基于Lyapunov指数的混沌预测方法及在水质预测中的应用

基于最大Lyapunov指数的混沌预测在洪水实时预报中的应
用
孙义;黄显峰
【期刊名称】《水利水电技术》
【年(卷),期】2016(047)001
【摘要】为提高洪水预报精度,从而提高水库防洪调度可信度,采用混沌预测模型,研究了复杂洪水动力特征和非线性特征并分析洪水实时预报问题.考虑到时间延迟与嵌入维数的相关性,利用C-C法计算相空间重构参数,判别了洪水混沌特性.为避免由嵌入维数m的选取引起的最大Lyapunov指数的明显波动,使用了改进的小数据量方法计算最大Lyapunov指数.构造了基于最大Lyapunov指数的混沌洪水实时预报模型,并将其应用到湖南五强溪水库的洪水预报,计算结果表明该模型具有较高的预报精度.
【总页数】5页(P102-106)
【作者】孙义;黄显峰
【作者单位】南水北调中线干线工程建设管理局,北京 100038;河海大学水利水电学院,江苏南京210098
【正文语种】中文
【中图分类】N93
【相关文献】
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动力系统中的混沌控制策略评价指标动力系统中的混沌控制策略评价指标混沌控制是指通过引入外部控制信号来抑制或控制混沌现象的一种方法。

在动力系统中，混沌控制策略的评价指标对于理解系统的稳定性和控制性能具有重要意义。

本文将介绍动力系统中的混沌控制策略评价指标，并探讨其应用。

一、Lyapunov指数Lyapunov指数是一种常用的混沌控制策略评价指标，它用于衡量混沌系统的稳定性。

Lyapunov指数的计算方法需要基于Lyapunov指数定理，通过对系统状态的微小扰动进行分析，确定系统的稳定性和敏感性。

通过计算Lyapunov指数，可以评估混沌控制策略对系统的控制效果。

二、收敛速度收敛速度是评价混沌控制策略效果的重要指标之一。

混沌系统通常具有较长的转动周期和不可预测性，因此控制策略应能够快速使系统转移到期望的状态。

收敛速度可以通过测量系统状态变化的速度来评估，较快的收敛速度意味着控制策略对系统的控制能力更强。

三、控制幅度控制幅度是指控制策略在系统中引入的控制信号的幅度大小。

混沌控制策略应该通过调节控制幅度来抑制系统中的混沌行为，使系统进入到期望的运动模式。

控制幅度的调节需要考虑到系统的特性和稳定性，过小的控制幅度可能无法有效控制混沌现象，过大的控制幅度可能导致系统不稳定。

四、控制延迟控制延迟是指控制策略引入控制信号到系统实际响应的时间延迟。

混沌系统对外部干扰非常敏感，因此控制延迟应尽可能小，以保证控制策略的实时性和有效性。

评估控制延迟的方法可以通过测量控制信号作用到系统的时间和系统响应的时间之间的差值。

五、鲁棒性鲁棒性是指混沌控制策略对系统参数变化和外部干扰的稳定性。

在实际应用中，系统参数可能存在不确定性和波动性，外部干扰可能导致系统产生不可预测的行为。

混沌控制策略的鲁棒性能够保证系统能够稳定地运行并抵抗外部干扰，具有较好的控制效果。

六、能耗能耗是评价混沌控制策略的另一个重要指标。

在实际应用中，混沌控制策略可能需要引入额外的能量来控制系统的行为。

摘要 (II)Abstract (III)第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 Lyapunov计算方法的定义 (2)第二章基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算 (3)2.1 相空间重构 (3)2.2 Oseledec矩阵的确定 (3)2.3 QR分解 (5)2.4 小波神经网络 (7)2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱计算方法 (10)2.6 Lyapunov指数实验计算代码 (11)2.6.1确定嵌入维数 (11)2.6.2确定延迟时间 (11)2.6.3计算Lyapunov指数普 (12)2.7 Lyapunov指数仿真实验结果 (14)2.7.1 实验一 (14)2.7.2 实验二 (16)小结 (18)总结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。

对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov 指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。

利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义.关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络AbstractLyapunov exponent is an important measure of system dynamics quantitative indicators, It is characterized by the average rate in the phase space between adjacent tracks convergence or divergence. For the existence of chaotic dynamics, can be very intuitive judgment from the largest Lyapunov exponent is greater than zero: a positive Lyapunov exponent, means that the system in phase space, regardless of the initial two-rail line spacing, however small, the difference will cannot predictAs time evolved exponential increase in the rate of so reached, which is chaos. Lyapunov exponents are one of a number of parameters that characterize the nature of a chaotic dynamical system. We calculate the Lyapunov exponents from an observed time series based on the ability thata RBF neural network can approximate nonlinear functions. The results show that this method needs less computing time and has higher precision, soit has practical significance.Keywords: Lyapunov exponents;Reconstruction of phase space;Artificial neural network第一章绪论1.1引言混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，Lyapunov指数[1]就是定量的描述这一现象的量。

