排列组合问题的常见模型(详解)

排列组合问题的常见模型1知识内容1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中1有m种方法，……，在第n类办法中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+m+L+m种2n12n不同的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m种不同的方法，做第二个1步骤有m种不同方法，……，做第n个步骤有m种不同的方法．那么完成这件事共有2nN=m⨯m⨯L⨯m种不同的方法．又称乘法原理．12n⑴加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2．排列与组合⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m表示．n排列数公式：A m=n(n-1)(n-2)L(n-m+1)，m，n∈N，并且m≤n．n+全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示．规定：0!=1．思维的发掘能力的飞跃1组合数公式： C m = n (n - 1)(n - 2)L (n - m + 1) = m ! m !(n - m )!⑴组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出m (m ≤ n) 个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中，任意取出 m 个元素的组合数，用符号 C m 表示．n n n !， m , n ∈ N ，并且 m ≤ n ．+组合数的两个性质：性质 1： C m = C n -m ；性质 2： C m = C m + C m -1 ．（规定 C 0 = 1）nn n +1 n n n⑴排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排 列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成 m (m ≤ n) 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排，从 n - 1个空中选 m -1 个空，各插一个隔板，有 C m -1 ．n -17．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成 n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！8．错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求 小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n = 2 ，3，4，5 时的错位数各为 1，2， 9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位 排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．2思维的发掘 能力的飞跃求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：⑴对特殊元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑴其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？思维的发掘能力的飞跃3【例3】7名同学排队照相．⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑴若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】ABCDE五个字母排成一排，若ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有___个（用数字作答）．4思维的发掘能力的飞跃2【例7】 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排， 2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A ． 1440 种B ． 960 种C ． 720 种D ． 480 种【例8】 12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A ． C 2A 283B ．C 2A 68 6C ． C 2A 28 6D ． C 2A 28 5【例9】 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排， 位老人相邻但不排在两端， 不同的排法共有（ ） A ．1440 种 B ．960 种 C ．720 种 D ．480 种【例10】在数字1，2 ，3 与符号 + ，- 五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ） A ． 6B ．12C ．18D ． 24【例11】计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩、4 幅油画、5 幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．思维的发掘 能力的飞跃52 3 4 5 6 7 a a a a a a【例12】6 人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例13】一条长椅上有 7 个座位，4 人坐，要求 3 个空位中，有 2 个空位相邻，另一个空位与 2 个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A ． 360 B ． 288 C ． 216 D ． 96【例15】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相 邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．【例16】在 1， ， ， ， ， ， 的任一排列 a ， ， ， ， ， ， 中，使相邻两数都互质的排列方1 2 3 4 5 6 7式共有（）种．A ． 288B ． 576C ． 864D ．11526思维的发掘 能力的飞跃Q R S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P Q R S 1 2 3 4 5 6 7 8 Q【例17】从集合 {P ， ， ， }与 {0 ，， ， ， ， ， ， ， ，}中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字 均 不 能 重 复 ）． 每 排 中 字 母 Q 和 数 字 0 至 多 只 能 出 现 一 个 的 不 同 排 法 种 数 是_________．（用数字作答）【例18】从集合 {O ， ， ， ， } 与 {0，， ， ， ， ， ， ， ，9}中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复） ．每排中字母 O ， 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例19】 6 个人坐在一排10 个座位上，问⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种?⑶ 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种?【例20】 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ． 360B ． 288C ． 216D ． 96思维的发掘 能力的飞跃7【例21】12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（）A．C2A283B．C2A686C．C2A286D．C2A285【例22】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A．36种B．108种C．216种D．432种数字问题【例24】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑴可能组成多少个四位奇数？⑴可能组成多少个四位偶数？⑴可能组成多少个自然数？【例25】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？8思维的发掘能力的飞跃2 3 4 5 a a a a a a a 1 2 L 9 1 2 3 4 2 3 4【例26】在 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字，在 0，2，4，6，8 中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】用 1， ， ， ， 排 成 一 个 数 字 不 重 复 的 五 位 数 a ， ， ， ， 12345a < a ， > a ， < a ， > a 的五位数有多少个？12233445， 满 足【例28】用 0 ，， ， ， 这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2 ，则这样的四位数共有多少个？【例29】用数字 0 ， ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例30】有 4 张分别标有数字 1， ， ， 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， ， ， 的蓝色卡片，从这 8思维的发掘 能力的飞跃9求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ，则不同的排法共有（ ）2 3 4 2 3 4张卡片中取出 4 张卡片排成一行．如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，则不同的排法 数一共有 种．432 ；【例31】有 8 张卡片分别标有数字1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要．．A ．1344 种B ．1248 种C ．1056 种D ． 960 种【例32】有 4 张分别标有数字 1， ， ， 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， ， ， 的蓝色卡片，从这 8张卡片中取出 4 张卡片排成一行．如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例33】用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例34】用数字1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（）A ． 48 个B ． 36 个C ． 24 个D ．18 个【例35】从 1，2 ，3 ，8 ，9 ，10 这 6 个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到不同偶数？个这样的10思维的发掘 能力的飞跃1 12345 12345高中数学讲义【例36】求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例37】用数字0，，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．【例38】从0，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B．216C．180D．162【例39】从0，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B．216C．180D．162【例40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？思维的发掘能力的飞跃112 3 4 2 3 4 2 3 4 5 高中数学讲义⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】用 0 到 9 这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】有 4 张分别标有数字 1， ， ， 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， ， ， 的蓝色卡片，从这 8张卡片中取出 4 张卡片排成一行．如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，则不同的排法 共有______种（用数字作答）．【例43】在由数字 1， ， ， ， 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521的数 共有（ ）个A ． 56 个B ． 57 个C ． 58 个D ． 60 个【例44】由 0，1，2，3，4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列 {a }，则 a = _____．n 19 A ． 2014B ． 2034C ． 1432D ． 143012 思维的发掘 能力的飞跃--01234高中数学讲义【例45】从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0，其中有实数根的有几个？【例46】从{-3，2，1，，，，，}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?思维的发掘能力的飞跃13。

