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3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C 处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．45°C．60° D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D ＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD ＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝( )A．65° B．120° C．125° D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )A．120° B．100°C．80° D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD 的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG 内接于⊙O ，∴∠FGD ＝∠ACD .又∵AB 为⊙O 的直径，CF ⊥AB 于E ，∴AB 垂直平分CD ，∴AC ＝AD ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴∠FGD ＝∠ADC .方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】 圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点，AC 、BD 交于点E .(1)求证：△CBE ∽△CAB ；(2)若S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，求sin ∠ABD 的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系 2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册 3.4《圆周角和圆心角的关系》是本节课的主要内容。
通过本节课的学习，让学生理解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能运用圆周角定理解决实际问题。
教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而发现圆周角定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，对圆有一定的认识。
但学生对圆周角和圆心角的概念可能比较陌生，需要通过实例和探究活动来理解和掌握。
此外，学生需要具备一定的观察和推理能力，通过观察图形和逻辑推理来发现圆周角定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的掌握和运用。
2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生观察、思考和推理，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：引导学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆周角和圆心角的图形和实例。
2.教学素材：准备一些相关的实例和习题，用于引导学生进行探究和练习。
3.教学工具：准备圆规、直尺等绘图工具，方便学生进行绘图和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如自行车轮子的转动、钟表的指针运动等，引导学生观察和思考这些现象与圆周角和圆心角的关系。
2.呈现（10分钟）呈现圆周角和圆心角的定义，引导学生理解它们的概念。
通过PPT展示一些实例，让学生观察和思考圆周角和圆心角之间的关系。
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案3一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第三单元“圆”的一部分。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现圆周角定理，并理解其含义。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生掌握圆周角定理，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质和圆的周长、面积计算。
但学生对于圆周角和圆心角的关系可能较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：引导学生发现圆周角定理，理解圆周角定理的含义，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等方法，培养学生动手操作能力和团队协作能力。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
四. 教学重难点1.圆周角定理的发现和理解。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和练习，引导学生观察、操作、交流，发现圆周角定理。
2.问题驱动法：提出问题，激发学生思考，引导学生探究圆周角和圆心角的关系。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和练习。
2.练习题：准备一些有关圆周角和圆心角的练习题，用于巩固和拓展。
3.教学道具：准备一些圆形道具，用于展示和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个圆形，引导学生观察圆周角和圆心角的关系。
提出问题：“你们认为圆周角和圆心角有什么关系？”让学生思考并发表自己的观点。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现几个实例，让学生观察圆周角和圆心角的关系。
引导学生发现圆周角定理：一个圆周角等于它所对的圆心角的一半。
让学生用自己的语言阐述圆周角定理的含义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个关于圆周角和圆心角的练习题，并互相交换解答。
教师巡回指导，解答学生的问题。
圆周角和圆心角的关系（1）(说课稿)3.3 圆周角和圆心角的关系一、教材分析（一）教学内容今天我说课的内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第三章《圆》第3节《圆周角和圆心角的关系》第一课时||。
（二）地位和作用本节课是学生在掌握圆心角的概念以及圆心角、弧、弦的关系的基础上进行学习的||，既是前面圆有关性质的延续||，又是下一节课证明圆周角定理推论的理论依据||。
本节课所渗透的学习内容和学习方法||，在学生今后的学习中应用广泛||，是本章重点内容之一||。
（三）教学目标根据新课程标准的要求以及九年级学生的认知结构与心理特征||，我从以下三方面确定教学目标：知识与技能——理解圆周角的概念和圆周角定理以及证明||。
过程与方法——经历探索圆周角与圆心角的关系的过程||，体会分类、归纳、转化的数学思想方法||。
情感态度与价值观——在推理证明的过程中获得正确的学习方法；在合作交流中培养团结协作的精神；在自主探究中体会成功的喜悦||。
（四）教学重点和难点根据新课程的理念||，经历过程带给学习的能力||，比具体的结果更重要||，结合本课内容||，我认为本节课的教学重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程||，理解掌握圆周角定理||，难点是：利用化归思想推导证明圆周角定理||。
二、教法学法分析（一）教学方法根据新课程理念的要求||，教师应该是数学学习的组织者、引导者与合作者||，结合本节课的内容及学生的实际情况||，在教法上我主要采用“探究合作||，启发引导”的方法||，同时以多媒体演示为辅助||，使学习的主要内容不是教师直接传授给学生||，而是以问题的形式不断呈现出来||，由学生自己去发现||，然后内化为自己知识结构的一部分||，这样既能唤起学生学习的欲望||，又调动学生学习的积极性和主动性||。
（二）学生学法在学法上||，学生主要采用动手实践、自主探索与合作交流相结合的学习方法||，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考||，从自己的实践中获取知识||。
九年级数学下册第三章车轮为什么做成圆形圆周角和圆心角的关系北师大版【本讲教育信息】一、教学内容第三章；第1－3节车轮为什么做成圆形；圆的对称性；圆周角和圆心角的关系二、教学目标1、经历形成圆的概念的过程，经历探索点和圆位置关系的过程。
理解圆的概念，能根据条件画出符合条件的点或图形。
2、经历探索圆的对称性及相关性质的过程，通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生的推理观念，推理能力以及概括问题的能力。
3、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
三、知识要点1、圆的概念；圆是平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形，此定点为圆心，定长为半径，以点O为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
说明：①圆是一条封闭的曲线（圆周），而不能认为是圆面。
②圆上各点到定点的距离等于定长；到点的距离等于定长的点都在圆上。
③圆心和半径是确定一个圆的两个必要条件，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，两者缺一不可。
2、点与圆的位置关系①圆上所有的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上；②圆内各点到圆心的距离都小于半径，即到圆心的距离小于半径的点都在圆内；③圆外各点到圆心的距离都大于半径，即到圆心的距离大于半径的点都在圆外。
说明：⑴设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d。
则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d<r；⑵判断点和圆的位置关系的关键是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，反之亦可由点到圆心的距离与半径的大小关系确定点和圆的位置关系。
3、圆的相关概念①弧：圆上任意两点间的部分。
②半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧称半圆。
③劣弧：小于半圆的弧。
④优弧：大于半圆的弧。
⑤弦：连接圆上任意两点间的线段。
⑥直径：经过圆心的弦。
⑦同心圆：同一平面上同一圆心而半径不同的圆。
⑧等圆：能够重合的两个圆。
3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝()A．65°B．120°C．125°D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD︵的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE∽△CAB；(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。
