2021届新高三数学精品专项测试题 16 利用空间向量求角 学生版

数学高三立体几何与空间向量专题复习检测（含答案）平面几何是3维欧氏空间的几何的传统称号，下面是平面几何与空间向量专题温习检测，请考生练习。

一、选择题1.(2021武汉调研)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图可以是()解析 A、B、C与仰望图不符.答案 D2.将长方体截去一个四棱锥，失掉的几何体如下图，那么该几何体的侧(左)视图为()解析抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确.答案 D3.(2021安徽卷)一个多面体的三视图如下图，那么该多面体的外表积为()A.21+3B.18+3C.21D.18解析由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如下图，那么S=S正方体-2S三棱锥侧+2S三棱锥底=24-231211+234(2)2=21+3.答案 A4.S，A，B，C是球O外表上的点，SA平面ABCD，ABBC，SA=AB=1，BC=2，那么球O的外表积等于()A.4B.3C.2解析如下图，由ABBC知，AC为过A，B，C，D四点小圆直径，所以ADDC.又SA平面ABCD，设SB1C1D1-ABCD为SA，AB，BC为棱长结构的长方体，得体对角线长为12+12+22=2R，所以R=1，球O的外表积S=4.故选A.答案 A5.(2021湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如下图.将该石材切削、打磨，加工成球，那么能失掉的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析由三视图可得原石材为如下图的直三棱柱A1B1C1-ABC，且AB=8，BC=6，BB1=12.假定要失掉半径最大的球，那么此球与平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r=6+8-102=2.应选B.答案 B6.点A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6，那么该球的体积为()A.323B.48C.643D.163解析如下图，O1为三角形ABC的外心，过O做OEAD，OO1面ABC，AO1=33AB=3.∵OD=O A，E为DA的中点.∵AD面ABC，AD∥OO1，EO=AO1=3.DO=DE2+OE2=23.R=DO= 23.V=43(23)3=323.答案 A二、填空题7.某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥的体积是________. 解析由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中DC=2，AB=3，BC=3，所以四棱锥的体积为132+3322=533. 答案 5338.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F区分是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC 的体积为V2，那么V1V2=________.解析设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，那么V1=1314S12h=124Sh=124V2，即V1V2=124. 答案 1249.在四面体ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=4，AD=BC=5，那么四面体ABCD的外接球的外表积为________.解析结构一个长方体，使得它的三条面对角线区分为4、5、6，设长方体的三条边区分为x，y，z，那么x2+y2+z2=772，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以S=4R2=772. 答案 772三、解答题10.以下三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.左边两个是其正(主)视图和侧(左)视图. (1)请在正(主)视图的下方，依照画三视图的要求画出该多面体的仰望图(不要求表达作图进程).(2)求该多面体的体积(尺寸如图).解 (1)作出仰望图如下图.(2)依题意，该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)失掉的，所以截去的三棱锥体积VE-A1B1D1=13S△A1B1D1A1E=1312221=23，正方体体积V正方体AC1=23=8，所以所求多面体的体积V=8-23=223.11.(2021安徽卷)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC.过 A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.(1)证明：Q为BB1的中点;(2)求此四棱柱被平面所分红上下两局部的体积之比.解 (1)证明：由于BQ∥AA1，BC∥AD，BCBQ=B，ADAA1=A，所以平面QBC∥平面A1AD.从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD.所以BQBB1=BQAA1=BCAD=12，即Q为BB1的中点.(2)如图，衔接QA，QD.设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面所分红上下两局部的体积区分为V上和V下，BC=a，那么AD=2a.VQ-A1AD=13122ahd=13ahd，VQ-ABCD=13a+2a2d12h=14ahd，所以V下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=712ahd，又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=32ahd，所以V上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V下=32ahd-712ahd=1112ahd.故V上V下=117.B级才干提高组1.(2021北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2).假定S1，S2，S3区分是三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，那么()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3 S2D.S3=S2且S3S1解析作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积.如下图，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1=1222=2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DE F(E，F 区分为OA，BC的中点)全等，所以S2=1222=2.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H区分为AB，OC 的中点)全等，所以S3=1222=2.所以S2=S3且S1S3.应选D. 答案 D2.(2021山东卷)三棱锥P-ABC中，D，E区分为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，那么V1V2=________.解析由于VP-ABE=VC-ABE，所以VP-ABE=12VP-ABC，又因VD-ABE=12VP-ABE，所以VD-ABE=14VP-ABC，V1V2=14.答案 143.(理)(2021课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.解 (1)衔接BD交AC于点O，衔接EO.由于ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥PB.EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)由于PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，|PA|为单位长，树立空间直角坐标系A-xyz.那么D(0，3，0)，E0，32，12， AE=0，32，12.设B(m,0,0)(m0)，那么C(m，3，0)，AC=(m，3，0)，设n1=(x，y，z)为平面ACE的法向量，那么n1AC=0，n1AE=0，即mx+3y=0，32y+12z=0，可取n1=3m，-1，3.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cos〈n1，n2〉|=12，即 33+4m2=12，解得m=32.由于E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体积V=131233212=38.3.(文)如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF 的位置(点A与P重合)，使得PEB=30.(1)求证：EF(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的正面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积.解 (1)证明：∵AB=BC，BCAB，又∵EF∥BC，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPE=E，EF平面PBE，EFPB.(2)设BE=x，PE=y，那么x+y=4.S△PEB=12BEPEsinPEB=14xy14x+y22=1.当且仅当x=y=2时，S△PEB的面积最大.此时，BE=PE=2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于O，那么PO平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PEsin30=212=1.S梯形EFCB =12(2+4)2=6.VP-BCFE=1361=2.平面几何与空间向量专题温习检测及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得更好的效果。

运用空间向量解决空间角一、题型选讲题型一 、异面直线所成的角以及研究异面直线所成的角首先要注意交的范围，然后转化为有直线的方向向量的夹角。

例1、【2018年高考江苏卷】如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．例2、(2019南京学情调研） 如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 的边长AB ＝3，侧棱AA 1＝2，E 是棱CC 1的中点，点F 满足AF →＝2FB →.(1) 求异面直线FE 和DB 1所成角的余弦值； (2) 记二面角EB 1FA 的大小为θ，求|cos θ|.题型二、直线与平面所成的角直线与平面所成的角是通过研究直线的方向向量和平面的法向量的所成的角，因此，要特别注意所求的角与已求的角之间的关系。

例3、【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．题型三、平面与平面所成的角利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据观察判断向量在图形中的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点例5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．例6、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.例7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，平面1ACB ⊥平面11A ABB ，11AB A B =，O 为1AB 与1A B 的交点．（1）求证：1AB CO ⊥；（2）求平面11ACC A 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．二、达标训练1、【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．2、【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.4、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AB AA ==，3BAD π∠=，ACBD O =，AO ⊥平面1A BD ，11A B A D =.（1）证明：1//B C 平面1A BD ； （2）求钝二面角1B AA D --的余弦值.5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,,,ABCD PA PD E F =分别为棱PC 和AB 的中点.(1)求证://EF 平面PAD ;(2)若直线PC 与AB ，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小.6、(2019南京、盐城一模）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA ＝AB＝2，点E是棱PB的中点．(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2) 求二面角BECD的余弦值．一、题型选讲题型一 、异面直线所成的角以及研究异面直线所成的角首先要注意交的范围，然后转化为有直线的方向向量的夹角。

培优点十六 利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∥，AB BC ⊥，1CD =．（1）若E ，F 分别为11A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为，求二面角11A AC D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥．∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵1111B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．∵,E F 分别为11A C ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ． （2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ，由160A AB ∠=︒，2BA =，得过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ， 如图所示，又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥， 又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD ．∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ． 又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ．∵1CC CD C =I ，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥．∵BC DC C =I ，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角． ∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =I ， ∴平面ABCD ∥平面111A B C ．在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA uu u v ，HD uuu v ，1HA uuu v的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则()1,0,0A ，，()1,0,0B -， ，及11BB CC =uuu v uuu v ，得设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由100AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu vuuu vm m 得 令11y =，得()3,1,2=m设平面11AA C 的一个法向量为()222,,x y z =n ，由1100AC AA ⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩uuu vuuu v n n 得 令21z =，得又∵二面角11A AC D --是钝角，∴二面角11A AC D --的余弦值是2．线段上的动点问题例2：如图，在ABCD Y 中，30A ∠=︒，，2AB =，沿BD 将ABD △翻折到A BD '△的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '． （1）求证：A D '⊥平面BCD ；（2）若在线段A C '上有一点M 满足A M A C λ=''uuuu v uuu v，且二面角M BD C --的大小为60︒，求λ的值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）ABD △中，由余弦定理，可得1BD =．∴222BD AD AB +=， ∴90ADB ∠=︒，∴90DBC ∠=︒．作DF A B ⊥'于点F ，∵平面A BC '⊥平面A BD '，平面A BC 'I 平面A BD A B '='，∴DF ⊥平面A BC '． ∵CB ⊂平面A BC '，∴DF BC ⊥．又∵CB BD ⊥，BD DF D =I ，∴CB ⊥平面A DB '． 又∵A D '⊂平面A DB '，∴CB A D ⊥'．又A D BD '⊥，BD CB B =I ，∴A D '⊥平面BCD ．（2）由（1）知DA ，DB ，DA '两两垂直，以D 为原点，以DA uu u v方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()0,1,0B ，．设(),,M x y z ，设平面MDB 的一个法向量为(),,a b c =m ，取()11,0,a c λλλλ=-⇒=⇒=-m ．平面CBD 的一个法向量可取∵[]0,1λ∈，∴3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将PAD △，PBC △沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点． （1）求证：PO AB ⊥；（2）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； （3）求二面角P AO E --的大小．【答案】（1）见解析；（2；（3 【解析】（1）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥，PC BC ⊥， ∴在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥．∵OA OB O =I ，∴PO ⊥平面OAB ． ∵AB ⊂平面OAB ，∴PO AB ⊥．（2）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM ． 过点O 作AB 的平行线OG ．∵PO ⊥平面OAB ，∴PO OF ⊥，PO OG ⊥．∵OA OB =，F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥．∴OF OG ⊥． 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -．()A ，()B -，()0,0,1P ，12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． ∵BO BA =，M 为OA 的中点，∴BM OA ⊥．∵PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，∴平面POA ⊥平面OAB ．∵平面POA I 平面OAB OA =，BM ⊂平面OAB ， ∴BM ⊥平面POA∴平面POA的法向量)1,0=-m设直线BP 与平面POA 所成角为α∴直线BP 与平面POA．（3）由（2设平面OAE 的法向量为n ，则有0 0OA OE ⋅⎧⎪=⎪⎩=⎨⋅uu vuu u v n n 即 令1y =-，则由题知二面角P AO E --一、单选题1．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为1BB ，11A C 的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为（ ）对点增分集训A ．12BC ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点O ，以OB uu u v ，OC uuu v ，OE uu u v为x ，y ，z 轴建立坐标系，则0,,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a D ⎫⎪⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,E a ，则,,22a a AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，0,,2a CE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ，设AD 与CE 成的角为θ，则01cos 5a a aaθ-⨯+⨯==，故选C ． 2．在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为1的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，点D 在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α的值是（ ） ABCD【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭．平面11AA C C 的一个法向量是()1,0,0=n，∴cos ,AD ==uuu v n，则sin α．故选D ．3．如图，圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，则空间中两条直线AD 与BC 所成的角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【答案】B【解析】取AB 中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，∵圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒， ∴可得()0,1,0A -，()0,1,0B，(C，1,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，则3,02AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v，(0,BC =-u u u v， 设空间两条直线AD 与BC 所成的角为θ，∴31cos 2AD BC AD BC θ⋅===⋅u uuu v uu u u v v u uu u v ， ∴60θ=︒，即直线AD 与BC 所成的角为60︒，故选B ．4．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题可知()0,0,0O ，()0,0,2P ，()1,2,0B ，()1,2,0C -， 则()0,0,2OP =uu u v ，()1,2,0OC =-uuu v，∵M 是PC 的中点，∴1,1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,12BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uuu v设平面PCO 的法向量(),,x y z =n ，直线BM 与平面PCO 所成角为θ， 则20 20OP z OC x y ⋅==⋅=-⎧⎪⎨⎪=⎩+uu u vuuu v n n 可取()2,1,0=n，sin cos BM BM BM θ⋅====⋅uuu vuuu v uuu v ，n n n，故选D ．5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，点G 与E 分别是11A B 和1CC 的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD EF ⊥，则线段DF 长度的最小值为（ ）A B C D ．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,0,2G ，0(),0,F x ，0(0,),D y ，则()1,,2GD y =--uuu v ，(),2,1EF x =--uu u v，由于GD EF ⊥，∴220GD EF x y =--+=⋅uuu v uu u v，∴22x y =-，故DF ===，∴当45y =时，线段DF ．故选A ． 6．如图，点A B C 、、分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =uuu v，平面ABC 的法向量为()2,1,2=n ，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A ．43BC ．23D ．23-【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =uuu v，由空间向量的结论可得：42cos 233OC OC θ⋅===⋅⋅uuu v uuu vn n ．故选C ． 7．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC △的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，且12CD AE =． 设CE 与平面ABE 所成的角为α，(0)AE k k =>，若ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）AB ．1 CD【答案】C【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A ，0,0,2k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,E k，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭， 取AB 的中点M ，则304M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，则平面ABE的一个法向量为3,04CM ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，由题意sin CE CM CE CM α⋅==⋅uu u v u uu u u v v uu v uu 又由ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 22α≤=≤k ≤k当k =BDE 的法向量为(),,x y z =n ，则0 102DE y z BE y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⋅==⋅=++=⎩uuu v uu u v n n ，取(=-n ，由平面ABC 的法向量为()0,0,1=m ， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则cos θ⋅==⋅n m n m，∴sin θ=，∴tan θC ． 8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，设1A 在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．设ABC △边长为1112B ⎛ ⎝⎭，ABC 的法向量为()0,0,1=n ． 设1AB 与底面ABC 所成角为α故直线1AB 与底面ABCB ． 9．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,3,0A ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,2,1E ，∴()0,2,1BE =uu u v ，()3,3,0BD =uu u v设平面BED 的一个法向量为(),,x y z =n ，则20330BE y z BD x y ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩uu u v uu u vn n ， 取1z =ABE 的法向量为()1,0,0=m ，ABE 与平面BEDB ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ） ABCD【答案】C【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，()11,0,1A ， ∴()11,0,1BC =-uuu r ，()11,0,1A D =--uuu r ，()1,1,0BD =--uu u r，设(),,x y z =n 是平面1A BD 的一个法向量，∴100A D BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu v uu u vn n ，即0 0x z x y =+=⎧⎨⎩+， 取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1=--n ，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ，∴ ，即直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是C ． 11．已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD ==ABD △沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5,66π⎡π⎤⎢⎥⎣⎦内，则直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．5201⎡⎡⎫⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭， D ．⎣⎦【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵2AB BD DA ===．BCCD ==CO BD ⊥，AO BD ⊥，且1CO =，AO =， ∴AOC ∠是二面角A BD C --的平面角， 以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， ()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，设二面角A BD C --的平面角为θ，则5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，连AO 、BO ，则AOC θ∠=，)A θθ，∴)BA θθ=uu r ，()1,1,0CD =-uu u r，设AB 、CD 的夹角为α，则cos AB CD AB CD α⋅==⋅uu u r uu u r uu u r uu u r， ∵5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴cos θ⎡∈⎢⎣⎦， 故510,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos α⎡∈⎢⎣⎦．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与所成角的取值范围是（ ）A ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P 坐标为(),1,x x x -， 则()1,,BP x x x =--uu v ，()11,0,1BC =-uuu v，设BP uu v 、1BC uuu v的夹角为α，则11cos BP BC BP BC α⋅==⋅uu v uu uu u v v uuu v∴当13x =时，cos α，π6α=．当1x =时，cos α取最小值12，π3α=．∵11BC AD ∥，∴BP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =m 是AC的中点，则异面直线1CB 与1CM 所成角的余弦值为________．【答案】28【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥，1BM =．以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作AC 的垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系，则()C ，()10,1,2B，()1C ，()0,0,0M ，∴)1CB =uuu v，()1MC =uuuu v ，设异面直线1CB 与1C M 所成角为θ，则1111cos CB CB MC MC θ⋅===⋅uuu v uuu v uuuu vuuuu v ． ∴异面直线1CB 与1C M． 14．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，且PD AB =，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上，若:1:2PF FC =，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为__________．【解析】以D 点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设菱形ABCD 的边长为2， 则()0,0,0D ，1,02E ⎫-⎪⎪⎝⎭，240,,33F ⎛⎫⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．【解析】由题意，∵()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，∴111111cos ,⋅===⋅a b a b a b ∵a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上， ∴α，β16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，120BAD ∠=︒，PA x =，则当x 变化时，直线PD 与平面PBC 所成角的取值范围是__________．【解析】如图建立空间直角坐标系，得()0,2,0B，3,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P x ，设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，()0,2,PB x =-uu v， ∴0 0BC PB ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅⎩=uu u vuu v m m ，得三、解答题17．如图所示：四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为四边形，AC BD ⊥，BC CD =，PB PD =，平面PAC ⊥平面PBD，AC =30PCA ∠=︒，4PC =，（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AB BC ⊥是否在PC 上存在一点M ，使得直线BM 与平面PBDPM MC的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，1PMMC=．【解析】（1）设AC BD O =I ，连接POBC CD AC BD =⊥Q ，，O ∴为BD 中点又PB PD =Q ，PO BD ∴⊥平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC I 平面PBD PO =BD ∴⊥平面PAC ，而PA ⊂平面PAC PA BD ∴⊥在PCA △中，由余弦定理得2222cos30PA PC AC PC AC =+-⋅︒，21612244PA =+-⨯⨯=，而222PA AC PC += PA AC PA BD PA BD AC O ⊥⎫⎪∴⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面ABCD ． （2）过A 作AB 垂线记为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系：()0,0,0A ，()0,0,2P，)B，3,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)C)2PB =-uu v，3,22PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u v ，设PMPM MC MC λλ=⇒=uuu vuuu v uuu v uuu v32,11M λλλ⎫⎪⎪++⎝⎭，32,11BM λλλ⎫=⎪⎪++⎝⎭uuu v 设平面PBD 法向量为(),,x y z =n ，∴200 30202z PB yPD z =⋅=⇒⎨⋅=+-=⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩uu v uu u v n n，取(=n ，设BM 与平面PBD 所成角为ϕ，sin cos BM ϕ=⋅==uuu v n 解1λ=，1PM MC∴=． 18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，1AB =160CBB ∠=︒．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1B AB C --的正弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA ，1OB ，∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴OA BC ⊥，且OA ∵13BB =，160CBB ∠=︒，1OB =，∴222113213cos607OB =+-⨯⨯⨯︒=， ∴1OB =1AB =2221110OA OB AB +==， ∴1OA OB ⊥，又∵1OB BC O =I ，∴OA ⊥平面11BCC B ，又∵OA ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面11BCC B ．（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，其中2BH =，则()A ，()1,0,0B -，()1,0,0C，112B ⎛ ⎝⎭，∴11,2AB ⎛= ⎝⎭uuu v，()1,AB =-uu u v，()1,AC =uu u v ， 设()1111,,x y z =n 为平面1ABB 的法向量，则1110 0AB AB ⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩uu u v uuu v n n，即111110 102x x ⎧⎪⎨-=-+=⎪⎩-，令11y =，得()1=n ； 设()2222,,x y z =n 为平面1AB C 的法向量，则2210 0AC AB ⎧⎪⎩⋅=⎨⎪⋅=uuu u v uu v n n，即222220 102x x ⎧⎪⎨-+=⎪⎩=， 令21y =，得213⎫=⎪⎭n；∴121212131cos ,-++⋅===⋅n n n n n n ∴二面角1B AB C --．。

