高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．知识内容排列组合问题的常见模型 2⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．分堆问题【例1】 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本； ⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本； ⑷ 平均分给甲、乙、丙三人； ⑸ 平均分成三堆． 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有16C 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有25C 种取法，再后从余下三本取三作作为一堆，有33C 种取法，故共有分法12365360=C C C 种．⑵ 由⑴知，分成三堆的方法有123653C C C 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为12365360=C C C 种．⑶ 由⑴知，分成三堆的方法有123653C C C ，但每一种分组方法又有33A 不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有12336533360=C C C A （种）典例分析⑷ 3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有26C 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有24C 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有22C 种方法，所以一共有22264290=C C C 种方法． ⑸ 把6本不同的书分成三堆，每堆二本和把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应33x ⋅A 种，由⑷知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有222642C C C 种． 所以32223642x =A C C C ，则2226423315x ==C C C A （种） 点评：本问题的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中⑴属非均匀分组问题．⑵属非均匀定向分配问题．⑶属非均匀不定向分配问题．⑷属均匀不定向分配问题．⑸属均匀分组问题．一般地，n 个元素中有1n 个元素（1n n ≤）均分成m 堆一定要除以m m A ． 例如：有17个桃，分成8堆，其中一堆一个，一堆4个，另外6堆每堆都是2个，有多少种不同的分法一共有1422222217161210864266C C C C C C C C A 种不同分法．【例2】 有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ ⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ ⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有222642C C C 90⋅⋅=（种）．这是均匀编号分组问题⑵6本书平均分成3堆，用⑴中方法重复了33Α倍，故共有226433C C 15⋅=Α（种）．这是均匀分组问题．⑶从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有123653C C C 60⋅⋅=（种）． 这是非均匀分组问题 ⑷在⑶的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有12336533C C C 360⋅⋅⋅=Α（种）． 这是非均匀编号分组问题．⑸甲先取1本，乙在剩下的取1本，余下4本给丙，故共有1165C C 30=（种）． 这 是部分均匀编号分组问题．⑹平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有116522C C 15⋅=Α（种）．这是部分均匀分组问题．⑺本题即为6本书放在6个位置上，共有66720=Α（种）．【例3】 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人； ⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人； ⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴可直接从7人中选出2人的方法有27C 种，再由余下的5个人中选3人的方法有35C种，所以依分步计数原理，分组的方法有：2375C C 210=种． 也可先选取5人，再分为两组有523753C C C 210=种．⑵选3人为一组有37C 种，再选3人为另一组有34C 种，依分步计数原理，又每22Α种分法只能算一种，所以不同的分法有337422C C 70=Α种．也可以先选再分组为63376322C C C 70=Α种． ⑶由于分组后各组要担任不同的工作，这就将不编号的组变为编号的组，只需乘以组数的全排列即可，分组的方法有232752C C 420=Α种．【例4】 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2009年，重庆高考【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按211，，分成三组，其分法有24C 种；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，有33Α种．所以满足条件的分配方案有2343C 36Α=种．【答案】36；【例5】 把一同排6张座位编号为123456，，，，，的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2005年，湖北高考【解析】易知4个人获得电影票的张数只有1122，，，这种可能，分情况讨论：⑴编号12，的票发给同一个人，则有3和4、4和5、5和6发给同一个人3种情况； ⑵编号23，的票发给同一个人，则有4和5、5和6发给同一个人2种情况； ⑶排除⑴⑵的情况只有1种可能：3和4、5和6分别发给同一个人．所以6张电影票分成1122，，，有6种可能，故题目要求的不同分法数为446144=Α种，选D ．