大一高等数学期末考试试卷及答案详解

⼤⼀⾼等数学期末考试试卷及答案详解

⼤⼀⾼等数学期末考试试卷

（⼀）

⼀、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,

(),0

x e x f x a x x ?<=?

+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0

(3)(3)

lim

2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)12

3. （3分）定积分22

π

π-?的值为（ ）.

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)⼀定可导(C)可能可导 (D)必⽆极限 ⼆、填空题（共12分）1．（3分） 平⾯上过点(0,1)，且在任意⼀点(,)x y 处的切线斜率为

23x 的曲线⽅程为 .

2. （3分） 1

241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20

1lim sin x x x

→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极⼤值为 .

三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)

lim

.sin 3x x x x →+

2. （6

分）设2,1y x =+求.y '

3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3(1),f x dx -?其中

,1,()1cos 1, 1.x x

x f x x

e x ?≤?

=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =

由⽅程0cos 0y

x

t

e dt tdt +=??所确定,求.dy

6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +?

7. （6

分）求极限3lim 1.2nn n →∞

+

四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x

2. （7分）求由曲线cos 2

2y x x π

π??

=-

≤≤

与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线⽅程.

4. （7

分）求函数y x =+[5,1]-上的最⼩值和最⼤值.

五、证明题(6分)

设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22b

b

aa

b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?

（⼆）

⼀、 填空题（每⼩题3分，共18分） 1．设函数()2

3122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.

2．函数()21ln x y +=，则='y

.

3． =?

+∞→x

x x x 21lim

.

4．曲线

x

y 1=

在点

2,21处的切线⽅程

为 . 5．函数2

332x x y -=在[]4,1-上的最⼤值 ，最⼩

值 . 6．=+?dx x

x

2

1arctan . ⼆、 单项选择题（每⼩题4分，共20分） 1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .

() A 必要但⾮充分条件； () B 充分但⾮必要条件 ； () C 充分必要条件； () D ⽆关条件.

2．下列各式正确的是（ ） .

() A C e dx e x x +=--?； () B C x

xdx +=?1

ln ； () C ()C x dx x +-=-?

21ln 2

1211； () D C x dx x

x +=?

ln ln ln 1

. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.

() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为

凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且

为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.

() A 等于1； () B 等于1-； () C 等于0； () D 不存在.

5．已知()2lim 1=+

→x f x ，以下结论正确的是（ ）.

() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去

⼼邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右

侧某邻域内有定义.

三、 计算（每⼩题6分，共36分） 1．求极限：xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.

4. ?+dx x

x 2

2

1. 5. ?xdx x cos .

6.⽅程y

x

x y 11=确定函数()x f y =，求y '.

四、 （10分）已知2x e 为()x f 的⼀个原函数，求()?dx x f x 2.

五、 （6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 （10分）设()()C e x dx x f x

++='?1，求()x f .

（三）

⼀、填空题(本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分).

（1） 21

0)(cos lim x x x → e

1.

（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平⾏的切线⽅程为1-=x y . （3）已知xx

xe

e

f -=')(，且0)1(=f , 则

=)(x f =)(x f 2

)(ln 21

x .

（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线⽅程为 .91

31-=x y

（5）微分⽅程522(1)1'-=++y y x x 的通解为.

)1()1(32227+++=x C x y

⼆、选择题 (本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 01

1

1=?-dx x (B) 21112

-=?-dx x

(C) +∞=?∞

+1

41dx x (D) +∞=?∞+11dx x

（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1

所

⽰，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点.

(C) 1x 是极值点.，())(,22x f x

(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点图

1-1

（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满⾜的⼀个微分⽅程是（ D ）.（A ）23e .xy y y x '''--=

（B ）23e .x

y y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-= （D ）23e .x

y y y '''+-=

（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)

不存在 .

（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (())

().

f x dx f x '=? (B) ()().

=?df x f x (C) [()]().d f x dx f x =

(D) ()().

f

x dx f x '=?

三、计算题（本题共4⼩题，每⼩题6分，共24分）. 1．求极限)ln 11(

lim 1

x x x x --→.

解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1

-+-→ 1分

=x x x x

x ln 1

ln lim

1

+-→ 2

分= x

x x x x x ln 1ln lim

1

+-→ 1分

= 211ln 1ln 1lim

1=

+++→x x x 2

分2.⽅程??

+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与2

2dx y d .

解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3

分） .sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）

3. 4. 计算不定积分.

2

22(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------??分

分（分

4.计算定积分?++3011dx x

x

.

解 ??-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ?+--=3

0)11(dx x （3

分）3

5)

1(3

2330

23=

++-=x （6分）

（或令t x =+1）

四、解答题（本题共4⼩题，共29分）.1．（本题6分）解微分⽅程256x

y y y xe '''-+=.

2122312*20101*223212-56012,31.1()11

1.

21

(1)12

1

(1).12

x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征⽅程分特征解.分 次⽅程的通解Y =C 分令分

代⼊解得，所以分

所以所求通解C 分2．（本题7分）⼀个横放着的圆柱形⽔桶（如图4-1），桶内盛有半桶⽔，设桶的底半径为R ，⽔的⽐重为γ，计算桶的⼀端⾯上所受的压⼒．

解：建⽴坐标系如图22022220

322203*********R

R

R

P gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------??

分

（）分[（）]分

分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，

且2()1b

a

f x dx =?，

试求()()b axf x f x dx