专项四立体几何考点2 利用空间向量求空间角大题拆解技巧【母题】(2021年新高考全国Ⅱ卷)在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=√5,QC=3.(1)证明:平面QAD⊥平面ABCD.(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.【拆解1】在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=√5,QC=3.证明:平面QAD⊥平面ABCD.【拆解2】已知条件不变,求平面QBD的法向量.【拆解3】已知条件不变,求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.小做变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=2PA=4,点E在棱PA 上,PC∥平面BDE.(1)求证:E为PA的中点.(2)记二面角E-BD-P的平面角为θ,求cos θ的值.【拆解1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=2PA=4,点E在棱PA上,PC∥平面BDE.求证:E为PA的中点.【拆解2】本例条件不变,建立适当的空间直角坐标系,求平面BDE的一个法向量.【拆解3】本例条件不变,求平面BDP的一个法向量.【拆解4】本例条件不变,记二面角E-BD-P的平面角为θ,求cos θ的值.通法技巧归纳利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.突破实战训练<基础过关>⏜的两个三等分点,CD,BE为圆柱的母线.1.如图,AB是圆柱底面圆O的直径,点C,F是AB(1)求证:EF∥平面OCD.CD=2,M为OE的中点,求二面角D-AC-M的余弦值.(2)设AC=122.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,PD的中点为F.(1)求证:PB∥平面ACF.(2)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.,①∠ABC为锐角,且四棱锥P-ABCD的体积为4√33,③BD=2√3.②FC与平面ABCD所成的角为π6若,求二面角F-AC-D的余弦值.3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,G为△PAB 的重心.⃗⃗⃗⃗ =λCB⃗⃗⃗⃗⃗ ,且GE∥平面PCD,求λ的值;(1)若CE(2)若平面PCD与平面PAB所成的锐二面角为30°,求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.4.在滨海文化中心有天津滨海科技馆,其建筑有鲜明的后工业风格,如图所示,截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合,如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=AA1=2,圆台下底圆圆心O为AB的中点,直径为2,圆与直线AB交于点E,F,圆台上底圆圆心O1在A1B1上,直径为1.(1)求A1C与平面A1ED所成的角的正弦值.(2)求二面角E-A1D-F的余弦值.(3)圆台上底圆周上是否存在一点P使得FP⊥AC1?若存在,求点P到直线A1B1的距离;若不存在,则说明理由.<能力拔高>,DD1⊥平面ABCD,∠5.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,∠ABC=π3,BB1=AB=2A1B1=2.B1BD=π6(1)求证:直线AC⊥平面BDB1.(2)求直线A1B1与平面ACC1所成的角的正弦值.6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2BC=2,∠B1BC=60°,∠ACB=90°,B1C⊥AB.(1)求证:B1C⊥平面ABC.(2)若AB=√2BC,求二面角B1-AA1-C的正弦值.<拓展延伸>7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.(1)若PA=PD,求证:AD⊥PB.(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,试确定点M的位置,使二的值.面角M-BQ-C的大小为30°,并求出PMPC8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,AC交BE于点F,G为△PCD的重心.(1)求证:FG∥平面PAD.(2)若PA=AD,点H在线段PD上,且PH=2HD,求二面角H-FG-C的余弦值.。

一、利用向量处理平行与垂直问题例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。

求证：AM B A ⊥1练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。

例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。

zx1CFD CBA例4 已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD-的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC--11的大小。

三、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C求点B1到平面A1B C的距离。

利用空间向量求空间角检测题（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A ．45° B.135° C ．45°或135°D ．90°解析：选C ∵cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝12＝22，∴m ，n ＝45°.∴二面角为45°或135°.故选C.2.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535B.277C.33D.24解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)，∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E ―→＝0，n ·D 1C ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)．∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n | DC 1―→|·|n |＝33535，∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535.3．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AD ，BC 所成的角为( )A ．120° B.30° C ．90°D ．60°解析：选D 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0,0)，B (0，2，0)，C (0，0，2)，D (0，－2，0)，∴AD ―→＝(－2，－2，0)，BC ―→＝(0，－2，2)． ∴|AD ―→|＝2，|BC ―→|＝2，AD ―→·BC ―→＝2. ∴cos 〈AD ―→，BC ―→〉＝AD ―→·BC ―→|AD ―→||BC ―→|＝22×2＝12.∴异面直线AD ，BC 所成的角为60°.故选D.4．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B -AA 1-C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为( )A.7B. 6C. 5D ．2解析：选A 由题意可知，∠BAC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，所以在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，BC ＝23，∠ABC ＝90°，则AB 1―→·BC 1―→＝(BB 1―→－BA ―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝4， |AB 1―→|＝22，|BC 1―→|＝4，cos AB 1―→，BC 1―→＝AB 1―→·BC 1―→| AB 1―→|·|BC 1―→|＝24，故tanAB 1―→，BC 1―→＝7.5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35B.56C.3310D.3610解析：选A 设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B 1()0，3，2，F (1,0,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，32，0，G (0,0,2)， B 1F ―→＝()1，－3，－1，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1，GF ―→＝(1,0，－1)．设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ EF ―→·n ＝0， GF ―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，故n ＝()1，3，1为平面GEF 的一个法向量， 所以cos 〈n ，B 1F ―→〉＝1－3－15×5＝－35，所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35.6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22解析：选B 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1， 则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D ―→＝(0,1，－1)， A 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D ―→＝0，n 1·A 1E ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x －12z ＝0，令x ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，∴n 1＝(1,2,2)． 又平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.7.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面为正三角形，AB ＝4，AA 1＝6，若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，且BE ＝B 1E ，C 1F ＝13CC 1，则异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为( )A.36B.26C.310D.210解析：选D 如图，以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意，得A 1(4,0,6)，E (2,23，3)，F (0,0,4)，A (4，0,0)，A 1E ―→＝(－2,23，－3)，AF ―→＝(－4,0,4)．设异面直线A 1E 与AF 所成的角为θ，则cos θ＝|A 1E ―→·AF ―→||A 1E ―→||AF ―→|＝4202＝210.故异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为210.故选D. 8.已知正四棱锥P -ABCD 中，P A ＝AB ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( )A.33B.63C.16D.12解析：选C 连接AC ，BD ，设AC ，BD 相交于点O ，连接OP ，由题意知AC ⊥BD ，OP ⊥平面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系，所以A (2，0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，22，22，B (0，2，0)，F ⎝⎛⎭⎫－22，0，22，则AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－2，22，22，BF ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，－2，22，则cos 〈AE ―→，BF ―→〉＝AE ―→·BF ―→| AE ―→||BF ―→|＝1－1＋122＋12＋12·12＋2＋12＝16.故异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为16，选C.二、填空题（每小题5分，共20分）9.如图，在四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且AB ＝4，SA ＝3.E ，F 分别为线段BC ，SB 上的一点(端点除外)，满足SF BF ＝CEBE ＝λ，当实数λ的值为______时，∠AFE为直角．解析：由SA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .∵AB ＝4，SA ＝3， ∴B (0,4,0)，S (0,0,3)．设BC ＝m ，则C (m,4,0)， ∵SF BF ＝CE BE＝λ，∴SF ―→＝λFB ―→. ∴AF ―→－AS ―→＝λ(AB ―→－AF ―→)．∴AF ―→＝11＋λ(AS ―→＋λAB ―→)＝11＋λ(0,4λ，3)，∴F ⎝⎛⎭⎫0，4λ1＋λ，31＋λ.同理可得E ⎝⎛⎭⎫m1＋λ，4，0，∴FE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m1＋λ，41＋λ，－31＋λ. ∵F A ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4λ1＋λ，－31＋λ，要使∠AFE 为直角， 即F A ―→·FE ―→＝0，则0·m1＋λ＋－4λ1＋λ·41＋λ＋－31＋λ·－31＋λ＝0，∴16λ＝9，解得λ＝916.答案：91610.如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．解析：∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，∴AE ⊥ED ，即AE ，DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，则E (0,0,0)，A (1，0,0)，F (0,2,0)，C (0,2,1)，∴AF ―→＝(－1,2,0)，EC ―→＝(0,2,1)，∴cos 〈AF ―→，EC ―→〉＝AF ―→·EC ―→|AF ―→||EC ―→|＝45×5＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.答案：4511.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．解析：以B 点为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF ―→＝(0，－1,1)，BC 1―→＝(2,0,2)， ∴EF ―→·BC 1―→＝2，∴cos 〈EF ―→，BC 1―→〉＝EF ―→·BC 1―→|EF ―→||BC 1―→|＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°. 答案：60°12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________.解析：如图，以O 为坐标原点，以OA ，OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．设AE ＝a ，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，F (－1,0,3)，E (1,0，a )，∴OF ―→＝(－1,0,3)，DB ―→＝(0,23，0)，EB ―→＝(－1，3，－a )．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧23y ＝0，－x ＋3y －az ＝0，则y ＝0，令z ＝1，得x ＝－a ，∴n ＝(－a,0,1)， ∴cos 〈n ，OF ―→〉＝n ·OF ―→|n ||OF ―→|＝a ＋3a 2＋1×10.∵直线OF 与平面BED 所成角的大小为45°， ∴|a ＋3|a 2＋1×10＝22， 解得a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴AE ＝2.答案：2三、综合题（3个小题，共40分）13.（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AP ⊥AD ，AD ＝2BC ＝2AB ＝4，∠BAP ＝120°，DC ＝2 2.(1)求证：BC ⊥平面P AB ；(2)若P A ＝2，求二面角B -PC -A 的余弦值．解：(1)证明：取AD 的中点E ，连接CE ，所以AE ＝BC ＝2. 因为AD ∥BC ，所以四边形ABCE 为平行四边形，所以CE ∥AB ，且CE＝AB ＝2.又因为DE ＝2，DC ＝22，所以DE 2＋CE 2＝DC 2，所以DE ⊥CE ，所以AD ⊥AB . 又因为AD ⊥AP ，AP ∩AB ＝A ， 所以AD ⊥平面P AB .又因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面P AB .(2)由(1)知AD ⊥平面P AB ，过点A 作AF ⊥P A 交PB 于点F ，以点A 为坐标原点，AP ―→，AF ―→，AD ―→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .则A (0,0,0)，P (2,0,0)，B (－1，3，0)，C (－1，3，2)，所以BC ―→＝(0,0,2)，BP ―→＝(3，－3，0)，AP ―→＝(2,0,0)，AC ―→＝(－1，3，2)．设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ BC ―→·n ＝0， BP ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧2z 1＝0，3x 1－3y 1＝0，取y 1＝3，得平面PBC 的一个法向量为n ＝(1，3，0)． 设平面P AC 的一个法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧AP ―→·m ＝0， AC ―→·m ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＝0，－x 2＋3y 2＋2z 2＝0，取y 2＝23，得平面P AC 的一个法向量为m ＝(0,23，－3)． 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1×0＋3×23＋0×(－3)12＋(3)2×02×02＋(23)2＋(－3)2＝217. 因为二面角B -PC -A 是一个锐二面角，所以其余弦值为217. 14.（14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ；(2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长． 解：由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)．(1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)． 又MN ―→＝(1,2，－1)，可得MN ―→·n ＝0. 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE . (2)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0,0，h )， 进而可得NH ―→＝(－1，－2，h )，BE ―→＝(－2,2,2)． 由已知，得|cos 〈NH ―→，BE ―→〉|＝|NH ―→·BE ―→||NH ―→||BE ―→|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721，整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12.所以线段AH 的长为85或12.15.（14分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，P A 是该四棱锥的高，PB 与平面P AD 所成的角为45°，F 是PB 的中点，E 是BC 上的动点．(1)证明：PE ⊥AF ；(2)若BC ＝2AB ，PE 与AB 所成角的余弦值为21717，求二面角D -PE -B 的余弦值．解：(1)证明：由题可知AD ，AB ，AP 两两垂直，且∠BP A ＝45°，∴AP ＝AB .以点A 为坐标原点，AD ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AP ＝AB ＝b ，BE ＝a ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，E (a ，b,0)，P (0,0，b )，F ⎝⎛⎭⎫0，b 2，b 2， ∴PE ―→＝(a ，b ，－b )，AF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，b 2，b 2. ∴PE ―→·AF ―→＝0，∴PE ⊥AF .(2)设AP ＝AB ＝2，则BC ＝4，故D (4,0,0)，B (0,2,0)，E (a ，2,0)，F (0,1,1)，P (0,0,2)，∴AB ―→＝(0,2,0)，PE ―→＝(a,2，－2)，AF ―→＝(0,1,1)．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB ―→·PE ―→|AB ―→||PE ―→|＝21717，得42·a 2＋8＝21717，解得a ＝3(负值舍去)，∴E (3,2,0)． 设平面PDE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又PD ―→＝(4,0，－2)，ED ―→＝(1，－2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD ―→＝0，n ·ED ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －2z ＝0，x －2y ＝0，令y ＝1，得n ＝(2,1,4)． ∵AF ―→·PB ―→＝0，∴AF ⊥PB . 又由(1)知AF ⊥PE ，PB ∩PE ＝P ，∴AF ⊥平面PBC ，即AF ―→为平面PBC 的一个法向量． 设二面角D -PE -B 的平面角为θ，由图可知θ为钝角， ∴cos θ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AF ―→|n ||AF ―→|＝－1＋421×2＝－54242.。

