高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．知识内容排列组合问题的常见模型 2⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．分堆问题【例1】 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本； ⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本； ⑷ 平均分给甲、乙、丙三人； ⑸ 平均分成三堆． 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有16C 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有25C 种取法，再后从余下三本取三作作为一堆，有33C 种取法，故共有分法12365360=C C C 种．⑵ 由⑴知，分成三堆的方法有123653C C C 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为12365360=C C C 种．⑶ 由⑴知，分成三堆的方法有123653C C C ，但每一种分组方法又有33A 不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有12336533360=C C C A （种）典例分析⑷ 3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有26C 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有24C 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有22C 种方法，所以一共有22264290=C C C 种方法． ⑸ 把6本不同的书分成三堆，每堆二本和把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应33x ⋅A 种，由⑷知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有222642C C C 种． 所以32223642x =A C C C ，则2226423315x ==C C C A （种） 点评：本问题的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中⑴属非均匀分组问题．⑵属非均匀定向分配问题．⑶属非均匀不定向分配问题．⑷属均匀不定向分配问题．⑸属均匀分组问题．一般地，n 个元素中有1n 个元素（1n n ≤）均分成m 堆一定要除以m m A ． 例如：有17个桃，分成8堆，其中一堆一个，一堆4个，另外6堆每堆都是2个，有多少种不同的分法一共有1422222217161210864266C C C C C C C C A 种不同分法．【例2】 有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ ⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ ⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有222642C C C 90⋅⋅=（种）．这是均匀编号分组问题⑵6本书平均分成3堆，用⑴中方法重复了33Α倍，故共有226433C C 15⋅=Α（种）．这是均匀分组问题．⑶从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有123653C C C 60⋅⋅=（种）． 这是非均匀分组问题 ⑷在⑶的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有12336533C C C 360⋅⋅⋅=Α（种）． 这是非均匀编号分组问题．⑸甲先取1本，乙在剩下的取1本，余下4本给丙，故共有1165C C 30=（种）． 这 是部分均匀编号分组问题．⑹平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有116522C C 15⋅=Α（种）．这是部分均匀分组问题．⑺本题即为6本书放在6个位置上，共有66720=Α（种）．【例3】 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人； ⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人； ⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴可直接从7人中选出2人的方法有27C 种，再由余下的5个人中选3人的方法有35C种，所以依分步计数原理，分组的方法有：2375C C 210=种． 也可先选取5人，再分为两组有523753C C C 210=种．⑵选3人为一组有37C 种，再选3人为另一组有34C 种，依分步计数原理，又每22Α种分法只能算一种，所以不同的分法有337422C C 70=Α种．也可以先选再分组为63376322C C C 70=Α种． ⑶由于分组后各组要担任不同的工作，这就将不编号的组变为编号的组，只需乘以组数的全排列即可，分组的方法有232752C C 420=Α种．【例4】 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2009年，重庆高考【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按211，，分成三组，其分法有24C 种；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，有33Α种．所以满足条件的分配方案有2343C 36Α=种．【答案】36；【例5】 把一同排6张座位编号为123456，，，，，的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2005年，湖北高考【解析】易知4个人获得电影票的张数只有1122，，，这种可能，分情况讨论：⑴编号12，的票发给同一个人，则有3和4、4和5、5和6发给同一个人3种情况； ⑵编号23，的票发给同一个人，则有4和5、5和6发给同一个人2种情况； ⑶排除⑴⑵的情况只有1种可能：3和4、5和6分别发给同一个人．所以6张电影票分成1122，，，有6种可能，故题目要求的不同分法数为446144=Α种，选D ．