完整阿氏圆问题归纳2

最值系列之阿氏圆问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=． 接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路． 法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可． 【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23． 【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决． 法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！ P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．。

中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。

这个定理叫阿波罗尼斯定理。

【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。

②两点之间线段最短。

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。

②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。

③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。

所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。

总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。

【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。

（2）求13AP BP+的最小值为。

【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。

练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。

2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。

阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。

【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。

即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。

【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。

但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。

知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。

【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。

①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。

PC OPC O点 P 在圆上运动-----“阿氏圆”问题如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r ,点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r =k ·OB.连接 P A 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？A》BB图 2-1-1图 2-1-2 图 2-1-31、“阿氏圆”构造共边共角型相似构造△PAB ∽△CAP 推出PA 2=AB ·AC即：半径的平方=原有线段 ×构造线段 2、“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心 O （将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心 相连接），则连接 O P 、OB ； 第二步：计算出所连接的这两条线段 O P 、OB 长度；第三步：计算这两条线段长度的比k OB OP= 第四步：在 O B 上取点 C ，使得OBOPOP OC = 第五步：连接 A C ，与圆 O 交点即为点 P ．APBO1、（2016江阴期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求BPAP21的最小值．根号372、如图，在RT △ABC 中，B ∠=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心做圆B 与AC 相切，P 为圆B 上一动点，则PC PA 22+的最小值为_____.根号53、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任意取一点P ，则PD PB 23的最小值为_____.二分之根号37AF=3/24、已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧CD 上一点，求2PA+PB 的最小值．135、如图，在边长为4的正方形中，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上一动点，PC PB 2最小值为多少？ 666、边长为6的正三角形，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上的动点，2PB+PC 最小值为多少3倍根号72倍根号77、如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2,P 为弧AB 上一动点，求PD PC 22的最小值2分之3倍根号28、在平面直角坐标系中，A(2，0),B(0，2),C(4，0),D(3，2),P是三角形AOB外部的第一象限内一动点，且 BPA=135°，则2PD+PC的最小值为4倍根号29．（2016济南）如图1，抛物线y=ax 2+（a+3）x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；43-=a ,AB: 343+-=x y（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若=，求m 的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+E ′B 的最小值．（2）m=2或4（舍）（3）3分之4倍根号1010．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值； 5,5（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．根号106，根号106（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．根号37，根号3711、如图所示，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于(-4,-4),b(0,4)两点，直线AC ：y=-21x-6交y 轴于点C 。

高中阿氏圆例题摘要：一、阿氏圆的概念和性质1.阿氏圆的定义2.阿氏圆的性质二、阿氏圆的相关例题1.例题一2.例题二3.例题三三、解题思路和方法1.解题思路2.解题方法四、总结1.阿氏圆在数学中的重要性2.学习阿氏圆的意义正文：阿氏圆是高中数学中一个重要的概念，它具有许多独特的性质。

首先，我们要了解阿氏圆的定义和性质，这是解决相关问题的基础。

阿氏圆是指到两个定点的距离之和等于定长的所有点的集合。

简单来说，就是在平面上给定两个点，求所有到这两个点的距离之和等于一个常数的点的集合。

阿氏圆具有以下几个性质：1.阿氏圆是两个定点的等距离点构成的，即圆心为两个定点的连线中点。

2.阿氏圆的半径等于两个定点的距离减去定长的一半。

3.阿氏圆与两个定点的连线构成的三角形面积相等。

了解阿氏圆的概念和性质后，我们来看一些具体的例题。

例题一：已知点A(-3,0) 和点B(3,0)，求以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆。

解题思路：首先求出AB 的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，根据阿氏圆的性质，可知AO+BO=5，所以以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆就是以O 为圆心，以5 为半径的圆。

例题二：已知点A(2,3) 和点B(-4,1)，求以A、B 为圆心，以6 为定长的阿氏圆。

解题思路：首先求出AB 的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，根据阿氏圆的性质，可知AO+BO=6，所以以A、B 为圆心，以6 为定长的阿氏圆就是以O 为圆心，以6 为半径的圆。

例题三：已知点A(0,4) 和点B(4,0)，求以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆。

解题思路：首先求出AB 的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，根据阿氏圆的性质，可知AO+BO=5，所以以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆就是以O 为圆心，以5 为半径的圆。

通过以上例题，我们可以总结出解题思路和方法。

首先根据题目所给的点A 和B，求出它们的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，判断是否满足阿氏圆的性质。

