山东省济宁一中2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理（扫描版）
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山东省济宁一中2017-2018学年高考数学模拟试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）集合A满足：若a∈A，则∈A，则满足条件的元素最少的集合A中的元素个数有（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.53．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+B．C．D．44．（5分）设扇形的圆心角为60°，面积是6π，将它围成一个圆锥，则该圆锥的表面积是（）A．πB．7πC．D．8π5．（5分）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）设方程log4x=（）x，log x=（）x的根分别为x1、x2，则（）A．0＜x1x2＜1 B．x1x2=1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥27．（5分）某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队参赛15场，积33分．若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有（）种．A．15 B．11 C．9D．38．（5分）已知函数f（x）=g（x）=x2﹣4x﹣4．设b为实数，若存在实数a，使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1]C．二、填空题（每小题5分，共20分）9．（5分）已知x∈R，则函数f（x）=的值域是．10．（5分）已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f=4，则f（2）=．11．（5分）设A k={x|x=kt+，≤t≤1}，其中k=2，3…，2015，则所有A k的交集是．12．（5分）如图1所示，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心为O，面B1BCC1的中心为E，B1C1的中点为F．则空间四边形D1OEF在该正方体各个面的上投影如图2可能是．（把你认为正确命题的序号填写在答题纸上）三、解答题（第13题满分40分，第14满分40分、第15题满分40分，共40分）13．（12分）已知二次函数f（x）的二次系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为{x|1＜x ＜3}．（1）若函数y=f（x）+6a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；（2）记f（x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．14．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，M是AA1上的一点，AA1=4，A1M=1．P是棱BC上的一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短距离为3．设此最短距离的折线与CC1交于点N．（1）求证：A1B∥平面MNP；（2）求平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值．15．（15分）已知定义域为的函数f（x）同时满足下列三个条件：①对任意的x∈，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立则称函数f（x）为“友谊函数”．（1）已知f（x）是“友谊函数”，求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x﹣1在区间上是否是“友谊函数”？说明你的理由．（3）已知f（x）是“友谊函数”，假定存在x0∈，使得f（x0）∈，且f=x0．求证：f（x0）=x0．四、解答题（共3小题，满分50分）16．（15分）自锐角△ABC的顶点A向边BC引垂线，垂足为D．在AD上任取一点H，直线BH交AC于点E，CH交AB于点F．证明：∠EDH=∠FDH．（即AD平分ED与DF所成的角）17．（15分）四个半径为1的球彼此相切，三个在水平面上，第四个在它们的上面．其中，给出一个边长为a的正四面体，使得任一球与该正四面体的三个面相切，求实数a的值．18．已知a、b、c、d为非负实数，f（x）=（x∈R），且f（19）=19，f（97）=97，若x≠﹣，对任意的实数x均有f（f（x））=x成立，试求出f（x）值域外的唯一数．山东省济宁一中2015届高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）集合A满足：若a∈A，则∈A，则满足条件的元素最少的集合A中的元素个数有（）A．1B．2C．3D．4考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合．分析：由题意知，a∈A，∈A，﹣∈A，至少有3个元素．解答：解：∵a∈A，∈A；a﹣=≠0；故=﹣，a+=≠0；故=a；故集合A最至少有三个元素，故选C．点评：本题考查了集合与元素的关系应用，属于基础题．2．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.5考点：函数的周期性；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：先由，证明函数为周期为4的周期函数，再利用周期性和对称性，将f（5.5）转化到2≤x≤3时的函数值，具体是f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（2.5）解答：解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5故选D点评：本题考察了函数的周期性和函数的奇偶性，能由已知抽象表达式推证函数的周期性，是解决本题的关键，函数值的转化要有较强的观察力3．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+B．C．D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图可以看出，此几何体是一个上部为圆锥、下部为圆柱的几何体，故可以分部分求出圆锥与圆柱的体积再相加求出此简单组合体的体积．解答：解：所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成．其中圆锥的高为．其体积为=圆柱的体积为π•12•2=2π故此简单组合体的体积V=+2π故选C．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是简单组合体的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是2015届高考的新增考点，不时出现在2015届高考试题中，应予以重视．4．（5分）设扇形的圆心角为60°，面积是6π，将它围成一个圆锥，则该圆锥的表面积是（）A．πB．7πC．D．8π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设扇形的半径即圆锥的母线为l，圆锥的底面半径为r，利用扇形的面积公式与弧长公式求得l，r；再利用勾股定理求圆锥的高，代入面积公式和体积公式计算可得答案．解答：解：设扇形的半径即圆锥的母线为l，圆锥的底面半径为r，则由，得r=6．∵扇形的圆心角为60°，∴扇形的弧长为．即圆锥的底面周长为2π，其半径r=1．所以底面面积为π×12=π，所以圆锥的表面积是S=6π+π=7π．故选：B点评：本题考查了圆锥的侧面展开图及侧面积公式，考查了扇形的弧长公式及圆的周长公式，关键是结合图形求底面圆的半径，属于基础题．5．（5分）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．解答：解：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，∴a2+4b2+4ab=1≥8ab，当且仅当|a|=|2b|时，取等号，故ab的取值范围为（﹣∞，]，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．（5分）设方程log4x=（）x，log x=（）x的根分别为x1、x2，则（）A．0＜x1x2＜1 B．x1x2=1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数图象判断x1＞1，0＜x2＜1，利用对数的基本运算以及指数函数的性质即可得到结论．解答：解：方程log4x=（）x，log x=（）x的根分别为x1、x2，则由图象可知x1＞1，0＜x2＜1，即x1＞x2，则=（）＜（），则log4x1=（）x1，log x2=（）=﹣log4x2，两式相减得log4x1x2=（）﹣（）＜0，即0＜x1x2＜1，故选：A．点评：本题主要考查函数的指数函数和对数函数的应用，根据数形结合是解决本题的关键．7．（5分）某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队参赛15场，积33分．若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有（）种．A．15 B．11 C．9D．3考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：本题设出该球队的胜、平、负的场次分别为x、y、z，以积分作为等量关系列出方程，即可得出结论．解答：解：设该球队的胜、平、负的场次分别为x、y、z，则解得，所以，，共3种情形．故选：D．点评：本题考查积分问题，考查学生的计算能力，设出不同的情况，然后根据题目所给的条件限制求出解是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）=g（x）=x2﹣4x﹣4．设b为实数，若存在实数a，使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1]C．考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数f（x）的值域，从而化为最值问题即可．解答：解：当时，，当时，f（x）=ln（x+1）∈即可，即（b﹣2）2﹣8∈（﹣∞，1]，解得b∈．故选A．点评：本题考查了分段函数的应用及配方法求最值的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）9．（5分）已知x∈R，则函数f（x）=的值域是（﹣1，1）．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：配方由两点间的距离公式可得f（x）的值域表示|PA|﹣|PB|的取值范围，由三角形的三边关系可得．解答：解：配方可得=，构造点P（x，0），，，函数f（x）的值域表示|PA|﹣|PB|的取值范围．由于三角形的两边之差小于第三边，∴||PA|﹣|PB||＜|AB|=1，故函数f（x）的值域为：（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）点评：本题考查函数的值域，考虑几何意义是解决问题的关键，属中档题．10．（5分）已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f=4，则f（2）=10．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因为f（x）是R上的增函数，所以若f（x）﹣3x不是常数，则f便不是常数．而已知f=4，所以f（x）﹣3x是常数，设f（x）﹣3x=m，所以f（m）=4，f（x）=3x+m，所以f（m）=3m+m=4，容易知道该方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3x+1，所以便可求出f （2）．解答：解：根据题意得，f（x）﹣3x为常数，设f（x）﹣3x=m，则f（m）=4，f（x）=3x+m；∴3m+m=4，易知该方程有唯一解，m=1；∴f（x）=3x+1；∴f（2）=10；故答案为：10．点评：考查对于单调函数，当自变量的值是变量时，函数值也是变量，单调函数零点的情况．11．（5分）设A k={x|x=kt+，≤t≤1}，其中k=2，3…，2015，则所有A k的交集是．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：由知，∴，且在2﹣4a×9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0，解得或a=1（舍），将代入①式，得．（2）由①及a＜0知，f（x）的最大值．又因为﹣a＞0，由对勾函数的性质，得，当且仅当a=﹣1时，等号成立．故h（a）的最小值为﹣2．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质、对勾函数的图象和性质的应用，属于基础题．14．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，M是AA1上的一点，AA1=4，A1M=1．P是棱BC上的一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短距离为3．设此最短距离的折线与CC1交于点N．（1）求证：A1B∥平面MNP；（2）求平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，知侧面均为全等的矩形，将侧面旋转120°，使其与侧面ACC1A1在同一个平面上，点P运动到P1位置，联结MP1，设A1C 与MN交于点Q，则A1B∥PQ，由此能证明A1B∥平面MNP．（2）连接PP1，则PP1为平面MNP与平面ABC的交线．作MH⊥PP1于点H，连接CH，则∠NHC即为平面ABC与平面MNP所成二面角的平面角，由此能求出平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值．解答：（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面均为全等的矩形．如图所示，将侧面旋转120°，使其与侧面ACC1A1在同一个平面上．在同一个平面内，点P运动到P1位置，联结MP1，则MP1即为点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路径．…（3分）设PC=x，则P1C=x，在Rt△MAP1，注意到（2+x）2+x2=18，得x=1．故P为BC的中点，于是NC=1．设A1C与MN交于点Q，则Q为A1C的中点，所以A1B∥PQ，所以A1B∥平面MNP．…（6分）（2）解：如图，连接PP1，则PP1即为平面MNP与平面ABC的交线．作MH⊥PP1于点H，连接CH．又因为CC1⊥平面ABC，从而CH⊥PP1．故∠NHC即为平面ABC与平面MNP所成二面角的平面角．…（10分）在Rt△PHC中，由，则．在Rt△NHC中，．故平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为2．…（13分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，涉及到线线、线面、面面的平行与垂直的性质，考查旋转问题的应用，是中档题．15．（15分）已知定义域为的函数f（x）同时满足下列三个条件：①对任意的x∈，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立则称函数f（x）为“友谊函数”．（1）已知f（x）是“友谊函数”，求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x﹣1在区间上是否是“友谊函数”？说明你的理由．（3）已知f（x）是“友谊函数”，假定存在x0∈，使得f（x0）∈，且f=x0．求证：f（x0）=x0．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）赋值可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），结合已知f（0）≥0，可求f（0）（2）要判断函数g（x）=2x﹣1在区间上是否为“友谊函数，只要检验函数g（x）=2x﹣1在上是否满足①g（x）＞0；②g（1）=1；③x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，有g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2）即可．（3）利用反正法，先假设f（x0）≠x0，然后分f（x0）＞x0，f（x0）＜x0，两种情况分别进行论证即可解答：解：（1）令x1=1，x2=0，则x1+x2=1∈．由③，得f（1）≥f（0）+f（1），即f（0）≤0．又由①，得f（0）≥0，所以f（0）=0．（2）g（x）=2x﹣1是友谊函数．显然g（x）=2x﹣1在上满足①g（x）≥0；②g（1）=1；下面证明也满足③：若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，即x1，x2∈，x1+x2∈，有2x1≥1，2x2≥1．则（2x1﹣1）（2x2﹣1）≥0．即g（x1+x2）﹣=﹣1﹣=（﹣1）（﹣1）≥0，故g（x）=2x﹣1满足条件①﹑②﹑③故g（x）在上为友谊函数．（3）取0≤x1＜x2≤1，则0＜x2﹣x1≤1．所以f（x2）=f（x2﹣x1+x1）≥f（x2﹣x1）+f（x1）≥f（x1）故有f（x1）≤f（x2）．假设f（x0）≠x0，若f（x0）＞x0，则f≥f（x0）＞x0．若f（x0）＜x0，则f≤f（x0）＜x0．都与题设矛盾，因此f（x0）=x0．点评：本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题．四、解答题（共3小题，满分50分）16．（15分）自锐角△ABC的顶点A向边BC引垂线，垂足为D．在AD上任取一点H，直线BH交AC于点E，CH交AB于点F．证明：∠EDH=∠FDH．（即AD平分ED与DF所成的角）考点：相似三角形的性质．专题：选作题；立体几何．分析：过A作直线l∥BC，延长DF、DE分别交l于P、Q，证明Rt△ADP≌Rt△ADQ，即可得出结论．解答：证明：过A作直线l∥BC，延长DF、DE分别交l于P、Q．于是有，．…（5分）又，所以，所以AP=AQ．所以Rt△ADP≌Rt△ADQ，从而∠EDH=∠FDH．…（15分）点评：本题考查三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．17．（15分）四个半径为1的球彼此相切，三个在水平面上，第四个在它们的上面．其中，给出一个边长为a的正四面体，使得任一球与该正四面体的三个面相切，求实数a的值．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，过点A的高交底面BCD于点G，则G为△ABC的重心．与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，于是将△AEG扩展为该四面体中相应的△A1E1G1，进而求出相应四面体的棱长，可得答案．解答：解：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，设该四面体为ABCD．过点A的高交底面BCD于点G，则G为△ABC的重心．取BC的中点E，画出平面图形△AEG，如图所示．与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，…（5分）于是将△AEG扩展为该四面体中相应的△A1E1G1，只须分别作A1E1∥AE，E1G1∥EG，平行线间距均为1，即可得到△A1E1G1，通过△AEG求出△A1E1G1的边，进而可求出a的值．…（5分）事实上，易知，，，，所以．所以．又因为，得．…（15分）点评：本题考查的知识点是球的几何特征，球与平面相切的几何特征，考查空间想像能力和计算能力，难度较大，属于难题．18．已知a、b、c、d为非负实数，f（x）=（x∈R），且f（19）=19，f（97）=97，若x≠﹣，对任意的实数x均有f（f（x））=x成立，试求出f（x）值域外的唯一数．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由题意先化简f（f（x））=x得：（a+d）cx2+（d2﹣a2）x﹣b（a+d）=0，由恒成立可得a+d=0，且d2﹣a2=0，即d=﹣a，再把f（19）=19，f（97）=97代入化简求出a、b、c、d的关系，从而求出f（x）的解析式，利用分裂常数法化简解析式后，即可得到答案．解答：解：由题设，对任意实数有f（f（x））=x，即，化简，得（a+d）cx2+（d2﹣a2）x﹣b（a+d）=0，由于上述方程对恒成立，故a+d=0，且d2﹣a2=0，所以d=﹣a．…（10分）又f（19）=19，f（97）=97，即19、97是方程的两个根，即方程是cx2+（d﹣a）x﹣b=0的两个根，故由韦达定理，得，，结合d=﹣a，得a=58c，b=﹣1843c，d=﹣58c，所以．于是f（x）取不到58这个数，即58是f（x）值域外的唯一的数．…点评：本题考查待定系数法求函数的解析式，函数恒成立问题，以及分裂常数法化简解析式，考查化简计算能力和逻辑思维能力，属于难题．。

