(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：专题检测(十五)圆锥曲线的方程与性质理(普通生,含解析)

专题十二圆锥曲线的方程与性质[题组全练]1.如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 即m ＋4＝2a .①在△PF 1F 2中，由余弦定理得42＋m 2－2×m ×4×cos 120°＝4(a 2－2)．② 联立①②，解得a ＝3.2．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.3．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：44．(2018·合肥质检)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线P Q ，垂足为Q.若四边形AFP Q 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|P Q|＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|Q A |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋＋2＋y ＝16，y 2＝4x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)． 答案：(4,4)[系统方法]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[由题知法][例1] (2018·陕西质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2D. 5[解析] 因为OM ⊥PF ，且M 为FP 的中点，所以△POF 为等腰直角三角形，即∠PFO ＝45°，则不妨令切线FM 的方程为x ＋y ＝c ，由圆心到切线的距离等于半径得c2＝a ，所以e ＝ca＝2.[答案] A[例2] (2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 如图，作PB ⊥x 轴于点B.由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.[答案] D[例3] 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203[学解题]法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.[答案] C [类题通法]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值或范围．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． ③利用e ＝1＋b 2a2求离心率． 3．抛物线焦点弦的性质若线段AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)焦半径|AF |＝x 1＋p2；(3)1|AF |＋1|BF |＝2p； (4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选 B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.2．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM ―→＝λMF ―→，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 如图，|OF |＝c ， |OM |＝a ，OM ⊥PF ， 所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2b－b ，所以λ＝|PM ―→||MF ―→|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a 2b 2.因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.3．已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为 B.过F ，B ，C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )，当m ＋n >0时，椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，22 解析：选A 由题意知F ，B ，C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，则FC ，BC 的垂直平分线分别为x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y ＝b 2－c2b .∴m ＋n ＝1－c 2＋b 2－c2b >0，即b －bc ＋b 2－c >0，整理得(1＋b )(b －c )>0，∴b >c ，从而b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴e 2<12，又e >0，∴0<e <22.4．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝________.解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1， 由FM ―→＝3FP ―→，得|PM |＝2|PF |， 又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|， 所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得|PP 1|p ＝|PP 1|2＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP ―→|＝43.答案：43[多维例析]角度一 直线与圆锥曲线的交点个数问题[例1] 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e <22.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，直线l 的方程为3x 0x ＋4y 0y －12＝0，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．[解] (1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题设条件知，4a ＝8，a ＝2， 2×12×2c ×b ＝23，b 2＋c 2＝a 2＝4， 所以b ＝3，c ＝1或b ＝1，c ＝3(经检验不合题意，舍去)， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当y 0＝0时，由x 204＋y 203＝1，可得x 0＝±2，当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(2,0)． 当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(－2,0)．当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝12－3x 0x 4y 0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12－3x 0x 4y 0，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4y 20＋3x 20)x 2－24x 0x ＋48－16y 20＝0.① 由点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，得x 204＋y 203＝1，可得4y 20＋3x 20＝12.于是方程①可以化简为x 2－2x 0x ＋x 20＝0， 解得x ＝x 0，将x ＝x 0代入方程y ＝12－3x 0x4y 0可得y ＝y 0，故直线l 与椭圆C 有且只有一个交点P (x 0，y 0)，综上，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0)． [类题通法]直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．角度二 弦长及面积问题[例2] (2018·兰州检测)已知椭圆K ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －3y ＋2＝0相切． (1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足：a 2＝3S ，求直线l 的斜率．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，21＋3＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.故椭圆K 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于直线l 的倾斜角不可为零， 所以设直线l 的方程为my ＝x －1， 与x 22＋y 2＝1联立并化简可得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 可得y 0＝－mm 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2. 设C (x ，y )，又OC ―→＝λOM ―→(λ>0)， 所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202＋y 20＝1⇒m 2＋2＝λ2.①设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则h 1h 2＝|OM ―→||MC ―→|＝1λ－1⇒h 2＝(λ－1)h 1.又由点到直线的距离公式得，h 1＝11＋m2＝1λ2－1.而|AB |＝1＋m 2·y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝22＋m 2m 2＋2＝22λ2－λ2，所以S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝2λ2－λ2·λλ2－1＝ 2 λ2－1λ. 由题意知，S ＝a 23＝23，所以 2 λ2－1λ＝23⇒λ＝ 3.将λ＝3代入①式得m ＝±1， 所以直线l 的斜率为±1.[类题通法] 弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．角度三 弦的中点问题[例3] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是P Q 的中点，证明：AR ∥F Q ；(2)若△P Q F 的面积是△ABF 面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.(1)证明：记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0， 记直线AR 的斜率为k 1，直线F Q 的斜率为k 2，所以k 1＝a －b 1＋a 2，k 2＝b－12－12＝－b ， 又因为ab ＋1＝0，所以k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ， 所以k 1＝k 2，即AR ∥F Q.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 所以S △ABF ＝12|a －b ||FD |＝12|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，又S △P Q F ＝|a －b |2，所以由题意可得S △P Q F ＝2S △ABF ， 即|a －b |2＝2×12×|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， 解得x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 又2a ＋b ＝1y，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1. [类题通法] 弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，k ＝b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )．其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．[综合训练]1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使得PB 2⊥Q B 2，求直线l 的方程．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，且|AB 1|＝|AB 2|， 所以∠B 1AB 2＝90°， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.由c 2＝a 2－b 2，得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，所以a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程并整理得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5， 又B 2P ―→＝(x 1－2，y 1)， B 2Q ―→＝(x 2－2，y 2)， 所以B 2P ―→·B 2Q ―→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥Q B 2，得B 2P ―→·B 2Q ―→＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线l 有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b 2a ＋c ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin∠APM12|PB |·|PN |·sin∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y23＝1，化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3. 又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)， PN ―→＝(x 2，y 2＋1)， 则x 1＝－λ2x 2，即x 1x 2＝－λ2，所以x 1＋x 22x 1x 2＝x 1x 2＋2＋x 2x 1＝－λ2＋2－2λ＝－8k24k 2＋3，即－λ2λ＝16k 24k 2＋3. 因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k2＋4∈(1,4)，则1<－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23)．[典例细解][例1] (2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)[解析] 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A ，B 为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m 与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．