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第2课时 对数函数y ＝log a x 的图象和性质的综合问题 学习目标 1.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域.2.会解简单的对数不等式.3.了解对数函数的综合应用．一、解对数不等式例1 解下列关于x 的不等式：()1177(1)log >log 4x x ；- (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. (学生)反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论．(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x的单调性求解．(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．跟踪训练1 (1)已知log a 12>1，求a 的取值范围； (2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．解 (1)由log a 12>1得log a 12>log a a . ①当a >1时，有a <12，此时无解． ②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)因为函数y ＝log 0.7x 在定义域(0，＋∞)上为减函数，由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)．二、对数型复合函数的值域 例2 求函数211221=log log 52y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在区间[2,4]上的最大值和最小值． 解 由12log y x =在区间[2,4]上单调递减知， 111222log 4log log 2x ≤≤，122log 1.x ≤≤--即12=log t x ，若设则－2≤t ≤－1，且y ＝t 2－12t ＋5.而y ＝t 2－12t ＋5的图象的对称轴为t ＝14， 且在区间⎝⎛⎦⎤－∞，14上单调递减， 而[－2，－1]⊆⎝⎛⎦⎤－∞，14. 所以当t ＝－2，即x ＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；当t ＝－1，即x ＝2时，此函数取得最小值，最小值为132. 反思感悟 对数型复合函数的值域的求解技巧(1)形如y ＝log a f (x )的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)形如y ＝f (log a x )的值域，常用换元法，结合其它函数的性质求解．跟踪训练2 求函数y ＝log 2(3＋2x －x 2)的定义域和值域．解 由3＋2x －x 2>0，得x 2－2x －3<0，∴－1<x <3，∴其定义域为(－1,3)，令u ＝3＋2x －x 2＝4－(x －1)2≤4，又y ＝log 2u 是增函数．∴y ≤log 24＝2，∴其值域为(－∞，2]．三、对数型复合函数的单调性例3 讨论函数f (x )＝log a (3x 2－2x －1)的单调性．解 由3x 2－2x －1>0得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－13. ①当a >1时，若x >1，则u ＝3x 2－2x －1为增函数，∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为增函数；若x <－13，则u ＝3x 2－2x －1为减函数， ∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数，②当0<a <1时，若x >1，则f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数；若x <－13，则f (x )＝log a (3x 2－2x－1)为增函数．反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤(1)求出函数的定义域．(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性．(3)依据“同増异减”原则，求函数y ＝log a f (x )的单调区间．①当a >1时，y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性一致．②当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反．跟踪训练3 已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，求a 的取值范围．解 令u ＝2－ax ，则y ＝log a u .因为a >0，所以u ＝2－ax 递减，由题意知y ＝log a u 在[2－a ,2]内递增，所以a >1.又u ＝2－ax 在x ∈[0,1]上恒大于0，所以2－a >0，即a <2.综上，1<a <2.对数函数性质的综合应用典例 已知函数f (x )＝log 2x ＋1x －1. (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0.解得x >1或x <－1.所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．所以函数的定义域关于原点对称．又f (－x )＝log 2－x ＋1－x －1＝log 2x －1x ＋1＝－log 2x ＋1x －1＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．(2)设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2＋1x 2－1－x 1＋1x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 2－1)(x 1－1)<0， 所以x 2＋1x 2－1<x 1＋1x 1－1， 所以log 2x 2＋1x 2－1<log 2x 1＋1x 1－1，即f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )在(1，＋∞)上单调递减．