2019届二轮复习 圆轨道上运行天体 学案(全国通用)

借助外援法:通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。 （1）由 G错误!＝m错误!得天体的质量为 M＝错误!。
(2）若已知天体的半径 R,则天体的密度
ρ＝错误!＝错误!＝错误!.
（3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R,则天体密度 ρ＝3GπT2 ，可
见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期 T,就可估算出中心天体的密度．
人造卫星东方
红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度
约为 440 km，
远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 35
786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号的加速度为
a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、a3 的大小关系为( )
常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子
星( ）
A.质量之积
B．质量之和
C。速率之和
D．各自的自转角速度
解析：选 BC。由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点
每秒转动 12 圈，则两中子星的周期相等,且均为 T＝错误!
s，两中子星的角速度均为 ω＝错误!,两中子星构成了双星
模型，假设两中子星的质量分别为 m1，m2,轨道半径分别为 r1、r2,速率分别为 v1、v2,则有:G错误!＝m1ω2r1、错误!＝m2 ω2r2,又 r1＋r2＝L＝400 km，解得 m1＋m2＝错误!,A 错误，B 正确；又由 v1＝ωr1、v2＝ωr2,则 v1＋v2＝ω（r1＋r2）＝
A．a2＞a1＞a3
B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2

1 天体运动[学习目标] 1.了解地心说和日心说两种学说的内容.2.了解开普勒行星运动三定律的内容.3.了解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，来之不易．一、两种对立学说 1．地心说地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动． 2．日心说太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动． 二、开普勒行星运动定律1．第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量．其表达式为r 3T2＝k ，其中r 是椭圆轨道的半长轴，T 是行星绕中心天体公转的周期，k 是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量．1．判断下列说法的正误．(1)太阳系中所有行星都绕太阳做匀速圆周运动．(×)(2)太阳系中所有行星都绕太阳做椭圆运动，且它们到太阳的距离各不相同．(√) (3)围绕太阳运动的各行星的速率是不变的．(×)(4)开普勒第三定律公式r 3T2＝k 中的T 表示行星自转的周期．(×)(5)对同一恒星而言，行星轨道的半长轴越长，公转周期越长．(√)2．如图1所示是行星m 绕恒星M 运动情况的示意图，下列说法正确的是( )图1A ．速度最大点是B 点 B ．速度最小点是C 点 C ．m 从A 到B 做减速运动D ．m 从B 到A 做减速运动 答案 C【考点】开普勒第二定律的理解及应用 【题点】开普勒第二定律的应用一、对开普勒定律的理解1．开普勒第一定律解决了行星的轨道问题图2 图3行星的轨道都是椭圆，如图2所示．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图3所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳．因此开普勒第一定律又叫轨道定律． 2．开普勒第二定律解决了行星绕太阳运动的速度大小问题(1)如图4所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积S A ＝S B ，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．因此开普勒第二定律又叫面积定律．图4(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点．同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小． 3．开普勒第三定律解决了行星公转周期的长短问题图5(1)如图5所示，由r 3T2＝k 知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长，因此开普勒第三定律也叫周期定律．常量k 与行星无关，只与太阳有关．(2)该定律也适用于卫星绕地球的运动，其中常量k 与卫星无关，只与地球有关，也就是说k 值大小由中心天体决定．例1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星和木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C解析 太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，选项A 错误．由于火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，火星和木星绕太阳运行的速度大小在变化，选项B 错误．根据开普勒行星运动定律可知，火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，选项C 正确．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，选项D 错误． 【考点】开普勒定律的理解 【题点】开普勒定律的理解针对训练1 (多选)下列关于行星绕太阳运动的说法正确的是( ) A ．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点B ．太阳系中的八大行星的轨道有的是圆形，并不都是椭圆C ．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向D ．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 答案 AC解析 太阳系中的八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳位于八大行星椭圆轨道的一个公共焦点上，选项A 正确，B 错误；行星的运动是曲线运动，运动方向总是沿着轨道的切线方向，选项C 正确；行星从近日点向远日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角大于90°，行星从远日点向近日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角小于90°，选项D 错误． 【考点】开普勒定律的理解 【题点】开普勒定律的理解 二、开普勒定律的应用由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中可以按圆周运动处理，且是匀速圆周运动，这时椭圆轨道的半长轴取圆轨道的半径．例2 1970年4月24日，我国发射了第一颗人造卫星，其近地点高度是h 1＝439 km ，远地点高度是h 2＝2 384 km ，则近地点处卫星的速率约为远地点处卫星速率的多少倍？(已知地球的半径R ＝6 400 km) 答案 1.28倍解析 设一段很短的时间为Δt ，近地点在B 点，当Δt 很小时，卫星和地球的连线扫过的面积可按三角形面积进行计算，如图所示，即ABC 、MPN 都可视为线段．由开普勒第二定律得S ABCF ＝S MPNF ，即 12v 1Δt (R ＋h 1)＝12v 2Δt (R ＋h 2)所以v 1v 2＝R ＋h 2R ＋h 1代入数据得v 1v 2≈1.28.【考点】开普勒第二定律的理解与应用 【题点】开普勒第二定律的应用例3 长期以来，“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r 1＝19 600 km ，公转周期T 1＝6.39天．后来，天文学家又发现了两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r 2＝48 000 km ，则它的公转周期T 2最接近于( ) A ．15天 B ．25天 C ．35天 D ．45天答案 B解析 根据开普勒第三定律得r 13T 12＝r 23T 22，则T 2＝T 1(r 2r 1)3≈24.5 天，最接近25天，故选B.【考点】开普勒第三定律的理解与应用 【题点】开普勒第三定律的应用开普勒第三定律揭示的是不同行星运动快慢的规律，应用时要注意以下两个问题：(1)首先判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立． (2)明确题中给出的周期关系或半径关系之后，根据开普勒第三定律列式求解．针对训练2 木星和地球都绕太阳公转，木星的公转周期约为12年，地球与太阳的距离为1天文单位，则木星与太阳的距离约为( ) A ．2天文单位 B ．5.2天文单位 C ．10天文单位 D ．12天文单位答案 B解析 根据开普勒第三定律r 3T 2＝k ，得r ＝3kT 2，设地球与太阳的距离为r 1，木星与太阳的距离为r 2，则得r 2r 1＝3T 木2T 地2＝312212≈5.2，所以r 2≈5.2r 1＝5.2天文单位，选项B 正确． 【考点】开普勒第三定律的理解与应用 【题点】开普勒第三定律的应用1．(对开普勒第三定律的认识)(多选)关于开普勒行星运动定律的表达式r 3T2＝k ，以下理解正确的是( )A ．k 是一个与行星无关的常量B ．r 代表行星的球体半径C ．T 代表行星运动的自转周期D ．T 代表行星绕中心天体运动的公转周期 答案 AD解析 开普勒第三定律中的公式r 3T2＝k ，k 是一个与行星无关的常量，与中心天体有关，选项A 正确；r 代表行星绕中心天体运动的椭圆轨道的半长轴，选项B 错误；T 代表行星绕中心天体运动的公转周期，选项C 错误，D 正确．【考点】开普勒第三定律的理解与应用 【题点】开普勒第三定律的理解2．(开普勒第二定律的应用)某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时的速率为( ) A ．v b ＝ba v a B ．vb ＝a b v a C ．v b ＝a bv a D ．v b ＝b av a 答案 C解析 如图所示，A 、B 分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律可知，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，取足够短的时间Δt ，则有12av a Δt ＝12bv b Δt ，所以v b ＝abv a ，故选C.【考点】开普勒第二定律的理解与应用 【题点】开普勒第二定律的应用3．(开普勒第三定律的应用)1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”，以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献．若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看做匀速圆周运动，它们的运行轨道如图6所示．已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R ，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为( )图6A.33.4R B. 3.4R C.311.56R D.11.56R答案 C解析 根据开普勒第三定律，有R 钱3T 钱2＝R 3T2，解得R 钱＝3T 钱2T2R ＝311.56R ，故C 正确． 【考点】开普勒第三定律的理解与应用 【题点】开普勒第三定律的应用一、选择题考点一 开普勒定律的理解1．物理学发展历史中，在前人研究基础上经过多年的尝试性计算，首先发表行星运动的三个定律的科学家是( ) A ．哥白尼 B ．第谷 C ．伽利略 D ．开普勒答案 D【考点】开普勒定律的理解 【题点】开普勒定律物理学史的理解2．关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( ) A ．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 B ．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆C ．所有行星的轨道半长轴的二次方跟它的公转周期的三次方的比值都相同D ．所有行星的公转周期与行星的轨道半径都成正比 答案 A解析 由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A 正确，B 错误；由开普勒第三定律知绕同一中心天体运行的所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C 、D 错误． 【考点】开普勒定律的理解 【题点】开普勒定律的理解3．关于对开普勒第三定律r 3T2＝k 的理解，以下说法中正确的是( )A ．T 表示行星运动的自转周期B ．k 值只与中心天体有关，与行星无关C ．该定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕行星的运动D ．若地球绕太阳运转的半长轴为r 1，周期为T 1，月球绕地球运转的半长轴为r 2，周期为T 2，则r 13T 12＝r 23T 22答案 B解析 T 表示行星运动的公转周期，不是自转周期，A 错误．k 是一个与行星无关的量，k 只与中心天体有关，B 正确．开普勒第三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，C 错误．地球绕太阳转动，而月球绕地球转动，二者不是同一中心天体，故对应的k 不同，因此r 13T 12≠r 23T 22，D 错误．【考点】开普勒第三定律的理解与应用 【题点】开普勒第三定律的理解4．太阳系有八大行星，八大行星离地球的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同．下列反映公转周期与行星轨道半长轴的关系图像中正确的是( )答案 D解析 由r 3T2＝k 知r 3＝kT 2，D 项正确．【考点】开普勒第三定律的理解与应用 【题点】开普勒第三定律的理解5．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图1所示，F 1和F 2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A 点的速率比在B 点的大，则太阳是位于( )图1A ．F 2B ．AC ．F 1D ．B答案 A解析 根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因为行星在A 点的速率比在B 点的速率大，所以太阳在离A 点近的焦点上，故太阳位于F 2. 【考点】开普勒第二定律的理解与应用 【题点】开普勒第二定律的理解6．如图2所示，海王星绕太阳做椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )图2A ．从P 到M 所用时间等于T 04B ．从Q 到N 所用时间等于T 04C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 所用时间等于T 02答案 C解析 由开普勒第二定律知，从P 至Q 速率在减小，C 正确．由对称性知，P →M →Q 与Q →N →P 所用的时间为T 02，故从P 到M 所用时间小于T 04，从Q →N 所用时间大于T 04，从M →N 所用时间大于T 02，A 、B 、D 错误．【考点】开普勒第二定律的理解与应用 【题点】开普勒第二定律的理解 考点二 开普勒定律的应用7．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的19，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星绕地球运动的周期是( ) A.19天 B.13天 C ．1天 D ．9天 答案 C解析 由于r 卫＝19r 月，T 月＝27天，由开普勒第三定律得r 卫3T 卫2＝r 月3T 月2，可得T 卫＝1天，故选项C 正确．【考点】开普勒第三定律的理解与应用【题点】开普勒第三定律的应用8．太阳系八大行星绕太阳运行的轨道可粗略地视为圆，下表是各行星的半径和轨道半径.从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( ) A ．80年 B ．120年 C ．165年 D ．200年答案 C解析 设海王星绕太阳运行的轨道半径为r 1，公转周期为T 1，地球绕太阳运行的轨道半径为r 2，公转周期为T 2(T 2＝1年)，由开普勒第三定律有r 13T 12＝r 23T 22，故T 1＝r 13r 23·T 2≈164年，最接近165年，故选C. 【考点】开普勒第三定律的理解与应用 【题点】开普勒第三定律的应用9．若太阳系八大行星的公转轨道可近似看做圆轨道，地球与太阳之间的平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为( )A.1.2亿千米 B ．2.3亿千米 C ．4.6亿千米 D ．6.9亿千米答案 B解析 由表中数据知T 地＝1年，T 火＝1.88年，由r 地3T 地2＝r 火3T 火2得，r 火＝3T 火2r 地3T 地2≈2.3亿千米，故B 正确． 【考点】开普勒第三定律的理解与应用 【题点】开普勒第三定律的应用 二、非选择题10．(开普勒第三定律的应用)月球环绕地球运行的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？(结果保留三位有效数字，取R 地＝6 400 km) 答案 3.63×104km解析 当人造地球卫星相对地球不动时，人造地球卫星的周期与地球自转周期相同． 设人造地球卫星的轨道半径为R ，运行周期为T .201911 根据题意知月球的轨道半径为60R 地，运行周期为T 0＝27 天，则有R 3T 2＝(60R 地)3T 02.整理得 R ＝3T 2T 02×60R 地＝3(127)2×60R 地≈6.67R 地． 卫星离地高度H ＝R －R 地＝5.67R 地＝5.67×6 400 km≈3.63×104 km.【考点】开普勒第三定律的理解与应用【题点】开普勒第三定律的应用。

