【步步高】高考数学二轮复习 专题一 第3讲函数与方程及函数的应用

第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。

§2.8函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．(2)三个等价关系方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0) (x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f (x)的图象连续不断，是否可得到函数f (x)只有一个零点？提示不能．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)<0.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(√)(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．( √ ) 题组二 教材改编2．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由f ′(x )＝e x ＋3>0，得f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．3．若函数f (x )＝x 2－4x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，4) 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 2<x 1<x 3 C ．x 2<x 3<x 1 D ．x 3<x 1<x 2答案 C解析 作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示，可知选C.5．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．[1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 C解析 当a ＝0时，函数的零点是x ＝－1，不符合题意． 当a ≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a >1.若Δ＝0，即a ＝－18，函数的零点是x ＝－2，不符合题意，故选C.6．(多选)下列说法中正确的是( ) A ．函数f (x )＝x ＋1的零点为(－1,0) B ．函数f (x )＝x ＋1的零点为－1C ．函数f (x )的零点，即函数f (x )的图象与x 轴的交点D ．函数f (x )的零点，即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标答案BD解析根据函数零点的定义，可知f (x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f (x)的零点，即函数y＝f (x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误.函数零点所在区间的判定1．函数f (x)＝ln x－2x－1的零点所在的区间是() A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)答案 B解析函数f (x)＝ln x－2x－1在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．因为f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>0，所以f (2)f (3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．2．若a<b<c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析函数y＝f (x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f (a)＝(a－b)(a－c)>0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．3．已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.答案 2解析对于函数y＝log a x，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．函数零点个数的判定例1 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点； 当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)(2019·秦皇岛模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．答案 3解析 当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象， 由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14.综上，f (x )有3个零点．(3)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 方法一 ∵f (0)f (1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续， ∴函数f (x )在区间(0,1)内有且只有1个零点． 方法二 设y 1＝2x ，y 2＝2－x 3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f (x )的零点个数． 故函数f (x )在区间(0,1)内有且只有1个零点． 思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．跟踪训练1 (1)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x >0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x <1， 易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个，故选C.(2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例2 (1)(2019·汕头质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. (2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 C解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点． 由图知－a ≤1，∴a ≥－1.命题点2 根据函数零点的范围求参数例3 (1)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎨⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0， 解得14<m <12.(2)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，则a 的取值范围为________． 答案 (6，10)解析 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )， 所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2， 要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的根， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6<2，log a 10>2，如图，解得6<a <10.故a 的取值范围是(6，10)．思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练2 (1)方程12log (a －2x )＝2＋x 有解，则实数a 的最小值为________．答案 1解析 若方程12log (a －2x )＝2＋x 有解，则⎝⎛⎭⎫122＋x ＝a －2x 有解，即14⎝⎛⎭⎫12x ＋2x＝a 有解，因为14⎝⎛⎭⎫12x ＋2x≥1，当且仅当x ＝－1时等号成立，故a 的最小值为1. (2)(2019·岳阳检测)对任意实数a ，b 定义运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 有3个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－1,3] B ．[－3,1] C ．[－1,2) D ．[－2,1)答案 D解析 令x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3， 令x 2－1－(4＋x )<1，得－2<x <3，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤－2或x ≥3，x 2－1，－2<x <3，作出函数f (x )的图象，如图所示．函数y ＝f (x )＋k 有3个零点，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有3个交点， 根据函数图象可得－1<－k ≤2，即－2≤k <1.故选D.例 (1)方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．即方程有2个解．(2)若函数f (x )＝|log a x |－2－x (a >0且a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( ) A ．mn ＝1 B ．mn >1 C ．0<mn <1 D ．以上都不对答案 C解析 由题设可得|log a x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，不妨设a >1，m <n ，画出函数y ＝|log ax |，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象如图所示，结合图象可知0<m <1，n >1，且－log a m ＝⎝⎛⎭⎫12m ，log an ＝⎝⎛⎭⎫12n ，以上两式两边相减可得log a (mn )＝⎝⎛⎭⎫12n －⎝⎛⎭⎫12m<0，所以0<mn <1，故选C.(3)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2，6]内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(43，48) B ．(43，2) C ．(43，2] D ．(43，2]答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，故f (2－x )＝f (x －2)， ∴f (x ＋2)＝f (x －2)，故f (x )的周期为4，∵x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，故f (x )在(－2,6]上的图象如图所示，∵f (x )－log a (x ＋2)＝0有3个不同的解，∴f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象有3个不同的交点，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)>log a (2＋2)，f (6)<log a (6＋2)，即⎩⎪⎨⎪⎧3>log a 4，3<log a8，解得134<a <2.素养提升 直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程．函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决．。

第3讲函数与方程及函数的应用【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一 函数的零点例1 (1)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x x，2x ＋x ，的零点个数是________．答案 (1)2 (2)3解析 (1)∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调函数．f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3)＝log a 3＋3－b .∵lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a <1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.(2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津改编)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．(2)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b＝2，则n ＝________. 答案 (1)1 (2)－1解析 (1)因为f ′(x )＝2xln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点．(2)f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0就是方程a x＝－x ＋b 的根． 设y 1＝a x，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y 1＝1a＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32，∴－1<x 0<0，∴n ＝－1. 考点二 与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是________．先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性． 答案 1解析 对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1， 则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确． 对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确． 对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确． 对于④，若f (x )是“12－伴随函数”，则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f (12)＋12f (0)＝0，若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点；若f (0)，f (12)均不为0，则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理，知f (x )在(0，12)内存在零点x 0，所以④正确．函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“镜像点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx x ，log 3x x，则f (x )的图象上的“镜像点对”有________对．