【答案】D【例6】 现有3辆公交车、3 位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答【关键字】无【解析】分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：□□□，然后把3名司机和3名售票员分别填入，因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．解析：分两步完成，第一步，把3名司机安排到3辆车中，有336=A 种安排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有336=A 种安排方法．故搭配方案共有333336⋅=A A 种．【答案】36；【例7】 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】首先3名医生分配到3所学校有3!种方法；6名护士分配到3所学校，每所2名，属于均匀编号分组问题，共2264C C 90=种．由乘法原理共有690540⋅=种分配方法．选D ．【答案】D ；【例8】 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A ． 540B ． 300C ． 180D ． 150【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2008年，湖北高考【解析】依题意，5个人分成3部分只有两种可能：113，，或122，，．这是部分均匀编号分组问题，分别有1133543322C C C 60=ΑΑ和1223542322C C C 90=ΑΑ种方案，因此总方案数为6090150+=种，选D ．【答案】D ；【例9】 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常见模型【难度】2星 【题型】填空【关键字】2007年，海南高考【解析】由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有123453240C C A ⋅⋅=种安排方法． 答案为240．【答案】240染色问题【例10】 如图，正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（ ） A ． 30种 B ． 27种 C ． 24种 D ． 21种【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2007年，西城高三【解析】有1种颜色只有一个点涂，剩下的2种颜色涂4个点只有2种方法，故共有153C 230⋅⋅=种．选A ．【答案】A ；【例11】 将123，，填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有____________．321321321【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】第一行的填法有33Α种，填好后，第二行只有2种填法，第三行只有1种方法，故共有332112⨯⨯=Α种方法． 或者第一行的填法有33Α种，填好后，第一列剩下的2格有2种方法， 第一行、第一列填好后，其它的格子就确定了，只有1种方法， 故共有33212=Α种方法．【答案】12；【例12】 将1,2,3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，全国高考【解析】若第一行填123，，，下面填法有2种，第一行有33A 6=种填法，故总共的填法有2612⨯=种．【答案】B ；【例13】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．DCB AA ．24B ．36C ．72D ．84【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】5星 【题型】选择【关键字】2007年，江苏联赛【解析】如果四个小方格内只有两种颜色，则先选两色有24C 种，相同颜色必须放在对角线上，一色选择对角有2种选法，共计242C 12=种； 如果四个小方格内有三种颜色，选三色有34C 种，其中哪一色重复用2次有13C 种选法，该色选择对角有2种选法，另两色选位有2种，共计432248⨯⨯⨯=种； 四色全用有4!24=种（因A 、B 、C 、D 为固定位置）， 合计84种．【答案】D ；【例14】 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型【难度】5星 【题型】填空【关键字】2007年，全国联赛【解析】使2个a 既不同行也不同列的填法有2244C A 72=种，同样，使2个b 既不同行也不同列的填法也有2244C A 72=种，故由乘法原理，这样的填法共有272种，其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有12169C A 种．所以，符合题设条件的填法共有2121697272C A 3960--=种．【答案】3960；【例15】 如图所示A 、B 、C 、D 、E 为5个区域，现备有5种颜色为5个区域涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？EDC BA【考点】排列组合问题的常见模型【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】显然A处于中央，与其他区域都相接，因此它的地位比较特殊，应优先考虑．本题可分解为三类涂法：用5颜色涂；用4种颜色涂；用3种颜色涂．显然用2种颜色涂不可能．解析：本题有三类涂法．第一类：用5种颜色涂，显然有55120 =A种涂法．第二类：用4种颜色涂，显然有2类涂法：B与D涂同一色，其余三区各涂一色；C与E涂同一色，其余三区各涂一色，故涂法种数是413 5432240⋅⋅⋅=C C C（45C是指先选出4种颜色）．第三类：用3种颜色涂，那么B与D、C与E、A三部分区域各涂一色，故有33 5360⋅=C A种涂法（35C是指先选出3种颜色）．综上，涂法总数是：12024060420++=种．【答案】420【例16】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，天津高考【解析】分为三类：①只用两种颜色则为：226230C A=种；②用三种颜色，两端的格子不同色，选2种颜色，有26C种选法；中间的两个格子之一从剩下的4种颜色里挑一种，另一个格子的颜色则是确定的．