同理，f (x )在(－∞，－1)上也单调递减．故f (x )＝log 2x ＋1x －1的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)． [素养提升] 对数函数本身不具有奇偶性，但由对数函数复合而成的某些函数具有奇偶性．该类问题可借助逻辑推理，通过数学运算给予推导证明，从而培养逻辑推理、数学运算等核心素养．1．不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B ．{x |x >2}C ．{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32. 2．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)，x ∈(0，＋∞)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析 根据题意，对数的底数大于1，对数函数单调递增，当x ∈(0，＋∞)时，3x >0，可得3x ＋1>1，那么函数f (x )＝log 2(3x ＋1)>log 21＝0，即log 2(3x ＋1)>0，故可知函数的值域为(0，＋∞)．3．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减答案 D解析 已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增．又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减．4．函数()12=log 12y x -的单调递增区间为______．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 令u ＝1－2x ，函数u ＝1－2x 在区间⎝⎛⎭⎫－∞，12内单调递减，而12=log y u 是减函数， 故函数()12=log 12y x -在⎝⎛⎭⎫－∞，12内单调递增． 5．不等式()112log 4+2>0x x +的解集为____________．答案 (－∞，log 2(2－1))解析 由()112log 4+2>0x x +，得4x ＋2x ＋1<1，即(2x )2＋2·2x <1，配方得(2x ＋1)2<2，所以2x <2－1，两边取以2为底的对数，得x <log 2(2－1)．1．知识清单：(1)利用对数函数的单调性解不等式．(2)求简单对数型复合函数的单调性、值域及最值问题．2．方法归纳：换元法，分类讨论．3．常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域．1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )值域为( )A ．[0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) 答案 A解析 由于0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2，∴log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22，即0≤log 2(x ＋1)≤1，故函数f (x )的值域为[0,1]．2．若log a 45<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫45，1B.⎝⎛⎭⎫45，＋∞C.⎝⎛⎭⎫0，45∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，45∪⎝⎛⎭⎫45，＋∞ 答案 C解析 log a 45<1＝log a a ，当0<a <1时，a <45，即0<a <45；当a >1时，a >45，即a >1.综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫0，45∪(1，＋∞)．3．函数()()212=log 1+2f x x x -的值域是( )A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞) 答案 B解析 令u ＝1＋2x －x 2，可得0<u ≤2， 因为12=log y u 在(0,2]上是单调递减的， 所以12log u ∈[－1，＋∞)．故()()212=log 1+2f x x x -的值域为[－1，＋∞)．4．设f (x )＝lg(10x ＋1)＋ax 是偶函数，那么a 的值为( )A ．1B ．－1C.12 D ．－12答案 D解析 方法一 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，即lg(10－1＋1)－a ＝lg(10＋1)＋a ，∴a ＝－12.方法二 ∵f (x )为偶函数，∴对任意的实数x 都有f (－x )＝f (x )，即lg(10－x ＋1)－ax ＝lg(10x ＋1)＋ax ，整理得，lg(10－x ＋1)－lg(10x ＋1)＝2ax⇔lg10－x ＝2ax⇔102ax ＝10－x ，①如果①式对任意的实数x 恒成立，则2a ＝－1， 即a ＝－12.5．(多选)若函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则a ，b 的值可能是()A ．a ＝2，b ＝2B ．a ＝12，b ＝12C ．a ＝e ，b ＝－2D ．a ＝13，b ＝0 答案 BD 解析 令t ＝|x －b |，该函数在(－∞，b )上单调递减， 要使函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增， 则外层函数y ＝log a t 是定义域内的减函数，则0<a <1， 由t ＝|x －b |在(－∞，0)上恒大于0，则b ≥0， 故选BD.6．不等式()()1133log 5+<log 1x x -的解集为________ .答案 (－2,1)解析 因为函数13log y x =在定义域(0，＋∞)上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋x >1－x ，1－x >0，5＋x >0，解得－2<x <1.7．已知函数f (x )＝log 2a －x 1＋x为奇函数，则实数a 的值为________ . 