[例2] (2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3[解析] 法一：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°， 则|MN |－|MF |cos 60°＝2， 由抛物线的定义，得|MN |＝|MF |＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. [答案] C[启思维] 本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．[例3] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ， 得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝c a ＝13.[答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．[综合训练]1．(2018·福州模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在E 上，MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|，线段F 2M 交E 于点Q ，且F 2Q ―→＝Q M ―→，则E 的离心率为( )A. 5B.15 C ．2 3D.10解析：选B 设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|， ∴|MN |＝45c ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0. ∵F 2Q ―→＝Q M ―→，∴Q 是线段F 2M 的中点，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02.把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02分别代入E 的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4c 225a 2－y 2b2＝1，9c 2100a 2－y204b 2＝1，∴c 2a2＝15，∴e ＝15. 2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43解析：选D 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p2，因为点A (－2,3)在准线上， 所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)． 设切线方程为y －3＝k (x ＋2)， 代入y 2＝8x ，消去x ，化简得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由Δ＝1－4×k 8×(2k ＋3)＝0，得k ＝－2或k ＝12，因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中得y ＝8，再将y ＝8代入y 2＝8x 中，得x ＝8， 所以点B 的坐标为(8,8)， 所以直线BF 的斜率为8－08－2＝43.3.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和x 2ma2＋y 2mb2＝1(a >b >0，m >1)，从大椭圆的两个顶点分别向小椭圆引切线AC ，BD ，若AC ，BD 的斜率之积恒为－1625，则大椭圆的离心率为( )A.35B.34C.45D.74解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为x 2ma2＋y 2mb2＝1，则A (ma,0)，B (0，mb )，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －ma ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2k 21＋b 2)x 2－2mk 21a 3x ＋m 2k 21a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(－2mk 21a 3)2－4(k 21a 2＋b 2)(m 2k 21a 4－a 2b 2)＝0，化简得k 21a 2－m 2k 21a 2＋b 2＝0⇒k 21＝b 2a 2·1m 2－1，设直线BD 的斜率为k 2，同理可得k 22＝b 2a2(m 2－1)，∴k 21k 22＝b 2a 2·1m 2－1·b 2a 2(m 2－1)＝b 4a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16252，∴b a ＝45，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝35.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝π3，b a ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线x 23－y 2b＝1(b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x . 4．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|N Q|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|N Q|＝12|MN |，所以∠MN Q ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ4，化简得(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4， 又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 6．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1. 7．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)， 所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2. 易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2＝32. 答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得ca <2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为 B.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )， 则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0， 所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a .②又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)， 则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，y 0x 0＋2m ＋.又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204. 若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ， 即A 2M ―→·A 2P ―→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫m －2，y 0x 0＋2m ＋·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14m －72＝0. 又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2， 所以14m －72＝0，解得m ＝14.11．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP ―→＝2PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，又原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 12．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA ―→＋3OB ―→ －2OC ―→＝0，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1， 由11a2＋1＝32，解得a ＝3， 故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2消去x ，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①∵OA ―→＋ 3 OB ―→－2OC ―→＝0， ∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1， 又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1， 即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b.在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca＝ 3.2．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB ―→＝2AG ―→，则(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为( )A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由AB ―→＝2AG ―→知G 是线段AB 的中点， ∴OG ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2＝(OA ―→－OB ―→)2－(OA ―→＋OB ―→)2＝－4OA ―→·OB ―→. 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∴－4OA ―→·OB ―→＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋x 21x 2216 ＝－4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋2 2－4＝16－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22≤16，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为16.4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A.643B.323C.3239D.6439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝2|FB |4|FB |＝12，所以∠BAC ＝60°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝12|AP ||AB |sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×32＝23(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x －，y 2＝4x ，解得x＝13或x ＝3，易知x B ＝13，所以S △PAB ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＝3239. 5．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，3)．设以A ，B 为焦点的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋4a 2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋4a2－5≥3，解得a 2≥4＋23或0＜a 2≤4－23，由a 2≥4＋23得a ≥3＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－23，即0＜a ≤3－1.∴双曲线的离心率e ＝ca≥23－1＝3＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[3＋1，＋∞)．答案：[3＋1，＋∞)6．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△Q F 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ， 因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |， 又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥R Q ， 故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a . 法一：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形， 所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，|P Q|＝2m ， 连接Q F 2，则|Q F 2|＝m ＋2a .在△Q PF 2中，∠Q PF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(2m )2－2(m －2a )·2m ·cos 135°，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102， 即双曲线的离心率为102. 法二：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形， 所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，连接Q F 2， 则在Rt △Q RF 2中，|R Q|＝2m －2a ， |RF 2|＝m ，|Q F 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2， 化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102，即双曲线的离心率为10 2.答案：10 2。