培优点十六 利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∥，AB BC ⊥，1CD =．（1）若E ，F 分别为11A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为55，求二面角11A AC D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）78-．【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥． ∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵1111B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．∵,E F 分别为11A C ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ． （2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ， 由160A AB ∠=︒，2BA =，得123AB =，2112AC a =+．过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ， 如图所示，又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥， 又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD ．∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ． 又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ． ∵1CC CD C =，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥． ∵BCDC C =，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角．∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =，∴平面ABCD ∥平面111A B C ． ∴113A H C M ==，112135sin 512MC C AM AC a∠===+，解得3a =．在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA ，HD ，1HA 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系． 则()1,0,0A ，()0,3,0D ，()10,0,3A ，()12,0,3B -，()1,0,0B -，()1,3,0C -， 由()11,0,3BB =-，及11BB CC =，得()12,3,3C -， ∴()13,3,3AC =-，()1,3,0AD =-，()11,0,3AA =-．设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由100AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m 得111113330 30x y z x y -++=-=⎧⎪⎨⎪⎩+， 令11y =，得()3,1,2=m设平面11AA C的一个法向量为()222,,x y z=n，由11ACAA⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩nn得22222333030x y zx z-++=-=⎧⎪⎨⎪⎩+，令21z=，得()3,2,1=n．∴32277cos,831434188⋅++====++⨯++⨯m nm nm n，又∵二面角11A AC D--是钝角，∴二面角11A AC D--的余弦值是78-．2．线段上的动点问题例2：如图，在ABCD中，30A∠=︒，3AD=，2AB=，沿BD将ABD△翻折到A BD'△的位置，使平面A BC'⊥平面A BD'．（1）求证：A D'⊥平面BCD；（2）若在线段A C'上有一点M满足A M A Cλ=''，且二面角M BD C--的大小为60︒，求λ的值．【答案】（1）见解析；（231-．【解析】（1）ABD△中，由余弦定理，可得1BD=．∴222BD AD AB+=，∴90ADB∠=︒，∴90DBC∠=︒．作DF A B⊥'于点F，∵平面A BC'⊥平面A BD'，平面A BC'平面A BD A B'='，∴DF⊥平面A BC'．∵CB⊂平面A BC'，∴DF BC⊥．又∵CB BD⊥，BD DF D=，∴CB⊥平面A DB'．又∵A D'⊂平面A DB'，∴CB A D⊥'．又A D BD'⊥，BD CB B=，∴A D'⊥平面BCD．（2）由（1）知DA，DB，DA'两两垂直，以D为原点，以DA方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D xyz-，则()0,1,0B，()3,1,0C-，()0,0,3A'．设(),,M x y z，则由333xA M A C yzλλλλ⎧=''-⎪=⇒=⎨⎪-=-⎩()3,,33Mλλλ⇒--，设平面MDB的一个法向量为(),,a b c=m，则由DBDM⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=mm()3330ba b cλλλ=⎧⎪⇒⎨-++-=⎪⎩，取()11,0,a cλλλλ=-⇒=⇒=-m．平面CBD 的一个法向量可取()0,0,3DA'=，∴()2213cos,231DAλλλ=⇒⋅+-'m11322λ-±=⇒=．∵[]0,1λ∈，∴312λ-=．3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将PAD△，PBC△沿PA，PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2．在三棱锥P OAB-中，E为PB中点．（1）求证：PO AB⊥；（2）求直线BP与平面POA所成角的正弦值；（3）求二面角P AO E--的大小．【答案】（1）见解析；（2）15；（3）3π． 【解析】（1）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥，PC BC ⊥， ∴在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥．∵OA OB O =，∴PO ⊥平面OAB ． ∵AB ⊂平面OAB ，∴PO AB ⊥．（2）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM ． 过点O 作AB 的平行线OG ．∵PO ⊥平面OAB ，∴PO OF ⊥，PO OG ⊥．∵OA OB =，F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥．∴OF OG ⊥． 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -．()3,0A ，()3,0B -，()0,0,1P ，132M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． ∵BO BA =，M 为OA 的中点，∴BM OA ⊥．∵PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，∴平面POA ⊥平面OAB ．∵平面POA 平面OAB OA =，BM ⊂平面OAB ， ∴BM ⊥平面POA ．∵33,,022BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴平面POA 的法向量()31,0=-，m ．()1,3,1BP =-．设直线BP 与平面POA 所成角为α，则15sin cos ,5BP BP BPα⋅===m m m ． ∴直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为15．（3）由（2）知131,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，131,,222OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,3,0OA =． 设平面OAE 的法向量为n ，则有0 0OA OE ⋅⎧⎪=⎪⎩=⎨⋅n n 即3030x y x y z ⎧⎪⎨=-++=⎪⎩+，令1y =-，则3x =，23z =．即()3,1,23=-n ．∴21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n ． 由题知二面角P AO E --为锐角，∴它的大小为3π．一、单选题1．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为1BB ，11A C 的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为（ ）对点增分集训A ．12B ．3 C ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点O ，以OB ，OC ，OE 为x ，y ，z 轴建立坐标系， 则0,,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,2a D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,E a ， 则3,,22a a AD a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,,2a CE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设AD 与CE 成的角为θ，则222223012222cos 534444a a aa aa a a a a θ⨯-⨯+⨯==++⋅+，故选C ． 2．在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为1的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，点D 在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α的值是（ ） A ．3B ．22C ．10 D ．6 【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点31,,12D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．平面11AA C C 的一个法向量是()1,0,0=n ，∴362cos ,2AD ==n ，则6sin α．故选D ．3．如图，圆锥的底面直径2AB =，高2OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，则空间中两条直线AD 与BC 所成的角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【答案】B【解析】取AB 中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，∵圆锥的底面直径2AB =，高2OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒， ∴可得()0,1,0A -，()0,1,0B ，(2C ，31,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，则33,02AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2BC =-，设空间两条直线AD 与BC 所成的角为θ，∴312cos 233AD BCAD BCθ⋅===⨯⋅， ∴60θ=︒，即直线AD 与BC 所成的角为60︒，故选B ．4．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是（ ）A．5B．25C．85D．885【答案】D【解析】由题可知()0,0,0O，()0,0,2P，()1,2,0B，()1,2,0C-，则()0,0,2OP=，()1,2,0OC=-，∵M是PC的中点，∴1,1,12M⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,12BM⎛⎫=--⎪⎝⎭设平面PCO的法向量(),,x y z=n，直线BM与平面PCO所成角为θ，则2020OP zOC x y⋅==⋅=-⎧⎪⎨⎪=⎩+nn可取()2,1,0=n，885sin cos1754BMBMBMθ⋅====⋅⋅，nnn，故选D．5．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，90BAC∠=︒，12AB AC AA===，点G与E分别是11A B和1CC的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD EF⊥，则线段DF长度的最小值为（）A ．255B ．355C ．55D ．22【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,0,2G ，0(),0,F x ，0(0,),D y ，则()1,,2GD y =--，(),2,1EF x =--，由于GD EF ⊥，∴220GD EF x y =--+=⋅，∴22x y =-， 故()22222244225845()55DF x y y y y y y =+=-+=-+=-+，∴当45y =时，线段DF 长度取得最小值，且最小值为255．故选A ． 6．如图，点A B C 、、分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =，平面ABC 的法向量为()2,1,2=n ，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A ．43B ．53 C ．23D ．23-【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =， 由空间向量的结论可得：42cos 233OC OC θ⋅===⋅⋅n n．故选C ． 7．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC △的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，且12CD AE =． 设CE 与平面ABE 所成的角为α，(0)AE k k =>，若ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A ，0,0,2k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,E k ，31,02B ⎫⎪⎪⎝⎭， 取AB 的中点M ，则3304M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，则平面ABE 的一个法向量为33,04CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由题意23sin 21CE CM CE CMkα⋅==⋅+，又由ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2132sin 221kα≤=≤+，解得22k ≤≤，∴k 的最大值为2， 当2k =时，设平面BDE 的法向量为(),,x y z =n ， 则20 312022DE y z BE x y z ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⋅=-=⋅=++=⎩n n ， 取()3,1,2=--n ，由平面ABC 的法向量为()0,0,1=m ， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ， 则3cos θ⋅==⋅n m n m ，∴6sin θ=，∴tan 2θ=，故选C ． 8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．23C ．33 D ．23【答案】B【解析】如图，设1A 在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．设ABC △边长为1，则3,0,03A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13162B ⎛ ⎝⎭，∴15316,,623AB⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭．又平面ABC的法向量为()0,0,1=n．设1AB与底面ABC所成角为α，则1112sin cos,3ABABABα⋅===⋅nnn．故直线1AB与底面ABC所成角的正弦值为23．故选B．9．如图，四棱锥P ABCD-中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD BC∥，AB BC⊥，3AB AD PB===，点E在棱PA上，且2PE EA=，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为（）A．23B．66C．33D．63【答案】B【解析】以B为坐标原点，以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，()0,3,0A，()0,0,3P，()3,3,0D，()0,2,1E，∴()0,2,1BE=，()3,3,0BD=设平面BED的一个法向量为(),,x y z=n，则20330BE y zBD x y⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩nn，取1z=，得11,,122⎛⎫=-⎪⎝⎭n，平面ABE的法向量为()1,0,0=m ，∴162cos,6612==⨯n m．∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为66．故选B．10．在正方体1111ABCD A B C D-中，直线1BC与平面1A BD所成角的余弦值为（）A．24B．23C．33D．32【答案】C【解析】分别以DA，DC，1DD为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D ，()1,1,0B，()10,1,1C，()11,0,1A，∴()11,0,1BC=-，()11,0,1A D=--，()1,1,0BD=--，设(),,x y z=n是平面1A BD的一个法向量，∴1A DBD⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=nn，即x zx y=+=⎧⎨⎩+，取1x=，得1y z==-，∴平面1A BD的一个法向量为()1,1,1=--n，设直线1BC与平面1A BD所成角为θ，∴11126sin cos,323BCBCBCθ⋅-=〈〉===⨯⋅nnn；∴23cos1sin3θθ=-=，即直线1BC与平面1A BD所成角的余弦值是33．故选C．11．已知四边形ABCD，2AB BD DA===，2BC CD==ABD△沿BD折起，使二面角A BD C--的大小在5,66π⎡π⎤⎢⎥⎣⎦内，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）A．520,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．20,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．25201⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎪⎣⎦⎣⎭，， D．252,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】取BD中点O，连结AO，CO，∵2AB BD DA===．2BC CD==，∴CO BD⊥，AO BD⊥，且1CO=，3AO=，∴AOC∠是二面角A BD C--的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，()0,1,0B-，()1,0,0C，()0,1,0D，设二面角A BD C--的平面角为θ，则5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，连AO、BO，则AOCθ∠=，)33sinAθθ，∴()3cos3sinBAθθ=，()1,1,0CD=-，设AB、CD的夹角为α，则13coscos22AB CDAB CDθα⋅-==⋅，∵5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴33cosθ⎡∈⎢⎣⎦，故513cos0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52cosα⎡∈⎢⎣⎦．故选A．12．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与所成角的取值范围是（ ）A ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P 坐标为(),1,x x x -， 则()1,,BP x x x =--，()11,0,1BC =-， 设BP 、1BC 的夹角为α， 则()12221cos 122123233BP BC BP BC x x x α⋅===⋅-+⨯⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭，∴当13x =时，cos α取最大值3，π6α=．当1x =时，cos α取最小值12，π3α=．∵11BC AD ∥，∴BP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，23AC =，m 是AC 的中点，则异面直线1CB 与1C M 所成角的余弦值为________．14【解析】在直三棱柱111ABC A B C-中，12AB BC CC===，23AC=，M是AC的中点，∴BM AC⊥，431BM=-=．以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则()3,0,0C-，()10,1,2B ，()13,0,2C，()0,0,0M，∴()13,1,2CB=，()13,0,2MC=-，设异面直线1CB与1C M所成角为θ，则111114cos87CBCBMCMCθ⋅===⋅⋅．∴异面直线1CB与1C M14．14．已知四棱锥P ABCD-的底面是菱形，60BAD∠=︒，PD⊥平面ABCD，且PD AB=，点E是棱AD的中点，F在棱PC上，若:1:2PF FC=，则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为__________．【答案】43535【解析】以D点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz-，设菱形ABCD的边长为2，则()0,0,0D，31,02E⎫-⎪⎪⎝⎭，240,,33F⎛⎫⎪⎝⎭，∴374,,263EF⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，则22244353cos ,35374263EF ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ， 即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为43535． 15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．【答案】315【解析】由题意，∵()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ， ∴1111113cos ,35⋅===⋅⨯a b a b a b ∵a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上， ∴α，β所成二面角中较小的一个余弦值为315，故答案为315． 16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，3AD =，120BAD ∠=︒，PA x =，则当x 变化时，直线PD 与平面PBC 所成角的取值范围是__________．【答案】0,6⎛⎤⎥⎝⎦π【解析】如图建立空间直角坐标系，得()0,2,0B ，33,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P x ，设平面PBC的法向量(),,x y z=m，33,,022BC⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，()0,2,PB x=-，∴BCPB⎧⎪⎨⎪⋅=⋅⎩=mm，得231,3,x⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭m，又33,,22PD x⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，∴2223cos,1243PDxx-=+⋅+m，∴2222231sin23361242443xxxxθ-==⋅+++⋅+，∴1sin0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则0,6θ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦三、解答题17．如图所示：四棱锥P ABCD-，底面ABCD为四边形，AC BD⊥，BC CD=，PB PD=，平面PAC⊥平面PBD，23AC=，30PCA∠=︒，4PC=，（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若四边形ABCD中，120BAD∠=︒，AB BC⊥是否在PC上存在一点M，使得直线BM 与平面PBD所成的角的正弦值为35738，若存在，求PMMC的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，1PMMC=．【解析】（1）设AC BD O=，连接POBC CD AC BD=⊥，，O∴为BD中点又PB PD=，PO BD∴⊥平面PAC⊥平面PBD，平面PAC平面PBD PO=BD∴⊥平面PAC，而PA⊂平面PAC PA BD∴⊥在PCA△中，由余弦定理得2222cos30PA PC AC PC AC=+-⋅︒，23161224234PA=+-⨯⨯⨯=，而222PA AC PC+=PA ACPA BD PABD AC O⊥⎫⎪∴⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面ABCD．（2）过A作AB垂线记为y轴，AB为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系：()0,0,0A，()0,0,2P，)3,0,0B，33,02D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，)3,3,0C()3,0,2PB=-，33,22PD⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，设PMPM MCMCλλ=⇒=332,11Mλλλλ⎫⎪⎪++⎝⎭，332,11BMλλλ⎛⎫-= ⎪⎪++⎝⎭设平面PBD法向量为(),,x y z=n，∴320330202zPByPD x z⎧-=⋅=⎪⇒⎨⋅=-+-=⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩nn，取()2,23,3=n，设BM与平面PBD所成角为ϕ，()22236323111357sin cos394191BMλλλλϕλλ-+++++=⋅==++⋅+n，解1λ=，1PMMC∴=．18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC是边长为2的正三角形，13BB=，110AB=，160CBB∠=︒．（1）求证：平面ABC⊥平面11BCC B；（2）求二面角1B AB C--的正弦值．【答案】（1）见解析；（2474【解析】（1）取BC的中点O，连接OA，1OB，∵底面ABC是边长为2的正三角形，∴OA BC⊥，且3OA∵13BB=，160CBB∠=︒，1OB=，∴222113213cos607OB=+-⨯⨯⨯︒=，∴17OB=110AB=2221110OA OB AB+==，∴1OA OB⊥，又∵1OB BC O=，∴OA⊥平面11BCC B，又∵OA⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面11BCC B．（2）如图所示，以点O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴，OH为z轴建立空间直角坐标系，其中2BH=，则()3,0A，()1,0,0B-，()1,0,0C，11332B⎛⎝⎭，∴1133,3,2AB⎛=-⎝⎭，()1,3,0AB=--，()1,3,0AC=-，设()1111,,x y z=n为平面1ABB的法向量，则111ABAB⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩nn，即1111130133302xx⎧⎪⎨-=-+=⎪⎩-，令11y=，得()13,1,1=-n；设()2222,,x y z=n为平面1AB C的法向量，则221ACAB⎧⎪⎩⋅=⎨⎪⋅=nn，即2222230133302xx y⎧⎪⎨+=⎪⎩=，令21y=，得213,1,3⎫=⎪⎭n；∴12121213153cos373759,-++⋅===-⋅⨯n nn nn n∴二面角1B AB C--5474137-．。

