一、线性空间的基与维数

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。

在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。

一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。

换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。

线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。

2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。

3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。

二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。

维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。

线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。

2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。

维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。

在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。

三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。

2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。

3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。

4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。

总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。

基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。

维数和基的个数的关系
维数和基的个数是线性代数中的重要概念。

在n维向量空间V 中，如果存在一组线性无关的向量{v1,v2,……,vn}，那么就称为V 的一组基，基的个数记作dim(V)。

同时，如果存在一组向量
{v1,v2,……,vm}，能够生成V，即V中的任何向量都能够表示成它们的线性组合，那么就称为V的一个生成组，生成组中向量的最大个数记作rank(V)。

显然，rank(V) ≤ dim(V)。

维数和基的个数之间的关系可以由一个简单的定理描述：任何有限维向量空间V中的每个基含有相同数量的向量。

这个定理告诉我们，无论选择哪个基，它们的个数都是相同的。

这个定理也可以用来证明另外一个重要的结论：任何有限维向量空间V的任意两个基中，都存在一种线性变换把一个基变换成另一个基。

这个结论被称为基变换定理。

总之，维数和基的个数是线性代数中不可分割的重要概念，它们之间有着紧密的联系和相互依存的关系，对于研究线性代数的各种理论和应用都具有重要意义。

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基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间v中，如果有n个向量α1,,αn满足用户:(1)α1,α2,αn线性无关。

(2)v中任一向量α总可以由α1,α2,,αn线性则表示。

那么称v为n维（有限维）线性空间，n为v的维数，记为dimv=n，并称α1,α2,,αn为线性空间v的一组基为。

如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。

基准1设v=xax=0，a为数域p上m⨯n矩阵，x为数域p上n佩向量，谋v的维数和一组基为。

解设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax=0的任一基础解系都是v的基，且v的维数为n-r。

基准2数域p上全体形似对矩阵的乘法及数与矩阵的乘法所共同组成⎪的二阶方阵，-ab⎪⎪的线性空间，谋此空间的维数和一组基为。

⎪⎪0a⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪为线性空间,v=｜a,b∈p⎪⎪的一组线性毫无关系的向⎪⎪⎪⎪-10⎪⎪01⎪⎪⎪-ab⎪⎪⎪0a⎪⎪0a⎪⎪01⎪⎪00⎪量组，且对v中任一元素⎪=a⎪+b⎪⎪有ab1001-ab⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪⎪,⎪为v的一组基为，v的维数为2。

⎪10⎪⎪01⎪方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

基准3假设r[x]n就是一切次数大于n的实系数多项式迎上零多项式所构成的线性空间，证明：1,(x-1),(x-1),,(x-1)构成r[x]n的基。

证明实地考察k1⋅1+k2(x-1)++kn(x-1)的系数为0得kn=0，并代入上式可得xn-2的系数kn-1=0依此类推便存有kn=kn-1==k1=0，故1,(x-1),,(x-1)又r[x]的维数为n,于是1,(x-1),,(x-1)为r[x]的基。

方法三利用定理：数域p上两个非常有限佩线性空间同构的充份必要条件就是它们存有相同的维数。

例4设a=⎪，证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f(a)共同组成的空间v=⎪f(a)｜a=⎪⎪⎪0-1⎪⎪⎪⎪与复数域c作为实数域r上的线性空间10⎪⎪⎪v'={a+bi｜a,b∈r}同构，并非谋它们的维数。

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。

在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。

一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。

二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。

即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。

线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。

记作dim(V) = n。

三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。

线性空间维数与基线性空间是线性代数的重要概念之一。

在线性空间中，维数和基是非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解线性空间的性质和特点。

本文将对线性空间的维数和基进行详细的介绍和论述。

一、线性空间的概念线性空间是指一个满足线性组合和标量乘法的集合。

具体来说，设V是一个集合，F是一个字段，如果V满足以下四个性质：1. 对于任意的向量u、v∈V，u+v∈V；2. 对于任意的向量u∈V和标量a∈F，au∈V；3. 存在一个零向量0∈V，使得对于任意的向量u∈V，有u+0=u；4. 对于任意的向量u∈V，存在一元素(-u)∈V，使得u+(-u)=0。

则称V为F上的线性空间，简称为线性空间。

二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的向量的极大线性无关组的元素个数。

换句话说，线性空间的维数是指使得空间中的元素线性无关的最大个数。

假设V是一个线性空间，如果存在一个正整数n，使得V中的n个向量v₁, v₂, ..., vₙ满足以下两个条件：1. 这n个向量线性无关；2. 任意一个向量u∈V都可以用v₁, v₂, ..., vₙ这n个向量的线性组合表示。