绝密★启用前山东省济宁市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．复数在平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再判断其在平面内对应的点在第几象限.详解：由题得，所以复数z在平面内对应的点为，所以在平面内对应的点在第二象限.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系. 2．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得再求最后求得=0.34.详解：由正态分布曲线得所以所以=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.3．用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立。

至少有一个的对立情况为没有。

故假设为方程没有实根。

详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根。

”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立。

常见否定词语的否定形式如下：4．“因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 大前提与推理形式都错误【答案】B【解析】分析：因为函数不是偶函数，是一个非奇非偶函数，所以小前提错误.详解：因为,所以，所以函数f(x)不是偶函数，所以小前提错误.故答案为：B.点睛：本题主要考查演绎推理中的三段论和函数奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.5．若随机变量的分布列为（）且，则随机变量的方差等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量的方差.详解：由题得所以故答案为:D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，那么＝＋＋…＋,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．6．盒中有只螺丝钉，其中有只是不合格的，现从盒中随机地取出只，那么恰有只不合格的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用古典概型求恰有只不合格的概率.详解：由古典概型公式得故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.7．函数的图象在点处的切线方程是，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出和，再求即得.详解：由题得因为函数的图象在点处的切线方程是，所以所以故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是8．在极坐标中，点到圆的圆心的的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.详解：由题得点的坐标为，因为，所以，所以圆心的坐标为（2,0），所以点到圆心的距离为，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平. （2）极坐标化直角坐标的公式为9．设，下列不等式中正确的是（）①②③④A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④【答案】C【解析】分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断.详解：因为ab>0,所以a,b同号.对于①，由绝对值三角不等式得，所以①是正确的；对于②，当a,b同号时，，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得，所以④是正确的.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生对该知道掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这样的题目，方法要灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明判断. 10．已知圆柱的轴截面的周长为，则圆柱体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析: 设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．详解:设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤64π，∴圆柱体积的最大值为64π，点睛: (1)本题主要考查圆柱的体积和基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可. 11．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，则P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；则目标是被甲击中的概率为P=.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)条件概率的公式:，=.条件概率一般有“在已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.12．已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据椭圆的方程算出A（4，0）、B（0，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=0．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出d max=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．详解：由题得椭圆C方程为：，∴椭圆与x正半轴交于点A（4，0），与y正半轴的交于点B（0，3），∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=0的距离为d==|sin﹣1|，由此可得：当θ=时，d max=（）∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×d max=6（）.点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.13．函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数的最大值.详解：由柯西不等式得，所以（当且仅当即x=时取最大值）故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立.14．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由f（x）的导函数形式可以看出e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x﹣kx，g′（x）=e x﹣k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．详解：∵函数的定义域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x﹣kxg′（x）=e x﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=e x和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析转化e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题15．若复数满足，其中为虚数单位，则__________．【答案】【解析】分析：先设,再代入，利用复数相等的概念得到z,再求.详解：设，代入得所以，故答案为：.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的模，考查复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)求复数z可以利用直接法和待定系数法，本题利用的是待定系数法.16．由曲线与所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】【解析】分析：由题得曲线与所围成的封闭图形的面积为，再计算得解.详解：因为，所以.联立所以曲线与所围成的封闭图形的面积为，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查定积分求面积和微积分基本原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)）图中阴影部分的面积S=17．从位女生，位男生中选了人参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各人，且至多有位女生参赛，则不同的参赛方案共有__________种.(用数字填写答案)．【答案】【解析】分析：分只有一个女生和没有女生两种情况讨论求不同的参赛方案总数.详解：当只有一个女生时，先选一个女生有种选法，再从4个男生里面选2个男生有种方法，再把选出的3个人进行排列有种方法，所以有种方法.当没有女生时，直接从4个男生里选3个排列有种方法.所以共有种方法，故答案为：96.点睛:(1)本题主要考查排列组合的综合，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力分类讨论思想方法.(2)排列组合常用方法：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.18．已知定义在上的函数满足（其中为的导函数）且，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】分析：根据题意，令g（x）=，对其求导可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；结合f（1）=e可得g（1）=，则不等式f（x）＞e x⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），借助函数的单调性分析可得答案．详解：根据题意，令g（x）=，则其导数g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；且g（1）=；则不等式f（x）＞e x⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），又由函数g（x）为减函数，则有x＜1；则不等式f（x）＞e x的解集为（-∞,1）；故答案为：．点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和解不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键是构造函数g（x）=求其单调性,再利用单调性解不等式g（x）＞g（1）.三、解答题19．已知的展开式中所有项的系数和为.（1）求的展开式中二项式系数最大的项；（2）求的展开式中的常数项.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出的展开式中的一次项和常数项，再求的展开式中的常数项.详解：（1）由题意，令得，即，所以展开式中二项式系数最大的项是第项，即.（2）展开式的第项为.,由，得；由，得.所以的展开式中的常数项为.点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和的“”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和的常数项相乘得到，再把两个相加即得.20．某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：海水浓度（吨）绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量(吨)与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.（1）求的值；（2）统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，回归效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有是解释变量引起的.请计算相关指数(精确到),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差，相关指数，其中）【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用残差定义求m,n.(2)直接利用相关指数公式求相关指数，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的.详解：（1）因为,,所以，即,所以线性回归方程为,所以,.（2）,所以相关指数,故亩产量的变化有是由海水浓度引起的.点睛：（1）本题主要考查回归方程的性质和残差，考查相关指数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心.21．观察下列等式：；；；；……（1）照此规律，归纳猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）第个等式为.(2)利用个数学归纳法证明猜想.详解：（1）第个等式为；（2）用数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边,所以当时，原等式成立.②假设当时原等式成立，即,则当时，,所以当时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何都成立.点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，=.22．2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占，而男生有人表示对足球运动没有兴趣.（1）完成列联表,并回答能否有的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取名学生,抽取次，记被抽取的名学生中对足球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.附:【答案】（1）有；（2）.【解析】分析：（1）根据已知数据完成2×2列联表，计算，判断有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）先求得从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，再利用二项分布求的分布列和数学期望.详解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到,所以有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，有题意知,,,,从而的分布列为.点睛：(1)本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若～则23．已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先利用导数求函数的单调区间，再求的最小值.(2)先求的最小值为,再证明＞0.详解：（1）若，,所以,设，则所以在上为增函数，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为.（2）由题意知当时，显然成立.当时，由（1）知在上为增函数，因为,所以存在唯一的使得，即,所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为,,,当且仅当，即时取等号.代入得，矛盾，所以等号不能成立.所以，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题有两个难点，其一是求得的最小值为,其二是证明＞0，用到了基本不等式，同时要注意取等的问题.24．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线的交点为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接代极坐标公式得到曲线的直角坐标方程.(2) 把直线的参数方程代入，得,再利用直线参数方程t的几何意义解答.详解：（1）对于曲线，两边同乘以可得，即,所以它的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入，得,所以,因为点在直线上，所以,因为,所以,所以.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,. 25．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式有实数解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先求的最小值为,再解不等式得的取值范围.详解：（1）由题意的：,两边平方得：,即，解得或，所以原不等式的解集为.（2）,所以的最小值为,所以，即或,亦即或.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是求的最小值，这里利用了三角绝对值不等式求最值.21。

2017~2018学年度下学期质量检测高二数学(理科)试题2018.07第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再判断其在平面内对应的点在第几象限.详解：由题得，所以复数z在平面内对应的点为，所以在平面内对应的点在第二象限.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得再求最后求得=0.34.详解：由正态分布曲线得所以所以=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.3. 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设时（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一实根C. 方程至多有两实根D. 方程恰好有两实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立。

至少有一个的对立情况为没有。

故假设为方程没有实根。

详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根。

”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立。

常见否定词语的否定形式如下：4. “因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（ ） A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 大前提与推理形式都错误 【答案】B【解析】分析：因为函数不是偶函数，是一个非奇非偶函数，所以小前提错误.详解：因为,所以，所以函数f(x)不是偶函数，所以小前提错误.故答案为：B.点睛：本题主要考查演绎推理中的三段论和函数奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 5. 若随机变量的分布列为（ ）且，则随机变量的方差等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量的方差.详解：由题得所以故答案为:D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，那么＝＋＋…＋,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．6. 盒中有只螺丝钉，其中有只是不合格的，现从盒中随机地取出只，那么恰有只不合格的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用古典概型求恰有只不合格的概率.详解：由古典概型公式得故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.7. 函数的图象在点处的切线方程是，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出和，再求即得.详解：由题得因为函数的图象在点处的切线方程是，所以所以故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是8. 在极坐标中，点到圆的圆心的的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.详解：由题得点的坐标为，因为，所以，所以圆心的坐标为（2,0），所以点到圆心的距离为，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平. （2）极坐标化直角坐标的公式为9. 设，下列不等式中正确的是（）①②③④A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④【答案】C【解析】分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断.详解：因为ab>0,所以a,b同号.对于①，由绝对值三角不等式得，所以①是正确的；对于②，当a,b同号时，，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得，所以④是正确的.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生对该知道掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这样的题目，方法要灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明判断.10. 已知圆柱的轴截面的周长为，则圆柱体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析: 设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．详解:设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤64π，∴圆柱体积的最大值为64π，点睛: (1)本题主要考查圆柱的体积和基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.11. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，则P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；则目标是被甲击中的概率为P=.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)条件概率的公式:，=.条件概率一般有“在已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.12. 已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据椭圆的方程算出A（4，0）、B（0，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=0．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出d max=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．详解：由题得椭圆C方程为：，∴椭圆与x正半轴交于点A（4，0），与y正半轴的交于点B（0，3），∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=0的距离为d==|sin﹣1|，由此可得：当θ=时，d max=（）∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×d max=6（）.点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.13. 函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数的最大值.详解：由柯西不等式得，所以（当且仅当即x=时取最大值）故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立.14. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由f（x）的导函数形式可以看出e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x﹣kx，g′（x）=e x﹣k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．详解：∵函数的定义域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x﹣kxg′（x）=e x﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=e x和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析转化e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）15. 若复数满足，其中为虚数单位，则__________．【答案】【解析】分析：先设,再代入，利用复数相等的概念得到z,再求.详解：设，代入得所以，故答案为：.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的模，考查复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)求复数z可以利用直接法和待定系数法，本题利用的是待定系数法.16. 由曲线与所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】【解析】分析：由题得曲线与所围成的封闭图形的面积为，再计算得解.详解：因为，所以.联立所以曲线与所围成的封闭图形的面积为，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查定积分求面积和微积分基本原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)）图中阴影部分的面积S=17. 从位女生，位男生中选了人参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各人，且至多有位女生参赛，则不同的参赛方案共有__________种.(用数字填写答案)．【答案】【解析】分析：分只有一个女生和没有女生两种情况讨论求不同的参赛方案总数.详解：当只有一个女生时，先选一个女生有种选法，再从4个男生里面选2个男生有种方法，再把选出的3个人进行排列有种方法，所以有种方法.当没有女生时，直接从4个男生里选3个排列有种方法.所以共有种方法，故答案为：96.点睛:(1)本题主要考查排列组合的综合，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力分类讨论思想方法.(2)排列组合常用方法：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.18. 已知定义在上的函数满足（其中为的导函数）且，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】分析：根据题意，令g（x）=，对其求导可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；结合f（1）=e可得g（1）=，则不等式f（x）＞e x⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），借助函数的单调性分析可得答案．详解：根据题意，令g（x）=，则其导数g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；且g（1）=；则不等式f（x）＞e x⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），又由函数g（x）为减函数，则有x＜1；则不等式f（x）＞e x的解集为（-∞,1）；故答案为：．点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和解不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键是构造函数g（x）=求其单调性,再利用单调性解不等式g（x）＞g（1）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 已知的展开式中所有项的系数和为.（1）求的展开式中二项式系数最大的项；（2）求的展开式中的常数项.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出的展开式中的一次项和常数项，再求的展开式中的常数项.详解：（1）由题意，令得，即，所以展开式中二项式系数最大的项是第项，即.（2）展开式的第项为.,由，得；由，得.所以的展开式中的常数项为.点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和的“”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和的常数项相乘得到，再把两个相加即得.20. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：海水浓度亩产量残差绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量(吨)与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.（1）求的值；（2）统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，回归效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有是解释变量引起的.请计算相关指数(精确到),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差，相关指数，其中）【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用残差定义求m,n.(2)直接利用相关指数公式求相关指数，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的.详解：（1）因为,,所以，即,所以线性回归方程为,所以,.（2）,所以相关指数,故亩产量的变化有是由海水浓度引起的.点睛：（1）本题主要考查回归方程的性质和残差，考查相关指数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心.21. 观察下列等式：；；；；……（1）照此规律，归纳猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）第个等式为.(2)利用个数学归纳法证明猜想. 详解：（1）第个等式为；（2）用数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边,所以当时，原等式成立.②假设当时原等式成立，即,则当时，,所以当时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何都成立.点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，=.22. 2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占，而男生有人表示对足球运动没有兴趣. （1）完成列联表,并回答能否有的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取名学生,抽取次，记被抽取的名学生中对足球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.附:【答案】（1）有；（2）.【解析】分析：（1）根据已知数据完成2×2列联表，计算，判断有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）先求得从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，再利用二项分布求的分布列和数学期望.详解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到,所以有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，有题意知,,,,从而的分布列为.点睛：(1)本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若～则23. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先利用导数求函数的单调区间，再求的最小值.(2)先求的最小值为,再证明＞0.详解：（1）若，,所以,设，则所以在上为增函数，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为.（2）由题意知当时，显然成立.当时，由（1）知在上为增函数，因为,所以存在唯一的使得，即,所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为,,,当且仅当，即时取等号.代入得，矛盾，所以等号不能成立.所以，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题有两个难点，其一是求得的最小值为,其二是证明＞0，用到了基本不等式，同时要注意取等的问题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.24. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线的交点为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接代极坐标公式得到曲线的直角坐标方程.(2) 把直线的参数方程代入，得,再利用直线参数方程t的几何意义解答.详解：（1）对于曲线，两边同乘以可得，即,所以它的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入，得,所以,因为点在直线上，所以,因为,所以,所以.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.25. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式有实数解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先求的最小值为,再解不等式得的取值范围.详解：（1）由题意的：,两边平方得：,即，解得或，所以原不等式的解集为.（2）,所以的最小值为,所以，即或,亦即或.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是求的最小值，这里利用了三角绝对值不等式求最值.。