天体运动一．考点梳理(1).基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供，即： ＧrvmrMm 22=＝ｍω２ｒ＝ｍrT224π(2).估算天体的质量和密度 由G2rMm ＝ｍrT224π得：Ｍ＝2324Gtr π．即只要测出环绕星体M 运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量.由ρ＝VM ，Ｖ＝34πＲ３得： ρ＝3233RGT rπ．R 为中心天体的星体半径特殊:当ｒ＝Ｒ时，即卫星绕天体M 表面运行时，ρ＝23GTπ(2003年高考)，由此可以测量天体的密度.(3)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题表面重力加速度g 0,由02G M m m g R= 得：02G M g R=轨道重力加速度g ，由2()G M mm g R h =+ 得：220()()G MR g g R h R h==++(４)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系(1)由ＧrvmrMm 22=得:ｖ＝rGM ． 即轨道半径越大，绕行速度越小(2)由Ｇ2rMm ＝ｍω２ｒ得：ω＝3rGM 即轨道半径越大，绕行角速度越小(3)由2224M m Gmr rTπ=得：2T π=即轨道半径越大，绕行周期越大.(５)地球同步卫星所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T ＝24h ．要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h ．由: Ｇ2224()M mmR h Tπ=+（Ｒ＋ｈ） 得：h R==3.6×104ｋｍ=5.6Ｒ Ｒ表示地球半径二.热身训练1．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。

由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得A ．火星和地球的质量之比B ．火星和太阳的质量之比C ．火星和地球到太阳的距离之比D ．火星和地球绕太阳运动速度之比2．某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆．由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r 1慢慢变到r 2，用E Kl 、E K2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则(A)r 1<r 2，E K1<E K2 (B)r 1>r 2，E K1<E K2(C)r 1<r 2，E K1>E K2 (D)r 1>r 2，E K1>E K23.宇航员在探测某星球时，发现该星球均匀带电，且电性为负，电荷量为Q ．在一次实验时，宇航员将一带负电q （q <<Q ）的粉尘置于离该星球表面h 高处，该粉尘恰好处于悬浮状态．宇航员又将此粉尘带至距该星球表面2h 高处，无初速释放，则此带电粉尘将A ．仍处于悬浮状态B ．背向该星球球心方向飞向太空C ．向该星球球心方向下落D ．沿该星球自转的线速度方向飞向太空4．如图3-1所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。

