二重积分的定义

高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。

它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。

一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。

通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。

1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。

即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。

若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。

2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。

即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。

3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。

具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。

1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。

对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。

第十章 二重积分一、内容概要1.二重积分的定义定义 设函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上有定义.分割 用任意两组曲线将区域D 分成n 个小区域，分别记为12,,,n σσσ∆∆∆ .并以i σ∆代表第i 个小区域的面积.求和 在每个小区域i σ∆上任意一点(,)i i x y 作乘积(,)i i i f x y σ∆，并求和1(,)nii ii f x y σ=∆∑. 取极限 记λ为n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆ 中的最大的直径，如果 01l i m (,)ni i ii f x y λσ→=∆∑. 存在，且此极限值不依赖区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i x y 的取法，则称此极限值为函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，记为1(,)l i m(,)ni i i i Df x y d f x y λσσ→==∆∑⎰⎰，称d σ为面积元素.2.二重积分的几何解释由二重积分的定义可知，二重积分为一个数值.从几何上可以解释为： 若在区域D 上，(,)f x y 0≥，则二重积分的值等于以区域D 为底，以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶直柱体的体积.若在区域D 上，(,)f x y 0≤，则二重积分的值的绝对值等于以D 为底，以曲面(,)z f x y =为曲顶的直柱体体积，此时二重积分的值为负值.若在区域D 上的某些子区域上(,)f x y 0≥，而另一些子域上(,)f x y 0≤，则二重积分的值等于这些子区域上，以(,)z f x y =为曲顶的直柱体体积的代数和，其中(,)f x y 0≥的直柱体体积值前取“+”，在(,)f x y 0≤的直柱体体积前取“-”.3.二重积分的存在性存在定理 若(,)f x y 在闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上的二重积分必存在.4.二重积分的性质设下列被积函数都是可积的. 性质1(,)(,)DDkf x y dk f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.此性质由左向右看，可以解释为：常数因子可以提到积分号外面去.由右向左看，可以解释为：常数乘以二重积分，可以将此因子送入积分表达式中去.性质2(,)(,)(,)(,)D D Df x yg x y d f x y d g x y d σσσ⎡⎤±=±⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 性质3 如果闭区域D 由有限条曲线分为两个区域12,D D ,则1(,)(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰2(,)D f x y d σ+⎰⎰.性质4 若记区域D 的面积为S ，则Dd S σ=⎰⎰.性质5 在D 上若(,)(,)f x y g x y ≤，则 (,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰,(,)(,)DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰.性质6 若在D 上有(,)m f x y M ≤≤,则 (,)Dm S f x y d MS σ≤≤⎰⎰, 其中S 为区域D 的面积.性质7 设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，S 为区域D 的面积，则在D上至少存在一点ξη（，），使得(,)Df x y d f σξη⋅⎰⎰=（，）S , 称此性质为二重积分的中值定理.5.二重积分的计算二重积分是定积分的推广.计算的基本途径是将其转化为二次积分计算，不同积分次序的二次积分计算量可能相差很大，甚至其中一种次序易于计算，而另一种次序计算复杂，以至于不能用初等函数形式表出.因此计算二重积分时选择积分次序是至关重要的问题.有些问题中给定了积分次序，但依此次序积分可能计算复杂，以至于不能用初等函数形式表示，但是这并不能断言二重积分不能计算，此时应考虑交换积分次序或改变坐标系.因此二重积分有交换积分次序的问题与转换坐标系的问题.常见的二重积分计算可归纳为以下规律： （1） 选择积分次序对于给定的二重积分应先选定积分次序，积分次序的选择要考虑两个因素：被积函数与积分区域.选定积分次序之后，关键是确定二次积分的积分限，通常的方法是：先画出积分区域D 的图形.若先对y 积分，且平行于y 轴的直线与区域D 的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y 的积分限的方法为：作平行于y 轴的直线与区域D 相交，沿y 轴的正向看，所作出的直线与区域D 先相交的边界线1()y y x =（称之为入口线），作为积分下限.离开区域D 的边界线2()y y x =（称之为出口线），作为积分上限.而后对x 积分时，其积分下限取自区域D 在Ox 轴上投影的最小值；积分上限取自区域D 在Ox 轴上投影的最大值.即先对y 积分（入口线）下限 （出口线）上限12()()y x y y x ≤≤后对x 积分 将区域D 在Ox 轴上投影（最小值）下限 （最大值）上限 a x b ≤≤其特点是：内层积分限为外层积分变量的函数（或常数），而外层积分限一定为常数！