因此有2211 6242240C A C C=种，；③用四种颜色则为：4464360C A=种故共计有630种．【答案】630【例17】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2007年，天津高考【解析】①用2种颜色涂格子有26230C ⨯=种方法；②用3种颜色涂格子：最左边的格子有3种，第二格有2种（与第一格不同），第三格有2种（与第二格不同），第四格有2种（与第三格不同），共有36C 3222⋅⋅⋅⋅种．但是这种方法可能只涂了2种颜色，只涂了2色的共有3263C C 2⋅⋅种．综合知共有()326330382390C C +⨯-⨯=种方法．【答案】390；错位排列【例18】 编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】109；问题的正面有三种情况：全不对号；有且仅有一个对号；有且仅有两个对号．这三种情况都较难处理．而反面只有两种情况：全对号（四人对号时一定全对号）；有且仅有3个对号．而全对号只有1种情况，3人对号时只要先从五人中选出3人（有35C 种），其余两人不对号即可，此时只有1种情况，由加法、乘法原理得反面情况共有351C 111+⋅=种．五人全排有55A 种．所以满足要求的种数为()5355A 1C 1109-+⋅=．【答案】109；【例19】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，问：共有多少种旅游方案?【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：用排除法，7个人分赴7个地方共有77Α种可能．⑴甲、乙两人同时都去各自不想去的地方旅游，其余的人去剩下的地方有55Α种； ⑵甲、乙只有一人去不想去的地方旅游，有12C 种选择，2人中剩下的那个人有5种选择，其余无条件的人的旅游方法有55Α种，共1525C 5⋅⋅Α种 所以满足题目条件的方案有75157525C 53720--⋅⋅=ΑΑΑ种．方法二：设集合I ={7个人旅游的总方案}，1A ={甲去不想去的地方的旅游方案}，2A ={乙去不想去的地方的旅游方案}，则原题要求的就是12||||I A A -U ，易知77||I =Α，而121212||||||||A A A A A A =+-U I ．65126125||||||A A A A ===I Α，Α，所以所求的方案总数为76576523720-=ΑΑ+Α种．【答案】3720【例20】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，问：共有多少种旅游方案?【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：用排除法，7个人分赴7个地方共有77Α种可能．⑴甲、乙、丙三人同时都去各自不想去的地方旅游，其余的人去剩下的地方有44Α种；⑵甲、乙、丙有两人去各自不想去的地方旅游，有23C 种选择，剩下的那个人有4种选择，其余无条件限制的4个人有44Α种方案，共有2434C 4⋅⋅Α种； ⑶甲、乙、丙只有一人去不想去的地方旅游，有13C 种，剩下的6个人有66Α种，其中包括了有条件限制的两人同时去各自不想去的地方共44Α种，以及这两人中有一人去了不想去的地方有14442C Α种，所以共有1641436444C 2C --ΑΑΑ种． 因此满足题意的方案总数为7241641473436444C 4(C 2C )3240-⋅⋅---=ΑΑΑΑΑ种．方法二：设集合I ={7个人旅游的总方案}，1A ={甲去不想去的地方的旅游方案}，2A ={乙去不想去的地方的旅游方案}，3A ={丙去不想去的地方的旅游方案}．则原题要求的就是123||||I A A A -U U ，而123123121323123||||||||||||||||A A A A A A A A A A A A A A A =++---+U U I I I I I ，易知61236||||||A A A ===Α，51223135||||||A A A A A A ===I I I Α，41234||A A A A =I I ，所以满足题意的方案总数为76547654333240-+-=ΑΑΑΑ种．【答案】3240【例21】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D地，问：共有多少种旅游方案?【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：用排除法，7个人分赴7个地方共有77Α种可能．（1）若甲、乙、丙、丁4人同时都去各自不能去的地方旅游，而其余的人可以去余下的地方旅游的不同选法有336=Α种；（2）若甲、乙、丙、丁中有3人同时去各自不能去的地方旅游，有34C 种，而4人中剩下1人旅游的地方是13C 种，都选完后，再考虑无条件3人的旅游方法是33Α种，所以共有313433C C 72=Α种； （3）若甲、乙、丙、丁4人中有2人同时去各自不能去的地方旅游，有24C 种，余下的5个人分赴5个不同的地方的方案有55Α种，但是其中又包括了有条件限制的四人中的两人同时去各自不想去的地方共33Α种，和这两人中有一人去了自己不能去的地方有13332C Α种，所以共有2531345333C (2C )468--=ΑΑΑ种；（4）若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，有14C 种方案，而余下的六个人的旅游方案仍与（3）想法一致，共有1632431531346334335333C [C ()C (2C )]1704------=ΑΑΑΑΑΑΑ种．所以满足题目情况的不同旅游方案共有77(6724681704)2790-+++=Α种． 方法二：设集合I ={7个人旅游的总方案}，1A ={甲去不想去的地方的旅游方案}，2A ={乙去不想去的地方的旅游方案}，3A ={丙去不想去的地方的旅游方案}，4A ={丁去不想去的地方的旅游方案}，则原题要求的就是1234||||I A A A -U U U Α，而4123412341||||||||||i i j ij k i i ji j kA A A A A A A A A A A A A A =≠≠≠=-+-∑∑∑U U U I II I I I ，同样的易知612346||||||||A A A A ====Α，55||i j A A =I Α（14i j i j ≠，≤，≤）， 44||i j k A A A =I I Α，312343||A A A A =I I I Α，所以要求的方案总数是： 762534376454434C C 2790-+-+=ΑΑΑΑΑ种．【答案】2790。

