第2章 静电场20130923

第二章静电场1 一个半径为R 的电介质球，极化强度为,电容率为计算： (1)束缚电荷的体密度和面密度； (2)自由电荷体密度； (3)球外面和球内的电势； (4) 该带电介质球产生的静电场的总能量。

解：问题有球对称，故由叨=蛭+ R=茂得介质球内的电场强度 瓦=—^- = -^4,(尸 VR)£ _ £()£ _ % 广极化过程遵从电荷守恒，球内与球面总的束缚电荷必定等值异 号，且有球形对称，在球外面电场互相抵消，故球外面电场相当 f " 4 展 KR于总的自由电荷心=L PjdV =——集中于球心时产生的电6 6（）场4密0sKR r .必 £°(£ — £())户，r> &Q 卜里,=甲=室一坚罗 。

' a4花 r 4 展"上式用级数展开其结果跟用分离变量法的结果一致。

解的必=自由电荷体密度:自由电荷体密度:9接地空心导体球内、外半径为&和R?，在球内离球心为。

（。

＜&）处置一点电荷。

，试用镜像法求电势。

导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是在外表面？解：由于接地导体球的屏蔽作用，球壳及外部空间的电势为零，求解区域为球腔内。

以球心为坐标原点，令4位于Z =。

处。

问题有轴对称，球内电势的全部定解条件为：vV = --^（z-^z）；8加项T有限,此书=。

在z=b处放一假想电荷必，则球内任意一点的电势"Q I Q'4筋°尸4茏（/，其中,是点电荷&到场点的距离，/是点电荷必到场点的距离,1_ 1] ]即•尸^R I即•尸^R II + a1 -2Racos0，r』+ a2— 2Rd COS0Q必Q r由边界条件切得：[； + >]=0,即~^ = ~ 二0r r R=R}H ' R=R]n R2解的。

=-*" = 土aaI , QQRJan（p =——[/*__% ]4密。

电动力学教案第二章静电场教材：电动力学编者：郭硕鸿主讲教师：石东平（教授、硕士）单位：重庆文理学院物理与信息工程系授课专业：物理学（师范类）本科第二章静电场一、本章内容概述本章主要研究静电场的一些求解方法。

由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入电势来求解。

因此，本章首先引进静电场的标量势函数—电势并讨论电势的一些基本特性。

然后讨论静电势方程的几种求解方法—分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。

本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及在周围空间介质和导体分布的情况下，怎样求解静电场。

（教材开章语）二、本章教学重点和难点本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法本章难点：分离变量法（柱坐标）、格林函数法（简介）、电多极矩法（简介）三、本章学时安排（10学时）1－4节为重点，是本章要求掌握的基本内容，6学时左右习题课，2学时。

5－6节为简介内容，不作基本要求，2学时四、本章基础麦克斯韦方程组的积分式和微分式微积分、微分方程求解数理方程电磁学中的基本内容复习● 静电场的基本特点静电场：静止电荷产生的电场；特点： ①0≡J ，0==H B，静电场可单独存在。

②,(,),f p E P ρρρ等均与t 无关。

③静电场的基本方程（有源无旋场）：0=⨯∇E, f D ρ∇⋅=； （在本章中，一般以,ρσ代表自由电荷体密度和面密度）● 边值关系：0)(12=-⨯E E n，即21t t E E =；σ=-⋅)(12D D n，即21n n D D σ-=。

● 求介质分界面上的束缚电荷：12)(εσσf P E E n +=-⋅[当0=f σ则021()p E E n σε=-⋅] ● 电磁性质方程：① 均匀各向同性线性介质：000021()()(1)()e p fP P E ED ED E P P n P P χεεεεεερρεσ⎧==-⎪==+⎪⎪⎨=-∇⋅=--⎪⎪⎪=-⋅-⎩ ② 静电平衡时的导体： 导体内部：000p f J E E D P σσρρ==≠⇒=====。

1第二章静电场与导体§ 2–1 静电场中的导体1. 导体的特征功函数金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。

金属中的自由电子数量非常大，达到几乎取之不尽的地步。

洛伦兹认为金属中自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，每个电子的运动服从牛顿力学，与晶格上的正离子碰撞时交换能量，大量自由电子的运动服从经典的统计规律即麦克斯韦——玻耳兹曼分布律。

这就是经典电子论，亦称洛伦兹电子论。

2根据经典电子论，金属中的自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。

金属中自由电子的平均速度非常大，现已证明，即使在绝对零度，铜内部自由电子的平均速度约610m/s 。

自由电子的运动虽然非常激烈，但它们不会跑到金属外面，这表示金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用。

从能量角度看，电子处在金属内部时的能量一定小于它处在金属外部时的能量，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。

一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。

32．导体的静电平衡条件带电体系中的电荷静止不动，电场分布不随时间变化时，体系的这种状态叫做静电平衡。

导体内自由电荷在电场的作用下可以移动，从而改变电荷分布；电荷分布的改变又会影响到电场分布。

有导体存在时，电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约，并不是电荷和电场的任何一种分布都是静电平衡分布。

导体的静电平衡条件是导体内任何一点的电场强度等于零。

E G E ′G 0E G 0E G 0=i E G 4不带电的导体放在电场E G中，在导体所占据的那部分空间里本来是有电场的，各处电势不相等。

在电场的作用下，导体中的自由电荷将发生移动，结果使导体的一端带上正电，另一端带上负电，这就是静电感应现象。

E G E ′G 0E G 0E G 0=i E G 5这样的过程不会持续进行下去。

当导体两端积累了正、负电荷之后，它们就产生一个附加电场E ′G ，E ′G 与E G叠加的结果，使导体内、外的电场都发生重新分布。

第2章 静电场(二)2.1 静电场的唯一性定理及其应用静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。

静电场求解方法：(1) 直接由电场强度公式计算；(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。

唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。

2.1.1 唯一性定理静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。

2.1.2 导体边界时，边界条件的分类(1) 自然边界条件：有限值参考点=∞→ϕr r lim(相当于指定电位参考点的值)(2) 边界衔接条件：σϕεϕεϕϕ=∂∂-∂∂=nn 221121 (该条件主要用于求解区域内部)(3) 导体表面边界条件(a) 给定各导体表面的电位值。

(第一类边界条件)(b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。

该条件相当于给定了第二类边界条件。

在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。

Sn ∂∂-=ϕεσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。

相当于给定了第三类边界条件。

思考？为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。

条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。

2.1.3 静电场唯一性定理的意义唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据2.1.4 等位面法1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。

2 等位面法成立的理论解释：等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：(1)边界k 的等位性不变；(2)边界k 内的总电荷量不变。

(相当于给定了第二类边界条件)3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。