2017~2018学年度第二学期期中考试高二数学试题(理)第I卷(选择题60分)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数，则其虚部为（）A. -1B. 2C. -2D.【答案】B【解析】分析：利用复数的运算法则进行求解．详解：因为，所以复数的虚部为2.点睛：本题考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．2. 设函数 (为自然对数的底数).若，则（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】分析：利用函数的求导法则求导，再代值求导．详解：因为，所以数，若，所以 1点睛：本题考查导数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．3. 已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形.由①、②、③组合成“三段论”.根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是（）A. 正方形是平行四边形B. 平行四边形的对角线相等C. 正方形的对角线相等D. 以上均不正确【答案】C【解析】分析：理解三段论的大前提、小前提、结论，结合题意即可得到相应的结论．详解：大前提：②平行四边形的对角线相等；小前提：①正方形的对角线相等；结论：③正方形是平行四边形．点睛：本题考查三段论的有关知识，解决本题的关键是区分大前提、小前提、结论．4. 函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】分析：先由导函数的图像分析、判断得出原函数的单调性，在由此得到函数在区间内极小值点的个数．详解：由导函数的图像可知：原函数先增再减再增再减，所以由此可知函数在区间内有1个极小值点.5. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项.详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．6. 给出下列两个论断：①已知：，求证：；用反证法证明时，可假设.②设为实数，，求证：与中至少有一个不小于；用反证法证明时可假设且. 以下说法正确的是（）A. ①与②的假设都错误B. ①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误D. ①的假设错误，②的假设正确【答案】C【解析】①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以的假命题应为，故①的假设正确；②与中至少有一个不小于的否定为与中都小于，故②的假设错误；故选C.7. 下列类比推理中,得到的结论正确的是（）A. 把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长、宽、高的平方和B. 把与类比，则有C. 向量的数量积运算与实数的运算性质类比，则有D. 把与类比，则有【答案】A【解析】分析：利用对数运算法则可判断；利用平面向量数量积公式可判断；利用乘方运算法则可判断；利用长方体的性质可判断.详解：根据对数运算法则，可得不正确；利用向量的数量积运算，可得不正确；利用乘方运算法则，可得不正确；把长方体与长方形类比，根据长方体的性质则有长方体的对角线平方等长、宽、高的平方和，可知正确，故选D. 点睛：本题主要考查类比推理，对数运算法则、平面向量数量积公式、乘方运算以及长方体的性质，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力.8. 函数的(为自然对数的底数)递增区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出，令求得的范围，即可到得函数增区间.详解：因为，所以=，令,可得,所以函数的递增区间为，故选D.点睛：本题主要考查导数运算法则以及利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数研究函数的单调性时，一定要注意考虑函数的定义域，这是易错点.9. 如下图所示，阴影部分的面积为（）A. B. 1 C. D.【答案】B【解析】分析：先求区间上对应的阴影部分的面积，再求区间上对应的阴影部分的面积，最后求和即可．详解：=.点睛：本题考查定积分的应用，意在考查学生的计算能力．10. 函数在上的最小值是（）A. B. C. -4 D. -1【答案】A【解析】分析：对进行求导，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得函数的极值，比较区间端点函数值与极值的大小，从而可得结果.详解：，，令，解得或，当时，为减函数；当时，为增函数，在上取极小值，也是最小值，，故选A.点睛：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数得到的，这是容易出错的地方.11. 2018年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】分析：由甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，甲乙+丙,可得相应结论．详解：因为甲、乙的成绩和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，所以甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，即丁甲，又因为甲的成绩大于乙、丙成绩之和，所以甲乙+丙，所以丁甲乙+丙，所以丁的成绩最高.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，对于复杂的逻辑关系，可以采用解不等式的方式，以便于我们理清多个量中的逻辑关系.12. 已知是定义在上的函数，其导函数满足 (，为自然对数的底数)，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：由条件得到函数的单调性，进而判断出结论．详解：，则；因为,所以；所以函数在上是减函数；所以，即，.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生的分析、综合应用能力．解决本题的关键是由条件得到原函数的模型，这也是解决问题的难点，这也是解决一类问题的常见技巧，许多问题运用这种技巧可以使得问题简洁明了.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13. 设复数满足 (为虚数单位)，则的值为__________．【答案】【解析】分析：由条件得到复数的代数形式，即可求得复数模长.详解：因为，所以==，所以点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力．14. 已知力 (为自然对数的底数)且和轴正方向相同.若力作用在质点上，并从点处运动到处，则对质点所做的功是__________．【答案】【解析】分析：对函数在区间上求定积分，即可求出对质点所做的功.详解：由题意可得：对质点所做的功为.点睛：本题考查定积分的应用，属于基础题．【答案】【解析】分析：函数的导函数在上大于等于0恒成立，即恒成立，由此可得实数的取值范围.详解：因为，所以恒成立；即恒成立；所以，所以.点睛：本题考查导数的综合应用，属于中档题．处理这类问题一般步骤是：1、先求导数，根据条件确定导函数的正负；2、分离参量构造函数，求构造新函数的最大，最小值；3、根据条件得出参量的取值范围.16. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特( Benoit B. Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是__________．【答案】21【解析】第7行为:8实心圆5空心圆第8行为:13实心圆8空心圆第9行为:21实心圆13空心圆第10行为:34实心圆21空心圆三、解答题： (本大题共6个小题,共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).17. 已知复数 (，为虚数单位)(Ⅰ)若是纯虚数，求实数的值；(Ⅱ)若，设 ()，试求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）先把复数整理成的形式，由虚部等于0得到实数的值；（Ⅱ）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出。

济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.23i i -=+（ ）A ．1122i - B ．1122i + C ．1122i -+ D ．1122i --2.用数学归纳法证明111111234212n n -+-++--111122n n n=+++++（*n N ∈）时，从n k =向1n k =+过渡时，等式左边应增添的项是（ ） A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++ 3.在复平面内，若复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A --，和(32)B ，，则12z z ⋅=（ ）A ．47i --B ．87i --C ．47i -D ．87i - 4.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点(12)P ，，法向量为(23)n =-，的直线的点法式方程为2(1)3(2)0x y --+-=，化简得2340x y -+=，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点(121)P -，，，且法向量为(231)n =-，，的平面的点法式方程应为（ ）A ．2350x y z -++=B ．2330x y z --+= C.2370x y z ++-= D ．2390x y z +--= 5.若函数1()ln f x x x=-，则不等式(1)(21)f x f x ->-的解集为（ ）A ．23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， B ．203⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.1223⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．213⎛⎫⎪⎝⎭，6.抛物线24y x =在点(323)，处切线的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．45︒ C.60︒ D ．150︒ 7.直线3y x =与曲线3y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．3 B ．92C.6 D ．98.函数cos 3()0sin 23x f x x x x x ππ⎛3⎫⎡⎤=∈-≠ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，，且的图象大致是（ ） A ． B ． C.D ．9.若函数323()62f x x x x a =--++的图象不经过第三象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(10)-∞-，B ．(10]-∞-， C.(10)+∞， D ．[10)+∞，10.“24”是个很神奇的数，对其进行如下计算：222420+=，22204+=，2416=，221637+=，，如此反复运算，则第2018次运算的结果是（ ）A ．4B ．16 C.20 D ．3711.若正数m ，n 满足22m n +=，则142m n mn++的最小值为（ ）A ．12B ．16 C.18 D ．24 12.已知函数()ln x f x e x -=+的零点为0x ，1230x x x >>>，且123()()()0f x f x f x ⋅⋅<，那么下列关系一定不成立的是（ ）A ．01x x >B ．03x x > C.02x x < D ．03x x <第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若复数223(1)z a a a i =--++为纯虚数，则实数a = ． 14.济宁市2018年中考有10所高中招生，如果甲、乙、丙3名同学恰好被其中的2所学校录取，那么不同录取结果的种数为 ． 15.若方程ln 1mx x =恰有一个实数解，则实数m 的取值集合为 ．16.若函数ln()x y e x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数2()()f x x x c =-在1x =处取得极小值，求()f x 的极大值. 18. 已知0a b >>，求证： （1）1111a ba b>++++；（2）1a b+与1b a+至少有一个大于2.19. 已知函数()xx f x e =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0a >，求函数()x 在区间[2]a a ，上的最大值.20. 某人用一箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该箱中华鲟的产量m （单位：百千克）与购买饲料费用x （05x <≤）（单位：百元）满足：21xm x =+.另外，饲养过程中还需投入其它费用3x .若中华鲟的市场价格为32元/千克，全部售完后，获得利润y 元. （1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，利润最大，最大利润是多少元？ 21. 已知函数()ln 1a f x x x=+-.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（2）若0x ∀>，()1f x a ≥-，求a 的取值范围. 22.设函数2()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <. （1）求a 的求值范围； （2）求证：121x x +>.济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测理科数学答案一、选择题1-5:ADABC 6-10:ABCDA 11、12：CD 二、填空题13.3 14.270 15.{}|0m m m e >=-或 16.(1]-∞-， 三、解答题17.解：因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，所以22()34f x x cx c '=-+3()3c x c x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，解得x c =或3c x =.依题意，1是()f x '的较大零点，所以1c =，所以当13x =时，()f x 取得极大值21114133327f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.证明：（1）因为0a b >>，所以1a b ++和1a b ++都是正数，所以要证1111a ba b>++++，只需证11a b a b ++>++.只需证22(1)(1)a b a b ++>++，只需证(1)(1)a b a b +>+，只需证(1)(1)a b a b +>+，只需证a b >. 因为a b >成立，所以1111a ba b>++++.（2）证法一：假设12a b+≤且12b a+≤，则114a b ba+++≤又因为0a b >>，所以111111224a b a b a b baa b a b⎛⎫⎛⎫+++=+++>⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这与114a b b a+++≤矛盾. 所以1a b+与1b a+至少有一个大于2. 证法二：因为0a b >>，所以11ab<，所以11122a a a baa+>+≥⋅=， 所以12a b+>而1b a+与2的大小关系不确定，所以1a b+与1b a+至少有一个大于2.19.解：（1）1()x x f x e-'=，由()0f x '<，解得1x >；由()0f x '>，解得1x <.所以函数()f x 的单调递减区间为(1)+∞，，单调递增区间为(1)-∞，. （2）由（1）可知：①当102a <≤时，21a ≤，()f x 在[2]a a ，上是增函数，所以此时max 22()(2)a af x f a e==； ②当112a <<时，12a a <<，()f x 在1x =处取得极大值，也是它的最大值，所以此时max 1()(1)f x f e==；③当1a ≥时，()f x 在[2]a a ，上是减函数，所以此时max ()()aaf x f a e ==.综上，函数()f x 在区间[2]a a ，上的最大值；当102a <≤时，为22aa e；当112a <<时，为1e ；当1a ≥时，为aae .20.解：（1）依题意，可得2640010032340011x x y x x x x x ⎡⎤=⨯--=-⎢⎥++⎣⎦，05x <≤. （2）26400400(1)y x '=-+22400(215)(1)x x x -+-=+，由0y '=，解得5x =-（舍）或3x =. 当03x <<时，0y '>，所以利润函数在(03)，上是增函数；当35x <≤时，0y '<，所以利润函数在(35]，上是减函数.所以当3x =时，y 取得极大值，也是最大值，最大值为640034003360031⨯-⨯=+ 所以当3x =时，利润最大，最大利润是3600元. 21.解：（1）当1a =-时，1()ln 1f x x x=-+-，所以211()f x x x'=+，所以切线的斜率(1)2k f '==.又因为(1)2f =-，所以切线方程为22(1)y x +=-，整理得240x y --=.（2）因为函数()f x 的定义域是(0)+∞，，()1f x a ≥-即为ln 11a x a x+-≥-，可化为2ln 1x x x a x -≥+.设2ln ()1x x x g x x -=+，依题意，max ()a g x ≥.21ln ()(1)x xg x x --'=+，令()1ln h x x x =--，易知它在(0)+∞，上是减函数，又因为(1)0h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x >，所以()g x 在(01)，上是增函数；当1x >时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在(1)+∞，上是减函数. 所以()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值，所以max ()(1)1g x g ==，所以1a ≥.所以a 的取值范围是[1)+∞，. 22.（1）解法一：2()2x f x e a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()-∞+∞，上是增函数，不可能有两个零点. ②当0a >时，由()f x '0=，解得1ln 22a x =，所以若1ln 22a x <，则()0f x '<，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上是减函数；若1ln 22ax >，则()0f x '>，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.所以当1ln 22a x =时，()f x 取得极小值，也是它的最小值.min 1()ln 22a f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ln 222a a a =-.因为lim ()x f x →-∞=+∞，lim ()x f x →+∞=+∞，所以若使()f x 有两个零点，只需ln 0222a a a-<，解得2a e >. 综上，实数a 的取值范围是(2)e +∞，.解法二：题意⇔方程2x e ax =有两个不等实根，易知其中0x ≠，所以题意⇔方程2xe a x=有两个不等实根⇔函数y a =与2xe y x=的图象有两个不同的公共点.设2()xe g x x=，则22(21)()x x e g x x-'=，所以当0x <或102x <<时，()0g x '<，所以()g x 在(0)-∞，和102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数；当12x >，()0g x '>，所以()g x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，所以当12x =时，()g x 取得极小值122g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 又因为lim ()0x g x →-∞=，0lim ()x g x -→=-∞，0lim ()x g x +→=+∞，lim ()x g x →+∞=+∞，在同一坐标系中分别画出函数y a =与2x e y x=的图象，如图所示，观察图形可知当2a e >时，二者有两个不同的公共点.所以实数a 的取值范围是(2)e +∞，.（2）证明：由（1）可知，1x ，2x 是方程2x e ax =（0x >）的两个不等实根，也是方程2ln ln x a x =+的两个不等实根，也是函数()2ln ln h x x x a =--的两个零点，且12102x x <<<.因为121()2x h x x x -'=-=，所以当102x <<时，()0h x '<，所以()h x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数；当12x >时，()0h x '>，所以()h x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.设()()(1)x h x h x ϕ=--，则()()(1)x h x h x ϕ'''=+-21121x x x x--=+-2(21)(1)x x x --=-，所以当102x <<时， ()0x ϕ'<，所以()x ϕ在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数，所以11()2x ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭0=，即11()(1)0h x h x -->，即11()(1)h x h x >-，即21()(1)h x h x >-.又因为21112x x ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，，，所以211x x >-，所以121x x +>.。

