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考研二重积分强化笔记二重积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我将从多个角度全面完整地回答你关于考研二重积分的问题。
首先，二重积分的定义是对二元函数在一个有界闭区域上的积分。
它可以看作是将一个平面区域分割成无穷多个小矩形，然后对每个小矩形内的函数值进行求和得到的极限。
二重积分的符号表示为∬f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是被积函数，dx和dy分别表示对x和y的积分变量。
在求解二重积分时，可以采用不同的方法，如直角坐标系下的直接计算、极坐标系下的转化等。
对于简单的区域和函数，可以直接按照定义进行计算；对于复杂的区域和函数，可以采用变量代换、对称性等技巧简化计算过程。
在考研中，二重积分的强化主要包括以下几个方面：1. 区域的确定，要求熟练掌握如何确定二重积分的积分区域。
可以通过观察图形、利用对称性、变量代换等方法确定积分区域的边界和限制条件。
2. 计算积分，要熟悉二重积分的计算方法，包括直接计算、极坐标转化、变量代换等。
对于不同类型的函数和区域，需要掌握相应的计算技巧和公式。
3. 应用题，要能够将实际问题转化为二重积分的形式，并进行求解。
这需要对问题进行适当的建模和分析，将问题中的条件和要求转化为积分的限制条件和被积函数。
4. 与其他数学概念的关联，二重积分与其他数学概念有着密切的联系，如面积、体积、质量、质心等。
要能够将二重积分与这些概念进行关联，理解其物理和几何意义。
5. 解题技巧，要掌握一些解题的技巧和方法，如利用对称性简化计算、利用积分的性质化简表达式、合理选择坐标系等。
这些技巧可以帮助我们更快、更准确地求解二重积分。
总之，考研二重积分是一个相对较难的内容，需要对积分的基本概念和计算方法有深入的理解和掌握。
通过大量的练习和实践，加深对二重积分的理解，掌握解题的技巧和方法，相信你能够在考研中取得好的成绩。
希望以上内容能够对你的学习有所帮助！。
8.6 二重积分二重积分也是由实际问题的需要而产生的。
在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的形式，便可得到二重积分的概念。
一． 二重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是xoy 平面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面),(y x f z =，这里0),(≥y x f ，且在D 上连续（如图所示）。
这种立体称为曲顶柱体。
现在我们来讨论它的体积。
关于曲项柱体，当点),(y x 在区域D 上变动时，高),(y x f 是个变量，因此它的体积不能直接用体积公式来计算。
不难想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。
(1) 分割：我们用一曲线网把区域D 任意分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，…，n σ∆小区域i σ∆的面积也记作i σ∆。
以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲项柱体分为n 个细条的小曲顶柱体。
它们的体积分别记作1V ∆，2V ∆，…，n V ∆(2) 近似代替：对于一个小区域i σ∆，当直径（i σ∆最长两点的距离）很小时，由于),(y x f 连续，),(y x f 在i σ∆中的变化很小，可以近似地看作常数。
即若任意取点∈),(i i ηξi σ∆，则当i y x σ∆∈),(时，有),(y x f ),(i i f ηξ≈，从而以i σ∆为底的细条曲顶柱体可近似地看作以),(i i f ηξ为高的平顶柱体（如图所示）于是≈∆i V ),(i i f ηξi σ∆ ),,3,2,1(n i =(3) 求和：把这些细条曲顶柱体体积的近似值),(i i f ηξi σ∆加起来，就得到所求的曲顶柱体体积V 的近似值，即∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ(4) 取极限：一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积V ，当把区域D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径0→λ时，则和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积V ，即0lim →=λV ∑=∆n i i ii f 1),(σηξ引例2 非均匀平面薄板的质量设薄片的形状为闭区域D(如图所示)，其面密度ρ是点),(y x 的函数，即),(y x ρρ=在D 上为正的连续函数．当质量分布是均匀时，即ρ为常数，则质量M 等于面密度乘以薄片的面积。
二重积分和二次积分的关系在数学中，积分是一种重要的概念，用于求解曲线下的面积、体积、质量等问题。
二重积分和二次积分是积分的两种不同形式，它们之间存在密切的关系。
我们来了解一下什么是二重积分。
二重积分是将一个二元函数在一个有限的区域上进行积分运算，得到的是一个数值。
它的本质是将一个平面区域划分成无限个无穷小的面积元素，然后将这些面积元素相加得到的总面积。
二重积分可以表示为∬f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是被积函数，dxdy表示面积元素。
而二次积分则是求解一个函数的积分的过程。
一次积分是对一个函数在一个区间上的积分，而二次积分则是对一个函数在一个二维区域上的积分。
二次积分可以表示为∫∫f(x,y)dA，其中f(x,y)是被积函数，dA表示面积元素。
可以看出，二次积分和二重积分的形式很相似，都是对一个函数在一个平面区域上进行积分运算。
实际上，二次积分可以看作是二重积分的一种特殊情况。
当被积函数f(x,y)为常数函数时，二次积分就等于被积函数f(x,y)乘以区域的面积。
二次积分和二重积分的关系可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们要计算一个圆的面积，可以使用二次积分的方法。
我们可以将圆划分成无数个无穷小的扇形面积元素，然后将这些面积元素相加得到总面积。
而利用二重积分的方法，我们可以将圆划分成无数个无穷小的面积元素，然后将这些面积元素相加得到总面积。
可以看出，二次积分和二重积分的结果是一样的。
除了计算面积，二次积分和二重积分还可以用于求解其他问题。
例如，二重积分可以用于求解质心、转动惯量等物理问题，而二次积分可以用于求解电场、电势等电磁问题。
总结来说，二次积分和二重积分是积分的两种不同形式，它们之间存在密切的关系。
二次积分可以看作是二重积分的一种特殊情况，二次积分和二重积分在计算面积等问题时可以得到相同的结果。
二次积分和二重积分在数学和物理中都有广泛的应用，可以用于求解各种问题。
通过对二重积分和二次积分的关系的了解，我们可以更好地理解积分的概念和应用。
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