【答案】D【例6】 现有3辆公交车、3 位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答【关键字】无【解析】分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：□□□，然后把3名司机和3名售票员分别填入，因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．解析：分两步完成，第一步，把3名司机安排到3辆车中，有336=A 种安排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有336=A 种安排方法．故搭配方案共有333336⋅=A A 种．【答案】36；【例7】 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】首先3名医生分配到3所学校有3!种方法；6名护士分配到3所学校，每所2名，属于均匀编号分组问题，共2264C C 90=种．由乘法原理共有690540⋅=种分配方法．选D ．【答案】D ；【例8】 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A ． 540B ． 300C ． 180D ． 150【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2008年，湖北高考【解析】依题意，5个人分成3部分只有两种可能：113，，或122，，．这是部分均匀编号分组问题，分别有1133543322C C C 60=ΑΑ和1223542322C C C 90=ΑΑ种方案，因此总方案数为6090150+=种，选D ．【答案】D ；【例9】 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常见模型【难度】2星 【题型】填空【关键字】2007年，海南高考【解析】由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有123453240C C A ⋅⋅=种安排方法． 答案为240．【答案】240染色问题【例10】 如图，正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（ ） A ． 30种 B ． 27种 C ． 24种 D ． 21种【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2007年，西城高三【解析】有1种颜色只有一个点涂，剩下的2种颜色涂4个点只有2种方法，故共有153C 230⋅⋅=种．选A ．【答案】A ；【例11】 将123，，填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有____________．321321321【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】第一行的填法有33Α种，填好后，第二行只有2种填法，第三行只有1种方法，故共有332112⨯⨯=Α种方法． 或者第一行的填法有33Α种，填好后，第一列剩下的2格有2种方法， 第一行、第一列填好后，其它的格子就确定了，只有1种方法， 故共有33212=Α种方法．【答案】12；【例12】 将1,2,3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，全国高考【解析】若第一行填123，，，下面填法有2种，第一行有33A 6=种填法，故总共的填法有2612⨯=种．【答案】B ；【例13】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．DCB AA ．24B ．36C ．72D ．84【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】5星 【题型】选择【关键字】2007年，江苏联赛【解析】如果四个小方格内只有两种颜色，则先选两色有24C 种，相同颜色必须放在对角线上，一色选择对角有2种选法，共计242C 12=种； 如果四个小方格内有三种颜色，选三色有34C 种，其中哪一色重复用2次有13C 种选法，该色选择对角有2种选法，另两色选位有2种，共计432248⨯⨯⨯=种； 四色全用有4!24=种（因A 、B 、C 、D 为固定位置）， 合计84种．【答案】D ；【例14】 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型【难度】5星 【题型】填空【关键字】2007年，全国联赛【解析】使2个a 既不同行也不同列的填法有2244C A 72=种，同样，使2个b 既不同行也不同列的填法也有2244C A 72=种，故由乘法原理，这样的填法共有272种，其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有12169C A 种．所以，符合题设条件的填法共有2121697272C A 3960--=种．【答案】3960；【例15】 如图所示A 、B 、C 、D 、E 为5个区域，现备有5种颜色为5个区域涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？EDC BA【考点】排列组合问题的常见模型【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】显然A处于中央，与其他区域都相接，因此它的地位比较特殊，应优先考虑．本题可分解为三类涂法：用5颜色涂；用4种颜色涂；用3种颜色涂．显然用2种颜色涂不可能．解析：本题有三类涂法．第一类：用5种颜色涂，显然有55120 =A种涂法．第二类：用4种颜色涂，显然有2类涂法：B与D涂同一色，其余三区各涂一色；C与E涂同一色，其余三区各涂一色，故涂法种数是413 5432240⋅⋅⋅=C C C（45C是指先选出4种颜色）．第三类：用3种颜色涂，那么B与D、C与E、A三部分区域各涂一色，故有33 5360⋅=C A种涂法（35C是指先选出3种颜色）．综上，涂法总数是：12024060420++=种．【答案】420【例16】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，天津高考【解析】分为三类：①只用两种颜色则为：226230C A=种；②用三种颜色，两端的格子不同色，选2种颜色，有26C种选法；中间的两个格子之一从剩下的4种颜色里挑一种，另一个格子的颜色则是确定的．