2016-2017学年山东省济宁一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列推理是类比推理的是（）A．由数列1，2，3，…，猜测出该数列的通项为a n＝nB．平面内不共线的三点确定一个圆，由此猜想空间不共面的三点确定一个球C．垂直于同一平面的两条直线平行，又直线a⊥面α，直线b⊥面α，推出a ∥bD．由a＞b，b＞c，推出a＞c3．（5分）已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．4D．24．（5分）定积分dx的值为（）A．9πB．3πC．D．5．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2＝0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）A．a，b至少有一个为0B．a，b至少有一个不为0C．a，b全部为0D．a，b中只有一个为06．（5分）将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有（）A．12B．18C．24D．367．（5分）在（x2）5的二项展开式中，第二项的系数为（）A．10B．﹣10C．5D．﹣58．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数在[﹣1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，1）B．（﹣3，0）C．（﹣3，1）D．（﹣3，1]10．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7B．﹣7C．21D．﹣21 11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某单位邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有种．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对∀x∈R，f'（x）＞2，则f （log2x）＜2log2x+4的解集为．15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．16．（5分）对于函数f（x）＝xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）＝2，则x0＝e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y＝﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数z＝1+bi（b为正实数），且（z﹣2）2为纯虚数．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若，求复数ω的模|ω|．18．（12分）4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（Ⅰ）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（Ⅱ）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（Ⅲ）甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？19．（12分）f（x）＝x2﹣2x+alnx．（Ⅰ）若a＝2，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．20．（12分）观察下列等式：1＝1 第一个式子2+3+4＝9 第二个式子3+4+5+6+7＝25 第三个式子4+5+6+7+8+9+10＝49 第四个式子照此规律下去：（Ⅰ）写出第五个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．21．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，△P AC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB中点，E是BC中点．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值的大小；（Ⅲ）在棱PB上是否存在一点F，使得B﹣OF﹣E的余弦值为？若存在，指出点F在PB上的位置；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+2，g（x）＝x2﹣mx．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若存在使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省济宁一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选：D．2．（5分）下列推理是类比推理的是（）A．由数列1，2，3，…，猜测出该数列的通项为a n＝nB．平面内不共线的三点确定一个圆，由此猜想空间不共面的三点确定一个球C．垂直于同一平面的两条直线平行，又直线a⊥面α，直线b⊥面α，推出a ∥bD．由a＞b，b＞c，推出a＞c【解答】解：由题意，由数列1，2，3，…，猜测出该数列的通项为a n＝n，是归纳推理；平面内不共线的三点确定一个圆，由此猜想空间不共面的三点确定一个球，是类比推理；C，D是演绎推理．故选：B．3．（5分）已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．4D．2【解答】解：f′（x）＝3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x＝2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a＝2．故选：D．4．（5分）定积分dx的值为（）A．9πB．3πC．D．【解答】解：由定积分的几何意义知是由曲线，直线x＝0，x＝3围成的封闭图形的面积，故＝，故选：C．5．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2＝0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）A．a，b至少有一个为0B．a，b至少有一个不为0C．a，b全部为0D．a，b中只有一个为0【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：B．6．（5分）将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有（）A．12B．18C．24D．36【解答】解：先从4名学生种选择两名组成一个复合元素，然后再将3个元素（包含复合元素）安排到甲、乙，丙三地，不同的安排方案共有C42A33＝36种．故选：D．7．（5分）在（x2）5的二项展开式中，第二项的系数为（）A．10B．﹣10C．5D．﹣5【解答】解：（x2）5的二项展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣2r•（﹣1）r•x﹣r ＝•x10﹣3r，令r＝1，可得第二项的系数为＝﹣5，故选：D．8．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为（）A．B．C．D．【解答】解：＝16，＝9，＝9，＝4×3×cos90°＝0，＝4×3×cos60°＝6，＝3×3×cos60°＝．∵＝++，∴＝+++2+2+2＝16+9+9+2×0+2×6+2×＝55，∴＝，故选：A．9．（5分）已知函数在[﹣1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，1）B．（﹣3，0）C．（﹣3，1）D．（﹣3，1]【解答】解：对函数求导可得，f′（x）＝x2﹣2x+a函数在[﹣1，2]上不单调，∴或，即或解得：﹣3＜a＜1，故选：C．10．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7B．﹣7C．21D．﹣21【解答】解：令x＝1得展开式的各项系数之和2n，∴2n＝128，解得n＝7．∴展开式的通项为，令，解得r＝6．所以展开式中的系数是3C76＝21．故选：C．11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以AB中点为原点建立如图所示空间直角坐标系，∵AB＝4，AA1＝6，且，∴A（0，﹣2，0），A1（0，﹣2，6），E（0，2，3），F（﹣2，0，4），∴，．则cos＜＞＝＝．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．12．（5分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）＝0，由题意可得lnx＝2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x＝，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x＝是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）＝﹣a＜0，f（x2）＞f（1）＝﹣a＞﹣．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某单位邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有140种．【解答】解：∵10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，需要分类来解，∴当甲和乙有一个参加，则只要从8人中选5个，共有2C85＝112种结果，当甲和乙都不参加，要从8人中选6人，共有C86＝28种结果，根据分类计数原理知共有112+28＝140，故答案为：14014．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对∀x∈R，f'（x）＞2，则f （log2x）＜2log2x+4的解集为（0，）．【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣2x，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对∀x∈R，f'（x）＞2，∴g′（x）＞0．∴g（x）在定义域内单调递增，∴f（log2x）＜2log2x+4⇔f（log2x）﹣2log2x＜4，∵g（﹣1）＝f（﹣1）﹣2×（﹣1）＝4，即g（log2x）＜g（﹣1），∴log2x＜﹣1，得0＜x＜，则f（log2x）＜2log2x+4的解集为（0，）．故答案为：（0，）．15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．16．（5分）对于函数f（x）＝xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）＝2，则x0＝e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y＝﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是②③⑤（请把正确结论的序号填在横线上）【解答】解：f（x）＝xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误；f′（x）＝lnx+1，令f′（x0）＝2，即lnx0+1＝2，解得：x0＝e，故②正确；令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得：x＞，∴f（x）的单调递增区间是[，+∞），故③正确；由f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，得：f（x）的最小值是f（）＝﹣，故f（x）的值域是[﹣，+∞），故④错误；故该函数的图象与直线y＝﹣有且只有一个公共点，⑤正确；故答案为：②③⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数z＝1+bi（b为正实数），且（z﹣2）2为纯虚数．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若，求复数ω的模|ω|．【解答】解：（Ⅰ）（z﹣2）2＝（﹣1+bi）2＝1﹣b2﹣2bi，∵1﹣b2﹣2bi为纯虚数，∴1﹣b2＝0，且﹣2b≠0，解得b＝1或b＝﹣1（舍），∴z＝1+i；（Ⅱ），∴．18．（12分）4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（Ⅰ）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（Ⅱ）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（Ⅲ）甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？【解答】解：（Ⅰ）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有种．（Ⅱ）男生排好后，5个空再插女生有种．（Ⅲ）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最好的2个元素全排列，分步有种．19．（12分）f（x）＝x2﹣2x+alnx．（Ⅰ）若a＝2，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝x2﹣2x+2lnx，∴，∴f'（1）＝2，f（1）＝﹣1，∴切线方程为y+1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣3＝0．（Ⅱ）（x＞0），令h（x）＝2x2﹣2x+a，△＝4﹣8a，当△≤0，即时，f'（x）≥0，此时f （x）在定义域内单调递增；．当时，0＜x＜x1或x＞x2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；x1＜x＜x2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当a≤0时，0＜x＜x2时，f（x）单调递减，x＞x2时，f（x）单调递增．综上所述：时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；时，f（x）在，上单调递增，在上单调递增；a≤0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．20．（12分）观察下列等式：1＝1 第一个式子2+3+4＝9 第二个式子3+4+5+6+7＝25 第三个式子4+5+6+7+8+9+10＝49 第四个式子照此规律下去：（Ⅰ）写出第五个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．【解答】解：（Ⅰ）第5个等式5+6+7+…+13＝92；（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）＝（2n﹣1）2，）再用数学归纳法加以证明如下：（1）当n＝1时显然成立；）（2）假设n＝k（k≥1，k∈N+）时也成立，即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）＝（2k﹣1）2，那么当n＝k+1时左边＝（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1），＝（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1），＝（2k﹣1）2+（2k﹣1）+3k+3k+1，＝4k2﹣4k+1+8k，＝[2（k+1）﹣1]2，而右边＝[2（k+1）﹣1]2这就是说n＝k+1时等式也成立．根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．21．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，△P AC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB中点，E是BC中点．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值的大小；（Ⅲ）在棱PB上是否存在一点F，使得B﹣OF﹣E的余弦值为？若存在，指出点F在PB上的位置；若不存在，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）连接OC，PO，△ABC中，O为AB中点，解得OC⊥AB且OC＝1．同理可得：PO⊥AB，且PO＝1，又∵，∴∠POC＝90°，∴PO⊥OC，又∵AB∩OC＝C，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABC．解：（Ⅱ）以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，得B（1，0，0），P（0，0，1），A（﹣1，0，0），C（0，1，0），＝（1，0，﹣1），＝（﹣1，0，﹣1），＝（1，1，0），设平面P AC的一个法向量为，则，取z＝1，得＝（﹣1，1，1），设直线PB与面P AC所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴直线PB与平面P AC所成角的正弦值为．（Ⅲ）设在棱PB上存在点F，设＝＝λ（﹣1，0，﹣1），由题意得＝（），＝（1﹣λ，0，λ），设平面EOF的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得，∵OC⊥平面BOF，∴设面BOF的一个法向量为＝（0，1，0）．设面BOF与面EOF所成二面角为θ，∵B﹣OF﹣E的余弦值为，∴cosθ＝＝＝，解得：或λ＝﹣1（舍），∴．所以存在点F且当F在棱PB上靠近点B的三等分点处，满足题意．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+2，g（x）＝x2﹣mx．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若存在使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝lnx+1，令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得，∴f（x）在递减，在递增，若，则f（x）在[t，t+2]递增，∴f（x）min＝f（t）＝tlnt+2；若，则f（x）在递减，在递增，∴．（Ⅱ）若存在使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，即存在使得成立，令，，则，易得2lnx+x+2＞0，令k'（x）＞0，解得x＞1；令k'（x）＜0，解得x＜1，故k（x）在递减，在（1，e]递增，故k（x）的最大值是或k（e），而，故．。