1思维的开掘 能力的飞跃1．基本计数原理⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同的方法，在第二类方法中有2m 种方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑴加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．〔其中被取的对象叫做元素〕排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．知识内容排列组合问题的常见模型12 思维的开掘 能力的飞跃⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．〔规定0C 1n =〕⑴排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题〔分成几堆，无序〕．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆〔组〕，必须除以n ！，如果有m 堆〔组〕元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，防止“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：⑴对特殊元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑴其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？3思维的开掘能力的飞跃【例3】7名同学排队照相．⑴假设分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵假设排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶假设排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷假设排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑴假设甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶假设甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】ABCDE五个字母排成一排，假设ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法〔用数字作答〕．【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个〔用数字作答〕．4 思维的开掘能力的飞跃5思维的开掘 能力的飞跃【例7】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔 〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例8】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是〔 〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔 〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例10】 在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是〔 〕A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．6 思维的开掘 能力的飞跃【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法〔用数字作答〕．【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔 〕A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种〔结果用数值表示〕．【例16】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有〔 〕种．A ．288B ．576C ．864D ．11527思维的开掘 能力的飞跃【例17】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例18】 从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例19】6个人坐在一排10个座位上，问 ⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔 〕A ．360B ．288C ．216D ．968 思维的开掘 能力的飞跃【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有〔 〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有〔 〕A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题【例24】 给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑴可能组成多少个四位奇数？⑴可能组成多少个四位偶数？⑴可能组成多少个自然数？【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？9思维的开掘 能力的飞跃【例26】 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】 用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】 用0129，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，假设千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个〔用数学作答〕．【例30】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这810 思维的开掘 能力的飞跃 张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有 种．432；【例31】 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有〔 〕 A ．1344种 B ．1248种 C ．1056种 D ．960种【例32】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种〔用数字作答〕．【例33】 用1，2，3，4，5，6组成六位数〔没有重复数字〕，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________〔用数字作答〕．【例34】 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有〔 〕A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例35】 从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数？高中数学讲义 11思维的开掘 能力的飞跃【例36】 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例37】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个〔用数学作答〕．【例38】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔 〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例39】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔 〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例40】 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？高中数学讲义 12 思维的开掘 能力的飞跃⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】 用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种〔用数字作答〕．【例43】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有〔 〕个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例44】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430高中数学讲义 13 思维的开掘 能力的飞跃【例45】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例46】 从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。