则称V的维数为n，记作dimV=n。

三、线性空间的基对于一个维数为n的线性空间V，如果存在V中的n个向量v₁,v₂, ..., vₙ满足以下两个条件：1. 这n个向量线性无关；2. 任意一个向量u∈V都可以用v₁, v₂, ..., vₙ这n个向量的线性组合表示。

则称v₁, v₂, ..., vₙ为线性空间V的一个基。

一个线性空间的基可以看作是向量空间中的坐标基础，使用这个基，我们可以用向量的坐标表示向量，进一步简化线性空间的计算和研究。

四、线性空间维数和基的关系线性空间的维数和基的个数是相等的。

这是因为维数是线性无关组的最大个数，而基就是满足这个条件的一组向量。

举个例子来说明，假设V是一个二维线性空间，存在两个向量v₁和v₂，如果v₁和v₂线性无关并且任意一个向量u∈V都可以被v₁和v₂的线性组合表示，那么v₁和v₂就是V的一个基，同时V的维数为2。

线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中，如果有n 个向量宀，…n 满足:⑴1,2…，n 线性无关。

⑵V 中任一向量G 总可以由 S ,..0n线性表示。

那么称V 为n 维(有限维)线性空间，n 为V 的维数，记为dim V = n ,并称O∙ι,Ct 2,…，ct n 为线性空间V 的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1设V=IXAX=O?，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。

解设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组 AX=O 的任一基础解系都是 V 的基，且V 的 维数为n -r 。

[0 a例2数域P 上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成'<-a b 」的线性空间，求此空间的维数和一组基。

方法二 在已知线性空间的维数为 n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线 性空间的基。

例3假定R IX I n 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间， 证明：1,X -1 , X-1 2川|, X-1 n 4 构成 R IX ]n的基。

n证明 考察 k 1+k 2(x -1)+IH+k n (x -1) =0由X n4的系数为0得k n =0 ,并代入上式可得X nJ 的系数k n ∕=0 依此类推便有k n = k n 4I = k 1= 0 ,a,b P 的一组线性无关的向量组，且对V 中任广O a有r0 a=a '0 1、 + b'0 O Ai —a b 」I a b 」J 0」<01‘0 1 ' ‘0 0'<1 0」' <0 1」V 的维数为2。

元素按定义为V 的一组基,故1,(x_1 )，HI,(x_1 )^ 线性无关n 1又RlX n的维数为n,于是I) x_1 ,川，x_1 为RlX(I的基。

线性空间维数与基的求法维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用.因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了,在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构,这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。

同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。

但是,鉴于它是线性空间的一个基本概念,多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍.虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。

本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结,同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。

一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素)的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。

例如:线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法,判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。

同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。

1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A αai b --=，而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。

例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A解:系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α，kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的. 可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不是线性的。

一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。

线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题。

定义设F 是数的集合，若其满足（1）F∈1,0 （2）F ，均有∈∀b a ,∈≠÷×−+)0(,,,b b a b a b a b a 则称F 是一个数域。

R ，实数域Q ，有理数域常用数域C ，复数域F},,1, |),,{(1n i a a a i n =∈=},,2,1,,2,1, |]{[n j m i a a ij n m ij ==∈=×；F [x ]F F m ×n F },2,1,0,,1,0 , |){2210 ==∈++++=n n i a x a x a x a a i nn ；Fn F }0)( ,)( ],[F )(|)({≡∈=x f n x f x x f x f 或的次数小于}],[)(|)({上的连续函数是闭区间b a x f x f =F [x ]n C [a ,b ]βαγ+=若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的数量积，记作∈k V ∈αV ∈δk ααδk =定义设是一个非空集合，F 为数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为元素与的和，记作V ∈βα,V ∈γαβV F对F ，总有,,,,V k l αβγ∈∈;,,)3(αθααθ=+∈都有对任何中存在在V V ;)1(αββα+=+ ()();)2(γβαγβα++=++ 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域F 上的线性空间：V 零元素(5) 1αα=()()(6) k l kl αα=()(8)k k k αβαβ+=+()(7) k l k l ααα+=+;),,)(θααααα=−+∈−∈( 4使的都存在对任何V V 负元素说明1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算；2．线性空间中的向量不一定是有序数组；3．若一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。

线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关。

(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。

那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。

解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。

例2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。

解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2。

方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基。

证明 考察()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基。