初中数学有理数的乘方案例分析

初中数学培优：有理数的乘方一、乘方的应用【典例】有人说，将一张纸对折，再对折，重复下去，第43次后纸的厚度便超过地球到月球的距离，已知一张纸厚0.006cm，地球到月球的距离约为3.85×108m，用计算器算一下这种说法是否可信．【解答】解：对折43次后，这张纸的厚度为0.006×243≈5.28×1010（cm）＝5.28×108（m），∵5.28×108m＞3.85×108m，∴这种说法是可信的．【巩固】1883年，康托尔构造的这个分形，称作康托尔集，从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段，然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集，上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第n个阶段时，余下的所有线段的长度之和为（）A．23B．23C．(23)D．(23)K1【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为23，第二阶段时，余下的线段的长度之和为23×23=（23）2，第三阶段时，余下的线段的长度之和为23×23×23=（23）3，…以此类推，当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为（23）n．故选：C．二、等比数列求和【典例】阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22020+22021①则2S＝2+22+…+22021+22022②②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）2+22+…+220＝；（2）求1+12+122+⋯+1250=；（3）求1+a+a2+a3+…+a n的和．（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）【解答】解：（1）设S＝2+22+…+220，则：2S＝22+23+…+220+221，2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，∴S＝221﹣2，故答案为：221﹣2．（2）设S＝1+12+122+⋯+1250，则：2S＝2+1+12+122+⋯+1249，2S﹣S＝（2+1+12+122+⋯+1249）﹣（1+12+122+⋯+1250）＝2−1250，∴S＝2−1250，故答案为：2−1250．（3）设S＝1+a+a2+a3+…+a n，则：a S＝a+a2+a3+…+a n+a n+1，a S﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+a n+a n+1）﹣（1+a+a2+a3+…+a n）＝a n+1﹣1．∴S=r1−1K1．【解答】设，则，巩固练习1．已知（a+1）2＝25，且a＜0，|a+3|+|b+2|＝14，且ab＞0，则a+b＝（）A．﹣19B．﹣9C．13D．3【解答】解；∵（a+1）2＝25，∴a+1＝±5，∴a＝﹣6或4，∵a＜0，∴a＝﹣6，∵|a+3|+|b+2|＝14∴b+2＝±11，b＝9或﹣13，∵ab＞0，a＜0，∴b＜0，b＝﹣13，∴a+b＝﹣6﹣13＝﹣19．故选：A．2．若a，b，c均为整数且满足（a﹣b）10+（a﹣c）10＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为a，b，c均为整数，所以a﹣b和a﹣c均为整数，从而由（a﹣b）10+（a﹣c）10＝1可得|−U=1|−U=1.|−U=0或|−U=0若|−U=1|−U=0则a＝c，从而|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝|a﹣b|+|b﹣a|+|a﹣a|＝2|a﹣b|＝2．若|−U=0|−U=1则a＝b，从而|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝|a﹣a|+|a﹣c|+|c﹣a|＝2|a﹣c|＝2．因此，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝2．故选：B．3．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（）A．A1B．B1C．A2D．B3【解答】解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，整理可得：2n＝248，n不为整数；A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，整理可得：2n＝254，n不为整数；B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，整理可得：2n＝252，n不为整数；B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，整理可得：2n＝256，n＝8；故选：D．4．若|a+b+1|与（a﹣b+1）2互为相反数，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≥b【解答】解：∵|a+b+1|与（a﹣b+1）2互为相反数，∴|a+b+1|+（a﹣b+1）2＝0，∴|a+b+1|＝0，（a﹣b+1）2＝0，即a+b+1＝0，a﹣b+1＝0，∴a＝﹣1，b＝0，∴﹣1＜0，即a＜b．故选：C．5．很多整数都可以表示为几个互异的平方数之和，例如30＝12+22+32+42＝12+22+52，现将2012表示为k（k为正整数）个互异的平方数之和，则k的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：2012＝392+212+72+12，∴k的最小值是4．故选：C．6．计算：[−75×(−212)−1]÷9÷1(−0.75)2−|2+(−12)3×52|=．