2018年高考数学三轮冲刺之专题突破详解：专题14 统计(含解析)

函数1．记函数，若曲线上存在点使得，则a 的取值范围是（ ）A. B.C.D.2．已知函数()2,(0)f x e x =+<与()()ln 2g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. (),e -∞C. 1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知函数()()()222f x x xxmx n =+++，且对任意实数x ,均有()()33f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范围（ ）A. ()16,9-B. (]16,9-C. (]16,0-D. (]16,5-- 4．已知函数()()2f ,,,dx a b c d R ax bx e=∈++的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )A. 0,0,0,0a b c d >>B. 0,0,0,0a b c dC. 0,0,0,0a b c d >>D. 0,0,0,0a b c d >>5．若0.8331log ,log 9.1,22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c << B. b a c << C. a c b << D. c a b <<6．已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦ C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时， ()21xf x =-，设1ln a π=， 2ln5b e-=，0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a << 8．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时， ()()[)[)2log 1,0,1{ 31,1,x x f x x x +∈=--∈+∞，则函数()()F x f x a=-（10a -<<）的所有零点之和为（ ） A. 12a- B. 21a- C. 12a-- D. 21a--9．已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()2f x f x -=，若在区间(]0,1上， ()1f x x=，则111128128f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A.316 B. 3112 C. 356 D. 351210．已知且，函数在区间上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ）A. B.C.D. 11．已知A 、B 是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（ ） A.B.C.D.12．已知定义域为I 的偶函数()f x 在()0,+∞上单调递增，且0x I ∃∈，()00f x <，则下列函数中符合上述条件的是（ ）A. ()2f x x x =+ B. ()22xxf x -=- C. ()2log f x x = D. ()43f x x-=13．定义在R 上的偶函数在单调递增，且，则的x 取值范围是 （ ）A.B.C.D.14．若，则a 的值不可能为（ ）A. B. C. D.15．已知函数，则函数的大致图象是（ ）A. B. C. D.16．设函数在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ）A. 在R 上为减函数B. 在R 上为增函数C.在R 上为减函数 D.在R 上为增函数17．已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（ ）A. 0B. 2018C. 4036D. 403718．已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则()()12f x f x -≤的解集为（ ） A. 21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. []1,1- D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．设，则“”是“ ”为偶函数的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件20．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x R =∈,()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在31,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”2y ex e =-. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个21．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()f x 在[]1,2上的解析式是________22．已知函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x +=+，则()2f log 5=__________．23．在直线0x =， 1x =， 0y =， 1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =， 1y e =+， 1xy e =+围成的区域内的概率为__________．24．已知函数()2ln f x x =和直线:260l x y +=－，若点P 是函数f x （）图象上的一点，则点 P 到直线l 的距离的最小值为__________． 25．已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，给出以下命题：①当时，；②函数有5个零点；③若关于x 的方程有解，则实数的取值范围是；④对恒成立，其中，正确命题的序号是__________．26．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间](26 -，内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是__________．。

第十四章 推理与证明1.(2016·新课标全国Ⅲ，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个1.解析 由题意知，平均最高气温高于20 ℃的六月，七月，八月，故选D. 答案 D2.(2016·浙江，8)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|,A n ≠A n＋2,n∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列2.解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)， 从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A.答案 A3.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D.程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 3.解析 至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 答案 A4.(2016·新课标全国Ⅱ，16)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.4.解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”. 答案 1和35.(2016·山东，12)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sinπ2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2n π2n ＋1－2＝________.5.解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.答案 43×n ×(n ＋1)6.(2015·陕西，16)观察下列等式 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为________．6.解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n7.(2014·福建，16)已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________． 7.解析 可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案2018.(2014·课标Ⅰ，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．8.解析 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市，又知乙没去过C 城市，故乙去过A 城市． 答案 A9.(2016·浙江，20)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0，1]， 证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34＜f (x )≤32. 9.证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ） ＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x ， 故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32， 所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34≥34，又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝1924＞34，所以f (x )＞34.综上，34＜f (x )≤32.10.(2015·四川，21)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 综上，34＜f (x )≤32.10.解 (1)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．(2)由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ， 则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0， 于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0，令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)， 由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e)＝e －2＜1， 即a 0∈(0，1)，当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0， 再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )＜0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x ＞0， 故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0，综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．11.(2015·江苏，20)设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ，使得a n 1,a n +k 2,a n +2k 3，a n +3k4依次构成等比数列？并说明理由． 11.(1)证明 因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)． 假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列， 则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0， 则t ＝－14，显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n +k2，a n +2k3，a n +3k4依次构成等比数列， 则a n1(a 1＋2d )n +2k＝(a 1＋d )2(n +k )，且(a 1＋d )n +k (a 1＋3d )n +3k＝(a 1＋2d )2(n +2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2(n +k )1及a 2(n ＋2k )1，并令t ＝d a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0，则(1＋2t )n ＋2k＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k(1＋3t )n ＋3k＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )， 且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )． 化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]， 且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )， 则g ′(t )＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]． 令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0.由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,31和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立． 所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n +k 2，a n +2k 3，a n +3k4依次构成等比数列．12.(2014·天津，20)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合M ＝{0,1,2,…,q －1},集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1,x i ∈M ,i ＝1,2,…,n }．(1)当q ＝2,n ＝3时,用列举法表示集合A ； (2)设s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1,t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1,其中a i ,b i ∈M ,i ＝1,2,…,n .证明：若a n ＜b n ,则s ＜t .12.(1)解 当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}．可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明 由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )qn －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋ (q －1)qn －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以s <t .。