因此有2211 6242240C A C C=种，；③用四种颜色则为：4464360C A=种故共计有630种．【答案】630【例17】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2007年，天津高考【解析】①用2种颜色涂格子有26230C ⨯=种方法；②用3种颜色涂格子：最左边的格子有3种，第二格有2种（与第一格不同），第三格有2种（与第二格不同），第四格有2种（与第三格不同），共有36C 3222⋅⋅⋅⋅种．但是这种方法可能只涂了2种颜色，只涂了2色的共有3263C C 2⋅⋅种．综合知共有()326330382390C C +⨯-⨯=种方法．【答案】390；错位排列【例18】 编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】109；问题的正面有三种情况：全不对号；有且仅有一个对号；有且仅有两个对号．这三种情况都较难处理．而反面只有两种情况：全对号（四人对号时一定全对号）；有且仅有3个对号．而全对号只有1种情况，3人对号时只要先从五人中选出3人（有35C 种），其余两人不对号即可，此时只有1种情况，由加法、乘法原理得反面情况共有351C 111+⋅=种．五人全排有55A 种．所以满足要求的种数为()5355A 1C 1109-+⋅=．【答案】109；【例19】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，问：共有多少种旅游方案?【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：用排除法，7个人分赴7个地方共有77Α种可能．⑴甲、乙两人同时都去各自不想去的地方旅游，其余的人去剩下的地方有55Α种； ⑵甲、乙只有一人去不想去的地方旅游，有12C 种选择，2人中剩下的那个人有5种选择，其余无条件的人的旅游方法有55Α种，共1525C 5⋅⋅Α种 所以满足题目条件的方案有75157525C 53720--⋅⋅=ΑΑΑ种．方法二：设集合I ={7个人旅游的总方案}，1A ={甲去不想去的地方的旅游方案}，2A ={乙去不想去的地方的旅游方案}，则原题要求的就是12||||I A A -U ，易知77||I =Α，而121212||||||||A A A A A A =+-U I ．65126125||||||A A A A ===I Α，Α，所以所求的方案总数为76576523720-=ΑΑ+Α种．【答案】3720【例20】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，问：共有多少种旅游方案?【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：用排除法，7个人分赴7个地方共有77Α种可能．⑴甲、乙、丙三人同时都去各自不想去的地方旅游，其余的人去剩下的地方有44Α种；⑵甲、乙、丙有两人去各自不想去的地方旅游，有23C 种选择，剩下的那个人有4种选择，其余无条件限制的4个人有44Α种方案，共有2434C 4⋅⋅Α种； ⑶甲、乙、丙只有一人去不想去的地方旅游，有13C 种，剩下的6个人有66Α种，其中包括了有条件限制的两人同时去各自不想去的地方共44Α种，以及这两人中有一人去了不想去的地方有14442C Α种，所以共有1641436444C 2C --ΑΑΑ种． 因此满足题意的方案总数为7241641473436444C 4(C 2C )3240-⋅⋅---=ΑΑΑΑΑ种．方法二：设集合I ={7个人旅游的总方案}，1A ={甲去不想去的地方的旅游方案}，2A ={乙去不想去的地方的旅游方案}，3A ={丙去不想去的地方的旅游方案}．则原题要求的就是123||||I A A A -U U ，而123123121323123||||||||||||||||A A A A A A A A A A A A A A A =++---+U U I I I I I ，易知61236||||||A A A ===Α，51223135||||||A A A A A A ===I I I Α，41234||A A A A =I I ，所以满足题意的方案总数为76547654333240-+-=ΑΑΑΑ种．【答案】3240【例21】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D地，问：共有多少种旅游方案?【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：用排除法，7个人分赴7个地方共有77Α种可能．（1）若甲、乙、丙、丁4人同时都去各自不能去的地方旅游，而其余的人可以去余下的地方旅游的不同选法有336=Α种；（2）若甲、乙、丙、丁中有3人同时去各自不能去的地方旅游，有34C 种，而4人中剩下1人旅游的地方是13C 种，都选完后，再考虑无条件3人的旅游方法是33Α种，所以共有313433C C 72=Α种； （3）若甲、乙、丙、丁4人中有2人同时去各自不能去的地方旅游，有24C 种，余下的5个人分赴5个不同的地方的方案有55Α种，但是其中又包括了有条件限制的四人中的两人同时去各自不想去的地方共33Α种，和这两人中有一人去了自己不能去的地方有13332C Α种，所以共有2531345333C (2C )468--=ΑΑΑ种；（4）若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，有14C 种方案，而余下的六个人的旅游方案仍与（3）想法一致，共有1632431531346334335333C [C ()C (2C )]1704------=ΑΑΑΑΑΑΑ种．所以满足题目情况的不同旅游方案共有77(6724681704)2790-+++=Α种． 方法二：设集合I ={7个人旅游的总方案}，1A ={甲去不想去的地方的旅游方案}，2A ={乙去不想去的地方的旅游方案}，3A ={丙去不想去的地方的旅游方案}，4A ={丁去不想去的地方的旅游方案}，则原题要求的就是1234||||I A A A -U U U Α，而4123412341||||||||||i i j ij k i i ji j kA A A A A A A A A A A A A A =≠≠≠=-+-∑∑∑U U U I II I I I ，同样的易知612346||||||||A A A A ====Α，55||i j A A =I Α（14i j i j ≠，≤，≤）， 44||i j k A A A =I I Α，312343||A A A A =I I I Α，所以要求的方案总数是： 762534376454434C C 2790-+-+=ΑΑΑΑΑ种．【答案】2790。