【解答】解：原式＝[75×52−1]÷9÷169−98=52×19×916−98=−3132．7．若（x+1）2与|xy+2|互为相反数，则：1(r2)+1(r3)(r1)+⋯+1(r2011)(r2009)的值是【解答】解：∵（x+1）2与|xy+2|互为相反数，∴（x+1）2＝0，|xy+2|＝0，∴x＝﹣1，y＝2．代入原式可得11×2+12×3+⋯+12010×2011=1−12+12−13+13⋯+12010−12011=20102011．故答案为20102011．8．试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明．【解答】解：设三个连续的正整数的立方和为f（n）＝（n﹣1）3+n3+（n+1）3＝3n3+6n＝3n3﹣3n+9n＝3n（n﹣1）（n+1）+9n又∵当n≥2时，（n﹣1）n（n+1）是三个连续的整数的积，所以必是3的倍数，所以3n（n﹣1）（n+1）能被9整除．∴f（n）能被9整除∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是9．9．已知a，b为正整数，求M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值．【解答】解：∵a，b为正整数，要使得M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4的值为正整数，显然有a≥2，当a＝2时，b只能为1，此时M＝4，故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值不超过4；当a＝3时，b只能为1或2，若b＝1，则M＝18，若b＝2，则M＝7；当a＝4时，b只能为1或2或3，若b＝1，则M＝38，若b＝2，则M＝24，若b＝，3，则M＝2；若M＝1，即3a2﹣ab2﹣2b﹣4＝1，即3a2﹣ab2＝2b+5①，注意到2b+5为奇数，∵3a2是偶数，又偶数减奇数才得奇数，∴a是偶数，b是偶数．此时3a2﹣ab2被4整除所得余数为3，2b+5被4整除所得余数为1，故①式不可能成立，即M≠1．故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值为2．10．日常生活中，我们使用的是十进制数，而计算机使用的数是二进制数（数位的进位方法是“逢二进一”），有时候也会用到三进制数（数位的进位方法是“逢三进一”）．如三进位制数201可用十进制数表示为2×32+0×3+1＝19；二进位制数1011可用十进制数表示为1×23+0×22+1×2+1＝11．（1）现有三进位制数a＝221，二进位制数b＝10111，试比较a与b的大小关系．（2）填空：将十进制数18用二进制数表示为．（3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图是一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．求孩子出生的天数．【解答】解：（1）三进位制数a＝221用十进制数表示为2×32+2×3+1＝25，二进位制数b＝10111用十进制数表示为24+22+1×2+1＝23，所以a＞b．（2）因为18＝24+2，所以十进制数18用二进制数表示为10010．故答案为：10010．（3）图中的数为6+2×7+3×72+73＝510，即孩子出生510天．11．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22020+22021①则2S＝2+22+…+22021+22022②②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）2+22+…+220＝；（2）求1+12+122+⋯+1250=；（3）求1+a+a2+a3+…+a n的和．（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）【解答】解：（1）设S＝2+22+…+220，则：2S＝22+23+…+220+221，2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，∴S＝221﹣2，故答案为：221﹣2．（2）设S＝1+12+122+⋯+1250，则：2S＝2+1+12+122+⋯+1249，2S﹣S＝（2+1+12+122+⋯+1249）﹣（1+12+122+⋯+1250）＝2−1250，∴S＝2−1250，故答案为：2−1250．（3）设S＝1+a+a2+a3+…+a n，则：a S＝a+a2+a3+…+a n+a n+1，a S﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+a n+a n+1）﹣（1+a+a2+a3+…+a n）＝a n+1﹣1．∴S=r1−1K1．12．老财主临终前将全部银元分给他的四个儿子．老大分得全部银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老二分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老三分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；老四分得余下银元4等份中的1份，多出的1枚银元给了丫环；余下的银元又分成4等份，四个儿子各得一份，多出的1枚银元给了丫环．问老财主至少要有多少块银元才够分．【解答】解：从每次分得的银元都多出一枚可知，只要增加3枚银元，则每次分到的都是4的倍数，共分了5次4的倍数，所以至少要有4×4×4×4×4＝45＝1024枚，由于增加了3枚银元，所以至少要1024﹣3＝1021枚银元才够分，具体情况如下：第一次：老大分得（1021﹣1）÷4＝255枚，第二次：老二分得（255×3﹣1）÷4＝191枚，第三次：老三分得（191×3﹣1）÷4＝143枚，第四次：老四分得（143×3﹣1）÷4＝107枚，第五次：四个儿子各分得（107×3﹣1）÷4＝80枚，所以老财主至少要有1021块银元才够分．。