解析几何 1.已知点F 为双曲线C ： 22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点，点P 是双曲线右支上的一点， O 为坐标原点，若2FP OF =， 120OFP ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）31-31+31-31+ 2. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点和虚轴上的一个端点分别为,F A ，点P 为双曲线C 左支上一点，若APF ∆周长的最小值为6b ，则双曲线C 的离心率为（ ）56858510 3.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若60AFE ∠=︒，则AFE ∆的面积为（ ） A. 432343234.已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同，且离心率互为倒数， 12,F F 是它们的公共焦点， P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆1C 的离心率为（ ）332 D. 125．已知圆M 与直线340x y -=及34100x y -+=都相切，圆心在直线4y x =--上，则圆M 的方程为（ ）A. ()()22311x y ++-=B. ()()22311x y -++=C. ()()22311x y +++=D. ()()22311x y -+-=6．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数m 的值为（ ）A. 3B. 1C.D. 27.设直线l ： 3x 4y 40++=，圆C ： ()222x 2y r (r 0)-+=>，若圆C 上存在两点P ， Q ，直线l 上存在一点M ，使得PMQ 90∠=︒，则r 的取值范围是_____.8．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时， 1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 ______ .9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于两点,A B ，交抛物线的准线于点C ，若3FC FA =，则FB =__________．10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点53,22⎛⎫ ⎪ ⎪,离心率为255，点O 坐标原点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 的左焦点F 任作一条不垂直于坐标轴的直线l ，交椭圆E 于,P Q 两点，记弦PQ 的中点为M ，过F 作PQ 的垂线FN 交直线OM 于点N ，证明：点N 在一条定直线上.11.已知椭圆W ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为－1，O 为坐标原点. (1)求椭圆W 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 与W 相交于A ，B 两点，记△AOB 面积的最大值为S k ，证明：S 1＝S 2.12.已知动圆C 恒过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线12x =-相切. （1）求圆心C 的轨迹方程；（2）若过点()3,0P 的直线交轨迹C 于A ， B 两点，直线OA ， OB （O 为坐标原点）分别交直线3x =-于点M ，N ，证明：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值.13.已知椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >> ）的左右焦点分别为1F ， 2F ，离心率为12，点A 在椭圆C 上， 12AF =， 1260F AF ∠=︒，过2F 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ， Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若P ， Q 的中点为N ，在线段2OF 上是否存在点(),0M m ，使得MN PQ ⊥？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．14．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，求AB CD +的取值范围.。

高考数学三轮复习冲刺模拟试题01集合一、选择题1 ．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2 ．设集合{1}A x x a x R =-<∈，，B={x|1<x<5,x ∈Ｒ}，若A ⋂B=φ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a|0≤a ≤6}B ．{a|a ≤2，或a ≥4}C ．{a|a ≤0，或a ≥6}D ．{a|2≤a ≤4}3 ．已知集合2A ={|log<1},B={x|0<<c}x x x，若=A B B ，则c 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,+)∞C ．(0,2]D ．[2,+)∞二、填空题4 ．若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈,集合{}2=--6<0B x R x x ∈,则集合=A B ___________.5 ．设集合是A={32|()=83+6a f x xax x -是(0，+∞)上的增函数}，5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈，则()R A B ð= ；6．试题）己知集合222{|28},{|240}xxA xB x x mx -=<=+-<, 若{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<<,则实数m 等于__________ .7 ．设集合{}1,R A x x a x =-<∈,{}15,R B x x x =<<∈,若∅=B A ,则实数a 取值范围是___________.三、解答题8 ．已知={()|1},B={()|3,0x 3}2A x,y y =-x+mx -x,y x+y =≤≤，若A B ⋂是单元素集，求实数m的取值范围.参考答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】{(3)0}{03}P x x x x x =-<=<<,={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)P Q x x =<<=,选B.2. 【答案】C【解析】{1}{11}A x x a x R x a x a =-<∈==-<<+，,因为=A B φ，所以有15a -≥或11a +≤，即6a ≥或0a ≤，选C.3. 【答案】D【解析】2{log 1}{01}A x x x x =<=<<.因为A B B =，所以A B ⊆.所以1c ≥，即[1,)+∞，选B.二、填空题4. {}-1<3x x ≤; 5. 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】2()=2466f 'x x ax -+，要使函数在(0,)+∞上是增函数，则2()=24660f 'x x ax -+>恒成立，即14a x x <+，因为144x x +≥=，所以4a ≤，即集合{4}A a a =≤.集合5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈{15}y x =≤≤，所以{14}A B x x ⋂=≤≤，所以()=R A B ð(,1)(4,)-∞+∞.6. 【答案】32222{|28}{|230}{13}x xA x x x x x x -=<=--<=-<<，因为{|11},{|43}AB x x A B x x =-<<=-<<，所以由数轴可知{|41}B x x =-<<，即4,1-是方程2240x mx +-=的两个根，所以4123m -+=-=-，解得32m =。