答案 3解析 依题意，设点P (x 0，y 0)，Q (－x 0，y 0)(其中x 0>0)， 若点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝log 3x 0，y 0＝cos π－x 0＝cos πx 0，所以log 3x 0＝cos πx 0，即x 0是方程log 3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f (x )的图象的“镜像点对”共有3对． 考点三 函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|xx 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )． (1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝xx 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]． (2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g12，0≤a ≤14，g，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49，∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等． (2)对函数模型求最值的常用方法 单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M (a )时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋2，0<x ≤4，x ＋142x －2，x >4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值． 解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋x ，2x ＋28x －1x当0<x ≤4时x 24＋8≥4，显然符合题意．当x >4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x ≤16.综上0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2mx ，m x ＋2x －2x，得当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ；当x >4时，y ′＝－30m x －2<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y <3m ，综上知，7m4≤y ≤3m ，为使4≤y ≤10恒成立，只要7m4≥4且3m ≤10即可， 即167≤m ≤103. 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1． 函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0.2． 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3． 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.1． 已知函数f (x )＝(13)x－log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是________．(填序号)①x 0<b ；②x 0>b ；③x 0<c ；④x 0>c . 答案 ④解析 函数f (x )＝(13)x－log 2x在其定义域(0，＋∞)上是减函数， ∵0<a <b <c ，∴f (a )>f (b )>f (c )． 又∵f (a )f (b )f (c )<0， 则f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0， 或者f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0. 若f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，则x 0<a ， 若f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0，则b <x 0<c ， 故x 0>c 不可能成立，故填④. 2． 若f (x )＋1＝1fx ＋，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 (0，12]解析 设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)， ∴f (x )＝1fx ＋－1＝1x ＋1－1， ∴画出f (x )在(－1,1]上的图象(如下图)，g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f (x )＝m (x ＋1)有两个不同根，即y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)有两个不同交点． 如上图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时， 满足题意，则0<m ≤12.(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.2． 函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,3)解析 因为f ′(x )＝2xln 2＋2x2>0，所以f (x )是增函数，由条件可知f (1)f (2)<0， 即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0， 解之得0<a <3.3． (2013·天津改编)函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1的零点个数为________．答案 2解析 当0<x <1时，f (x )＝2xlog 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2xlog 0.5x －1＝2xlog 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故有2个零点．4． 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________． 答案 60,16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15， ①所以必有4<A ，且c4＝c2＝30， ②联立①②解得c ＝60，A ＝16.5． 若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >23解析 由ax 2＋(a －2)x －2>0得(x 2＋x )a －2(x ＋1)>0. 令f (a )＝(x 2＋x )a －2(x ＋1)． 方法一 (补集法)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f，f 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2≤0，3x 2＋x －2≤0，解得－1≤x ≤23，所以所求范围为该集合的补集，即为x <－1或x >23.方法二 (直接法)由题意得f (1)>0或f (3)>0，解得．6． 若关于x 的方程4cos x －cos 2x ＋m －3＝0恒有实数解，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,8]解析 设cos x ＝t ∈[－1,1]，则t 2－4t ＋3－m ＝0， 得m ＝t 2－4t ＋3在[－1,1]上是单调递减的， 所以m ∈[0,8]．7． 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________． 答案 7解析 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．8． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a >1.9． (2013·辽宁改编)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝________.答案 －16解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)， 函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16. 二、解答题10．(2012·陕西改编)设函数f n (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f n (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4，求b 的取值范围． (1)证明 b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f n (x )＝x n＋x －1.∵f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f n (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1<0， ∴f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′n (x )＝nx n －1＋1>0，∴f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的， ∴f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点． (2)解 当n ＝2时，f 2(x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4. 据此分类讨论如下： ①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2>1，即|b |>2时，M ＝|f 2(1)－f 2(－1)|＝2|b |>4，与题设矛盾．②当－1≤－b2<0，即0<b ≤2时，M ＝f 2(1)－f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f 2(－1)－f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2.11．某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x 3＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元． (1)试将y 表示成关于x 的函数； (2)需要修建多少个增压站才能使y 最小？ 解 (1)设需要修建k 个增压站， 则(k ＋1)x ＝120，即k ＝120x－1，所以y ＝432k ＋(k ＋1)(x 3＋x ) ＝432×(120x －1)＋120x(x 3＋x )＝51 840x＋120x 2－312.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x ≤60. 故y 与x 的函数关系是y ＝51 840x＋120x 2－312(0<x ≤60)．(2)因为f (x )＝51 840x＋120x 2－312(0<x ≤60)，则f ′(x )＝－51 840x 2＋240x ＝240x2(x 3－216)， 由f ′(x )>0，得x 3>216，又0<x ≤60，则6<x ≤60.所以f (x )在区间(6,60]上为增函数，在区间(0,6)上为减函数． 所以当x ＝6时，f (x )取最小值， 此时k ＝120x －1＝1206－1＝19.故需要修建19个增压站才能使y 最小．12．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数． 解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，且f (1)＝－4a ， ∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x－4ln x＝x －3x－4ln x －2 (x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝x －x －x2.x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)．。

§3.3导数与函数的极值、最值考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．微思考1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的什么条件？提示必要不充分．2．函数的极大值一定大于极小值吗？提示不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )在区间(a ，b )上不存在最值．( × ) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × ) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ ) (4)函数y ＝f ′(x )的零点是函数y ＝f (x )的极值点．( × ) 题组二 教材改编2．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正． 3．当x >0时，ln x ，x ，e x 的大小关系是________． 答案 ln x <x <e x解析 构造函数f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1，可得x ＝1为函数f (x )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x )≤f (1)＝－1<0，所以ln x <x .同理可得x <e x ，故ln x <x <e x . 4．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案227a 3 解析 容积V ＝(a －2x )2x ,0<x <a2，则V ′＝2(a －2x )×(－2x )＋(a －2x )2＝(a －2x )(a －6x )，由V ′＝0得x ＝a 6或x ＝a 2(舍去)，则x ＝a6为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V max＝227a 3. 题组三 易错自纠5．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) C ．(－6，6) D ．[－6，6] 答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2， 由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.6．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (多选)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数g (x )＝xf ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．f (x )有两个极值点B ．f (0)为函数的极大值C ．f (x )有两个极小值D ．