高中数学100个热点问题(三)：-排列组合中的常见模型第80炼 排列组合的常见模型一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。

例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。

例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。

从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。

3310785N C C =-=（种）3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。

但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。

例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。

解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。

所以共有213433108C C A =种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。

例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有44A 种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有25C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。

排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

专题3 排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( ) A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【解析】可分3步．第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有2520A =种排法，第二步，2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有4424A =种排法第三步，2名老人之间的排列，有222A =种排法最后，三步方法数相乘，共有20242960⨯⨯=种排法 故选：B ．例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法， 这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变， 则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法； 余下的一人则要插入前排5人的空挡， 有6种插法，∴为26A 故选：C ．例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为( )A ．2575C AB ．2275C A C ．2273C A D ．2274C A 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题， 首先从后排的7人中选出2人，有27C 种结果， 再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有25A ，∴不同的调整方法有2275C A ， 故选：B ．例4．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A ．6B ．12C ．24D ．18【解析】在数字1，2，3与符号“+”，“ -”五个元素的所有全排列中， 先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“+”，“ -”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法， 故选：B ．例5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )A ．4545A AB ．343245A A A C ．145345C A A D ．245245A A A 【解析】先把每种品种的画看成一个整体， 而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有22A 种放法，再考虑4幅油画本身排放有44A 种方法，5幅国画本身排放有55A 种方法，故不同的陈列法有245245A A A 种， 故选：D ．例6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．360B ．288C ．216D ．96【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有22233243432C A A A =种，在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有222232322144C A A A ⨯=种，∴不同的排列方法共有432144288-=种故选：B ．例7．公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567ααααααα中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有( )种． A ．576B ．720C ．864D ．1152【解析】根据题意，先排1、5、7，有336A =种情况，排好后有4个空位，对于2、4、6和3这四个数，分两种情况讨论：①3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有3424A =种情况，3不能放在6的两边，有5种排法，则此时有245120⨯=种不同的排法，②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有2412A =种情况，则此时有21224⨯=种不同的排法，则2、4、6和3这四个数共有12024144+=种排法； 则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6144864⨯=种； 故选：C ．例8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( ) A ．168B ．20160C ．840D ．560【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法， 这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变， 则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法； 余下的一人则要插入前排5人的空挡， 有6种插法，65∴⨯则不同调整方法的种数是2286840C A =． 故选：C ．例9．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有( ) A ．36种B ．108种C ．216种D ．720种【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有3363C C ，再将两组分别按要求排序，各有33A 种，因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有33336333720C C A A =种．故选：D ．例10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( ) A ．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B ．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C ．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D ．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法【解析】A 中4444576A A =， B 中3535720A A =， C 中43222234333223(3)1440A A C C A A A ++=，D 中43451440A A =． 综上可得：CD 正确． 故选：CD ．例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 576 个．（用数字作答）【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有33A 种结果，这三个元素形成四个空，把7和8 在这四个位置排列有24A 种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列22A ，根据分步计数原理得到这种数字的总数有3222234222576A A A A A =， 故答案为：576．例12．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有 8！ 种，甲不站在正中间的排法有 种． （2）甲、乙相邻的排法有 种，甲乙丙三人在一起的排法有 种．（3）甲站在乙前的排法有 种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有 种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有 种．（4）甲乙不站两头的排法有 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有 种． （5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 种． （6）女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种． （7）甲与乙、丙都不相邻的排法有 种． （8）甲乙之间有且只有4人的排法有 种．