基于混沌方法的预测技术及其应用近年来，混沌方法在多个领域发挥了不可替代的作用，其在预测技术中的应用也吸引了越来越多的关注。

混沌方法的基本原理是，可以通过提取和分析系统的状态信息来预测它的未来发展情况。

它利用动态系统的不确定性和复杂性来提高预测的准确性。

而且，混沌方法的应用还有一个重要的意义，它可以在复杂系统中发现和捕获随机过程中的微粒现象，从而有助于我们提高对复杂系统的理解能力。

混沌方法在预测技术中所发挥的作用，可以从两个方面来讨论，一是混沌方法可以提高预测精度；二是混沌方法可以提高系统的抗时变性。

混沌方法可以提高预测精度，这一点主要是因为它可以通过提取和分析动态系统的状态信息来改进和提高预测。

这种技术可以捕获并利用系统中不确定性因素和复杂性，从而使预测准确性有了质的提升。

目前，混沌方法已经在预测技术中发挥了很大的作用，并在许多领域取得了很好的效果。

另外，混沌方法也可以提高系统的抗时变性。

由于混沌方法可以捕获和分析非线性过程中的微小变化，因此可以更好地抵抗外界环境的变化。

这种预测技术可以有效地应对外部扰动，从而提高预测体系的稳定性和可靠性。

混沌方法在预测技术中所发挥的作用不仅体现在提高预测精度方面，而且也可以提高系统的抗时变性。

混沌方法的发展为预测技术的应用提供了另一种思路，它可以通过捕获和分析系统的动态信息来提高预测的准确性，从而有助于我们提高预测的可靠性和精度。

在实际应用中，混沌方法的应用也有很多例子可以参考。

例如，经济领域的预测，依靠混沌方法可以实时监测各种市场活动，分析投资风险，并采取预防措施；军事领域的情报收集，利用混沌方法可以实时监测和分析敌方动向；地质领域的预测，可以利用混沌方法监测并预测地震的发生，准确评估地质灾害的可能性等。