（2） 交换积分次序如果给定的积分为二次积分，它不能用初等函数形式表示出来，或者积分的计算量较大，可考虑采用交换积分次序，其一般步骤为：○1先依给定的二次积分限，写出积分区域D 的不等式表达式，并依此作出区域D 的图形.○2再依区域D 的图形，按前面（1）所述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限. （3） 选取坐标系如果二重积分不宜在直角坐标系中计算，可考虑利用极坐标系计算，特别是被积函数 为22()f x y +，或积分区域为圆域、扇形域、圆环域时，利用极坐标系计算二重积分较方便.在极坐标系下二重积分计算的基本思想也是将其转化为二次积分.其一般做法是：先将积分区域D 的边界曲线用极坐标表示.设积分区域的边界曲线与过极点的射线至多有两个交点.○1若极点O 在区域D 外部，区域D 可以表示为12,()()r αθβϕθϕθ≤≤≤≤，则21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df r r rdrd d f r r rdr βϕθαϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰.○2若极点O 在区域D 的边界曲线上，区域D 可以表示为,0()r αθβϕθ≤≤≤≤，则()(cos ,sin )(cos ,sin )Df r r rdrd d f r r rdr βϕθαθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰.○3若极点O 在区域D 的内部，区域D 可以表示为02,0()r θπϕθ≤≤≤≤，则2()(cos ,sin )(cos ,sin )Df r r rdrd d f r r rdr πϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰.（4） 对称性质注意利用被积函数与积分区域的对称性，以简化运算.若(,)f x y 为x 的奇函数，而积分区域D 关于y 轴对称，则当(,)f x y 为D 上的连续函 数时.必有(,)0Df x y d x d y =⎰⎰. 若(,)f x y 为x 的偶函数，积分区域D 关于y 轴对称，且在x 轴右方部分记为1D ，则当(,)f x y 为D 上连续函数时，必有1(,)2(,)DD f x y dxdyf x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.如果积分区域D 关于y 轴对称，而被积函数(,)f x y 既非x 的奇函数，也非x 的偶函数，但是可以将1(,)(,)f x y f x y =+2(,)f x y ，即分解为两个函数之和，其中1(,)f x y 或2(,)f x y 为x 的连续的奇函数或偶函数，则可以部分地使用对称性简化计算.如果(,)f x y 为x 的连续的奇函数或偶函数，而积分区域D 不关于y 轴对称，但是可以将D 分解为1D 与2D 两个子区域，其中1D 或2D 关于y 轴对称，则可以部分地使用对称性以简化计算.（5） 被积函数中含有绝对值符号此时应将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域中保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号.如果被积函数中含有开偶次方根的表达式，注意开方后应取绝对值形式的表达式.如果积分区域D 为无界区域，(,)f x y 在区域内连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰为二重反常积分，化为二次积分后可依反常积分处理.二、基本问题与基本运算方法基本问题计算二重积分 基本运算方法 1.交换积分次序2.极坐标系下二次积分与直角坐标系下二次积分的转化3.可变限二重积分是变限的函数4.利用概念与性质计算二重积分（1）若二重积分存在，则它表示一个确定的数值.（2）二重积分对于被积函数的可加性、对于积分区域的可加性. （3）二重积分的对称性质：若(,)f x y 为区域D 上的连续函数，区域D 关于y 轴对称，且在y 轴右侧的部分为1D ，则10,(,)(,)2(,),(,).DD f x y x f x y dxdy f x y dxdy f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数，为的偶函数（1） 二重积分的坐标轮换对称性质若(,)f x y 为区域D 上的连续函数，区域D 的边界曲线的方程中x,y 的地位对称，则(,)(,)DDf x y dxdyf y x dxdy =⎰⎰⎰⎰.5.分段函数的二重积分（1）计算分段函数的二重积分，应先将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域上有唯一的表达式.（2）被积函数中含有绝对值符号时，应先将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域上保持同一符号，以消去被积函数中的绝对值符号. （3）被积函数中含有开偶次方根的表达式，注意开方后的表达式应取绝对值形式的表 达式.6.二重积分的计算（1）直角坐标系下化为二次积分. （2）极坐标系下计算二次积分.三、范例（一）交换二次积分次序1. 交换二次积分次序10(,)dy f x y dx =⎰ .2.（0.65） 交换积分次序111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰ .3. （0.645）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A.1arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰B.1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰C. 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ D.1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰4. 设函数(,)f x y 连续，交换二次积分次序得1022(,)y dy f x y dx -⎰⎰=（ ）.A.122(,)xdx f x y dy +-⎰⎰B.0212(,)x dx f x y dy -+⎰⎰C. 212(,)x dx f x y dy -⎰⎰D.20012(,)x dx f x y dy -⎰⎰5. （0.61） 交换二次积分的积分次序0112(,)ydy f x y dx --⎰⎰= .6.设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰=（ ）.A.2411(,)xdx f x y dy -⎰⎰B.241(,)xxdx f x y dy -⎰⎰C. 2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰D.221(,)ydy f x y dx ⎰⎰7.