【解析】（1）甲站正中间的排法有8！，甲不站在正中间的排法有88⨯！； （2）甲、乙相邻的排法有28⨯！，甲乙丙三人在一起的排法有67⨯！；（3）甲站在乙前的排法有192！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有196！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有193！；（4）甲乙不站两头的排法有2777A A ；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9！28-⨯！7+！；（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有25⨯！4⨯！； （6）女生互不相邻的排法有5！46A ⨯；男女相间的排法有5！4⨯！； （7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法．4724A ⨯⨯！．故答案为：（1）8！，88⨯！（2）28⨯！，67⨯！（3）192！，196！，193！；（4）2777A A ；9！28-⨯！7+！；（5）25⨯！4⨯！；（6）5！46A ⨯，5！4⨯！2⨯（7）9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）4724A ⨯⨯！．例13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 10 种（结果用数值表示）．【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5211110⨯⨯⨯⨯=故答案为10例14．从集合{P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是5832．（用数字作答）、【解析】各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有2244104C C A；每排中字母Q和数字0都出现有114394C C A符合题意不同排法种数是224114 41043945832C C A C C A-=．故答案为：5832例15．从集合{O，P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是8424．（用数字作答）．【解析】由题意知每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解（1）这三个元素只选O，有1239433624C C A=⨯⨯（2）这三个元素只选Q同理有33624⨯⨯（3）这三个元素只选0 有2143943924C C A=⨯⨯（4）这三个元素O Q0都不选有22439433624C C A=⨯⨯根据分类计数原理将（1）（2）（3）（4）加起来33624336243924336248424⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=故答案为：8424例16．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是135（结果用分数表示）．【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有88A种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：首先两套中任取一套，作全排列，有1424C A 种方法； 剩下的一套全排列，有44A 种方法；∴概率为：14424488135C A A A =， 故答案为：135． 例17．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ （5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634A A = 320种不同的排法． （2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有535614A A = 400种不同的排法．（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有25A 种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A 6614A = 400种不同的排法． （4）三个女生和五个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法2636A A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636A A A -= 000种不同的排法． （5）甲必须在乙的右边即为所有排列的221A ，因此共有8822120A A = 160种不同的排法．例18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有36364320A A=种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有535614400A A=种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有265614400A A=种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有38336A=种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，3535720A A=种例19．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有33A种情况，再将其与4名男生进行全排列，有55A种情况，则共有5353720A A⨯=种排法；（2）用插空法，先将4名男生全排列，有44A种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有35A种情况，则共有43451440A A =种排法；（3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有242C 种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有55A 种情况，则共有254521440C A ⨯=种排法；（4）用排除法，7人进行全排列，有77A 种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有2535A A 种站法，则共有7257354320A A A -=种排法； （5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边， 由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有3620C =种排法； （6）先在7个位置中安排3名女生，有37A 种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有372420A =种排法． 例20．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？ （2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？ （4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？ （5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？ （6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？ （7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？ （8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？ （9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？ (10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，将这个整体与5名男生全排列，有66A 种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A 种；（2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有77A 种情况，则甲必须站在排头有772A 种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有26A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A 种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有66A 种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有27A 种情况，则甲、乙两人不相邻有2676A A 种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同， 则甲在乙的左边有8812A 种不同的排法；（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有55A 种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有36A 种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有5356A A 种不同排法； （7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有55A 种情况，将男生、女生整体全排列，有22A 种情况，则男生在一起，女生也在一起，有235235A A A 种不同排法；（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有222525C A A =种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则第3和第6个排男生，有2656A A 种不同排法；（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有25A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，甲乙不能排在前3位，有2656A A 种不同排法？