专题十二圆锥曲线的方程与性质[题组全练]1.如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 即m ＋4＝2a .①在△PF 1F 2中，由余弦定理得42＋m 2－2×m ×4×cos 120°＝4(a 2－2)．② 联立①②，解得a ＝3.2．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.3．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：44．(2018·合肥质检)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线P Q ，垂足为Q.若四边形AFP Q 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|P Q|＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|Q A |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋2＋y ＝16，y 2＝4x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)． 答案：(4,4)[系统方法]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[由题知法][例1] (2018·陕西质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2D. 5[解析] 因为OM ⊥PF ，且M 为FP 的中点，所以△POF 为等腰直角三角形，即∠PFO ＝45°，则不妨令切线FM 的方程为x ＋y ＝c ，由圆心到切线的距离等于半径得c2＝a ，所以e ＝ca＝2.[答案] A[例2] (2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 如图，作PB ⊥x 轴于点B.由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.[答案] D[例3] 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203[学解题]法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.[答案] C [类题通法]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值或范围．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． ③利用e ＝1＋b 2a2求离心率． 3．抛物线焦点弦的性质若线段AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)焦半径|AF |＝x 1＋p2；(3)1|AF |＋1|BF |＝2p； (4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选 B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.2．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM ―→＝λMF ―→，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 如图，|OF |＝c ， |OM |＝a ，OM ⊥PF ， 所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2b－b ，所以λ＝|PM ―→||MF ―→|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a 2b 2.因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.3．已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为 B.过F ，B ，C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )，当m ＋n >0时，椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，22 解析：选A 由题意知F ，B ，C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，则FC ，BC 的垂直平分线分别为x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y ＝b 2－c2b .∴m ＋n ＝1－c 2＋b 2－c2b >0，即b －bc ＋b 2－c >0，整理得(1＋b )(b －c )>0，∴b >c ，从而b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴e 2<12，又e >0，∴0<e <22.4．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝________.解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1， 由FM ―→＝3FP ―→，得|PM |＝2|PF |， 又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|， 所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得|PP 1|p ＝|PP 1|2＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP ―→|＝43.答案：43[多维例析]角度一 直线与圆锥曲线的交点个数问题[例1] 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e <22.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，直线l 的方程为3x 0x ＋4y 0y －12＝0，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．[解] (1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题设条件知，4a ＝8，a ＝2， 2×12×2c ×b ＝23，b 2＋c 2＝a 2＝4， 所以b ＝3，c ＝1或b ＝1，c ＝3(经检验不合题意，舍去)， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当y 0＝0时，由x 204＋y 203＝1，可得x 0＝±2，当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(2,0)． 当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(－2,0)．当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝12－3x 0x 4y 0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12－3x 0x 4y 0，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4y 20＋3x 20)x 2－24x 0x ＋48－16y 20＝0.① 由点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，得x 204＋y 203＝1，可得4y 20＋3x 20＝12.于是方程①可以化简为x 2－2x 0x ＋x 20＝0， 解得x ＝x 0，将x ＝x 0代入方程y ＝12－3x 0x4y 0可得y ＝y 0，故直线l 与椭圆C 有且只有一个交点P (x 0，y 0)，综上，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0)． [类题通法]直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．角度二 弦长及面积问题[例2] (2018·兰州检测)已知椭圆K ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －3y ＋2＝0相切． (1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足：a 2＝3S ，求直线l 的斜率．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，21＋3＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.故椭圆K 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于直线l 的倾斜角不可为零， 所以设直线l 的方程为my ＝x －1， 与x 22＋y 2＝1联立并化简可得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 可得y 0＝－mm 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2. 设C (x ，y )，又OC ―→＝λOM ―→(λ>0)， 所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202＋y 20＝1⇒m 2＋2＝λ2.①设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则h 1h 2＝|OM ―→||MC ―→|＝1λ－1⇒h 2＝(λ－1)h 1.又由点到直线的距离公式得，h 1＝11＋m2＝1λ2－1.而|AB |＝1＋m 2·y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝22＋m 2m 2＋2＝22λ2－λ2，所以S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝2λ2－λ2·λλ2－1＝ 2 λ2－1λ. 由题意知，S ＝a 23＝23，所以 2 λ2－1λ＝23⇒λ＝ 3.将λ＝3代入①式得m ＝±1， 所以直线l 的斜率为±1.[类题通法] 弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．角度三 弦的中点问题[例3] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是P Q 的中点，证明：AR ∥F Q ；(2)若△P Q F 的面积是△ABF 面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.(1)证明：记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0， 记直线AR 的斜率为k 1，直线F Q 的斜率为k 2，所以k 1＝a －b 1＋a 2，k 2＝b－12－12＝－b ， 又因为ab ＋1＝0，所以k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ， 所以k 1＝k 2，即AR ∥F Q.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 所以S △ABF ＝12|a －b ||FD |＝12|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，又S △P Q F ＝|a －b |2，所以由题意可得S △P Q F ＝2S △ABF ， 即|a －b |2＝2×12×|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， 解得x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 又2a ＋b ＝1y，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1. [类题通法] 弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，k ＝b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )．其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．[综合训练]1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使得PB 2⊥Q B 2，求直线l 的方程．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，且|AB 1|＝|AB 2|， 所以∠B 1AB 2＝90°， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.由c 2＝a 2－b 2，得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，所以a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程并整理得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5， 又B 2P ―→＝(x 1－2，y 1)， B 2Q ―→＝(x 2－2，y 2)， 所以B 2P ―→·B 2Q ―→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥Q B 2，得B 2P ―→·B 2Q ―→＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线l 有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b 2a ＋c ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin∠APM12|PB |·|PN |·sin∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y23＝1，化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3. 又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)， PN ―→＝(x 2，y 2＋1)， 则x 1＝－λ2x 2，即x 1x 2＝－λ2，所以x 1＋x 22x 1x 2＝x 1x 2＋2＋x 2x 1＝－λ2＋2－2λ＝－8k24k 2＋3，即－λ2λ＝16k 24k 2＋3. 因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k2＋4∈(1,4)，则1<－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23)．[典例细解][例1] (2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)[解析] 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A ，B 为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m 与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．[例2] (2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3[解析] 法一：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°， 则|MN |－|MF |cos 60°＝2， 由抛物线的定义，得|MN |＝|MF |＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. [答案] C[启思维] 本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．[例3] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ， 得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝c a ＝13.[答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．[综合训练]1．(2018·福州模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在E 上，MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|，线段F 2M 交E 于点Q ，且F 2Q ―→＝Q M ―→，则E 的离心率为( )A. 5B.15 C ．