排列组合问题的常见模型一、相异元素不许重复的排列组合问题这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。

这类问题有如下一些常见的模型。

模型１：从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都包含在内，则：组合数：1m k n k N C --= 排列数：2m m k m n k N A C --=例１．全组有12个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下列情形中，各有多种不同的选法？（１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作．解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中选出，故不同的选法有：53112336(N C --==种)（２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有：553522512359120364320(N A C A C --===⨯=种)模型２．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都不包含在内，则： 组合数：1m n k N C -= 排列数：2m m m m n k n k N A C A --==例２．某青年突击队有15名成员，其中有５名女队员，现在选出７人，如果５名女队员都不当选，试问下列情形中，各有多少种不同的选法？(1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作．解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有：77311551010120N C C C -====（种）（２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有：7721551010987654604800N A A -===⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（种）模型３．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包含某k 个元素中的某s 个元素。

高中数学中的排列与组合排列与组合是高中数学中的重要内容，它们是数学中的一种数学技巧和思维方法，用于解决问题和计算方案的数目。

在这篇文章中，我们将详细介绍排列与组合的概念、性质和应用。

一、排列的概念与性质排列是指从一组元素中选取若干个进行排列，即确定元素的顺序。

在高中数学中，我们经常遇到这样的问题：“从n个不同的元素中取出m个进行排列，有多少种不同的排列方式？”这种情况下，可以使用排列数来计算。

排列数的计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。

排列数的性质包括以下几点：1. 排列数存在一个特殊情况，即全排列，它表示从n个元素中取出n个进行排列，全排列的计算公式为P(n, n) = n!。

2. 排列数满足交换律，即P(n, m) = P(m, n)。

3. 当m > n时，P(n, m) = 0。

二、组合的概念与性质组合是指从一组元素中选取若干个进行组合，即不考虑元素的顺序。

与排列相比，组合更加注重元素的选择而非顺序。

在高中数学中，我们常常遇到这样的问题：“从n个不同的元素中取出m个进行组合，有多少种不同的组合方式？”这时，可以使用组合数进行计算。

组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / [m! × (n - m)!]组合数的性质包括以下几点：1. 组合数存在一个特殊情况，即全组合，它表示从n个元素中取出n个进行组合，全组合的计算公式为C(n, n) = 1。

2. 组合数满足对称性，即C(n, m) = C(n, n - m)。

3. 当m > n时，C(n, m) = 0。

三、排列与组合的应用排列与组合在高中数学中的应用非常广泛。

以下是一些常见的应用场景：1. 利用排列与组合计算概率：在概率问题中，我们常常需要计算事件发生的概率。

高考数学中的排列组合相关知识点详解高中数学的重头戏之一，主要指排列与组合两个内容，对于考生而言，涉及到排列组合的内容往往是高考数学中难以挑战的一道坎。

因此，本文将从基础概念、题型分析与解题技巧等方面进行详解，希望读者能够一边阅读，一边理解，增加对该内容的熟悉和掌握程度。

一、基础概念排列和组合，其实是两个包含关系的概念。

排列是指在不同的元素中任取若干个进行排列，所得到的结果的总数，称为排列数。

组合是指在不同的元素中任取若干个，不区分顺序地取出来的方案总数，称为组合数。

常用的符号表示如下：排列：A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!组合：C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n!/(m!(n-m)!)=C(n,n-m)其中n表示元素数量，m表示需要取出的元素数量。