(10)根据题意，将5名男生全排列，有55A 种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A 种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A 种不同排法． 例21．已知有7名同学排队照相：（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？ （3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？ （6）若排成一圈，有多少种不同的排法？【解析】有7名同学排队照相：（1）若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有43735040A A =种方法． （2）若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排， 若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排，方法有143443576A A A =种， 若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排，方法有134434576A A A =种， 故共有5765761152+=种方法．（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有251254960A A A=种．（4）若徘成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，先排4名男生，4名男生中间有3个空，插入3名女生，有4343144A A=种的排法．（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，若两端都是男生，方法有25451440A A=种，而所有的方法有775040A=种，故两端不能都排男生的排法有504014403600-=种．（6）若排成一圈，即弯曲排成一排，有777207A=种不同的排法．例22．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照．（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？【解析】（1）甲排中间，其他任意排列，有4424A=种；（2）丁不能排在中间，先排丁有144C=种排法，然后其他任意排有4424A=种，所以丁不能排在中间共有42496⨯=种；（3）丙、丁必须排在两端：先排丙丁有222A=，其他任意排列有336A=种，所以丙、丁必须排在两端共有2612⨯=种；（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置有，先排甲乙有236A=种，其他任意排列有336A=种，所以甲、乙两人都不能排在首末两个位置共有6636⨯=种；（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，分为两类，①甲在排尾，其他任意排列有4424A=种，②甲不在排尾，甲有133C=种，然后乙有133C=种，其他任意排列有336A=种，所以甲不能站排头，乙不能站排尾共有2433678+⨯⨯=种．例23．7位同学站一排．（1）站成两排（前3后4)，共有多少种不同的排法？（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【解析】7位同学站一排，（1）站成两排（前3后4)，共有多少种不同的排法，此没有限制条件是全排列问题，故排法种数是77A种；（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法，此问题是甲定位置的排法，相当于六个元素全排，故排法种数是66A种；（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种，此问题分两步解决，先排甲乙两人，再排其余五人，故排法种数是2525A A种；（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种，可由乙在排头与不在排头两种情况解答，乙在排头时有66A种，乙不排头，先排乙，有5种排法，再排第一位，有5种排法，其他五人全排列，故总的排法种数是5555A ⨯⨯；（5）甲、乙两同学必须相邻的排法，可先将甲乙两人绑定，共22A 种，将其看作一个元素与另五个元素全排列，有66A 种，故共有2626A A 种；（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法计数，可先将甲乙两人绑定，共22A 种，将其看作一个元素与除丙外四个元素全排列，再将丙插入它们隔开的空档中，共有251254A A A 种；（7）甲、乙两同学不能相邻的排法可先将甲乙两人之外的五人全排列，再将两人插入隔开的六个空中，共有5256A A ⨯种； （8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法计数，可先将甲乙丙外的四个人进行全排列，再将三人分别插入隔开的五个空档中，故共有4345A A 种；（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种，可通过排除法计数，从七人的全排列数中减去三人相邻的排法种数，共有735735A A A -种； (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种的计数，可先将甲乙绑定，然后看作一个元素将之与丙分别插入另外四个元素隔开的空档中，故共有242245A A A 种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种的计数，可这样考虑，甲在乙左与甲在乙右种数是一样的，所以共有7712A 种排法．例24．6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？ ①甲、乙必须站在排头或排尾 ②甲、乙．丙三人相邻 ③甲、乙、丙三人互不相邻 ④甲不在排头，乙不在排尾⑤若其中甲不站在左端，也不与乙相邻．【解析】①甲、乙必须站在排头或排尾，则有424248A A =种不同排法； ②甲、乙、丙三人相邻，则有4343144A A =种不同排法； ③甲、乙、丙三人互不相邻，则有3334144A A =种不同排法；④甲不在排头，乙不在排尾，则有6546542264A A A -+=种不同排法；⑤6个人站成一排，有66A 种，甲在左端的有55A 种，甲和乙相邻的有5252A A 种，甲既在左端也和乙相邻的有44A ， 所以甲不在左端也不和乙相邻，则不同的排法共有6552465524384A A A A A --+=种．例25．（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？ （2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？ 【解析】（1）先将3人（用⨯表示）与4张空椅子（用□表示） 排列如图(⨯□□⨯□□)⨯，这时共占据了7张椅子， 还有2张空椅子，第一种情况是分别插入两个空位， 如图中箭头所示(↓⨯□↓□⨯□↓□)⨯↓，即从4个空当中选2个插入，有24C 种插法；二是2张插入同一个空位，有14C 种插法，再考虑3人可交换有33A 种方法，所以，共有321344()60A C C +=（种)． （2）可先让4人坐在4个位置上，有44A 种排法，再让2个“元素”（一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位” )插入4个人形成的5个“空当”之间，有25A 种插法，所以所求的坐法数为4245480A A =． 例26．6个人坐在一排10个座位上，问（1）空位不相邻的坐法有多少种？（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？ （3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？【解析】6个人排有66A 种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有4735C =种插法， 故空位不相邻的坐法有646725200A C =种． （2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有27A 种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有626730240A A =种．（3）4个空位至多有2个相邻的情况有三类： ①4个空位各不相邻有47C 种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有1276C C 种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有27C 种坐法．综合上述，应有6412267767()115920A C C C C ++=种坐法．。