2 3D.10解析：选B 设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|， ∴|MN |＝45c ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0. ∵F 2Q ―→＝Q M ―→，∴Q 是线段F 2M 的中点，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02.把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02分别代入E 的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4c 225a 2－y 2b2＝1，9c 2100a 2－y204b 2＝1，∴c 2a2＝15，∴e ＝15. 2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43解析：选D 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p2，因为点A (－2,3)在准线上， 所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)． 设切线方程为y －3＝k (x ＋2)， 代入y 2＝8x ，消去x ，化简得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由Δ＝1－4×k 8×(2k ＋3)＝0，得k ＝－2或k ＝12，因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中得y ＝8，再将y ＝8代入y 2＝8x 中，得x ＝8， 所以点B 的坐标为(8,8)， 所以直线BF 的斜率为8－08－2＝43.3.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和x 2ma2＋y 2mb2＝1(a >b >0，m >1)，从大椭圆的两个顶点分别向小椭圆引切线AC ，BD ，若AC ，BD 的斜率之积恒为－1625，则大椭圆的离心率为( )A.35B.34C.45D.74解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为x 2ma2＋y 2mb2＝1，则A (ma,0)，B (0，mb )，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －ma ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2k 21＋b 2)x 2－2mk 21a 3x ＋m 2k 21a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(－2mk 21a 3)2－4(k 21a 2＋b 2)(m 2k 21a 4－a 2b 2)＝0，化简得k 21a 2－m 2k 21a 2＋b 2＝0⇒k 21＝b 2a 2·1m 2－1，设直线BD 的斜率为k 2，同理可得k 22＝b 2a2(m 2－1)，∴k 21k 22＝b 2a 2·1m 2－1·b 2a 2(m 2－1)＝b 4a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16252，∴b a ＝45，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝35.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝π3，b a ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线x 23－y 2b＝1(b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x . 4．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|N Q|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|N Q|＝12|MN |，所以∠MN Q ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ4，化简得(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4， 又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 6．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1. 7．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)， 所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2. 易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2＝32. 答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得ca <2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为 B.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )， 则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0， 所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a .②又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)， 则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，y 0x 0＋2m ＋.又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204. 若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ， 即A 2M ―→·A 2P ―→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫m －2，y 0x 0＋2m ＋·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14m －72＝0. 又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2， 所以14m －72＝0，解得m ＝14.11．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP ―→＝2PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，又原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 12．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA ―→＋3OB ―→ －2OC ―→＝0，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1， 由11a2＋1＝32，解得a ＝3， 故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2消去x ，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①∵OA ―→＋ 3 OB ―→－2OC ―→＝0， ∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1， 又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1， 即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b.在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca＝ 3.2．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB ―→＝2AG ―→，则(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为( )A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由AB ―→＝2AG ―→知G 是线段AB 的中点， ∴OG ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2＝(OA ―→－OB ―→)2－(OA ―→＋OB ―→)2＝－4OA ―→·OB ―→. 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∴－4OA ―→·OB ―→＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋x 21x 2216 ＝－4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋2 2－4＝16－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22≤16，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为16.4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A.643B.323C.3239D.6439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝2|FB |4|FB |＝12，所以∠BAC ＝60°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝12|AP ||AB |sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×32＝23(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x －，y 2＝4x ，解得x＝13或x ＝3，易知x B ＝13，所以S △PAB ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＝3239. 5．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，3)．设以A ，B 为焦点的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋4a 2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋4a2－5≥3，解得a 2≥4＋23或0＜a 2≤4－23，由a 2≥4＋23得a ≥3＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－23，即0＜a ≤3－1.∴双曲线的离心率e ＝ca≥23－1＝3＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[3＋1，＋∞)．答案：[3＋1，＋∞)6．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△Q F 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ， 因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |， 又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥R Q ， 故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a . 法一：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形， 所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，|P Q|＝2m ， 连接Q F 2，则|Q F 2|＝m ＋2a .在△Q PF 2中，∠Q PF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(2m )2－2(m －2a )·2m ·cos 135°，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102， 即双曲线的离心率为102. 法二：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形， 所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，连接Q F 2， 则在Rt △Q RF 2中，|R Q|＝2m －2a ， |RF 2|＝m ，|Q F 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2， 化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102，即双曲线的离心率为10 2.答案：10 2。

一、考纲要求：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想． 二、概念掌握和解题上注意点：1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x 或y ，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点： ）.消元后需要讨论含x2或y2项的系数是否为0.）.重视“判别式Δ”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.3.处理中点弦问题的常用方法）.点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.）.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 三、高考考题题例分析例1.(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率，(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】(1)1；(2) y ＝x ＋7.(2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.例2. (2017浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值． 【答案】(1) (－1,1)；(2)2716【解析】(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时， |P A |·|PQ |取得最大值2716.学例3.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A ． 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3【答案】C∵点M 在x 轴的上方， ∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝(3＋1)2＋(23－23)2＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C ．例4．(2016全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 【答案】(1)14449；(2) (32，2)． 【解析】设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(2)由题意t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0. 