有理数的乘方案例分析题1. 导言数学中，有理数的乘方是一个重要的概念。

有理数的乘方指的是将一个有理数自乘若干次的运算。

本文将通过分析几个有理数的乘方案例，帮助我们更好地理解有理数的乘方运算规律和特点。

2. 案例分析案例一：正数的乘方首先，我们来看一个简单的案例：23。

根据乘方的定义，23表示将2自乘3次，即$2^{3} = 2 \\times 2 \\times 2 = 8$。

可以看出，正数的乘方是将这个正数连续相乘的运算。

案例二：负数的乘方接下来，我们来看一个负数的乘方的案例：(−3)4。

根据乘方的定义，(−3)4表示将-3自乘4次，即$(-3)^{4} = (-3) \\times (-3) \\times (-3) \\times (-3) = 81$。

可以发现，负数的乘方也遵循相同的规律。

案例三：零的乘方我们再来分析一个零的乘方的案例：05。

根据乘方的定义，05表示将0自乘5次，即$0^{5} = 0 \\times 0 \\times 0 \\times 0 \\times 0 = 0$。

可以看出，任何非零数与0相乘得到的结果都是0。

案例四：分数的乘方最后我们分析一个分数的乘方的案例：$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{3}$。

根据乘方的定义，$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{3}$表示将$\\frac{1}{2}$自乘3次，即$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{3} = \\frac{1}{2} \\times \\frac{1}{2} \\times\\frac{1}{2} = \\frac{1}{8}$。

可以看出，分数的乘方运算与整数的乘方运算相同，只需按照乘法规则操作即可。

3. 总结通过以上案例的分析，我们可以得出以下结论：1.正数的乘方是将这个正数连续相乘的运算；2.负数的乘方也遵循相同的规律；3.任何非零数与0相乘得到的结果都是0；4.分数的乘方运算与整数的乘方运算相同，只需按照乘法规则操作即可。

有理数的乘方案例分析有理数的乘方是数学中的一种运算方法，用于求一个有理数的指数次幂。

本文将从理论和实际应用两个方面来进行详细的案例分析，以帮助读者更好地理解和掌握有理数乘方的方法和应用。

首先我们将介绍有理数的乘方的定义和性质，然后通过一些实际例子来说明这些概念的具体应用。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。

有理数的乘方是指将一个有理数自乘或与其他有理数相乘多次的运算。

例如，2的3次方表示为2的立方，记作2^3，计算公式为2 × 2 × 2 = 8。

同样地，2的2次方是2 × 2 = 4，2的1次方是2，2的0次方定义为1。

有理数的乘方具有一些重要的性质。

首先，对于任何非零有理数a，a的0次方定义为1。

其次，对于任何有理数a和b，a的b次方等于a自乘b次。

例如，2的3次方等于2 × 2 × 2 = 8。

第三，对于任何有理数a，a的1次方等于a自身。

最后，对于任意非零有理数a和b，a的负b次方等于1除以a的b次方。

例如，2的负3次方等于1/2的3次方，即1/(2 × 2 × 2) = 1/8。

有理数的乘方在实际生活中有很多应用。

其中一个常见的应用是计算面积和体积。

例如，我们可以使用有理数的乘方来计算正方形和立方体的面积和体积。

一个正方形的面积可以通过将边长乘以自身来计算，即边长的平方。

同样地，一个立方体的体积可以通过将边长乘以自身再乘以自身来计算，即边长的立方。

这些计算方法在建筑、工程和设计领域都很常见。

另一个应用是计算复利。

在金融领域，复利是指在一段时间内，利息按固定利率计算并累积再计算利息的过程。

有理数的乘方可以用来计算复利的增长。

例如，如果一个金额按年利率5%计算，那么在第n年的金额可以通过将初始金额乘以1加上利率的小数形式的n次方来计算。

这个公式可以用来计算年利率为5%的情况下，每年的金额变化。

《有理数的乘方》案例分析1.你认为陈老师的教学设计使用了什么教学模式？答：认真品读了《有理数的乘方》这一案例，我认为陈老师的教学设计主要使用了：（1）有意义接受学习教学模式，陈老师在第一个环节中，在学习之前先给学生一种引导性材料，让学生“动手折叠，提问层数和折叠的次数的关系，归纳出每一次折叠的层数都是上一次折叠层数的2倍”，在旧知识和新知识间建立适当的、有意义的联系。