排列组合常见模型及解题技巧排列组合常见模型及解题技巧___________________________________排列组合是数学中的一个重要概念，其主要用于解决有关物品数量、顺序、种类等问题，十分重要。

尤其在中考、高考中，排列组合模型非常常见。

因此，想要在考试中取得好成绩，需要对排列组合的相关知识有所了解。

### 一、常见的排列组合模型1. 元素排列模型：当有n个元素时，可以有n!种不同的排列方式。

2. 重复的排列模型：当有n个元素中有m个重复的元素时，可以有$\frac{n!}{m!}$种不同的排列方式。

3. 选择排列模型：当从n个元素中选出m个元素进行排列时，可以有$\frac{n!}{(n-m)!}$种不同的排列方式。

4. 组合模型：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，可以有$\frac{n!}{m!(n-m)!}$种不同的组合方式。

5. 组合中出现重复的情况：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，若有k个重复的元素，可以有$\frac{n!}{(m-k)!(n-m)!}$种不同的组合方式。

### 二、解题技巧1. 明确问题：排列组合问题一般都是要求出物品的总数量或者某一种情况出现的总次数。

因此，在解决这样的问题之前，要明确问题是要计算出总数量还是总次数。

2. 对物品进行分类：在解决排列组合问题时，要明确物品的数量、重复的情况以及可以选择的情况，将物品分成不同的分类。

3. 认真计算：根据不同的情况，选择对应的模型来计算出总数量或者总次数。

在计算之前一定要仔细地去理解问题，以免出错。

4. 熟悉常用公式：在处理排列组合问题时，要能够准确地使用对应的公式来计算出正确的答案。

因此，对于常用的公式一定要牢记于心，并能够准确地使用。

### 三、总结通过本文，我们可以了解到排列组合常见的几个模型以及如何正确地使用它们来解决问题。

排列组合问题是数学考试中常见的问题之一，因此在备考考试时一定要加强对这方面的学习。

1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数； 解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。

排列组合问题的常见模型一、相异元素不许重复的排列组合问题这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。

这类问题有如下一些常见的模型。

模型１：从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都包含在内，则：组合数：1m k n k N C --= 排列数：2m m k m n k N A C --=例１．全组有12个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下列情形中，各有多种不同的选法？（１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作．解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中选出，故不同的选法有：53112336(N C --==种)（２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有：553522512359120364320(N A C A C --===⨯=种)模型２．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都不包含在内，则： 组合数：1m n k N C -= 排列数：2m m m m n k n k N A C A --==例２．某青年突击队有15名成员，其中有５名女队员，现在选出７人，如果５名女队员都不当选，试问下列情形中，各有多少种不同的选法？(1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作．解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有：77311551010120N C C C -====（种）（２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有：7721551010987654604800N A A -===⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（种）模型３．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包含某k 个元素中的某s 个元素。