专题四万有引力与航天高频考点一：天体质量和密度的估算[知能必备]1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于G MmR2＝mg，故天体质量M＝gR2G，天体密度ρ＝M＝M43πR3＝3g4πGR.2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.(1)由万有引力等于向心力，即G Mmr2＝m4π2T2r，得出中心天体质量M＝4π2r3GT2；(2)若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3；(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．[典例导航](2018·肇庆二模)(多选)如图所示，Gliese581g行星距离地球约20亿光年(189.21万亿公里)，公转周期约为37年，该行星位于天秤座星群，它的半径大约是地球的2倍，重力加速度与地球相近．则下列说法正确的是()A．飞船在Gliese581g表面附近运行时的速度小于9 km/sB．该行星的平均密度约是地球平均密度的1 2C．该行星的质量约为地球质量的2倍D．在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度解析飞船在Gliese581g表面附近运行时，万有引力提供向心力，则mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，该星球半径大约是地球的2倍，重力加速度与地球相近，所以在该星球表面运行速度约为地球表面运行速度的2倍，在地球表面附近运行时的速度为7.9 km/s ，所以在该星球表面运行速度约为11.17 km/s ，故A 错误；根据密度的定义式ρ＝M V ＝gR 2G 43πR 3＝3g 4πGR ，故该行星的平均密度与地球平均密度之比等于半径的反比，即该行星的平均密度约是地球平均密度的12，故B 正确；忽略星球自转的 影响，根据万有引力等于重力，则有mg ＝G Mm R 2，g ＝GM R 2，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的2倍，所以它的质量是地球的4倍，故C错误；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，故D正确．答案BD[题组冲关][1－1](多选)某行星外围有一圈厚度为d的发光带(发光的物质)，简化为如图甲所示模型，R为该行星除发光带以外的半径．现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测，发现发光带绕行星中心的运行速度v与到行星中心的距离r的关系如图乙所示(图中所标为已知)，则下列说法正确的是()A．发光带是该行星的组成部分B．该行星的质量M＝v20R GC．行星表面的重力加速度g＝v20 RD．该行星的平均密度为ρ＝3v20R4πG（R＋d）3解析：选BC.若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v＝ωr，v与r应成正比，与图象不符，因此发光带不是该行星的组成部分，故A 错误；设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：G Mm r 2＝m v 2r ，得该行星的质量为：M ＝v 2r G ；由题图乙知，r ＝R 时，v ＝v 0，则有：M ＝v 20R G ，故B 正确；当r ＝R 时有mg ＝m v 20R ，得行星表面的重力加速度g ＝v 20R ，故C 正确；该行星的平均密度为ρ＝M43πR 3＝3v 204πGR 2，故D 错误．[1－2]由于行星自转的影响，行星表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．宇航员在某行星的北极处从高h 处自由释放一重物，测得经过时间t 1重物下落到行星的表面，而在该行星赤道处从高h 处自由释放一重物，测得经过时间t 2重物下落到行星的表面，已知行星的半径为R ，引力常量为G ，则这个行星的平均密度是( )A．ρ＝3h2πGRt21 B.ρ＝3h4πGRt21C．ρ＝3h2πGRt22 D.ρ＝3h4πGRt22解析：选A.在北极，由h＝12gt21得：g＝2ht21，根据GMmR2＝mg得星球的质量为M＝gR2G＝2hR2Gt21，则星球的密度为ρ＝MV＝M43πR3＝3h2πGt21R，故A正确，B、C、D错误．高频考点二：天体和卫星的运行[知能必备]1．卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系(1)由G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝ GM r ，则r 越大，v 越小． (2)由G Mm r 2＝mω2r ，得ω＝ GM r3，则r 越大，ω越小． (3)由G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝2π r 3GM ，则r 越大，T 越大． 2．第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造卫星环绕地球运动的最大环绕速度．其求解方法是：G Mm R2＝m v 2R . 3．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是24 h ，同步卫星只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的．[典例导航]据悉，中国首次火星探测任务计划于2020年在海南文昌发射场，由长征五号运载火箭将火星探测器直接送入地火转移轨道，这是探月工程之后我国深空探测又一重大科技工程．已知火星半径是地球半径的12，质量是地球质量的19，自转周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是()A．物体在火星表面所受火星引力是它在地球表面所受地球引力的2 9倍B．火星的同步轨道距地面的高度等于地球同步轨道距地面高度的1 2C．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的2 3倍D．探测器绕火星表面运行的周期等于绕地球表面运行的周期解析物体在星球表面受到的引力F＝GMmR2，F1F2＝M1R22M2R21＝49，A错．由GMm（R＋h）2＝4mπ2（R＋h）T2得地球同步卫星的轨道h1＝3GMT24π2－R，火星的同步轨道的高度为h2＝3GMT29×4π2－R2＜h12，因此B错．根据第一宇宙速度公式GMmR2＝m v2R得v1v2＝M1R2M2R1＝23，因此C正确．探测器绕星球表面运行时，GMmR2＝4mπ2RT2解得T1T2＝M2R31M1R32＝98，因此D错．答案 C[题组冲关][2－1]如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为近地卫星，c 为同步卫星，d为高空探测卫星．a为它们的向心加速度大小，r为它们到地心的距离，T 为周期，l 、θ分别为它们在相同时间内转过的弧长和转过的圆心角，g 为地面重力加速度，则下列图象正确的是( )解析：选C.设地球质量为M ，卫星质量为m .对b 、c 、d 三颗卫星有：G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝ma ，可得：v ＝GMr ，ω＝ GMr3，T ＝2πr 3GM ，a ＝GMr2；因c 为同步卫星，则T a ＝T c ，选项B 错误；a a ＜a c ＜g ，选项A 错误；由v ＝ωr 可知v a ＜v c ，由l ＝v t 可知，选项D错误；由ωb＞ωc＝ωa＞ωd可知，选项C正确．[2－2](多选)2018年1月19号，以周总理命名的“淮安号”恩来星在甘肃酒泉卫星发射中心，搭乘长征-11号火箭顺利发射升空．“淮安号”恩来星在距离地面高度为535 km的极地轨道上运行．已知地球同步卫星轨道高度约36 000 km，地球半径约 6 400 km.下列说法正确的是()A．“淮安号”恩来星的运行速度小于7.9 km/sB．“淮安号”恩来星的运行角速度小于地球自转角速度C．经估算，“淮安号”恩来星的运行周期约为1.6 hD．经估算，“淮安号”恩来星的加速度约为地球表面重力加速度的三分之二解析：选AC.由题意知“淮安号”卫星的高度小于同步卫星的高度，而同步卫星的角速度与地球自转的角速度相等，故选项A对、B错；由r3T2＝k对“淮安号”星进行周期估算，则r3同T2同＝r3卫T2卫，r同＝36 000 km＋6 400km≈7R地，T同＝24 h，r卫＝6 400 km＋h＝1.1R地，经估算可知T卫＝1.6 h，C项正确；地球表面的重力加速度g＝GMR2地，而“淮安号”卫星的加速度可表示为a′＝GM（R地＋h）2，比较可得a′g＝56，选项D错．解答卫星问题的三个关键点1．若卫星做圆周运动：根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma 分析，可得：v ＝GMr ∝1r 、ω＝ GMr 3∝1r 3、T ＝ 4π2r 3GM∝r 3、a ＝GM r 2∝1r2，即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”． 2．若卫星做椭圆运动：根据开普勒行星运动定律分析求解．可根据开普勒第二定律分析卫星的速率变化规律，根据开普勒第三定律分析计算卫星的周期．3．注意事项：注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系，注意黄金代换公式GM＝gR2的灵活应用．高频考点三：卫星的变轨与对接[知能必备]1．当v增大时，所需向心力m v2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，克服引力做功，重力势能增加．但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝GM r知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．2．当卫星的速度突然减小时，需要的向心力m v2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，引力做正功，重力势能减少，进入新轨道运行时由v＝GMr知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)3．卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用F＝GMmr2＝ma比较得出．[命题视角]考向1变轨过程中各参数的变化(多选)如图所示，卫星在半径为r1的圆轨道上运行时速度为v1，当其运动经过A点时点火加速，使卫星进入椭圆轨道运行，椭圆轨道的远地点B与地心的距离为r2，卫星经过B点的速度为v B，若规定无穷远处引力势能为0，则引力势能的表达式E p＝－G Mmr，其中G为引力常量，M为中心天体质量，m为卫星的质量，r为两者质心间距，若卫星运动过程中仅受万有引力作用，则下列说法正确的是()A．v B＜v1B．卫星在椭圆轨道上A点的加速度小于B点的加速度C ．卫星在A 点加速后的速度v A ＝2GM ⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 1－1r 2＋v 2B D ．卫星从A 点运动至B 点的最短时间为πv 1（r 1＋r 2）32r 1解析 卫星在B 点的速度v B 小于以r 2为半径做匀速圆周运动的速度，以r 2为半径做匀速圆周运动的速度小于v 1，故v B ＜v 1，A 正确；G Mmr 2＝ma ，可知A 点的加速度更大，B 错误；从A 点到B 点的过程由机械能守恒得－G Mm r 1＋12m v 2A ＝－G Mm r 2＋12m v 2B ，解得v A ＝2GM ⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 1－1r 2＋v 2B ，C 正确；卫星在圆轨道上的运动周期T 1＝2πr 1v 1，由开普勒第三定律：r 31T 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫r 1＋r 223T 22，解得T 2＝2πr 1v 1（r 1＋r 2）38r 31＝2πv 1（r 1＋r 2）38r 1，卫星从A 点运动至B 点的最短时间为T 22＝πv 1（r 1＋r 2）38r 1，D 错误．答案 AC考向2 卫星的追及相遇问题(多选)我国发射天宫二号空间实验室后又发射了神舟十一号飞船，它们于2016年10月19日凌晨进行了自动交会对接．为实现飞船与空间实验室的对接，在地面测控中心的指挥下天宫二号从高空圆轨道下降至低空圆轨道与神舟十一号对接．已知天宫二号从捕获神舟十一号到实现对接用时为t，在这段时间内组合体绕地心转过的角度为θ.取地表重力加速度为g，地球半径为R，则下列说法中正确的是()A．神舟十一号应在比天宫二号半径更小的轨道上加速后逐渐靠近，两者速度接近时才能实现对接B．对接成功后，欲使天宫二号恢复到原轨运行，至少还需两次点火加速C．组合体在对接轨道上绕地运行的周期为πt θD．组合体在对接轨道上绕地运行时距离地表的高度是3gR2t2θ2－R解析 飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，做离心运动可使飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，A 正确；二者在低轨对接成功后，欲使天宫二号恢复到原轨运行，还需点火加速一次脱离对接轨道而转移到椭圆轨道，达到椭圆轨道与原轨道的交点处，还要再点火加速一次才能进入圆形轨道，B 正确；组合体在对接轨道上绕地运行时，ω＝θt ，因此T ＝2πω＝2πt θ，C 错误；组合体在对接轨道上绕地运行时引力提供向心力G Mm （R ＋H ）2＝m (R ＋H )ω2，又G M R 2＝g ，整理可得H ＝ 3gR 2t 2θ2－R ，D 正确． 答案 ABD1.卫星变轨的两种常见情况2．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝GMr判断．(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．高频考点四：双星与多星问题[典例导航](多选)2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射了硬X射线调制望远镜卫星“慧眼”．在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，发现黑洞A和黑洞B围绕二者连线上的O点做匀速圆周运动，且它们之间的距离保持不变，如图所示．若观测到黑洞A的速率为v，运行周期为T，黑洞A和黑洞B之间的距离为L；引力常量为G；则下列说法正确的是()A．黑洞A和黑洞B的质量之和为4π2L3 GT2B．黑洞A和黑洞B的质量之和为4π2L3 3GT2C．A所受B的引力F a，可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，则m′＝4v3T 3πGD．A所受B的引力F a，可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，则m′＝v3T 2πG解析设黑洞A和B的质量分别为m1、m2，则由万有引力提供向心力可知，Gm 1m 2L 2＝m 1r 1ω2，Gm 1m 2L 2＝m 2r 2ω2，两式分别消去m 1和m 2再相加可得：G （m 1＋m 2）L 2＝(r 1＋r 2)ω2，即G (m 1＋m 2)＝L 34π2T 2，所以M 总＝m 1＋m 2＝4π2L 3GT 2，选项A 对B 错；把A 所受B 的引力F a 等效后，可知Gm 1m ′r 21＝m 1r 14π2T 2，而v ＝2πr 1T ，可求得m ′＝v 3T 2πG，选项D 正确． 答案 AD[题组冲关][4－1]2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论最后一块缺失的“拼图”．双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的轨道半径)，则()A．b星的周期为l－Δr l＋ΔrTB．a星的线速度大小为π（l＋Δr）TC．a、b两颗星的半径之比为l l－ΔrD．a、b两颗星的质量之比为l＋Δr l－Δr解析：选B.双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以b星的周期为T，故A错误；根据题意可知，r a＋r b＝l，r a－r b＝Δr，解得：r a＝l＋Δr2，r b＝l－Δr2，则a星的线速度大小v a＝2πr aT＝π（l＋Δr）T，r ar b＝l＋Δrl－Δr，故B正确，C错误；双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：m aω2r a＝m bω2r b，解得：m am b＝r br a＝l－Δrl＋Δr，故D错误．[4－2](多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示．设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是()A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为Gm LB．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4πL3 5GmC．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2L3 3GmD．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为3Gm L2解析：选BD.在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G m 2L 2＋G m 2（2L ）2＝m v 2L ，解得v ＝12 5Gm L，A 项错误；由周期T ＝2πr v 知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T ＝4πL 35Gm ，B 项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2G m 2L2cos 30°＝mω2·L 2cos 30°，解得ω＝ 3Gm L 3，C 项错误；由2G m 2L 2cos 30°＝ma 得a ＝3Gm L2，D 项正确．双星系统模型有以下特点1．各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm1m2 L2＝m1ω21r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2.2．两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.3．两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.4．三星系统的质量分布呈现对称性，星体做圆周运动的向心力由其他所有星体对其万有引力的合力提供．[真题1](2018·高考全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积 B.质量之和C．速率之和 D.各自的自转角速度解析：选BC.由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误．[真题2] (2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.67×10－11 N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B.5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3 D.5×1018 kg/m 3 解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πGT 2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m 3，C 正确．[真题3] (2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B.4∶1C ．8∶1 D.16∶1解析：选C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T P T Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R P R Q 3＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1643＝81，C 正确．[真题4] (2018·高考天津卷)(多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )A ．密度B.向心力的大小 C ．离地高度 D.线速度的大小解析：选CD.卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有G Mm （R ＋h ）2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(R ＋h )，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，A 、B 项错误；又G Mm 0R 2＝m 0g ，联立两式可得h ＝ 3gR 2T 24π2－R ，C 项正确；由v ＝2πT (R ＋h )，可计算出卫星的线速度的大小，D 项正确．[真题5] (2017·高考全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大 B.速率变大C ．动能变大 D.向心加速度变大解析：选C.天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mr 4π2T 2可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项C 正确．课时规范训练[单独成册]一、单项选择题1．2018年5月9日2时28分，我国在太原卫星发射中心成功发射了高分五号卫星．该卫星绕地球作圆周运动，质量为m，轨道半径约为地球半径R的4倍．已知地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，则()A．卫星的绕行速率大于7.9 km/sB．卫星的动能大小约为mgR 8C．卫星所在高度的重力加速度大小约为1 4gD．卫星的绕行周期约为4πRg解析：选B.7.9 km/s是第一宇宙速度，是卫星最大的环绕速度，所以该卫星的速度小于7.9 km/s.故A 错误；由万有引力提供向心力：G Mm （4R ）2＝m v 24R ，解得：v ＝ GM 4R ，由以上可得动能为：E k ＝12m v 2＝18mgR ，故B 正确；卫星所在高度的重力加速度大小约为：G Mm （4R ）2＝ma ，根据万有引力等于重力：G Mm R 2＝mg ，联立以上解得：a ＝g 16，故C 错误；卫星的绕行周期约为：G Mm （4R ）2＝m 4π2T 2×4R ，根据万有引力等于重力：G Mm R2＝mg ，联立以上解得：T ＝16πR g ，故D 错误．所以B 正确，A 、C 、D 错误．2．2018年4月10日，中国北斗卫星导航系统首个海外中心举行揭牌仪式，目前北斗卫星导航系统由29颗在不同轨道上运行的卫星组成．关于北斗系统内的卫星以下说法正确的是()A．轨道高的卫星周期短B．质量大的卫星机械能就大C．轨道高的卫星受到的万有引力小D．卫星的线速度都小于第一宇宙速度解析：选D.轨道高的卫星轨道半径大、运行的周期大，选项A错．质量大的卫星运行轨道高度不一定大，其机械能也不一定大．选项B错．轨道高的卫星离地心远，但其质量可能较大，受到地球的引力也不一定小，选项C错．第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，也等于卫星在轨运行时的最大速度，故D对．3．嫦娥三号月球探测卫星先贴近地球表面绕地球做匀速圆周运动，此时其动能为E k1，周期为T 1；再控制它进行一系列变轨，最终进入贴近月球表面的圆轨道做匀速圆周运动，此时其动能为E k2，周期为T 2，已知地球的质量为M 1，月球的质量为M 2，则动能之比为( )A.3⎝ ⎛⎭⎪⎫M 1T 2M 2T 12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫M 1T 2M 2T 13 C.3⎝ ⎛⎭⎪⎫M 1T 1M 2T 22D.3⎝ ⎛⎭⎪⎫M 1T 1M 2T 2 解析：选 A.探测卫星绕地球或者月球做匀速圆周运动，由m v2r ＝4π2mr T 2可知，动能表达式E k ＝12m v 2＝2m π2r 2T 2，由GMm r 2＝4π2mr T2可知E k ＝2π2m T 2⎝⎛⎭⎪⎫GMT 24π223，因此动能之比为3⎝ ⎛⎭⎪⎫M 1T 2M 2T 12，因此A 正确．4．冥王星绕太阳的公转轨道是个椭圆，公转周期为T 0，质量为m ，其近日点A 到太阳的距离为a ，远日点C 到太阳的距离为b ，半短轴的长度为c ，A 、C 两点的曲率半径均为ka (通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作该点的曲率圆，其半径叫作该点的曲率半径)，如图所示．若太阳的质量为M ，万有引力常量为G ，忽略其他行星对它的影响及太阳半径的大小，则( )A ．冥王星从A →B 所用的时间等于T 04B ．冥王星从C →D →A 的过程中，万有引力对它做的功为12GMmk ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a b 2C ．冥王星从C →D →A 的过程中，万有引力对它做的功为12GMmk ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a b 2D ．冥王星在B 点的加速度为4GM （b ＋a ）2＋4c2 解析：选C.冥王星绕太阳做变速曲线运动，选项A 错；冥王星运动到A 、C 两点可看作半径均为ka ，速度为v A 、v C 的圆周运动，则有GMm a2＝m v 2A ka ，GMm b 2＝m v 2Cka ，从C →D →A 由动能定理得W ＝12m v 2A －12m v 2C ，解以上三式得W ＝12GMmk ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a b 2，选项B 错、C 正确；在B 点时，设行星到太阳的距离为r ，由几何关系得：r 2＝c 2＋（b －a ）24，则加速度a＝GMm r 2m ＝4GM 4c 2＋（b －a ）2，选项D 错．5．“网易直播”播出了在国际空间站观看地球的视频，让广大网友大饱眼福．国际空间站(International SpaceStation)是一艘围绕地球运转的载人宇宙飞船，轨道近地点距离地球表面379.7 km ，远地点距离地球表面403.8 km.运行轨道近似圆周．网络直播画面显示了国际空间站上的摄像机拍摄到的地球实时画面．如果画面处于黑屏状态，那么说明国际空间站正处于夜晚，请问，大约最多经过多长时间后，国际空间站就会迎来日出？(已知地球半径约为R ＝6.4×106m)( )A ．24小时B.12小时C ．1小时 D.45分钟解析：选D.飞船轨道近似正圆，围绕地球做匀速圆周运动，设其周期为T ，G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝2πr 3GM，由于飞船距离地面大约是400 km ，属于近地卫星，轨道半径近似等于地球半径R ，又因为GM ＝R 2g ，T ＝2πRg，代入数据可得T ＝90分钟，由于最多经过半个周期后，国际空间站就会迎来日出，所以D 正确．6．北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨控制并获得成功．首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施．“嫦娥二号”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度．同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨．图为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是()A．“嫦娥二号”在轨道1的A点处应点火加速B．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大C．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大D．“嫦娥二号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大解析：选A.卫星要由轨道1变轨为轨道2需在A处做离心运动，应加速使其做圆周运动所需向心力m v2r大于地球所能提供的万有引力G Mm r 2，故A 项正确，B 项错误；由G Mmr 2＝ma 可知，卫星在不同轨道运行到同一点处的加速度大小相等，C 项错误；卫星由轨道1变轨到轨道2，反冲发动机的推力对卫星做正功，卫星的机械能增加，所以卫星在轨道1的B 点处的机械能比在轨道2的C 点处的机械能小，D 项错误．7．如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h ，则下列说法正确的是( )A ．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4B ．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2C ．该卫星的运行速度一定大于7.9 km/s。

高考第二轮复习——圆周运动与天体问题一、教学内容：高考第二轮复习——圆周运动与天体问题 二、学习目标：1、掌握圆周运动与天体问题分析的常规思维方法。

2、掌握圆周运动与天体问题的知识体系的重点与核心内容。

3、重点把握圆周运动与天体问题在高考题目中的热点题型及相应的解题策略。

考点地位：圆周运动与天体问题是每年高考的必考内容，高考考查的热点问题包括：竖直面内的典型运动模型的考查，圆周运动的临界与极值问题、运用万有引力定律结合牛顿运动定律分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，天体的质量和密度的计算等，这些热点问题充分体现了现代科技信息与现代科技发展的密切联系. 出题形式既可以通过选择题形式考查也可以通过大型计算题形式进行考查. （一）处理曲线运动问题的一般思路：物体的运动状态是由初速度（v 0）和受力情况（F 合）决定的，这是处理复杂运动的力和运动的观点。

思路是：如匀变速曲线运动问题：可根据初速度（v 0）和受力情况（F 合）建立平面直角坐标系，将复杂运动转化为坐标轴上的简单运动来处理。

如平抛运动、带电粒子在匀强电场中的偏转、带电粒子在重力场和匀强电场中的曲线运动等都可以利用这种方法处理。

（二）竖直平面内的圆周运动问题：竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。

可归结为如模型共同点不同点线 模 型（1）只受重力和弹力作用（2）只有重力做功，因而机械能守恒（1）小球所受弹力指向圆心（2）若小球刚好能通过圆周的最高点A ，则gr v ,rv m mg A 2A ==（3）若到达最高点前在某点离开圆周，则该时刻绳的张力，以后改做斜抛运动 杆 模 型（1）小球所受弹力方向指向圆心或背离圆心（2）若小球刚好能通过圆周的最高点A ，则mg F ,0v N A -==（3）只能做圆周运动，不可能做抛体运动问题1：圆周运动的动力学问题：有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。