智才艺州攀枝花市创界学校2021年高考数学专题训练(平面向量及空间向量)一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题分6，一共72分〕1．设-=1(acos α,3),(=b sin )3,α,且a ∥b，那么锐角α为〔〕A.6π B.4π C.3π D.125π 2．点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，那么点P 的轨迹是〔〕A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线3．向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a-+-==2),2,0,1(),0,1,1(〔〕A.1B.51C.53D.57 4．b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a,)2(,)2(⊥-⊥-〔〕A.6π B.3π C.32πD.65π5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a〔2,3π〕平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，那么所得图像的解析式可以写成〔〕 A.y=sin(2x+3π)+2B.y=sin(2x －3π)－2 C.y=(321π+x )－2D.y=sin(321π-x )+2 6．假设A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),|AB |的取值范围是()A.[0,5]B.[1,5]C.(1,5)D.[1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a方向取线段长|AB|=34,那么点B 的坐标为〔〕A.(-9,-7,7)B.(-9,-7,7)或者(9,7,-7)C.(18,17,-17)D.(18,17,-17)或者(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点A(3,1)，B(-1,3)，假设点C 满足OC =OB OA βα+,其中α、β∈R 且α+β=1,那么点C 的轨迹方程为()A.01123=-+y xB.5)2()1(22=-+-y xC.02=-y x D.052=-+y x9．空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，那么AF AE ⋅的值是〔〕A.2m B.212m C.412m D.432m10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(AC AB OA OP -⋅-=0,那么点P 的轨迹一定过△ABC 的〔〕 A.外心B.内心C.重心D.垂心11．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1与BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为〔〕A.23arccosB.1010arccos C.arccos53D.arccos 5212.三棱锥O-ABC 中，设的中点，分别为B C OA ,,,,N M c OC b OB a OA===，点G ∈MN ，MG:GN=2,那么分别等于则z y x OC z OB y OA x OG ,,,++=〔〕A.1,1,1B.1,1,1C.1,1,1D.1,1,1 二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．),cos ,1,(sin ),sin ,1,(cos αααα==b a那么向量b a b a -+与的夹角为______14．空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5),以AC AB 、为边的平行四边形的面积为 15．向量B A B A B A mtan tan 223)2sin 5,2cos2(，则的模为+-=的值是___ 16．假设对n个向量n a a a,,,21存在n 个不全为零的实数,,,,21n k k k 使得02211=+++n n a k a k a k 成立，那么称向量n a a a ,,,21为“线性相关〞.依此规定，能说明)2,2(),1,1(),0,1(321=-==a a a“线性相关〞的实数321,,k k k 依次可以取_____________________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况). 三、解答题〔本大题一一共4小题，一共58分〕 17．〔此题总分值是13〕A(3,0),B(0,3),C(cos ).sin ,αα (1)假设α2sin ,1求-=⋅BC AC 的值；(2)假设. OC ),,0(,13||的夹角与求且OB OC OA πα∈=+18．〔此题总分值是14分〕如图，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M ∈AC ，N ∈==BN CM,BF ).20(<<a a 〔1〕建立适当的坐标系，并写出M 、N 坐标； 〔2〕当a 为何值时，MN 的长为最小； 〔3〕当MN 的长最小时，求二面角B MN －-A 的大小.19．〔此题总分值是15分〕如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点. (Ⅰ)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明);(QB QA QP λ-⊥(Ⅱ)设直线AB 的方程是x —2y+12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线 在点A 处有一共同的切线，求圆C 的方程.20．〔此题总分值是16分〕如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，,60 =∠ABCPA=AC=,2,a PD PBa ==点E 在PD 上，且PE :ED=2:1.(1) 证明：PA ⊥平面ABCD ； (2) 求的值；><AE BP ,cos(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.[参考答案]13．214．3715．9得,0332211 =++a k a k a k ⎩⎨⎧=+-=++020232221k k k k k 可得⎪⎩⎪⎨⎧=-==ck c k ck 24213〔取任一非零常数）c c ,0≠，故可取〔－4,2，1〕等.17．解：〔1〕),3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=a a BC a a AC 由1-=⋅BC AC ，得32sin cos ,1)3(sin sin cos )3(cos =+∴-=-+-a a a a a a 两边平方，得 〔2〕21cos ,13sin )cos 3(),sin ,cos 3(22=∴=++∴+=+a a a a a OCOA ,23sin ,3),,0(==∴∈a a a ππ .233=⋅OC OB 设OB 与OC 的夹角为θ,那么18．解：〔1〕以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BE 为y 轴，BC 为z 轴建立空间直角坐标系，由题设得A 〔1,0,0〕，〔0,0,1〕，F(1,1,0).∵CM=BN=a ∴).0,2,2(),221,0,2(aa N a a M -〔2〕|222)221()2()22(|a a a a MN -++-= ∴当.BF AC N M ,22||22的中点、分别是、这时取得最小值时，MN a =〔3〕∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，∴AM ＝AN ，BM ＝BN ，且 M=),21,0,21(N=).0,21,21(设MN 的中点为,,)41,41,21(,MN GB MN GA G G ⊥⊥且则 AGB ∠为二面角B MN A --的平面角.∵)41,41,21(),41,41,21(---=--=GB GA ∴31161161411611614116116141||||cos -=++⋅++++-=⋅=∠GB GA AGB∴二面角.31arccos ---π的大小为B MN A19．解(Ⅰ)依题意,可设直线AB 的方程为m kx y +=,代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①.设A 、B 两点的坐标分别是〔x 1,y 1〕、(x 2,y 2),那么x 1、x 2是方程①的两根.所以.421m x x -=由点P 〔0，m 〕分有向线段AB 所成的比为λ，得0121=++λλx x ，即.21x x -=λ又点Q 是点P 关于原点的以称点，故点Q 的坐标是〔0，--m 〕,从而).2,0(m QP==).)1(,(2121m y y x x λλλ-+--=])1(44[221222121m x xx x x x m ++⋅+=2212144)(2x m x x x x m +⋅+=221444)(2x mm x x m +-⋅+=0，所以).(QB QA OP λ-⊥(Ⅱ)由⎩⎨⎧=+-=,0122,42y x y x 得点A 、B 的坐标分别是〔6，9〕、〔--4，4〕.由y x42=得241x y =，,21x y ='所以抛物线y x42=在点A 处切线的斜率为36==x y.设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-，那么⎪⎩⎪⎨⎧-=---++=-+-,3169.)4()4()9()6(2222a b b a b a 解之得.2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a 所以圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x . 20．解：〔1〕因为底面ABCD 是菱形，60=∠ABC ，所以AB=AD=AC=.a 在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2,知PA ⊥,PA ⊥AD ，所以PA⊥平面ABCD.〔2〕以A 为坐标原点，直线AD,AP 分别为y 轴，z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图. 由题设条件，相关各点的坐标分别为∴),21,23(),31,32,0(a a a BP a a AE -== ∴5102953131||||,cos 2222=+=⋅>=<a a aa AE BP AE BP AE BP 〔3〕∵),0,0(),0,,0(),0,21,23(a P a D a a C ∴).,0,0(),,21,23(),0,21,23(a AP a a a PC a a AC =-== 设点F 是棱PC 上的点，则　其中 ,10),,21,23(<λ<λ-λλ=λ=a a a PC PF))1(,)1(21,)1(23( λ-λ+-λ=a a a .得令AE AC BF 21λ+λ= ,31)1(3221)1(2123)1(232211⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧λ=λ-λ+λ=λ+λ=-λa a a a a a a 解得.23,21,2121=λ-=λ=λ即.232121AE AC BF +-==λ时，∴F 是PC 的中点时AE AC BF ,,,一共面. 又∵，平面AEC ⊄BF∴当F 是棱PC 的中点时，BF .AEC //平面。

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空间向量与立体几何一.选择题1。

在下列命题中:①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线,则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；④已知是空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x,y,z 使得p xa yb zc =++；其中正确的命题的个数是 （ ）（A ）0 （B ）1 （C)2 （D ）32。