答案 1解析 由奇函数得f (x )＝－f (－x )，log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x， a －x 1＋x ＝1－x a ＋x，a 2＝1， 因为a ≠－1，所以a ＝1.8．函数()212log +2y x =的最大值为____，单调递增区间是__________．答案 －1 (－∞，0)解析 函数y ＝x 2＋2在(－∞，0)上单调递减，∴函数()212log +2y x =在(－∞，0)上单调递增．∴当x ＝0时，函数y max ＝12log 2= 1.-9．已知1233log ,2x ≤≤--求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域． 解 1233log ,2x ≤≤--∵ ∴－3≤－log 2x ≤－32， 即32≤log 2x ≤3. ∵f (x )＝log 2x 2log 2x 4＝(log 2x －log 22)(log 2x －log 24)＝(log 2x －1)(log 2x －2)． 令t ＝log 2x ，则32≤t ≤3， ∴f (x )＝g (t )＝(t －1)(t －2)＝⎝⎛⎭⎫t －322－14. ∵32≤t ≤3， ∴f (x )max ＝g (3)＝2，f (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝－14. ∴函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域为⎣⎡⎦⎤－14，2. 10．已知f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(其中a >0且a ≠1)．(1)求f (x )＋g (x )的定义域；(2)判断f (x )＋g (x )的奇偶性并说明理由；(3)求使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合．解 (1)f (x )＋g (x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0， ∴－1<x <1，∴定义域为(－1,1)．(2)f (x )＋g (x )为偶函数，设F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝F (x )，又因为F (x )的定义域为(－1,1)关于原点对称，所以f (x )＋g (x )为偶函数．(3)由f (x )＋g (x )<0得log a (x ＋1)＋log a (1－x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，log a (1－x 2)<0，当a >1时，⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，0<1－x 2<1，得x ∈(－1,0)∪(0,1)； 当0<a <1时，⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1－x 2>1，解集为空集． 综上所述，当a >1时，使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合为(－1,0)∪(0,1)；当0<a <1时使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合为∅.11．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 答案 B解析 当a >1时，f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12，与a >1矛盾； 当0<a <1时，f (0)＋f (1)＝1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝12. 12．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案 B解析 画出函数f (x )＝log a |x |的图象(图略)，可知该函数是偶函数．因为函数在(0，＋∞)上单调递增，所以f (1)<f (2)＝f (－2)<f (3)．13．已知f (x )＝lg 1＋x 1－x，x ∈(－1,1)，若f (a )＝12，则f (－a )＝________ . 答案 －12解析 ∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，即f (－a )＝－f (a )＝－12. 14．若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________．答案 {x |1<x <2}解析 ∵f (2)>f (3)，∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，x <2，x >1，∴1<x <2.15．已知函数y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则k 的取值范围是( )A ．0<k <1B ．0≤k <1C ．k ≤0或k ≥1D ．k ＝0或k ≥1答案 C解析 令t ＝x 2－2kx ＋k ，由y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，得函数t ＝x 2－2kx ＋k 的图象一定恒与x 轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k ≥0，即k ≤0或k ≥1.16．已知函数f (x －1)＝lg x 2－x. (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)解关于x 的不等式f (x )≥lg(3x ＋1)． 解 (1)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，由题意知x 2－x>0，即0<x <2，则－1<t <1， 所以f (t )＝lg t ＋12－(t ＋1)＝lg t ＋11－t ，故f (x )＝lg x ＋11－x(－1<x <1)． (2)由(1)知，f (x )＝lg x ＋11－x(－1<x <1)， 所以f (－x )＝lg －x ＋11－(－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1 ＝－lg 1＋x 1－x＝－f (x )， 又f (x )的定义域为(－1,1)关于原点对称， 所以f (x )为奇函数．(3)原不等式可化为lg x ＋11－x ≥lg(3x ＋1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋11－x ≥3x ＋1，3x ＋1>0，－1<x <1，解得－13<x ≤0或13≤x <1， 故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－13，0∪⎣⎡⎭⎫13，1.。