排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

专题16 分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得=⨯⨯⨯333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（ ） A ．48 B ．72C ．64D ．96【解析】33000的因数由若干个2（共有32102,2,2,2四种情况）， 若干个3（共有03,3两种情况）， 若干个5（共有32105,5,5,5四种情况）， 若干个11（共有1011,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有⨯⨯⨯=424264， 不含2的共有⨯⨯=24216，∴正偶数因数的个数有-=641648个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A. 例2．5400的正约数有（ ）个 A ．48 B ．46 C ．36 D ．38【解析】=⨯⨯3325400235，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为+⨯+⨯+=(31)(31)(21)48． 故选：A ．例3. 30030能被多少个不同的偶数整除 【解析】先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：++++=012345555555+32C C C C C C .类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12【解析】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．例2．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．25【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果根据分步计数原理知共有⨯=3515种结果，选C例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有( )A．6条B．7条C．8条D．9条【解析】共有3个顶点与A点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达B点，所以，蚂蚁从A沿着长方体的棱以规定的方向行走至B，不同的行走路线有：⨯=326（条），故选A.例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【解析】要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路线，故选D．例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72 B．56 C．48 D．40【解析】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有63472（种）⨯⨯=例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又(1,2,,6)=⋅⋅⋅回到点A处的所有不同走法共有（）A．21种B．24种C．25种D．27种【解析】由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出=336A种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有+=24125种结果，故选：C．例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.【解析】如下图所示从点A到C,D,E,F,G的路径都只有1条从点A到点H的路径有2条，分别为→→A F HA C H,→→从点A到点O的路径有3条，分别为从A经过H到点O有2条和→→→A F G O从点A到点M的路径有3条，分别是从点A经过点H到点M有2条和→→→A C D M从点A到点P的路径有6条，分别是从点A经过点O到点P的3条和从点A经过点M到点P的3条从点A到点N的路径有4条，分别是从点A经过点M到点N的3条和从点A经过点E到点N的1条从点A到点Q的路径有10条，分别是从点A经过点P到点Q的6条和从点A经过点N到点Q的4条从点A到点R的路径有6条，就是从点A经过点P到点R的6条所以从点A到点B的路径有16条，分别是从点A经过点R到点B的6条和从点A经过点Q到点B的10条所以到达B点的路径的条数为16条故答案为：16例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对. （用数字作答）【解析】甲从A 到B ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，乙从C 到D ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径⋅4488C C 对，甲从A 到D ，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A 到D 共有410C 种走法,乙从C 到B ，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C 到B 共有26C 种走法,所以相交路径共有⋅42106C C 对，因此不同的孤立路一共有⋅-⋅=⨯-⨯=4442881067070210151750C C C C 对.故答案为：1750例9．如图所示线路图，机器人从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有________种.（用数字作答）【解析】A 到B 共2种走法，从B 到C 共25C 种不同走法，由分步乘法原理，知从A 地经B 地走到C地，最近的走法共有=25220C 种. 故答案为：20例10．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有____种.【解析】-A C 有22A 种方法；-C B 有36C 种方法；-D B 有22A 种方法；共有=23226280A C A 例11．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有_____种．【解析】分步计算，第一步→A C 最近走法有2种；第二步→C D 最近走法有=3620C 种；第三步→D B 最近走法有2种，故由→A B 最近走法有⨯⨯=220280种． 故答案为：80．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A 地移动到B 地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A 移动到B 最近的走法共有____种．【解析】分三步来考查：①从A到C，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有12C种走法；②从C到D，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有36C种走法；③从D到B，由①可知有12C种走法.由分步乘法计数原理可知，共有=13126280C C C种不同的走法.故答案为：80.例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有___种．【解析】根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有=2510C种情况，但图中有空格，故是方法数为-=1037中故答案为：7.例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为()A．516B．532C．16D．以上都不对【解析】我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得，从A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是=25515()216C ．故选：A ．例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有 45 种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种途径是最短的路程，①→→A CF B 其中→A C 有5法．→F B 有1法，共有⨯=515法．②→→A DE B ，从A 到D ，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有=2510C 种，从E 到B ，最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即从4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有=344C 种，∴从→→A DE B 共有⨯=10440法， ∴从A 到B 的短程线总共+=54045种走法．故答案为：45．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种大途径是最短的路程，①→→A CD B其中→A C有5法．→D B有1法，共有⨯=515法．②→→A EF B其中→A E有10种方法，→F B有3法，共有⨯=10330法，∴从A到B的短程线总共+=53035种走法．故答案为：35．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为516．【解析】我们把从顶点A到3的路线图单独画出来：分析可得，从顶点A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12， ∴珠子从出口3出来是=25515()216C ． 例18．在⨯n n 的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设()f n 表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了=3n 时的一条路径．则f （3）= 9 ；=()f n ．【解析】由给出的⨯33方格看出，要从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置，需要先从第一行跳到第二行，共有3种跳法，跳到第二行的每一个方格内要完成到达右上角“☆”位置，又可以看作从该方格有几种到达第三行的方法，所以该题只需思考向上走就行了，从第一行到第二行有3种跳法，从第二行到第三行也有3种跳法，故f （3）==239．由此可推得⨯n n 的方格中从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置的方法种数是-1n 个n 的乘积．即-=1()n f n n ．故答案分别为9；-1n n ．例19．某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A 处走到B 处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？【解析】由题意知本题是一个分步计数问题， 将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走+-(2)n m 段， 而这些段中，必须有东西方向的-(1)n 段，其余的为南北方向的-(1)m 段，∴共有--+-+-=1122m n m n m n C C 种走法．。