累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成（ ）.A. 10(,)dy f x y dx ⎰B.100(,)dy f x y dx ⎰ C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰D.10(,)dx f x y dy ⎰8.（0.774）设函数()f u 连续，区域(){}22,2D x y xy y =+≤，则()Df x yd x d y⎰⎰等于（ ）A. 11()dx f xy dy -⎰B. 202()dy f xy dx ⎰C. 2sin 2(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰D.2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰9.设区域(){}22,2,0D x y x xy x y =≤+≤≥，则在极坐标下二重积分Dxydxdy ⎰⎰=（ ）.A. 2cos 22cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰B.2cos 320cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰C. 2cos 20cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰D.2cos 30cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰10.设函数f 连续.若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂∂=（ ）. A.. 2()vf u B. 2()v f u u C. ()vf u D. ()vf u u11.如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=（ ）.A. 1IB. 2IC. 3ID. 4I12.（0.595）设1DI σ=⎰⎰，222cos()DI x y d σ=+⎰⎰，2223cos()DI x y d σ=+⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≤，则（ ）.A 3I >2I >1I B. 1I >2I >3I C. 2I >1I >3I D. 3I >1I >2I13.（0.85）设(),f x y 为连续函数，且(),f x y =()D,xy f u v dudv +⎰⎰，其中D是由20,,1y y x x ===围成的区域，则(),f x y 等于（ ）.A. xyB. 2xyC. 18xy + D. 1xy +14.（0.42）设闭区域()22:,0,,D x y y x f x y +≤≥为D 上的连续函数，且 ()8,(,),Df x y f u v dudv π=⎰⎰求(),f x y .15.设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域 (){,01D x y x x x =≤≤≤，则以下结论正确的是（ ）. A.()()0Df yg x dxdy =⎰⎰ B. ()()0D f x g y dxdy =⎰⎰C. ()()0Df xg y dxdy +=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ D. ()()0Df yg x dxdy +=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 16.设(){}22,1D x y xy =+≤，则()2Dx y dxdy -=⎰⎰ .17.（0.72）求二重积分221()21x y Dy xe dxdy +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰的值，其中D 是由直线y=x,y=1-及x=1围成的平面区域.18（0.515）设a>0，(),01,()0,a x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩若其他，D 表示全平面，则D()()I f x g y x dxdy =-=⎰⎰ .19.（0.58）设2,12,0,(,)0,x y x y x f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩若其他，求D(,),f x y dxdy ⎰⎰其中(){}22,2D x y xy x =+≥.20.（0.544）计算 {}Dmax ,1,xy dxdy ⎰⎰其中(){},02,02D x y x y =≤≤≤≤.21.计算{}22()min ,xy x y e dxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.22.（0.372）设二元函数2,1,(,)2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=+≤1<， 计算二重积分()D,f x y d σ⎰⎰，其中(){},2D x y x y =+≤.23. 211ln y dx x xdy =⎰⎰.24.设(){}22,1,0D x y xy y x =+≤≤≤，则22x y Dedxdy +⎰⎰= .25.（0.658）计算二重积分D，其中D 是由直线y=x,y=1,x=0所围成的平面区域.26.计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰.其中D 是由x 轴，y1=所围成的区域，a>0,b>0.27.(0.69)设D 是以点O （0，0），A （1，2）和B （2，1）为顶点的三角形区域，求Dxdxdy ⎰⎰.28.计算二重积分2y Dxe dxdy -⎰⎰，其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.29.（0.58）设(){}22,D x y xy x =+≤，求D.30.计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy x y =+≤++.31.（0.484）求()22Df x y y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和()2211x y ++=所围成的平面区域.32.（0.551）计算二重积分 22()22sin()xy DI e x y dxdy π-+-=+⎰⎰，其中积分区域(){}22,D x y xy π=+≤.33.（0.52）计算二重积分D,ydxdy ⎰⎰其中D 是由直线x=-2,y=0,y=2以及曲线x =所围成的平面区域.34.（0.28）计算二重积分Dσ，其中D 是由曲线0)y a a =->和直线y=-x 围成的区域.35.（0.442）计算二重积分22D1xy d σ+-⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.36.计算二重积分D(),x y dxdy -⎰⎰其中(){}22,(1)(1)2,D x y x y y x =-+-≤≥.。

