第五章弯曲应力第五章弯曲应力内容提要一、梁的正应力I、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
U、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
川、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为1 M xx El z式中：x为变形后中性层的曲率半径，M x为弯矩，El z为梁的弯曲刚度示梁弯曲变形的程度。
W、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为MyI(5-1) (5-1)式表(5-2)t ,max ，使t,max 和c,max 同时达到其许用应力c ,max正应力的大小与该点到中性轴 z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据 梁的变形情况判断是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为My max（5-3）max1 zW z 丄（5-4）y maxW z 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等， W z 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1）在线弹性范围内 p ，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2） 纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式 为近似公式，当梁的跨高比-5时，误差 2%。
hV 、梁的正应力强度条件拉、压强度相等的等截面梁式中， 为料的许用正应力。
当梁内t,max c,max ，且材料的tc时， t,maxt ?切、提高梁正应力强度的措施1） 设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
可使梁的最大正应力降低, 从而提高梁的承载能力。
2） 对于t c 的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使M maxmaxW z(5-5)强度条件应为c,max3）采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近 许用应力。
二、梁的切应力梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设， 再根据微段的平衡条件导出切应力公式。
横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规 律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。
I 、矩形截面梁线部分微段的平衡条件，得F s S zX bj的横向线以下（或以上）的部分面积bJ y 对中性轴z 的静面矩，其值为[| \M dM xM"煬 初 x .d> 丄 y「yT h b假设切应力的方向平行于剪力F s ，其大小沿宽度 b 均匀分布（图b ）,由图a 中带阴影(5-6)式中，F s 为横截面上的剪力，b 为横截面的宽度,I zbh 3 12，S ；为横截面上距中性轴为y(a)maxs；y2，可见切应力沿横截面高度h按抛物线规律变化, h2处, y 0（中性轴处）时, max，其值为3 F s max2 bh3 Fs2 A(5-7)U、工字形截面梁1.腹板上的切应力切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段（图5-2b ）的平衡条件，得F s S X "dlT式中，F s 为横截面上的剪力，d 为腹板的宽度，I z 为整个工字形截面对中性轴的惯性矩, S ；为距中性轴z 为y 的横向线以下（或以上）的部分横截面面对对中性轴z 的静面矩 1 1 h S ：丄b h-d - y 2，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布（图5-2，d ），222在腹板和翼缘交界处min ，在中性轴处max ，其值为式中，S z,max 为中性轴以下（或以上）的半个横截面对中性轴z 的静面矩，计算min 时，S ：为 下（或上）翼缘的面积对中性轴z 的静面矩。
型钢时l z ；S z,max 为型钢表中的l x ；S x腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约 95%~97%2. 翼缘上的切应力翼缘上的水平切应力沿其厚度 均匀分布，由图c 所示微段的平衡条件得(5-8)maxdI(5-9)F s S xI z(5-10)式中，为翼缘的厚度，F s和I z的意义和(5-8)式相同，S：为距翼缘端部为的部分翼缘面积对中性轴z的静面矩，S；h，0 --，可见i沿翼缘宽度2 2 2 2按线性规律变化(图5-2，d)。
3. 切应力流根据剪力F s的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设F s的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。
根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。
川、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力U对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为 (5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。
W 、圆截面梁及薄壁圆环截面梁图5-4a 所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴 处，其方向与剪力F s 平行，其值为max(5-11)式中，A 4d2。
图5-4，b 所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处, 其方向与剪力 F s 平行，其值为FzmaxmaxCC y(a)y(d)maxF s max2（5-12）A式中，A 2 R o 。
