4-4向量空间的基和维数

向量空间的基底与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定运算规则的集合。

在向量空间中，基底是一组线性无关的向量，它们可以生成该向量空间中的任意向量。

维数则是指向量空间中基底的个数。

本文将介绍向量空间的基底与维数的概念及其相关性质。

一、基底的定义与性质基底是向量空间中的一组线性无关的向量。

具体来说，如果向量空间V中的向量集合B={b1, b2, ..., bn}满足以下两个条件：1. B中的向量相互独立，即对于任意不全为0的标量c1, c2, ..., cn，有c1b1 + c2b2 + ... + cnbn ≠ 0；2. B中的向量可以生成向量空间V中的任意向量，即对于向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1b1 + c2b2 + ... + cnbn。

根据基底的定义，我们可以得出一些基本性质：1. 基底中的向量个数是唯一的。

换言之，一个向量空间只有一个维数。

2. 基底中的向量个数与向量空间中的任意一组基底的向量个数相等。

3. 如果一个向量空间有有限维，则其基底中的向量个数也是有限的。

二、维数的定义与性质维数是指向量空间中基底的个数。

记作dim(V)。

如果向量空间V中存在一组基底包含m个向量，那么V的维数就是m。

维数具有以下性质：1. 维数是向量空间的基本属性，不依赖于具体的表示方式。

2. 同一个向量空间中的不同基底具有相同的维数。

3. 对于向量空间R^n，其维数为n。

三、基底和维数的关系与应用基底和维数在线性代数中具有重要的应用价值。

首先，基底的存在性保证了向量空间中的向量可以用基底中的向量线性表示出来，这对于求解线性方程组、解决线性相关与线性无关的问题非常有帮助。

其次，维数在研究向量空间的结构和性质时起到了关键作用。

例如，两个向量空间V和W的维数相等，则它们同构；若维数不相等，则它们不同构。

此外，在计算机科学、信号处理以及物理学等领域中，基底和维数的概念也被广泛应用，如图像压缩、数据降维等。

线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关。

(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。

那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。

解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。

例2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。

解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2。

方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基。

证明 考察()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基。

单招涉及的向量知识点总结一、基本概念1. 向量的定义向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示。

在数学中，向量通常用一个由其分量构成的数组来表示。

2. 向量的加法和减法向量之间的加法和减法是按分量进行对应相加或相减的运算。

例如，对于两个向量 a=(a1, a2) 和 b=(b1, b2)，它们的和是 c=(a1+b1, a2+b2)，差是 d=(a1-b1, a2-b2)。

3. 向量的数量积向量的数量积又称点积，是指两个向量相乘后相加的结果。

具体计算方式是将两个向量的对应分量相乘后相加，得到一个标量。

例如，对于向量 a=(a1, a2) 和 b=(b1, b2)，它们的数量积是 a·b=a1b1+a2b2。

4. 向量的数量积的性质向量的数量积具有交换律、分配律和结合律等性质，即 a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c，(ka)·b=k(a·b)。