（2）发现式学习的教学模式，陈老师让学生通过折纸活动经历知识发现的过程来获取知识，注重学生发现能力的培养。

符合发现式学习教学模式的特点。

（3）探究性教学模式，如陈老师在导入新课时创设情境——折纸，然后通过一系列的富有启发性的数学问题，引导学生进行思考、探究，强调学生的主体地位，充分调动了学生的积极性。

再如第二板块中的探究幂的符号规律时，让学生计算下列负数的幂，根据计算结果探究幂的符号的规律，属于探究性教学模式。

（4）计算机辅助教学模式，陈老师在计算机上用 Math3.0 演示乘方运算，依次输入、、……计算机马上输出结果。

在这个过程中，既节省了学生计算的时间，使学生掌握了乘方简记的必要性，同时又加深了学生对乘方意义的理解。

符合计算机辅助教学模式的特点。

2、你觉得陈老师的教学设计中体现了哪些教学策略？体现在哪里？答：我觉得陈老师的教学设计中体现了以下教学策略：（1）情景教学策略。

主要体现在陈老师让学生“动手折一折，一张纸折一次后沿折痕折叠，变成几层？如果折两次，折三次呢？层数和折叠的次数之间有什么关系？能解释其中的道理吗？”这些教学情境的创设，把学生引入一种与问题有关的情境，使学生的注意力高度集中，思维活跃，充分发挥了教师的主导性和学生学习的主体性。

（2）动机教学策略。

陈老师在创设情境时有目的地让学生折纸，促进学生加强新旧知识的相互联系，有效地促进了学生有意义学习的发生，引发学生内在的学习动机。

（3）启发式教学策略，体现在案例中陈老师创设问题，指导学生思考问题，并对学生的思考过程进行适当的指导和点拨，帮助学生明确思路，用比较准确的语言总结归纳知识点。

《有理数的乘方》案例分析1. 你认为陈老师的教学设计使用了什么教学模式？本教学设计使用了“探究性教学模式”。

首先，陈老师通过设置折纸这一活动，引导学生思考。

从而，引出乘方运算，再用Math3.0 演示乘方运算，引导学生展开分析，说明简记的必要性。

从小学学过的正方体的面积和正方体的体积引出有理数乘方的概念。

紧接着给出联系，再进一步引导学生思考，幂的符号规律，再给出练习，巩固学习效果。

最后，课堂小结，给出作业和拓展练习。

这一过程就体现了“探究性教学模式”的五个教学环节：（1）创设情境，（2）启发思考（3）自主（或小组）探究（4）协作交流（5）总结提高，因此，我认为陈老师的教学设计使用了“探究性教学模式”。

2. 你觉得陈老师的教学设计中体现了哪些教学策略？体现在哪里？我认为陈老师的教学设计中体现了如下教学策略：1）情境教学策略，如教学设计第一个环节：“请大家动手折一折“；2）探究式学习策略，如“幂的符号规律探究“；3）教学组织策略中的微策略，如一个教学内容：“有理数乘方的概念”设计中就包括了讲解通则、举例说明、提供练习等教学步骤；4）抛锚式教学策略，如“练习 3 ：说出下列负数的幂的符号(1) ; (2) ；（ 3 ）；（ 4 ）从以上的运算中，你发现负数的幂的正负有什么规律？你能解释这其中的理由吗？“设置具体的问题让学生思考。

3. 陈老师设计用 Math3.0 演示乘方运算，你是否认同他的设计？给出你的理由。

我认同陈老师设计用Math3.0 演示乘方运算，因为，“10 个 2 相乘, 20 个 2 相乘,30 个 2 相乘 ,50 个 2 相乘 ,100 个 2 相乘”让学一一用笔算出来太浪费时间，也不是本节课的重点，本节课只要让学生知道这些数很大就可以了，但没有具体数字学生可能还是很迷茫，这时我们就可借助Math3.0 演示乘方运算的结果，让学生有个更直观的印象。

4. 你觉得陈老师的教学设计在创设情境、问题设计、知识扩展等方面有哪些优点？我认为陈老师的教学设计有如下几方面优点：1）创设情境：在创设情境中，陈老师设置“动手折一折”这样的情景，贴近学生的生活，很好的激发了学生的学习积极性，引导学生思考，从而引出“乘方运算”。