中点四边形课件好

中点四边形的判定和性质1.中点四边形是平行四边形，证明如下：设四边形ABCD的对角线AC和BD交于点E，连接AE、BE、CE、DE，分析可知AE=CE、BE=DE，因为AE=CE，所以AE/CE=1；因为BE=DE，所以BE/DE=1。

又因为AE/CE=BE/DE，所以四边形ABCD是平行四边形，其对角线的中点所形成的四边形为中点四边形，因此中点四边形也是平行四边形。

2. 中点四边形的对角线相等，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。

又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。

根据三角形中位线定理，可知AO^2+BO^2=AC^2/2+BD^2/2=AC^2=BD^2=OC^2+OD^2。

因为AO=OC，BO=OD，所以AO^2=OC^2，BO^2=OD^2，代入可得OC^2+OD^2=AC^2/2+BD^2/2，即AC^2=BD^2，所以中点四边形的对角线相等。

3. 中点四边形的对角线互相平分，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。

又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。

连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以∠AMB=∠CMD，∠AMC=∠BMD。

由此可以得到∠AOC=∠BOD，所以中点四边形的对角线互相平分。

4. 中点四边形的对边互相平行，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。

又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。

连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以AB∥CD，BC∥AD，因此中点四边形的对边互相平行。

四边形中点知识点四边形是一个拥有四条边的几何图形，它的四个顶点可以用直线相连，形成四个内角和四个外角。

在四边形中，中点是指连接两个非相邻顶点的线段的中点。

本文将通过逐步思考的方式，介绍四边形中点的一些基本知识点。

第一步：了解四边形和中点的定义四边形是一个几何图形，它有四条边和四个顶点。

四边形的中点是指连接两个非相邻顶点的线段的中点。

例如，如果我们有一个四边形ABCD，连接顶点A和C的线段AC的中点就是四边形中点。

第二步：了解四边形中点的性质四边形中点具有一些有趣的性质。

首先，连接四边形的相对边的中点会形成一个平行四边形。

例如，在四边形ABCD中，连接顶点A和C的线段AC的中点和连接顶点B和D的线段BD的中点所形成的线段会平行且等于彼此。

第三步：了解四边形中点的重要性四边形中点在几何学中有着重要的作用。

它可以帮助我们更好地理解四边形的性质和特征。

其中一个重要的应用是在证明四边形平行的问题中。

如果我们能够证明四边形的对角线中点连线平行，那么我们就能得出四边形是平行四边形的结论。

第四步：探索四边形中点的性质在四边形中，连接相对顶点的线段的中点被称为对角线中点。

对角线中点有一些有趣的性质。

首先，四边形的对角线中点相互连接会形成一个平行四边形。

其次，如果四边形的对角线中点互相连接，那么这两条线段的交点将是四边形的中点。

第五步：应用四边形中点的知识应用四边形中点的知识可以帮助我们解决一些几何问题。

例如，如果我们知道一个四边形的两个对角线的中点，我们可以通过连接这两个中点来构造一个平行四边形。

另外，我们还可以利用四边形中点的性质来证明四边形的平行性、相似性等等。

总结：通过逐步思考，我们可以了解到四边形中点的定义、性质和重要性。

四边形中点对于理解四边形的性质、进行证明和解决几何问题非常有帮助。

深入研究四边形中点的知识将为我们探索几何学的更多奥秘提供基础。

注：本文介绍了四边形中点的基本知识点，但未涉及Ai人工智能等字样。

中点四边形对角线中点定理中点四边形是一种特殊的四边形，其两个相邻边都被平分，这种四边形的对角线中点有一个重要的性质，被称为中点四边形对角线中点定理。

定义中点四边形是一种四边形，其两条对立边的中点彼此连接。

即ABCD 四边形中，AB和CD的中点E和AD和BC的中点F之间连接一条线段EF。

其中，EF被称为中点四边形的对角线。

中点四边形的对角线中点定理指出，中点四边形的对角线中点之间连接的线段EF等于对角线长度的一半。

即EF = 1/2AC = 1/2BD。

证明证明该定理并不难，可以利用向量、尺规作图等方法。

这里给出一种简单的证明方法：假设ABCD是一种中点四边形，E和F是ABCD的对角线AC和BD 的中点。

连接AE、CE、BE和DE，以及AF、CF、BF和DF。

因为AE和CE平分了BC，所以AE = EC，同理，BE = ED。

所以三角形AED和CBE是全等的。

同样的，AF和CF平分了BD，所以AF =CF，同理，BF = DF。

所以三角形ABF和CDF是全等的。

因为AE和EC相等，BE和ED相等，所以四边形AEBD是平行四边形。

因为AF和CF相等，BF和DF相等，所以四边形ABFC是平行四边形。

因此，EF是交于对角线中点的两个平行四边形的对角线，所以EF = 1/2AC = 1/2BD。

应用中点四边形对角线中点定理在解决四边形、向量、三角形等问题上都有着广泛的应用。

在四边形中，我们可以通过该定理计算四边形的对角线长度。

在向量中，可以通过该定理来确定向量的大小和方向。

在三角形中，可以通过该定理来确定三角形的垂直平分线。

总结中点四边形对角线中点定理是数学中的一个基本概念，它是在解决四边形、向量和三角形等问题上的基础性理论。

只有了解了中点四边形的性质和特点，才能更好地应用定理来解决实际的问题。

同时，学生们也需要掌握常见的证明方法，以便更好地理解和掌握该定理。

《中点四边形》案例分析青岛二十二中刘小梦《中点四边形》是北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册的内容．是在学习完三角形中位线定理的基础上，进一步结合四边形的特殊性所设计的拓展内容。