V 、切应力强度条件对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力 F max 所在的横截面上，一般位于该该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即 max所在的点为纯剪切应力状态，剪切强度条件为式中，S z,max 为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积； b 为横截面在中性轴处的宽度,l z 为横截面对中性轴电惯性矩。
梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起 控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条 件。
三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心力沿形心主轴），或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行（横向力平行于形心主轴），荷 载和梁的挠曲线位于同一平面内（图5-5a ）或荷载的作用面和挠曲面平行（图5-5b ）。
梁产生 平面弯曲。
当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲（图5-5c ）U 、开口薄壁截面的弯曲中心 AmaxF Ss,max乙bl(5-13)I 、非对称截面梁平面弯曲的条件梁的横截面没有纵向对 称轴时，只要荷载作用在梁 的形心主惯性平面xy 内（横向1.弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力 （剪力）的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用 A 表示。
当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转 变形。
若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。
2. 几种常见开口薄壁截面弯曲中心的位置图5-6a,b 中，弯心A 和形心C 重合；图5-6c 中，弯心A 位于对称轴z 上；图5-6d,e中，弯心A 位于两狭长矩形中心线的交点处。
3. 弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料 的性能无关。
例5-1 一铸铁梁如图a 所示，已知材料拉伸时的强度极限为 b.t150MPa ，压缩时的强度极限为b .c 630MPa 。
试求梁的安全因数。
解：梁的弯矩图如图b 所示。
以横截面的下底边为参考轴，形心 C 的y 坐标y 1为b 2h 2e -------4l z1010160(c)y}(b ) 图5 6bA*Cy(c) (e)20C1图JJL40Z53.3146.7边缘，由于M BY 2M C Y 1，所以最大拉应发生B 截面的上边缘。
bjz150 106Pa 29.012 10 6 m 4 得 口 M B y 2 8 103 N m 146.7 10 3m式中，n t 为拉应力达到强度极限时的安全因数 最大压应力显然发生在 C 截面的上边缘,c,max得 旦630乌血29.012 10：亦 10.4M c y 2 12 103N m 146.7 10 3m式中，n c 为压应力达到强度极限时的安全因数由于n c >n t ，可见该题的强度由拉应力强度条件控制，梁的安全因数为n n t3.7例5-2横截面如图所示的铸铁简支梁，材料的许用拉应力为 [t ]=30MPa ，许用压应力[c ]=90MPa ，试确定截面尺寸 值。
20 160 40 2 120 10 160y 1160 40 2 10 16053.3mmY 2 200 53.3 146.7mm横截面对形轴z 的惯性矩为3I z 型空53.320 2 160 12340 2 10 160120 53.3 2 10 1601229.012 106mmB 、C 截面上正应力的分布规律如图 c 所示，最大拉应力发生在B 的上边缘或C 截面的下t,maxM B y 2M C Y 2b,cI zy 2 10截面对中性轴 z 的惯性矩为C 截面的弯矩为解：设形心C 距截面下底边的距F 80kN离为y iA1m C 1mh ------ —4* -------y i2 2 6 8 162 28 1 2 16 2于是222 82图38Z 3I z8 3128 2 12216 2 181 4M max40kN 1m40kNt,maxM max T y140 310 N m589.3N m181 430 106 Pac,maxM maxT"y 2o340 10 N m181 422 31620.6N m90106Pa由于2，所以取 27mm 。
讨论：由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的, 即拉应力先达到危险状态，也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。
c 90c,max 3， 一 i 30t ,max22 昱Z. * 83 可知，t,max 选达到危险状态，只需按拉应力强度条件确定即可223例5-3 一平顶凉台如图a 所示，其长度I 6m ，顶面荷载集度f 2000Pa ，由间距 s 1m 的木次梁AB 支持。
木梁的许用弯曲正应力10MPa ，木次梁为bxh 的矩形截面，且h 2b 。
试求：⑴在木次梁用料最经济的情况下，确定主梁位置 x 值；（2）选择木 次梁的尺寸。
解：1.次梁的计算简图如图b 所示，四根次梁中以中间两根所受的荷载最大，以此为 强度计算的依据，中间次梁的荷载集度为q fs 2000Pa 1m 2000N m 2kN . m2. 求次梁用料最经济时，主梁位置x丄ql x 2 !qx 2 丄qx 28423.选择b 和h 当x 1.74m 时A次梁主梁主梁 / 次梁」1 I ] I 门J I 1门 AB h 丄2I — h(a)C q I x $ 8 (c)用叠加法作出次梁的弯矩图如c 所示，当M DM C 时，次梁用料最经济。