f (－1)为f (x )的极小值 答案 BC解析 由题图知，当x ∈(－∞，－2)时，g (x )>0， ∴f ′(x )<0，当x ∈(－2,0)时，g (x )<0，∴f ′(x )>0， 当x ∈(0,1)时，g (x )<0，∴f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )>0，∴f ′(x )>0. ∴f (x )在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减， 在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增． 故AD 错误，BC 正确． 命题点2 求已知函数的极值例2 已知函数f (x )＝x 2－1－2a ln x (a ≠0)，求函数f (x )的极值． 解 因为f (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －2a x ＝2(x 2－a )x.①当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以f ′(x )>0对x >0恒成立．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)． 所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗所以当x ＝a 时，f (x )取得极小值，且f (a )＝(a )2－1－2a ln a ＝a －1－a ln a ．无极大值． 综上，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上无极值．当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a ，无极大值． 命题点3 已知极值(点)求参数例3 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________. 答案 11解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )无极值，所以a ＝1，b ＝3不符合题意， 当a ＝2，b ＝9时，经检验满足题意． ∴a ＋b ＝11.(2)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )＝x (ln x －ax )，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋ln x －2ax .由题意知，当x >0时，1＋ln x －2ax ＝0有两个不相等的实数根， 即2a ＝1＋ln xx有两个不相等的实数根，令φ(x )＝1＋ln x x (x >0)，∴φ′(x )＝－ln xx 2.当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 且φ(1)＝1，当x →0时，φ(x )→－∞， 当x →＋∞时，φ(x )→0， 则0<2a <1，即0<a <12.思维升华 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f (x )极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域． ②求导数f ′(x )．③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根． ④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号． (2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2020·滨州模拟)已知x ＝1是f (x )＝[x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3]e x 的极小值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，1)答案 D解析 f ′(x )＝[x 2－(a ＋1)x ＋a ]e x ＝(x －a )(x －1)e x . 令f ′(x )＝0，得(x －a )(x －1)e x ＝0. 设g (x )＝(x －1)(x －a )．①当a ＝1时，g (x )≥0，f ′(x )≥0，f (x )没有极值． ②当a >1时，当x >a 或x <1时，g (x )>0，f ′(x )>0； 当1<x <a 时，g (x )<0，则f ′(x )<0.∴x ＝1是函数f (x )的极大值点，不符合题意． ③当a <1时，当x >1或x <a 时，f ′(x )>0， 当a <x <1时，f ′(x )<0.所以x ＝1是f (x )的极小值点，符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．(2)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 有极值，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，18 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋ax ，由题意知y ＝f ′(x )有变号零点， 令2x 2－x ＋a ＝0， 即a ＝－2x 2＋x (x >0)，令φ(x )＝－2x 2＋x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋18(x >0)， 其图象如图所示，故a <18.题型二 利用导数求函数的最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )． (1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值； (2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ， ∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x ，∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0， ∴g (x )在[1，e]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1. (2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝ax ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.思维升华 (1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，则f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在区间[a ，b ]内有极值，则要先求出函数在[a ，b ]上的极值，再与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值． 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎡⎭⎫1e，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意．②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a ；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求．故实数a 的值为－e 2.课时精练1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0答案 C解析 f ′(x )＝2(x 2－1)·2x ＝4x (x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1. 2．函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是( )A.1eB.2e 2 C ．0 D.12e 答案 A解析 易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0,2]，令y ′>0，得0≤x <1， 令y ′<0，得1<x ≤2，所以函数y ＝x e x 在[0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是1e ，故选A.3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( ) A ．2 B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， ∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163 答案 C解析 由题中图象可知f (x )的图象经过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，所以1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83.5．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零 答案 BD解析 根据导函数的图象可知当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，＋∞)时，f ′(x )≥0， ∴函数y ＝f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y ＝f (x )的极值点，∵函数y ＝f (x )在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y ＝f (x )的最小值点， ∵函数y ＝f (x )在x ＝0处的导数大于0，∴y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零． 故错误的命题为BD.6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2答案 ABC解析 由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0， ∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x＝－(x ＋1)(x －2)e x， 当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增， ∴f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，故B 正确． 又f (－1)＝－e ，f (2)＝5e2，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→0， ∴f (x )的图象如图所示，由图知C 正确，D 不正确．7．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________． 答案 1＋ln 2解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x ，当0<x <12时，f ′(x )<0；当x >12时，f ′(x )>0.∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln 12＝1＋ln 2. 8．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则实数c 的取值范围为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不相等的实根，故Δ＝(－4c )2－12>0，解得c >32或c <－32. 所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 9．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π]． ①f (x )的最大值为f (x 0)；②f (x )的最小值为f (x 0)；③f (x )在[0，x 0]上是减函数；④f (x 0)为f (x )的极大值．那么上面命题中真命题的序号是________．答案 ①④解析 f ′(x )＝cos x －13，由f ′(x )＝0，得cos x ＝13，即x ＝x 0，因为x 0∈[0，π]，当0≤x <x 0时，f ′(x )>0；当x 0<x ≤π时，f ′(x )<0，所以f (x )在[0，x 0)上单调递增，在(x 0，π]上单调递减，所以f (x 0)为f (x )的极大值且为最大值．故①④正确，②③不正确．10．已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________． 答案 e －1解析 ∀x ∈(0，＋∞)，不等式e x－1≥kx ＋ln x 恒成立，等价于∀x ∈(0，＋∞)，k ≤e x －1－ln x x 恒成立，令φ(x )＝e x －1－ln x x(x >0)， 则φ′(x )＝e x (x －1)＋ln x x 2， 当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝e －1，∴k ≤e －1.11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x 2x， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表． ↗故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值．(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x. 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，则f ′(x )>0， 若x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，则f ′(x )<0， 故函数在x ＝1a处有极大值． 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a. 12．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，x >0，由f ′(x )＝0，得x ＝1e. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增． 所以x ＝1e是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在． (2)g (x )＝x ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－a ，由g ′(x )＝0，得x ＝e a －1.所以在区间(0，e a －1)上，g (x )单调递减，在区间(e a －1，＋∞)上，g (x )单调递增．当e a －1≥e ，即a ≥2时，g (x )在(0，e]上单调递减，∴g (x )min ＝g (e)＝a ＋e －a e ，当e a －1<e 即a <2时，g (x )在(0，e a －1)上单调递减，在(e a －1，e]上单调递增，∴g (x )min ＝g (e a －1)＝a －e a －1，令g (x )的最小值为h (a )，综上有h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e a －1，a <2，a ＋e －a e ，a ≥2.13．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3 B.