【全国百强校】山东省济宁市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．23i i -=+（ ） A ．1122i - B ．1122i + C ．1122-+i D ．1122i -- 2．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n -+-++-=+++-++()*n N ∈，则从k 到1k +时,左边所要添加的项是（ ）． A ．121k + B ．112224k k -++ C ．121k -+ D ．112122k k -++ 3．在复平面内，若复数1z 和2z 对应的点分别是(2,1)A --和(3,2)B ，则12z z ⋅=（ ） A ．47i -- B ．87i -- C ．47i - D ．87i - 4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点(12)P ，，法向量为(23)n =-，的直线的点法式方程为2(1)3(2)0x y --+-=，化简得2340x y -+=，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点(121)P -，，，且法向量为(231)n =-，，的平面的点法式方程应为（ ） A ．2350x y z -++=B ．2330x y z --+=C ．2370x y z ++-=D ．2390x y z +--= 5．若函数1()ln f x x x =-，则不等式(1)(21)f x f x ->-的解集为（ ） A ．23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， B ．203⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．213⎛⎫ ⎪⎝⎭，6．抛物线24y x =在点(3，处切线的倾斜角是（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．150︒ 7．直线3y x =与曲线3y x =围成的封闭图形的面积是（ ）A ．3B ．92C ．6D ．98．函数cos 3()0sin 23x f x x x x x ππ⎛3⎫⎡⎤=∈-≠ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，，且的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．若函数323()62f x x x x a =--++的图象不经过第三象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(10)-∞-， B ．(10]-∞-， C ．(10)+∞， D ．[10)+∞，10．“24”是个很神奇的数，对其进行如下计算：222420+=，22204+=，2416=，221637+=，，如此反复运算，则第2018次运算的结果是（ ）A ．4B ．16C ．20D ．37 11．若正数m ，n 满足22m n +=，则142m n mn ++的最小值为（ ） A ．12 B ．16 C ．18 D ．2412．已知函数()ln x f x e x -=+的零点为0x ，1230x x x >>>，且123()()()0f x f x f x ⋅⋅<，那么下列关系一定不成立的是（ ）A ．01x x >B ．03x x >C ．02x x <D ．03x x <二、填空题13．若复数223(1)z a a a i =--++为纯虚数，则实数a =__________．14．济宁市2021年中考有10所高中招生，如果甲、乙、丙3名同学恰好被其中的2所学校录取，那么不同录取结果的种数为__________．15．若方程ln 1mx x =恰有一个实数解，则实数m 的取值集合为__________．16．若函数ln()x y e x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17．已知函数2()()f x x x c =-在1x =处取得极小值，求()f x 的极大值.18．已知0a b >>，求证：（1>（2）1a b +与1b a+至少有一个大于2. 19．已知函数()x x f x e =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0a >，求函数()x 在区间[2]a a ，上的最大值.20．某人用一网箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该网箱中华鲟的产量m （单位：百千克）与购买饲料费用x （05x <≤）（单位：百元）满足：21x m x =+.另外，饲养过程中还需投入其它费用3x .若中华鲟的市场价格为32元/千克，全部售完后，获得利润y 元.（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，利润最大，最大利润是多少元？21．已知函数()ln 1a f x x x=+-. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（2）若0x ∀>，()1f x a ≥-，求a 的取值范围.22．设函数2()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <.（1）求a 的求值范围；（2）求证：121x x +>.参考答案1．A【解析】分析：利用复数的运算法则即可得出． 详解：复数22-i)(3)55113101022i i i i i ---===-+（，故选A. 点睛：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．D【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k 时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k 时，等式的左边为111111...234212k k -+-++--，当n=k+1 时，等式的左边为11111111...234212212(1)k k k k -+-++-+--++，故从“n=k 到n=k+1”，左边所要添加的项是112122k k -++，故选D. 点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．3．A【解析】分析：根据复数的坐标表示可得：122,32z i z i =--=+然后计算12z z ⋅即可.详解：由题可得122,32z i z i =--=+，故12z z ⋅=2643247i i i i ----=--，故选A. 点睛：考查复数的坐标表示和乘法运算，属于基础题.4．B【解析】分析：根据所给定义类比写表达式即可.详解：由题可得经过点()121P -，，，且法向量为()231n ，，=-的平面的点法式方程应为：2(1)3(2)(1)2330x y z x y z --+-++=-++-=，化简得2330x y z --+=，故选B. 点睛：考查推理证明的类比法，根据定义可直接得出答案，属于基础题.5．C【解析】分析：先分析函数的单调性和定义域，再根据单调性解不等式即可得出结论.详解：由函数()1ln f x x x =-，因为lnx 是在定义域内单调递增，1x-在(0,)+∞也为增函数故函数()1ln f x x x =-在(0,)+∞为增函数，所以只需：1210x x ->->得12<23x <,故选C.点睛：考查函数的单调性，对题意的正确理解，转化为比较问题括号变量的大小关系是解题关键，属于一般题.6．A【解析】分析：先根据点(3在第一象限得到表达式y =即可得出结论.详解：由题可得y ='y=3⇒倾斜角是30︒，故选A. 点睛：考查切线方程的斜率求法，对借助导数求切线方程的熟练是解题关键，属于基础题. 7．B【解析】分析：先根据题意画出草图，再结合定积分求解即可.详解：如图所示：有定积分的几何意义和图形对称性可得阴影区域面积为：32403192(242x x x x -=-==，故选B. 点睛：考查定积分的应用，能画出草图写出计算表达式是关键，属于基础题.8．C【解析】分析：可先根据奇偶性排除选项，在结合特殊值即可得出结论.详解：首先函数的定义域关于原点对称，然后由cos ()()sin x f x f x x x -==--+得出函数为奇函数，故排除A,B ，再令x=π得1()0f ππ=-<，故排除D ，选C.点睛： 考查函数的图像识别，通常根据奇偶性和特殊值，单调性来逐一排除得出答案. 9．D【解析】分析：先根据导函数求出原函数的单调区间，再结合极值点的取值限制函数图像的走势，从而得出结论详解：由题得：2'()336,f x x x =--+令'()021,'()012f x x f x x x >⇒-<<⇒<-或，故得函数在(2,1)-单调递增，在(,2),(1,)-∞-+∞单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需(2)010f a -≥⇒≥故选D.点睛：考查导函数的应用，借助导函数求出单调区间，再结合条件找出(2)0f -≥是解题关键.10．A【解析】分析：由题可得要计算第2018次故需先找出运算周期，然后根据周期即可计算出结论. 详解：进行如下计算：222420+=，22204+=，2416=，221637+=，222222222223758,5+8=898+9145,14542,4220+==++=+=，，故周期为8，故第2018次计算结果为第2次计算结果为4，故选A.点睛：本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以8为周期，循环出现．11．C分析：可先将问题变形为：142142216m n m n m n mn mn n m +++++==+，再结合‘1’的用法的基本不等式即可解决. 详解：由题可得：142142216m n m n m n mn mn n m+++++==+，216216112321()2()(2)(164)3618222m n m n n m n m n m +⋅=+⋅+⋅=+++≥⨯= 点睛：考查基本不等式的运用，对原式得正确变形和结合‘1’的用法解题是本题关键，属于中档题.12．D【分析】可先分析函数()ln x f x ex -=+的单调性，然后结合草图即可得出结论.【详解】 由题可得：定义域为：(0,)+∞，11'(),x x x e x f x e x xe-=-+=令(),'()1,x x g x e x g x e =-=-当x>0时e 1x ->0恒成立，故f （x ）在(0,)+∞单调递增，又函数()ln x f x e x -=+的零点为0x ，故0x 为唯一零点，再由1230x x x >>>，且()()()1230f x f x f x ⋅⋅<，可得两种情况：0123()0,()0,()0,()0,f x f x f x f x =<>>1023x x x x <<<，故A 、B 正确，或 0123()0,()0,()0,()0,f x f x f x f x =<<<1230x x x x <<<故C 正确，故选D.【点睛】考查导函数的单调性求法，考查学生对函数的分析能力和数形结合能力，能正确分析原函数的单调性是解题关键，属于中档题.13．3【解析】分析：根据纯虚数的条件可得出等式2230{10a a a --=+≠，解出即可. 详解：由题可得2230{10a a a --=+≠3a ⇒=，故答案为3. 点睛：考查复数的分类，属于基础题.【解析】分析：解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解详解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，共有C 31C 22A 102=270． 故答案为：270．点睛：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成两步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．15．{}|0m m m e >=-或【解析】 分析：先分离参数1ln x x m=，然后结合xlnx 的单调性和草图即可得出结论. 详解：令()ln '()ln 1f x x x f x x =⇒=+令11'()ln 10,'()ln 10,f x x x f x x x e e =+>⇒>=+<<，有定义域可得f （x ）在1(0,)e递减，1(,)e +∞递增，如图：，故1ln x x m =只有一解得：1110()f m m e >=或得0m m e >=-或，故答案为{}0m m m e =-或点睛：考查导函数的应用，考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16．(1]-∞-， 【解析】分析：由题可得只需x e x a -+能取遍所有正数，即最小值小于等于0．利用导数求出函数的单调区间，可得函数的最小值，再解不等式，解得a 的范围．详解： 欲使函数的值域为R ，只需x e x a -+能取遍所有正数，即最小值小于等于0．令()x f x e x a =-+，'()100,'()100x x f x e x f x e x =->⇒>=-<⇒<所以f （x ）在(0,)+∞递增，在(,0)-∞递减，故min ()0=1+f x f a =（）0≤1a ⇒≤-故答案为(]1，-∞-.点睛：本题主要考查复合函数的单调性和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题． 17．见解析.【解析】分析：由题可得1是极值点故1是导函数的解.而()2234f x x cx c =-+' ()33c x c x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，解得x c =或3c x =.从而可求得c ，即可得出f （x ）的极大值. 详解：因为()()23222f x x x c x cx c x =-=-+，所以()2234f x x cx c =-+'()33c x c x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，解得x c =或3c x =.依题意，1是()f x '的较大零点，所以1c =，所以当13x =时，()f x 取得极大值21114133327f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题.18．(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）分析法证明，>，>.继续往下推理即可（2）反证法：假设12a b +≤且12b a +≤，则114a b b a +++≤，借助基本不等式找出矛盾即可.详解：证明：（1）因为0a b >>+>>只需证22>>()()11a b a b +>+，只需证a b >.因为a b >>.（2）证法一：假设12a b +≤且12b a +≤，则114a b b a+++≤又因为0a b >>，所以11114a b a b b a a b ⎛⎫⎛⎫+++=+++>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这与114a b b a+++≤矛盾.所以1a b +与1b a+至少有一个大于2.证法二：因为0a b >>，所以11a b<，所以112a a b a +>+≥=， 所以12a b+> 而1b a +与2的大小关系不确定，所以1a b +与1b a+至少有一个大于2. 点睛：考查推理证明的中的直接证明、间接证明以及基本不等式的应用，属于一般题. 19．(1)()f x 的单调递减区间为(1)+∞，，单调递增区间为(1)-∞，.(2)见解析. 【解析】分析：（1）求单调区间根据导函数大于零和小于零的解集即为单调增减区间；（2）求函数的最大值，先讨论函数的单调性，然后根据单调性确定最值点即可，注意分类讨论. 详解： （1）()1x xf x e='-，由()0f x '<，解得1x >；由()0f x '>，解得1x <. 所以函数()f x 的单调递减区间为()1+∞，，单调递增区间为()1，-∞. （2）由（1）可知： ①当102a <≤时，21a ≤，()f x 在[]2a a ，上是增函数，所以此时()()2max 22a a f x f a e==； ②当112a <<时，12a a <<，()f x 在1x =处取得极大值，也是它的最大值，所以此时()()max 11f x f e==；③当1a ≥时，()f x 在[]2a a ，上是减函数，所以此时()()max a af x f a e==.综上，函数()f x 在区间[]2a a ，上的最大值； 当102a <≤时，为22a a e ；当112a <<时，为1e ；当1a ≥时，为a ae. 点睛：考查导数在函数中的单调性和最值应用，属于导函数中比较常规的题型问题，注意分类讨论的完整性为关键.20．(1)见解析;(2)当3x =时，利润最大，最大利润是3600元. 【解析】分析：（1）根据利润=收入-成本的计算公式即可得出表达式；（2）借助导数分析函数单调性然后确定最值点即可.（1）依题意，可得2640010032340011x xy x x x x x ⎡⎤=⨯--=-⎢⎥++⎣⎦，05x <≤. （2）()264004001y x -+'=()()224002151x x x -+-=+，由0y '=，解得5x =-（舍）或3x =.当03x <<时，0y '>，所以利润函数在()03，上是增函数；当35x <≤时，0y '<，所以利润函数在(]35，上是减函数. 所以当3x =时，y 取得极大值，也是最大值，最大值为640034003360031⨯-⨯=+所以当3x =时，利润最大，最大利润是3600元.点睛：考查函数的实际应用，导函数求最值的应用，对表达式的正确书写是本题关键，属于基础题.21．(1)240x y --=;(2)[1)+∞，. 【解析】分析：（1）求切线方程，先求导，然后代入切点横坐标得到斜率()12k f ='=即可得出切线方程；（2）分析题意可先分离参数得到2ln 1x x x a x -≥+，然后分析函数2ln 1x x xx -+的单调性只需求出其最大值即可得a 的取值范围. （1）当1a =-时，()1ln 1f x x x =-+-，所以()211f x x x'=+，所以切线的斜率()12k f ='=.又因为()12f =-，所以切线方程为()221y x +=-，整理得240x y --=.（2）因为函数()f x 的定义域是()0+∞，，()1f x a ≥-即为ln 11ax a x+-≥-，可化为2ln 1x x x a x -≥+.设()2ln 1x x xg x x -=+，依题意，()max a g x ≥.()()21ln 1x xg x x --+'=，令()1ln h x x x =--，易知它在()0+∞，上是减函数，又因为()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x >，所以()g x 在()01，上是增函数；当1x >时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在()1+∞，上是减函数.所以()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值，所以()()max 11g x g ==，所以1a ≥.所以a 的取值范围是[)1+∞，. 点睛：考查导数的几何意义，切线方程的求法、分离参数求导函数最值解决恒成立问题，属于常规题.22．(1)(2)e +∞，;(2)见解析. 【解析】分析：（1）要保证函数()2xf x eax =-有两个不同的零点1x ，2x ，可分析函数的单调性然后根据题意找出两个不同两点所对应的条件即可，对单调性的讨论，注意a 的影响；（2）由（1）可知，1x ，2x 是方程2x e ax =（0x >）的两个不等实根，也是方程2ln ln x a x =+的两个不等实根，也是函数()2ln ln h x x x a =--的两个零点，且12102x x <<<，故再构造函数()()()1x h x h x ϕ=--，只需分析出()x ϕ单调性即可得证. （1）解法一：()22xf x ea '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()-∞+∞，上是增函数，不可能有两个零点. ②当0a >时，由()f x ' 0=，解得1ln 22ax =，所以 若1ln 22a x <，则()0f x '<，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上是减函数；若1ln 22a x >，则()0f x '>，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.所以当1ln 22a x =时，()f x 取得极小值，也是它的最小值.()min 1ln 22a f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ln 222a a a =-.因为()lim x f x →-∞=+∞，()lim x f x →+∞=+∞，所以若使()f x 有两个零点，只需ln 0222a a a-<，解得2a e >.综上，实数a 的取值范围是()2e +∞，. 解法二：题意⇔方程2xe ax =有两个不等实根，易知其中0x ≠，所以题意⇔方程2xe a x=有两个不等实根⇔函数y a =与2x ey x=的图象有两个不同的公共点.设()2x e g x x =，则()()2221xx eg x x -'=，所以当0x <或102x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0-∞，和102，⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数；当12x >，()0g x '>，所以()g x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，所以当12x =时，()g x 取得极小值122g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又因为()lim 0x g x →-∞=，()0lim x g x -→=-∞，()0lim x g x +→=+∞，()lim x g x →+∞=+∞，在同一坐标系中分别画出函数y a =与2xey x=的图象，如图所示，观察图形可知当2a e >时，二者有两个不同的公共点.所以实数a 的取值范围是()2e +∞，. （2）证明：由（1）可知，1x ，2x 是方程2x e ax =（0x >）的两个不等实根，也是方程2ln ln x a x =+的两个不等实根，也是函数()2ln ln h x x x a =--的两个零点，且12102x x <<<. 因为()1212x h x x x ='-=-，所以当102x <<时，()0h x '<，所以()h x 在102，⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数；当12x >时，()0h x '>，所以()h x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.设()()()1x h x h x ϕ=--，则()()()1x h x h x ϕ'''=+- 21121x xx x --=+- ()()2211x x x --=-，所以当102x <<时， ()0x ϕ'<，所以()x ϕ在102，⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，所以()112x ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭0=，即()()1110h x h x -->，即()()111h x h x >-，即()()211h x h x >-.又因为21112x x ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，，，所以211x x >-，所以121x x +>. 点睛：考查导函数的应用，对于零点问题可理解为方程的根的个数或者图像与x 轴交点的个数，通常零点问题多进行数形结合思维，对于不等式证明问题，首先要将问题分析清楚，通过对函数的构造和单调性分析进行结合即可得出，属于难题.。