第80炼 排列组合的常见模型一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。

例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。

例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。

从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。

3310785N C C =-=（种）3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。

但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。

例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。

解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。

所以共有213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。

例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有44A 种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种 2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有25C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。

考研数学：排列组合的7大方法及例题解析
考研数学:排列组合的7大方法及例题解析
1.元素分析法
【例】求7人站一队，甲必须站在当中的不同站法。

【解析】要求甲必须站在当中，因此只需对其它6人全排列即可，不同的站法共有几种。

2.位置分析法
【例】求7人站一队，甲、乙都不能站在两端的不同站法。

【解析】先站在两端的'位置有几种站法，再站其它位置有几种站法，因此所有不同的站法共有几种站法。

3.间接法
【例】求7人站一队，甲、乙不都站两端的不同站法。

【解析】考虑对立事件为甲乙都站在两端，共有几种站法;7人站成一队所有的站法共几种，所以甲乙不都站两端的不同站法共几种。

4.捆绑法
【例】求7人站一队，甲、乙、丙三人都相邻的不同站法。

【解析】先将甲、乙、丙看成一个人，即相当于5个人站成一队，有几种站法，再对这三个人全排列即得所有的不同站法共几种。

5.插空法
【例】求7人站一队，甲、乙两人不相邻的不同站法。

【解析】先将其它五人全排列，然后将甲、乙两人插入所产生的6个空中即可，共几种不同的站法。

6.留出空位法
【例】求7人站一队，甲在乙前，乙在丙前的不同站法。

【解析】由于甲、乙、丙三人的顺序一定，因此只要其余4人站好，这7个人就站好了，不同的站法共有几种。

7.单排法
【例】求9个人站三队，每排3人的不同站法。

【解析】由于对人和对位置都无任何的要求，因此，相当于9个
人站成一排，不同的站法显然共有几种。

排列组合的常见模型（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。

例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。

例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。

从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。

3310785N C C =-=（种）3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。

但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。

例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。

解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。

所以共有213433108C C A =种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。

例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有44A 种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有25C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。

巧解排列组合的19种模型1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有242.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是36003.定序问题消序法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用消序的方法.1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是604映射错位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.1.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 9总结：3个元素错位：2种. 4个元素错位：9种. 5个元素错位：44种。

公式[])2()1()(11-+-=-n f n f n f C n （n 表示元素个数） 2．今有标号1，2，3，4，5的5封信，另有同样的标号的5个信封，现将5封信任意地装入5个信封，每个信封装入1封信，至少有1封信配对的种数 129352515++∙+C C C .3.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，有20 种不同的方法.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ C ）A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种 （A ） 6.全员分配问题分组法: 分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时： 先分组再分配（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 36（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种 （ B ）7.名额分配问题隔板法:1. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？6984C =8.限制条件的分配问题分类法:1.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 4088解析：因为甲乙有限制条件，所以按照甲乙参不参加来分类，有以下四种情况：9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种 （ B ）解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；2111414861295C C C +=种 （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？4n ,4n+1 ,4n+2 ,4n+3 211225252525C C C C ++ 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ ()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。

巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

排列组合常见模型及解题技巧■河南省南阳市第二中学校李红勤解排列组合问题常分三步走:首先审题，明确要完成的事件；其次确定是独立完成还是分步完成，是排列还是组合；最后要用计数原理和排列数、组合数公式求解。