⎣⎡⎦⎤0，4π3－3 C.⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2πD ．[0,2π]答案 D解析 f ′(x )＝1＋2cos x ，x ∈[0,2π]，令f ′(x )＝0，得cos x ＝－12， ∴x ＝2π3或x ＝4π3， 又f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2π3＋3，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝4π3－3，f (0)＝0，f (2π)＝2π，f ⎝⎛⎭⎫4π3－f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2π3－23<0， ∴f (0)<f ⎝⎛⎭⎫4π3<f ⎝⎛⎭⎫2π3<f (2π)，∴f (x )max ＝f (2π)＝2π，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )的值域为[0,2π]．14．(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32. 15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1e ，0 解析 f (x )＝x ln x ＋m e x (x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋m e x (x >0)，令f ′(x )＝0，得－m ＝ln x ＋1e x，设g (x )＝ln x ＋1e x， 则g ′(x )＝1x －ln x －1e x (x >0)，令h (x )＝1x－ln x －1， 则h ′(x )＝－1x 2－1x<0(x >0)， ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递减且h (1)＝0，∴当x ∈(0,1]时，h (x )≥0，即g ′(x )≥0，g (x )在(0,1]上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )max ＝g (1)＝1e， 而当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，若f (x )有两极值点，只要y ＝－m 和g (x )的图象在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<－m <1e ，故－1e<m <0. 16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3. 若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减； 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0上单调递减． (2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 3，1上单调递增，所以f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a . 于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－a ，0<a <2，2，2≤a <3. 所以M －m ＝⎩⎨⎧ 2－a ＋a 327，0<a <2，a 327，2≤a <3.①当0<a <2时，可知y ＝2－a ＋a 327单调递减， 所以M －m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫827，2.②当2≤a <3时，y ＝a 327单调递增， 所以M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，1.综上，M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，2.。

第3讲 不等式[考情分析] 1.对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质相结合，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.2.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值.3.题型多以选择题、填空题的形式呈现，中等难度．考点一 不等式的性质及应用 核心提炼不等式的常用性质(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc .(2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd >0.(3)a >b >0⇒a n >b n ，n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．(4)a >b ，ab >0⇒1a <1b. 例1 (1)(2021·宁夏大学附属中学模拟)已知a ，b ，c 满足a >b >c ，且ac >0，则下列选项中一定能成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．ab (a －c )>0D ．cb 2>ca 2 答案 C解析 取a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3，则ab ＝2<ac ＝3，cb 2＝－12<ca 2＝－3，排除A ，D ；取a ＝3，b ＝2，c ＝1，则c (b －a )＝－1<0，排除B ；因为a >b >c ，且ac >0，所以a ，b ，c 同号，且a >c ，所以ab (a －c )>0.(2)(2021·淮南模拟)设12<a <1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (1－a )，p ＝log a 12a，则m ，n ，p 的大小关系是( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．p >n >mD ．n >p >m 答案 D解析 因为12<a <1, 所以a 2＋1－12a ＝2a 3＋2a －12a>0， 12a －(1－a )＝1－2a ＋2a 22a ＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋122a >0， y ＝log a x 为减函数，所以m <p , p <n .可得n >p >m .规律方法 判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法．(2)利用不等式的性质推理判断．(3)利用函数的单调性．(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．跟踪演练1 (1)(多选)(2021·广州模拟)设a ，b ，c 为实数且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A.1a >1bB ．2 021a －b >1 C ．ln a >ln bD ．a (c 2＋1)>b (c 2＋1) 答案 BD解析 对于A ，若a >b >0，则1a <1b，所以A 错误； 对于B ，因为a －b >0，所以2 021a －b >1，所以B 正确；对于C ，函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误； 对于D ，因为c 2＋1>0，所以a (c 2＋1)>b (c 2＋1)，所以D 正确．(2)(多选)(2021·长沙模拟)设x ，y 为实数，且满足1≤x ≤4,0<y ≤2，则下列结论错误的是( )A ．1<x ＋y ≤6B ．1<x －y ≤2C ．0<xy ≤8D.x y ≥2 答案 BD解析 ∵1≤x ≤4,0<y ≤2，∴1<x ＋y ≤6，A 正确；∵1≤x ≤4，－2≤－y <0，∴－1≤x －y <4，B 错误；∵1≤x ≤4,0<y ≤2，∴0<xy ≤8，C 正确；∵1≤x ≤4,0<12≤1y ，∴x y ≥12，D 错误． 考点二 不等式的解法核心提炼不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a ，x ∈I .(2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．例2 (1)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)答案 A解析 由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a <0，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0可化为x 2＋x －6>0，即(x ＋3)(x －2)>0，解得x <－3或x >2，所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．(2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，65 B.⎣⎡⎭⎫－2，65 C.⎣⎡⎦⎤－2，65 D.⎣⎡⎭⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65. 综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－2，65.易错提醒 求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况．(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解．(3)不考虑a 的符号．跟踪演练2 (1)“|x －3|<1”是“3x －1>1”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由|x －3|<1，解得2<x <4，因为3x －1>1，所以3x －1－1>0，即4－xx －1>0，解得1<x <4.因为(2,4)(1,4)，所以“|x －3|<1”是“3x －1>1”的充分不必要条件．(2)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是() A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)答案 A解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，x ∈(1,4)．令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以g (x )<g (4)＝－2，所以a <－2.考点三 基本不等式核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g (x )＋Bg (x )(AB >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值． 例3 (1)(多选)(2021·厦门质检)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，则( )A ．ab 的最大值为14B ．a 2＋b 2的最小值为12C.4a ＋1b的取值范围为[9，＋∞) D.(a ＋1)(b ＋1)ab的最小值为2 2 答案 ABC解析 对于A 中，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以A 正确； 对于B 中，由a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，可得a 2＋b 2的最小值为12，所以B 正确；对于C 中，由4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )＝5＋4b a ＋a b ≥5＋24＝9，当且仅当a ＝2b ，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，4a ＋1b取得最小值9，所以C 正确； 对于D 中，由(a ＋1)(b ＋1)ab ＝ab ＋a ＋b ＋1ab ＝ab ＋2ab≥22，当且仅当ab ＝2时取等号，又0<ab ≤12，所以D 不正确． (2)若不等式sin 2x －a sin x ＋2≥0对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，3]解析 设t ＝sin x ，∵x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，∴t ∈(0,1]，则不等式sin 2x －a sin x ＋2≥0对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2恒成立， 即转化为不等式t 2－at ＋2≥0在t ∈(0,1]上恒成立，即转化为a ≤t 2＋2t ＝t ＋2t在t ∈(0,1]上恒成立， 由对勾函数知y ＝t ＋2t在t ∈(0,1]上单调递减， y min ＝1＋21＝3，∴a ≤3. 易错提醒 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件(1)一正二定三相等，三者缺一不可；(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到． 跟踪演练3 (1)(多选)设x ，y ∈R *，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．xy ≥(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)答案 AC解析 ∵xy －(x ＋y )＝1，∴xy ＝(x ＋y )＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解不等式得x ＋y ≥2(2＋1)， 当且仅当x ＝y ＝2＋1时取等号，故A 正确；∵xy －(x ＋y )＝1，∴xy －1＝x ＋y ≥2xy ，即xy －2xy －1≥0， 解得xy ≥2＋1，即xy ≥(2＋1)2，当且仅当x ＝y ＝2＋1时取等号，故C 正确．(2)已知a >0，b >0，12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋b 的最小值为________． 答案 32解析 a >0，b >0，a ＋b ＝12(2a ＋b ＋b ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋12a ＋b ＋2a ＋b b ＋1－12 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋b ＋2a ＋b b ＋1＋12 ≥b ＋12a ＋b ·2a ＋b b ＋1＋12＝32， 当且仅当b ＋12a ＋b ＝2a ＋b b ＋1，即b ＋1＝2a ＋b ，解得a ＝12，b ＝1时等号成立， 所以a ＋b 的最小值是32. 专题强化练一、单项选择题1．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列说法正确的是( ) A ．ac 2<bc 2B.1a <1bC.b a >a bD ．a 2>ab >b 2答案 D解析 当c ＝0时，A 不成立；1a －1b ＝b －a ab>0，B 错误； b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab <0，C 错误； 由a <b <0，得a 2>ab >b 2，D 正确．2．