第1讲 地球与地球仪[知 识 体 系 构 建][主 干 知 识 整 合]一、地球的形状和大小由上图可知：地球赤道半径略大于极半径，故其形状特点是：两极稍扁，赤道略鼓的椭球体。

[易误辨析] 1.在下列两种情形中，是否会出现相同的结果？(1)在地球仪上的A点(如上图)，两只蜘蛛以相同的速度分别沿经线圈、赤道绕行一周，它们是否会相遇于A点？(2)在地球上的A点(如上图)，甲、乙两人乘飞行器以同样高度、同样速度分别沿经线圈、赤道绕行一周，两人是否会相遇于A点？提示(1)会。

(2)不会，甲先到达A点。

二、地球仪1．概念：人们根据地球的形状并按一定的比例缩小后而制作成的地球的模型，叫作地球仪。

地球仪是一个正球体。

2．地轴、两极和赤道(1)地轴：地球仪上，地球自转的轴，其倾斜方向不变，北端始终指向北极星附近。

(2)两极：地轴穿过地心，与地球表面相交的两点。

(3)赤道：在地球仪表面与南北极距离相等的大圆圈。

赤道面与地轴垂直。

3．经纬线和经纬度(1)经纬线的特点(2)经纬度的划分[易误辨析] 2.地球上的点是不是都有东西南北四个方向？提示 不是。

地球上的北极点和南极点都只有一个方向。

在北极点上只有南方；在南极点上只有北方。

4．经纬网(1)概念：在地球仪上，经线和纬线相互交织而成的网络。

(2)意义：经纬网在确定地理位置、两地之间方向和量算距离等方面有重要作用。

考点一 经纬线和经纬度的判断【例1】 (高考经典题)下图是经纬网图层和中国省级行政中心图层的叠加图，图中经纬线间隔度数相等。

读图，回答下题。

经纬网的纬线间距为( ) A ．3°B ．5°C ．8°D ．10°[尝试自解] ________[错因诊断] ①不知道北京或其他省会城市的经纬度，无法比对；②经纬度判断错误。

[解题步骤]第一步，获取信息：文本信息“中国省级行政中心图层的叠加图”“图中经纬线间隔度数相等”；图像信息“北京的经纬度位置”“其他省会城市的经纬度位置”；题干信息“纬线间距”。

天体运动第1课时作业一、选择题1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是( )A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B.开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D.卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值2．设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆。

已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r 3T 2B ．GM ＝4π2r2T2C ．GM ＝4π2r 2T3 D ．GM ＝4πr3T23.组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转.如果某质量分布均匀的星球自转周期为T ，万有引力常量为G ，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是( ) A.4πGT 2 B.3πGT 2 C.2πGT 2 D.πGT24.北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道.其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( ) A.1232⎛⎫⎪⎝⎭ B.2332⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3232⎛⎫ ⎪⎝⎭D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32 25．一艘宇宙飞船在某个星球附近做圆形轨道环绕飞行，宇航员要估测该星球的密度，只需要测出（ ） A ．飞船的环绕半径 B ．行星的质量 C ．飞船的环绕周期 D ．飞船的环绕速度 6.过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A.110B.1C.5D.10 7．某同学在距地面高为h 处水平抛出一个小钢球，经时间t 落地，地球半径为R ．在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船速率约为（ ） A ．2B ．C ．D ．8.卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r ，运动周期为T ，地球半径为R ，引力常量为G ，下列说法中正确的是( )A.卫星的线速度大小为v ＝2πRTB.地球的质量为M ＝4π2R 3GT2C.地球的平均密度为ρ＝3πGT2D.地球表面重力加速度大小为g ＝4π2r3T 2R29．1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2．则下列说法正确的是（ ） A ．地球的质量B ．太阳的质量C ．月球的质量D ．可求月球、地球及太阳的密度10.利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 11．（多选）假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是（ ）（球体体积公式V=πR 3）A ．地球的向心力变为缩小前的一半B ．地球的向心力变为缩小前的C ．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同D ．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半12.理论上可以证明，质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零.假定地球的密度均匀，半径为R .若矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为k ，则矿井的深度为( )A.(1－k )RB.kRC.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k R D.kR二、非选择题13.我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入.(1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径.(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h 的某处以速度v 0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x .已知月球半径为R 月，引力常量为G ，试求出月球的质量M 月.天体运动第2课时作业1.如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h ，则下列说法正确的是( )A.该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4B.该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2C.该卫星的运行速度一定大于7.9 km/sD.该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 2.(多选)地球同步卫星离地心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，地球的第一宇宙速度为v 2，半径为R ，则下列比例关系中正确的是( )A.a 1a 2＝r RB.a 1a 2＝(r R )2C.v 1v 2＝r RD.v 1v 2＝R r3.研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )A.距地面的高度变大B.向心加速度变大C.线速度变大D.角速度变大4.(多选)石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发现使“太空电梯”的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空.设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星A 的高度延伸到太空深处，这种所谓的太空电梯可用于降低成本发射绕地人造卫星.如图所示，假设某物体B 乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处，与同高度运行的卫星C 相比较( )A.B 的线速度大于C 的线速度B.B 的线速度小于C 的线速度C.若B 突然脱离电梯，B 将做离心运动D.若B 突然脱离电梯，B 将做近心运动5.a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。

2019届二轮复习 曲线运动 万有引力与航天 学案（全国通用）[全国卷5年考情分析]匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ) 离心现象(Ⅰ) 第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)以上4个考点未曾独立命题第1节 曲线运动 运动的合成与分解一、曲线运动1．速度方向：质点在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向。

[注1] 2．运动性质：曲线运动一定是变速运动。

[注2]3．曲线运动的条件1．分解原则：一般根据运动的实际效果进行分解。

2．运算法则：位移、速度、加速度的合成或分解遵循平行四边形定则或三角形定则。

3．合运动与分运动的关系[注3][注解释疑][注1] 速度方向时刻在变，但速度的大小可能不变。

[注2] 加速度不为零，合外力不为零。

a恒定→匀变速曲线运动，如平抛运动。

a改变→变加速曲线运动，如匀速圆周运动。

[注3] 实际运动为合运动。

[注4] 时间是分运动与分运动、分运动与合运动建立联系的关键量，即t是运动规律方程组所共有的“元”。

[深化理解]1．物体做直线运动还是做曲线运动由物体的速度与合外力是否在同一直线上决定。

2．两个分运动的合运动是直线运动还是曲线运动要看合速度与合加速度是否在同一直线上。

3．运动的分解应考虑运动的实际效果，类似于力的分解考虑力的作用效果；但力的分解也常常考虑解题的方便不根据作用效果进行分解，运动的分解则常常沿两个互相垂直的方向分解，方便计算。

[基础自测]一、判断题(1)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。

(×)(2)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。

(×)(3)曲线运动可能是匀变速运动。

(√)(4)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。

(√)(5)合运动的速度一定比分运动的速度大。

(×)(6)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。

(×)(7)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。

【模块标题】天体运动【模块目标】块讲解】【常规讲解】1：有关公式的运用及表面重力加速度（三星）【授课流程】步骤①复习开普勒三大定律，着重讲解第三定律的定量计算问题【参考讲解】开普勒三大定律涉及的三方面，尤其是第三定律会涉及到定量计算，在高考题目中也曾出现过，所以这部分的复习主要集中在第三定律的讲解上。

配题逻辑：开普勒周期定律的运用例题1．（2010全国新课标卷）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看做圆轨道。

下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。

图中坐标系的横轴是lg （T /T 0） ,纵轴是lg （R /R 0）；这里T 和R 分别是行星绕太阳运行周期和相应的圆轨道半径，T 0和R 0 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。

下列4幅图中正确的是【讲解】BR 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有（）A ．T A >TB B ．E k A >E k BC ．S A =S BD ．配题逻辑：星体表面g 值例题2．（2014年 全国卷2）假设地球可视为质量均匀分布的球体。

已知地球表面重力加速度在两极的大小为g ０；在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ；引力常量为G 。

地球的密度为 A ．o g g g GT -23π B ．gg g GT o -23π C. 23GT π D ．g g GT o23π配题逻辑：内部g 值练习2-1．【2012·新课标全国卷】假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。

一矿井深度为d 。

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。

矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 1d R -1dR +2()R d R - D ．2()R R d -配题逻辑：利用黄金代换式求解天体中运动学问题练习2-2．（2015·海南卷·6）若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R .由此可知，该行星的半径约为（ ）A ．1RB ．7RC ．2R D.7R=2g g 行行地步骤③天体有关公式的运用中包含涉及有关运动学基本公式的运用，并写出板书【参考讲解】天体运动过程中对于常见的五个公式的考察频率相对较高，而解决这种问题时着重帮助学生去理清各物理的关系，最好画出图形帮助理解。

2. 天体和卫星的运行一、基础知识回顾1．卫星的绕行速度v 、角速度ω、周期T 与轨道半径r 的关系(1)由G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GMr，则r 越大，v 越小． (2)由G Mmr2＝mω2r ，得ω＝GMr 3，则r 越大，ω越小． (3)由G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝2πr 3GM，则r 越大，T 越大． 2．第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造卫星环绕地球运动的最大环绕速度．其求解方法是：G Mm R 2＝m v 2R.3．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是24 h ，同步卫星只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的．二、知识规律(1)一条黄金代换：GM ＝gR 2. (2)两条基本思路． ①天体附近：G MmR2＝mg .②环绕卫星：G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr (2πT )2.(3)两类卫星．①近地卫星：G MmR2＝mg ＝m v 2R .②同步卫星：G Mm (R ＋h )2＝m (R ＋h )(2πT )2(T ＝24 h)．(4)双星：Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2r 1＋r 2＝L考向1 卫星的a 、v 、ω、T 与半径r 的关系 [例1] (多选)卫星A 、B 的运行方向相同，其中B 为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，已知地球半径为R ，卫星A 离地心O 的距离是卫星B 离地心的距离的4倍，地球表面重力加速度为g ，则( )A ．卫星A 、B 的运行周期的比值为T A T B ＝41B ．卫星A 、B 的运行线速度大小的比值为v A v B ＝12C ．卫星A 、B 的运行加速度的比值为a A a B ＝14D ．卫星A 、B 至少经过时间t ＝16π7Rg，两者再次相距最近 解析 由地球对卫星的引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T2r 知T ＝2πr 3GM ∝r 3，而r A ＝4r B ，所以卫星A 、B 的运行周期的比值为T AT B＝81，A 项错误；同理，由G Mm r 2＝m v 2r得v ＝GM r ∝1r，所以卫星A 、B 的运行线速度大小的比值为v A v B ＝12，B 项正确；由G Mm r 2＝ma 得a ＝GM r 2∝1r 2，所以卫星A 、B 的运行加速度的比值为a A a B ＝116，C 项错误；由T ＝2πr 3GM 及地球表面引力等于重力大小G MmR 2＝mg 知T ＝2πr 3gR 2，由于B 为近地卫星，所以T B ＝2πRg，当卫星A 、B 再次相距最近时，卫星B 比卫星A 多运行了一周，即⎝⎛⎭⎪⎫2πT B－2πT A t ＝2π，联立可得t ＝16π7Rg，D 项正确． 答案 BD考向2 宇宙速度[例2] 一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，则与收缩前相比( )A ．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍B ．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的2倍C ．星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍D ．星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍解析 忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式GMmR 2＝mg ，该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，所以同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍，故A 、B 错误；第一宇宙速度是近星的环绕速度，根据万有引力提供向心力，列出等式，有GMm R 2＝mv 2R ，解得v ＝GMR，该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，所以星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍，故C 错误、D 正确．答案 D解答卫星问题的三个关键点1．若卫星做圆周运动：根据G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma 分析，可得：v ＝GMr∝1r、ω＝GM r3∝1r3、T ＝4π2r 3GM∝r 3、a＝GM r 2∝1r2，即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”． 2．若卫星做椭圆运动：根据开普勒行星运动定律分析求解．可根据开普勒第二定律分析卫星的速率变化规律，根据开普勒第三定律分析计算卫星的周期．3．注意事项：注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系，注意黄金代换公式GM ＝gR 2的灵活应用．三、针对训练1．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h解析：选B.万有引力提供向心力，对同步卫星有：GMm r 2＝mr 4π2T 2，整理得GM ＝4π2r 3T2 当r ＝6.6R 地时，T ＝24 h若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R 地 三颗同步卫星A 、B 、C 如图所示分布 则有4π2 6.6R 地 3T 2＝4π2 2R 地 3T ′2解得T ′≈T6＝4 h ．选项B 正确． 2． 2016年11月22日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号丙运载火箭成功将天链一号04星送入太空，天链一号04星是我国的第四颗地球同步卫星数据中继卫星．设地球的质量为M ，自转角速度为ω，引力常量为G ，则( )A ．天链一号04星的轨道只能是椭圆，不可能是圆B ．月球绕地球运动的角速度比天链一号04星绕地球运行的角速度大C ．天链一号04星的角速度为ω，线速度为3GMω D ．相同质量的同步卫星比近地卫星机械能小解析：选C.A.天链一号04星的轨道只能是圆，不可能是椭圆，否则不可能与地球自转同步，故选项A 错误；B.因同步卫星的周期为24小时，月球绕地球运行的周期为27天，由公式ω＝2πT可知，天链一号04星绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大，故选项B 错误；C.根据万有引力提供向心力有G Mmr2＝mω2r ，解得天链一号04星的轨道半径r ＝3GMω2，则线速度v ＝ωr ＝3GMω2·ω＝3GMω，故选项C 正确；D.要将卫星发射到较高的轨道，发射时需要更多的能量，故卫星的高度越大，机械能就越大，即相同质量的同步卫星的机械能大，故选项D 错误．3．(多选)2017年4月12日19时04分，我国实践十三号卫星在西昌卫星发射中心由长征三号乙运载火箭成功发射．这是我国首颗高通量通信卫星，通信总容量达20 Gbps ，超过我国已发射的通信卫星容量总和．假设这颗卫星运行在同步轨道(卫星的轨道半径是地球半径的n 倍)上，由此可知( )A ．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的1n2B ．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的1nC ．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的1n2D ．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的1n解析：选AD.卫星运行在轨道半径是地球半径n 倍的圆形轨道上，所受万有引力F ＝G mM nR 2，F ＝ma ，在地球表面，m 0g ＝G m 0M R 2，联立解得a g ＝1n 2，选项A 正确、B 错误；由G mM nR 2＝m v 2nR，GM ＝gR 2，解得vgR n ，第一宇宙速度v1＝gR，vv1＝1n，选项C错误、D正确．＝。