对数函数中的复合函数问题教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。
教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。
教学过程：先复习对数函数以及性质。
下面我们来做几道例题。
我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。
那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。
下面就先来看这么一道题例1的单调递增区间是（）。
A. B. C. D.分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。
下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。
对于该二次函数进行配方，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x小于－1/2时为单调递减，x大于－1/2时为单调递增。
那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说即x<-2或x>1综上所述，我们应该选择A。
一般化：对于类似与上面这题的复合函数的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。
抛物线与x轴有两个交点抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴没有交点利用几何画板作图探究并验证：（略）例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。
按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，可以看出可见值域并非为R，说明上述解答有误。
要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。
故实数a的取值范围为。
我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。
以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：例3若，且，求的最值。
4.4.2对数函数的图高一数学复习知对数型复合函数的数的图象和性质(第3课时)复习知识讲解课件函数的单调性、奇偶性探究1 (1)复合函数单调性：同增异减(2)形如f (x )＝log a g (x )(a >0，且a ≠1)的函①先求g (x )>0的解集(也就是函数f (x ②当底数a >1时，在g (x )>0这一前提下增区间，g (x )的单调递减区间是f (x )的单调递③当底数0<a <1时，在g (x )>0这一前提递减区间，g (x )的单调递减区间是f (x )的单调(3)①最后一定要写成区间形式．②增、减区间一定要明确．增异减．的函数的单调区间的求法： )的定义域)．提下，g (x )的单调递增区间是f (x )的单调递单调递减区间．一前提下，g (x )的单调递增区间是f (x )的单调的单调递增区间．思考题1 (1)已知函数f (x )＝log a (递增区间是( )A ．(－∞，－3) C ．(－∞，－1) D 【解析解析】】 ∵f (2)＝log a 5>0＝log a 1，∴由x 2＋2x －3>0得函数f (x )的定义域为设u ＝x 2＋2x －3，则此函数在(1，＋∞又∵y ＝log a u (a >1)在(1，＋∞)上也为增∴函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞x 2＋2x －3)，若f (2)>0，则此函数的单调B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D ．(1，＋∞)∴a >1.(－∞，－3)∪(1，＋∞)． ∞)上为增函数．为增函数，∞)．故选D.(2)y ＝(log 2x )2－2log 2x ＋2的单调递减区 【解析解析】】 定义域为(0，＋∞)．令t ＝log 2x ，则y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2y ＝(t －1)2＋1在(－∞，1]上单调递减≤1得0<x ≤2，∵t ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，∴t 在x ∈(0，2]上也单调递增．∴y ＝(log 2x )2－2log 2x ＋2的单调递减区递减区间是________．(0，2]＋1.递减，在[1，＋∞)上单调递增，令t ＝log 2x ，递减区间为(0，2]．探究2 利用复合函数的单调性求参数(1)复合函数的单调性：复合函数在某区调区间的子区间．(2)定义域：复合函数在某区间上单调求参数，需用到两条信息：在某区间上单调，则该区间是内层函数单单调，则复合函数在该区间上有意义．(2)若函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减【解析解析】】 首先a 作为底数满足a >0且令t ＝2－ax ，则t ＝2－ax 为减函数，∵y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，又t ＝2∴2－a ·1>0，∴a <2.综上，1<a <2.上是减函数，则a 的取值范围为________．