综上所述，混沌方法在预测技术中发挥了重要作用，提高了预测精度和系统抗时变性。

因此，混沌方法在预测技术中的应用有着重要的意义，未来将引领着复杂系统领域的发展，为世界带来更大的挑战和机遇。

常微分方程中的Lyapunov指数Lyapunov指数是一种用于研究动力系统稳定性的重要工具。

在常微分方程中，Lyapunov指数可以帮助我们判断一个系统的稳定性，从而可以更好地理解物理现象。

本文将从以下几个方面介绍Lyapunov指数。

一、什么是Lyapunov指数？Lyapunov指数是法国数学家Lyapunov在19世纪末首次引入的一个概念，用于描述动力系统在某一相空间内的稳定性。

Lyapunov指数是一个实数，通常用λ表示，其大小代表了系统的稳定程度。

当λ>0时，系统是不稳定的；当λ<0时，系统是稳定的；当λ=0时，系统处于稳态。

二、如何计算Lyapunov指数？计算Lyapunov指数的方法有很多种，其中最为常用的是Kaplan-Yorke公式。

这种方法需要进行线性化处理，将非线性动力系统转化为线性动力系统。

通常用牛顿迭代法求解微分方程，并对每个时间步长进行雅可比矩阵的计算，从而最终得到系统的Lyapunov指数。

三、Lyapunov指数在物理学中的应用Lyapunov指数在物理学中有着广泛的应用，尤其是在研究混沌现象中。

混沌是指系统发生不可预期的非周期性运动，常常出现在分子动力学、天体力学和流体力学中。

利用Lyapunov指数可以判断混沌现象的发生，从而更好地理解这些物理现象。

四、Lyapunov指数在控制系统中的应用除了在物理学中的应用外，Lyapunov指数还被广泛应用于控制系统中。

在控制系统中，通过计算Lyapunov指数可以判断系统是否稳定，并且可以设计出更好的控制策略。

此外，Lyapunov指数还可以用于描述系统的鲁棒性，即系统对干扰的抵抗能力。

五、Lyapunov指数的局限性尽管Lyapunov指数在控制系统和物理学中有着广泛的应用，但是它也存在一些局限性。

首先，计算Lyapunov指数常常非常复杂，需要耗费大量时间和计算资源。

其次，Lyapunov指数只能用于描述系统局部的稳定性，而不能用于描述全局的稳定性。

第40卷 第6期2008年12月西安建筑科技大学学报(自然科学版)J Xi an U niv.of Ar ch.&T ech.(N atural Science Edit ion)V ol.40 N o.6Dec.2008基于Lyapunov指数的混沌预测方法及在水质预测中的应用黄廷林,韩晓刚,卢金锁(西部建筑科技国家重点实验室(筹),陕西西安710055)摘 要:根据混沌原理对原水水质时间序列进行了相空间重构,利用自相关系数法、经典G P算法和改进的最大Ly apunov指数法对新的相空间中原水水质时间序列的延迟时间 、嵌入维数m、关联维数D和最大L ya puno v指数( 1)进行了计算.在 =5,m=9,D=4.4891, 1=0.0242的条件下,利用基于Ly apunov指数的混沌预测方法对天津水源厂1995-2003年原水耗氧量时间序列进行了预测,预测误差低于15%.分析结果表明原水水质时间序列具有混沌特性,利用混沌原理对原水水质时间序列的短期变化进行预测是可行的,混沌理论在水质预测方面具有良好的应用前景.关键词:混沌;时间序列;相空间重构;水质预测;L ya puno v指数中图分类号:X32 文献标识码:A 文章编号:1006 7930(2008)06 0846 06原水水质系统是一个开放、复杂和非线性的系统,受诸如气象、地理、人类活动等客观因素影响,它不仅仅是一个单纯的自然系统,而且与人类的健康息息相关.近年来,随着经济的不断发展,我国地表水源水质污染严重,已经威胁到居民的饮水安全.因此,如何做好原水水质预测工作,做到早发现,早预防,早处理就显得十分重要.目前常用的水质预测方法有时间序列法、灰色系统法、神经网络法等,最近一种新方法混沌法开始应用于水质预测和水文变化的研究.混沌(chaos)是一种貌似无规则的变化,指在确定性非线性系统中,不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为(内在随机性).混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展,尤其是在计算机技术的出现和普及应用的基础上发展起来的新兴交叉学科,它打破了不同学科间的界限,架起了确定性与非确定性间的桥梁[1].任何一个复杂系统都有确定性的一面和随机性的一面,混沌理论的提出改变了以往传统分析中单一的确定性分析或随机性分析,它将两者有机的统一起来,建立了混沌分析方法,为原水水质问题的研究提供了新的途径.自1903年美国数学家Po incare提出Poincare猜想以来,混沌理论不断完善、发展,已经在金融、电力、冶金、信号处理等多个领域得到了应用[2-7].本文利用混沌学理论中的Ly apuno v指数法对天津水源厂1998-2003年前10月各周的平均耗氧量时间序列进行了分析,初步探讨混沌预测法在原水水质预测中的应用.1 原水水质系统的相空间重构耗氧量是评价和预测原水水质简单而实用的指标,它表征了水中需氧无机物和有机物的多少.耗氧量过高会引起水中溶解氧的减少,造成水质腐败变臭,并可能产生氨气等有毒有害气体;同时大量有机物的存在还为微生物的繁殖提供了有利条件,威胁着人类的饮水安全.因此,对耗氧量数值的分析研究具有十分重要的意义.要对原水水质系统进行混沌特性识别及进一步的混沌分析,都需要在原水水质系统的相空间中进*收稿日期:2007 12 25 修改稿日期:2008 10 12基金项目:西安市科技攻关计划项目(GG06200)作者简介:黄廷林(1962 ),男,山东昌邑人,博士,教授.主要研究方向为水资源保护与水质控制,水处理技术,水环境修复.行,因此要首先对原水水质系统离散数据进行相空间重构.设时间序列的时间间隔 t =1(周),将该时间序列{X t }(t =1,2!,n)分为x 1至x m 和x m +1至x n 两段.后段很短,仅供检验、调试预测模式参考时用(不过,在正式预报时则不再分段).前段按如下形式排列,构成相型[8]:X (t Nm ) X (t Nm-1) ! X (t i ) ! X (t 1+(m -1) )X (t Nm - )X (t Nm-1- )!X (t i - )!X (t 1+(m -2) )X (t Nm -2 )X (t Nm-1-2 )!X (t i -2 )!X (t 1+(m -3) ) ! !! !! !X (t Nm -(m -1) )X (t Nm-1-(m -1) )!X (t i -(m -1) )!X (t 1)Y(t N m )Y(t N m-1)!Y(t i )!Y(t 1+(m -1))图1 耗氧量时间序列图Fig.1 Diag ram of time s eries of oxygen exhanst其中,N m =n-(m-1) , 为选定的延迟时间( =k t,k =1,2!),Y(t i )为相点或m 维相空间里的一个态.序列{Y(t i )}构成了m 维相空间里的一个相型,它表示该系统在某一瞬时的状态.将这(N m -(m -1) )个相点按时间顺序依次相连,其连线则构成一条在m 维相空间里的轨道,它表征了系统的状态随时间的演化(天津水源厂耗氧量时间序列如图1所示).从上文中可以看出,新建的相空间与延迟时间 和嵌入维数m 密切相关,因此如何选取恰当的嵌入维数m 和延迟时间 就成为重构相空间的关键所在.