2017~2018学年度下学期质量检测 高二数学(理科)试题2018.07第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数211z i i=+-在平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ） A ．0.84 B ．0.68 C ．0.34 D ．0.163.用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设时（ ）A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程30x ax b ++=至多有一实根C ．方程30x ax b ++=至多有两实根D ．方程30x ax b ++=恰好有两实根 4.“因为偶函数的图象关于y 轴对称，而函数()2f x x x =-是偶函数，所以()2f x x x =-的图象关于y 轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C. 推理形式错误 D ．大前提与推理形式都错误 5.若随机变量X 的分布列为（ ）且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．13 B ．0 C.1 D ．236.盒中有7只螺丝钉，其中有2只是不合格的，现从盒中随机地取出3只，那么恰有1只不合格的概率是（ ） A ．47 B ．421 C.17 D ．127.函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x x f x =，则()'g x =（ ）A ．3B ．2 C.1 D ．328.（请考生在下列两题中任选一题作答） [选修4-4：坐标系与参数方程] （1）在极坐标中，点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的的距离为（ ）A ．3πB C.2 D [选修4-5：不等式选讲]（2）设0ab >，下列不等式中正确的是（ ） ①a b a b +>- ②a b a b +>+ ③a b a b +<- ④a b a b +>-A ．①和②B ．①和③ C.①和④ D ．②和④ 9.已知圆柱的轴截面的周长为12，则圆柱体积的最大值为（ ） A ．274π B ．8π C.27π D ．64π 10.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.9 C.58 D ．8911.（请考生在下列两题中任选一题作答） [选修4-4：坐标系与参数方程]（1）已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．)61 B ．)61 C.125 D ．245[选修4-5：不等式选讲]（2）函数()f x =）A ．5B 1 D ．212.已知函数()()ln xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],e -∞B ．(),e -∞ C.[),e +∞ D ．(),e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z = ． 14.由曲线2y x =与2x y =所围成的封闭图形的面积为 ．15.从2位女生，4位男生中选了3人参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，且至多有1位女生参赛，则不同的参赛方案共有 种.(用数字填写答案)．16.已知定义在上的函数()f x 满足()()'f x f x >（其中()'f x 为()f x 的导函数）且()1f e =，则不等式()x f x e >的解集是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.18.某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度()%x 对亩产量y (吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量y (吨)与海水浓度()%x 之间的相关关系，用最小二乘法计算得y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ0.09y x a =-+. （1）求ˆ,,am n 的值； （2）统计学中常用相关指数2R 刻画回归效果，2R 越大，回归效果越好，如假设20.85R =，就说明预报变量y 的差异有85%是解释变量x 引起的.请计算相关指数2R (精确到0.01),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差ˆˆi i i ey y =-，相关指数()()22121ˆ1ni i i nii y yR y y ==-=--∑∑，其中()5210.051ii y y =-=∑）19. 观察下列等式：11=；2349++=； 3456725++++=； 4567891049++++++=；……（1）照此规律，归纳猜想第()*n n N ∈个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.20. 2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了90人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占40%，而男生有12人表示对足球运动没有兴趣.（1）完成22⨯列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取1名学生,抽取3次，记被抽取的3名学生中对尼球有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望.附()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 21.已知函数()()ln 1x f x e a x =-+，其中e 为自然对数的底数. （1）若1a =，求()f x 的最小值； （2）若0a e ≤≤，证明：()0f x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()2,0P ，直线122:2x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin soc ρθθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x ax =-.（1）当2a =时，解不等式()1f x x >+；（2）若关于x 的不等式()()1f x f x m +-<-有实数解，求m 的取值范围.2017~2018学年度下学期质量检测高二数学(理)参考答案一、选择题1-5BCABD 6-10ADCBD 11、12：BA 二、填空题14.1315.96 16.{}1x x < 三、解答题17.解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =，所以112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项，即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（2）112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为.()166110,1,2, (622)kk k k k T C C x k x -+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由1k -=-，得1k =；由0k -=，得0k =.所以()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为11612112x C x -⎛⎫⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭18.解：（1）因为()13456755x =++++= ()10.570.530.440.360.300.445y =++++= 所以ˆ0.440.095a=-⨯+，即ˆ0.89a = 所以线性回归方程为ˆ0.090.89yx =-+ 所以333ˆˆ0.0950.890.44,0.440.440ym y y =-⨯+==-=-=444ˆˆ0.0960.890.36,0.360.350.01yn y y =-⨯+==-=-= （2）()()52222221ˆ0.05000.010.040.0042iii y y=-=-++++=∑所以相关指数20.004210.920.051R =-≈故亩产量的变化有92%是由海水浓度引起的19.解：（1）第n 个等式为()()()()()212...3221*n n n n n n N ++++++-=-∈；（2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，左边1=，右边211== 所以当1n =时，原等式成立.②假设当()*n k k N =∈时原等式成立，即()()()()()212....3221*k k k k k k N ++++++-=-∈则当1n k =+时，()()()()()12....3231331k k k k k k +++++-+-+++()()()22131331k k k k k ⎡⎤=--+-+++⎣⎦()()22244121211k k k k =++=+=+-⎡⎤⎣⎦所以当1n k =+时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何*n N ∈都成立. 20.解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到()2290382412161210.82850405436K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关” （2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是35，将频率视为概率，即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是35， 有题意知3~3,,0,1,2,3,5X B X ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3032805125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭ ()2132336155125P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ ()2232354255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33332735125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭从而X 的分布列为()39355E X =⨯=21.解：（1）若1a =，()()()ln 11xf x e x x =-+>-所以()()()111'111x xx e f x e x x x +-=-=>-++ 设()()11xg x x e =+-，则()()()'120xxxg x e x e x e =++=+>所以()g x 在()1,-+∞上为增函数， 又()00g =，所以当()1,0x ∈-时，()()0,'0g x f x <<，()f x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()()0,'0g x f x >>，()f x 单调递增. 所以()f x 的最小值为()01f =.（2）由题意知()()()1'111xxx e a af x e x x x +-=-=>-++当0a =时，()0x f x e =>显然成立.当0a e <≤时，由（1）知()()1x h x x e a =+-在()1,-+∞上为增函数， 因为()()10,1210h a h e -=-<=->所以存在唯一的()01,1x ∈-使得()00h x =，即()001xx e a +=所以当()01,x x ∈-时，()()0,'0h x f x <<，()f x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()0,'0h x f x >>，()f x 单调递增. 所以()f x 的最小值为()()00000ln 1ln 1xx a af x e a x a x e ⎛⎫=-+=- ⎪+⎝⎭()000011ln 11ln 21ln 11a a x a x a a a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++--≥-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()1ln 0a a =-≥当且仅当00111ln 1x x a ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，即00x a e =⎧⎨=⎩时取等号.代入()001xx e a +=得1a =，矛盾，所以等号不能成立.所以()00f x >，所以()0f x >22.解：（1）对于曲线，两边同乘以ρ可得22sin cos ρθρθ=，即2y x = 所以它的直角坐标方程为2y x =（2）把直线l 的参数方程代入2y x =，得23280t t --=所以121228,33t t t t +==- 因为点()2,0P 在直线l 上，所以1283PA PB t t ⋅== 因为12803t t =-< 所以12103PA PB t t +=-==所以101153843PA PB PA PB PA PB++===⋅23.解：（1）由题意的：211x x ->+ 两边平方得：2244121x x x x -+>++ 即2360x x ->， 解得0x <或0x >，所以原不等式的解集为()(),02,-∞⋃+∞ （2）11112ax ax ax ax ->--≥---=()()f x f x +-的最小值为2所以21m <-， 即12m -<-或12m -> 亦即1m <-或3m >。