(1，2)a ≠1，，－ax 在x ∈[0，1]时需大于0，思考题3 已知函数f (x )＝ln(3＋x (1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(3)若f (2m －1)<f (m )，求m 的取值范围【 解析】 (1)要使函数有意义，则的定义域为(－3，3)．(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为对任意x ∈(－3，3)，则－x ∈(－3，3∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )， ∴函数y ＝f (x )为偶函数．)＋ln(3－x )．范围．3＋x >0， 3－x >0，解得－3<x <3，故函数y ＝f (x )域为(－3，3)，关于原点对称． 3)．课 后 巩 固2．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x) A．－log2xC．log x2解析解析 当x<0时，－x>0，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)＝－log2(－x)．＝log2x，则当x<0时，f(x)＝()B．log2(－x)D．－log2(－x)Dlog2(－x)，又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)。
对数函数中的复合函数问题 教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。
教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。
教学过程：先复习对数函数以及性质。
下面我们来做几道例题。
我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。
那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。
下面就先来看这么一道题 例1的单调递增区间是（ ）。
A. B. C. D.分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。
下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。
对于该二次函数进行配方49)21(222-+=-+x x x ，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x 小于－1/2时为单调递减，x 大于－1/2时为单调递增。
那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说即x<-2或x>1综上所述，我们应该选择A 。
一般化：对于类似与上面这题的复合函数的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。
抛物线与x 轴有两个交点 抛物线与x 轴只有一个交点 抛物线与x 轴没有交点利用几何画板作图探究并验证：（略）例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。
按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，可以看出可见值域并非为R，说明上述解答有误。
要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。
故实数a的取值范围为。
我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。
以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：例3若，且，求的最值。
当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～10分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C对数的概念及其运算性质√ 理解对数的概念及其运算性质；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 换底公式√知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数对数函数的概念 及其性质 √通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数（0a >且1a ≠）√知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数（0a >且1a ≠）北京 高考 解读2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标） 第3题5分 第13题5分第6题 5分 第14题 5分第6题 5分 第13题 5分第14题 5分第5题 5分新课标剖析满分晋级第6讲 对数函数与相关复合函数函数14级指数函数与相关复合函数函数15级对数函数与相关复合函数函数16级 集合与简易逻辑考点1：对数的性质1．对数的概念一般地，如果b a N =(0a >，且1)a ≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a2对数恒等式：log a N a N =．对数log a N （0a >且1a ≠）具有下列性质： ⑴ 零和负数没有对数，即0N >； ⑵ 1的对数为零，即log 10a =；⑶ 底的对数等于1，即log 1a a =．3．常用对数与自然对数：对数log a N （0a >且1a ≠）， ⑴ 当10a =时，叫做常用对数，记做lg N ；⑵ 当e a =时，叫做自然对数，记做ln N ．e 为无理数，e 2.71828≈．对数式与指数式的关系及相互转换底数(a >0且a ≠1)对数真数幂指数log a N=bN>0a b =N利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题．求下列各式中的x⑴82log 3x =-；⑵3log 274x =；⑶25log (log )0x =；⑷3log (lg )1x =【解析】 ⑴14；⑵81．⑶5；⑷1000．暑假知识回顾知识点睛6.1对数与对数运算【例1】 ⑴在对数式(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或2a <B ．