表1 自相关系数C t ( )随延迟时间 的变化Tab.1 Self cor relation coefficient change w ithdifferent delay tim e123456C l ( )0.84550.70650.58820.43870.31890.21241.1 延迟时间 的选择延迟时间 是混沌预测理论中一个重要的参数,它的选择既不能太大也不能太小, 取值太小,重构相空间中坐标Y(t+(j +1) )与坐标Y(t+j )之间的差别极小,变化轨线近似是一对角线,不能反映原水水质系统的变化特征; 取值太大,除了完全规则的周期变化外,两坐标又变得相互独立无关,特别是对非线性的混沌变化,由于蝴蝶效应,任何状态的微小差异都会随时间的演化越变越大,从而使前后状态变得无关[9].本文采用自相关系数C l ( )=∀n -1(x n + -x )(x n -x )∀n - 1(xn-x )2首次下降到初值的1/e 时的 为最佳延迟时间间隔,对耗氧量的时间序列进行相关分析,根据表1的计算结果可以看出, =5.1.2 关联维数D 和嵌入维数m 的选择混沌系统是一个非常复杂的系统,要准确描述其相空间特征比较困难,以前人们通常使用豪斯道夫维数(H ausdor ff),相似维数﹑信息维数来描述混沌系统的空间特征,但这些方法只能方便的应用于描述构造简单的﹑规则的分形特征,对于在不知道背景相空间维数的情况下,从少数甚至是单一数据序列中提取空间维数的相关信息则比较困难.为了解决这个问题,近年来提出了一种新的更简便的方法,即可以从试验数据中来计算分形维数,这就是关联维数(Cor relation Dim ensio n)D.根据经典G P 算法[10 11]可对关联维数进行近似估计.关联函数是寻求关联维数的一种有效途径,它表征了R m相空间中吸引子上两点间的距离小于给定847第6期 黄廷林等:基于L yapuno v 指数的混沌预测方法及在水质预测中的应用值r 的概率,记作:c(r )=N 1(r )/N (r ),其中N 1(r )表示距离小于r 的点对数目,N (r )表示总的点对数目.对于m 维相空间的任意两点y i ﹑y j ,当|y i -y j |> 时,这一对点的距离r i,j 为r i,j =|y i -y j |,对所有的y i (i =1,2,!N m )重复这一过程,得到关联函数的另一种表示形式:C(r)=1N(N -1)∀N i∀N j∀(r -r i,j )其中∀(x )是H eav iside 函数,且有∀(x)1 x #00 x <0图2 不同嵌入维数m 时lnC(r)与lnr 曲线Fig.2 Cu rve of ln(C)w ith lnr at differen tembeding dim ens ion显然,C(r )的计算结果与r 的取值有关,如果r 太大,D =0,表明系统中的有用信号都会被淹没在太大的r 之中;如果r 太小,那么实验中一切偶然噪声与系统中的有用信号相比,就会突出的表现出来.r 太大太小两种情况都与所研究的系统的内部性质没有关系,因此必须适当的调整r 的取值范围.选取适当的r 值后,就会在一段r 的区间内有:C(r)=r D ,从而D 可以定义为D =lim r ∃0ln C(r)ln r.在实际应用中,常给定一些m,r 的值,绘出ln C(r )-ln r 的曲线图(如图2所示),从曲线上得出最佳拟合直线,该直线斜率即为关联维数D.通常为使m 选得合适,可适当增大m.当m 增大时,一般D 也相应增大,当m 增大到一定值m min 时,D 近似达到极限值,那么m min 就视为容纳该奇怪吸引子的最小重构相空间维数,即嵌入维数m.利用上述G P 算法对天津水源厂耗氧量时间序列进行分析,得到关联维数D 随嵌入维数m 的变化,如表2所示.从表2中可以看出,当嵌入维数m 增大到9时,关联维数D 趋于稳定,因此选取嵌入维数m =9,关联维数D =4.4891.表2 关联维数维数D 随嵌入维数m 的变化T ab.2 Correction dimension ch angem 2345678910D1.06041.71222.41733.27313.37044.48095.06654.48914.48312 原水水质系统的混沌性识别要用混沌法进行原水水质预测首先要研究原水水质时间序列是否是混沌序列,其变化特征是否具有混沌特性.通常认为,在自然界中,开放的﹑远离平衡的系统﹑非线性相互作用的系统﹑过程不可逆系统﹑具有涨落和破缺的系统,都可能出现混沌现象.原水水质系统恰好符合上述现象,因而原水水质系统很可能存在着混沌特性.但是,任何事情都是相对的,要绝对区别原水水质时间序列是确定性的还是不确定性的是不可能的,要对原水水质时间序列进行混沌性识别只要确定在某一置信度下其性质究竟以何种性质为主就可以了,这是至关重要的.目前常用的混沌判别方法有:相图法﹑功率普法﹑最大Ly apuno v 指数法和Po incare 映像法等,其中最常用﹑理论最成熟的是最大Lyapuno v 指数法.混沌系统的变化轨道对初始值具有极端敏感性,即从两个相邻的初始条件出发的两条轨道之间的距离将随时间的变化以指数倍增加,这种现象可以用Lyapunov 指数进行定量的描述.对于多维系统来说,若最大Ly apunov 指数为正,则可认为系统一定具有混沌性.因此,最大Ly apuno v 指数是否大于零,848西 安 建 筑 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第40卷是区分混沌和其他吸引子的主要特征.目前计算最大Ly apuno v 指数的常用方法有定义法、Wo lf 方法、P 范数法等,在此基础上,近年来又发展了一种新的计算最大Lyapunov 指数的方法[9].类似质点在力场中总是(只要初速度沿垂直于力场方向的分量不太大)很快就沿力场方向(受力最大的方向)运动,在现在我们讨论相空间相邻两轨道发散的蝴蝶效应时,任意两相邻轨道也要很快的沿最大Lyapunov 指数 1所代表的方向发散.也就是说,在一般情形(只要初始两状态位移d(0)不是完全沿垂直于 1代表的方向)下,就很容易得到:d (t)=d(0)e 1t∃ln d(t)=ln d(0)+ 1t(1)这样求1就简单多了.设有一测得的时间序列,用它们重构相空间,任意选取两相邻初始位置(通常取初始点和与其最邻近点),计算两点间的初始距离d(0),适当选取步长 t 和时间长度t =k t,计算经过时间t 演化后两点间的距离d (k t),由式(1)可得:1=1k t ln d(k t)d (0)(2)选取不同的初始距离d j (0)计算d j (k t),然后求平均值:1=1k t ln d j (k t)d j (0)(3)与其他方法相比,该方法十分简单,而且充分利用了所有数据,是一种既简便又适用于小数据量的方法.罗森斯坦(M.T.Rosenstein )等人用上述方法对洛伦兹系统﹑若斯勒系统﹑罗杰斯谛映射和埃皮映射等著名的数学问题进行了研究,结果表明,只要适当选取m, 、 t 等参数,上述方法的计算效果很好[12].