济宁市第一中学2015—2016学年度第二学期高二年级期中模块监测数学（理科）试题 2016.5第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数()2i i -对应的点位于（ ）A.第二象限B.第四象限C.第三象限D.第一象限2.用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程20x ax b ++=没有实根B.方程20x ax b ++=至多有一个实根C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根3.利用数学归纳法证明不等式()()11112,2321n f n n n N *++++<≥∈-的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了A.1项B. k 项C. 12k -项D. 2k 项4.曲线3123y x =-在点51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为（ ） 3 B. 1 C.1- D. 35.设函数()xf x xe =，则（ ） A.1x =是的极大值点 B. 1x =是的极小值点C. 1x =-是的极大值点D. 1x =-是的极小值点6.若复数z 满足2z =，则13i z +的取值范围是（ ）A.[]1,3B. []1,4C. []0,3D. []0,47.已知()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ） A.12a -<< B. 36a -<< C.1a <-或2a > D.3a <-或6a >8.观察下列等式：56753125,515625,578125,,===则20135的末四位数字为（ ）A. 3125B. 5625C.0625D.81259.在区间[]0,1上给定曲线2y x =，如图所示，01t <<，12,S S 是t 的函数，则函数()12g t S S =+的单调递增区间为（ ） A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B.1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C.[]0,1D.(]1,210.已知函数()f x 的导函数的图象如图所示，若ABC 为锐角三角形，则一定成立的是（ ）A.()()cos cos f A f B <B. ()()sin cos f A f B <C. ()()sin sin f A f B >D. ()()sin cos f A f B > 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.数列{}n a 中，1111,1n n a a a +==-+，则2016a = . 12.复数32i z i-+=+的共轭复数为z ，则z 的虚部为 . 13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，则4,T ,1612T T 成等比数列. 14.()f x 是定义在非零实数集上的函数，()f x '为其导函数，且0x >时，()()0xf x f x '-<记()()()0.2220.22220.2log 5,,c 20.2log 5f f f a b ===，则,,a b c 的大小关系为 . 15.已知函数()ln f x x x =，且120x x <<，给出下列命题：①()()12121;f x f x x x -<- ②()()2112x f x x f x <；③当ln 1x >-时，()()()1122212x f x x f x x f x +>；④()()1122.x f x x f x +<+其中正确的命题序号是 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分) 复数()()2123210,2551z a i z a i a a=+-=+-+-，若12z z +是实数，求实数a 的值.17.(本小题满分12分)（1<（2）已知0,0a b >>且2a b +>，求证：11,b a a b ++中至少有一个小于2.18.(本小题满分12分)数列{}n a 满足()2.n n S n a n N *=-∈（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；（2）利用数学归纳法证明（1）的猜想.19.(本小题满分12分)已知函数()322233f x x ax x =-- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（2）对一切()0,x ∈+∞，()24ln 31af x a x x a '+≥--恒成立，求实数a 的取值范围.20.(本小题满分12分)某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交()13a a ≤≤元的管理费，预计当每件商品的销售价格为()79x x ≤≤元时，一年的销售量为()210x -万件.（1）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的销售价格的函数关系();L x（2）当每件商品的销售价格为多少元时，该连锁分店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数()()21.2x f x e x ax a R =--∈ （1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求,a b 的值；（2）若函数在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）如果函数()()212g x f x a x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有两个不同的极值点12,x x ，证明：a >。

2017~2018学年度下学期质量检测 高二数学(理科)试题2018.07第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数211z i i=+-在平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ） A ．0.84 B ．0.68 C ．0.34 D ．0.163.用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设时（ ）A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程30x ax b ++=至多有一实根C ．方程30x ax b ++=至多有两实根D ．方程30x ax b ++=恰好有两实根 4.“因为偶函数的图象关于y 轴对称，而函数()2f x x x =-是偶函数，所以()2f x x x=-的图象关于y 轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C. 推理形式错误 D ．大前提与推理形式都错误 5.若随机变量X 的分布列为（ ）且，则随机变量的方差等于（ ） A ．13 B ．0 C.1 D ．236.盒中有7只螺丝钉，其中有2只是不合格的，现从盒中随机地取出3只，那么恰有1只不合格的概率是（ ） A ．47 B ．421 C.17 D ．127.函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'g x =（ ）A ．3B ．2 C.1 D ．328.（请考生在下列两题中任选一题作答） [选修4-4：坐标系与参数方程] （1）在极坐标中，点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的的距离为（ ）A ．3πB C.2 D [选修4-5：不等式选讲]（2）设0ab >，下列不等式中正确的是（ ） ①a b a b +>- ②a b a b +>+ ③a b a b +<- ④a b a b +>-A ．①和②B ．①和③ C.①和④ D ．②和④ 9.已知圆柱的轴截面的周长为12，则圆柱体积的最大值为（ ） A ．274π B ．8π C.27π D ．64π 10.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.9 C.58 D ．8911.（请考生在下列两题中任选一题作答） [选修4-4：坐标系与参数方程] （1）已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．)61 B ．)61 C.125 D ．245[选修4-5：不等式选讲]（2）函数()f x =）A ．5B C.1 D ．212.已知函数()()ln xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],e -∞B ．(),e -∞ C.[),e +∞ D ．(),e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z = ． 14.由曲线2y x =与2x y =所围成的封闭图形的面积为 ．15.从2位女生，4位男生中选了3人参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，且至多有1位女生参赛，则不同的参赛方案共有 种.(用数字填写答案)．16.已知定义在上的函数()f x 满足()()'f x f x >（其中()'f x 为()f x 的导函数）且()1f e =，则不等式()x f x e >的解集是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.18.某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度()%x 对亩产量y (吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量(吨)与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ0.09y x a =-+. （1）求ˆ,,am n 的值； （2）统计学中常用相关指数2R 刻画回归效果，2R 越大，回归效果越好，如假设20.85R =，就说明预报变量y 的差异有85%是解释变量x 引起的.请计算相关指数2R (精确到0.01),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差ˆˆi i i ey y =-，相关指数()()22121ˆ1ni i i nii y yR y y ==-=--∑∑，其中()5210.051i i y y=-=∑）19. 观察下列等式：11=；2349++=； 3456725++++=； 4567891049++++++=；……（1）照此规律，归纳猜想第()*n n N ∈个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.20. 2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了90人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占40%，而男生有12人表示对足球运动没有兴趣.（1）完成22⨯列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？生,抽取3次，记被抽取的3名学生中对尼球有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望. 附()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++21.已知函数()()ln 1xf x e a x =-+，其中e 为自然对数的底数.（1）若1a =，求()f x 的最小值； （2）若0a e ≤≤，证明：()0f x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()2,0P，直线122:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin soc ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x ax =-.（1）当2a =时，解不等式()1f x x >+；（2）若关于x 的不等式()()1f x f x m +-<-有实数解，求m 的取值范围.2017~2018学年度下学期质量检测高二数学(理)参考答案一、选择题1-5BCABD 6-10ADCBD 11、12：BA 二、填空题14.1315.96 16.{}1x x <三、解答题17.解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =，所以112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项，即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ （2）112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为.()166110,1,2, (622)kk k k k T C C x k x -+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由1k -=-，得1k =；由0k -=，得0k =.所以()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为11612112x C x -⎛⎫⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭18.解：（1）因为()13456755x =++++= ()10.570.530.440.360.300.445y =++++= 所以ˆ0.440.095a=-⨯+，即ˆ0.89a = 所以线性回归方程为ˆ0.090.89yx =-+ 所以333ˆˆ0.0950.890.44,0.440.440ym y y =-⨯+==-=-= 444ˆˆ0.0960.890.36,0.360.350.01yn y y =-⨯+==-=-= （2）()()52222221ˆ0.05000.010.040.0042iii y y=-=-++++=∑所以相关指数20.004210.920.051R =-≈故亩产量的变化有92%是由海水浓度引起的19.解：（1）第n 个等式为()()()()()212...3221*n n n n n n N ++++++-=-∈；（2）用数学归纳法证明如下：①当1n =时，左边1=，右边211== 所以当1n =时，原等式成立.②假设当()*n k k N =∈时原等式成立，即()()()()()212....3221*k k k k k k N ++++++-=-∈则当1n k =+时，()()()()()12....3231331k k k k k k +++++-+-+++()()()22131331k k k k k ⎡⎤=--+-+++⎣⎦()()22244121211k k k k =++=+=+-⎡⎤⎣⎦所以当1n k =+时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何*n N ∈都成立. 20.解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到()290382412161210.82850405436K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关” （2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是35，将频率视为概率， 即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是35， 有题意知3~3,,0,1,2,3,5X B X ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3032805125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()2132336155125P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ ()2232354255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33332735125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭ 从而X 的分布列为()355E X =⨯=21.解：（1）若1a =，()()()ln 11xf x e x x =-+>-所以()()()111'111x xx e f x e x x x +-=-=>-++ 设()()11xg x x e =+-，则()()()'120xxxg x e x e x e =++=+>所以()g x 在()1,-+∞上为增函数， 又()00g =，所以当()1,0x ∈-时，()()0,'0g x f x <<，()f x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()()0,'0g x f x >>，()f x 单调递增. 所以()f x 的最小值为()01f =.（2）由题意知()()()1'111xxx e a a f x e x x x +-=-=>-++ 当0a =时，()0xf x e =>显然成立.当0a e <≤时，由（1）知()()1xh x x e a =+-在()1,-+∞上为增函数，因为()()10,1210h a h e -=-<=->所以存在唯一的()01,1x ∈-使得()00h x =，即()001xx e a +=所以当()01,x x ∈-时，()()0,'0h x f x <<，()f x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()0,'0h x f x >>，()f x 单调递增. 所以()f x 的最小值为()()00000ln 1ln 1xx a af x e a x a x e ⎛⎫=-+=- ⎪+⎝⎭()000011ln 11ln 21ln 11a a x a x a a a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++--≥-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()1ln 0a a =-≥当且仅当00111ln 1x x a ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，即00x a e=⎧⎨=⎩时取等号.代入()001xx e a +=得1a =，矛盾， 所以等号不能成立.所以()00f x >，所以()0f x >22.解：（1）对于曲线，两边同乘以ρ可得22sin cos ρθρθ=，即2y x =所以它的直角坐标方程为2y x =（2）把直线l 的参数方程代入2y x =，得23280t t --=所以121228,33t t t t +==- 因为点()2,0P 在直线l 上， 所以1283PA PB t t ⋅== 因为12803t t =-< 所以12103PA PB t t +=-==所以101153843PA PB PA PB PA PB++===⋅23.解：（1）由题意的：211x x ->+两边平方得：2244121x x x x -+>++即2360x x ->，解得0x <或0x >，所以原不等式的解集为()(),02,-∞⋃+∞（2）11112ax ax ax ax ->--≥---=()()f x f x +-的最小值为2所以21m <-， 即12m -<-或12m -> 亦即1m <-或3m >。