25a <<C ．23a <<或35a <<D ．34a <<⑵①设2log 3x =，则332222x xx x---=-_______；②设log 2a m =，log 3a n =，则2m n a +=_______． ⑶若()()()()()()234342423log log log log log log log log log 0x y z ===，则x y z ++=（ ） A ．50 B ．58 C ．89 D ．111⑷ （目标班专用）已知8321log [log (log )]3x =，那么13x -等于（ ）A ．13 BC ．18 D【解析】 ⑴ C ； ⑵①199；②12； ⑶C ； ⑷C ．考点2：对数的运算1．对数的运算性质：如果0a >，且100a M N ≠>>，，，那么： ⑴ log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和）推广1212log ()log log log a k a a a k N N N N N N ⋅⋅⋅=+++．⑵ log log log a a a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶ log log ()a a M M ααα=∈R （正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）2．换底公式：log log log a b a NN b=（010a b a b N >≠>，，，，）．换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．【教师备案】换底公式的一个重要应用：log log 1m n n m ⋅=； 还有一个比较常用的变形公式是：lg lg log log lg lg m n na m ab n b nb b a m a m===．知识点睛经典精讲1．下列各等式中，正确运用对数运算性质的是（ ）A．()22lg (lg )lg 0x x y x =+> B．(()22lg (lg )lg 2lg 0x x y z x =++>C．(()2lg 2lg lg 2lg 0x x y z x =+-> D．(()21lg 2lg lg lg 02x x y z x =++>【解析】 D2．求下列各对数值⑴41log 8；⑵13log ⑶522log 253log 648ln1+-【解析】⑴32-；⑵32-；⑶22．3．已知ln 2a =，ln 3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）A ．a b -B ．abC ．abD ．a b +【解析】 C4．若a 、0b >，且a 、1b ≠，log log a b b a =，则（ ）A ．a b =B ．1a b =C ．a b =或1a b= D ．a 、b 为一切非1的正数【解析】C【例2】 ⑴求下列各值 ①221log 36log 32-； ②22(lg5)lg2lg25(lg2)+⋅+； ③222lg5lg8lg5lg20lg 23++⋅+；④23lg3lg955lg81lg 27++-⑤（目标班专用）*2482(log 3log 9log 27...log 3)log )n n n ++++⋅∈N ．⑥（目标班专用）lg ．⑵按照要求填空① 已知lg 2a =，lg3b =，则12log 15=______（用a ，b 表示）． ②计算：757log log 91log log 3=⋅_______．经典精讲暑假知识回顾③（目标班专用）计算：lg 0.5lg30153⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭_______． 【解析】 ⑴ ①1；② 1；③3；④ 115；⑤ 52；⑥12；⑵ ①12b a a b-++．②32-；③15；【例3】 ⑴（目标班专用）若52a b ==0abc ≠，则c ca b +=______． ⑵（目标班专用）若91216log log log (2)p q p q ==+，则qp =_______．【解析】⑴2；⑵2；1．对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0)+∞，，值域为实数集R ．2．对数函数的图象和性质：函数logy x =（0a >且1a ≠）的图象特征和性质．【说明】对数函数log a y x =的底a 越大，函数图象在x 轴上方部分越偏居右侧，如图所示．知识点睛6.2对数函数考点3：对数函数的图象【例4】 ⑴若函数log ()a y x b =+（0a >，1a ≠）的图象过两点(10)-，和(01)，，则a =______，b =_____．⑵设0a >且1a ≠，函数()()log 211a f x x =-+的图象恒过定点P ，则P 的坐标是（ ）A ．()1,1B ．()1,1-C ．()11-，D ．()11--， ⑶在同一坐标系中画出函数log a y x =，x y a =，y x a =+的图象，可能正确的是（ ）⑷（目标班专用）函数2y ax bx =+与log (0)b ay x ab a b =≠≠，在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）DCA【解析】 ⑴ 22，．⑵ A ；⑶ D ；⑷ D ；考点4：对数值的大小比较BA C D 经典精讲⑴ 若两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数1a >为增函数；01a <<为减函数）比较． ⑵ 若两对数的底数不同而真数相同，如1log m y x =与2log n y x =的比较（0m >，1m ≠，0n >，1n ≠）．① 当1n m >>时，当1x >时，12y y >；当01x <<时，12y y <． ② 当01m n <<<时，当1x >时，12y y >；当01x <<时，12y y <．⑶1．比较大小（填“>”，“<”或“=”）．① 20131log 2012____20131log 2011； ② 0.1log 2012____0.1log 2013；③ 1.5log 2013____2log 2013； ④ 0.51log 2013____0.81log 2013．【解析】 ①<；②>；③>；④<．2．