这些性质使得向量的数量积在计算过程中更加方便和灵活。

5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角，其大小可以通过向量的数量积来计算。

具体的计算公式是cosθ=a·b/|a||b|，其中 a 和 b 分别是两个向量，θ 是它们的夹角。

6. 向量的叉积向量的叉积又称向量积，是指两个向量相乘得到一个新的向量。

具体计算方式是根据右手法则，逆时针方向相互垂直的两个向量相乘，得到一个新的向量，该新的向量垂直于原来的两个向量。

二、向量的应用1. 向量的平移在空间中，可以通过将一个向量加到另一个向量上，从而实现向量的平移。

这种方法在几何问题中经常会用到，可以方便地求解各种几何关系。

2. 向量的力学应用在物理学中，向量经常被用来描述力和速度等物理量。

力可以用向量来表示，根据牛顿第二定律 F=ma，力和加速度之间的关系可以用向量表示。

3. 向量的几何应用在几何学中，向量经常被用来描述对象的位置、方向和大小等几何特征。

向量空间的基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.(i)零向量可由唯一地线性表示；(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；(iii).结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且.例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.域F是F上向量空间，基是{1}，.C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.1)1,线性无关：设，. 则(否则，,矛盾)，因此.2) 1,,线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ),两端平方得,由于1,线性无关，故假如，则，且，即. 矛盾.因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1,,线性无关.3) 1,,,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有. ( 2 )假如不全为零，则得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关.故{1,,,}是F的一个基..例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使( 3 )取n+1个实数，使a b.由(3)知.即其中而. 用左乘(4)两端，得这说明线性无关.故C[a,b]是R上无限维向量空间.引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明证对s作数学归纳.当s=1 时，结论显然成立.设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在1) 当时，，故；2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在，使（否则，如果,,…,，, ,,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基.证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.对任意，有.这样的子空间共有个. 由引理知存在令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.另证：设是V的一个基，令令让,,…,F互不相同，则由于其行列式是Vandermonde行列式，即故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,…,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.证：对s作数学归纳.当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,…,r,设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间,由归纳假设知存在V的一个基，使1）如果，那么即满足要求;2）如果. 不妨设∈, , 由最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使同理有 F 中非零数，使显然易证线性无关，是V的基，且满足要求.例 5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明证令(j)是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.对, i≠t,对, (j) ∈W.(j)容易验证}是线性无关的（共个向量）故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故引理 设是向量空间V 的子空间，则(i)(ii)例 6 设是F 上向量空间V 的子空间.(i) 证明：(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立. 证(i)===(ii) 在中，令1w +2w +3w=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而1w ⋂2w =2w ⋂3w =1w ⋂3w ={0}, 1w ⋂2w ⋂3w =={0},此时∑=31dim i i w =2<3=∑=31dim i i w -()∑≤≤≤⋂nj i jiw w 1dim +dim(1w⋂2w ⋂3w ).例7 设A )(F M m s ⨯∈,B )(F M n m ⨯∈.令0w ={α∈n F ∣AB α=10⨯s },1w = {B α∣α∈0w }, 求证1w 是m F 的子空间,且dim 1w =秩B-秩(AB).证 显然10⨯n ∈0w ,故B 10⨯n =10⨯m ∈1w ,即1w ≠∅, ∀1α,2α∈ 0w ,B 1α,B 2α是1w 的任意向量,∀1α,2α∈F,AB(2211ααa a +)= 2211AB AB ααa a +=0,∴2211ααa a +∈ 0w ,∴B(2211ααa a +)∈1w ⇒2211B B ααa a +∈1w ,因而1w 是m F 的子空间 .01当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB 1⨯n X =10⨯s 与B 1⨯n X =10⨯m 同解.因此1w ={0},故dim 1w =0=秩B －秩(AB).02以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. 0w ≠{0},1w ≠{0}.)1秩B=n.此时0w ≠{0},设{1β，2β，…t β}为0w 的一个基,其中 t=n- 秩(AB) .则有1w =(B 1β，B 2β，…B t β). 设1b B 1β+2b B 2β+…+t b B t β=0,i b ∈F,i=1,2,…t. 则B(1b 1β+2b 2β+…+t b t β)=0,而BY=0只有零解,故1b 1β+2b 2β+…+t b t β=0, 又1β，2β，…t β线性无关.所以i b =0，i=1,2,…n. 这说明{B 1β，B 2β，…B t β}是1w 的一个基.dim 1w =t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB).)2秩B<n.令'0w ={γ∈n F B γ=10⨯m }，'0w 是B 1⨯n Y =10⨯m 的解空间，dim '0w =n- 秩B>0.显然'0w ⊆0w .由于我们事先假设了秩B ≠秩(AB),所以'0w ≠0w .设{1β，2β，…P β}是'0w 的一个基. P=n-秩B>0.扩充成0w 的一个基，1β，2β，…P β,1+p β，…,t β, t=n-秩(AB). 而1w =(B 1β，B 2β，…B P β,B 1+p β，…,B t β)= (B 1+p β，…,B t β). 设j j tp j B b β∑+=1=0， j b ∈F, j=p+1,…,t.则B(j j tp j b β∑+=1)=0.即j j tp j b β∑+=1∈'w 故存在1b ,p b b ,...,2∈F ，使j j tp j b β∑+=1=i i pi b β∑=1.i i pi b β∑=1+jjtp j b β)(1∑+=-=0.而1β，2β，…P β,1+p β，…,t β线性无关，所以k b =0，k=1,2,,…,t; 这说明B 1+p β,B 2+p β，…,B t β线性无关,是1w 的一个基. 因此 dim 1w =t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB).例8 设1w ,2w 是向量空间v 的子空间,且dim(1w +2w )=dim(1w ⋂2w )+1 证明,下述两条必有一条成立: (ⅰ) 1w +2w =1w ,1w ⋂2w =2w ; (ⅱ) 1w +2w =2w ,1w ⋂2w =1w .。

向量空间的基与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定性质的数学结构，它由一组向量组成，并满足一些线性运算规则。

在向量空间中，我们经常讨论两个重要的概念，即基和维数。

一、基的定义和性质向量空间的基是指一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量。

具体而言，设V是一个向量空间，S={v1,v2,...,vn}为V 中的向量组，如果满足以下两个条件：1. 向量组S中的向量线性无关；2. 向量空间V中的每一个向量都可以由向量组S线性表示，则称S 为向量空间V的基。

基的性质包括：1. 基的向量个数是确定的。

如果两个基包含的向量个数不同，那么它们所在的向量空间也是不同的。

2. 基的向量组中的向量个数是向量空间的维数。

二、维数的定义和性质在向量空间中，维数是指该向量空间的基中所含向量的个数。

通常用符号dim(V)表示，其中V是一个向量空间。

维数的性质包括：1. 如果V是一个向量空间，那么V的两个基所含向量的个数相同。

也就是说，向量空间的维数是唯一确定的。

2. 一个向量空间的维数是非负整数。

3. 如果向量空间的维数是有限的，则称该向量空间为有限维向量空间。

否则，称该向量空间为无限维向量空间。

三、例子和应用1. 二维平面上的向量空间R^2，其基可以选择为{(1,0),(0,1)}，其中(1,0)和(0,1)分别是R^2的两个标准单位向量。

因此，R^2的维数为2。

2. 三维空间中的向量空间R^3，其基可以选择为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，其中(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)分别是R^3的三个标准单位向量。