利用上述方法,计算耗氧量时间序列的最大Lyapunov 指数, 1=0.0242,这充分说明了我们所研究的对象具有混沌特性.3 Lyapunov 指数的预测模式在混沌学理论中,Lyapunov 指数不仅刻画了耗散系统相空间中相体积收缩﹑膨胀过程中几何特征变化,而且对初始轨道的指数发散和估计进行了量化,是一个很好的预报参数.Wolf 等在此基础上提出了根据最大李氏指数进行预测的混沌时间序列预测方法[13],其基本思想是:设 1为系统最大Ly apuno v 指数,Y (tm)为预报的中心点,在相空间中其最邻近点为Y n bt(ti),它们间的初始距离为d,经演化时间k t 后Y n bt(ti )演化为Y nbt (ti+k),根据(3)式有,图3 2004年前5月各周监测值与预测值对比表Fig.3 C om paris on nu merical value predicted andmonitored in the first 5m on ths in 20042 1k t =%Y t m +k t -Y nbt (t i +k t)%%Y t m -Y nbt (t i )%(4)在上式中除Y (tm+k t)(m)未知外其余均为已知量,因此可求得:Y(tm+k t)(m)=Y nbt(t i + t)(m)&(d 2 1 t)2-∀m-1j =1(Y(t m +k t)(j )-Y n bt(t 1+k t)(j ))2(5)根据等式(5)即可求得所需预测的数据.4 预测模型的应用根据上述理论及分析结果,在 =5,m =9,k =10, t =1(周)的前提下,利用文章第4节中所提到的预测模型,对天津水源厂2004年前5月耗氧量周平均值时间序列进行预测,预测结果如表3所示,同时将预测值与实际监测值进行比较(如图3所示).表3中可以看出,基于Lyapunov 指数的预测模型预测误差低于15%,具有较好的预测精度,在原水水质预测中具有良好的推广利用价值.849第6期 黄廷林等:基于L yapuno v 指数的混沌预测方法及在水质预测中的应用表3 2004年天津水源厂原水耗量预测结果Tab.3 COD Prediction result of TianjinW ater Plant in2004M o nth W eek M onito ringvalue/mg∋L-1Predictingvalue/mg∋L-1Relativeerr or/%11 3.60 3.52-0.222 4.03 4.16 3.203 4.64 4.95 6.684 5.13 5.34 4.0921 5.26 5.22-0.762 5.20 5.02-3.463 5.44 5.837.174 5.59 5.86 4.8331 5.49 5.84 6.372 5.67 6.05 6.703 5.60 4.80-14.294 5.70 6.04 5.9641 6.04 6.12 1.322 6.23 6.260.483 6.47 5.80-10.364 5.91 6.11 3.3851 6.36 5.827.962 6.57 5.75-12.483 6.83 6.04-11.574 6.36 6.15-3.306结 论本文依据混沌理论的基本原理对离散数据的相空间重构,延迟时间 、嵌入维数m的选择进行了介绍,并利用基于Lyapunov指数的混沌预测方法对天津水源厂2004年前5月耗氧量周平均值进行了预测,研究结果表明混沌理论可以揭示复杂系统的内在演化规律,可以对系统的短期发展进行较为准确的预测,在原水水质预测以及河流湖泊水质保护方面都有很高的利用价值.将混沌理论运用到原水水质系统中在我国尚处于起步阶段,仍有许多问题值得探讨.首先,混沌系统对于初始条件具有极端敏感性,任何微小的变化都会引起预测结果的较大偏离,因此如何减小噪声的影响,如何在实际监测数据不完备的情况下选取最佳的时间序列长度等问题都有待解决;此外,混沌是一门新兴学科,在诸如混沌的确切定义、混沌的科学所属问题、混沌的描述,甚至在对同一参数的求解方法上学术界还没有取得一致看法.但是所有的问题都不能掩盖混沌在预测方面的独特优点,随着其自身理论的不断完善发展,在不远的将来混沌理论必将得到更为广泛的应用.参考文献 References[1] 黄润生.混沌及其应用[M].武汉:武汉大学出版社,2000.H U A NG Run Sheng.T heo ry and A pplication o f Chaos[M].Wuhan:Wuhan U niv ersity Pr ess,2000.[2] G HO SHR AY S.Fo reign Ex change Rate P rediction by Fuzzy Inferencing on Deter ministic Chaos[C]//Co mputatio nal Int elligence for F inancial Engineer ing,1996.[3] K U M A RA S R T,R A NJA N P,SU RA N A A,et al.Decisio n M aking in L og istics:A Chao s T heo ry Based Analysis[J].CI RP A nnals,2003,52(1):381 384.[4] L I Yan N i,CH EN L an,CAI Zun Sheng,et al.Ex perimental Study of Chaos Synchr onizat ion in the Belo usovZhabotinsky Chemica l 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Labor ator y o f Ar chitect ur e Science and T echno lo gy in West China(XA U A T ),Xi an 710055,China)Abstract:Based o n t he fundamental chaos theo ry ,the phase space reconst ruct ion of raw w ater time ser ies is discussed.And the r elated pa rameters of raw water time series in the new phase space,such as delay time ,embedding dimension m ,cor relat ion dimensio n D and larg est Ly apunov ,are o btained by means of autoco rrelatio n coefficient,classical G P A l g or ithm and im pr oved maximal L yapuno v ex po nent method.M o reov er at the condition of =5,m =9,D =4.4891and 1=0.0242,the ox yg en demand v alues o f raw water in T ianjin headwat er plant f rom 1995to 2003are analy zed and pr edic ted by chaotic predictio n appro ach based o n L yapunov ex ponent.T he example indicates that t he var iatio n of raw water qualit y has chaot ic featur es and it is feasible to use chaos theory to predict shor t term va riation of the raw w ater quality.Key words:chaos;time s er ies ;p hase sp ace r econstr uction;w ater quality p rediction;Ly ap unov ex p onent851第6期 黄廷林等:基于L yapuno v 指数的混沌预测方法及在水质预测中的应用*Biography:H UANG Ting lin,Ph.D.,Professor,Xi an 710055,P.R.China,E mail:huangtinglin@。