2017~2018学年度下学期质量检测 高二数学(理科)试题2018.07第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数211z i i=+-在平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ） A ．0.84 B ．0.68 C ．0.34 D ．0.163.用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设时（ ）A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程30x ax b ++=至多有一实根C ．方程30x ax b ++=至多有两实根D ．方程30x ax b ++=恰好有两实根 4.“因为偶函数的图象关于y 轴对称，而函数()2f x x x =-是偶函数，所以()2f x x x=-的图象关于y 轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C. 推理形式错误 D ．大前提与推理形式都错误 5.若随机变量X 的分布列为（ ）且，则随机变量的方差等于（ ） A ．13 B ．0 C.1 D ．236.盒中有7只螺丝钉，其中有2只是不合格的，现从盒中随机地取出3只，那么恰有1只不合格的概率是（ ） A ．47 B ．421 C.17 D ．127.函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'g x =（ ）A ．3B ．2 C.1 D ．328.（请考生在下列两题中任选一题作答） [选修4-4：坐标系与参数方程] （1）在极坐标中，点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的的距离为（ ）A ．3πB C.2 D [选修4-5：不等式选讲]（2）设0ab >，下列不等式中正确的是（ ） ①a b a b +>- ②a b a b +>+ ③a b a b +<- ④a b a b +>-A ．①和②B ．①和③ C.①和④ D ．②和④ 9.已知圆柱的轴截面的周长为12，则圆柱体积的最大值为（ ） A ．274π B ．8π C.27π D ．64π 10.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.9 C.58 D ．8911.（请考生在下列两题中任选一题作答） [选修4-4：坐标系与参数方程] （1）已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．)61 B ．)61 C.125 D ．245[选修4-5：不等式选讲]（2）函数()f x ）A ．5B C.1 D ．212.已知函数()()ln xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],e -∞B ．(),e -∞ C.[),e +∞ D ．(),e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z = ． 14.由曲线2y x =与2x y =所围成的封闭图形的面积为 ．15.从2位女生，4位男生中选了3人参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，且至多有1位女生参赛，则不同的参赛方案共有 种.(用数字填写答案)．16.已知定义在上的函数()f x 满足()()'f x f x >（其中()'f x 为()f x 的导函数）且()1f e =，则不等式()x f x e >的解集是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.18.某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度()%x 对亩产量y (吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量(吨)与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ0.09y x a =-+. （1）求ˆ,,am n 的值； （2）统计学中常用相关指数2R 刻画回归效果，2R 越大，回归效果越好，如假设20.85R =，就说明预报变量y 的差异有85%是解释变量x 引起的.请计算相关指数2R (精确到0.01),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差ˆˆi i i ey y =-，相关指数()()22121ˆ1ni i i nii y yR y y ==-=--∑∑，其中()5210.051i i y y=-=∑）19. 观察下列等式：11=；2349++=； 3456725++++=； 4567891049++++++=；……（1）照此规律，归纳猜想第()*n n N ∈个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.20. 2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了90人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占40%，而男生有12人表示对足球运动没有兴趣.（1）完成22⨯列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？生,抽取3次，记被抽取的3名学生中对尼球有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望. 附()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++21.已知函数()()ln 1xf x e a x =-+，其中e 为自然对数的底数.（1）若1a =，求()f x 的最小值； （2）若0a e ≤≤，证明：()0f x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()2,0P，直线122:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin soc ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x ax =-.（1）当2a =时，解不等式()1f x x >+；（2）若关于x 的不等式()()1f x f x m +-<-有实数解，求m 的取值范围.2017~2018学年度下学期质量检测高二数学(理)参考答案一、选择题1-5BCABD 6-10ADCBD 11、12：BA 二、填空题14.1315.96 16.{}1x x <三、解答题17.解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =，所以112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项，即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ （2）112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为.()166110,1,2, (622)kk k k k T C C x k x -+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由1k -=-，得1k =；由0k -=，得0k =.所以()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为11612112x C x -⎛⎫⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭18.解：（1）因为()13456755x =++++= ()10.570.530.440.360.300.445y =++++= 所以ˆ0.440.095a=-⨯+，即ˆ0.89a = 所以线性回归方程为ˆ0.090.89yx =-+ 所以333ˆˆ0.0950.890.44,0.440.440ym y y =-⨯+==-=-= 444ˆˆ0.0960.890.36,0.360.350.01yn y y =-⨯+==-=-= （2）()()52222221ˆ0.05000.010.040.0042iii y y=-=-++++=∑所以相关指数20.004210.920.051R =-≈故亩产量的变化有92%是由海水浓度引起的19.解：（1）第n 个等式为()()()()()212...3221*n n n n n n N ++++++-=-∈；（2）用数学归纳法证明如下：①当1n =时，左边1=，右边211== 所以当1n =时，原等式成立.②假设当()*n k k N =∈时原等式成立，即()()()()()212....3221*k k k k k k N ++++++-=-∈则当1n k =+时，()()()()()12....3231331k k k k k k +++++-+-+++()()()22131331k k k k k ⎡⎤=--+-+++⎣⎦()()22244121211k k k k =++=+=+-⎡⎤⎣⎦所以当1n k =+时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何*n N ∈都成立. 20.解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到()290382412161210.82850405436K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关” （2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是35，将频率视为概率， 即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是35， 有题意知3~3,,0,1,2,3,5X B X ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3032805125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()2132336155125P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ ()2232354255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33332735125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭ 从而X 的分布列为()355E X =⨯=21.解：（1）若1a =，()()()ln 11xf x e x x =-+>-所以()()()111'111x xx e f x e x x x +-=-=>-++ 设()()11xg x x e =+-，则()()()'120xxxg x e x e x e =++=+>所以()g x 在()1,-+∞上为增函数， 又()00g =，所以当()1,0x ∈-时，()()0,'0g x f x <<，()f x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()()0,'0g x f x >>，()f x 单调递增. 所以()f x 的最小值为()01f =.（2）由题意知()()()1'111xxx e a a f x e x x x +-=-=>-++ 当0a =时，()0xf x e =>显然成立.当0a e <≤时，由（1）知()()1xh x x e a =+-在()1,-+∞上为增函数，因为()()10,1210h a h e -=-<=->所以存在唯一的()01,1x ∈-使得()00h x =，即()001xx e a +=所以当()01,x x ∈-时，()()0,'0h x f x <<，()f x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()0,'0h x f x >>，()f x 单调递增. 所以()f x 的最小值为()()00000ln 1ln 1xx a af x e a x a x e ⎛⎫=-+=- ⎪+⎝⎭()000011ln 11ln 21ln 11a a x a x a a a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++--≥-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()1ln 0a a =-≥当且仅当00111ln 1x x a ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，即00x a e=⎧⎨=⎩时取等号.代入()001xx e a +=得1a =，矛盾， 所以等号不能成立.所以()00f x >，所以()0f x >22.解：（1）对于曲线，两边同乘以ρ可得22sin cos ρθρθ=，即2y x =所以它的直角坐标方程为2y x =（2）把直线l 的参数方程代入2y x =，得23280t t --=所以121228,33t t t t +==- 因为点()2,0P 在直线l 上， 所以1283PA PB t t ⋅== 因为12803t t =-< 所以12103PA PB t t +=-==所以101153843PA PB PA PB PA PB++===⋅23.解：（1）由题意的：211x x ->+两边平方得：2244121x x x x -+>++即2360x x ->，解得0x <或0x >，所以原不等式的解集为()(),02,-∞⋃+∞（2）11112ax ax ax ax ->--≥---=()()f x f x +-的最小值为2所以21m <-， 即12m -<-或12m -> 亦即1m <-或3m >。

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。

济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数的运算法则即可得出．详解：复数，故选A.点睛：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2. 用数学归纳法证明（）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k时，等式的左边为，当n=k+1 时，等式的左边为，故从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是，故选D.点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．3. 在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据复数的坐标表示可得：然后计算即可.详解：由题可得，故=，故选A.点睛：考查复数的坐标表示和乘法运算，属于基础题.4. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点，法向量为的直线的点法式方程为，化简得，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的点法式方程应为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据所给定义类比写表达式即可.详解：由题可得经过点，且法向量为的平面的点法式方程应为：，化简得，故选B.点睛：考查推理证明的类比法，根据定义可直接得出答案，属于基础题.5. 若函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先分析函数的单调性和定义域，再根据单调性解不等式即可得出结论.详解：由函数，因为lnx是在定义域内单调递增，在也为增函数故函数在为增函数，所以只需：得,故选C.点睛：考查函数的单调性，对题意的正确理解，转化为比较问题括号变量的大小关系是解题关键，属于一般题.6. 抛物线在点处切线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据点在第一象限得到表达式，然后求导根据切线方程的求法即可得出结论.详解：由题可得，，故切线的斜率为倾斜角是，故选A.点睛：考查切线方程的斜率求法，对借助导数求切线方程的熟练是解题关键，属于基础题.7. 直线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据题意画出草图，再结合定积分求解即可.点睛：考查定积分的应用，能画出草图写出计算表达式是关键，属于基础题.8. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：可先根据奇偶性排除选项，在结合特殊值即可得出结论.详解：首先函数的定义域关于原点对称，然后由得出函数为奇函数，故排除A,B，再令x=π得，故排除D，选C.点睛：考查函数的图像识别，通常根据奇偶性和特殊值，单调性来逐一排除得出答案.9. 若函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据导函数求出原函数的单调区间，再结合极值点的取值限制函数图像的走势，从而得出结论详解：由题得：令，故得函数在单调递增，在单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需故选D.点睛：考查导函数的应用，借助导函数求出单调区间，再结合条件找出是解题关键.10. “”是个很神奇的数，对其进行如下计算：，，，，，如此反复运算，则第次运算的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题可得要计算第次故需先找出运算周期，然后根据周期即可计算出结论.详解：进行如下计算：，，，，，故周期为8，故第次计算结果为第2次计算结果为4，故选A.点睛：本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以8为周期，循环出现．11. 若正数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：可先将问题变形为：，再结合‘1’的用法的基本不等式即可解决.详解：由题可得：，点睛：考查基本不等式的运用，对原式得正确变形和结合‘1’的用法解题是本题关键，属于中档题. 12. 已知函数的零点为，，且，那么下列关系一定不成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：可先分析函数的单调性，然后结合草图即可得出结论.详解：由题可得：定义域为：，令当x>0时>0恒成立，故f（x）在单调递增，又函数的零点为，故为唯一零点，再由，且，可得两种情况：，故A、B正确，或故C正确，故选D.点睛：考查导函数得单调性求法，考查学生对函数的分析能力和数形结合能力，能正确分析原函数的单调性是解题关键，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若复数为纯虚数，则实数__________．【答案】3【解析】分析：根据纯虚数的条件可得出等式，解出即可.详解：由题可得，故答案为3.点睛：考查复数的分类，属于基础题.14. 济宁市2018年中考有所高中招生，如果甲、乙、丙名同学恰好被其中的所学校录取，那么不同录取结果的种数为__________．【答案】270【解析】分析：解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解详解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，共有C31C22A102=270．故答案为：270．点睛：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成两步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．15. 若方程恰有一个实数解，则实数的取值集合为__________．【答案】【解析】分析：先分离参数，然后结合xlnx的单调性和草图即可得出结论.详解：令令，有定义域可得f（x）在递减，递增，如图：，故只有一解得：得，故答案为点睛：考查导函数的应用，考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16. 若函数的值域为，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由题可得只需能取遍所有正数，即最小值小于等于0．利用导数求出函数的单调区间，可得函数的最小值，再解不等式，解得a的范围．点睛：本题主要考查复合函数的单调性和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数在处取得极小值，求的极大值.【答案】见解析.【解析】分析：由题可得1是极值点故1是导函数的解.而，由，解得或.从而可求得c，即可得出f（x）的极大值.详解：因为，所以，由，解得或.依题意，1是的较大零点，所以，所以当时，取得极大值.点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题. 18. 已知，求证：（1）；（2）与至少有一个大于.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）分析法证明，要证，只需证.继续往下推理即可（2）反证法：假设且，则，借助基本不等式找出矛盾即可.详解：证明：（1）因为，所以和都是正数，所以要证，只需证.只需证，只需证，只需证，只需证.因为成立，所以.（2）证法一：假设且，则又因为，所以，这与矛盾.所以与至少有一个大于.证法二：因为，所以，所以，所以而与的大小关系不确定，所以与至少有一个大于.点睛：考查推理证明的中的直接证明、间接证明以及基本不等式的应用，属于一般题.19. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，求函数在区间上的最大值.【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)见解析.【解析】分析：（1）求单调区间根据导函数大于零和小于零的解集即为单调增减区间；（2）求函数的最大值，先讨论函数的单调性，然后根据单调性确定最值点即可，注意分类讨论.详解：（1），由，解得；由，解得.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）可知：①当时，，在上是增函数，所以此时；②当时，，在处取得极大值，也是它的最大值，所以此时；③当时，在上是减函数，所以此时.综上，函数在区间上的最大值；当时，为；当时，为；当时，为.点睛：考查导数在函数中的单调性和最值应用，属于导函数中比较常规的题型问题，注意分类讨论的完整性为关键.20. 某人用一网箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该网箱中华鲟的产量（单位：百千克）与购买饲料费用（）（单位：百元）满足：.另外，饲养过程中还需投入其它费用.若中华鲟的市场价格为元/千克，全部售完后，获得利润元.（1）求关于的函数关系式；（2）当为何值时，利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)见解析;(2)当时，利润最大，最大利润是元.【解析】分析：（1）根据利润=收入-成本的计算公式即可得出表达式；（2）借助导数分析函数单调性然后确定最值点即可.（1）依题意，可得，.（2），由，解得（舍）或.当时，，所以利润函数在上是增函数；当时，，所以利润函数在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为所以当时，利润最大，最大利润是元.点睛：考查函数的实际应用，导函数求最值的应用，对表达式的正确书写是本题关键，属于基础题.21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）求切线方程，先求导，然后代入切点横坐标得到斜率即可得出切线方程；（2）分析题意可先分离参数得到，然后分析函数的单调性只需求出其最大值即可得a的取值范围.（1）当时，，所以，所以切线的斜率.又因为，所以切线方程为，整理得.（2）因为函数的定义域是，即为，可化为.设，依题意，.，令，易知它在上是减函数，又因为，所以当时，，，所以在上是增函数；当时，，，所以在上是减函数.所以在处取得极大值，也是最大值，所以，所以.所以的取值范围是.点睛：考查导数的几何意义，切线方程的求法、分离参数求导函数最值解决恒成立问题，属于常规题. 22. 设函数有两个零点，，且.（1）求的求值范围；（2）求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）要保证函数有两个不同的零点，，可分析函数的单调性然后根据题意找出两个不同两点所对应的条件即可，对单调性的讨论，注意a的影响；（2）由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且，故再构造函数，只需分析出单调性即可得证.（1）解法一：.①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点.②当时，由，解得，所以若，则，所以在上是减函数；若，则，所以在上是增函数.所以当时，取得极小值，也是它的最小值..因为，，所以若使有两个零点，只需，解得.综上，实数的取值范围是.解法二：题意方程有两个不等实根，易知其中，所以题意方程有两个不等实根函数与的图象有两个不同的公共点.设，则，所以当或时，，所以在和上是减函数；当，，所以在上是增函数，所以当时，取得极小值.又因为，，，，在同一坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示，观察图形可知当时，二者有两个不同的公共点.所以实数的取值范围是.（2）证明：由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且.因为，所以当时，，所以在上是减函数；当时，，所以在上是增函数.设，则，所以当时，，所以在上是减函数，所以，即，即，即.又因为，所以，所以.点睛：考查导函数的应用，对于零点问题可理解为方程的根的个数或者图像与x轴交点的个数，通常零点问题多进行数形结合思维，对于不等式证明问题，首先要将问题分析清楚，通过对函数的构造和单调性分析进行结合即可得出，属于难题。