考点 不等式选讲1.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.1.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.2.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 2.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解.当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).3.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.3.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时,由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1,所以,-1<x ≤-12；当-12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以，-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.4.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 4.4或－6 [由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝-1或x ＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]5.(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.5.解(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.6.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 6.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).7.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.7.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.8.(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.8.{x |x ≤－3或x ≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.]9.(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.9.－3 [依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]10.(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [令f (x )＝|2x -1|＋|x +2|,易求得f (x )min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52⇔-1≤a ≤12.]11.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.11.(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋21212.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }.(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .12.(1)解 当q ＝2,n ＝3时,M ＝{0,1},A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22,x i ∈M ,i ＝1,2,3}.可得,A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明 由s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ,可得s -t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q -1)＋(q -1)q +…+(q -1)·q n －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝-1<0.所以，s <t .。

2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第十四章概率试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第十四章概率试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第十四章概率试题理的全部内容。

第十四章概率考点1 随机事件及其概率1.(2015·广东,4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ）A。

1 B。

错误! C.错误! D.错误!1。

C ［从袋中任取2个球共有C错误!＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C错误!C 错误!＝50种取法,所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为错误!＝错误!.］2。

(2014·新课标全国Ⅰ，5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（)A.错误! B。

错误! C.错误! D.错误!2.D ［由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!，故选D。

］考点2 古典概型与几何概型1。

(2016·全国Ⅰ,4)某公司的班车在7：00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（) A.错误! B。

第2课时不等式的证明1．不等式证明的方法（1）比较法:①作差比较法：知道a〉b⇔a－b〉0，a<b⇔a－b<0,因此要证明a〉b只要证明a－b〉0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法：由a〉b〉0⇔错误!>1且a>0，b>0，因此当a>0，b〉0时,要证明a>b,只要证明错误!>1即可,这种方法称为作商比较法．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．（3)分析法：从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．（4）反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法:一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k（k∈N＊，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式（1）柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b,c，d都是实数,则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd)2（当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α|｜β｜≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R,则x1－x22＋y1－y22＋错误!≥错误!.④柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n 是实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)≥（a1b1＋a2b2＋…＋a n b n）2，当且仅当b i＝0 （i＝1,2，…,n)或存在一个数k，使得a i＝kb i (i＝1,2，…，n）时，等号成立．(2）算术—几何平均不等式若a1，a2,…,a n为正数，则错误!≥错误!,当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．1．设a,b，m,n∈R，且a2＋b2＝5,ma＋nb＝5,求错误!的最小值．解根据柯西不等式(ma＋nb）2≤(a2＋b2）(m2＋n2），得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为错误!.2．若a，b，c∈(0,＋∞),且a＋b＋c＝1,求错误!＋错误!＋错误!的最大值．解（错误!＋错误!＋错误!)2＝（1×错误!＋1×错误!＋1×错误!)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．∴（错误!＋错误!＋错误!）2≤3。

2016年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【江苏版】热点十四 不等式【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1 【2013江苏高考】已知错误！未找到引用源。

是定义在错误！未找到引用源。

上的奇函数. 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，则不等式错误！未找到引用源。

的解集用区间表示为 ▲错误！未找到引用源。

∵当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，令错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