一、优先法（先特殊后一般）元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素。

位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置。

f用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的五位数，试求满足下列条件的五位数各有多少个。

（1）数字1不在个位和千位；（2）数字1不在个位，数字6不在万位。

解析：（1）位置优先，个位和千位从5个数中选，共有A：种选择方法，其余3位从4个数中选，共有A；种选择方法，由乘法原理知有A[A；=480（个）数满足题意。

（2）元素优先，当1在万位时余下四位有A?=120（种）选法；1不在万位时，万位有A：种选法，个位有A：种选法，余下的有A：种选法，共有A：A；A：=384（种）选法。

所以总共有384+120=504（种）选法。

变式训练1:1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端，则不同的排法有多少种？（答案：72种）二、捆绑法某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素绑捆成一个元素，与其他元素进行排列，然后再把捆绑元素松开内部全排列。

侧2某市图书馆要在国庆长假一周内接待5所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观两天，其余只参观一天，则不同的安排方法有多少种？解析：注意连续参观两天，即把7天中的连续两天“捆绑成一天”，有Cj种方法，其余的就是4所学校选5天进行排列，共有C；A：=720（种）方法。

变式训练2：4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有____种。

（答案：C：A§=36）三、插空法对于元素不相邻的排列，可以先排其他元素，再让不相邻的元素插空。

若局部元素相邻，可参照“捆绑法”。

排列组合 21 种模型1.相邻问题捆绑法 :题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .例 1. A, B, C , D , E五人并排站成一排，如果A, B 必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种解析：把 A, B 视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A4424 种，答案：D .2.相离问题插空排 :元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440 种B、3600 种C、4820 种D、4800 种解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A55种，再用甲乙去插 6 个空位有 A62种，不同的排法种数是 A55 A623600 种，选B.3.定序问题缩倍法 :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .例 3. A, B, C , D , E五人并排站成一排，如果B 必须站在 A 的右边（A, B可以不相邻）那么不同的排法种数是A、24 种B、60 种C、90 种D、120 种解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5 个元素全排列数的一半，即 1 A5560种，选B.24.标号排位问题分步法 :把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1 ，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3×3×1=9 种填法，选B .5.有序分配问题逐分法 :有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是A、1260 种B、2025 种C、2520 种D、5040 种解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有C102C81C712520 种，选C .（ 2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有4 4 4 4 4 4种 4 4 3种D、C4 C4C4种A、 C12C8 C4种B、 3C12C8 C4C、 C12C8 A31284A33答案： A.6.全员分配问题分组法 :例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3 组有C42种方法，再把三组学生分配到三所学校有A33种，故共有 C42 A33 36种方法 .说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（ 2） 5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A、480 种B、240 种C、120 种D、96 种答案：B.7.名额分配问题隔板法 :例7.10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析： 10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7堆，每堆至少一个，可以在10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C9684 种.8.限制条件的分配问题分类法:例8. 某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案 A84种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3种方法，然后安排其余学生有A83方法，所以共有3A83；③若乙参加而甲不参加同理也有3A83种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A82种，共有 7A82方法 .所以共有不同的派遣方法总数为A843 A833A837 A824088 种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字 0， 1， 2， 3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210 种B、300 种C、464 种D、600 种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3 和 4 共 5 种情况，分别有 A55、A14 A13 A33、A31 A31 A33、 A21 A31 A33和 A31 A33个，合并总计 300 个,选B .（ 2）从 1，2，3⋯， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7 整除时，他们的乘积就能被7 整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7 整除的数的集合记做A7,14,21, 98 共有 14 个元素 ,不能被 7 整除的数组成的集合记做e I A1,2,3,4,,100 共有 86 个元素；由此可知，从A中任取 2 个元素的取法有C142，从 A 中任取一个，又从e I A中任取一个共有C141C861，两种情形共符合要求的取法有 C2C1C1 1295种.141486（ 3）从 1，2，3，⋯， 100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将 I1,2,3 ,100 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集A4,8,12,100；能被4除余1的数集B1,5,9,97，能被 4除余 2的数集 C2,6,,98，能被 4除余 3的数集 D3,7,11,99，易见这四个集合中每一个有 25个元素；从 A 中任取两个数符合要；从B, D中各取一个数也符合要求；从 C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 C252C251C251C252种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n( A B) n( A) n(B) n( A B) .例10. 从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集 =｛6 人中任取 4 人参赛的排列｝， A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n( I ) n( A) n( B) n(A B) A64A53A53A42252 种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。