中点四边形课件[1]

中点四边形的判定和性质1.中点四边形是平行四边形，证明如下：设四边形ABCD的对角线AC和BD交于点E，连接AE、BE、CE、DE，分析可知AE=CE、BE=DE，因为AE=CE，所以AE/CE=1；因为BE=DE，所以BE/DE=1。

又因为AE/CE=BE/DE，所以四边形ABCD是平行四边形，其对角线的中点所形成的四边形为中点四边形，因此中点四边形也是平行四边形。

2. 中点四边形的对角线相等，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。

又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。

根据三角形中位线定理，可知AO^2+BO^2=AC^2/2+BD^2/2=AC^2=BD^2=OC^2+OD^2。

因为AO=OC，BO=OD，所以AO^2=OC^2，BO^2=OD^2，代入可得OC^2+OD^2=AC^2/2+BD^2/2，即AC^2=BD^2，所以中点四边形的对角线相等。

3. 中点四边形的对角线互相平分，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。

又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。

连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以∠AMB=∠CMD，∠AMC=∠BMD。

由此可以得到∠AOC=∠BOD，所以中点四边形的对角线互相平分。

4. 中点四边形的对边互相平行，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。

又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。

连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以AB∥CD，BC∥AD，因此中点四边形的对边互相平行。

18.18专题1：中点四边形4--对角线相等且垂直的四边形一．【知识要点】1.对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形。

二．【经典例题】1．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝BD，点E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点．求证：四边形EFGH是正方形．1.四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，求证：四边形EFGH是菱形。

（2）如图2，若AC=BD，则四边形EFGH的形状是（3）如图3，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形EFGH是矩形。

（4）如图4，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是3.在四边形ABCD 中，AB=CD,∠ABC+∠DCB=90°，点E,F,M,N分别为AD,BD,BC,AC的中点，试判断四边形EFMN的形状并加以证明。

三．【题库】【A】【B】1.四边形ABCD 中，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点。

（1）如图1，当时，四边形EFGH为正方形。

（2）如图2，E,F,G,H分别为AD,BD,BC,AC的中点，①当时，四边形EFGH为矩形。

②当时，四边形EFGH为菱形。

【C】1．如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，连接DE、可以得到：DE∥BC，且DE═BC（不需要证明）．【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在【探究】的条件下：（1）四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC、BD相交于点O．若HE⊥EF，HE＝5，EF＝8，则四边形ABCD的面积为．【D】1．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F 分别为边BC，CD的中点时，有：①AF＝DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE＝DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．。

中点四边形长沙市第七中学黄曙一、基本说明1教学内容所属模块：八年级(下)2年级：初二3所用教材出版单位：人民教育出版社4所属的章节：第十九章第四节第3课时(课题学习)5学时数：45 分钟二、教学设计1、教学目标：（1）进一步复习和巩固特殊四边形的性质与判定。

（2）理解和熟悉中点四边形与原四边形之间的联系（3）掌握由特殊到一般的数学证明方法（4）通过对中点四边形的探讨，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

2、内容分析：教学重点：复习和巩固特殊四边形的性质与判定。

教学难点：特殊四边形之间的区别与联系3、学情分析：学生在学习了四边形一章的内容后，已掌握了一些特殊四边形的性质与判定的推理与证明的方法，但如何灵活运用所学知识,如何正确的联想到要用的知识点来解决问题,一直是本章学习的难点。

本节课以探讨中点四边形的形状和性质入手,通过图形大量的变化让学生学会观察与分析，抓住实质性的东西,从而使学生加深对特殊四边形的性质与判定的理解和掌握。

4、设计思路：根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用多媒体教学,主要借助《几何画板》及幻灯片展示相关图形的变化,让学生在“变化”中感知“不变”,从而获取相关知识,培养学生的观察分析能力。

教学流程为：知识回顾与思考→初步感知→类比推广→逆向思维→拓展深化→归纳总结。

三、教学过程四、教学反思1、由于学生基础较好,虽然内容多,但学生都跟得上,尤其是动态演示过程中学生兴趣很浓,在类比推广和逆向思维阶段参与积极.2. 拓展深化阶段学生先感到疑惑,但随着分析的深入学生豁然开朗,课堂气氛非常活跃.学生思考问题也细致,课后给出了另一些结论.如:①当原四边形为凹四边形时，利用《几何画板》演示仍然发现相应的中点四边形为平行四边形。

(如图1所示)②当四边形转化为图2所示的形状时,只要AB=CD,中点四边形就一定是菱形.③对于直角三角形如图3所示当点B,D,F为各边中点时,所得小矩形的面积也等于该直角三角形面积的一半.图(1) 图(3)附：中点四边形课件(两个课件采用链接交替使用,使用前安装《几何画板》)。

中 点 四 边 形一、概念：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形为中点四边形。

A BCD E FG H A B C D E F G H A B D E F G H图（1）如图（1）都是三个不规则的凸四边形的各边中点连线所构成的中点四边形。

由三个图可以发现，所构成的中点四边形都与平行四边形极为相似，由此做出假设：凸四边形内部构成的中点四边形都是平行四边形。

下面我们可以用图（1）中的其中一个图进行论证证明：连接四边形对角线AC 、BD （如图） ∵在△ACB 中，F 、E 分别为边BC 、BA 的中点 即FE 为中位线 ∴FE=21AC 、FE//AC 同理，在△ACD 中可得：GH=21AC 、GH//AC ∵FE=21AC 、GH=21AC ∴FE=GH （等量代换）又∵FE//AC 、GH//AC∴FE//GH （平行于同一条直线的两条直线相互平行）∴在四边形EFGH 中，FE=GH 、FE//GH∴四边形EFGH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形） 通过上述证明可得：任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形。

二、分类讨论结论得出任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形，而平行四边行有几种特殊情况，如：1、菱形2、矩形3、正方形。

如果想得到的中点四边形为菱形、矩形或正方形这三种图形时，那原先的四边形又应具有哪些特性呢？1、菱形菱形：一组邻边相等相等的平行四边形是菱形。

刚才我们已经证明到任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形，也就意味着想得到菱形，就是在已知的平行四边形EFGH 中不仅要FE=GH ，同时要FE=GF ，而由中位线定理得FE=21CA 、GF=21BD ，则： 令FE=GF ∵FE=21CA 、FE=21BD A B CD E F G H A B CD E F GH∴CA=BD也就是说当原四边形的两条对角线相等时，新的中点四边形会变成菱形。