是定义在错误！未找到引用源。

上的奇函数，∴错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

. 要错误！未找到引用源。

，则 错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

， ∴不等式错误！未找到引用源。

的解集用区间为错误！未找到引用源。

.例2 【2014江苏高考】若错误！未找到引用源。

的内角满足错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最小值是 .【答案】错误！未找到引用源。

例3 【2015江苏高考】不等式错误！未找到引用源。

的解集为________.【答案】错误！未找到引用源。

【解析】由题意得：错误！未找到引用源。

，解集为错误！未找到引用源。

【热点深度剖析】1.不等式在13-15年多以填空题、解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论和数形结合的思想，题目多为中高档题，着重考查学生运算求解能力、推理论证能力、解决实际问题解决问题的能力.不等式常与三角函数、函数、数列、导数等知识结合考查，也可单独设置题目.2. 对于不等式的复习，一要掌握不等式的性质，学会利用不等式的性质作为工具，解决函数与导数等综合问题；二要理解三个“二次”的关系，注意加强对数形结合思想和分类讨论思想的运用.不等式是学好数学的工具，考查的难度较大，复习时应以中档题为主，同时兼顾部分难度较大的题目，加强对不等式与三角函数、函数、数列、导数等知识综合的题目的训练.3. 预计16年考查基本不等式和一元二次不等式的解法的可能性较大.【最新考纲解读】【重点知识整合】1.一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系．2.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，3.不等式恒成立问题的解法【应试技巧点拨】一、已知错误！未找到引用源。