与向量（-3，-4,5）共线的单位向量是 （ ）(A)（32222,,1052-）和（32222,,1052--）； (B ）（32222,,1052-)； （C)（32222,,1052）和（32222,,1052---）； （D ）（32222,,1052--）； 3. 已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到M ∈平面ABC的充分条件是 （ ）（A)111222OM OA OB OC =++; （B ）1133OM OA OB OC =-+；(C ）OM OA OB OC =++; （D)2OM OA OB OC =--4。

考点26 空间向量求空间角【题组一 线线角】1．如图，在等腰三角形ABC 与ABD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，平面ABD ⊥平面ABC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成的角为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 2．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，E 为BB ′的中点，异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是（ ）A 5B ．55-C ．-1010D ．10103．已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．25C ．45D ．1554．如图所示，四棱锥P ABCD -中，PB PD AD AB ===，60BAD ∠=︒，1CD CB ==，120BCD ∠=︒，点M N 、分别为PA AB 、的中点．（1）证明：平面DMN ∥平面PBC ；（2）若322PA =，求异面直线PA 与BC 所成角的余弦值．【题组二 线面角】1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB =AC 5BC =4．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，如下图．（Ⅰ）求证：A 1O ⊥BD ；（Ⅱ）求直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值；2．如图1，在ABC 中， D ， E 分别为AB ， AC 的中点，O 为DE 的中点，25AB AC ==，4BC =.将ABC 沿DE 折起到1A DE △的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2.（1）求证：1AO BD ⊥； （2）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值.3．在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点，点F 是线段AD 上的一个动点，且()01DF DA λλ=≤≤.如图，将BCE ∆沿BE 折起至BEG ∆，使得平面BEG ⊥平面ABED .（1）当12λ=时，求证：EF BG ⊥； （2）是否存在λ，使得FG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.4．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点．（1）证明：AE //平面BDC 1；（2）若异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为3．求DE 与平面BDC 1所成角的正弦值．5．如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，AD BC ∥，2DAB π∠=，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值.【题组三 二面角】1．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为DF 中点．（1）求异面直线DA 与PE 所成的角；（2）求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．2．如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；。

立体几何中的向量方式（Ⅱ）----求空间角、距离一、选择题1．如下图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1上的动点，那么直线NO 、AM 的位置关系是( )．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直解析 成立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2，t,2)，NO →＝(－1,1－t ，－2)，AM →＝(－2,0,1)，NO →·AM →＝0，那么直线NO 、AM 的位置关系是异面垂直．答案 C2．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，那么|MN →|为()． a a a a解析 以D 为原点成立如下图的空间直角坐标系D ­xyz ，那么A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a3，z ＝a3.得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案 A 3．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 别离为棱AA 1和BB 1的中点，那么sin 〈CM →，D 1N →〉的值为( )．5 5解析 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴成立空间直角坐标系(如图)，可知CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，sin 〈CM →，D 1N →〉＝459， 答案 B4．两平行平面α，β别离通过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，那么两平面间的距离是( )D ．32 解析 两平面的一个单位法向量n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，0，22，故两平面间的距离d ＝|OA →·n 0|＝22. 答案 B5．已知直二面角α­l ­β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，假设AB ＝2，AC ＝BD ＝1，那么CD ＝( )．A ．2 D ．1解析 如图，成立直角坐标系D ­xyz ，由已知条件B (0,0,1)，A (1，t,0)(t ＞0)，由AB＝2解得t＝ 2.答案C6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝14BC ，那么GB 与EF 所成的角为( )．A ．30°B ．120°C ．60°D ．90°解析 如图成立直角坐标系D ­xyz ，设DA ＝1，由已知条件G ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，B ()1，1，0， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，0， GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，－12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，－12 cos 〈GB →，EF →〉＝GB →·EF→|GB →||EF →|＝0，那么GB →⊥EF →.答案 D7．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.假设二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，那么AD 的长为( )C ．2解析 如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线别离为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系，那么C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)设AD ＝a ，那么D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1， 得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n (0,1,0)，那么由cos60°＝m·n |m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2. 答案：A 二、填空题 8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为________．解析 以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴成立空间直角坐标系(如图)，设BP ＝λ1BD ，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP ·CP| AP ||CP |可求适当λ＝13时，∠APC 最大， 故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118. 答案 1189．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，那么点M 到直线AD 1距离的最小值为________．解析 设M (0，m ，m )(0≤m ≤a )，AD 1→＝(－a,0，a )，直线AD 1的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，0，22，由MD 1→＝(0，－m ，a －m )，故点M 到直线AD 1的距离d ＝|MD 1→|2－|MD 1→·s 0|2＝m 2＋a －m 2－12a －m 2＝32m 2－am ＋12a 2，根式内的二次函数当m ＝－－a 2×32＝a 3时取最小值32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－a ×a 3＋12a 2＝13a 2，故d 的最小值为33a .答案 33a10．假设向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，那么λ＝________.解析 由已知得89＝a·b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2·9， ∴8 5＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255. 答案 －2或25511．正四棱锥S ­ABCD 中，O 为极点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，那么直线BC 与平面PAC 的夹角的大小为________．解析 如下图，以O 为原点成立空间直角坐标系O ­xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2. 则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)． 设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，那么cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n|CB →||n |＝a2a 2·2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°， ∴直线BC 与平面PAC 的夹角为90°－60°＝30°.答案 30°12．已知点E 、F 别离在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，那么面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值为________．解析 如图，成立直角坐标系D ­xyz ，设DA ＝1由已知条件A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，23， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，23， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y＝1，z＝－3，x＝－1，那么n＝(－1,1，－3)平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)cos θ＝cos〈n，m〉＝311，tan θ＝23.答案2 3三、解答题13. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设A B＝AP.假设直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，因此PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，因此AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，因此平面PAB⊥平面PAD.(2)以A为坐标原点，成立空间直角坐标系A－xyz(如图)．在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，那么CE⊥AD.在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.设AB＝AP＝t，那么B(t,0,0)，P(0,0，t)．由AB＋AD＝4得AD＝4－t，因此E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，CD＝(－1,1,0)，PD＝(0,4－t，－t)．设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n ⊥CD ，n ⊥PD ，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，4－t y －tz ＝0. 取x ＝t ，得平面PCD 的一个法向量n ＝(t ，t,4－t )．又PB ＝(t,0，－t )，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°得 cos60°＝|n ·PB |n |·|PB ||，即|2t 2－4t |t 2＋t 2＋4－t 2·2t 2＝12， 解得t ＝45或t ＝4(舍去，因为AD ＝4－t >0)， 因此AB ＝45. 14．如下图，四棱锥A ­BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .(1)证明：AD ⊥CE ；(2)设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C ­AD ­E 的大小．解析 (1)证明 取BC 中点O ，连接AO ，那么AO ⊥BC由已知条件AO ⊥平面BCDE ，如图，成立直角坐标系O ­xyz ，则A (0,0，t )，D (1，2，0)，C (1,0,0)，E (－1，2，0)，AD →＝(1，2，－t )，CE →＝(－2，2，0)，则AD →·CE →＝0，因此AD ⊥CE .(2) 作CF ⊥AD 垂足为F ，连接EF ，由AD ⊥平面CEF 知EF ⊥AD ，则∠CFE 为二面角C ­AD ­E 的平面角．在Rt △ACD 中，CF ＝AC ·CD AD ＝233，在等腰△ADE 中EF ＝303， cos ∠CFE ＝CF 2＋EF 2－CE 22CF ·EF ＝－1010.∴二面角CADE 的余弦值为－1010. 15．在如下图的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB ＝90°，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF .(1)假设M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ；(2)假设AC ＝BC ＝2AE ，求二面角A ­BF ­C 的大小．解析 (1)证明 法一 因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，因此∠EGF ＝90°，△ABC ∽△EFG .由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ， 在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，那么AM ∥BC ，且AM ＝12BC ， 因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，因此四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，因此GM ∥平面ABFE .法二 因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，因此∠EGF ＝90°，△ABC ∽△EFG ，由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .取BC 的中点N ，连接GN ，因此四边形BNGF 为平行四边形，因此GN ∥FB .在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，连接MN ，则MN∥AB.因为MN∩GN＝N，AB∩FB＝B，因此平面GMN ∥平面ABFE .又GM ⊂平面GMN ， 因此GM ∥平面ABFE .(2)法一 因为∠ACB ＝90°，因此∠CAD ＝90°，又EA ⊥平面ABCD ，因此AC ，AD ，AE 两两垂直．别离以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，成立如下图的空间直角坐标系，不妨设AC ＝BC ＝2AE ＝2，那么由题意得A (0,0,0)，B (2，－2,0)，C (2,0,0)，E (0,0,1)，因此AB →＝(2，－2,0)，BC →＝(0,2,0)．又EF ＝12AB ，因此F (1，－1,1)，BF →＝(－1,1,1)．设平面BFC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，x 1＝z 1，取z 1＝1，得x 1＝1，因此m ＝(1,0,1)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ·AB →＝0，n ·BF →＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y 2，z 2＝0，取y 2＝1，得x 2＝1，那么n ＝(1,1,0)，因此cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝12.因此二面角A ­BF ­C 的大小为60°.法二 由题意知，平面ABFE ⊥平面ABCD ，取AB 的中点H ，连接CH ，因为AC ＝BC ，因此CH ⊥AB ，则CH ⊥平面ABFE .过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接CR ，则CR ⊥BF ，因此∠HRC 为二面角A ­BF ­C 的平面角．由题意，不妨设AC ＝BC ＝2AE ＝2.在直角梯形ABFE 中，连接FH ，则FH ⊥AB ，又AB ＝22， 因此HF ＝AE ＝1，BH ＝2，因此在Rt △BHF 中，HR ＝63. 由于CH ＝12AB ＝2，因此在Rt △CHR 中，tan ∠HRC ＝263＝3， 因此二面角A ­BF ­C 的大小为60°.16．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．解析 方式一：(1)证法一：取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE ， ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .又DE ＝2AB ， ∴四边形GFAB 为平行四边形，那么AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .证法二：取DE 的中点M ，连接AM 、FM ， ∵F 为CD 的中点，∴FM ∥CE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴DE ∥AB .又AB ＝12DE ＝ME ， ∴四边形ABEM 为平行四边形，那么AM ∥BE . ∵FM 、AM ⊄平面BCE ，CE 、BE ⊂平面BCE ， ∴FM ∥平面BCE ，AM ∥平面BCE .又FM ∩AM ＝M ，∴平面AFM ∥平面BCE .∵AF ⊂平面AFM ，∴AF ∥平面BCE .(2)证明：∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)在平面CDE 内，过F 作FH ⊥CE 于H ，连接BH ， ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE .∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，那么FH ＝CF sin45°＝22a ，BF ＝AB 2＋AF 2＝a 2＋3a 2＝2a ， 在Rt △FHB 中，sin ∠FBH ＝FH BF ＝24. ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24. 方式二：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，成立如下图的坐标系A －xyz ，那么A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0. (1)证明：AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )， ∵AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)证明：∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )， ∴AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0，∴AF →⊥CD →，AF →⊥ED →.∴AF →⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·BE →＝0，n ·BC →＝0可得x ＋3y ＋z ＝0,2x －z ＝0，取n ＝(1，－3，2)．又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，－a ，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，那么sinθ＝|BF→·n||BF→|·|n|＝2a2a·22＝24.∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为2 4 .。

8.42021届⾼三数学专题复习练习空间向量与⽴体⼏何（学⽣版）【课前测试】如图，已知正⽅形ABCD和矩形ACEF所在的平⾯互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．（2）求⼆⾯⾓A﹣DF﹣B的⼤⼩；（3）试在线段AC上⼀点P，使得PF与CD所成的⾓是60°．1空间向量与⽴体⼏何【知识梳理】⼀、平⾏、垂直的向量证法设直线l，m的⽅向向量分别为a，b，平⾯α，β的法向量分别为u，ν，则线线平⾏：l∥m?a∥b?a＝k b，k∈R；线⾯平⾏：l∥α?a⊥u?a·u＝0；⾯⾯平⾏：α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R.线线垂直：l⊥m?a⊥b?a·b＝0；线⾯垂直：l⊥α?a∥u?a＝k u，k∈R；⾯⾯垂直：α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0.⼆、空间⾓的求法1、异⾯直线所成的⾓设a，b分别是两异⾯直线l1，l2的⽅向向量，则设直线l的⽅向向量为a，平⾯α的法向量为n，直线l与平⾯α所成的⾓为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n| |a||n|.3、求⼆⾯⾓的⼤⼩23①如图①，AB ，CD 是⼆⾯⾓α-l -β的两个⾯内与棱l 垂直的直线，则⼆⾯⾓的⼤⼩θ＝〈AB →，CD →〉．②如图②③，n 1，n 2分别是⼆⾯⾓α-l -β的两个半平⾯α，β的法向量，则⼆⾯⾓的⼤⼩θ满⾜|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，⼆⾯⾓的平⾯⾓⼤⼩是向量n 1与n 2的夹⾓(或其补⾓)．4【课堂讲解】考点⼀空间向量法证明平⾏或垂直问题例1、如图，在多⾯体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正⽅形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1平⾏且等于12BC ，⼆⾯⾓A 1-AB -C 是直⼆⾯⾓．求证：(1)A 1B 1⊥平⾯AA 1C ； (2)AB 1∥平⾯A 1C 1C .变式训练：1、已知正⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平⾯ADE ； (2)平⾯ADE ∥平⾯B 1C 1F .52、如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平⾯BCE，CD⊥平⾯BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平⾯ADE⊥平⾯ABE.3、如右图，在四棱锥P-ABCD中，底⾯ABCD是正⽅形，侧棱PD⊥底⾯ABCD，PD=DC，E是Pc的中点，作EF上PB交PB于F，证明：（1）直线PA∥平⾯EDB；（2）直线PB⊥平⾯EFD．67考点⼆利⽤空间向量求异⾯直线所成⾓例2、如图，在正⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点． (1)求直线AD 和直线B 1C 所成⾓的⼤⼩； (2)求证：平⾯EB 1D ⊥平⾯B 1CD .变式训练：1．长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异⾯直线BC 1与AE 所成⾓的余弦值为( ) A.1010B.3010C.21510D.310102.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平⾯ABCD ，底⾯ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°. (1)求证：BD ⊥平⾯P AC ；(2)若P A ＝AB ，求PB 与AC 所成⾓的余弦值．8考点三利⽤空间向量求直线与平⾯所成⾓例3、如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平⾯ACD 1所成⾓的正弦值．变式训练：1、如图所⽰，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底⾯ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 的中点，求证：AM ⊥平⾯AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平⾯A 1BD 所成⾓的正弦值．2、在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧⾯ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝22，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平⾯ABB1A1.(1)证明：BC⊥AB1；(2)若OC＝OA，求直线CD与平⾯ABC所成⾓的正弦值．考点四利⽤空间向量求⼆⾯⾓例4、已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝ 6.点F，E分别是边A1C1和侧棱BB1的中点．(1)证明：FB⊥平⾯AEC；9(2)求⼆⾯⾓F－AE－C的余弦值.1011变式训练：1、如图，在四棱锥S －ABCD 中，底⾯ABCD 是直⾓梯形，侧棱SA ⊥底⾯ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，M 是棱SB 的中点． (1)求证：AM ∥平⾯SCD ；(2)求平⾯SCD 与平⾯SAB 所成的⼆⾯⾓的平⾯⾓的余弦值；2、在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平⾯ABCD ，E 是PD 的中点，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，AC ＝AP ＝2. (1)求证：PC ⊥AE ；(2)求⼆⾯⾓A －CE －P 的余弦值.3、如图，四边形ABCD 为正⽅形，PD⊥平⾯ABCD ，PD∥QA ，QA = AB =1PD．2（I）证明：平⾯PQC ⊥平⾯DCQ ；考点五解决探索性问题例5、如图，四棱锥P-ABCD的底⾯为直⾓梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝2，BC⊥DC，∠BAD ＝60°，平⾯P AD⊥底⾯ABCD，E为AD的中点，△P AD为正三⾓形，M是棱PC上的⼀点(异于端点)．(1)若M为PC的中点，求证：P A∥平⾯BME.(2)是否存在点M，使⼆⾯⾓M-BE-D的⼤⼩为30°？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．12变式训练：1、直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．(1)证明：DF⊥AE；(2)是否存在⼀点D，使得平⾯DEF与平⾯ABC所成锐⼆⾯⾓的平⾯⾓的余弦值为1414？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．2、如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平⾯ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝22，BC＝42，P A＝2.(1)求证：AB⊥PC；(2)在线段PD上，是否存在⼀点M，使得⼆⾯⾓M-AC-D的⼤⼩为45°，如果存在，求BM与平⾯MAC所成⾓的正弦值，如果不存在，请说明理由．1314考点六空间中的距离问题例6、如图，平⾯P AD ⊥平⾯ABCD ，四边形ABCD 为正⽅形，△P AD 是直⾓三⾓形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点． (1)求证：平⾯EFG ⊥平⾯P AB ； (2)求点A 到平⾯EFG 的距离．变式训练：如图，在四棱锥O ABCD -中，底⾯ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=OA ABCD ⊥底⾯ 2OA = M 为OA 的中点，N 为BC 的中点(1)证明：直线MN OCD平⾯‖；(2)求异⾯直线AB 与MD 所成⾓的⼤⼩； (3)求点B 到平⾯OCD 的距离。