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6kt (1＋k 2)3k 2＋t.由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0， 即k －2k 3－2＜0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2＞0，k 3－2＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2)．例5.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 【答案】见解析(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值圆锥曲线综合应用练习题一、选择题1．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫0，23 B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．⎝⎛⎭⎫－23，23 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 【答案】C【解析】 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝ ( )A ． 2B ．22 C ．12D ．03．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为 ( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，符合题意．若k ≠0，则Δ＝0， 即64－64k ＝0，解得k ＝1，所以直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个共公点时，k ＝0或1.4．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是 ( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分【答案】B 【解析】x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．5．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是 ( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0【答案】D【解析】由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.6．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为 ( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．x 2＝2yD ．x 2＝4y【答案】B7．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )A ．4x 221－4y 225＝1B ．4x 221＋4y 225＝1C ．4x 225－4y 221＝1D ．4x 225＋4y 221＝1【答案】D【解析】因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1. 学8．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( )A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)【答案】A9．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有 ( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )A ．x 218＋y 29＝1B ．x 227＋y 218＝1C ．x 236＋y 227＝1D ．x 245＋y 236＝1【答案】A【解析】因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0， 所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.11．已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP→为 ( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9【答案】D12.抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为 ( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x . 二、填空题13．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为 ． 【答案】16【解析】直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.14．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是 ．【答案】x ＋2y －8＝015．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF的面积的最大值为 . 【答案】2【解析】不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.16．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为 ．【答案】2＋3【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)． 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.学三、解答题17．已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．【答案】(1) x 24＋y 22＝1；(2) 126818.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；(2)当p ＝1时，若抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .求线段PQ 的中点M 的坐标．【答案】(1) y 2＝8x ；(2) (1，－1)．【解析】 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上， 得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .19．已知定点F (0,1)，定直线l ：y ＝－1，动圆M 过点F ，且与直线l 相切． (1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线l 1，l 2两条切线相交于点P ，求△P AB 外接圆面积的最小值. 【答案】(1) x 2＝4y ；(2) 4π.【解析】 (1)法一：设圆心M 到直线l 的距离为d ， 由题意|MF |＝d . 设圆心M (x ，y )，则有x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|.化简得x 2＝4y .所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .法二：设圆心M 到直线l 的距离为d ， 由题意|MF |＝d .根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹为抛物线， 焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1. 所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .法二：设l AB ：y ＝kx ＋1， 代入x 2＝4y 中，得x 2－4kx －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝4(k 2＋1)．因为曲线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x2.所以直线l 1的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.①同理可得直线l 2的方程为y ＝x 22x －x 224.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P (2k ，－1)．因为P A →·PB →＝(x 1－2k ，y 1＋1)·(x 2－2k ，y 2＋1) ＝x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝0， 所以P A ⊥PB ，即△P AB 为直角三角形．所以△P AB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是外接圆的直径．因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.因为AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋1)，所以AB 的中垂线方程为y －(2k 2＋1)＝－1k (x －2k )，因为P A 的中垂线方程为y －(k 2－kk 2＋1)＝(k ＋k 2＋1)[x －(2k －k 2＋1)]，联立上述两个方程，解得其交点坐标为N (2k,2k 2＋1)． 因为点M ，N 的坐标相同，所以AB 的中点M 为△P AB 的外接圆的圆心． 所以△P AB 是直角三角形，且P A ⊥PB ， 所以线段AB 是△P AB 外接圆的直径．学 因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过椭圆C 的右顶点和上顶点的直线与圆x 2＋y 2＝23相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点． 【答案】(1) x 22＋y 2＝1；(2)见解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2，由k 1＋k 2＝2⇒y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2⇒(kx 2＋m －1)x 1＋(kx 1＋m －1)x 2x 1x 2＝2，即(2－2k )x 1x 2＝(m －1)(x 1＋x 2)⇒(2－2k )(2m 2－2)＝(m －1)(－4km )，即(1－k )(m 2－1)＝－km (m －1)，由m ≠1，得(1－k )(m ＋1)＝－km ⇒k ＝m ＋1，即y ＝kx ＋m ＝(m ＋1)x ＋m ⇒m (x ＋1)＝y －x ，故直线AB 过定点(－1，－1)． 综上，直线AB 过定点(－1，－1)．21．已知点A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，F 为左焦点，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点．直线AP 与过点B 且垂直于x 轴的直线l 交于点M ，直线MN ⊥BP 于点N .(1)求证：直线AP 与直线BP 的斜率之积为定值； (2)若直线MN 过焦点F ，AF →＝λFB →(λ∈R )，求实数λ的值. 【答案】(1)见解析；(2) λ＝13.(2)设直线AP 与BP 的斜率分别为k 1，k 2，由已知F (－c,0)，直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋a )，直线l 的方程为x ＝a ，则M (a,2ak 1)． ∵MN ⊥BP ，∴k MN ·k 2＝－1. 由(1)知k 1·k 2＝－b 2a 2，∴k MN ＝a 2b 2·k 1.又F ，N ，M 三点共线，得k MF ＝k MN ， 即2ak 1a ＋c ＝a 2b 2k 1，得2b 2＝a (a ＋c )．∵b 2＝a 2－c 2，∴2(a 2－c 2)＝a 2＋ac ，化简整理得2c 2＋ac －a 2＝0， 即2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0， 解得c a ＝12或ca ＝－1(舍去)．∴a ＝2c .由AF →＝λFB →，得(a －c,0)＝λ(a ＋c,0)， 将a ＝2c 代入，得(c,0)＝λ(3c,0)，即c ＝3λc ， ∴λ＝13.22．已知抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，椭圆C 2与抛物线C 1有公共的焦点，且C 2的中心在坐标原点，过点M (4,0)的直线l 与抛物线C 1分别交于A ，B 两点．(1)若AM →＝12MB →，求直线l 的方程；(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 1上，直线l 与椭圆C 2有公共点，求椭圆C 2的长轴长的最小值.【答案】(1) y ＝2x －42或y ＝－2x ＋42；(2) 34(2)设P (m ，n )，则OP 的中点为⎝⎛⎭⎫m 2，n 2. 因为O ，P 两点关于直线y ＝k (x －4)对称，所以⎩⎨⎧n 2＝k ⎝⎛⎭⎫m2－4，nm ·k ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8k 21＋k2，n ＝－8k1＋k2.将其代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋k 22＝4·8k 21＋k 2. 所以k 2＝1.。

第2讲 圆锥曲线[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M .2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． 例1 (1)(2018·银川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y 28＝1B.x 212＋y 24＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 答案 C 解析 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)．设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23， 可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23， 即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b ＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，② 由①②解得b 2＝2.所以C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)(2018·龙岩质检)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．8答案 A解析 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)，所以可得以C (1,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝4，解得A (1,2)． 抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y ＝－2，即有|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |＝1，当且仅当A ，B ，F (A 在B ，F 之间)三点共线时，可得最大值1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1 C.x 24－y 23＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 D 解析 ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上，∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上， ∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4，。