基于最大Lyapunov指数的交通流仿真数据混沌状态识别贺国光;万兴义
【期刊名称】《自动化技术与应用》
【年(卷),期】2003(022)004
【摘要】利用交通流模型产生交通流时间序列.再利用Lyapunov指数的矩形阵算法,计算出交通流时间序列的最大Lyapunov指数.由于Lyapunov指数是定量描述混沌吸引子的重要指标,可根据Lyapunov指数对混沌序列的辨别原理,进而识别该由基于模型的动力系统是否处于混沌状态.
【总页数】4页(P8-10,13)
【作者】贺国光;万兴义
【作者单位】天津大学系统工程研究所,天津,300072;天津大学系统工程研究所,天津,300072
【正文语种】中文
【中图分类】U491.1
【相关文献】
1.基于最大Lyapunov指数的交通流混沌现象仿真 [J], 张春平;冯春成;李斌
2.基于最大Lyapunov指数改进算法的交通流混沌判别 [J], 李松;贺国光
3.基于最大Lyapunov指数的数控机床精度状态识别方法 [J], 杜柳青;王立明;闫哲;曾翠兰
4.基于动力学仿真数据的高速列车蛇行状态识别 [J], 赵飞;宁静;方明宽;陈春俊
5.基于最大Lyapunov指数的行星齿轮传动系统混沌特性分析 [J], 王靖岳;刘宁;王浩天
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混沌Liu系统的恒Lyapunov指数特性分析与研究摘要通过Lyapunov指数谱和分岔图研究了混沌Liu系统的恒Lyapunov指数特性。

