对数函数中的复合函数问题 教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。
教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。
教学过程：先复习对数函数以及性质。 下面我们来做几道例题。
我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？
把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。下面就先来看这么一道题 例1的单调递增区间是（ ）。
A. B. C. D.
分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。对于该二次函数进行配方4
9)21(222-+=-+x x x ，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x 小于－1/2时为单调递减，x 大于－1/2时为单调递增。 那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说
即x<-2
或x>1综上所述，我们应该选择A 。
一般化：对于类似与上面这题的复合函数
的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。
抛物线与x 轴有两个交点 抛物线与x 轴只有一个交点 抛物线与x 轴没有交点
利用几何画板作图探究并验证：（略）
例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。
按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，
可以看出
可见值域并非为R，说明上述解答有误。
要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。故实数a的取值范围为。
我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：
例3若，且，求的最值。
分析：先整理，可得：
而。
这道题要注意对数的计算，通过配方求出最值。
例4若有两个小于1的正根，且，求实数的取值范围。
分析：先化简函数方程。，
由于形式有点复杂，可作代换，
（）。
由于变量的代换，则其定义域也会随之改变，有：
x<1,则t<0。利用韦达定理列出一系列的不等式，
在此题中，注意换元后其变量的定义域的变化。
课堂小结：
复合函数中有关定义域、值域的问题。注意两点：一是复合函数单调性问题；另一个是整个函数的定义域的求解。
含有对数函数的复杂函数，通过换元可转化为二次函数进行解题。也注意两点：一是对数运算的熟练运用；另一个是二次函数中根的存在性分析。
在解决对数函数问题时，注意隐含的限制条件，对其定义域、值域要细致分析。
教学后记：几何画板的教学辅助应用，能有效化解难点，提高课堂效能。