二重积分概念
二重积分是多元函数微积分学应用的一个主要内容，是在解决实际问题的实践中不断抽象出来的，是一元函数定积分、多元函数曲线积分的推广。
二重积分指的是一种特殊的积分形式，它分为两个次积分，把原来的一维函数转换成为二维函数，即把一维的积分转换成为二维的积分。
二重积分可以解决许多有关实际问题的求解，比如说，用它求解空间面积、体积、重力场的积分、电磁场的积分、动力学方程的积分等。
其概念与性质在物理学、力学、工程以及金融等学科领域都有广泛应用。
二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。
所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。
二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。
此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。
Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。
对二重积分的总结二重积分是微积分中的一个重要内容，也是数学中的一个重要概念。
它在解决面积、质量、物理量分布以及数值计算等问题中具有广泛应用。
首先，二重积分的概念就是对二元函数在给定的区域上进行积分。
与一元函数积分相比，二元函数积分不仅需要考虑函数在x轴上的值，还需要考虑函数在y轴上的值。
为了简化计算，二重积分通常可以通过将区域分解为小的矩形来进行计算。
二重积分的计算可以采用两种方法：直接计算与变量代换。
直接计算是最简单的计算方法。
通过将被积函数表示成适当的展开形式，再对每一项进行积分，并将所有项相加即可得到二重积分的值。
这种方法简单直观，适用于简单的函数和规则的区域。
而变量代换是一种更为灵活和普遍的计算方法。
通过引入新的变量来改变积分的形式，使得计算更加简便。
变量代换的基本思想是利用一个映射将原来的积分区域变成一个新的区域，使得新的区域更容易计算。
变量代换的关键是要选取适当的变换函数使得既能将原积分区域变换为新的积分区域，又能保证被积函数的变换后的表达式简化。
二重积分的性质也是我们在计算中常常用到的。
比如，二重积分具有线性性质，即对于两个函数的和的积分等于这两个函数的积分之和。
另外，二重积分还具有区域可加性，即对于区域的分割，将原来的积分区域分割成多个小区域后再进行积分，最终的结果等于对每个小区域分别进行积分后的结果的总和。
此外，二重积分还与物理问题的求解密切相关。
比如，在质点位于平面区域上运动的问题中，可以通过对运动区域进行积分，求得质点在该区域上物理量的总量。
同样，在电场、磁场分布等问题中，也可以通过对相应的区域进行二重积分得到相应的物理量。
除了以上的数学和物理应用，二重积分还有广泛的数值计算应用。
在实际计算中，往往需要求解的二重积分并不具备求解解析解的条件，这时我们可以采用数值积分的方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等，来对二重积分进行近似计算。
这些数值方法通常需要将积分区域分割成小的网格，然后对每个小区域进行积分，最终将计算结果进行合并得到二重积分的近似值。
二重积分通俗理解
一、什么是二重积分？
1.1 定义
二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。
1.2 符号表示
一般来说，用符号∬来表示二重积分。
对于一个函数f(x,y)，其在区域D上
的二重积分可以表示为：
∬f
D
(x,y) dx dy,
其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。
二、二重积分的计算方法
2.1 直角坐标系中的二重积分计算
在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。
对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的
宽度和高度。
然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值
f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。
将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。
当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。
用极限的形式表示为：
∬f D (x,y) dx dy=lim
Δx i→0
Δy i→0
∑f
n
i=1
(x i∗,y i∗)ΔA i.
2.2 极坐标系中的二重积分计算
在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。
对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。
其中r表示极径，θ表示极角，dr
和dθ分别表示极径和极角的微小增量。
则二重积分的计算公式为：
$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)
r\,dr\,d\theta.$$
这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。
三、二重积分的应用
3.1 几何意义
二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。
对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：
S=∬√1+(∂z
∂x
)
2
+(
∂z
∂y
)
2
D
dx dy.
3.2 质心的计算
另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。
对于一个均匀物体，其密度函数为常数ρ，则质心的坐标(x‾,y‾)可以用以下公式表示：
x‾=1
M
∬x
D
ρ(x,y) dx dy, y‾=
1
M
∬y
D
ρ(x,y) dx dy,
其中M表示物体的总质量。
3.3 数学物理问题
二重积分在数学物理问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、力矩等。
通过建立合适的数学模型，并应用二重积分的相关公式，可以解决许多复杂的物理问题。
四、总结
二重积分是微积分中的重要概念，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它有直角坐标系和极坐标系两种计算方法，可以应用于几何问题、质心计算以及数学物理问题等。
通过对二重积分的学习和应用，我们可以更好地理解函数的积分性质，解决实际问题，并丰富我们的数学知识。
参考文献
1.Stewart, J. (2007). “Calculus: Early Transcendentals” (6th ed.).
Thomson.
2.Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2002). “Calculus” (8th ed.).
John Wiley & Sons.。