因此，R^3的维数为3。

基和维数的概念不仅在线性代数中有着重要的应用，也在其他数学领域和物理学、工程学等各个领域得到广泛应用。

它们帮助我们更好地理解和描述向量空间的结构和性质，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。

总结起来，向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量；维数是该向量空间基所含向量的个数。

向量空间的维数与基底的选择向量空间是线性代数中一个重要的概念，它描述了一组具备加法和数乘运算的向量的集合。

在向量空间中，维数与基底是两个相互关联的概念，它们在向量空间的研究和应用中具有重要的作用。

一、向量空间的维数向量空间的维数是指向量空间中一组线性无关的基向量的个数，用n表示。

一般情况下，向量空间的维数等于基向量的个数。

向量空间的维数决定了向量空间的性质和特征。

二、基底的选择在向量空间中，基底是指一组线性无关的向量，通过它们可以表示向量空间中的任意向量，并且表示方式是唯一的。

基底的选择对于向量空间的研究和应用具有重要的影响。

1. 基底的存在性和唯一性对于任意一个向量空间，都存在一个基底。

但是，基底并不唯一，可以有多组不同的基底表示同一个向量空间。

例如二维平面中，可以选择{(1, 0), (0, 1)}或者{(2, 0), (0, 2)}作为基底。

2. 基底的选择原则在选择基底时，有一些原则可以遵循：a. 线性无关性：基底中的向量必须线性无关，即不能由其中的其他向量线性表出。

b. 极小性：基底中的任意一个向量都不能由其他向量组成，即基底是极小集合。

c. 覆盖性：基底中的向量能够覆盖整个向量空间，即向量空间中的任意向量都可以由基底线性表示。

d. 简洁性：基底的个数应该尽可能地少，以便于计算和理解。

基于以上原则，我们可以选择不同的基底来表示向量空间，但是一组合适的基底应具备线性无关性、极小性、覆盖性和简洁性。

三、维数与基底的关系在向量空间中，维数与基底有以下关系：1. 维数等于基底的个数：对于一个n维向量空间，它具有n个线性无关的基向量。

2. 基变换：对于同一个向量空间，不同的基底之间可以进行线性变换。

基变换可以通过矩阵乘法实现，使得在不同基下的向量能够进行相互转化。

3. 基底的扩充和缩减：当基底的个数小于维数时，可以通过向量的线性组合扩充基底；当基底的个数大于维数时，可以通过去掉冗余向量缩减基底。

向量空间的基与维数定理一、基的定义与性质在向量空间中，基是指能够通过线性组合生成整个向量空间的一组向量。

具体来说，若向量空间V中的向量组{v1, v2, ..., vn}：1. 线性无关：任意一个向量vi都不能由其他向量的线性组合表示出来。

2. 生成性：任意一个向量v都可以表示成向量组{v1, v2, ..., vn}的线性组合。

二、基的存在性与维数定理对于任意一个向量空间V，都存在一组基。

而且，不同的基所含有的向量个数是相同的，称为这个向量空间的维数，记作dim(V)。

三、基的个数与维数之间的关系设V是一个有限维向量空间，则：1. 若V中存在有限个向量，它们组成了V的一组基，则称V是有限生成的；2. 若V是有限生成的，则V中的任何一组基所含有的向量个数都相同。

四、维数定理相关的证明与推论1. 维数定理的证明：设V为一个有限维向量空间，存在两个有限的基：{v1, v2, ..., vm} 和 {u1, u2, ..., un}。

首先，我们需要证明向量组{v1, v2, ..., vm}线性无关。

即对于任意一个向量的线性组合：a1v1 + a2v2 + ... + amvm = 0，若存在不全为零的系数a1, a2, ..., am，则上述方程成立，从而基{u1, u2, ..., un}中的向量也可以表示成{v1, v2, ..., vm}的线性组合，与其构成基的定义相矛盾，所以{v1, v2, ..., vm}是线性无关的。

其次，我们需要证明向量组{v1, v2, ..., vm}能生成整个向量空间V。

任意一个向量u都可以表示为基{u1, u2, ..., un}的线性组合：u = b1u1 + b2u2 + ... + bun，并且可以将基{u1, u2, ..., un}中的向量表示成基{v1, v2, ..., vm}的线性组合：ui = a1i v1 + a2i v2 + ... + ami vm，因此，u也可以表示成基{v1, v2, ..., vm}的线性组合：u = (b1a11 + b2a21 + ... + banan) v1 + (b1a12 + b2a22 + ... + banan) v2 + ... + (b1a1m + b2a2m + ... + banan) vm，即向量组{v1, v2, ..., vm}能够生成整个向量空间V。