Liu系统平方项参数变化时，系统的Lyapunov指数谱保持恒定，同时，系统输出信号中的两维信号的幅值与参数呈幂函数关系变化，其指数为-1/2，第三维信号的幅值保持在恒定的数值区间。

研究进一步地揭示了Liu系统的动力学特性，为Liu系统的的实际应用提供了必要的理论支持，因而研究具有重要的理论意义和实际价值。

关键词Liu混沌系统；恒Lyapunov指数；分岔图Department of Electric and Information Engineering，Jangsu University of TechnologyZhou Xiao-Yong，Han Xiao-XinDepartment of Electric and Information Engineering，Jangsu Teachers University of Technology，Changzhou 213001，ChinaAbstract The invariable Lyapunov exponent feature of Liu chaotic system is studied by Lyapunov exponent and bifurcation diagram. When the parameter of the square term varies of Liu chaotic system，the Lyapunov exponent spectrum keeps invariable，the amplitude of the singals of the first two dimensions changes by the power function with a minus half index，but the third one keeps its amplitude in the same range. The study further reveals the dynamic characteristics of Liu system and provides the necessary theoretical support for its application ，thus research has important theoretical significance and practical value.Keywords Liu chaotic system；invariable Lyapunov exponent；bifurcation diagram0 引言混沌信号的生成是由不同的混沌系统产生的，自Lorenz混沌系统发现以来，混沌理论及其应用研究得到了国内外技术人员的极大关注[1-3]。