第三篇 错题重组再训练训练1 错题重组一1.已知集合{}2|20A x x x =->，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则A B = （ ）(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,0)(2,)-∞+∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞【答案】B【解析】{}2|20(,0)(2,)A x x x =->=-∞+∞U ，{}|lg(1)(1,)B x y x ==-=+∞，(2,)A B =+∞I ，选B.【要点回扣或者易错点】集合的表示.2．在8312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（ ） A ．28- B ．7- C ．7 D ．28 【答案】C【解析】1488833188C ()()(1)2C 2r r r r r r r r x T x x ----+=-=-⇒常数项为626618(1)2C 7T -+=-=，故选C.【要点回扣或者易错点】二项式的展开式.3．已知向量 AB AC AD，，满足 2 1AC AB AD AB AD =+== ，，， E F ，分别是线段 BC CD ，的中点，若54DE BF ⋅=- ，则向量AB 与AD 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C.23π D ．56π 【答案】B【要点回扣】向量夹角的应用4．已知函数2e x f x x =（），当]1,1[-=x 时，不等式m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞ 【答案】D【要点回扣或者易错点】导数与函数的单调性之间的关系及运用． 5．设函数()1221,0{,0x x f x xx --≤=>，若()01f x >，则0x 的取值范围是（ ）A. ()1,1-B. ()1,-+∞C. ()(),20,-∞-⋃+∞D. ()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】D当00x >时， ()12001f x x =>，解得01x >. ∴0x 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞.故选D. 【要点回扣或者易错点】不等式求解.6．已知向量a 与b 满足2a =， 2b = ， ()a b a -⊥ ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 【答案】C【解析】由题2a =， 2b = ， ()a b a -⊥ ， ()20,2,a b a a b a ∴-⋅=∴⋅==则2cos ,,,.24a b a b a b a bπ⋅==∴=⋅ 故选C. 【要点回扣或者易错点】平面向量的坐标表示、模.7．对于函数()f x ，若()()(),,,,,,a b c R f a f b f c ∀∈都是某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（ ） A ．()()1f x x R =∈不是“可构造三角形函数”； B ．“可构造三角形函数”一定是单调函数； C ．()()211f x x R x =∈+是“可构造三角形函数”；D ．若定义在R 上的函数()f x 的值域是,e e ⎡⎤⎣⎦（e 为自然对数的底数），则()f x 一定是“可构造三角形函数”． 【答案】D ．两边之差小于第三边”，∴B 错．C 选项：()()()(]1221.0,1,,,1f x x R f x x x R x =∈∈∃∈+，有()()121f x f x -<，若第三边()31f x =，则不符合三角形函数，()()121f x f x +>，则第三边无法取到大于1的值，∴C 错误．D 选项：若(),f x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则()f x 一定能满足三角形中“任意两边之和大于第三边”，∵()()min max ,f x e f x e ==，∴()()()()()()min min max 2f a f b f x f x e e f x f c +≥+=>=≥，∴()()()f a f b f c +>，由定义可知()f x 一定是“可构造三角形函数”，∴选D ． 【要点回扣或者易错点】新定义的创新问题. 8．已知()0,πα∈，若π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则=α2sin （ ） A ．45-B ．54C ．45-D ．45【答案】B 【解析】由π1tan 43α⎛⎫-=⎪⎝⎭，得21tan =α，则54tan 1tan 2cos sin 22sin 2=+==ααααα，故选B ． 【要点回扣或者易错点】同角三角函数的关系，二倍角等知识.9．偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当[]1,0x ∈-时， ()2f x x =，则函数()()lg g x f x x =-，则在()0,10x ∈上的零点个数为（ ）A. 11B. 10C. 9D. 8 【答案】B【解析】由题意()()()()0lg {f x lgx lgxg x f x x f x lgx lgx -≥=-=+<，，，∵()()11f x f x -=+，故()f x 的图象关于1x =对称，又函数()f x 是R 上的偶函数，∴()()()2f x f x f x +=-=，∴()f x 是周期函数2T =，当0x >，令0y =，则()lg f x x =，在同一坐标系中作()y f x =和lg y x =图象，如图所示：故函数()lg y f x x =-的零点有9个，当lg 0x <时，函数()lg y f x x =+的零点有1个，故函数()()lg g x f x x =-的零点个数为10，故选B.【要点回扣或者易错点】数形结合的应用.10．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）A.85B.56C.49D.28 【答案】C【要点回扣或者易错点】组合的简单应用. 11．在ABC ∆中， 5cos 5A =， 310cos 10B =，则ABC ∆的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B【解析】由题得sinA=2510,,510sinB =所以cosC= ()()cos cos A B A B π--=-+ 5310251050522cos cos sin sin 0510510505010A B A B =-+=-⨯+⨯=-=-=-<, 所以C 是钝角，故三角形式钝角三角形，故选B. 【要点回扣或者易错点】三角函数的诱导公式. 12．已知不等式262sin cos 6cos04442x xx m +--≥对于ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2⎤-∞-⎦B ．2,2⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦ C ．2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．)2,⎡+∞⎣ 【答案】B【要点回扣或者易错点】倍角公式，两角和的正弦公式，正弦函数的性质．13．已知函数12ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则a 的取值范围是__________．【答案】23,e ⎡⎤⎣⎦【解析】函数22y x =--的图像与函数22y x =+的图像关于原点对称，若函数12ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ， Q 关于原点对称，则函数12ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与函数22y x =+的图像有交点，即方程2ln a x + 22x =+ 1,x e e⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭有解，令()()()222122ln ,,x f x x x f x x-=+-='则当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()0,f x '<当[]1,x e ∈时， ()0,f x '> 故当x=1时，f(x)有最小值3. 