组合，它可隐含在运算式中，形式如下：a，其中a是有理数，n是次幂。

有理数乘方可以用来表
示多项式，因为多项式中的每个变量都可以用有理数乘方的形式表示。

有理数乘方的概念
有理数乘方的最基本概念是，如果有一个数值a，把其乘以a本身n次，就可以得到a的n次幂。

即可以用下面的公式描述：
a=a×a×a×……×a (n个a)
有理数乘方的运算
有理数乘方的运算可以分为乘方少的方法和乘方多的方法，乘方少的方法是指乘方小于等于2的情况，一般可以直接算出，比如：a=a ×a，a=a×a×a，a=a×a×a×a等等。

乘方多的方法则有很多种，
如乘方展开式、乘方公式、积和减、型积分等，这些方法都可以用来求解有理数乘方的值。

有理数乘方的应用
有理数乘方可以用来表示多项式，可以用来解题，并求出多项式的根。

此外，有理数乘方也可以用来解决有关函数、微分方程、概率等问题。

另外，根据有理数乘方的定义，可以很容易地将变量代入相
应的公式中，从而轻松解决问题。

结论
有理数乘方是一种表示方式，由有理数和次幂组成，可以用来表示多项式，并用来解题、解决函数、微分方程和概率问题等。

有理数的乘方一、知识概述1、有理数的乘方一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作a n，读作a的n次方.求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在a n中，a叫做底数，n叫做指数，当a n看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.例如读做2的八次方等于256, 是8个2相乘的结果, 其中2是底数，8 是指数，256 是2的8次幂．幂的读法，关键是分清底数和指数．如－读作“２的四次方的相反数”或“２的四次幂的相反数”，不能读作“－2的四次方”或“－2的四次幂”.注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写．2、乘方的性质正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．0 的任何正整数次幂都是0.用数学符号表示：（1）当时，（n为正整数）；（2）当a<0时，（3）当时，（n为正整数）．（4）1的任何次幂为1，－1的偶次幂为1，－1的奇次幂为－1.=（n为正整数）；=（n为正整数）注意：负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来，分数的乘方，在书写时，也应加小括号．如不加括号则表达的是另外一个意义.3、用科学记数法表示一个绝对值较大的数对于一些绝对值较大的数，如28401000，－5342901等等，这些数书写与记忆都不方便，所以我们寻求一种简洁的记数方法，即把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是正整数），这种记数的方法叫做科学记数法.用科学记数法表示较大的数的具体方法是：（1）确定a：a只有一位整数位的数；（2）确定n：n等于原整数位数减1.如28401000＝2.8401×107，－5342901＝－5.342901×106.二、典型例题讲解例1、在（－6）2中，底数是_______，指数是________，运算结果是________；在－62中，底数是_________，指数是_________，运算结果是_________.解：－6，2，36；6，2，－36例2、（1）2×32和（2×3）2有什么区别？各等于什么？（2）32与23有什么区别？各等于什么？（3）-34和(-3) 4有什么区别？各等于什么？分析：没有括号时，应按先乘方，再乘除，后加减的顺序计算．解：(1) 2×32表示2与3的平方之积，等于18；而（2×3）2表示2与3的积的平方，等于36．（2）32表示3的2次幂；而23表示2的3次幂，它们的结果分别是9和8．（3）－34表示4个3相乘的积的相反数或3的4次幂的相反数；而(－3)4则表示4个(－3)相乘的积或(－3)的4次幂，结果分别是－81和81．因此，不要出现－34= (－3)4这样的错误．例3、计算：（1）(－1)＋(－1)2＋(－1)3＋(－1)4＋…＋(－1)100（2）(－2)2010＋(－2)2011分析：（1）底数都是－1，指数分别是1、2、3、...、100.乘方的结果分别为－1，1，－1， (1)（2）底数都是－2，指数分别是2010，2011.前者符号为正，后者符号为负.解：（1）(－1)＋(－1)2＋(－1)3＋(－1)4＋…＋(－1)100＝－1＋1－1＋1＋…＋1＝0．（2）(－2)2010＋(－2)2011＝22010－22011＝22010×（1－2）＝－22010．例4、计算：－24－错解：原式=16－×（2－16）=16＋2=18剖析：本题的错误在于不能正确理解－24与的区别造成的，－24是4个2相乘的相反数，底数为2，结果为－16；是4个－2相乘，底数为－2，结果为16．正解：原式=－16－×（2－16）=－16＋2=－14例5、用科学记数法表示下列各数.（1）7020000（2）68900000（3）－58200（4）－70分析：把一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，整数n比原数的整数部分位数少1．解：（1）7020000＝7.02×106（2）68900000＝6.89×107（3）－58200＝－5.82×104（4）－70＝－7×10例6、写出下列科学记数法所表示的原数.（1）2.5×102（2）7.08×108（3）－9×109解：（1）2.5×102＝250（2）7.08×108＝708000000（3）－9×109＝－9000000000例7、（1）观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…，用你所发现的规律写出32011的末位数字是______.（2）观察下列等式：12－02＝1；22－12＝3；32－22＝5；42－32＝7；…，用含自然数n的等式表示这种规律为________.解：（1）通过观察发现从第一个式子开始要经过4个式子，各式的个位数字3，9，7，1重复出现；因为2011＝4×502＋3，所以32011的末位数字与33的末位数字相同，所以32011的末位数字是7．（2）规律为n2－(n－1)2＝2n－1．。

初中数学有理数的乘方运算的结果是什么有理数的乘方运算的结果可以是整数、分数或小数，具体取决于底数和指数的值。

下面我将详细介绍有理数乘方运算的结果。

1. 正整数指数：当有理数的指数是正整数时，乘方运算的结果是将底数连乘指数次的值。

例如，2^3 = 2 × 2 × 2 = 8，(-3)^2 = (-3) × (-3) = 9。

2. 零指数：当有理数的指数是零时，乘方运算的结果是1。

例如，2^0 = 1，(-3)^0 = 1。

3. 负整数指数：当有理数的指数是负整数时，乘方运算的结果是将底数的倒数连乘指数的绝对值次的值。

例如，2^(-3) = 1/(2 × 2 × 2) = 1/8，(-3)^(-2) = 1/((-3) × (-3)) = 1/9。

需要注意的是，当底数为0时，0的任何正指数次幂都等于0，但0的负指数次幂没有定义。

4. 分数指数：当有理数的指数是分数时，乘方运算的结果可以是一个分数或一个小数。

具体计算方法是将底数的分数次幂转化为根式形式，然后进行计算。

例如，2^(1/2)表示2的平方根，即√2，(-3)^(2/3)表示-3的三次方根的平方，即(-3)^(2/3) = (∛(-3))^2。

对于分数指数的乘方运算，如果底数是一个正数，则结果是一个正数或一个小数；如果底数是一个负数，则结果可能是一个虚数或一个实数。

例如，2^(1/2) ≈ 1.414，(-3)^(2/3) ≈ 3.301。

通过运用有理数乘方运算的规则，可以计算出有理数乘方的精确结果或近似结果。

在教学中，需要向学生解释乘方运算的不同情况，并进行大量的练习，帮助他们熟练掌握有理数乘方运算的结果。