2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练07利用空间向量求空间角一、考点传真：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 二、知识点梳理：空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝□18|a ·b ||a ||b |( 其中φ为异面直线a ，b 所成的角，范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2 ).(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |，φ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(3)求二面角的大小如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝□20〈AB →，CD →〉．如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．取值范围是[0，π]． 三、例题：例1．（2020年全国3卷理数，19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =.（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值.【解析】设1,,AB a AD b AA c ===，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -.（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11(0,,)3C F b c =，得1EA C F =，因此1//EA C F ，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内. （2）由已知得1(2,1,3),(2,0,2),(0,1,1),(2,1,0),(0,1,1)A E F A AE =--，11(2,0,2),(0,1,2),(2,0,1)AF A E A F =--=-=-.设1,,()x y z =n 为平面AEF 的法向量，则 110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n . 设2n 为平面1A EF 的法向量，则 21210,0,A E A F ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n .因为121212cos ,||||⋅==⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --. 例2.（2020年江苏卷，22）在三棱锥A BCD -中，已知2,CB CD BD O ===为BD 的中点，AO ⊥平面,2BCD AO =，E 为AC 的中点.（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值. 【解析】（1）连结OC ，因为,CB CD O =为BD 中点，所以CO BD ⊥. 又AO ⊥平面BCD ，所以,AO OB AO OC ⊥⊥.以{},,OB OC OA 为基底，建立空间直角坐标系O xyz -.因为2,2BD CB CD AO ====， 所以(1,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D C A -. 因为E 为AC 的中点，所以(0,1,1)E . 则(1,0,2),(1,1,1)AB DE =-=，所以||cos ,||||5AB DE AB DE AB DE ⋅===⋅因此，直线AB 与DE . （2）因为点F 在BC 上，1,(1,2,0)4BF BC BC ==-. 所以111,,0442BF BC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 又(2,0,0)DB =，故71,,042DF DB BF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.设()1111,,x y z =n 为平面DEF 的一个法向量， 则1100DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即11111071042x y z x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取12x =，得117,5y z =-=，所以1(2,7,5)=-n .设()2222,,x y z =n 为平面DEC 的一个法向量，又(1,2,0)DC =， 则220DE DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22222020x y y x y ++=⎧⎨+=⎩，取22x =，得221,1y z =-=-，所以2(2,1,1)=--n，故1212|cos |θ⋅===⋅n n n n .所以sin θ例3. （2019全国Ⅰ卷）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =A 1D ． 由题设知A 1B 1DC ，可得B 1C A 1D ，故ME ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN 平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，1212===⊄DA则，A 1(2,0,4)，，，，，，．设为平面A 1MA 的法向量，则，所以可取．设为平面A 1MN 的法向量，则所以可取．于是， 所以二面角． 例 4. （2019北京卷）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD 的中点，点F 在PC 上，且．NMDC BAD 1C 1B 1A 1z (2,0,0)A 3,2)M (1,0,2)N 1(0,0,4)A A =-1(13,2)A M =--1(1,0,2)A N =--1(1,0,2)A N =--(,,)x y z =m 110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 32040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．3,1,0)=m (,,)p q r =n 100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n 3020q p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．(2,0,1)=-n 2315cos ,||525⋅〈〉===⨯‖m n m n m n 1A MA N --10P ABCD -PA ABCD ⊥平面AD CD ⊥ADBC 23PA AD CD BC ====，13PF PC =（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值; （Ⅲ）设点G 在PB 上，且.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由. 【解析】（I ）因为平面，所以. 又因为，所以.平面，（II ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为平面，所以，如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）.所以，, . 所以， 设平面AEF 的法向量为，则，即. 令z =1,则y =-1,x =-1.于是.又因为平面PAD 的法向量为，所以. CD PAD ⊥平面F AE P --23PG PB =PA ⊥ABCD PA CD ⊥AB CD ⊥CD ⊥PAD PA ⊥ABCD ,PA AM ⊥PA AD ⊥()0,1,1AE =()2,2,2PC =-()0,0,2AP =1222,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭224,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(),,x y z =n 00AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 02240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩()1,1,1=--n ()1,0,0=p cos ⋅==⋅n p <n,p >n p因为二面角F-AE-P 为锐角，所以其余弦值为（III ）直线AG 在平面AEF 内，因为点G 在PB 上，且所以，. 由（II ）知，平面AEF 的法向量为， 所以，所以直线AG 在平面AEF 内. 例 5. （2019浙江卷）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC ，A 1B 1的中点. 【解析】（1）证明：；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.（Ⅰ）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E 平面A 1ACC 1，3yB2,3PG PB =()2,1,2,PB =--2424,,3333PG PB ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭422,,333AG AP PG ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭()1,1,1=--n 4220333AG ⋅++=n =-111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=︒1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==EF BC⊥⊂平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz .不妨设AC =4，则A 1（0，0，），B，1，0），，，C (0，2，0). 因此，，． 由得．（Ⅱ）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为，由（Ⅰ）可得，， 设平面A 1BC 的法向量为，由，得， 取，故.因此直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为.例6．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥． (1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．1B3(,22F 33(,2EF =(BC =-0EF BC ⋅=EF BC ⊥θ(BC =-1(0,2,AC =-(,,)x y z =n 100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩=n 4sin cos ,5EF EF EF θ⋅=〈〉==⋅n n n 35【解析】(1)由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF ．又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ． (2)作PH ⊥EF ，垂足为H ．由(1)得，PH ⊥平面ABFD ．以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系-H xyz ．由(1)可得，DE ⊥PE ．又DP =2，DE =1，所以PE又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF ．可得2=PH ,32=EH ． 则(0,0,0)H，P ，3(1,,0)2--D，3(1,2=DP ， (0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量． 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin ||||||3HP DP HP DP θ⋅===⋅．PFE D CBA所以DP 与平面ABFD例7. （2018江苏卷）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点P ，Q 分别为11A B ，BC的中点．(1)求异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值； (2)求直线1CC 与平面1AQC 所成角的正弦值．【解析】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，设AC ，11A C 的中点分别为O ，1O ，则OB OC ⊥，1OO OC ⊥，1OO OB ⊥，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O xyz -．因为12AB AA ==，所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --．(1)因为P 为11A B的中点，所以1,2)2P -， ABC QPA 1C 1B1A从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--， 故111|||14|310|cos ,|20||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-+===⋅⨯． 因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020． (2)因为Q 为BC 的中点，所以31(,,0)22Q ， 因此33(,,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==． 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量， 则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,22220.x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩不妨取(3,1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， 则111||25sin |cos |,|||552CC CC CC |θ==⋅⨯⋅==n n n ， 所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55． 四、巩固练习：1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90°【答案】C【解析】cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝11·2＝22，即m ，n ＝45°. ∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.2．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A ．3030 B.3015 C ．3010D.1515【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0,0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→＝(1,0，－2)， ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪B 1M ―→·D 1N ―→|B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋41＋1＋4×1＋4＝3010.故选C.3．如图，已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为( )A.33535 B.277 C.33D.24【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)， ∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E ―→＝0，n ·D 1C ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)．∵cos DC 1―→，n＝DC 1―→·n | DC 1―→|·|n|＝33535，∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535.4．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B ­AA 1­C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为( )A.7 B ． 6 C. 5 D ．2【答案】A【解析】由题意可知，∠BAC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，所以在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，BC ＝23，∠ABC ＝90°，则AB 1―→·BC 1―→＝(BB 1―→－BA ―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝4，|AB 1―→|＝22，|BC 1―→|＝4，cos AB 1―→，BC 1―→＝AB 1―→·BC 1―→|AB 1―→|·|BC 1―→|＝24，故tan AB 1―→，BC 1―→＝7.5．如图，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( ) A.35 B.56 C.3310D.3610【答案】A【解析】设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B 1()0，3，2，F (1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，G (0,0,2)， B 1F ―→＝()1，－3，－1，EF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1，GF ―→＝(1,0，－1)．设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧EF ―→·n ＝0，GF ―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，故n ＝()1，3，1为平面GEF 的一个法向量， 所以cos 〈n ，B 1F ―→〉＝1－3－15×5＝－35，所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35.故选A.6．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33D.22【答案】B【解析】以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D ―→＝(0,1，－1)，A 1E ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D ―→＝0，n 1·A 1E ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．又平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.7．如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA ＝BC ＝2，AB ＝4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为__________．【答案】3010【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC . 过点A 作AE ∥CB ，又CB ⊥AB ， 则AP ，AB ，AE 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AE ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A ­xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (4,0,0)，C (4，－2,0)． 因为D 为PB 的中点，所以D (2,0,1)． 故CP ―→＝(－4,2,2)，AD ―→＝(2,0,1)．所以cos AD ―→，CP ―→＝AD ―→·CP ―→|AD ―→|·|CP ―→|＝－65×26＝－3010.设异面直线PC ，AD 所成的角为θ， 则cos θ＝|cosAD ―→，CP ―→|＝3010.8．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线FO 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________.【答案】2【解析】如图，以O 为原点，以OA ，OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．设AE ＝a ，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，F (－1,0,3)，E (1,0，a )，∴OF ―→＝(－1,0,3)，DB ―→＝(0,23，0)，EB ―→＝(－1，3，－a )．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧23y ＝0，－x ＋3y －az ＝0，则y ＝0，令z ＝1，得x ＝－a ， ∴n ＝(－a,0,1)，∴cos 〈n ，OF ―→〉＝n ·OF ―→|n||OF ―→|＝a ＋3a 2＋1×10.∵直线FO 与平面BED 所成角的大小为45°， ∴|a ＋3|a 2＋1×10＝22， 解得a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴AE ＝2.9．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A ­PB ­C 的余弦值． 【解析】(1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)在平面PAD 内作PF ⊥AD ，垂足为F .由(1)可知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PF ，可得PF ⊥平面ABCD . 以F 为坐标原点，FA ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系F ­xyz . 由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，0. 所以PC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，－22，CB ―→＝(2，0,0)，PA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，－22，AB ―→＝(0,1,0)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC ―→＝0，n ·CB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22x 1＋y 1－22z 1＝0，2x 1＝0.所以可取n ＝(0，－1，－2)． 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PA ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x 2－22z 2＝0，y 2＝0.所以可取m ＝(1,0,1)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n||m|＝－23×2＝－33.由图知二面角A ­PB ­C 为钝角， 所以二面角A ­PB ­C 的余弦值为－33. 10．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱AE 的中点．(1)求证：平面BDM ∥平面EFC ；(2)若DE ＝2AB ，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值． 【解析】(1)证明：连接AC 交BD 于点N ，连接MN ， 则N 为AC 的中点，又M 为AE 的中点，∴MN ∥EC . ∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴MN ∥平面EFC .∵BF ，DE 都与平面ABCD 垂直，∴BF ∥DE . ∵BF ＝DE ，∴四边形BDEF 为平行四边形，∴BD ∥EF . ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴BD ∥平面EFC .又MN ∩BD ＝N ，∴平面BDM ∥平面EFC .(2)∵DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，∴DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D ­xyz .设AB ＝2，则DE ＝4，从而D (0,0,0)，B (2,2,0)，M (1,0,2)，A (2,0,0)，E (0,0,4)，∴DB ―→＝(2,2,0)，DM ―→＝(1,0,2)，设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·DM ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0.令x ＝2，则y ＝－2，z ＝－1，从而n ＝(2，－2，－1)为平面BDM 的一个法向量．∵AE ―→＝(－2,0,4)，设直线AE 与平面BDM 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos n ，AE―→|＝|n ·AE ―→||n |·|AE ―→|＝4515，∴直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为4515.11．在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，ED⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD .(1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值． 【解析】(1)证明：在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由余弦定理，得BD ＝3AD ， 从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD ，因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BD . 又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADE .因为BD ⊂平面BDEF ，所以平面BDEF ⊥平面ADE .(2)由(1)可得，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD ，又由ED ＝BD ，设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3. 因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊥AD ，所以以点D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D ­xyz ，如图所示．则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0,0，3)，F (0，3，3)， 所以AE ―→＝(－1,0，3)，AC ―→＝(－2，3，0)． 设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ―→＝0，n ·AC ―→＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，2,1)为平面AEC 的一个法向量． 因为AF ―→＝(－1，3，3)，所以cos 〈n ，AF ―→〉＝n ·AF ―→|n |·|AF ―→|＝4214，所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214. 12．如图，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，△ABC 是等边三角形，AC ＝2AE ，M 是AB的中点．(1)求证：CM ⊥EM;(2)若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2，求二面角B ­CD ­E 的余弦值．【解析】(1)证明：因为△ABC 是等边三角形，M 是AB 的中点， 所以CM ⊥AM .因为EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以CM ⊥EA . 因为AM ∩EA ＝A ，所以CM ⊥平面EAM . 因为EM ⊂平面EAM ，所以CM ⊥EM .(2)以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M ­xyz ，如图所示． 因为DB ⊥平面ABC ，所以∠DMB 为直线DM 与平面ABC 所成的角， 所以tan ∠DMB ＝BD MB＝2，即BD ＝2MB ，所以BD ＝AC . 不妨设AC ＝2，又AC ＝2AE ，则CM ＝3，AE ＝1. 故B (0,1,0)，C (3，0,0)，D (0,1,2)，E (0，－1,1)．所以BC ―→＝(3，－1,0)，BD ―→＝(0,0,2)，CE ―→＝(－3，－1,1)，CD ―→＝(－3，1,2)． 设平面BCD 与平面CDE 的一个法向量分别为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BC ―→＝0，m ·BD ―→＝0，得⎩⎨⎧3x 1－y 1＝0，2z 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝3，所以m ＝(1，3，0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CE ―→＝0，n ·CD ―→＝0，得⎩⎨⎧－3x 2－y 2＋z 2＝0，－3x 2＋y 2＋2z 2＝0.令x 2＝1，得y 2＝－33，z 2＝233.所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，233. 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m||n|＝0.所以二面角B ­CD ­E 的余弦值为0.13. 如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PA ⊥PB ，PC ＝2. (1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)若PA ＝PB ，求二面角A ­PC ­D 的余弦值． 【解析】(1)证明：取AB 的中点为O ，连接CO ，PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴AB ＝BC ＝2. ∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴CO ⊥AB ，OC ＝ 3. ∵PA ⊥PB ，∴PO ＝12AB ＝1.∵PC ＝2，∴OP 2＋OC 2＝PC 2，∴CO ⊥PO . ∵AB ∩PO ＝O ，∴CO ⊥平面PAB .∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD . (2)∵OP 2＋OA 2＝12＋12＝(2)2＝PA 2，∴PO ⊥AO . 由(1)知，平面PAB ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∴直线OC ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz ，则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (0，1,0)，C (3，0,0)，D (3，－2,0)，P (0,0,1)，∴AP ―→＝(0,1,1)，PC ―→＝(3，0，－1)，DC ―→＝(0,2,0)． 设平面APC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AP ―→＝0，m ·PC ―→＝0，得⎩⎨⎧ y 1＋z 1＝0，3x 1－z 1＝0，取x 1＝1，得m ＝(1，－3，3)， 设平面PCD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC ―→＝0，n ·DC ―→＝0，得⎩⎨⎧3x 2－z 2＝0，2y 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1,0，3)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n|＝277， 由图易知二面角A ­PC ­D 为锐二面角，∴二面角A ­PC ­D 的余弦值为277. 14.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝AP ＝2BC ＝2，M 是棱PD 上的一点，PMPD＝λ(0＜λ＜1)．(1)若λ＝13，求证：PB ∥平面MAC ； (2)若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，二面角D ­AC ­M 的余弦值为42121，求λ的值． 【解析】(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接MO .∵AD ∥BC ，∴△BCO ∽△DAO ，∵AD ＝2BC ，∴DO ＝2BO .∵λ＝13，∴DM ＝2MP ，∴PB ∥MO ， ∵PB ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PB ∥平面MAC .(2)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，AD ⊂平面ABCD ，且AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PA ，同理可得AB ⊥PA ，可知AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ，则A (0,0,0)，C (2，1,0)，M (0,2λ，2－2λ)，∴AC ―→＝(2,1,0)，AM ―→＝(0,2λ，2－2λ)．易知平面ACD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)．设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC ―→＝0，n ·AM ―→＝0，得{2x +y =0,2λy +(2−2λ)z =0,令x ＝1，则y ＝－2，z ＝2λ1－λ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2，2λ1－λ为平面MAC 的一个法向量． 由题意可知|m ·n ||m ||n |＝42121，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λ1－λ5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ1－λ2＝42121，解得λ＝23.。