构建万有引力定律在天体运动问题中的应用模型【点击考点要求】【模型建立】1、一个简化模型： 一颗 环绕天体 绕一颗 中心天体 做近似的匀速圆周运动。

如图所示：中心天体的质量为M ，半径为R ，表面重力加速度为g ；环绕天体的质量为m ，环绕速度（线速度）为v ，角速度为ω，环绕周期为T ，轨道半径为r ，环绕天体可看成质点。

2、一个核心方程：环绕天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对它的万有引力提供。

rvmrMm G22= 或 22ωmr rMm G=3、两组常用推论：第一组：环绕速度与轨道半径的关系rGM v =3rGM =ω （针对练习1）第二组：轨道半径和环绕周期的关系2234πGM Tr =2324GTr M π=（针对练习2）4、两个常用近似：当研究中心天体表面问题或近天体表面环绕问题时，有以下两个近似关系：r R =mg RMm G=2（针对练习3）5、综合“金三角”关系圈：mRT )M ( g )一般环绕问题天体表面问题 近天体表面环绕问题rGM v =2234πGM Tr =2RGM g =mggRv =)(22ωmr rvm2rMm G6、“人造地球同步卫星”问题：地球同步卫星的特点是它绕地轴运转的角速度与地球自转的角速度相同，同步卫星轨道是（“椭圆”、“圆 ” ），为 （赤道轨道、极地轨道、顺行轨道、逆行轨道 ）；其高度一定，约为 ，环绕速度一定，约为 。

同步卫星的发射，通常都采用变轨发射的方法。

要实现全球通信，至少需发射三颗地球同步卫星且对称分布在同一轨道上。

（针对练习4）7、 “嫦娥1号”奔月问题：（针对练习5） 8、“神舟八号”与“天宫一号”的对接问题： 9、“双星”问题： （针对练习6）【针对训练】针对训练1： 1、（94-全国）人造地球卫星的轨道半径越大，则（ ） A .速度越小，周期越小 B .速度越小，周期越大 C .速度越大，周期越小 D .速度越大，周期越大 2、（92-全国）两颗人造地球卫星，都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径之比r 1/r 2＝2，则它们动能之比E 1/E 2等于（ ）A . 2B .1C . 1/2D . 4 针对训练2： 3、（98-上海）已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。

天体运动
【教学目标】
1．认识中国古代对宇宙的认识。

2．了解地心说和日心说。

3．理解描述行星运动的规律——开普勒三定律，能运用开普勒定律解释有关现象。

【教学重难点】
理解描述行星运动的规律——开普勒三定律，能运用开普勒定律解释有关现象。

【教学过程】
一、情境导入
盛夏季节，银河高悬，明亮的牛郎星、织女星隔“河”遥望。

夜空中，斗转星移，星体的运动都遵循一定的规律，人类对这种规律的正确认识经过了漫长而曲折的历程。

下面我们一起来回顾下这个漫长而曲折的历程。

二、新知学习
（一）中国古代对宇宙的认识
1．中国古代宇宙理论产生于周代至晋代，形成的所谓“论天六家”是指盖天、浑天、宣夜、听天、穹天、安天。

2．在长期的发展中，浑天说成为我国古代宇宙理论的主流学说。

3．浑天仪是西汉时期落下闳制造的用于测量天体位置的仪器，是我国古代天文学领域的一项杰出成就。

（二）地心说与日心说
1．地心说
托勒密认为，地球位于宇宙的中心，是静止不动的，其他天体围绕地球转动。

2．日心说
哥白尼认为，地球和别的行星一样，围绕太阳运动，只有太阳固定在这个体系的中心。

（三）开普勒行星运动定律
公式：r 3
T 2＝k ，k 是一
个与行星无关的常量
行星距太阳较近处与距太阳较远处相比较，运
甲 乙
R＋R
（3）根据开普勒第三定律列式求解。