由()22114,,f f e e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故当x=e 时，f(x)有最大值2,e故23,.a e ⎡⎤∈⎣⎦故填23,e ⎡⎤⎣⎦.【要点回扣或者易错点】构造函数的数学思想. 14．给出以下五个命题 ①集合∅与{}∅都表示空集.②2:3f x y x →=是从]4[0A =，到]3[0B =，的一个映射. ③函数]2,2(.2)(24-∈+=x x x x f 是偶函数. ④)(x f 是定义在R 上的奇函数,则0)0(=f⑤1()f x x=是减函数. 以上命题正确的序号为: 【答案】②④.④)(x f 是定义在R 上的奇函数,则0)0(=f ，正确，因为，(0)(0)f f -=-，0)0(=f ；⑤1()f x x=是减函数，不对，只能说其在区间(,0),(0,)-∞+∞是减函数，故答案为②④. 【要点回扣或者易错点】集合函数的概念.15．已知函数()3234(0)f x x a x a a =-+->有三个零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()2,+∞【解析】()()()()22223+333,f x x a x a x a x a =-'=--=--+图像是开口向下的二次函数，零点分别为-a 和a,所以函数f(x)在-,),)a a ∞-+∞（和（上单调递减，在(),a a -上单调递增， 所以f(x)有三个零点等价于()()0{,0, 2.0f a a a f a -<>∴>> 故填()2,+∞.【要点回扣或者易错点】单调性.16．若032≥+++a ax ax 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是【答案】0≥a【解析】当0=a 时，03>恒成立；当0≠a 时，由20,04(3)0a a a a a >⎧⇒>⎨-+≤⎩，0≥∴a .【要点回扣或者易错点】不等式恒成立求参数. 17．已知函数()()24ln 1f x x mx m R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()0f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) 2em e≥.范围.试题解析：（1）由题知： ()24422(0)mx f x mx x x x-='-=> , 当0m ≤时, ()0f x '>在()0,x ∈+∞时恒成立∴()f x 在()0,+∞上是增函数.当0m >时, ()22224422(0)m x x m m mx f x mx x x x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=-==>',令()0f x '>，得20x m <<；令()0f x '<,得 2x m>. ∴()f x 在20,m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为减函数.∴()g x 在141,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在14,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴()11442max 144ln 12e eg x g e ee ⎛⎫+===⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭, ∴2em e≥. 法二：要使()0f x ≤恒成立，只需()max 0f x ≤, 当0m ≤时， ()f x 在[]1,e 上单调递增. ∴()()2max 410f x f e me ==-+≤,即25m e≥，这与0m ≤矛盾，此时不成立. 当0m >时, （i ）若2e m≥即220m e <≤时， ()f x 在[]1,e 上单调递增，∴()()2max 410f x f e me ==-+≤，即25m e ≥，这与220m e<≤矛盾，此时不成立. （ii ）若21e m <<即222m e <<时， ()f x 在21,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,e m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 .∴()max 224ln 10f x f m m ⎛⎫==-≤ ⎪ ⎪⎝⎭即142e m ≤，解得2e m e ≥. 又∵222m e << ∴22em e≤< , （iii ）21m≤ 即2m ≥时， ()f x 在[]1,e 递减，则()()max 110f x f m ==-+≤, ∴1m ≥ 又∵2m ≥∴2m ≥； 综上所述可得： 2em e≥【要点回扣或者易错点】导数的知识分类整合思想及推理论证能力等有关知识的综合运用． 18．设不等式*|2|()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉. （1）求a 的值；（2）求函数()|1||2|f x x x =++-的最小值． 【答案】（1）1a =；（2）3.【要点回扣或者易错点】绝对值不等式及其性质.19．（理科做）用数学归纳法证明：当n 是不小于5的自然数时，总有22nn >成立． 【答案】详见解析.【解析】当5n =时，5225>，结论成立，假设当n k =（k N *∈，5k ≥）时，结论成立，即有22k k >，那么当1n k =+时，左边122222222(1)21(1)k k k k k k k +==⋅>⋅=++-->+=右边，即当1n k =+时，结论成立，∴可知，不等式22nn >对n N *∈，5n ≥时恒成立．【要点回扣或者易错点】数学归纳法证明命题.20.设p ：对任意的x R ∈都有22x x a ->， q ：存在0x R ∈，使200220x ax a ++-=，如果命题p q∨为真，命题p q ∧为假，求实数a 的取值范围. 【答案】()[)2,11,a ∈--⋃+∞【解析】试题分析：先根据恒成立得 22a x x <-最小值，得p ，再根据方程有解得q ，根据命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，得,p q 一真一假，最后分类求实数a 的取值范围.综上， ()[)2,11,a ∈--⋃+∞.【要点回扣或者易错点】1、全称命题与特称命题及真值表的应用；2、不等式有解及恒成立问题. 21.已知关于x 的不等式：12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为2． （1）求整数m 的值；（2）已知R c b a ∈,,，若m c b a =++444444，求222c b a ++的最大值．【答案】（1）4=m ；（2）3． 【解析】由12≤-m x ，得2121+≤≤-m x m ，∵不等式的整数解为2，∴113522m m x m -+≤≤⇒≤≤，又∵不等式仅有一个整数解2，∴4m =；显然1444=++c b a ，由柯西不等式，可得()()()()])[(1112222222222222c b a c b a++++≤++，即()32222≤++c b a ，即3222≤++c b a ，当且仅当33222===c b a 时取等号，最大值为3． 【要点回扣或者易错点】柯西不等式.22.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点(),2P p p 满足3PF =.（1）求抛物线的方程；（2）过点()1,0-的直线l 交抛物线于A B 、两点，当3FA FB =时，求直线l 的方程.【答案】(1) 24y x =;(2) ()3:12l y x =±+. 试题解析：（1）由条件易知(),2P p p 在抛物线22y px =上， 3322p p p PF x =+==， 故2p =，即抛物线的方程为24y x =；（2）易知直线l 斜率必存在，设():1l y k x =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ， ()123131FA FB x x =⇒+=+①， 联立()24{ 1y xy k x ==+得()2214k x x +=即()2222240k x k x k +-+=， 由216160k ∆=->得21k <，且212224k x x k -+=-②， 121x x =③， 由①②③得2314k =<，即直线()3:12l y x =±+. 【要点回扣或者易错点】抛物线的综合问题．。