若ln πa =，lg 6b =，0.2log 8c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【解析】 A ．10a b c >>>>．【例5】 ⑴（2012北京西城高三一模理6）若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<⑵若01a b <<<，则在log log b a a b a b b a ，，，这四个数中最大的一个是_________． ⑶① 若log 0.8log 1.3a a >，则a 的取值范围为_______； ② 若log 4log πa a >，则a 的取值范围为__________； ③ 若0.50.5log log 3a >，则a 的取值范围为__________；④ 若3log 14a <，则a 的取值范围为_________．经典精讲暑假知识回顾知识点睛⑷（目标班专用）设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解析】 ⑴ D⑵ log b a ；⑶ ①01a <<；②1a >；③03a <<；④304a <<或1a >． ⑷ A ．【拓展】 设01x <<，0a >且1a ≠，试比较|log (1)|a x -与|log (1)|a x +的大小． 【解析】|log (1)||log (1)|a a x x ->+．【备选】求不等式2log (583)2x x x -+>的解集． 【解析】 133252⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．【点评】 对于含有参数的两个对数值的大小比较，除了要注意挖掘隐含条件外，还需要对a 进行讨论．不过对于这一类的大小比较问题，并不是底数为参数时，就一定要讨论，而应遵循的原则是：尽量回避讨论，尽量推迟讨论．考点5：对数函数与指数函数的关系⑴ 反函数：当一个函数是一一映射时，可以把一个函数的因变量作为一个新函数的自变量时，而 这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为反函数．⑵ 对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称．【教师备案】因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照．如：指数函数的值域为(0)+∞，，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等．知识点睛1．若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ）A ．2log xB ．12x C ．12log x D ．22x -【解析】 A ；2．已知函数x y a b =+的图象过点()14，，其反函数的图象过点()20，，则a = ，b = ． 【解析】31a b ==，．【例6】 ⑴将2xy =的图象关于直线y x =对称后，再向右平移一个单位所得图象表示的函数的解析 式是（ ）A ．()2log 1y x =+B ．()2log 1y x =-C ．2log 1y x =+D ．2log 1y x =-⑵函数()f x 的图象与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称，则|()|f x 的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞B ．[1,)+∞C ．(0,1]D ．[1,2)⑶若函数2log 2y x =+的反函数定义域为()3+∞，，则此函数的定义域为 ．【解析】 ⑴B ； ⑵C ；⑶()2+∞，．考点6：对数函数相关的定义域、值域问题1． ①函数y ）A ．()3+∞，B ．[)3+∞，C ．(]4-∞，D ．(]04，②函数y 的定义域为 ．③函数y 的定义域为___________．【解析】 ① D ；暑假知识回顾6.3与对数函数相关的复合函数的性质经典精讲暑假知识回顾②(1,2]； ③[)22log 33--，；2．求下列函数的值域①2log (1)y x =+；②22log (1)y x =+；③121log 1y x =-；④212log (23)y x x =-+； ⑤()2log 31x y =+．【解析】 ①R ；②[)0+∞，；③R ；④(]1-∞-，；⑤(0)+∞，．【例7】 ⑴求函数21124log log 5⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x x 在[]24，上的最值．⑵已知()32log ([19])f x x x =+∈，，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值与最小值． ⑶ 已知函数()()2log 23=-+a f x x x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值比最小值大2，求a ．⑷（目标班专用）已知函数22log (2)y x =-的定义域为[]a b ，，值域是2[1log 14]，， 则a b +=_____．【解析】 ⑴max 10=y ，min 132=y ．⑵ 1x =时，y 有最小值6；3x =时，y 有最大值13．点评：本题易错点容易忽略定义域．⑶⑷ 6-或6；考点7：与对数函数有关的单调性问题1．函数212()log (1)f x x =+的增区间为___________；减区间为____________．【解析】 (]0-∞，，[0)+∞，；2．函数22()log (23)f x x x =--的增区间为_____________；减区间为____________． 【解析】 (3)+∞，，(1)-∞-，．暑假知识回顾经典精讲3．函数212log (32)y x x =+-的增区间为 ，减区间为 ．【解析】 [)13，，(11]-，． 易错点：容易忽略函数的定义域．由2320x x +->解得函数212log (32)y x x =+-的定义域是{}|13x x -<<．函数212log (32)y x x =+-是由对数函数12log y u =和二次函数232u x x =+-复合而成，求其单调区间及值域时，应从232u x x =+-的单调性、值域入手，并结合12log y u=的单调性统筹考虑．