第4讲万有引力定律与航天1．(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度【考点定位】双星问题【点评】考查双星模型的典型问题：线速度、角速度、总质量等问题【难度】中等答案BC解析两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得 Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G ，质量之和可以估算，故B 正确； 由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得 v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算，故C 正确； 质量之积和各自的自转角速度无法求解，故A 、D 错误．2．(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3【考点定位】 万有引力与重力的关系【点评】 求密度最小值即求一种临界情况：赤道上物体所受重力为0 【难度】 中等 答案 C解析 脉冲星自转，边缘物体m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G Mm r 2＝mr 4π2T 2，又知M ＝ρ·43πr 3整理得密度ρ＝3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2 kg /m 3≈5.2×1015 kg/m 3. 3．(2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1D ．16∶1【考点定位】 卫星运行规律 【难度】 较易 答案 C解析 由G Mm r 2＝mr 4π2T 2知，T 2r 3＝4π2GM ，则两卫星T P 2T Q 2＝r P 3r Q3.因为r P ∶r Q ＝4∶1，故T P ∶T Q ＝8∶1.4．(多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( )图1A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 【考点定位】 开普勒定律、机械能守恒 【难度】 较易 答案 CD解析 由行星运动的对称性可知，从P 经M 到Q 点的时间为12T 0，根据开普勒第二定律可知，从P 到M 运动的速率大于从M 到Q 运动的速率，可知从P 到M 所用的时间小于14T 0，选项A 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B 错误；根据开普勒第二定律可知，从P 到Q 阶段，速率逐渐变小，选项C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D 正确．5．(2017·全国卷Ⅲ·14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的()A．周期变大B．速率变大C．动能变大D．向心加速度变大【考点定位】卫星运行规律【难度】较易答案C解析根据组合体受到的万有引力提供向心力可得，GMmr2＝m4π2T2r＝mv2r＝ma，解得T＝4π2r3 GM ，v＝GMr，a＝GMr2，由于轨道半径不变，所以周期、速率、向心加速度均不变，选项A、B、D错误；组合体比天宫二号的质量大，动能E k＝12m v2变大，选项C正确．6．(2016·全国卷Ⅰ·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为() A．1 h B．4 hC．8 h D．16 h【考点定位】同步卫星、开普勒定律【点评】抓住卫星的高度(轨道半径)决定其周期【难度】中等答案B解析地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律r3T2＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出卫星间的位置关系如图所示．卫星的轨道半径为r＝Rsin 30°＝2R由r13 T12＝r23T22得(6.6R)3242＝(2R)3T22.解得T2≈4 h.每年基本上必有一题(只有17年卷Ⅰ没有、16年卷Ⅱ没有)，开普勒定律、行星和卫星的运行规律、变轨、能量问题、双星问题、万有引力与重力关系等都考过，难度也有易、有难，所以复习时要全面深入，掌握各类问题的实质．考点1 开普勒定律的理解与应用关于开普勒第三定律的理解(1)适用于行星—恒星系统，也适用于卫星—行星系统等． (2)只有在同一系统内k 才是定值． (3)k 与中心天体质量有关． (4)对椭圆轨道、圆形轨道都适用．(2018·广东省佛山市质检一)哈雷彗星绕日运行的周期为T 年，若测得它在近日点距太阳中心的距离是地球公转轨道半长轴的N 倍，则由此估算出哈雷彗星在近日点时受到太阳的引力是在远日点受太阳引力的( ) A ．N 2倍 B. 2223(2)T N N--倍C.213(21)T N -－倍 D ．423T N 倍答案 B解析 设地球公转轨道半长轴为R 1，哈雷彗星围绕太阳运行的半长轴为R 2，由开普勒第三定律可知R 1312＝R 23T 2；哈雷彗星在近日点距太阳中心的距离为NR 1，在远日点距太阳中心的距离为2R 2－NR 1，哈雷彗星在近日点时受到太阳的引力F 1＝GMm(NR 1)2，哈雷彗星在远日点时受到太阳的引力为F ＝GMm (2R 2－NR 1)2，则F 1F ＝2223(2)T N N --，故B 正确．1．(2018·湖北省天门中学模拟)已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别R 1和R 2(公转轨迹近似为圆)，如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率．则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( ) A.R 1R 2 B.R 1R 2 C.R 2R 1D.R 2R 1答案 B解析 公转的轨迹近似为圆，地球和火星的运动可以看作匀速圆周运动，根据开普勒第三定律知，R 3T 2＝k ，运动的周期之比T 1T 2＝R 13R 23，在一个周期内扫过的面积之比为S 1S 2＝πR 12πR 22＝R 12R 22，面积速率为ST，可知面积速率之比为R 1R 2，故B 正确，A 、C 、D 错误． 考点2 万有引力与重力的关系地球表面上的物体所受重力特点：(1)重力与引力的关系⎩⎨⎧赤道：G MmR2＝mg ＋mω2R两极：G MmR2＝mg(2)自转可忽略时：G MmR2＝mg可得：g ＝GM R 2，距地面h 高处g ′＝GM(R ＋h )2M ＝gR 2G，GM ＝gR 2.命题热点1 考虑星球自转时引力与重力的关系(2018·山东省济宁市一模)假设地球为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g 0、在赤道处的大小为g ，地球半径为R ，则地球自转的周期T 为( ) A ．2πR g 0＋g B ．2πR g 0－g C ．2πg 0＋gRD ．2πg 0－gR答案 B2．在例2中，若地球自转角速度逐渐增大，当角速度增大到某一值ω0时，赤道上的某质量为m ′的物体刚好要脱离地面，万有引力常量为G ，则地球的质量是( ) A.g 04Gω03 B.g 03Gω04 C.g 02Gω02 D.g 0Gω02 答案 B解析 设地球质量为M ，在地球两极有：GMmR 2＝mg 0在赤道上对质量为m ′的物体刚要脱离地面时有： GMm ′R 2＝m ′ω02·R解得：M ＝g03Gω04.命题热点2忽略星球自转时引力与重力的关系(多选)(2017·高三第一次全国大联考(新课标卷Ⅰ))在地球表面以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．假如宇航员登上某个与地球差不多大小的行星表面，仍以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间4t后回到出发点．则下列说法正确的是() A．这个行星的质量与地球质量之比为1∶2B．这个行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为1∶2C．这个行星的密度与地球的密度之比为1∶4D．这个行星的自转周期与地球的自转周期之比为1∶2答案BC解析行星表面与地球表面的重力加速度之比为g行g地＝v02t2v0t＝14，行星质量与地球质量之比为M行M地＝g行R2Gg地R2G＝14，故A错误；这个行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为v行v地＝g行Rg地R＝12，故B正确；这个行星的密度与地球的密度之比为ρ行ρ地＝M行VM地V＝14，故C正确；无法求出这个行星的自转周期与地球的自转周期之比，故D错误．3．(2018·广东省惠州市第三次调研)宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的()A．0.5倍B．2倍C．4倍D．8倍答案D解析由GMmR2＝mg得g＝GMR2又M＝ρ·43πR3得g ＝43πGρR ，即g ∝R所以该星球半径为地球半径的2倍，所以体积是地球体积的8倍，质量也是地球质量的8倍．考点3 中心天体—环绕天体模型中心天体—环绕天体模型环绕天体做圆周运动的向心力由中心天体对它的万有引力提供，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r ＝ma等，可得：中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2，ρ＝3πr 3GT 2R 3(r ＝R 时有ρ＝3πGT 2)环绕天体运行速度v ＝GM r ，加速度a ＝GMr2. 命题热点1 中心天体质量、密度的计算(2018·福建省龙岩市上学期期末)2017年4月，我国成功发射了“天舟一号”货运飞船，它的使命是给在轨运行的“天宫二号”空间站运送物资．已知“天宫二号”空间站在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运行周期T )运动的弧长为s ，对应的圆心角为β弧度．已知万有引力常量为G ，地球表面重力加速度为g ，下面说法正确的是( )A ．“天宫二号”空间站的运行速度为stB ．“天宫二号”空间站的环绕周期T ＝πtβC ．“天宫二号”空间站的向心加速度为gD ．地球质量M ＝gs 2Gβ2答案 A解析 “天宫二号”空间站的运行速度为v ＝s t ，选项A 正确；角速度ω＝βt ，则周期T ＝2πω＝2πt β，选项B 错误；根据a ＝GMr 2可知，“天宫二号”空间站的向心加速度小于g ，选项C 错误；根据G Mm r 2＝mω2r ，v ＝ωr ，解得：M ＝s 3Gβt2，选项D 错误．4．(2018·河南省濮阳市一模)探测火星一直是人类的梦想，若在未来某个时刻，人类乘飞船来到了火星，宇航员先乘飞船绕火星做圆周运动，测出飞船做圆周运动时离火星表面的高度为H ，环绕的周期为T 及环绕的线速度为v ，引力常量为G ，由此可得出( ) A ．火星的半径为v T2πB ．火星表面的重力加速度为2πT v 3(v T －2πH )2C ．火星的质量为T v 22πGD ．火星的第一宇宙速度为4π2v 2TG (v T －πH )3答案 B命题热点2 卫星运行参量分析(2018·广东省深圳市一调)人造卫星a 的圆形轨道离地面高度为h ，地球同步卫星b 离地面高度为H ，h <H ，两卫星共面且旋转方向相同，某时刻卫星a 恰好出现在赤道上某建筑物c 的正上方，设地球赤道半径为R ，地面重力加速度为g ，则( ) A ．a 、b 线速度大小之比为R ＋hR ＋H B ．a 、c 角速度之比为R 3()R ＋h 3C ．b 、c 向心加速度大小之比为R ＋HRD ．a 下一次通过c 正上方所需时间t ＝2π()R ＋h 3gR 2答案 C5．(多选)(2018·福建省龙岩市一模)卫星绕某行星做匀速圆周运动的运行速率的平方(v 2)与卫星运行的轨道半径的倒数(1r )的关系如图2所示，图中a 为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( )图2A ．行星的半径为kaB ．行星的质量为kGC ．卫星的最小运行周期为2πkaD ．卫星的最大向心加速度为a 2k答案 AD解析 根据G Mm r 2＝m v 2r ，得v 2＝GM r ，故直线的斜率k ＝GM ，则行星的质量为M ＝kG ，当轨道半径恰好等于行星半径时，卫星贴近行星表面飞行，线速度最大，周期最小，向心加速度最大，则有a ＝k R ，解得R ＝k a ，此时卫星的最小运行周期为T ＝2πRv ＝2π×ka a ＝2πk a a ，最大的向心加速度为a n ＝v 2R ＝a k a ＝a 2k，故A 、D 正确，B 、C 错误．命题热点3 卫星追及与行星冲日问题(2018·广西防城港市3月模拟)经长期观测发现，A 行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0，但其实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离，如图3所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知行星B ，则行星B 的运行轨道半径为( )图3A ．R 03t 02(t 0－T 0)2B ．R 0t 0t 0－T 0C ．R 0t 03(t 0－T 0)3D ．R 0t 0t 0－T 0答案 A解析 行星实际运动的轨道发生最大偏离，一定是B 对A 的引力引起的，则B 行星在此时刻对A 有最大的力，故A 、B 行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧，设行星B 的运行周期为T ，轨道半径为R ，根据题意有： 2πT 0t 0－2πTt 0＝2π，所以T ＝t 0T 0t 0－T 0，由开普勒第三律可得R 03T 02＝R 3T 2，联立解得：R ＝R 03t 02(t 0－T 0)2，故A 正确，B 、C 、D 错误．6．(2018·福建省泉州市考前适应性模拟)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2018年5月9日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( ) A ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2020年 B ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2019年 C ．木星运行的加速度比地球的大 D ．木星运行的周期比地球的小 答案 B解析 地球公转周期T 1＝1年，由开普勒第三定律知木星公转周期T 2＝125T 1≈11.18年．设经时间t ，再次出现“木星冲日”，则有ω1t －ω2t ＝2π，其中ω1＝2πT 1，ω2＝2πT 2，解得t ≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2019年，故A 错误，B 正确；设太阳质量为M ，行星质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，加速度为a .对行星由牛顿第二定律可得G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝GMr2，T ＝2πr 3GM，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此木星运行的加速度比地球小，木星运行周期比地球大，故C 、D 错误．