第三篇 错题重组再训练训练4 错题重组四一、选择题：1．已知{}n a 为等差数列， 39227a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A. 9 B. 17 C. 72 D. 81 【答案】D【解析】由题意得39227a a += ()115312343a d a d a =+=+=，而9S = 5981a =，选D. 【要点回扣或者易错点】等差数列的定义.2. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 62-=，第k 项满足85<<k a ，则=k （）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】C【要点回扣或者易错点】数列通项 3. 等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时， 1n nS S -的最大值与最小值的比值为 A. 125-B. 107-C. 109D. 125【答案】B【解析】∵等比数列{}n a 的首项为32，公比为12- ∴13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭∴31122111212nnn S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭. ①当n 为奇数时， 112nn S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，则1312n S S <≤=，故1506n n S S <-≤；②当n 为偶数时， 112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大，则2314n S S =≤<，故71012n n S S -≤-<.∴1n nS S -的最大值与最小值的比值为51067712=--故选B.【要点回扣或者易错点】等差数列的性质及前n 项和公式. 4. 已知数列{}n a 满足12a =，*11()1nn na a n a ++=∈-N ，则1232017a a a a ⋅⋅⋅⋅=（）A ．6-B ．6 C. 2- D ．2 【答案】D故选A.【要点回扣】数列的周期5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，给出四个结论： (1)2810a a a +≠(2)2(0)n S an bn a =+≠(3)若,,,m n p q N +∈，则m n p q a a a a +=+的充要条件是m n p q +=+ (4)若611S S =，则90a =. 其中正确命题的个数为（ ） A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和(1)a 2+a 8≠a 10当01=a 不成立，(2)S n =an 2+bn(a≠0)，当是常数列时不成立，(3)若,,,m n p q N +∈，则m n p q a a a a +=+的充分不必要条件是m n p q +=+，当是常数列时不成立，(4)若611S S =，则78910110a a a a a ++++= 即90a =.【要点回扣或者易错点】等差数列的性质及前n 项和公式的综合应用.6. 已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，()2221122n n n a a a n +-=+≥，则6a =（）A ．16B ．8C ．22D ．4 【答案】D【要点回扣或者易错点】数列的递推式 7.设n N +∈ ，则22111222nn-=（ ）A. 333nB. 21333n - C. 21333n - D. 2333n【答案】A【解析】()()222221011011011011112223339993nn nn n n n ----⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-===⋅⋅⋅个个个.故选A.【要点回扣或者易错点】数列的通项公式. 8. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()()*312n n S a n N =-∈，则n a = ( ) A. ()332n n - B. 32n n + C. 3n D. 132n n -⋅【答案】C【解析】由题得()312n n S a =-， ()1131,2n n S a --=-两式相减得133,22n n n a a a -=- {}111133,3,333.n n nn n n n n a a a a a a a ---∴=∴=∴=∴=⋅=，是一个等比数列，故选C. 【要点回扣或者易错点】数列通项公式.9.已知不等式()()211117...log 112233412a a n n ++++>-+-⨯⨯⨯+对一切正整数n 恒成立，则实数a 的范围为( )A. ()0,3B. ()1,3C. ()2,4D. ()3,+∞ 【答案】B 【解析】∵()11111n n n n =-++，∴12>log 2（a ﹣1）+a ﹣72， 所以4﹣a ＞log 2（a ﹣1），所以4＞a+log 2（a ﹣1），所以(]2max 4[log 1a a >+-） 因为2log (1y a a =+-）是增函数（增+增=增），观察选项所以1＜a ＜3, 故选B.【要点回扣或者易错点】等比数列的性质.10. 已知(1)y f x =-为奇函数，函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称，若120x x +=，则12()g()g x x +=（ ）A.1-B.1C.2-D.2 【答案】C【解析】由题设可得22011)()()()(21211121-=-=-+-=+=+--x x x f x fx g x g .故选C.【要点回扣或易错点】互为反函数的性质及运用.11.已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的 A ．若03>a ，则02013<a B ．若04>a ，则02014<aC ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则 02014>S 【答案】C【解析】设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立,对于C,当03>a 时,01>a ,因为q -1与20131q -同号,所以02013>S ,选项C 正确,对于D,取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D 错.故选C 【要点回扣或者易错点】判断1q -与20131q -的符号问题易错. 12. 已知函数()f x 21cos 4x x =+，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）【答案】A【要点回扣或者易错点】函数的导数与图像 二、填空题：13. 已知数列{}n a 的前*2,(,)()2n n n S n S n N y x x ∈=+项和为点在函数的图象 上，则数列}{n a 的通项公式为 . 【答案】41n a n =-【解析】由题意可得：n n S n +=22，易知数列}{n a 为等差数列，首项为3，公差为4，41n a n ∴=-. 【要点回扣或者易错点】函数与数列，知和求通项. 14. 定义函数(){}{}f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.52=， {}2.52-=-.当(]0,x n ∈， *n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则1210111a a a ++⋅⋅⋅+=__________．【答案】2011【解析】易知：当1n =时，因为(]0,1x ∈，所以{}1x =，所以{}{}1x x =，所以{}111,1A a ==；{}441,3,4,7,8,9,13,14,15,16,10A a ==；当5n =时，因为(]4,5x ∈，所以{}5x =，所以{}{}{}(]520,25x x x =∈，所以{}551,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25,15A a ==，由此类推： 1n n a a n -=+，所以()12n n n a +=，所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以 12101112011a a a +++=。