【方法总结】解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是注意其定义域；二是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；三是运用复合函数性质来判断其单调性．【例8】 ⑴判断下列函数的单调性：①()222()log 2log =-f x x x ②()23()log =-f x x⑵函数212log (23)y x mx =-+在(1)-∞，上为增函数，则实数m 的取值范围是_______． ⑶（目标班专用）设0,1a a >≠，函数()2log a f x ax x =-在[]3,4上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．1184a <≤B ．11164a a ><或≤C ．11184a a ><或≤D ．1164a <≤【解析】 ⑴①在[)2+∞，上单调递增，在(]02，上单调递减． ②在(]01，上单调递增，在[)1+∞，上单调递减． ⑵ 12m ≤≤．⑶B【备选】设0a >，1a ≠，函数1()log 1axf x x-=+在(1)+∞，上单调递减，则()f x （ ） A ．在(1)-∞-，上单调递减，在(11)-，上单调递增 B ．在(1)-∞-，上单调递增，在(11)-，上单调递减 C ．在(1)-∞-，上单调递增，在(11)-，上单调递增 D ．在(1)-∞-，上单调递减，在(11)-，上单调递减 经典精讲【解析】 A ；考点8：对数函数的综合问题【例9】 ⑴若定义在()0+∞，的函数()f x 单调递减，且123f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求不等式8(log )2f x >的解集．⑵若函数212log 0()log ()0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是________．⑶解下列不等式①2log 2log x x >；②()10.50.51log 21log 222x x -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭≤．③(目标班专用)32121log 1log 202x x -++>．【解析】 ⑴ {}12x x <<．⑵ 1a >或10a -<<． ⑶①()10022⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪，．②22[log 31log 5]-，． ③[24)，．若1x 满足225x x +=，2x 满足222log (1)5x x +-=，求12x x +的值．【解析】 由题意知()111111115322521222x x x x x x --+=⇒+=⇒-+=．22222log (1)5x x +-=2225log (1)2x x ⇒+-=()22231log (1)2x x ⇒-+-=22log (1)223log (1)22x x -⇒-+=．所以22log (1)x -、11x -均满足方程322t t +=．经典精讲由函数图象法易知322t y y t ==-，有且只有一个交点，所以方程322t t +=有唯一实根． 所以221log (1)1x x -=-．所以()2122231(1)(1)log (1)2x x x x -+-=-+-=，即1272x x +=．也可令112211t x t x =-=-，，得到11322t t =-，2223log 2t t =-；2x y =与2log y t =的图象关于y x =对称，故它们与32y x =-的图象的交点（结合图象知，都存在且都唯一）也关于y x =对称，从而关于32y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩的交点3344⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，即1232t t +=，从而1237222x x +=+=．【演练1】计算: 21log 32.51log 6.25lgln 2100+++． 【解析】 132．【演练2】已知函数12()2(1)2xx f x f x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，≥，，则函数2(log 3)f 的值为________． 【解析】 16【演练3】若0m n <<，则下列结论正确的是（ ）．A ．22mn> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22log log m n > D ．1122log log m n >【解析】 D【演练4】⑴函数y =的定义域为 ．⑵ 函数212log (4)y x x =-的值域是（ ）A ．[2)-+∞，B ．RC ．[0)+∞，D ．(04]，实战演练【解析】 ⑴()()[)1132-∞-----+∞，∪∪，． ⑵ A【演练5】已知()1log 1axf x x+=-（0a >且1a ≠）， ⑴ 求()f x 的定义域；⑵ 求使()0f x >的x 的取值范围．【解析】 ⑴ 定义域为()11-，．⑵ 当1a >时，所求范围为{}01x x |<<；当01a <<时，所求范围为{}10x x |-<<．【演练6】函数212log (5)y x mx =-+在[)1-+∞，上为减函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 62m -<-≤．（2009福建高一数学竞赛第11题）设[]x 是不超过x 的最大整数，则[][][][]3333log 1log 2log 3log 500++++=＿＿＿＿＿．【解析】 2142记3[log ]x n =（n ∈N ），则3log 1n x n <+≤，133n n x +<≤．若0n =，则0133x <≤，符合条件的整数x 有2个； 若1n =，则1233x <≤，符合条件的整数x 有6个； 若2n =，则2333x <≤，符合条件的整数x 有18个； 若3n =，则3433x <≤，符合条件的整数x 有54个； 若4n =，则4533x <≤，符合条件的整数x 有162个；若5n =，则5633x <≤，结合500x ≤知，符合条件的整数x 有258个． ∴333[log 1][log 2][log 500]0216218354416252582142+++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．大千世界。