2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。

阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。

【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。

即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。

【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。

但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。

知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。

【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。

①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。

阿氏圆问题1．阿氏圆的定义已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．2．阿氏圆的应用在初中阶段，阿氏圆主要用于求系数不相同的线段和的最小值．求PC＋kPD的最小值．3．解阿氏圆的基本方法构造子母相似△．4．解阿氏圆问题的一般步骤问题：求PC＋kPD的最小值（1）连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；（2）计算出所连接的两条线段OP、OD长度；（3）计算两条线段长度的比OPOD＝m；（4）在OD上取点M，使得OMOP＝m；（5）连接CM，与圆O的交点即为点P．5．阿氏圆问题的题型（1）两定点都在圆外：P A＋k·PB，k＜1（2）两定点都在圆内：P A＋k·PB，k＞1（3）一定点在圆外，一定点在圆内：m·P A＋n·PB，m＜1，n＞1（4）隐圆问题．类型1：两定点在圆外：系数不变，构造子三角形【例题1】（1）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________．（提示：记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝12PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值）（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，⊙C的半径为2，点P是⊙C上一动点，则AP＋12PB的最小值为___________．（提示：连接CP，在BC上取一点E，使得CE＝12CP＝1，则△EPC∽△PBC，∴PE＝12PB，当A、E、P三点共线时，AP＋PE（3）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为⊙B上一动点，则P APC的最小值为____________．．（提示：连接BP，取BC的中点E，则△EPB∽△PCB，∴PE PC，当E、P、A三点共线时，PA＋PE）（4）如图，菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，⊙A的半径为3，BC与圆相切于点E，点P在⊙A上运动，则PBPD的最小值为____________．．（提示：连接AP，作AF＝34AD＝32，则△AFP∽△APDPD＝PF）（5）如图，已知点A (－3，0)，B(0，3)，C(1，0)，若点P是⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，则1 4AP＋BP的最小值为___________．．（提示：连接CP，在OC上取一点E，使得CE＝14CP＝14，则△PEC∽△APC，∴PE＝14P A，当B、P、C三点共线时，PE＋BP（6）如图，若⊙OPOMO＝2，∠POM＝90°，点Q在⊙OPQ＋QM的最小值为____________．（提示：作OE＝15OP，则△QEO∽△PQOP Q＝QE）DDxxPP【例题2】如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________，PD－12PC的最大值为____________．【答案】5；5．（提示：连接BP，记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝1 2PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值5；当D、P、F三点共线时，PD－PF有最大值5）类型2：两定点在圆外：系数化简【例题3】（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D，连接AD、BD、CD，则2AD＋3BD的最小值为___________．【答案】（提示：在AC上取一点E，使得CE＝23CD＝4，则△CED∽△CDA，∴ED＝23AD，当E、D、B三点共线时，ED＋BD有最小值（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，半⊙O交x轴与点A、B(2，0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD＝2，BC＝7，若点P是半⊙O上的动点，则PD的最小值为___________．【答案】OD、OP，取OD的中点E，则△OPE∽△ODP，∴PEPD，当E、P、C三点共线时，PE＋PC有最小值）CDDCB Bx（3）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B＋6PC的最小值为___________．【答案】．（提示：分别连接AC、BD交于点O，则BD＝BP，在BD上取一点M，使得BMBP，则△PBM∽△DBP，∴PMPD，当C、P、M三点共线时，PM＋PC有最小值）类型3：两定点在圆内：向外延长，构造母三角形【例题4】（1）如图，∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，圆OP是圆O上一动点，则P APB的最小值为___________．．（提示：点在圆内，反向操作，延长OB至点C，使CO＝2OB＝2，则△OPB∽△OCP，∴P B＝PC）（2）如图，已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是弧CD上一点，则2P A ＋PB的最小值为___________．【答案】13．（提示：点在圆内，反向操作，延长OC至点E，使CE＝6，连接PE、OP，则△EOP∽△POA，∴PE＝2P A，当E、P、B三点共线时，PE＋PB有最小值13）DCC（3）如图，⊙O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，点P为⊙O上一动点，则2PC＋PE的最小值为____________．【答案】（提示：连接OP，延长OA至点F，使AF＝OA，则△FOP∽△PCO，∴PF＝2PC，当F、P、E三点共线时，PF＋PE有最小值【例题5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为2，点D是⊙C上一动点，点E在CB上，CE＝1，连接AD、DE，则12AD＋2DE的最小值为___________．（提示：连接CD，在CA上取一点F，使CF＝14CA＝1，则△FDC∽△DAC，∴DF＝12AD；∵CE＝1，CB＝4，∴△DCB∽△ECD，∴BD＝2DE，当F、D、B三点共线时，DF＋DB有最小值类型4：隐圆问题【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则AD＋23BD的最小值为____________．（提示：点D的运动轨迹为以C为圆心，2为半径的圆，在BC上取一点E，使得CE＝2 3CD＝43，则△ECD∽△BCD，∴DE＝23BD，当E、D、A三点共线时，AD＋DEBF BBBABCDDEDCBA【例题7】如图，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BP A ＝135°，则2PD＋PC的最小值为____________．【答案】．（提示：连接AB，∵∠BP A＝135°，AB＝，∴点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，连接OP，在OA上取一点E，使得OE＝12OA，则△POE∽△COP，∴PE＝12PC，当D、P、E三点共线时，PD＋PE有最小值xx。

中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAkMB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()2222222222222222212210221x m y k x m k yk x y m k m x k mm k mx y x mk++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB的最小值为__________．EABCDP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12 PA．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12 PA？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA．（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．。

最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC =．证明：ABD ACD S BD S CD = ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC⨯==⨯ ，即AB DB AC DC =（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。