大题精做4 统计概率：超几何分布2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：备受关注25％备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值． （1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（2）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．（i ）记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X 的分布列；（ii ）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％．记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量X ，Y 的均值()E X 和()E Y 的大小．（只需写出结论） 【答案】（1）136；（2）（i ）见解析；（ii ）()()E X E Y >． 【解析】（1）7个展区企业数共400607065016703004503600++++++=家， 其中备受关注的智能及高端装备企业共40025%100⨯=家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A ；∴()1001360036P A ==． （2）（i ）消费电子及家电备受关注的企业有6020%12⨯=家， 医疗器械及医药保健备受关注的企业有3008%24⨯=家，共36家．X 的可能取值为0，1，2．()224236C 460105C P X ===，()111224236C C 16135C P X ===，()212236C 111105C P X ===，∴随机变量X 的分布列为：（ii ）()()E X E Y >．1．自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：6 （1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？2．水果的价格会受到需求量和天气的影响．某采购员定期向某批发商购进某种水果，每箱水果的价格会在当日市场价的基础上进行优惠，购买量越大优惠幅度越大，采购员通过对以往的10组数据进行研究，发现可采用b y ax =来作为价格的优惠部分y （单位：元/箱）与购买量x （单位：箱）之间的回归方程，整理相关数据得到下表（表中ln i i X x =，ln i i Y y =）：（1）根据参考数据， ①建立y 关于x 的回归方程；②若当日该种水果的市场价为200元/箱，估算购买100箱该种水果所需的金额（精确到0.1元）．（2）在样本中任取一点，若它在回归曲线上或上方，则称该点为高效点．已知这10个样本点中，高效点有4个，现从这10个点中任取3个点，设取到高效点的个数为ξ，求ξ的数学期望．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，⋯，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，参考数据：e 2.71828≈．3．为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证．某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占56，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣． （1）试完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率．（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示．若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．市级以上比赛获奖人数()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．1．【答案】（1）17100；（2）详见解析；（3）2200． 【解析】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[)30,50且未使用自由购的有31417+=人， ∴随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[)30,50且未参加自由购的概率估计为17100P =． （2）X 所有的可能取值为1，2，3，()124236C C 115C P X ===，()214236C C 325C P X ===，()304236C C 135C P X ===． ∴X 的分布列为∴X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=．（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3121764244+++++=人， ∴该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=． 2．【答案】（1）①12e y x =，②17281.7（元）；（2）65． 【解析】（1）①对b y ax =两边同时取自然对数得ln ln ln y b x a =+， 令ln i i X x =，ln i i Y y =，得ln Y bX a =+，∴10110221101210ˆi i i i i X Y XY bX X ==-==-∑∑，ln 1a =，∴e a =， 故所求回归方程为12e y x =．②由①得，将100x =代入12e y x =，得10e y =，故每箱水果大约可以获得优惠10e 元，故购买100箱该种水果所需的金额约为()20010e 10017281.7-⨯≈（元）． （2）由题意知ξ可取0，1，2，3 ()36310C 106C P ξ===，()1246310C C 112C P ξ===，()2146310C C 3210C P ξ===，()34310C 1330C P ξ===，故1131601236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．3．【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析． 【解析】（1）由题得如下的列联表∴()()()()()()22210050152510 5.556 6.63560407525n ad bc k K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯．∴没有．（2）记事件i A =从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，0i =，1，2，3， 则23A A +=从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且2A 与3A 互斥, ∴所求概率()()()2130333323233366C C C C 101202C C P P A A P A P A =+=+=+==， （3）由题意，可知ξ所有可能取值有0，1，2，3，()22342255C C 9050C C P ξ===，()11221234342255C C C C C 12125C C P ξ+===， ()22111243242255C C C C C 3210C C P ξ+===，()21242255C C 1325C C P ξ===， ∴ξ的分布列是。

问题41 统计图表的应用一、考情分析统计图表有频率分布直方图、茎叶图、折线图、条形图、饼形图、雷达图等，它们广泛应用于实际生活之中，也是历年高考的热点，求解此类的关键是由图表读出有用的数据，再根据数据进行分析.二、经验分享1.明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.2.对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．3.频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．三、知识拓展统计图是利用点、线、面、体等绘制成几何图形，以表示各种数量间的关系及其变动情况的工具。

表现统计数字大小和变动的各种图形总称。

其中有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、象形图等。

在统计学中把利用统计图形表现统计资料的方法叫做统计图示法。

其特点是:形象具体、简明生动、通俗易懂、一目了然。

其主要用途有:表示现象间的对比关系;揭露总体结构;检查计划的执行情况;揭示现象间的依存关系，反映总体单位的分配情况;说明现象在空间上的分布情况。

一般采用直角坐标系.横坐标用来表示事物的组别或自变量x，纵坐标常用来表示事物出现的次数或因变量y;或采用角度坐标(如圆形图)、地理坐标(如地形图)等。