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2)∪(4，＋∞)答案 B解析 当x －2>0，即x >2时，(x －2)2≥4，即x －2≥2，∴x ≥4，当x －2<0，即x <2时，(x －2)2≤4，即－2≤x －2<0，∴0≤x <2，综上，0≤x <2或x ≥4.3．(2021·抚顺六校联考)已知a ，b 都是正实数，则“log 31a<－log 3b ”是“⎝⎛⎭⎫13b >3－a ”的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由log 31a<－log 3b ，得a >b ，则－a <－b ， 从而3－a <3－b ，则3－a <⎝⎛⎭⎫13b ；由⎝⎛⎭⎫13b >3－a ，得a >b ，因为a >0，b >0，所以0<1a <1b， 所以log 31a <log 31b ，即log 31a<－log 3b . 故“log 31a<－log 3b ”是“⎝⎛⎭⎫13b >3－a ”的充要条件． 4．已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a 等于( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－52答案 C解析 x 2－ax －6a 2＝(x －3a )(x ＋2a )>0，∵a <0，∴x >－2a 或x <3a ，∴x 2＝－2a ，x 1＝3a ，∴x 2－x 1＝－5a ＝52，∴a ＝－ 2.5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( ) A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74 答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立． 6．(2021·岳阳模拟)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案 B解析 设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升，则方案一：两次加油平均价格为40x ＋40y 80＝x＋y 2≥xy ，方案二：两次加油平均价格为400200x ＋200y ＝2xy x ＋y ≤xy ，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．7．设x >y >z ，n ∈N *，且1x －y ＋1y －z ≥nx －z 恒成立，则n 的最大值为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析 因为x >y >z ，n ∈N *，所以x －y >0，y －z >0，x －z >0， 由1x －y ＋1y －z ≥nx －z ，可得n ≤(x －z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ，(x －z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z＝[(x －y )＋(y －z )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ＝1＋1＋y －z x －y ＋x －yy －z ≥2＋2y －zx －y ·x －yy －z ＝4，当且仅当x －y ＝y －z 时，上式取得等号，由题意可得n ≤4，即n 的最大值为4.8．若0<x <y <z ，且xyz ＝1，则下列关系式不一定成立的是( )A ．lg y ＋lg z >0B ．2y ＋2z >4C ．x ＋z 2>2D ．x 2＋z >2答案 D解析 因为0<x <y <z ，且xyz ＝1，yz ＝1x， 所以0<x <1，且z >1.对于A ，lg y ＋lg z ＝lg yz ＝lg 1x ，因为0<x <1，故1x >1，lg 1x>lg 1＝0，则lg y ＋lg z >0，故A 成立；对于B,2y ＋2z ≥22y ＋z ，其中y ＋z ≥2yz ＝21x >2，故2y ＋2z ≥22y ＋z >222＝4，故2y ＋2z >4成立；对于C ，x ＋z 2≥2x ·z 2＝2z y ，又0<y <z ，故z y >1，所以2z y >2，故x ＋z 2>2成立； 对于D ，因为x 2＋z ≥2x 2z ＝2x y ，而0<x <y ，则0<x y<1，所以x 2＋z >2不一定成立. 二、多项选择题 9．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论正确的是( )A ．ad >bc B.a d ＋b c<0 C ．a －c >b －dD ．a (d －c )>b (d －c )答案 BCD解析 ∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故A 错误；∵0>b >－a ，∴a >－b >0，∵c <d <0，∴－c >－d >0，cd >0，∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd<0， 故B 正确；∵c <d <0，∴－c >－d >0，又∵a >0>b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，即a －c >b －d ，故C 正确；∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故D 正确．10．(2021·邯郸模拟)设0<a <b <1,0<c <1，则( )A ．ln(c a ＋1)>ln(c b ＋1)B ．(c ＋1)a <(c ＋1)bC ．a b >a a >b aD ．log c a <log c b答案 AB解析 因为0<a <b <1,0<c <1，可得函数y ＝a x ，y ＝log c x 均是减函数，可得a b <a a ，log c a >log c b ，所以C ，D 不正确；又由函数y ＝ln x 是增函数，y ＝c x 是减函数，可得c a >c b ，且c a ＋1>c b ＋1，所以ln(c a ＋1)>ln(c b ＋1)，所以A 正确；因为0<c <1，可得c ＋1>1，所以函数y ＝(c ＋1)x 是增函数，可得(c ＋1)a <(c ＋1)b ，所以B 正确．11．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14. 对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确； 对于B ，2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确； 对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误； 对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．12．(2021·无锡四校联考)已知实数a ，b 满足a 2－ab ＋b ＝0(a >1)，下列结论中正确的是( )A ．b ≥4B ．2a ＋b ≥8 C.1a ＋1b>1 D ．b >a答案 AD解析 ∵a 2－ab ＋b ＝0(a >1)，∴b ＝a 2a －1， 对于A ，b ＝a 2a －1＝[(a －1)＋1]2a －1＝a －1＋1a －1＋2， ∵a >1，∴a －1>0，∴b ＝a －1＋1a －1＋2≥2(a －1)×1a －1＋2＝4，当且仅当a ＝2时等号成立，即b ≥4，故A 正确；对于B,2a ＋b ＝2a ＋a －1＋1a －1＋2＝3(a －1)＋1a －1＋4≥23＋4，当且仅当a ＝33＋1时等号成立，∵23＋4<8，∴2a ＋b ≥8不一定成立，故B 错误；对于C ，1a ＋1b ＝1a ＋a －1a2＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋1<1，故C 错误； 对于D ，b －a ＝a －1＋1a －1＋2－a ＝1a －1＋1>0，∴b >a ，故D 正确． 三、填空题13．(2021·南京检测)函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________． 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m (m ＋4)＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3. 14．(2021·湖南三湘联考)若两个正实数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，且不等式x ＋2y ≥m 2－7m恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 [－1,8]解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋x y ＋4y x≥8，当且仅当x ＝4，y ＝2时等号成立，所以m 2－7m ≤8，解得－1≤m ≤8.15．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋b 的最大值为________．答案 2解析 因为a >0，b >0，且2a ＋b ＝1， 所以2a ＋b ＝(2a ＋b )2＝2a ＋b ＋22ab ＝1＋22ab ≤1＋2a ＋b ＝1＋1＝2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时，等号成立， 所以2a ＋b 的最大值为 2.16．已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y的最大值为________． 答案 9解析 ∵x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11， ∴(x －1)＋4y ＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y [(x －1)＋4y ]＝5＋x －1y ＋4y x －1≥5＋24＝9，当且仅当x －1y ＝4y x －1，即2y ＝x －1>0时等号成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ≥9， 令t ＝1x －1＋1y，则t (10－t )≥9， 即t 2－10t ＋9≤0，∴1≤t ≤9，∴1x －1＋1y的最大值为9.。

第三章 函数的应用§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点 课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理解二次函数的图象与x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理.1.函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴的交点和相应的ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的关系函数图象判别式 Δ>0 Δ＝0Δ<0 与x 轴交点个数 ____个 ____个 ____个方程的根 ____个 ____个 无解2.对于函数y ＝f(x),我们把________________叫做函数y ＝f(x)的零点.3.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y ＝f(x)的图象______________⇔函数y ＝f(x)__________.4.函数零点的存在性定理如果函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的图象是________的一条曲线,并且有____________,那么,函数y ＝f(x)在区间(a,b)内________,即存在c ∈(a,b),使得__________,这个c 也就是方程f(x)＝0的根.一、选择题1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中,a·c<0,则函数的零点个数是( )A .0个B .1个C .2个D .无法确定2.若函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是( )A .若f(a)f(b)>0,不存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0B .若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0C .若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0D .若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝03.若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2,那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A .0,－12B .0,12C .0,2D .2,－124.函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A .(－2,－1)B .(－1,0)C .(0,1)D .(1,2)5.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x>0零点的个数为( ) A .0 B .1C .2D .36.已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示,则实数b 的取值范围是( )A .(－∞,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,＋∞)二、填空题7.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,－2是它的一个零点,且在(0,＋∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______.8.函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________.9.根据表格中的数据,可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ,k ＋1)(k ∈N ),则k 的值为________.三、解答题10.证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解.11.关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围.能力提升12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0),f (－2)＝－2,则方程f (x )＝x 的 解的个数是( )A.1B.2C.3D.413.若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k 的取值范围.第三章 函数的应用§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点知识梳理1.2 1 0 2 12.使f(x)＝0的实数x3.