考点4 卫星的发射、变轨问题1．变轨时速度变化特点：如图4所示，不同轨道经过同一点P (轨道Ⅱ为圆，轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆)，在轨道Ⅱ上有G Mmr 2＝m v 22r.减速则引力大于所需向心力，做近心运动，进入Ⅰ轨道，加速则引力小于所需向心力，做离心运动，进入Ⅲ轨道．所以三个轨道经过P 点的速度v Ⅰ、v Ⅱ、v Ⅲ的关系为v Ⅲ>v Ⅱ>v Ⅰ. 2．变轨时能量变化特点：变轨时需要中心天体引力之外的力参与，所以机械能不守恒，轨道升高时(需加速)机械能增加，轨道降低时(需减速)机械能减小．(2018·湖北省黄冈市质检)卫星发射进入预定轨道往往需要进行多次轨道调整．如图5所示，某次发射任务中先将卫星送至近地轨道，然后再控制卫星进入椭圆轨道．图中O 点为地心，A 点是近地轨道和椭圆轨道的交点，远地点B 离地面高度为6R (R 为地球半径)．设卫星在近地轨道运动的周期为T ，下列对卫星在椭圆轨道上运动的分析，其中正确的是( )图5A ．控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速B ．卫星通过A 点时的速度是通过B 点时速度的6倍C ．卫星通过A 点时的加速度是通过B 点时加速度的6倍D ．卫星从A 点经4T 的时间刚好能到达B 点 答案 D7.(多选)(2018·安徽省蚌埠市一质检)如图6所示，从地面上A 点发射一枚远程弹道导弹，沿ACB 椭圆轨道飞行击中地面目标B ，C 为轨道的远地点，距地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，不计空气阻力，则下列结论正确的是( )A ．导弹在C 点的速度大于GMR ＋hB ．导弹在C 点的加速度等于GM(R ＋h )2C ．导弹从A 点运动到B 点的时间为2π(R ＋h )R ＋hGMD ．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点 答案 BD解析 对在C 点处的圆轨道上运行的物体，根据万有引力提供向心力得：GMm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h ，则v ＝GMR ＋h，导弹在C 点只有加速才能进入圆轨道， 所以导弹在C 点的速度小于GMR ＋h，故A 错误； 导弹在C 点受到的万有引力F ＝G Mm(R ＋h )2，所以a ＝F m ＝GM(R ＋h )2，故B 正确；根据开普勒第三定律，r 3T 2＝k ，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在椭圆轨道上运行的周期小于在圆轨道上运行的周期T ＝2π(R ＋h )3GM，所以导弹从A 点运动到B 点的时间一定小于圆轨道上的周期，故C 错误；导弹做的是椭圆运动，地球球心位于椭圆的焦点上，故D 正确．考点5 双星、多星问题1．双星问题双星各自做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力提供，即G m 1m 2(r 1＋r 2)2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2， 另：G m 1＋m 2(r 1＋r 2)2＝ω2(r 1＋r 2) 双星总质量：m 1＋m 2＝ω2(r 1＋r 2)3G .2．多星问题分析向心力来源是关键：一般是多个星球对它的万有引力的合力提供向心力．(多选)(2018·安徽省滁州市联合质检)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图7所示．若AO >OB ，则( )图7A ．星球A 的质量一定小于星球B 的质量 B ．星球A 的线速度一定小于星球B 的线速度C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D ．双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大 答案 AD解析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据万有引力提供向心力得：G m A m BL 2＝m A r A ω2＝m B r B ω2，因为AO ＞OB ，所以m A ＜m B ，即A 的质量一定小于B 的质量，故A 正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据v ＝ωr 可知，星球A 的线速度一定大于星球B 的线速度，故B 错误；根据万有引力提供向心力得：G m A m B L 2＝m A 4π2T 2r A ＝m B 4π2T2r B ，解得T ＝2πLLG (m A ＋m B )，由此可知双星间距离一定，双星的总质量越大，转动周期越小，故C 错误；根据T ＝2πLLG (m A ＋m B )，可知，若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故D 正确．8．(多选)(2018·广东省高考第一次模拟)天文观测中心观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动，如图8所示．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )图8A ．三颗星的质量可能不相等B ．某颗星的质量为4π2l 33GT 2C ．它们的线速度大小均为23πlTD ．它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 4答案 BD解析 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r ＝l 2cos 30°＝33l .根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m ，则2G m 2l 2cos 30°＝m ·4π2T 2·33l ，解得m ＝4π2l 33GT 2，它们两两之间的万有引力F ＝G m 2l 2＝G⎝⎛⎭⎫4π2l 33GT 22l 2＝16π4l 49GT 4，A 错误，B 、D 正确；线速度大小为v ＝2πr T ＝2πT ·33l ＝23πl3T，C 错误．1．(2018·广东省潮州市下学期综合测试)北京中心位于北纬39°54′，东经116°25′.有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时间在北京中心正上方对北京拍照进行环境监测．则( )A ．该卫星是地球同步卫星B ．该卫星轨道平面与北纬39°54′所确定的平面共面C ．该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍D ．地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍 答案 D解析 由于卫星每天上午同一时刻在该区域的正上方拍照，所以地球自转一周，则该卫星绕地球做圆周运动N 周，故A 错误；即地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍，故D 正确，C 错误；若卫星平面与北纬39°54′所确定的平面共面，则地心不在轨道平面内，万有引力指向地心，故不能满足万有引力提供做圆周运动向心力的要求，故B 错误． 2．(2018·湖北省黄冈市检测)“嫦娥四号”被专家称为“四号星”，是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知万有引力常量为G ，月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r ，绕月周期为T .根据以上信息判断下列说法正确的是( )A ．“嫦娥四号”绕月运行的速度为gr 2RB ．月球的第一宇宙速度为gRC ．“嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球D ．月球的平均密度为ρ＝3πGT 2答案 B解析 根据万有引力提供向心力，得G Mmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr，又因为在月球表面物体受到的重力等于万有引力，有G Mm ′R 2＝m ′g ，得GM ＝gR 2，所以“嫦娥四号”绕月运行的速度为v ＝gR 2r，故A 错误；月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，所以由重力提供向心力，得mg ＝m v 2R ，得v ＝gR ，故B 正确；“嫦娥四号”要脱离月球的束缚才能返回地球，而“嫦娥四号”要脱离月球束缚必须加速做离心运动才行，故C 错误；根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得月球的质量M ＝4π2r 3GT 2，所以月球的密度ρ＝M V ＝4π2r 3GT 243πR 3＝3πr 3GT 2R 3，故D 错误．3.(多选)(2018·广东省惠州市第二次调研)如图1所示是我国宇航员王亚平首次在距地球300多千米的“天宫一号”上所做的“水球”．若已知地球的半径为6 400 km ，地球表面的重力加速度为g ＝9.8 m/s 2，下列关于“水球”和“天宫一号”的说法正确的是( )图1A ．“水球”的形成是因为太空中没有重力B ．“水球”受重力作用，其重力加速度大于9.8 m/s 2C ．“天宫一号”运行速度小于7.9 km/sD ．“天宫一号”的运行周期约为1.5 h 答案 CD解析 水球受重力作用，但其处于完全失重状态，其重力加速度由高度决定，越高重力加速度越小，但因其距离地面的高度较低，则其加速度接近9.8 m/s 2，则A 、B 错误；由万有引力提供向心力得：v ＝GMr，因离地面一定高度，则其速度小于第一宇宙速度7.9 km/s ，则C 正确；由万有引力提供向心力，得 T ＝2πr 3GM＝2πr 3gR 2＝2×3.14[(6 400＋300)×103]39.8×(6 400×103)2s ≈1.5 h ，则D 正确．4．(2018·广西桂林市、贺州市期末联考)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图2所示，则有( )图2A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．b 在相同时间内转过的弧长最短C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π3D ．d 的运动周期有可能是20 h 答案 C解析 地球同步卫星c 的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2r 知，c 的向心加速度大．由G Mm r 2＝ma ，得a ＝GMr 2，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，故知a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由GMmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr，可知，卫星的轨道半径越大，速度越小，所以b 的速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B 错误；c 是地球同步卫星，周期是24 h ，则c 在4 h 内转过的圆心角是4 h 24 h ×2π＝π3，故C 正确；由开普勒第三定律r 3T2＝k 知，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d 的运动周期大于c的周期24 h ，故D 错误．5．(多选)(2018·广东省汕头市第二次模拟)“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2，已知地球半径为R 1，月球半径为R 2，则( )A ．地球表面与月球表面的重力加速度之比为G 1R 22G 2R 12B ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2C ．地球与月球的质量之比为G 1R 22G 2R 12D ．地球与月球的平均密度之比为G 1R 2G 2R 1答案 BD解析 地球表面的重力加速度为g 1＝G 1m ，月球表面的重力加速度g 2＝G 2m ，地球表面与月球表面的重力加速度之比为g 1g 2＝G 1G 2，故A 错误；根据第一宇宙速度公式v ＝gR ，得v 1v 2＝g 1R 1g 2R 2＝G 1R 1G 2R 2，故B 正确；根据mg ＝GMm R 2，得M ＝gR 2G ，地球质量M 1＝g 1R 12G ，月球的质量M 2＝g 2R 22G ，所以地球与月球质量之比为M 1M 2＝g 1R 12g 2R 22＝G 1R 12G 2R 22，故C 错误；平均密度ρ＝M V ＝3g 4πRG ，得ρ1ρ2＝g 1R 2g 2R 1＝G 1R 2G 2R 1，故D 正确． 6.(多选)(2018·吉林省吉林市第二次调研)轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星，它运行时能到达南北极区的上空，需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道．如图3所示，若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，则( )图3A ．该卫星运行速度一定小于7.9 km/sB ．该卫星轨道半径与同步卫星轨道半径之比为1∶4C ．该卫星加速度与同步卫星加速度之比为2∶1D ．该卫星的机械能一定小于同步卫星的机械能 答案 AB解析 该卫星运行的轨道半径大于地球半径，故其运行速度小于第一宇宙速度，则选项A 正确；由题意可知，此卫星的周期为T 1＝4×45 min ＝180 min ＝3 h ；同步卫星的周期为T 2＝24 h ，根据r 3T 2＝k 可知，r 1r 2＝3⎝⎛⎭⎫T 1T 22＝3⎝⎛⎭⎫3242＝14，选项B 正确；根据a ＝4π2r T 2∝r T 2可得该卫星加速度与同步卫星加速度之比为16∶1，选项C 错误；卫星的质量不确定，则无法比较两卫星的机械能的大小，选项D 错误．7．(2018·陕西省宝鸡市一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M 的砝码所受重力为F ，在赤道测得该砝码所受重力为F ′.他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T .假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为( ) A ．T F ′F B ．T F F ′ C ．TF －F ′FD ．TFF －F ′答案 D解析 设星球及探测器质量分别为m 、m ′ 在两极点，有GMmR2＝F ，在赤道，有G Mm R 2－F ′＝MR 4π2T 自2，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T ， 则有G mm ′R 2＝m ′R 4π2T 2；联立解得T 自＝TFF －F ′，故D 正确，A 、B 、C 错误．8．(2018·河北省邯郸市第一次模拟)2017年12月23日12时14分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，成功将陆地勘查卫星二号发射升空，该卫星进入预定轨道后，每天绕地球转动16圈．地球半径为R ，地球同步卫星距离地面的高度为h .则该卫星在预定轨道上绕地球做圆周运动过程中离地面的高度为( )。