本课的主要教学目标：体会中点四边形的特殊性.；理解原图形对角线与中点四边形之间的关系；经历“猜想——证明”的过程，发现数学中的规律。

教学设计如下：教学实录：一、复习回顾三角形中位线的相关知识 【师】什么是三角形的中位线？【生】连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线。

FA BE FCG D HABE FCG D H 【师】三角形的中位线具有怎样的性质？ 【生】平行且等于第三边的一半。

【师】如何应用这一性质？【生】,1//2AD DB AE EC DE BC ==∴=二、中点四边形【师】如图，如果我们顺次连接四边形各边的中点就会得到一个四边形，这个四边形，我们就叫它中点四边形。

【师】它是特殊的四边形吗？ 【生】是【师】是什么特殊四边形？ 【生】是平行四边形。

【师】为什么？【生】连结AC ，在Rt ADC 中，,1//2AH DH DG CG HG AC ==∴=同理1//2EF AC =//EF HG ∴=∴四边形EFGH 是平行四边形.【师】在上面的证明过程中，我们主要运用了哪些有关平面图形的性质？ 【生】三角形中位线定理【师】当原图形是任意一个四边形时，它的中点四边形都是平行四边形吗？ 【生】是。

三、特殊平行四边形的中点四边形 1.矩形的中点四边形【师】当原图形是矩形时，它的中点四边形会不会更加特殊呢？我们一起来研究一下。

【师】已知：矩形ABCD,点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,顺次连接这四个点,所得的四边形EFGH 是什么特殊四边形？说明理由.【生】连结AC 、BD ，在Rt ADC 中，,1//2AH DH DG CG HG AC ==∴=CF E DBA H G O 1 2 3 同理1//2EF AC =，1//2EH BD = //EF HG ∴=∴四边形EFGH 是平行四边形.∵矩形ABCD ， ∴AC BD = ∴EF EH =∴EFGH 是菱形【师】原图形的什么性质决定了其中点四边形的特殊性? 【生】原图形的对角线相等，决定了它中点四边形是菱形。

专题01 中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1: 点M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MNPQ 是平行四边形结论2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【典例2】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【典例3】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2023春•福山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和3．（2023春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝3，AD＝4，则中点四边形EFGH的面积为（）A．8B．6C．4D．34．（2023春•费县期末）顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．对角线相等的四边形C．菱形D．对角线互相垂直的四边形5．（2023•商丘模拟）一个四边形四边中点的连线所构成的中点四边形是菱形，那么这个原四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．对角线相等6．（2023春•路北区期末）顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足（）A．互相平分．B．互相平分且相等C．互相垂直．D．互相平分且垂直7．（2023春•达州期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．138．（2023•浦东新区二模）顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是（）A．菱形B．对角线相等的四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形9．（2023•晋中模拟）如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF各边中点得到一个新的正六边形．若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF上，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．10．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定11．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD12．（2022春•惠城区校级期中）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形13．（2022•老河口市模拟）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．对角线相等的四边形14．（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．48B．24C．32D．1215．（2023春•金湖县期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝8，AD＝10，则AO的长为．16．（2022春•皇姑区期末）在四边形ABCD中，AC＝6cm，BD＝9cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为cm．17．（2023秋•丹东期末）【问题初探】数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质．首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．接下来张老师提出问题：如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH是什么形状？中点四边形EFGH的面积与原四边形ABCD的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程．班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形EFGH是平行四边形，且中点四边形EFGH的面积是原四边形ABCD面积的一半．证明如下：证明：如图2，连接AC，BD∵点H，G分别为AD，CD的中点∴HG是△ADC的中位线，根据三角形中位线定理可得：HG与AC的位置关系为，数量关系为．同理可得：EF∥AC，∴HG∥EF，HG＝EF∴四边形EFGH是平行四边形根据线段HG，AC的关系，进而可得△DHG∽△DAC，且＝同理∴（1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整．【类比探究】（2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形EFGH的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空）①当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为菱形？②当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为矩形？③中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有怎样的数量关系，并说明理由．【学以致用】（3）如图3，在四边形ABCD内部有一点O，连接OA，OB，OC，OD，点H，G分别是AD，BC的中点，连接HG，若∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝150°，OA＝OB＝2，OC＝OD＝3，求HG的长．18．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．19.（2022春•仙居县期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．。