有实数根 与x 轴有交点 有零点4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0作业设计1.C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中,∵ac<0,∴a ≠0,∴Δ＝b 2－4ac>0,即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根,则对应函数的零点个数为2个.]2.C [对于选项A ,可能存在根；对于选项B ,必存在但不一定唯一；选项D 显然不成立.]3.A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0,∴b ≠0,a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0,得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 4.C [∵f(x)＝e x ＋x －2,f(0)＝e 0－2＝－1<0,f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.]5.C [x ≤0时,令x 2＋2x －3＝0,解得x ＝－3.x>0时,f(x)＝ln x －2在(0,＋∞)上递增,f(1)＝－2<0,f(e 3)＝1>0,∵f(1)f(e 3)<0∴f(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点.总之,f(x)在R 上有2个零点.]6.A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ,则由f (0)＝0可得d ＝0,f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ,又由x ∈(0,1)时f (x )>0,可得a >0,∴b <0.]7.3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)＝0,又∵f (x )在(0,＋∞)上是增函数,由奇函数的对称性可知,f (x )在(－∞,0)上也单调递增,由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0,＋∞)上只有一个零点,综上f (x )在R 上共有3个零点,其和为－2＋0＋2＝0.8.2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数.在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知,两个函数图象有2个交点,即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点.9.1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2),由题意知f (－1)<0,f (0)<0,f (1)<0,f (2)>0,所以方程的一个实根在区间(1,2)内,即k ＝1.10.证明 设f (x )＝x 4－4x －2,其图象是连续曲线.因为f (－1)＝3>0,f (0)＝－2<0,f (2)＝6>0.所以在(－1,0),(0,2)内都有实数解.从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解.11.解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧ m <0f (4)>0, 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0,解得－1913<m <0. 12.C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0. 当x ≤0时,方程为x 2＋4x ＋2＝x ,即x 2＋3x ＋2＝0,∴x ＝－1或x ＝－2；当x >0时,方程为x ＝2,∴方程f (x )＝x 有3个解.]13.解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．第1讲 函数与方程思想 思想概述 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决． 方法一 运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．例1 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫13，1D.⎝⎛⎭⎫0，13 思路分析 先求出f (x )＝a x 是减函数时a 的范围→满足－0＋3a ≥a 0时a 的范围→取交集 答案 B解析 ∵函数f (x )是R 上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，解得13≤a <1. ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，1.故选B.批注 在函数的第一段中，虽然没有x ＝0，但当x ＝0时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值f (0)，这是解题的一个易忽视点．究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体．解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视．方法二 利用函数性质求解方程问题函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题． 例2 (1)(2020·全国Ⅰ)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( )A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a <b 2答案 B解析 由指数和对数的运算性质可得2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b .令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 22b ，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 22b ，即f (a )<f (2b )，∴a <2b .(2)设x ，y 为实数，满足(x －1)3＋2 020(x －1)＝－1，(y －1)3＋2 020(y －1)＝1，则x ＋y ＝________.思路分析 观察两方程形式特征→借助函数f (t )＝t 3＋2 020t 的单调性、奇偶性→f (x －1)＝f (1－y )→求出x ＋y答案 2解析 令f (t )＝t 3＋2 020t ，则f (t )为奇函数且在R 上是增函数．由f (x －1)＝－1＝－f (y －1)＝f (1－y )，可得x －1＝1－y ，∴x ＋y ＝2.批注 通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系．函数与方程的相互转化：对于方程f (x )＝0，可利用函数y ＝f (x )的图象和性质求解问题. 方法三 构造函数解决一些数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.例3 求使不等式2x －1>m (x 2－1)对于|m |≤2的一切实数m 都成立的x 的取值范围． 思路分析 恒成立问题→函数最值问题→构造关于m 的一次函数解 构造函数f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，m ∈[－2,2]，f (m )<0在m ∈[－2,2]上恒成立⇔⎩⎨⎧ f (－2)<0，f (2)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x 2－1)－(2x －1)<0，2(x 2－1)－(2x －1)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0 ⇔7－12<x <3＋12. 所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 例4 如图，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，P A ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ，AP ＝AB ＝2，∠AEF ＝θ，当θ变化时，求三棱锥P －AEF 体积的最大值．思路分析 求V P －AEF 的最值→用θ表示V P －AEF ，构造函数→求函数的最值解 因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC ，又BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC ，而AF ⊂平面P AC ，所以BC ⊥AF .又因为AF ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ，所以AF ⊥平面PBC ，而EF ⊂平面PBC ，所以AF ⊥EF .所以EF 是AE 在平面PBC 内的射影．因为AE ⊥PB ，所以EF ⊥PB ，又AE ∩EF ＝E ，AE ，EF ⊂平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，所以PE ⊥平面AEF .在Rt △P AB 中，因为AP ＝AB ＝2，AE ⊥PB ，所以PE ＝2，AE ＝2，AF ＝2sin θ，EF ＝2cos θ.V P －AEF ＝13S △AEF ·PE ＝13×12×2sin θ·2cos θ×2＝26sin 2θ. 因为0<θ<π2，所以0<2θ<π. 所以当2θ＝π2，即θ＝π4时，sin 2θ取得最大值1， 则V P －AEF 取得最大值26. 批注 θ的变化是由AC ，BC 的变化引起的．三棱锥P －AEF 的高PE 为定值，只要S △AEF 最大即可．在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系，使问题明晰化.。

资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1． 函数的单调性设函数 y ＝ f(x) 在区间 (a ， b) 内可导，如果在 (a ， b) 内， f ′ (x)>0 ，则 f(x) 在此区间是增函数；如果在(a ， b) 内， f ′ (x)<0 ，则 f(x) 在此区间是减函数．2． 函数的极值已知函数 y ＝ f(x) ，设 x 0 是定义域 (a ，b) 内任一点， 如果对 x 0 附近所有点 x ，都有 f(x)<f(x 0)，则称函数f(x) 在点 x 0 处取极大值， 记作 y 极大 ＝ f(x 0 ，并把 0 称为函数f(x) 的一个极大值点；) x如果在 x 0 附近都有 f(x)>f (x 0，则称函数f(x) 在点x 0 处取极小值，记作y 极小 ＝ f(x 0 ，并把))x 0 称为函数f (x) 的一个极小值点．3． 求可导函数极值的步骤(1) 求导数 f ′ (x) ；(2) 求方程 f ′ (x) ＝ 0 的所有实数根；(3) 考察在每个根 x 0 附近，从左到右，导函数 f ′ (x) 的符号如何变化．如果 f ′ ( x)的符号 由正变负，则 f(x 0 是极大值；如果 f ′ (x) 的符号由负变正，则 0 ) 是极小值．) f(x如果在 f ′ (x) ＝ 0 的根 x ＝ x 0 的左、右侧，f ′ (x) 符号不变，则f(x 0 )不是极值．4． 函数的最值(1) 在闭区间 [ a ， b] 上连续的函数f(x) 在 [ a ， b] 上必有最大值与最小值． (2) 若函数f(x) 在 [a ， b] 上单调递增，则f(a) 为函数的最小值，f( b)为函数的最大值；若函数 f(x) 在 [a ， b] 上单调递减，则f(a) 为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．(3)求可导函数 f(x) 在 [ a， b] 上的最大值和最小值的步骤如下：①求 f( x) 在 (a ， b) 内的极值；②将 f(x) 的各极值与 f(a) ， f(b) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′ (x)>0 是 f(x) 为增函数的充要条件．(×)(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(×)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除(4)对可导函数f(x)，′0＝是x0 点为极值点的充要条件．(×)f(x )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(6)函数 f (x) ＝ xsin x 有无数个极值点．(√) 2．函数 f( x) ＝ x2－ 2ln x 的单调减区间是()A ． (0,1)B． (1，＋∞ )C ． (－∞， 1)D ． (－ 1,1)答案A∵ f′ (x) ＝ 2x －2 2 x＋ 1 x－ 1解析＝(x>0) ．x x∴当 x∈ (0,1) 时， f′ (x)<0 ， f(x) 为减函数；当 x∈ (1 ，＋∞ )时， f′ (x)>0 ， f(x) 为增函数．3． (2013·浙江 )已知 e 为自然对数的底数，设函数f(x) ＝ (e x－ 1)(x － 1) k(k＝ 1,2) ，则 ()A ．当 k＝ 1时， f(x) 在 x＝ 1处取到极小值B ．当 k＝ 1时， f(x) 在 x＝ 1处取到极大值C ．当 k＝ 2时， f(x) 在 x＝ 1处取到极小值D ．当 k＝ 2时， f(x) 在 x＝ 1处取到极大值答案C解析当 k＝ 1 时， f′ (x) ＝ e x·x－1，f′(1)≠0.∴ x＝ 1 不是f(x) 的极值点．当 k＝ 2 时， f′ (x) ＝ (x － 1)(xe x＋ e x－ 2)显然f′ (1) ＝ 0，且x 在 1 的左边附近f′ (x)<0 ，x 在 1 的右边附近f′ (x)>0 ，∴ f (x) 在 x＝ 1 处取到极小值．故选 C.4．函数f(x) 的定义域为R ，f( － 1) ＝ 2 ，对任意x∈ R ，f′ (x)>2 ，则 f( x)>2 x＋ 4 的解集为()A ． (－ 1,1)B． (－ 1，＋∞ )C ． (－∞，－1)D ． (－∞，＋∞)答案B解析设 m(x) ＝ f (x) － (2x ＋ 4) ，∵m ′ ( x) ＝ f′ (x) － 2>0 ，∴ m(x) 在 R 上是增函数．∵m( － 1) ＝ f( － 1) － (－ 2 ＋ 4) ＝ 0 ，只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴ m(x)>0的解集为 { x|x>－ 1} ，即 f(x)>2x＋ 4 的解集为(－ 1，＋∞ )．5．函数 f( x) ＝ x3＋ ax－ 2在 (1 ，＋∞ ) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ________ ．答案[－3，＋∞ )解析2f′ (x) ＝ 3x ＋ a， f′ (x) 在区间 (1 ，＋∞ )上是增函数，2在 (1 ，＋∞ ) 上恒成立，则 f′ ( x) ＝ 3x ＋ a≥ 02在 (1 ，＋∞ )上恒成立．∴ a≥ － 3.即 a≥ － 3x题型一利用导数研究函数的单调性例 1已知函数xf(x) ＝ e － ax － 1.(1)求 f(x) 的单调增区间；(2) 是否存在a，使 f(x) 在 (－ 2,3) 上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由．思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′ (x) ＝ e x－ a，x(1)若 a ≤ 0，则 f′ (x) ＝ e － a≥ 0，即 f(x) 在 R 上单调递增，若 a>0 ， e x－ a≥ 0 ，∴ e x≥ a， x≥ ln a.因此当 a ≤ 0 时， f(x) 的单调增区间为R ，当 a>0 时， f(x) 的单调增区间是[ln a，＋∞ ) ．x(2)∵ f′ (x) ＝ e － a≤ 0 在 ( － 2,3) 上恒成立．