考点26 空间向量求空间角【题组一 线线角】1．如图，在等腰三角形与中，，平面平面，，分ABC ABD 90DAB ABC ∠=∠=︒ABD ⊥ABC E F 别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）BD AC AE BFA ．B ．C ．D ．2π3π4π6π2．直三棱柱ABC—A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，E 为BB ′的中点，异面直线CE 与所C A '成角的余弦值是（ ）A B ． C ．D 3．已知直三棱柱，，，和的中点分别为、111ABC A B C -90ABC ∠=︒12AB BC AA ===1BB 11B C E F ，则与夹角的余弦值为（ ）AE CFA B ．C ．D 25454．如图所示，四棱锥中，，，，P ABCD -PB PD AD AB ===60BAD ∠=︒1CD CB ==，点分别为的中点．120BCD ∠=︒M N 、PA AB 、（1）证明：平面∥平面；DMN PBC（2）若与所成角的余弦值． PA =PA BC【题组二 线面角】1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB =AC BC =4．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE 平面BCED ，如下图．⊥（Ⅰ）求证：A 1O BD ；⊥（Ⅱ）求直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值；2．如图1，在中， ， 分别为， 的中点，为的中点，ABC D E AB AC O DE AB AC ==.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.4BC =ABC DE 1A DE △1A DE ⊥BCED（1）求证：； 1AO BD ⊥（2）求直线和平面所成角的正弦值. 1A C 1A BD3．在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段ABCD 3AB =2AD =E CD D F AD上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面()01DF DA λλ=≤≤ BCE ∆BE BEG ∆BEG ⊥.ABED（1）当时，求证：； 12λ=EF BG ⊥（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请λFG DEG 13λ说明理由.4．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点．（1）证明：AE //平面BDC 1；（2）若异面直线BC 1与AC ．求DE 与平面BDC 1所成角的正弦值．5．如图，四棱锥中，平面，，，P ABCD -AP ⊥PCD AD BC ∥2DAB π∠=12AP AB BC AD ===，为的中点，与相交于点.E AD AC BE O（Ⅰ）求证：平面；PO ⊥ABCD （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. AB PBD【题组三 二面角】1．如图，平行四边形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，且ABCD ABEF ，为中点． 11,//2AB BE AF BE AF ===,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==DF（1）求异面直线与所成的角；DA PE （2）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值． DEF ABCD2．如图，梯形中，，，，、分别是，的中ABCS //AS BC AB BC ⊥122AB BC AS ===D E SA SC点，现将沿翻折到位置，使SCD ∆CD PCD ∆PB =（1）证明：面；PD ⊥ABCD （2）求二面角的平面角的正切值；E BD C --（3）求与平面所成的角的正弦值. AB BDE3．如图四棱柱中，，，，M 为的中点.1111ABCD A B C D -//AD BC AB AD ⊥2AD AB BC ==1A D（1）证明：平面；//CM 11AA B B （2）若四边形是菱形，且面面，，求二面角的余弦11AA B B 11AA B B ⊥ABCD 13B BA π∠=1A CM A --值.4．已知平行四边形中，，平面平面，三角形为等ABCD 60A ∠=︒22AB AD ==AED ⊥ABCD AED 边三角形，．EF AB ∥（Ⅰ）求证：平面平面； ⊥BDF AED （Ⅱ）若平面BC ⊥BDF ①求异面直线与所成角的余弦值； BF ED ②求二面角的正弦值． B DF C --5．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，，.2ABC BAD π∠=∠=2PA AD ==1AB BC ==（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；PAB PCD （2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长. Q BP CQ DP BQ6．如图，在三棱锥S 一ABC 中，SA ＝AB ＝AC ＝BC SB ，O 为BC 的中点 （1）求证：SO ⊥平面ABC（2）在线段AB 上是否存在一点E ，使二面角B—SC －E ？若存在，求的B E BA 值，若不存在，试说明理由7．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，∥，ABCD ADPQ PD QA 2PDA π∠=，平面平面，且.ADPQ ⊥ABCD 22AD PD QA ===（Ⅰ）求证：∥平面； QB PDC （Ⅱ）求二面角的大小；C PB Q --（Ⅲ）已知点在棱上，且异面直线与，求线段的长． H PD AH PB DH8．已知在四棱锥中，平面，，是边长为2的等边三角形，C ABDE -DB ⊥ABC //AE DB ABC ，为的中点．1AE =M AB（1）求证：；CM EM ⊥（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小．DM ABC B CD E --如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