专题十二圆锥曲线的方程与性质卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算·T8双曲线的几何性质·T5双曲线的几何性质·T112018双曲线的几何性质·T11直线的方程及椭圆的几何性质·T12直线与抛物线的位置关系·T16直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用·T10双曲线的几何性质·T9双曲线的渐近线及标准方程·T52017双曲线的几何性质·T15抛物线的定义及标准方程·T16椭圆的几何性质·T10双曲线的几何性质与标准方程·T52016抛物线与圆的综合问题·T10双曲线的定义、离心率问题·T11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率问题·T11纵向把握趋势卷Ⅰ3年6考，且每年都有2个小题同时出现，涉及双曲线、抛物线的几何性质，特别是双曲线的几何性质及抛物线属每年必考内容．预计2019年仍会延续以上命题方式，注意圆锥曲线与其他问题的综合卷Ⅱ3年5考，且3年均考查了双曲线的几何性质．在2018年高考中考查了椭圆的几何性质，且难度较大．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线的几何性质或椭圆的几何性质卷Ⅲ3年5考，涉及双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系，既有选择题，也有填空题，难度适中．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线或椭圆的方程及性质横向把握重点1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．2.直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数，弦长、面积中点弦有关的问题，一般难度中等.圆锥曲线的定义与方程[题组全练]1.如图，椭圆＋＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠x 2a 2y 22F1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即m ＋4＝2a .①在△PF 1F 2中，由余弦定理得42＋m 2－2×m ×4×cos 120°＝4(a 2－2)．②联立①②，解得a ＝3.2．已知双曲线－＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双x 24y 2b2曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1x 243y 24x 244y 23C.－＝1D.－＝1x 24y 24x 24y 212解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，b2联立Error!解得Error!或Error!即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性，(44＋b2，2b 4＋b 2)得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为，，故＝84＋b 24b4＋b 28×4b4＋b 22b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为－＝1.x 24y 2123．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方p2程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝p 2p24x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：44．(2018·合肥质检)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线P Q ，垂足为Q.若四边形AFP Q 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|P Q|＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|Q A |＝y ，则Error!⇒Error!或Error!(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)．答案：(4,4)[系统方法]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．圆锥曲线的几何性质[由题知法]　(2018·陕西质检)过双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的[例1]x 2a 2y 2b2切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. B.23C ．2D.5[解析]　因为OM ⊥PF ，且M 为FP 的中点，所以△POF 为等腰直角三角形，即∠PFO ＝45°，则不妨令切线FM 的方程为x ＋y ＝c ，由圆心到切线的距离等于半径得＝a ，所以e ＝＝.c2ca 2[答案]　A　(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C[例2]x 2a 2y 2b2的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C36的离心率为( )A. B.2312C. D.1314[解析]　如图，作PB ⊥x 轴于点B.由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan 3∠PAB ＝＝＝，解得a ＝4，所以e ＝＝.|PB ||AB |3a ＋236c a 14[答案]　D 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物[例3]线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C. D.163203[学解题]法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝＝1，所以x 2＝p 2p 24，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝.13163法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为＋＝，|AF |＝4，所以|BF |＝，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋1|AF |1|BF |2p 43＝.43163[答案]　C [类题通法]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求的值或范围．c a2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得．(2)用法：①可得或的值．b a a b②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．③利用e ＝求离心率．1＋b 2a23．抛物线焦点弦的性质若线段AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝，y 1y 2＝－p 2；p 24(2)焦半径|AF |＝x 1＋；p2(3)＋＝；1|AF |1|BF |2p(4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过Fx 23的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A. B ．332C ．2D ．43解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝13133330°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝.3在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B.3法二：因为双曲线－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点Fx 2333的直线与直线y ＝x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，33又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－(x －2)，3由Error!得Error!所以M ，所以|OM |＝ ＝，(32，32)(32)2＋(32)23所以|MN |＝|OM |＝3，故选B.32．(2018·贵阳模拟)过双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，x 2a 2y 2b2切点为M ，交y 轴于点P ，若＝λ，且双曲线的离心率e ＝，则λ＝( )PM ―→ MF ―→62A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 如图，|OF |＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝，c 2b 所以|PM |＝－b ，c 2b所以λ＝＝＝＝.||||c 2b －b bc 2－b 2b 2a 2b2因为e 2＝＝＝1＋＝2＝，c 2a 2a 2＋b 2a 2b 2a 2(62)32所以＝.所以λ＝2.b 2a 2123．已知椭圆x 2＋＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B.y 2b 2过F ，B ，C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )，当m ＋n >0时，椭圆的离心率的取值范围为( )A.B.(0，22)(14，22)C. D.(13，22)(25，22)解析：选A 由题意知F ，B ，C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，则FC ，BC 的垂直平分线分别为x ＝，y －＝，1－c 2b 21b (x －12)联立Error!解得Error!∴m ＋n ＝＋>0，1－c 2b 2－c2b 即b －bc ＋b 2－c >0，整理得(1＋b )(b －c )>0，∴b >c ，从而b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴e 2<，12又e >0，∴0<e <.224．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且＝3，则||＝________.FM ―→ FP ―→ FP ―→解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1，由＝3，得|PM |＝2|PF |，FM ―→ FP ―→又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|，所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得＝＝＝，|PP 1|p |PP 1|2|MP ||MF |23所以|PP 1|＝，所以||＝.43FP ―→43答案：43直线与圆锥曲线的位置关系[多维例析]角度一　直线与圆锥曲线的交点个数问题　已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e <.以两个焦点和短轴的[例1]22两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2.3(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，直线l 的方程为3x 0x ＋4y 0y －12＝0，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．[解]　(1)依题意，设椭圆C 的方程为＋＝1(a >b >0)，焦距为2c ，x 2a 2y 2b2由题设条件知，4a ＝8，a ＝2，2××2c ×b ＝2，b 2＋c 2＝a 2＝4，123所以b ＝，c ＝1或b ＝1，c ＝(经检验不合题意，舍去)，33故椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)证明：当y 0＝0时，由＋＝1，x 204y 23可得x 0＝±2，当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(2,0)．当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(－2,0)．当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝，12－3x 0x4y 0联立Error!消去y ，得(4y ＋3x )x 2－24x 0x ＋48－16y ＝0.①202020由点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，得＋＝1，x 204y 23可得4y ＋3x ＝12.2020于是方程①可以化简为x 2－2x 0x ＋x ＝0，20解得x ＝x 0，将x ＝x 0代入方程y ＝可得y ＝y 0，故直线l 与椭圆C 有且只有一个交点P (x 0，12－3x 0x4y 0y 0)，综上，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0)．[类题通法]直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．角度二　弦长及面积问题　(2018·兰州检测)已知椭圆K ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，[例2]x 2a 2y 2b2其离心率e ＝，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．223(1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足：a 2＝S ，求直线l 的斜率．3[解]　(1)由题意得Error!解得Error!故椭圆K 的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由于直线l 的倾斜角不可为零，所以设直线l 的方程为my ＝x －1，与＋y 2＝1联立并化简可得x 22(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，2m m 2＋21m 2＋2可得y 0＝－，x 0＝my 0＋1＝.mm 2＋22m 2＋2设C (x ，y )，又＝λ (λ>0)，OC ―→ OM ―→所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2＝1⇒m 2＋2＝λ2.