∴ a≥ e x在 x∈ (－ 2,3) 上恒成立．又∵ － 2<x<3 ，∴ e－2 <e x<e3，只需 a ≥ e3.3x3当 a＝ e 时， f′ ( x)＝ e － e 在 x∈ ( － 2,3) 上，3 f ′ (x)<0 ，即f(x) 在 (－ 2,3) 上为减函数，∴ a≥ e .故存在实数3a≥ e ，使 f(x) 在 ( － 2,3) 上为减函数．只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除思维升华(1) 利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x) 为增函数的充要条件是对任意的x∈ ( a， b) 都有 f′ (x) ≥ 0 且在 (a ， b) 内的任一非空子区间上f′ (x) ≠ 0. 应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1) 设函数f( x)＝1 323x－ (1 ＋ a)x ＋ 4ax＋ 24a ，其中常数a>1 ，则 f(x) 的单调减区间为 ________ ．答案(2,2a)解析f′ (x) ＝ x 2－ 2(1 ＋ a)x ＋ 4a ＝ ( x－ 2)( x－ 2a) ，由 a>1 知，当 x<2 时， f′ (x)>0 ，故 f(x) 在区间 (－∞， 2) 上是增函数；当 2<x<2 a 时， f′ ( x)<0 ，故 f(x) 在区间 (2,2a) 上是减函数；当 x>2a 时， f′ (x)>0 ，故 f(x) 在区间 (2a ，＋∞ )上是增函数．综上，当a>1 时，f (x) 在区间(－∞， 2) 和 (2a ，＋∞ ) 上是增函数，在区间(2,2a) 上是减函数．(2) 若 f(x) ＝－1x2＋ bln(x ＋ 2) 在 ( － 1，＋∞ )上是减函数，则 b 的取值范围是________ ．2答案(－∞，－ 1]解析转化为 f′ ( x)＝－ x＋bb ≤ x(x ＋ 2) 在 [－ 1，＋≤ 0 在 [－ 1，＋∞ ) 上恒成立，即x＋ 2∞ ) 上恒成立，令 g(x) ＝ x( x＋ 2) ＝ (x ＋ 1)2－ 1，所以 g(x) min＝－ 1，则 b 的取值范围是 (－∞，－ 1] ．题型二利用导数求函数的极值例 2设 a>0 ，函数 f(x) ＝12－ (a ＋ 1)x ＋ a(1 ＋ ln x)．2x只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除(1) 求曲线y＝ f(x) 在 (2 ， f(2)) 处与直线y＝－ x＋ 1 垂直的切线方程；(2)求函数 f(x) 的极值．思维启迪(1) 通过f′ (2) 的值确定a；(2)解 f′ (x) ＝ 0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值．a解 (1) 由已知，得 x>0 ， f′ (x) ＝ x－ (a ＋ 1)＋x，y＝ f(x) 在 (2 ， f(2)) 处切线的斜率为1，a所以 f′ (2) ＝ 1，即2－ (a ＋ 1) ＋2＝ 1，所以a＝ 0，此时f(2) ＝ 2－ 2 ＝ 0，故所求的切线方程为y＝ x－ 2.a(2) f′ (x) ＝ x－ (a ＋ 1) ＋x2x－ 1 x－ ax － a＋ 1 x＋ a ＝x ＝.x①当 0<a<1 时，若x∈ (0 ， a) ， f′ (x)>0 ，函数f( x) 单调递增；若 x∈ (a,1) ， f′ (x)<0 ，函数f(x) 单调递减；若 x∈ (1 ，＋∞ )， f ′ (x)>0 ，函数 f( x) 单调递增．此时 x＝ a 是 f(x) 的极大值点，x＝ 1 是 f(x) 的极小值点，函数 f( x) 的极大值是f(a) ＝－1a 2＋ aln a ，2极小值是 f(1) ＝－1.2x－ 12②当 a＝ 1 时， f′ (x) ＝>0 ，x所以函数f(x) 在定义域(0 ，＋∞ )内单调递增，此时f( x) 没有极值点，故无极值．③当 a>1 时，若x∈ (0,1) ， f ′ (x)>0 ，函数f(x) 单调递增；若 x∈ (1 ， a)， f′ (x)<0 ，函数 f (x) 单调递减；若 x∈ (a ，＋∞ )， f ′ (x)>0 ，函数f( x) 单调递增．只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除此时 x ＝ 1 是 f(x) 的极大值点，x ＝ a 是 f(x) 的极小值点，1函数 f( x) 的极大值是f(1) ＝－ 2，极小值是f(a) ＝－ 122 a ＋ aln a.12综上，当0<a<1 时， f(x) 的极大值是－2 a ＋ aln a ，1极小值是－2；当 a ＝ 1 时， f(x) 没有极值；当 a>1 时， f(x) 的极大值是－1 1 2＋ aln a.，极小值是－2a2思维升华(1) 导函数的零点并不一定就是函数的极值点． 所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2) 若函数y ＝ f(x) 在区间 (a ， b) 内有极值，那么 y ＝ f (x) 在 (a ， b) 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．x设 f (x) ＝ea 为正实数．2，其中1＋ ax4(1) 当 a ＝ 3时，求 f(x) 的极值点；(2) 若 f(x) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围．2对 f(x) 求导得x 1＋ ax － 2ax.①解f ′ (x) ＝ e ·2 21＋ ax42(1) 当 a ＝ 3时，若 f ′ (x) ＝ 0，则 4x － 8x ＋ 3＝ 0，解得 1 ＝31， 2＝.结合①，可知x2x2x－∞ ，111，333，＋∞222222f ′ (x)＋0－0＋f( x)极大值极小值31所以x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．(2) 若 f( x) 为 R 上的单调函数，则f′ ( x) 在 R 上不变号，结合① 与条件2a>0 ，知 ax － 2ax只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除＋ 1≥ 0 在 R 上恒成立，即2a>0 ，知 0<a ≤ 1.＝ 4a － 4a ＝ 4a(a － 1) ≤ 0 ，由此并结合所以 a 的取值范围为 { a|0<a ≤ 1} ．题型三利用导数求函数的最值例 3已知函数23f(x) ＝ ax ＋ 1(a>0) ， g(x) ＝ x ＋ bx.(1)若曲线 y＝ f(x) 与曲线 y＝ g(x) 在它们的交点 (1 ， c) 处具有公共切线，求a， b 的值；(2)当 a ＝ 3，b＝－ 9 时，若函数f( x) ＋ g(x) 在区间 [k,2] 上的最大值为28 ，求 k 的取值范围．思维启迪(1) 题目条件的转化：f(1) ＝ g(1) 且 f′ (1) ＝ g′ (1) ；(2) 可以列表观察h( x)在 (－∞， 2] 上的变化情况，然后确定k 的取值范围．2解 (1)f ′ (x) ＝ 2ax， g′ (x) ＝ 3x ＋ b.因为曲线y＝ f(x) 与曲线y＝ g(x) 在它们的交点(1 ， c) 处具有公共切线，所以f(1) ＝ g(1) 且 f′ (1) ＝ g′ (1) ，即a＋ 1 ＝ 1＋ b 且 2a＝ 3 ＋ b ，解得a＝ 3， b＝ 3.(2) 记 h(x) ＝ f(x) ＋ g(x) ，当 a＝ 3， b＝－ 9 时，322h(x) ＝ x ＋ 3x － 9x＋ 1 ，所以h′ (x) ＝ 3x ＋ 6x － 9.令 h′ (x) ＝ 0，得 x 1＝－ 3 ， x2＝ 1.h ′ (x) ， h(x) 在 (－∞， 2] 上的变化情况如下表所示：x(－∞，－ 3)－3(－3,1) h′ (x)＋0－h(x)28由表可知当k≤ － 3 时，函数h( x) 在区间[ k,2] 上的最大值为当－ 3<k<2 时，函数h( x)在区间 [k,2] 上的最大值小于因此k 的取值范围是(－∞，－ 3] ．1(1,2)2 0＋＋－ 43 28；思维升华(1) 求解函数的最值时，要先求函数y＝ f(x) 在 [a ， b] 内所有使f′ (x) ＝ 0 的点，再计算函数y＝ f(x) 在区间内所有使 f ′ (x) ＝ 0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除已知函数f(x) ＝ xln x.(1)求函数 f(x) 的极值点；(2) 设函数g(x) ＝ f(x) － a(x － 1) ，其中a∈ R ，求函数g(x) 在区间 [1 ， e] 上的最小值．( 其中e 为自然对数的底数)．解(1)f ′ (x) ＝ ln x ＋ 1， x>0 ，由 f′ ( x) ＝ 0 得 x＝1，e11所以f( x) 在区间 (0 ，e )上单调递减，在区间( e，＋∞ ) 上单调递增．1所以，x＝e是函数f(x) 的极小值点，极大值点不存在．(2) g(x) ＝ xln x － a(x － 1) ，则 g′ (x) ＝ ln x ＋ 1－ a ，由 g′ (x) ＝ 0，得 x＝ e a－1，所以，在区间a1(0 ， e －) 上， g(x) 为递减函数，在区间(e a－1，＋∞ )上， g(x) 为递增函数．a1，即 a≤ 1时，在区间[1 ， e] 上， g(x) 为递增函数，当 e－≤ 1所以g(x) 的最小值为g(1) ＝ 0.a1时， g(x) 的最小值为a1 a 1当 1<e－ <e ，即 1<a<2g(e－ ) ＝ a－ e － .a1≥ e，即 a ≥ 2时，在区间 [1 ， e] 上， g(x) 为递减函数，当 e－所以 g(x) 的最小值为g(e) ＝ a＋ e－ ae.综上，当a≤ 1 时， g(x) 的最小值为0；当 1<a<2时， g(x) 的最小值为a1 a － e－；当 a≥ 2 时， g(x) 的最小值为a＋ e－ ae.利用导数求函数的最值问题典例： (12 分 ) 已知函数f(x) ＝ (x－ k)e x.(1) 求 f(x) 的单调区间；只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除(2)求 f(x) 在区间 [0,1] 上的最小值．思维启迪(1) 解方程f′ (x) ＝ 0 列表求单调区间；(2)根据 (1) 中表格，讨论 k－ 1 和区间 [0,1] 的关系求最值．规范解答解(1) 由题意知x f ′ (x) ＝ (x － k＋ 1)e .令 f′ ( x) ＝ 0，得 x＝ k－ 1.[2 分] f (x) 与 f′ (x) 的情况如下：x( －∞， k－ 1)k－ 1(k－ 1，＋∞ ) f′ (x)－0＋f(x)k1－ e－所以，f(x) 的单调递减区间是(－∞， k－ 1) ；单调递增区间是( k－ 1 ，＋∞ ) ． [6 分 ] (2)当 k－ 1≤ 0，即 k≤ 1 时， f (x) 在 [0,1] 上单调递增，所以f( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (0) ＝－ k；[8 分 ]当 0<k － 1<1 ，即1<k<2 时，f (x) 在 [0 ， k － 1) 上单调递减，在(k － 1,1] 上单调递增，所以f( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (k－ 1) ＝－ e k－1；当 k－ 1 ≥ 1，即 k≥ 2 时， f( x) 在 [0,1] 上单调递减，所以f( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (1) ＝ (1 － k)e.[10 分 ]综上，当k≤ 1 时， f(x) 在 [0,1] 上的最小值为f(0) ＝－ k；当 1<k<2时， f (x) 在 [0,1] 上的最小值为k1 f (k－ 1) ＝－ e－；当 k≥ 2 时， f(x) 在 [0,1] 上的最小值为f(1) ＝ (1 － k)e.[12 分 ]用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤：第一步：求函数f(x) 的导数f′ (x) ；第二步：求 f (x) 在给定区间上的单调性和极值；第三步：求 f (x) 在给定区间上的端点值；第四步：将 f (x) 的各极值与f(x) 的端点值进行比较，只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除确定f(x) 的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒(1) 本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[0,1] 上的最值，属常规题型．(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3) 思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.方法与技巧1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f ′ (x) ＝ 0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点．A 组专项基础训练(时间：40 分钟 )一、选择题1．若函数y＝ f(x) 的导函数y＝ f ′ (x) 的图象如图所示，则y＝ f(x) 的图象可能为()只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除答案C解析根据f′ (x) 的符号，f( x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除 A ， D；从适合 f′ ( x) ＝ 0 的点可以排除 B.2．下面为函数y＝ xsin x ＋ cos x 的递增区间的是()A ．π 3 πB ． (π， 2 π) ( ，)223π 5πC．( 2，2)D ． (2 π， 3π)答案C解析y′＝ (xsin x ＋ cos x) ′＝ sin x ＋ xcos x － sin x ＝xcos x ，3 π 5 π当 x∈ ( 2，2 ) 时，恒有xcos x>0. 故选 C.3．设 a∈ R ，若函数x＋ ax， x∈ R 有大于零的极值点，则() y＝ eA ． a< － 1B ． a> － 111 C ． a>－e D ． a< －e 答案A解析x x∵ y＝ e ＋ ax ，∴ y′＝ e ＋ a.x∵函数y＝ e ＋ ax 有大于零的极值点，x则方程y′＝ e ＋ a＝ 0 有大于零的解，x x∵ x>0 时，－ e<－ 1，∴ a＝－ e < － 1.1 24．设函数f(x) ＝2x － 9ln x 在区间 [ a － 1， a ＋ 1] 上单调递减，则实数 a 的取值范围是()A ． 1< a≤ 2B ． a≥ 4C ． a≤ 2D ． 0<a ≤ 3答案A解析∵ f(x) ＝1x2－ 9ln x，∴ f′ (x) ＝ x－9(x>0) ，2x当 x－9≤0 时，有0<x≤ 3，即在(0,3] 上原函数是减函数，x只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴ a － 1>0 且 a ＋ 1 ≤ 3，解得1<a ≤ 2.3 2()5． 函数 f( x) ＝ x － 3x ＋ 2 在区间 [－ 1,1] 上的最大值是A ．－ 2B ．0C ．2D ．4答案C解析2或 x ＝ 2.∵ f ′ (x) ＝ 3x － 6x ，令 f ′ (x) ＝ 0，得 x ＝ 0∴ f (x) 在 [ － 1,0) 上是增函数， f (x) 在 (0,1] 上是减函数．∴ f (x) max ＝ f(x) 极大值 ＝ f(0) ＝ 2.二、填空题96． 函数的单调减区间为 ________ ．f( x) ＝ x ＋ x答案(－ 3,0) ， (0,3)9x 2－ 9解析f ′ (x) ＝ 1－ x 2＝ x 2 ，令 f ′ ( x)<0 ，解得－ 3<x<0 或 0<x<3 ，故单调减区间为 ( － 3,0) 和 (0,3) ．