立体几何---用空间向量求空间角专题训练（解析版）【题组一 线线角】1．如图，在等腰三角形ABC 与ABD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，平面ABD ⊥平面ABC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成的角为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【答案】B【解析】由于在等腰三角形ABC 与ABD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，平面ABD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质定理可知AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，所以AD BC ⊥.依题意设DA AB BC x ===，由于,E F是等腰直角三角形斜边的中点，所以2AE BF x ==.设异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则cos cos ,AE BF θ=AE BF AE BF ⋅=⋅()()12AB AD AF AB AE BF +⋅-=⋅()()1122AB AD AB BC AB AE BF ⎡⎤+⋅+-⎢⎥⎣⎦=⋅()111222AB AD BC AB AE BF ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=⋅()214AB BC AD BC AB AB AD AE BF ⋅+⋅--⋅=⋅22111422AB x AE BF -⋅===⋅，由于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π3θ=.故选：B 2．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，E 为BB ′的中点，异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是（ ）A B ．C ．D 【答案】D【解析】直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA =='=，则(0C ，0，0)，(0E ，2，1)，(0C '，0，2)，(2A ，0，0)，(0CE =，2，1)，(2C A '=，0，2)-，设异面直线CE 与C A '所成角为θ， 则||210cos 10||||58CE C A CE C A θ'==='∴异面直线CE 与C A '所成角的余弦值为10． 故选：D ．3．已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ）A B ．25 C ．45 D 【答案】B【解析】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.故()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,0,2F ，故()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-. 2cos ,5AE CFAE CF AE CF ⋅==⋅，即AE 与CF 夹角的余弦值为25. 故选：B .4．如图所示，四棱锥P ABCD -中，PB PD AD AB ===，60BAD ∠=︒，1CD CB ==，120BCD ∠=︒，点M N 、分别为PA AB 、的中点．（1）证明：平面DMN ∥平面PBC ；（2）若2PA =PA 与BC 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）4 【解析】（1）如图，因为M N 、分别为PA AB 、的中点，所以//MN PB ，MN ⊄平面PBC ，∴//MN 平面PBC ；又AB AD =，60BAD ∠=︒，所以ABD △为正三角形，又CD BC =，120BCD ∠=︒，所以30CBD ∠=︒，BC AB ⊥，又DN AB ⊥，所以BC DN ，∴DN 平面PBC因为MN DN N ⋂=，所以平面DMN 平面PBC ． （2）如图，取BD 中点O ，连结,,AO CO PO ，因为AD AB =，60DAB ∠=︒，所以ABD △为正三角形，所以AO BD ⊥，又因为BCD 为等腰三角形，所以CO BD ⊥，所以A O C 、、三点共线，所以AC BD ⊥，因为PB PD =，所以PO BD ⊥，1CD BC ==，120BCD ∠=︒，所以BD =，所以PB PD AD AB ====，32AO PO ==，又2PA =，所以222AO PO PA +=， 所以AO PO ⊥，又AOPO O =，所以PO ⊥平面ABCD ． 以O 为坐标原点，,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 33,0,22PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,2BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设异面直线PA 与BC 所成角为α，所以cos ,||||3PA BC PA BC PA BC⋅〈〉===⋅ 所以异面直线PA 与BC【题组二 线面角】1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB =AC BC =4．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，如下图．（Ⅰ）求证：A 1O ⊥BD ；（Ⅱ）求直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值；【解析】（Ⅰ）因为AB AC =，,D E 分别为,AB AC 中点，故可得AD AE =，故1A DE 为等腰三角形，又O 为DE 中点，故可得1AO DE ⊥，又因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，且交线为DE ， 又1AO ⊂平面1A DE ，故1AO ⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCDED ， 故1AO BD ⊥.即证. （Ⅱ）过O 作OH BC ⊥，由（Ⅰ）可知1AO ⊥平面BCED ， 又,OH OE ⊂平面BCED ，故可得11,AO OH AO OE ⊥⊥， 又因为,OH BC BC ⊥//DE ，故可得OH OE ⊥.综上所述：1,,OH OE OA 两两垂直，故以O 为坐标原点，1,,OH OE OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：故可得()()()()10,0,2,2,2,0,0,1,0,2,2,0A C D B --， 则()()10,1,2,2,1,0A D BD =--=-设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，故可得100n A D n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y --=⎧⎨-+=⎩， 取1x =，可得2,1y z ==-.故()1,2,1n =-.又()12,2,2AC =-， 故可得11122,?3n AC cos n AC n AC ⋅==. 设直线A 1C 和平面A 1BD 所成角为θ，故可得12,3sin cos n AC θ==.则直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值为3.2．如图1，在ABC 中， D ， E 分别为AB ， AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =.将ABC 沿DE 折起到1A DE △的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2.（1）求证：1AO BD ⊥； （2）求直线1AC 和平面1ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）连接1AO .图1中，AB AC =，D ， E 分别为AB ， AC 的中点，AD AE ∴=， 即11A D A E =，又O 为DE 的中点，1AO DE ∴⊥. 又平面1A DE ⊥平面BCED ，且平面1A DE 平面BCED DE =，1AO ⊂平面1ADE ， 1AO ∴⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ， 1AO BD ∴⊥. （2）取BC 中点G ，连接OG ，则OG DE ⊥.由（1）可知1AO ⊥平面BCED ，OG ⊂平面BCED 11,AO DE AO OG ∴⊥⊥. 以O 为原点，分别以1,,OG OE OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示AB AC ==4BC =，112,1,2A D DE OD A O ∴==∴=∴==.()()()()10,0,2,2,2,0,2,2,0,0,1,0A B C D ∴--， ()()()11112,2,2,0,1,2,2,2,223A B A D AC AC ∴=--=--=-=，. 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则11·0·0n A B n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222020x y z y z --=⎧⎨--=⎩，令1z =，则2,1y x =-=-，()1,2,16n n ∴=--=，. 设直线1AC和平面1A BD 所成的角为θ，则 111sin cos ,323AC n ACn AC n θ-=〈〉===， 所以直线1AC 和平面1A BD 所成角的正弦值为3. 3．在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点，点F 是线段AD 上的一个动点，且()01DF DA λλ=≤≤.如图，将BCE ∆沿BE 折起至BEG ∆，使得平面BEG ⊥平面ABED .（1）当12λ=时，求证：EF BG ⊥； （2）是否存在λ，使得FG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 12λ= 【解析】（1）当12λ=时，点F 是AD 的中点. ∴112DF AD ==，113DE CD ==. ∵90ADC ∠=︒，∴45DEF ∠=︒. ∵223CE CD ==，2BC =，90BCD ∠=︒， ∴45BEC ∠=︒.∴BE EF ⊥.又平面GBE ⊥平面ABED ，平面GBE ⋂平面ABED BE =，EF ⊂平面ABED ，∴EF ⊥平面BEG .∵BG ⊂平面BEG ，∴EF BG ⊥.（2）以C 为原点，,CD CB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系Cxyz .则()2,0,0E ，()3,0,0D ，()3,2,0F λ.取BE 的中点O ，∵2GE BG ==，∴GO BE ⊥，∴ 易证得OG ⊥平面BCE ，∵BE =OG(G .∴(2,12FG λ=--，(EG =-，(DG =-.设平面DEG 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,n DG x y n EG x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩令z =(0,n =-. 设FG 与平面DEG 所成的角为θ， 则sin cos ,FG n θ=13==， 解得12λ=或710λ=-（舍去）∴存在实数λ，使得DG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13，此时12λ=. 4．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点．（1）证明：AE //平面BDC 1；（2）若异面直线BC 1与AC DE 与平面BDC 1所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2 【解析】（1）证明：取BC 1的中点F ，连接DF ，EF ，∵E 为BC 中点，∴EF ∥1CC ，112EF CC = 又∵D 为AA 1的中点，DA ∥1CC ，112DA CC =， ∴EF ∥DA ，EF DA =∴四边形ADFE 为平行四边形，∴AE ∥DF ，∵AE ⊄平面BDC 1，DF ⊂平面BDC 1，∴AE ∥平面BDC 1；（2）由（1）及题设可知，BC ，EA ，EF 两两互相垂直，则以点E 为坐标原点，EC ，EA ，EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝2t （t ＞0），则1(3,0,0),(3,0,2),(3,0,0),)B C t A C D t -，所以1(3,33,),(6,0,2),(3,BD t BC t AC ===-，故111|cos ,|4||||6BC AC BC AC BC AC ⋅<>===⋅解得t =，设平面BDC 1的法向量为(,,)m x y z =由100m BD m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3060x x⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则(1,0,m =，又D ED ∴=， 所以cos ,||||(3ED m ED m ED m ⋅<>===， 设DE 与平面BDC 1所成角为θ，则sin θ=30|cos ,|20ED m <>=， ∴DE 与平面BDC 15．如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，AD BC ∥，2DAB π∠=，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值.. 【解析】Ⅰ）由已知AP ⊥平面PCD ，可得AP PC ⊥，AP CD ⊥，由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示，BC DE ，所以BCDE 为平行四边形，所以BE CD ∥，所以AP BE ⊥.又因为BEAC ⊥，且AC AP A =， 所以BE ⊥面APC ，故BE PO ⊥.在直角梯形中，AC ==，因为AP ⊥面PCD ，所以AP PC ⊥，所以PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO AC ⊥.且ACBE O =，所以PO ⊥平面ABCD（Ⅱ）法一：以O 为原点，分别以,,OB OC OP 为x 轴，y 轴，z 轴的建立直角坐标系.不妨设1BO = 0(0)1A -，，，()100B ，，，()001P ，，，0()21D -，，，设(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量.满足00n PB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 所以030x z x y -+=⎧⎨-+=⎩， 则令1x = ，解得(1,3,1)n =sin cos ,AB n θ=22211AB nAB n ⋅==⋅ 法二：（等体积法求A 到平面PBD 的距离）A PBD P ABD V V--=设AB=1，计算可得1PF =，PD= ，BD ，4PBD S =△ 1133PBD ABD S hS PO ⨯⨯=⨯⨯△△，解得h = sin h AB θ==【题组三 二面角】1．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为DF 中点．（1）求异面直线DA 与PE 所成的角；（2）求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．【答案】（1）6π（2【解析】在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{},,AB AF AC ，则1(0,0,0),(1,0,0),((1,1,0),(0,2,0),(22A B C D E F P--（1）3(1,0,3),(,0,2DA PE=-=设异面直线DA与PE所成的角为α，则3cos2DA PEDA PEα⋅===⨯⨯所以异面直线DA与PE所成的角为6π；（2）(0,2,0)AF=是平面ABCD的一个法向量，设平面DEF的一个法向量(,,)n x y z=，(2,1,3),(1,2,DE DF=-=则(,,)(2,1,20{(,,)(1,2,20n DE x y z x yn DF x y z x y⋅=⋅=+-=⋅=⋅=+-=，得z==，取1x=，则1,y z==故(1,1,3)n=是平面DEF的一个法向量，设平面DEF与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，则2cos525AF nAF nβ⋅===⨯⨯．2．如图，梯形ABCS中，//AS BC，AB BC⊥，122AB BC AS===，D、E分别是SA，SC的中点，现将SCD∆沿CD翻折到PCD∆位置，使PB=（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（23）3【解析】（1）梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，2DA =，四边形ABCD 为平行四边形，AB BC ⊥，2AB DA ==，BD =所以四边形ABCD 为正方形，CD DS ⊥，折叠后，CD DP ⊥，2PD =，PB =PBD 中，2224812PD BD PB +=+==，所以BD DP ⊥，,CD DB 是平面ABCD 内两条相交直线，所以PD ⊥面ABCD ；（2）,,DA DC DP 两两互相垂直，以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C P E (2,2,0),(0,1,1)DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z = 则2200DB n x y DE n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，解得y z x z =-⎧⎨=⎩，令1z =，取(1,1,1)n =- 由（1）可知，PD ⊥面ABCD ，取平面ABCD 的法向量(0,0,2)DP =cos ,3DP n ==，根据图形，二面角E BD C --所以二面角E BD C --（3）(0,2,0)AB =，由（2）可得平面BDE 的法向量(1,1,1)n =- 设直线AB 与平面BDE 所成的角为θ，sin cos ,AB n θ-===.所以AB 与平面BDE3．如图四棱柱1111ABCD A BC D -中，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD AB BC ==，M 为1A D 的中点.（1）证明：//CM 平面11AA B B ；（2）若四边形11AA B B 是菱形，且面11AA B B ⊥面ABCD ，13B BA π∠=，求二面角1A CM A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）25. 【解析】（1）取1AA 的中点N ，连接MN ，BN ，∵M 为1A D 的中点，∴//MN AD 且12MN AD = 又//BC AD ，12BC AD = ，所以//BC MN 且MN BC =， 所以四边形MNBC 是平行四边形，从而//CM BN ，又BN ⊂平面11AA B B ，CM ⊄平面11AA B B ，所以//CM 平面11AA B B .（2）取11A B 的中点P ，连接AP ，1AB ，∵四边形11AA B B 为菱形，又13B BA π∠=，易知AP AB ⊥.又面11AA B B ⊥面ABCD ，面11AA B B 面ABCD AB =，AD AB ⊥∴AD ⊥平面11AA B B ，AD AP ⊥故AB ，AD ，AP 两两垂直以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示），不妨设4AB =.则()0,0,0A ，()0,4,0D ，()4,2,0C，，(1A -，(1,M -，(11,2,A M =，(CM =-，()4,2,0AC =设平面1ACM 的法向量为(),,m x y z =， 由100m A M m CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2050x y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可得平面1ACM的一个法向量1,m ⎛= ⎝⎭， 设平面ACM 的法向量为()111,,n x y z =，由00n AC n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111142050x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 可得平面ACM的一个法向量1,n ⎛=- ⎝⎭. ∴25142cos ,51m nm n m n -+⋅===⋅+ 所以二面角1A CM A --的余弦值为25. 4．已知平行四边形ABCD 中60A ∠=︒，22AB AD ==，平面AED ⊥平面ABCD ，三角形AED 为等边三角形，EF AB ∥．（Ⅰ）求证：平面⊥BDF平面AED ；（Ⅱ）若BC ⊥平面BDF①求异面直线BF 与ED所成角的余弦值；②求二面角B DF C --的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①45.【解析】（Ⅰ）平行四边形ABCD 中∵60A ∠=︒，22AB AD ==，由余弦定理可得BD ，由勾股定理可得BD AD ⊥，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系O xyz -∴()0,0,0D ，()1,0,0A ，()B ，12E ⎛ ⎝⎭，()C -∴()=DB ，()1,0,0DA =，1,0,22DE ⎛= ⎝⎭∴0DB DA ⋅=，0DB DE ⋅=，∴DB DA ⊥，DB DE ⊥．又DA DE D ⋂=，∴DB ⊥平面AED ．又∵DB ⊂平面BDF ，∴平面⊥BDF 平面AED ．（Ⅱ）∵EF AB ∥，∴设()(),0EF AB λλλ==-=-∴12F λ⎛- ⎝⎭，()1,0,0BC =-． ∵BC ⊥平面BDF ，∴BC DF ⊥，∴102BC DF λ⋅=-=，∴12λ=．∴F ⎛⎝⎭．①0,BF ⎛= ⎝⎭，1,0,2ED ⎛=- ⎝⎭∴34cos cos ,BF ED θ=== ∴异面直线BF 与ED ②设(),,n x y z =为平面BDF 的法向量，则303022n DB y n DF y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩可得()1,0,0n=，设(),,m x y z =为平面CDF 的法向量，则0302m DC x m DF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩可得()3,1,1m =-，∴3cos ,5m n ==sin θ= ∴二面角B DF C --． 5．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==.（1）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.【答案】 【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2B C D P ．（1） 因为AD ⊥平面PAB ，所以是平面PAB 的一个法向量，．因为(1,1,2),(0,2,2)PC PD =-=-．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0m PC m PD ⋅=⋅=，即20{220x y z y z +-=-=，令1y =，解得1,1z x ==． 所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,3||||AD m AD m AD m ⋅〈〉==，所以平面PAB 与平面PCD所成二面角的余弦值为3． （2） 因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2)(01)BQ BP λλλλ==-≤≤，又(0,1,0)CB =-，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--，又(0,2,2)DP =-， 从而1cos ,||||10CQ DP CQ DP CQ DP ⋅〈〉==， 设[]12,1,3t t λ+=∈，则2222229cos ,5109101520999t CQ DP t t t 〈〉==≤-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当且仅当95t =，即25λ=时，|cos ,|CQ DP 〈〉因为cos y x=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ==25BQ BP ==．6．如图，在三棱锥S 一ABC 中，SA ＝AB ＝AC ＝BC ，O为BC 的中点（1）求证：SO ⊥平面ABC（2）在线段AB 上是否存在一点E ，使二面角B —SC －E ？若存在，求B E BA 的值，若不存在，试说明理由【答案】（1）见解析（2）23【解析】（1）∵SB SC =，O 为BC 的中点，∴SO BC ⊥，设SB a =，则SO =，AO a =，SA =， ∴222SO OA SA +=，∴SO OA ⊥，又∵BC OA O ⋂=，∴SO ⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，以OA 所在射线为x 轴正半轴，以OB 所在射线为y 轴正半轴，以OS 所在射线为z 轴正半轴建立空间直角坐标系．则有()0,0,0O ，0,0,2S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,02A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 假设存在点E 满足条件，设()01BE BA λλ=≤≤，则(),1,02E a a λ⎫-⎪⎪⎝⎭，则()62,02CE a λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面SCE 的法向量为(),,n x y z =，由00n CE n SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()200x y y z λ+-=+=⎪⎩，故可取()2,n λ=-．易得平面SBC 的一个法向量为()1,0,0m =．所以，cos 5m nm n θ⋅===⋅，解得23λ=或2λ=-（舍）． 所以，当23BE BA =时，二面角B SC E --． 7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ；（Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB所成角的余弦值为15，求线段DH 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）56π；（3）32. 【解析】（1）平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .依题意，易证：()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴ 0QB AD ⋅=， 又直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面.（2） ()()2,2,2,=0,22PB PC =--，. 设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =.设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量，又()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-， 则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =，∴ 1212123cos<,2n n n n n n ⋅>==⋅， 又二面角C PB Q --为钝二面角，∴二面角C PB Q --的大小为56π. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，又()2,2,2PB =-， 又7cos<,15PB AH >=15=， ∴ 2625240h h -+=，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为32.8．已知在四棱锥C ABDE -中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，ABC 是边长为2的等边三角形，1AE =，M 为AB 的中点．（1）求证：CM EM ⊥；（2）若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2，求二面角B CD E --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）90.【解析】（1）证明：ABC为等边三角形，M为AB的中点，∴CM AB⊥，又DB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴DB CM⊥，DB AB B=，DB，AB平面ABDE，∴CM⊥平面ABDE，又EM⊂平面ABDE，∴CM EM⊥.（2）过点M作//Mz BD，易知Mz、MB、MC两两垂直；以M为原点，分别以MC、MB、Mz作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图；DB⊥平面ABC，∴DMB∠直线DM与平面ABC所成角，∴tan2BDDMBBM∠==，∴22BD BM==，∴()0,1,0B，)C，()0,1,2D，()0,1,1E-，∴()3,1,0BC=-，()CD=-，()1,1CE=--，设平面BCD的一个法向量为()111,,m x y z=，则m BCm CD⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111120yy z-=++=⎪⎩，令11x=，则()1,3,0m=，设平面CDE的一个法向量为()222,,n x y z=，则n CEn CD⎧⋅=⎨⋅=⎩即22222220y zy z⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x=，则()3,1,2n=-，∴cos,0m nm nm n⋅==⋅，∴二面角B CD E--的大小为90.。