二重积分一．二重积分定义：设D 为xy 平面上的有界闭区域，(,)f x y 为定义在D 上的函数。

用任意的曲线把D 分成n 个小区域12,,.n σσσ 以i σ∆表示小区域的面积，这些小区域构成D 的一个分割T , 以i d 表示小区域i σ的直径，称1max i i nT d ≤≤=为分割T 的细度。

在每个i σ上任取一点(,)i i ξη，作和式1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，称它为函数(,)f x y 在D 上属于分割T 的一个积分和。

如果1lim(,)niiiT i f ξησ→=∆∑存在，则称(,)f x y 在D 上可积，此极限值就称为(,)f x y 在D 上的积分，记为(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)lim (,)ni i i DT i f x y d f σξησ→==∆∑⎰⎰。

定理：有界闭区域上的连续函数必可积。

性质：1. 若(,)f x y 在区域D 上可积，k 为常数，则(,)kf x y 在D 上也可积，且(,)(,).DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰2. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，则(,)(,)f x y g x y ±在D 上也可积，且[(,)(,)](,)(,).DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 若(,)f x y 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则(,)f x y 在12D D ⋃上也可积，且1212(,)(,)(,).D D D D f x y d f x y d g x y d σσσ⋃=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，且(,)(,)f x y g x y ≤，(,),x y D ∈ 则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰5. 若(,)f x y 在区域D 上可积，则函数(,)f x y 在区域D 上也可积，且(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰6. 若(,)f x y 在区域D 上可积，且(,),(,),m f x y M x y D ≤≤∈ 则 (,),D D DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰这里D S 是积分区域D 的面积。

8.6 二重积分二重积分也是由实际问题的需要而产生的。

在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的形式，便可得到二重积分的概念。

一． 二重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是xoy 平面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面),(y x f z =，这里0),(≥y x f ，且在D 上连续（如图所示）。

这种立体称为曲顶柱体。

现在我们来讨论它的体积。

关于曲项柱体，当点),(y x 在区域D 上变动时，高),(y x f 是个变量，因此它的体积不能直接用体积公式来计算。

不难想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。

(1) 分割：我们用一曲线网把区域D 任意分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，…，n σ∆小区域i σ∆的面积也记作i σ∆。