①(x 202＋y 20)设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则＝＝⇒h 2＝(λ－1)h 1.h 1h 2||||1λ－1又由点到直线的距离公式得，h 1＝＝.11＋m21λ2－1而|AB |＝·1＋m 2 y 1＋y 2 2－4y 1y 2＝＝，22 1＋m 2 m 2＋222 λ2－1λ2所以S ＝|AB |(h 1＋h 2)＝·＝.122 λ2－1 λ2λλ2－12 λ2－1λ由题意知，S ＝＝，所以＝⇒λ＝.a 23232 λ2－1λ233将λ＝代入①式得m ＝±1，3所以直线l 的斜率为±1.[类题通法]　弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝·＝ ·，其中k 为弦AB 所在直线的斜1＋k 2 x 1＋x 2 2－4x 1x 21＋1k2 y 1＋y 2 2－4y 1y 2率．角度三　弦的中点问题　已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B [例3]两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是P Q 的中点，证明：AR ∥F Q ；(2)若△P Q F 的面积是△ABF 面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解]　由题意可知F ，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ，B ，P(12，0)(a 22，a )(b 22，b )，Q ，R .(－12，a )(－12，b )(－12，a ＋b2)(1)证明：记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0，记直线AR 的斜率为k 1，直线F Q 的斜率为k 2，所以k 1＝，k 2＝＝－b ，a －b 1＋a 2b－12－12又因为ab ＋1＝0，所以k 1＝＝＝＝＝－b ，a －b 1＋a 2a －b a 2－ab 1a －aba所以k 1＝k 2，即AR ∥F Q.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1,0)，所以S △ABF ＝|a －b ||FD |＝|a －b |×，1212|x 1－12|又S △P Q F ＝，|a －b |2所以由题意可得S △P Q F ＝2S △ABF ，即＝2××|a －b |×，|a －b |212|x 1－12|解得x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得＝(x ≠1)．2a ＋b y x －1又＝，所以y 2＝x －1(x ≠1)．2a ＋b 1y当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.[类题通法]　弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y，k ＝，k ＝(抛物线y 2＝2px )．其中k ＝(x 1≠x 2)，(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)p y 0y 2－y 1x 2－x 1(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．[综合训练]1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使得PB 2⊥Q B 2，求直线l 的方程．解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，右焦点x 2a 2y 2b2为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，且|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2＝90°，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝.c2由c 2＝a 2－b 2，得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝＝.c a 255在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |12＝·b ＝b 2.c2由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，所以a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 220y 24(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程并整理得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝，y 1y 2＝－，4m m 2＋516m 2＋5又＝(x 1－2，y 1)， ＝(x 2－2，y 2)，B 2P ―→ B 2Q ―→所以·＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2B 2P ―→ B 2Q ―→＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－－＋1616 m 2＋1 m 2＋516m 2m 2＋5＝－，16m 2－64m 2＋5由PB 2⊥Q B 2，得·＝0，B 2P ―→ B 2Q ―→即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线l 有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的右顶点为x 2a 2y 2b 2A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为的直线与y 轴交于12点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，12求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ，(－c ，－b 2a)所以Error!解得Error!所以椭圆C 的标准方程是＋＝1.x 24y 23(2)因为＝＝＝λ⇒＝(λ>2)，所以S△PAM S△PBN 12|PA |·|PM |·sin ∠APM 12|PB |·|PN |·sin ∠BPN 2·|PM |1·|PN ||PM ||PN |λ2PM ―→＝－.λ2PN ―→由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，(k >12)联立Error!化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.8k 4k 2＋3－84k 2＋3又＝(x 1，y 1＋1)， ＝(x 2，y 2＋1)，PM ―→ PN ―→则x 1＝－x 2，即＝－，λ2x 1x 2λ2所以＝＋2＋ x 1＋x 2 2x 1x 2x 1x 2x 2x1＝－＋2－＝－，λ22λ8k 24k 2＋3即＝.2－λ 2λ16k 24k 2＋3因为k >，所以＝∈(1,4)，1216k 24k 2＋3163k2＋4则1<<4且λ>2⇒4<λ<4＋2.2－λ 2λ3综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋2)．3重难增分圆锥曲线的定义、方程及性质的综合问题[典例细解] (2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：＋＝1长轴的两个端点．若C 上[例1]x 23y 2m存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， ]∪[9，＋∞)3C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， ]∪[4，＋∞)3[解析]　当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，a b33m3解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m ≥9.ab 3m 33故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．[答案]　A[启思维]　本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A ，B 为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m 与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．　(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为的直线交C 于点M (M [例2]3在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. B ．252C ．2D ．333[解析]　法一：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |－|MF |cos 60°＝2，由抛物线的定义，得|MN |＝|MF |＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×＝2.323法二：由题意，得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝(x －1)．3由Error!得x ＝或x ＝3.13由M 在x 轴的上方，得M (3,2)，3由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×＝2.323[答案]　C[启思维]　本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．　(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦[例3]x 2a 2y 2b2点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A. B.1312C. D.2334[解析]　如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得＝，|MF ||OE ||AF ||AO |则|MF |＝.①m a －ca又由OE ∥MF ，得＝，12|OE ||MF ||BO ||BF |则|MF |＝.②m a ＋c2a由①②得a －c ＝(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝＝.12c a 13[答案]　A[启思维]　本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．[综合训练]1．(2018·福州模拟)已知双曲线E ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，x 2a 2y 2b2点M ，N 在E 上，MN ∥F 1F 2，|MN |＝|F 1F 2|，线段F 2M 交E 于点Q ，且＝，则E 的离25F 2Q ―→ Q M ―→心率为( )A. B.515C ．2D.310解析：选B 设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵MN ∥F 1F 2，|MN |＝|F 1F 2|，25∴|MN |＝c ，不妨设M .45(－2c5，y 0)∵＝，∴Q 是线段F 2M 的中点，∴Q .F 2Q ―→ Q M ―→ (3c 10，y 02)把M ，Q 分别代入E 的方程－＝1(a >0，b >0)，(－2c 5，y 0)(3c 10，y 02)x 2a 2y 2b2可得Error!∴＝15，∴e ＝.c 2a2152．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A. B.1223C. D.3443解析：选D 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－，p2因为点A (－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p ＝4，p2从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x ，消去x ，化简得y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①k8由Δ＝1－4××(2k ＋3)＝0，得k ＝－2或k ＝，k 812因为切点在第一象限，所以k ＝.12将k ＝代入①中得y ＝8，12再将y ＝8代入y 2＝8x 中，得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为＝.8－08－2433.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为＋＝x 2a 2y 2b 21(a >b >0)和＋＝1(a >b >0，m >1)，从大椭圆的两个顶点分x 2 ma 2y 2mb 2别向小椭圆引切线AC ，BD ，若AC ，BD 的斜率之积恒为－，则大椭圆的离1625心率为( )A. B.3534C. D.4574解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为＋＝1，x 2 ma 2y 2mb 2则A (ma,0)，B (0，mb )，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，联立Error!消去y ，得(a 2k ＋b 2)x 2－2mk a 3x ＋m 2k a 4－a 2b 2＝0，212121由Δ＝(－2mk a 3)2－4(k a 2＋b 2)(m 2k a 4－a 2b 2)＝0，212121化简得k a 2－m 2k a 2＋b 2＝0⇒k ＝·，212121b 2a 21m 2－1设直线BD 的斜率为k 2，同理可得k ＝(m 2－1)，2b 2a2∴k k ＝··(m 2－1)＝＝2，212b 2a 21m 2－1b 2a 2b 4a 4(－1625)∴＝，∴e ＝ ＝.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)b a 451－(b a )235一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则14该椭圆的离心率为( )A. B.1312C. D.2334解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为＋＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知＝×2b ，解得＝，即e ＝.故选 B.x c yb|－bc |b 2＋c 214c a 12122．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一个x 2a 2y 2b2焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A.B.23C ．2 D.5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝，ba π3＝tan ＝，双曲线C 的离心率e ＝ ＝2.b a π331＋(b a )23．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线－＝1(b >0)的一个焦点与抛物x 23y 2b线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±x1333C ．y ＝±3xD ．y ＝±x3解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线－＝1的一个焦点坐标是x 23y 2b(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±x .334．