3 2a 的取值范围是 ________ ．7． 函数 f( x) ＝ x ＋ 3ax ＋ 3[( a ＋ 2)x ＋ 1] 有极大值又有极小值，则答案 a>2 或 a< － 1解析32＋ 3[(a ＋ 2)x ＋ 1] ，∵ f(x) ＝ x ＋ 3ax∴ f ′ (x) ＝ 3x 2＋ 6ax ＋ 3(a ＋ 2) ．2 2令 3x ＋ 6ax ＋ 3(a ＋ 2) ＝ 0 ，即 x ＋ 2ax ＋ a ＋ 2＝ 0.∵ 函数 f(x) 有极大值和极小值，∴ 方程 x 2＋ 2ax ＋ a ＋ 2＝ 0 有两个不相等的实根．即＝ 4a 2－ 4a － 8>0 ， ∴ a>2 或 a< － 1.28． 设函数 f( x)＝ x 3－ x－ 2x ＋ 5，若对任意的x ∈ [ － 1,2] ，都有 f(x)>a ，则实数 a 的取值范围2是 ________ ．7答案(－∞， 2)解析f ′ (x) ＝ 3x 2－ x － 2 ，令 f ′ (x) ＝ 0，得 3x 2－ x － 2＝ 0 ，2解得 x ＝ 1 或 x ＝－ 3，只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除7215711又 f(1) ＝2， f (－3 )＝27， f( － 1) ＝2， f (2) ＝ 7 ，77故 f(x) min＝2，∴ a<2.三、解答题9．已知函数f(x) ＝1＋ ln x ．求函数f(x) 的极值和单调区间．x11 x－ 1解因为 f′ (x) ＝－x2＋x＝x2，令 f′ ( x) ＝ 0，得x＝ 1 ，又f(x) 的定义域为(0 ，＋∞ )，f ′ (x) ， f(x) 随 x 的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞ )f′ (x)－0＋f(x)极小值所以 x＝ 1 时， f(x) 的极小值为 1.f (x) 的单调递增区间为(1 ，＋∞ )，单调递减区间为(0,1) ．10 ．已知函数 f( x) ＝ x2＋ bsin x － 2(b∈ R )， F(x) ＝ f(x) ＋ 2，且对于任意实数x，恒有 F(x) － F( －x) ＝ 0.(1)求函数 f(x) 的解析式；(2) 已知函数g(x) ＝ f(x) ＋ 2(x ＋ 1) ＋ aln x 在区间 (0,1) 上单调递减，求实数 a 的取值范围．22解 (1)F (x) ＝ f(x) ＋ 2＝ x ＋ bsin x － 2＋ 2 ＝ x ＋ bsin x ，依题意，对任意实数x，恒有 F (x) － F (－ x)＝ 0.22即 x ＋ bsin x － (－ x) － bsin( － x) ＝ 0，即 2bsin x ＝ 0，所以 b ＝ 0，所以2f(x) ＝ x － 2.(2) ∵ g(x) ＝ x 2－ 2＋ 2(x ＋ 1) ＋ aln x ，2∴ g(x) ＝ x ＋ 2x ＋ aln x ，ag ′ (x) ＝ 2x ＋ 2＋ x .∵ 函数 g(x) 在 (0,1) 上单调递减， ∴在区间(0,1) 内，a2′＝＋2x ＋ 2x ＋ ag (x) 2x 2 ＋ ＝ ≤ 0 恒成立， x x只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴ a ≤ － (2x 2＋ 2x) 在 (0,1) 上恒成立．∵ － (2x 2＋ 2x) 在 (0,1) 上单调递减， ∴ a ≤ － 4 为所求．B 组专项能力提升(时间： 30分钟)1． 已知 f( x) 是可导的函数，且f ′ (x)<f (x) 对于 x ∈ R 恒成立，则()A ． f(1)<ef(0) ， f(2 014)>e 2 014f(0)B ． f(1)>ef(0) ， f(2 014)>e 2 014f(0)C ． f(1)>ef(0) ， f(2 014)<e 2 014f(0)D ． f(1)<ef(0) ， f(2 014)<e 2 014f(0)答案D解析f x令 g(x) ＝ e ，xx x则 g ′ (x) ＝ (f xf ′ x e － f x e＝f ′ x － f x<0 ，x)′ ＝2xe xeef x所以函数g(x) ＝ e x 是单调减函数，所以 g(1)< g(0) ， g(2 014)< g(0) ，f 1 f 0f 2 014 f 0即 e 1 < 1，e2 014< 1 ，故 f(1)<ef(0) 2 014．， f (2 014)<ef(0)2．如图是函数32＋ cx＋ d 的大致图象，则22等于() f (x) ＝ x＋ bx x1＋ x28101628A. 9B. 9C. 9D. 9只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除答案C解析由图象可得32f(x) ＝ x(x ＋ 1)(x － 2) ＝ x － x － 2x ，2又∵ x1、 x2是 f ′ (x) ＝ 3x － 2x － 2＝ 0 的两根，∴ x12＝2 1 22，＋ x3， x x ＝－3222 2 2216故 x1＋ x2＝ (x 1＋ x2) － 2x 1x2＝ (3 ) ＋ 2 ×3＝9 .3．已知函数 f(x) ＝－12x 在 [t ， t ＋ 1] 上不单调，则t 的取值范围是 ________ ．2x ＋ 4x － 3ln答案(0,1) ∪ (2,3)23－ x ＋ 4x－ 3解析由题意知f′ (x) ＝－ x＋ 4－x＝x＝－x－ 1 x－ 3，x由 f′ ( x) ＝ 0 得函数f(x) 的两个极值点为1,3 ，则只要这两个极值点有一个在区间(t ， t ＋ 1)内，函数 f( x) 在区间 [t ， t＋ 1] 上就不单调，由 t<1<t ＋ 1 或 t<3< t＋ 1，得 0<t<1 或 2< t<3.4． (2013课·标全国Ⅰ )已知函数x2y＝ f(x) 在点 (0 ， f(0)) 处的切线f (x) ＝ e (ax ＋ b) － x － 4x ，曲线方程为y＝ 4x ＋ 4.(1)求 a ， b 的值；(2) 讨论 f (x) 的单调性，并求f(x) 的极大值．x x解 (1)f ′ (x) ＝ e (ax ＋ b) ＋ ae － 2x－ 4x＝e (ax ＋ a＋ b) － 2x － 4 ，∵ y＝ f( x) 在 (0 ， f(0)) 处的切线方程为y＝ 4x ＋ 4，∴f ′ (0) ＝ a＋ b－ 4＝ 4， f(0) ＝ b＝ 4，∴a＝ 4， b＝ 4.x(2) 由 (1) 知 f′ (x) ＝ 4e (x＋ 2) － 2(x ＋ 2)只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除x＝ 2(x ＋ 2)(2e － 1) ，1令 f′ ( x) ＝ 0 得 x1＝－ 2 ， x2＝ ln 2，列表：－ 2， ln 111x(－∞，－ 2)－ 22ln 2ln 2，＋∞f′ ( x)＋0－0＋f(x)极大值极小值1∴ y＝ f( x) 的单调增区间为(－∞，－ 2)，ln2，＋∞；1单调减区间为－ 2， ln 2 .2f (x) 极大值＝ f (－ 2) ＝ 4－ 4e－ .5．已知函数 f(x) ＝ (ax2＋ bx＋ c)e x在 [0,1] 上单调递减且满足f(0) ＝ 1， f (1) ＝ 0.(1)求 a 的取值范围．(2)设 g(x) ＝ f(x) － f ′ (x) ，求 g(x) 在 [0,1] 上的最大值和最小值．解(1) 由 f(0) ＝ 1， f(1) ＝ 0，得c＝ 1， a＋ b＝－ 1，2x则 f(x) ＝ [ax － (a ＋ 1)x ＋ 1]e ，2xf ′ (x) ＝ [ ax ＋ (a － 1)x － a]e ，依题意对于任意x∈ [0,1] ，有f′ (x) ≤ 0.当 a>0 时，2因为二次函数y＝ ax ＋ (a － 1)x － a 的图象开口向上，而 f′ (0) ＝－ a<0 ，所以需f′ (1) ＝ (a － 1)e<0 ，即0<a<1 ；2x 当 a＝ 1 时，对于任意 x∈ [0,1] ，有 f′ ( x) ＝ (x － 1)e ≤ 0 ，且只在 x＝ 1 时 f′ ( x) ＝ 0， f(x) 符合条件；当 a＝ 0 时，对于任意 x∈ [0,1] ， f′ (x) ＝－ xe x≤ 0 ，且只在 x＝ 0 时， f′ (x) ＝ 0， f(x) 符合条件；当 a<0 时，因 f′ (0) ＝－ a>0 ， f(x) 不符合条件．故 a 的取值范围为0≤ a≤ 1.只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除x(2) 因 g(x) ＝ (－ 2ax＋ 1＋ a)e ，xg ′ (x) ＝ ( － 2ax ＋ 1－ a)e ，x①当 a＝ 0 时， g′ (x) ＝ e >0 ，g(x) 在 x＝ 0 处取得最小值g(0) ＝ 1，在 x＝ 1 处取得最大值g(1) ＝ e.②当 a＝ 1 时，对于任意x∈ [0,1] 有 g′ (x) ＝－ 2xe x≤ 0，g(x) 在 x＝ 0 处取得最大值g(0) ＝ 2，在 x＝ 1 处取得最小值g(1) ＝ 0.1 － a③当 0<a<1 时，由g′ (x) ＝ 0 得 x＝2a >0.1－ a1若2a≥ 1，即 0<a ≤3时，g(x) 在 [0,1] 上单调递增，g(x) 在 x＝ 0 处取得最小值g(0) ＝ 1＋ a ，在 x＝ 1 处取得最大值g(1) ＝ (1 － a)e.1－ a1若2a <1 ，即3<a<1 时，g(x) 在 x＝1－ a1－ a)＝ 2ae1－ a 2a 处取得最大值g( 2a2a，在 x＝ 0 或 x＝ 1 处取得最小值，而g(0) ＝ 1＋ a， g(1) ＝ (1 － a)e ，由 g(0) － g(1) ＝ 1＋ a － (1 － a)e ＝ (1 ＋ e)a ＋ 1－ e ＝ 0，e － 11e － 1得 a ＝ e ＋ 1.则当 3 <a ≤ e ＋ 1时，g(0) － g(1) ≤ 0 ， g(x) 在 x ＝ 0 处取得最小值g(0) ＝ 1 ＋ a ；e － 1当<a<1 时， g(0) － g(1)>0 ，e ＋ 1g(x) 在 x ＝ 1 处取得最小值g(1) ＝ (1 － a)e.只供学习与交流。

第1讲 函数与方程思想热点一 函数与方程思想在不等式中的应用例1 (1)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________．答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3)解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2x x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3， 设g (x )＝3x 2－1x 3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )在R 上为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以，由图可知F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )>0或f (x )<0恒成立，一般可转化为f (x )min >0或f (x )max <0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．(1)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0(2)已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32答案 (1)B (2)A解析 (1)把不等式变形为2x －5－x ≤2－y －5y ，构造函数y ＝2x －5－x ，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y .(2)因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m .所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32，故选A. 热点二 函数与方程思想在数列中的应用例2 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ＝1n ＋n ＋＋1n ＋n ＋＋…＋12n n ＋＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)， 则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16， 要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16， 所以实数k 的最小值为16. 思维升华 (1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解．(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．(2)已知函数f (x )＝(13)x ，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为( ) A ．－1B ．1 C.23D ．－23答案 (1)4 (2)D解析 (1)因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.(2)由题设，得a 1＝f (1)－c ＝13－c ； a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29； a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227. 又数列{a n }是等比数列，∴(－29)2＝(13－c )×(－227)，∴c ＝1. 又∵公比q ＝a 3a 2＝13，∴a n ＝－23(13)n －1＝－2(13)n ，n ∈N *. 且数列 {a n }是递增数列，∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－23. 热点三 函数与方程思想在几何中的应用例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝2＋k 2＋6k 21＋2k 2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1. 所以，k 的值为1或－1.思维升华 几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．(1)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________．(2)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋2＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)答案 (1)x 2＋32y 2＝1 (2)B 解析 (1)设点B 的坐标为(x 0，y 0)，∵x 2＋y 2b 2＝1，且0<b <1， ∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23. ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23. 将点B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b2＝1， 得b 2＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1. (2)e 2＝(c a )2＝a 2＋a ＋2a 2＝1＋(1＋1a)2， 因为当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5， 即2<e < 5.1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.。