以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲项柱体分为n 个细条的小曲顶柱体。

它们的体积分别记作1V ∆，2V ∆，…，n V ∆(2) 近似代替：对于一个小区域i σ∆，当直径（i σ∆最长两点的距离）很小时，由于),(y x f 连续，),(y x f 在i σ∆中的变化很小，可以近似地看作常数。

即若任意取点∈),(i i ηξi σ∆，则当i y x σ∆∈),(时，有),(y x f ),(i i f ηξ≈，从而以i σ∆为底的细条曲顶柱体可近似地看作以),(i i f ηξ为高的平顶柱体（如图所示）于是≈∆i V ),(i i f ηξi σ∆ ),,3,2,1(n i =(3) 求和：把这些细条曲顶柱体体积的近似值),(i i f ηξi σ∆加起来，就得到所求的曲顶柱体体积V 的近似值，即∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ(4) 取极限：一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积V ，当把区域D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径0→λ时，则和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积V ，即0lim →=λV ∑=∆n i i ii f 1),(σηξ引例2 非均匀平面薄板的质量设薄片的形状为闭区域D(如图所示)，其面密度ρ是点),(y x 的函数，即),(y x ρρ=在D 上为正的连续函数．当质量分布是均匀时，即ρ为常数，则质量M 等于面密度乘以薄片的面积。

第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。

将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。

在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。

假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。

这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。

Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。

mathematica二重积分
摘要：
1.二重积分的定义与性质
2.二重积分的计算方法
3.Mathematica 软件在二重积分求解中的应用
4.结论
正文：
一、二重积分的定义与性质
二重积分是多元函数积分中的一种，它是指对一个二元函数在给定的二维区间上进行的积分。

二重积分具有以下性质：线性性、连续性、可积性、可积函数的有界性等。

二、二重积分的计算方法
计算二重积分通常采用以下步骤：
1.确定积分区域：根据题目给出的函数和区间，确定二重积分的积分区域。

2.确定变量代换：根据积分区域的特点，选择适当的变量代换方法，如极坐标变换、笛卡尔坐标变换等。

3.计算一重积分：将二重积分转化为一重积分，然后利用一重积分的求解方法进行计算。

4.计算二重积分：根据变量代换的结果，将一重积分的结果转化为二重积分的结果。

三、Mathematica 软件在二重积分求解中的应用
Mathematica 是一款强大的数学软件，它可以帮助我们快速、准确地求解二重积分。

在Mathematica 中，我们可以使用Integrate 函数来求解二重积分，也可以使用相应的图形界面进行求解。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2 在区间[0, 1]×[0, 1] 上的二重积分，我们可以在Mathematica 中输入以下命令：
```
Integrate[f[x, y], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
```
Mathematica 将自动计算出二重积分的结果。

四、结论
二重积分是多元函数积分中的一种基本形式，它在数学、物理等领域具有广泛的应用。

二重积分定义法
二重积分的定义法是通过将被积函数沿着给定的积分域进行分割，并在每个小分割区域上进行近似求和，最终得到二重积分的结果。

具体来说，二重积分的定义法包括以下步骤：
1.将积分域（通常为平面上的闭区域）分割成多个小矩形或
小面积区域。

2.在每个小矩形或小面积区域内取一个代表点（例如，取小
矩形的中心或小面积区域的某个点）。

3.对于每个小矩形或小面积区域，计算该区域上函数值与该
区域面积的乘积，并将结果相加。

4.对于所有小矩形或小面积区域的乘积之和，取极限，将分
割数无限增加（即小矩形或小面积区域的大小无限趋近于0）。

5.最终，所得到的极限即为二重积分的值。

通过这种定义法，可以得到二重积分的具体计算过程。

然而，定义法在实际计算中通常不直接使用，因为分割和求和的过程繁琐且耗时。

通常使用更方便且高效的积分技巧，如换元法、极坐标法、直角坐标法等来计算二重积分。