基于水分子振动体系的lyapunov指数的计算Lyapunov指数是用来描述非线性系统稳定性的指标，它通过对系统的微小扰动进行分析来计算。

在涉及到水分子振动体系的情况下，主要有两个方面需要考虑：1）水分子的振动模式；2）水分子之间的相互作用。

对于水分子的振动模式，可以采用分子动力学模拟进行模拟。

在模拟计算中，可以通过求解分子动力学方程来模拟水分子的运动，其中包括水分子的位置、速度和加速度等信息。

对于水分子之间的相互作用，则需要考虑分子之间的键合作用、静电作用等。

这些相互作用可以通过分子动力学模拟中的势函数来计算。

一般来说，势函数可以根据不同的原子间类别进行分类，并且可以通过对不同的历史信息进行统计来获得。

综合考虑这些因素，可以计算出水分子振动体系的Lyapunov指数。

具体的计算方法涉及到分子动力学模拟中的数值计算和统计分析，较为复杂。

基于Lyapunov指数Duffing混沌检测系统状态的判定信阳师范学院:自然科学版第24卷第2期2011年4月JournalofXinyangNormalUniversityNaturalScienceEditionV o1.24No.2Apr.2011DOI:10.3969/j.issn.1003-0972.2011.02.013基于Lyapunov指数Duffing混沌检测系统状态的判定刘道文,史先红(许昌学院教育技术与信息部,河南许昌461000)摘要:为解决Duffing混沌检测系统状态判定的准确性,克服直观相图判定法存在的不足,提出了采用Lyapunov指数定量地判定Duffing混沌检测系统状态的方法.在分析判定方法及Duffing系统中Lyapunov指数算法的基础上,进行了系统仿真和数据分析,结果验证了利用Lyapunov指数判定Duffing系统状态的可行性,从而能有效地应用于微弱信号检测,保证信号检测的可靠性.关键词:混沌;Duffing振子;Lyapunov指数;系统状态;相图变化中图分类号:TP14文献标志码:A文章编号:1003-0972(2011)02-0196-04 TheJudgmentoftheStatesoftheDuffingChaoticDetection SystembasedontheLyapunovExponentLIUDao-wen,SHIXian-hong(EducationalTechnology&amp;InformationDepartment,XuchangUniversity,Xuchang4 61000,China)Abstract:Inordertosolvetheaccuracyofthejudgmentofchaosdetectionsystem'Sstatesandt ocastoffdefaultsoftheintuitivephasejudgmentmethod,thispaperadoptstheLyapunovexponenttoquantitativelyjudgestatesoftheDuffingchaosdetectionsystem.BasedontheanalysismethodandthealgorithmoftheLyapu novexponent,wecarriedoutthesystemsimulationanddataanalysis.Theresultce~ifiesthefeasibilityofusingLyapun ovexponenttojudgethestatesoftheDuffingchaoticdetectionsystem,whichthereforecanbeusedontheweaksignald etectionandensuresthereliabilityofthesignaldetection.Keywords:chaos;Duffingoscillator;Lyapunovexponent;systemstates;phasechangeO引言Lyapunov特性指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表明系统在相空间中相邻轨道收敛或发散的平均指数率,是判断和描述非线性时问序列是否为混沌系统的重要参数,它是区分系统处于混沌状态或非混沌状态的最直接的特征量之一.利用Duffing混沌振子对系统参数极其敏感而对噪声免疫的特性j,可以检测出引入系统的待测微弱周期信号,其实质就是利用待测微弱周期信号实现混沌控制,使系统的输出状态发生跃变.基于Duffing混沌振子微弱信号检测的一个重要内容就是要区分系统输出的状态,但迄今为止,人们还多是通过直观观察相图的变化来判定微弱信号的存在,只是一个定性的分析,未从理论上给出严格的证明而具有较大的主观性.为了确定待测微弱信号的存在,需要定义一个适合的指标来表示混沌检测系统状态的转变.这样的指标应该对微弱信号敏感,而对噪声不敏感.Lyapunov指数从统计特性上反映了系统的动力学特性,在混沌判据中,Lyapunov指数起着非常重要的作用.本文提出了利用Lyapunov指数定量分析,准确判定系统I晦界状态,以提高微弱信号检测的可靠性.1判定方法1.1直观相图判定方法周期信号能使检测系统的相空间状态由混沌态跃变为大尺度周期状态,而噪声信号不能引起检收稿日期:2010?11-04;修订日期:2011-01-30;.通讯联系人,E—mail:**************基金项目:河南省教育厅自然科学研究计划项目(2010A510011)作者简介:刘道文(1980一),男,河南信阳人,讲师,硕士,主要从事微弱信号检测,混沌理论及应用研究196?刘道文,等:基于Lyapunov指数Duffing混沌检测系统状态的判定测系统相空间状态的变化,这是利用混沌理论检测微弱信号的主要依据.因此,根据系统在相空问中的状态变化,可以将湮没于噪声中的微弱周期信号检测出来,其原理方程就是Holmes型Duffing方程,"(t)+kx(t)一(t)+(t)=frcost.(1)式(1)中,k是阻尼比是周期策动力.研究表明:当k固定从0逐渐增加时,该方程的解会经历同宿轨道,倍周期分岔,混沌轨迹,临界周期轨迹,大尺度周期等各个状态.且当超过一定阈值时,系统状态迅速从混沌态变为大尺度周期态,此时的相轨迹状态改变对同频率的信号非常敏感,微小的幅值增量即能促成相轨迹明显变化(如图1所示),而对不同频率的信号和噪声具有很强的免疫力.在利用Duffing混沌振子检测微弱信号时,通过不断地调节周期策动力,使检测系统处于由混沌状态向大尺度周期跃变的l}缶界状态,然后将待测的微弱周期信号引人检测系统中,从而通过直观观察系统相图的变化来判定微弱信号的存在.但这种方法存在两方面的不足:一方面,试探性地调节周期策动力的步长大小影响临界阀值的准确判断,步长的选取仅凭经验判断,缺乏严谨的科学依据,大尺度周期临界阀值选取的质量无法获得保证;另一方面,对于检测系统在某时刻所处的状态究竟是混沌状态还是大尺度状态缺乏严谨的判定,存在一定的主观性.待测信号的存在,以及较为准确地找到系统状态转变与待测信号幅值参数的关系.应用Lyapunov指数可以较准确地确定混沌检测系统的状态.对于二维系统,当混沌检测系统处于混沌临界状态时,系统的两个Lyapunov指数其中之一为零值.在大尺度周期状态下,两个Lyapunov指数均为负值.在混沌状态下,系统的两个Lyapunov指数至少有一个正值j.对于三维系统情形,同理归纳如表1所示.表1Lyapunov指数与系统状态Tab.1Lyapunovexponentandthestatesofsystem由混沌状态到大尺度周期状态混沌临界值也可以通过Lyapunov指数确定.当信号频率一定时, 首先通过调整内置信号幅值,直至混沌检测系统的一个Lyapunov指数为零,可清楚地判断系统处于混沌临界状态.此时,内置信号幅值即为混沌临界值,.本文将Duffing混沌检测系统构造成三维系统,周期策动力的初始值为0,终止值为1,权衡模拟精度的要求和程序计算的复杂度的步长取为0.02.对于各个的取值,系统Lyapunov指数计算时问步长设置为0.01,每次演化的步骤为10,绘制Lyapunov指数谱时,摈弃了前200次不稳定的迭代.图2和图3分别是系统处于混沌状态及大尺度状态下的Lyapunov指数谱,图中均存在一定的过渡区域,此区域中的Lyapunov指数取值的正负变化呈现不稳定的状态.为了能够应用Lyapunov指数准确地判断系统的状态,最好选取指数谱巾稳定的Lyapunov指数值,本文中选取n=900点出的Lyapunov指数值..图.ng系统的相变2Fig1PhasechangeoftheDuffingsystemT,1_/一Uffing系统中LyapunoV指数算法.1ll 尔钒Ly佃鳅异,1.2Lyapunov指数判定系统状态的方法通过分析系统的Lyapunov指数,可以清楚地判断混沌检测系统瞬问动力学运动状态,从而确定对n维连续动力系统=F(),在t=0时刻,以.为中心,Il6x(x.,0)【l为半径做一个凡维的球面.随时间的演化,在t时刻该球面将演化为n197?第24卷第2期信阳师范学院:自然科学版2011年4月维的椭球面.设该椭球面的第i个坐标轴方向的半轴长为【l8x(x.,t)ll,则该系统的第i个Lyapunov 指数为:÷n,(2)式(2)即为连续动力系统Lyapunov指数的定义.图2混沌状态下的Lyapunov指数谱Fig.2Lyapunovexponentspectrumofchaoticstates图3大尺度状态下的Lyapunov指数谱Fig.3Lyapunovexponentspectrumofgreatscaleperiod 实际计算时,取Il8x(x.,0)ll为d(d为常数),以‰为球心,欧几里德范数为d的正交矢量集{e,e,…,e}为初始球.由非线性微分方程=F()可以计算出点‰,0+e1,‰+e2,…,o+e经过时问t后演化的轨迹.设其终止点分别为叭.,…,则令8xl'=01一o0,舐"=02一X,O0,"=0一0o,-19R.则可以得到新的矢量集{;¨,舐¨,…,}.由于各个矢量在演化过程中都会向着最大的Lyapunov指数方向靠拢,为了便于在计算机上进行计算,采用Gram.Schmidt重正化方法,即Wolf的文章中提出的GSR方法,追踪发散轴的行为,具体计算的方法如式(3)所示]:vl"=:¨,=/"{f,¨=¨一&lt;¨,&gt;u,='ll,(3)=舐一&lt;舐:¨,u&gt;u一…&lt;舐¨,:"&gt;":¨,:"=v'o"Ill1.接着以∞为球心,范数为d的正交矢量集{d",du¨,…,du:"}为新球继续进行演化,设演化Ⅳ后的到的矢量集为{,,…,},且Ⅳ足够大,这可以得到Lyapunov指数的近似计算公式,如式(4)所示:f"{I"l3仿真分析由式(1)构成的Duffing混沌检测系统,设初值x(0)=1,(0)=1,积分时间间隔为h=0.01,用四阶Runge.Kutta积分方程,去除前200次不稳定的迭代.取其中典型的数值列于表2中,可以看出在.取值不同时,检测系统各个瞬态的Lyapunov指数及相应的系统状态.从图4中可以看出检测系统的Lyapunov指数随变化的分布情况,图中各瞬态Lyapunov指数满足Al+A3=一0.5,且A,A,曲线具有对称性,对称轴为口=(Al+A3)/2=一0.25.综上分析可以看出,利用Lyapunov指数的方法可以定量地分析和判断混沌检测系统的状态,从而提高了利用Duffing混沌检测系统检测微弱周期信号的准确性与可靠性.,,斗,L,●nn∑㈦∑.一一++d一一—一一一=llA—A刘道文,等:基于Lyapunov指数Duffing混沌检洲系统状态的判定表2,Lyapunov指数及对应的系统状态Tab.2,Lyapunovandthecorrespondingstatesofthesystem0.60.40.2∞t二一O..-04—0.6-0.8/q__八∽,^/z\一,.….÷lofy\:=三.≤王===/1'…………………''…'—二二//\^/..I八/00.10.20.30.40.50.60.70.80.9lrr图4Lyapunov指数随分布图Fig.4DistributionofLyapunovexponentwithfr4结论通过系统仿真可以看出,利用Lyapunov指数定量分析混沌检测系统的动力学特性,可准确地判定检测系统的瞬问状态和系统相变的阀值,在很大度克服了直观判定相变方法所具有的主观性,提fr利用Duffing混沌检测系统检测微弱信号的可靠:.fⅡLyapunov指数谱具有一定的过渡区域, 儿九法准确,有效地预测和控制这样的过渡区域,在此区域内Lyapunov指数取值的正负变化不稳定.为了克服这种缺陷,一般选取稳定区问的Lyapunov指数值来作为判定系统状态的指标.如何判断Lyapunov指数的稳定性将作为进一步研究的仟务.参考文献:[1]崔芹.基于混沌理论微弱信号检测[D].哈尔滨:哈尔滨工程大学,2008:23-24.[2]周玲,田建生,刘铁军.Duffing混沌振子用于微弱信号检测的研究[J].系统工程与电子技术,2006,28(】O):1477.1479.[3]李月,杨宝俊,林红波,等.基于特定混沌系统微弱谐波信号频率检测的理论分析与仿真[J].物理,2005,54(5):1995—1998[4]庄艳丽.基于混沌振子的微弱信号检测方法研究[D].成都:成都电子科技大学,2006:30—32.[5]吕金虎,陆安君.混沌时间序列分析及应用[M].武汉:武汉大学出版社,2005:29-30.[6]刘立.基于混沌理论的微弱信号检测方法研究[D].保定:华jE电力大学,2006:21.25.[7]杨红英,叶吴,王桂增,等.Duffing振子的Lyapunov指数与Floquet指数研究[J].仪器仪表,2008,29(5):927-931.[8]李月,杨宝俊.混沌振子检测引论[M].北京:电子工业出版社,2004.责任编辑:任长江199?。