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|N Q|＝(|AA ′|＋|BB ′|)＝|AB |，因为|MN |＝1212|AB |，所以|N Q|＝|MN |，所以∠MN Q ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直12线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )π4A. B.1222C ．1D.2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝，则在△PF 1F 2中，由余弦定π4理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos ，化简得(2－)a ＋(2＋)a π422122＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴＋＝4，2－2e 212＋2e2又＋≥2＝，2－2e 212＋2e 22－2e 21·2＋2e 222e 1·e 2∴≤4，即e 1·e 2≥，22e 1·e 222∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.226．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△P F 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝|MF 2|12＝(|PF 2|－|PM |)＝(|PF 2|－|PF 1|)＝1.12127．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点12重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为＋＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝＝，所以a ＝4，所以b 2＝a 2x 2a 2y 2b 2c a 12－c 2＝12.由题意知|AB |＝＝2×＝6.2b 2a 124答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝x 2a 2y 2b20，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，x 2a 2y 2b2因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝＝1.y 2－y 1x 2－x 1由Error!两式相减得，＋＝0， x 1＋x 2 x 1－x 2a 2y 1＋y 2 y 1－y 2 b2所以＝－·，所以＝，y 1－y 2x 1－x 2b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2b 2a 214于是椭圆的离心率e ＝＝＝.c a 1－b 2a232答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过y 2a 2x 2b2其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝x ab平行的直线为y ＝x ＋c ，联立Error!a b解得Error!即M .因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2(－bc 2a ，c2)＋y 2＝c 2内，故2＋2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得<2，又双曲线的离心(－bc 2a )(c 2)ca率e ＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．ca答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，x 2a 2y 2b 2F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为B.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0，所以＝b ，即2c ＝a .②|－bc －bc |c 2＋b 2又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝，3所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)，则直线A 1P 的方程为y ＝(x ＋2)，y 0x 0＋2所以M .(m ，y 0x 0＋2m ＋2 )又点P 在椭圆C 上，所以y ＝3.20(1－x 24)若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，即·＝0，A 2M ―→ A 2P ―→所以·(x 0－2，y 0)(m －2，y 0x 0＋2m ＋2 )＝(m －2)(x 0－2)＋(m ＋2)y 2x 0＋2＝(m －2)(x 0－2)＋(m＋2)3(1－x 204)x 0＋2＝(x 0－2)＝0.(14m －72)又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2，所以m －＝0，解得m ＝14.147211．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 2轴、y 轴上滑动，＝ .记点P 的轨迹为曲线E .CP ―→ 2PD ―→(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，＝＋，当点M 在曲线EOM ―→ OA ―→ OB ―→上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由＝ ，得(x －m ，y )＝(－x ，n －y )，CP ―→ 2PD ―→2所以Error!得Error!由||＝＋1，得m 2＋n 2＝(＋1)2，CD ―→22所以(＋1)2x 2＋y 2＝(＋1)2，2 2＋1 222整理，得曲线E 的方程为x 2＋＝1.y 22(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由＝＋，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．OM ―→ OA ―→ OB ―→由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.2k k 2＋21k 2＋2y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝.4k 2＋2由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋＝1， y 1＋y 2 22即＋＝1，4k 2 k 2＋2 28 k 2＋2 2解得k 2＝2.所以|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝＝，3[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2]322又原点到直线AB 的距离d ＝＝，11＋k233所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝.6212．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：＋＝1(a >b >0)，直x 2a 2y 2b2线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为.32(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足＋ －2 ＝0，求直线l 的方程．OA ―→ 3OB ―→ OC ―→解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1.依题意设直线n 的方程为－y ＝1，xa由＝，解得a ＝，11a 2＋1323故椭圆E 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋，22由Error!消去x ，得(t 2＋3)y 2＋2ty －1＝0，2∴y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，①22tt 2＋31t 2＋3∵＋ －2＝0，OA ―→ 3OB ―→ OC ―→∴x 3＝x 1＋x 2，y 3＝y 1＋y 2，12321232又点C 在椭圆E 上，∴＋y ＝2＋2＝＋＋＝1，x 2332313(12x 1＋32x 2)(12y 1＋32y 2)14(x 213＋y 21)34(x 23＋y 2)32(13x 1x 2＋y 1y 2)又＋y ＝1，＋y ＝1，x 21321x 232∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，②13将x 1＝ty 1＋，x 2＝ty 2＋及①代入②得t 2＝1，22即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －＝0或x －y －＝0.22二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是x 2a 2y 2b2坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝|OP |，则C 的离心率为( )6A. B ．25C.D.32解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝x ，ba则F 2到y ＝x 的距离d ＝＝b.b a|bc |a 2＋b 2在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝a ，6又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝＝－cos ∠POF 2＝－，a 2＋c 2－ 6a 22aca c 即3a 2＋c 2－(a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝＝.6c a3法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝a ＝b ，所以c ＝62＝a ，所以e ＝＝.a 2＋b 23ca32．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共x 2a 2点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则的取值范围k 1k2为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所x 2a2以Error!解得3<a 2<5.设椭圆M ：＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，x 2a2y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，x 0xa 2所以k 1＝－，k 2＝－，＝a 2，所以∈(3,5)．x 0y 0x 0a 2y 0k 1k 2k 1k23．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若＝2，则(－)2－42的最大值为( )AB ―→ AG ―→ OA ―→ OB ―→ OG ―→A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由＝2知G 是线段AB 的中点，AB ―→ AG ―→∴＝(＋)，OG ―→ 12OA ―→OB ―→∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·.OA ―→ OB ―→ OG ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A，B ，(x 1，x 214)(x 2，x 24)∴－4·＝－4OA ―→ OB ―→ (x 1x 2＋x 21x 216)＝－4 ＝16－42≤16，[2－4](x 1x 24＋2)∴(－)2－42的最大值为16.OA ―→ OB ―→ OG ―→4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A. B.643323C. D.32396439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝＝，所以∠BAC ＝2|FB |4|FB |1260°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝|AP ||AB |sin 60°＝1212×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×＝2(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝323－(x －1)，联立Error!解得x ＝或x ＝3，易知x B ＝，所以S △PAB ＝2×2＝.313133(13＋1)32395．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，)．设以A ，B 为焦点的双3曲线方程为－＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋x 2a 2y 2b2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋－5≥3，解得a 2≥4＋24a24a2或0＜a 2≤4－2，由a 2≥4＋2得a ≥＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－2，即0＜a ≤－1.∴333333双曲线的离心率e ＝≥＝＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[＋1，＋∞)．ca23－133答案：[＋1，＋∞)36．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，x 2a 2y 2b2P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△Q F 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ，因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |，又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥R Q ，故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a .法一：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形，所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，|P Q|＝m ，2连接Q F 2，则|Q F 2|＝m ＋2a .在△Q PF 2中，∠Q PF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(m )2－2(m －2a )·m ·cos 135°，化简得m ＝223a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，＝，c a 102即双曲线的离心率为.102法二：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形，所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，连接Q F 2，则在Rt △Q RF 2中，|R Q|＝2m －2a ，|RF 2|＝m ，|Q F 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，＝，c a 102即双曲线的离心率为.102答案：102。