专题04 天体运动构建知识网络：考情分析：关于万有引力定律及应用知识的考查，主要表现在两个方面：（1）天体质量和密度的计算：主要考查对万有引力定律、星球表面重力加速度的理解和计算（2）人造卫星的运行和边柜：主要是结合圆周运动的规律、万有引力定律，考查卫星在轨道上运行的线速度、角速度、周期以及有关能量的变化重点知识梳理：一、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比.2.表达式：F ＝Gm 1m 2r2 G 为引力常量：G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.3.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点. (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离. 二、环绕速度 1.三个宇宙速度 (1)第一宇宙速度v 1＝7.9km/s ，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，又称环绕速度. (2)第二宇宙速度v 2＝11.2km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，又称脱离速度. (3)第三宇宙速度v 3＝16.7km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度，也叫逃逸速度. 2.第一宇宙速度的推导 方法一：由G Mm R 2＝m v 21R 得v 1＝GM R＝7.9×103m/s. 方法二：由mg ＝m v 21R 得v 1＝gR ＝7.9×103m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg＝5075s≈85min.【名师提醒】掌握“一模”“两路”“三角”，破解天体运动问题(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。

专题4 万有引力与航天考题一 天体质量(密度)的估算求解中心天体质量密度的方法1.利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 求解由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G.2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解(1)已知卫星的轨道半径r 和该轨道上的重力加速度g ，根据GMm r 2＝mg ，得M ＝gr 2G ；(2)已知卫星线速度v 和轨道半径r ，根据GMm r 2＝mv 2r 得M ＝rv 2G；(3)已知卫星运转周期T 和轨道半径r ，由GMm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3GT 2；(4)已知卫星线速度v 和运转周期T ，根据GMm r 2＝mv 2πT 和r ＝vT 2π得M ＝v 3T 2πG.3.天体密度的估算一般在质量估算的基础上，利用M ＝ρ·43πR 3进行.例1 宇宙中有两颗相距无限远的恒星S 1、S 2，半径均为R 0.图1分别是两颗恒星周围行星的公转周期T 2与半径r 3的图象，则( )图1A.恒星S 1的质量大于恒星S 2的质量B.恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度C.恒星S 1的第一宇宙速度大于恒星S 2的第一宇宙速度D.距两恒星表面高度相同的行星，S 1的行星向心加速度较大解析 两颗恒星周围的行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，变形得T 2r 3＝4π2GM.故图象的斜率越大，质量越小.故恒星S 1的质量小于恒星S 2的质量.故A 错.因为两颗恒星的半径相等，所以体积相等，故恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度，故B 对.由GMmR 2＝m v 2R 变形后得第一宇宙速度v ＝GMR，即质量越大，第一宇宙速度越大.故恒星S 1的第一宇宙速度小于恒星S 2的第一宇宙速度，故C 错.行星向心加速度a ＝GM r2，行星距两恒星表面高度相同，故质量越大，加速度越大，故D 错. 答案 B 变式训练1.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域.进一步探测发现在地面P 点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图2所示.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g ；由于空腔的存在，现测得P 点处的重力加速度大小为kg (k ＜1).已知引力常量为G ，球形空腔的球心深度为d ，则此球形空腔的体积是( )图2A.kgdG ρB.kgd G ρC.(1－k )gd G ρD.(1－k )gd 2G ρ答案 D解析 如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m 的物体重力为mg ，没有填满时是kmg ，故空腔填满后引起的引力为(1－k )mg ；由万有引力定律，有：(1－k )mg ＝G ρVmd 2，解得：V ＝(1－k )gd2G ρ，D对.2.某行星外围有一圈厚度为d 的发光带(发光的物质)，简化为如图3甲所示模型，R 为该行星除发光带以外的半径.现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测，发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r 的关系如图乙所示(图中所标量为已知)，则下列说法正确的是( )图3A.发光带是该行星的组成部分B.该行星的质量M ＝v 20RGC.行星表面的重力加速度g ＝v20RD.该行星的平均密度为ρ＝3v 20R4πG (R ＋d )3答案 BC解析 若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v ＝ωr ，v 与r 应成正比，与图不符，因此该发光带不是该行星的组成部分，故A 错误，发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：G Mm r 2＝mv 2r 得该行星的质量为：M ＝v 2rG；由题图知，r ＝R 时，v ＝v 0，则有：M ＝v 20R G .故B 正确.当r ＝R 时有mg ＝m v20R ，得行星表面的重力加速度g ＝v 20R ，故C 正确.该行星的平均密度为ρ＝M 43πR3＝3v204πGR2，故D 错误，故选B 、C.3.“嫦娥二号”绕月卫星于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空，并获得了圆满成功.“嫦娥二号”新开辟了地月之间的“直航航线”，即直接发射至地月转移轨道，再进入距月面约h ＝1×105m 的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动.设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 月，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A.由题目条件可知月球的平均密度为3g 月4πGRB.“嫦娥二号”在工作轨道上绕月球运行的周期为2π R G 月C.“嫦娥二号”在工作轨道上的绕行速度为g 月(R ＋h )D.“嫦娥二号”在工作轨道上运行时的向心加速度为(RR ＋h)2g 月答案 AD解析 在月球表面重力与万有引力相等，由G mM R 2＝mg 月可得月球质量M ＝g 月R 2G，据密度公式可得月球密度ρ＝MV ＝g 月R 2G43πR3＝3g 月4πGR ，故A 正确；根据万有引力提供圆周运动向心力有G Mm (R ＋h )2＝m (R ＋h )4π2T 2，可得周期T ＝4π2(R ＋h )3GM＝4π2(R ＋h )3g 月R 2，故B 错误；根据万有引力提供圆周运动向心力G mM (R ＋h )2＝m v 2R ＋h 可得“嫦娥二号”绕行速度为v ＝ GMR ＋h＝ g 月R 2R ＋h ，故C 错误；根据万有引力提供圆周运动向心力G mM(R ＋h )2＝ma 可得“嫦娥二号”在工作轨道上的向心加速度a ＝GM (R ＋h )2＝(R R ＋h)2g 月，故D 正确. 考题二 人造卫星问题解答卫星问题的三个关键点1.根据G Mmr2＝F向＝m v 2r ＝mr ω2＝mr 4π2T 2＝ma ，推导、记忆v ＝ GMr 、ω＝ GMr 3、T ＝ 4π2r3GM、a ＝GM r2等公式.2.理解掌握第一宇宙速度的意义、求法及数值、单位.3.灵活应用同步卫星的特点，注意同步卫星与地球赤道上物体的运动规律的区别与联系.例2 为“照亮”嫦娥四号“驾临”月球背面之路，一颗承载地月中转通信任务的中继卫星将在嫦娥四号发射前半年进入到地月拉格朗日L2点.如图4所示，在该点，地球、月球和中继卫星位于同一直线上，且中继卫星绕地球做圆周运动的轨道周期与月球绕地球做圆周运动的轨道周期相同，则( )图4A.中继卫星做圆周运动的向心力由地球和月球的引力共同提供B.中继卫星的线速度大小小于月球的线速度大小C.中继卫星的加速度大小大于月球的加速度大小D.在地面发射中继卫星的速度应大于第二宇宙速度解析卫星的向心力由月球和地球引力的合力提供，则A正确.卫星与月球绕地球同步运动，角速度相等，根据v＝rω，知卫星的线速度大于月球的线速度.故B错误；根据a＝rω2知，卫星的向心加速度大于月球的向心加速度.故C正确；在地面发射中继卫星的速度应小于第二宇宙速度，则D错误.答案AC变式训练4.(2016·全国丙卷·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案 B解析开普勒在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律.5.水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”.已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是( ) A.地球的公转周期大约是水星的2倍 B.地球的公转周期大约是金星的1.6倍 C.金星的轨道半径大约是水星的3倍D.实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据 答案 BD解析 水星相邻两次凌日的时间间隔为t ＝116天，设水星的周期为T 1，则有：2πT 1t －2πT 2t＝2π，代入数据解得T 1≈88天，可知地球公转周期大约是水星的4倍，故A 错误；金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，设金星的周期为T 3，则有：2πT 3t －2πT 2t ＝2π，代入数据解得T 3≈225天，可知地球的公转周期大约是金星的1.6倍，故B 正确；根据G Mm r2＝mr (2πT)2，得r ＝ 3GMT 24π2，因为水星的公转周期大约是金星的0.4倍，则水星的轨道半径大约是金星的0.5倍，故C 错误；由所给资料，若运行轨道平面不存在夹角，那么行星凌日间隔时间会与理论时间一致，而实际与理论不同，故运行轨道平面必然存在夹角，故D 正确.考题三 双星与多星问题1.双星问题的模型构建对于做匀速圆周运动的双星问题，双星的角速度(周期)以及向心力大小相等，基本方程式为GM 1M 2L2＝M 1r 1ω2＝M 2r 2ω2，式中L 表示双星间的距离，r 1，r 2分别表示两颗星的轨道半径，L ＝r 1＋r 2.2.做匀速圆周运动的双星问题中需要注意的几个关键点(1)双星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，两星轨道半径之和与两星距离相等； (2)双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相等；(3)双星做匀速圆周运动的向心力由双星间相互作用的万有引力提供，大小相等； (4)列式时须注意，万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，而不是轨道半径(双星系统中两颗星的轨道半径一般不同).抓住以上四个“相等”，即向心力、角速度、周期相等，轨道半径之和与两星距离相等，即可顺利求解此类问题.例3 天体A和B组成双星系统，围绕两球心连线上的某点做匀速圆周运动的周期均为T.天体A、B的半径之比为2∶1，两天体球心之间的距离为R，且R远大于两天体的半径.忽略天体的自转，天体A、B表面重力加速度之比为4∶1，引力常量为G，求A天体的质量.[思维规范流程]每式各2分变式训练6.美国在2016年2月11日宣布“探测到引力波的存在”.天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞合并事件.假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小.若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是( )A.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等B.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等C.36倍太阳质量的黑洞轨道半径比29倍太阳质量的黑洞轨道半径大D.随两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期也在减小答案 D解析这两个黑洞共轴转动，角速度相等，根据v＝ωr可知，由于不知道两个黑洞的转动半径关系，所以线速度大小不一定相等，故A错误；根据a＝ω2r可知，由于不知道两个黑洞的转动半径关系，所以向心加速度大小不一定相等，故B错误；两个黑洞都是做圆周运动，则Gm1m2r2＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可以得到半径与质量成反比关系，质量大的半径小，故选项C错误；根据G m 1m 2r 2＝m 14π2r 1T 2可得，m 2＝4π2r 2GT 2r 1，根据G m 1m 2r 2＝m 24π2r 2T 2可得，m 1＝4π2r2T2r 2，所以m 1＋m 2＝4π2r 2GT 2(r 1＋r 2)＝4π2r3GT2，当m 1＋m 2不变时，r 减小，则T 减小，即双星系统运行周期会随间距减小而减小，故D 正确.7.由三颗星体构成的系统，叫做三星系统.有这样一种简单的三星系统：质量刚好都相同的三个星体a 、b 、c 在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动，若三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A.三个星体做圆周运动的轨道半径为a B.三个星体做圆周运动的周期均为2πa a3GmC.三个星体做圆周运动的线速度大小均为3GmaD.三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gma2 答案 B解析 由几何关系知；它们的轨道半径为r ＝a232＝33a ，故A 错误；根据合力提供向心力有：2·Gm 2a 2cos 30˚＝ma ′＝m v 2r ＝mr 4π2T 2得星体做圆周运动的周期为：T ＝2πaa3Gm，线速度为：v ＝Gm a ，向心加速度为：a ′＝3Gma2，故B 正确，C 、D 错误. 专题规范练1.有研究表明，目前月球远离地球的速度是每年3.82±0.07cm.则10亿年后月球与现在相比( )A.绕地球做圆周运动的周期变小B.绕地球做圆周运动的加速度变大C.绕地球做圆周运动的线速度变小D.地月之间的引力势能变小 答案 C解析 对月球进行分析，根据万有引力提供向心力，则：GMm r 2＝m (2πT)2r ，则：T ＝4π2r3GM，由于半径变大，故周期变大，故选项A 错误.根据GMm r 2＝ma ，则：a ＝GM r 2，由于半径变大，故加速度变小，故选项B 错误；根据GMm r 2＝m v 2r，则v ＝GMr，由于半径变大，故线速度变小，故选项C 正确；由于月球远离地球，万有引力做负功，故引力势能变大，故选项D 错误. 2.2014年3月8日，马来西亚航空公司从吉隆坡飞往北京的航班MH370失联，MH370失联后多个国家积极投入搜救行动，在搜救过程中卫星发挥了巨大的作用.其中我国的北斗导航系统和美国的GPS 导航系统均参与搜救工作，北斗导航系统包含5颗地球同步卫星，而GPS 导航系统由运行周期为12小时的圆轨道卫星群组成，下列说法正确的是( ) A.发射人造地球卫星时，发射速度只要大于7.9 km/s 就可以 B.北斗同步卫星的线速度与GPS 卫星的线速度之比为312C.北斗同步卫星的机械能一定大于GPS 卫星的机械能D.卫星向地面上同一物体拍照时，GPS 卫星的拍摄视角小于北斗同步卫星的拍摄视角 答案 B解析 发射不同的人造地球卫星，发射速度要求是不相同的，故A 错；北斗同步卫星的周期是24 h ，GPS 导航系统卫星的周期为12小时，根据开普勒第三定律可得半径比为34，万有引力提供向心力，由v ＝GMr ，得线速度之比为312，B 对；不知道北斗同步卫星和GPS 卫星的质量，无法比较机械能，C 错；GPS 卫星半径小于北斗同步卫星运动半径，得GPS 卫星的拍摄视角大于北斗同步卫星的拍摄视角，D 错.3.(多选)(2016·江西八校联盟模拟)我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星 500”的模拟实验活动.假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的12，质量是地球质量的19.已知地球表面的重力加速度是g ，地球的半径为R ，王跃在地球表面能竖直向上跳起的最大高度为h ，忽略自转的影响.下列说法正确的是( ) A.火星的密度为2g3πGRB.火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等C.火星表面的重力加速度为4g 9D.王跃在火星表面能竖直向上跳起的最大高度为9h4答案 ACD4.(2016·四川理综·3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )A.a2＞a1＞a3B.a3＞a2＞a1C.a3＞a1＞a2D.a1＞a2＞a3答案 D解析由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G Mmr2＝ma，由题目中数据可以得出，r1<r2，则a2<a1；综合以上分析有，a1>a2>a3，选项D正确.5.(2016·天津理综·3)如图1所示，我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图1A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案 C解析若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，所需向心力变小，则空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D错误.6.(多选)已知地球自转周期为T 0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是( )A.T 04B.3T 04C.3T 07D.T 07答案 CD解析 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，运动周期为T ，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有：GMm r 2＝4π2mr T 2解得：T ＝2π r 3GM. 同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为T 0.已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是：T T 0＝ r 3(4r )3＝18，解得T ＝18T 0.设卫星至少每隔t 时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt 得：2πT t ＝2n π＋2πT 0t ；解得t ＝nT 07，当n ＝1时t ＝T 07，n ＝3时t ＝3T 07，故A 、B 错误，C 、D 正确. 7.据新华社北京3月21日电，记者21日从中国载人航天工程办公室了解到，已在轨工作1 630天的天宫一号目标飞行器在完成与三艘神舟飞船交会对接和各项试验任务后，由于超期服役两年半时间，其功能已于近日失效，正式终止了数据服务.根据预测，天宫一号的飞行轨道将在今后数月内逐步降低，并最终进入大气层烧毁.若天宫一号服役期间的轨道可视为圆且距地面h (h ≈343 km)，运行周期为T ，地球的半径为R ，下列关于天宫一号的说法正确的是( )A.因为天宫一号的轨道距地面很近，其线速度小于同步卫星的线速度B.女航天员王亚平曾在天宫一号中漂浮着进行太空授课，那时她不受地球的引力作用C.天宫一号进入外层稀薄大气一小段时间内，克服气体阻力的功小于引力势能的减小量D.由题中信息可知地球的质量为4π2R 3GT2 答案 C解析 根据万有引力提供向心力可知：G Mm r 2＝m v 2r ，解得：v ＝ GM r，由于天宫一号的轨道半径小于同步卫星的半径，则其线速度大于同步卫星的线速度，故A 错误；航天员在天宫一号中处于失重状态，地球对她的万有引力提供她随天宫一号围绕地球做圆周运动的向心力，不是不受地球的引力作用，故B 错误；根据动能定理可知引力与空气阻力对天宫一号做的总功应为正值，而引力做的功等于引力势能的减少，即天宫一号克服气体阻力做的功小于引力势能的变化，故C 正确；根据万有引力提供向心力可知，G Mm (R ＋h )2＝m 4π2(R ＋h )T 2，解得：M ＝4π2(R ＋h )3GT 2，故D 错误.8.宇宙间是否存在暗物质是物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命.为了探测暗物质，我国在2015年12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星.已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运动周期)，运动的弧长为L ，与地球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则下列说法中正确的是( )A.“悟空”的质量为L 3G θt 2B.“悟空”的环绕周期为2πt θC.“悟空”的线速度大于第一宇宙速度D.“悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度答案 B解析 “悟空”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，只能求出地球质量，不能求出“悟空”的质量，故A 错误；“悟空”经过时间t (t 小于“悟空”的周期)，它运动的弧长为L ，它与地球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，则“悟空”的角速度为：ω＝θt，周期T ＝2πω＝2πt θ，故B 正确；“悟空”在低于地球同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：GMm r 2＝m v 2r ，得v ＝GM r，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“悟空”在轨道上运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；由GMm r 2＝ma 得：加速度a ＝G Mr2，则知“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故D 错误.9.(2016·泰安二模)一半径为R 、密度均匀的自行旋转的行星，其赤道处的重力加速度为极地处重力加速度的n 倍(n ＜1).求该行星的同步卫星距离地面的高度.答案 ( 311－n－1)R 解析 设行星的质量为M ，自转的角速度为ω，其极地处的重力加速度为g .对质量为m 1的物体位于极地和赤道时，根据万有引力定律G Mm 1R 2＝m 1g ，G Mm 1R2－nm 1g ＝m 1R ω2设同步卫星的质量为m 2，距离地面的高度为h ，根据万有引力定律G Mm 2(R ＋h )2＝m 2(R ＋h )ω2整理得h ＝ ( 311－n－1)R 10.假设某天你在一个半径为R 的星球上，手拿一只小球从离星球表面高h 处无初速度释放，测得小球经时间t 落地.若忽略星球的自转影响，不计一切阻力，万有引力常量为G .求：(1)该星球的质量M ；(2)在该星球上发射卫星的第一宇宙速度大小v .答案 (1)2hR 2Gt 2 (2)2hRt解析 (1)根据h ＝12gt 2可知g ＝2ht 2由GMm R 2＝mg ，可得M ＝2hR2Gt 2(2)根据GMm R 2＝mg ＝m v 2R ，可得v ＝2hRt。

万有引力与宇宙航行重难点专项突破一、人造卫星的变轨问题 1.变轨问题概述 (1)稳定运行卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G Mm r 2＝m v 2r .(2)变轨运行卫星变轨时，先是线速度大小v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化. ①当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨.①当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨. 2.实例分析 (1)飞船对接问题①低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道空间站完成对接(如图甲).①若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示.(2)卫星的发射、变轨问题如图，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q 点点火加速做离心运动进入椭圆轨道2，在P 点点火加速，使其满足GMm r 2＝m v 2r，进入圆轨道3做圆周运动.重难点突破二、双星或多星问题1.双星模型(1)如图，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”.(2)特点①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同.①两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.①两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比.(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm1m2L2＝m1ω2r1，Gm1m2L2＝m2ω2r2. 2.多星系统在宇宙中存在类似于“双星”的系统，如“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同.(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的.考点一：人造卫星的变轨问题【例1】如图所示，北京时间2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功对接天和核心舱构成四舱组合体（还在原轨道上飞行）。

万有引力与天体运动【重点知识梳理】 一、开普勒行星运动定律1. 开普勒第一定律（轨道定律）:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2. 开普勒第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的面积。

（近日点速率最大，远日点速率最小）3. 开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等。

即2234GMK T a π==（M 为中心天体质量）K 是一个与行星无关的常量，仅与中心天体有关二、万有引力定律1. 定律内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。

2. 表达式：F=GmM/r 2G 为万有力恒量：G=6.67×10-11N·m 2/kg 。

说明：(1)公式适用于质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是2ωr m f =，式中的r 是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F ，它是引力F 的一个分力如右图，引力F 的另一个分力才是物体的重力mg ．在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r 不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力αωcos 2R m f = (R 为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rcos α＝0，f ＝0．作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大．在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差．即.2RMmGmg =．在两极，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，仅为10－5rad ／s 数量级，所以mg 与F 的差别并不很大．在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力.R MmG mg 2=这是一个很有用的结论．从图1中还可以看出重力mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg 才能向地心．同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g 的数值，还随着物体离地面高度的增加而减小．若不考虑地球自转，地球表面处有.2RMmGmg =，可以得出地球表面处的重力加速度.2R MGg =． 在距地表高度为h 的高空处，万有引力引起的重力加速度为g ＇，由牛顿第二定律可得：2)(h R MmG g m +=' 即g h R R h R M G g 222)()(+=+=' 如果在h ＝Ｒ处，则g ＇＝g/4．在月球轨道处，由于r ＝60Ｒ，所以重力加速度g ＇＝ g/3600． 重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用． 二、万有定律的应用1. 讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即2)(h R Mm Gmg +=。