二、题型分析1. 线性排列线性排列即将元素排列成一行的形式，需要注意的是，取出后的元素不能重复出现。

此类题型比较基础，通常分为基本排列和复杂排列两种情况。

基本排列即只对不重复排列的个数统计，比较简单。

而复杂排列则需要考虑元素可重复使用的情况，比如m件相同的物品取n件，此时就需要采用较为复杂的方法进行推导。

2. 圆排列圆排列即将元素排列成一个环形，此时考虑到环的形状，即将循环同构情况进行折叠，最终推导出不重复的组合个数。

3. 组合组合题目有多种形式，比如问N个人选3个名字的组合个数，或者是将n个不同的物品分配给m个人怎样分配，这些均属于组合范畴。

对于组合，我们需要考虑两个方面：是否需要考虑元素顺序，和元素是否能够重复使用。

对于不考虑元素顺序的组合，我们采用简单的组合公式，即C(n,m)即可。

而对于考虑元素顺序的组合，可以通过将元素排列成一行的形式，再根据排列的公式进行推导。

四、解题技巧1. 借助等式变形在排列组合问题中，常常可以使用等式变形来简化问题，同时减少漏解之类的情况。

比如在组合问题中，我们常常可以将分子分母进行同除同乘等处理，从而简化计算。

排列组合基本知识点:1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事。

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。

模块九 排列与组合、二项式定理第一部分：排列、组合 一。

计数原理加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m 类，每一类的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1+N 2+N 3+…..+N m 种方法。

（又称分类计数原理）乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m 步，每一步的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1⨯N 2⨯N 3⨯…..⨯N m 种方法。

（又称分类计数原理） 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。

正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。

排列数、组合数的定义①排列数：从n 个元素中取出m 个排成一列（即排入m 个位置），共有mn A 种排法。

A m n =n （n －1）（n －2）…（n －m +1）.特别的：!n A nn = ②组合数：从n 个元素中取出m 个形成一个组合，共有mn C 种取法。

C m n =!)!(!m m n n -特别地：1,10==nn n C C组合数的两个性质： （1）C m n =C mn n-； （2）C m n 1+=C m n +C 1-m n. 三。

解决排列、组合问题的四大原则及基本方法1. 特殊优先原则该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．范例甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（ ） Ａ．90种 Ｂ．89种 Ｃ．60种 Ｄ．59种解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有25C 种；②从剩下的4天中选2天安排乙有24C 种；③仅剩2天安排丙有22C 种．由分步乘法计数原理可得一共有22254260C C C =··种，即选Ｃ． 评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑． 2.先取后排原则该原则充分体现了mmmn m n C A A =·的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必要的重复与遗漏．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）． Ａ．12种 Ｂ．24种 Ｃ．36种 Ｄ．48种解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有24C 种分法，再将这三组分配到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有234336C A =·种不同分配方案．评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有34372A =·种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则．3.正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到１件次品的不同取法的种数是（ ） Ａ．12694C CＢ．12699C CＣ．3310094C C -Ｄ．3310094A C -解析：从100件次品中取3件产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，即从94件正品中取3件正品有394C 种取法，所以满足条件的不同取法是3310094C C -，故选Ｃ．如果从正面考虑，则必须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单．而本例最易迷惑人的是Ｂ：12699C C ，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次品为ABCDEF ，正品为甲乙丙丁戊…则12699C C 可以是ＡＢ甲，也可能是ＢＡ甲，因而重复．评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则． 4.策略针对原则不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．①相邻问题捆绑法（整体法），不相邻问题插空法人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。