高中数学中的排列与组合在高中数学中，排列与组合是重要的概念和技巧。

它们在不同领域中都有着广泛的应用，尤其是在概率论、统计学和计算机科学中。

本文将介绍排列与组合的基本概念、原理和应用。

一、排列在数学中，排列是指从给定的元素中选取一部分，按照一定的顺序进行排列的方式。

下面我们来介绍排列的几个常见概念和公式。

1. 基本概念首先，我们引入排列的基本概念。

（1）全排列：从给定的n个元素中选取n个，按照一定的顺序进行排列，叫做全排列。

（2）k排列：从给定的n个元素中选取k个（k≤n），按照一定的顺序进行排列，叫做k排列。

2. 公式接下来，我们介绍排列的计算公式。

（1）全排列的计算公式：全排列的个数为n!（n的阶乘）。

（2）k排列的计算公式：k排列的个数为A(n,k) = n!/(n-k)!二、组合在数学中，组合是指从给定的元素中选取一部分，不考虑其顺序的方式。

下面我们来介绍组合的几个常见概念和公式。

1. 基本概念首先，我们引入组合的基本概念。

（1）全组合：从给定的n个元素中选取0个、1个、2个...直到n个元素的所有情况，叫做全组合。

（2）k组合：从给定的n个元素中选取k个（k≤n），不考虑顺序的所有情况，叫做k组合。

2. 公式接下来，我们介绍组合的计算公式。

（1）全组合的计算公式：全组合的个数为2^n。

（2）k组合的计算公式：k组合的个数为C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)。

三、排列与组合的应用排列与组合有着广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用领域。

1. 概率论与统计学在概率论和统计学中，排列与组合是计算事件的可能性的重要工具。

通过排列与组合的计算，我们可以确定事件的样本空间、计算事件的概率和进行统计推断等。

2. 计算机科学在计算机科学中，排列与组合是算法设计和分析的基础。

例如，在密码学中，排列与组合被用于生成和破解密码。

在图论和网络分析中，排列与组合是解决路径问题和网络优化问题的重要手段。

数学排列组合知识点精要讲解在我们的数学世界中，排列组合是一个既有趣又充满挑战的领域。

它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决各种各样的计数问题，从简单的挑选物品到复杂的任务安排，都离不开它的身影。

接下来，让我们一起深入探索排列组合的奥秘。

一、排列排列，简单来说，就是从给定的元素中选取一些，并按照一定的顺序进行排列。

例如，从 A、B、C 三个字母中选取两个进行排列，有多少种不同的排列方式呢？我们可以依次考虑每个位置的选择。

第一个位置有 3 种选择（A、B 或 C），当第一个位置确定后，第二个位置就只剩下 2 种选择了。

所以总的排列数就是 3×2 ＝ 6 种，分别是 AB、AC、BA、BC、CA、CB。

一般地，如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n, m) ，那么它的计算公式就是：A(n, m) ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1) 。

比如，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，那么排列数 A(5, 3) ＝ 5×4×3 ＝ 60 种。

在解决排列问题时，要特别注意“顺序”这个关键因素。

只要顺序不同，就算元素相同，也是不同的排列。

二、组合组合则是从给定的元素中选取一些，不考虑顺序。

还是以 A、B、C 三个字母为例，从中选取两个字母的组合，有多少种呢？这里 AB 和 BA 因为不考虑顺序，所以算是同一种组合。

所以组合数就是 3 种，分别是 AB、AC、BC。

如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为 C(n, m) ，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！，其中“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5×4×3×2×1 。

比如，从 6 个不同元素中选取 4 个的组合数 C(6, 4) ＝ 6! ／（4!×2!）＝ 15 种。

高中数学中的排列与组合排列与组合是高中数学中的重要内容，它们是数学中的一种数学技巧和思维方法，用于解决问题和计算方案的数目。

在这篇文章中，我们将详细介绍排列与组合的概念、性质和应用。

一、排列的概念与性质排列是指从一组元素中选取若干个进行排列，即确定元素的顺序。

在高中数学中，我们经常遇到这样的问题：“从n个不同的元素中取出m个进行排列，有多少种不同的排列方式？”这种情况下，可以使用排列数来计算。

排列数的计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。

排列数的性质包括以下几点：1. 排列数存在一个特殊情况，即全排列，它表示从n个元素中取出n个进行排列，全排列的计算公式为P(n, n) = n!。

2. 排列数满足交换律，即P(n, m) = P(m, n)。

3. 当m > n时，P(n, m) = 0。

二、组合的概念与性质组合是指从一组元素中选取若干个进行组合，即不考虑元素的顺序。

与排列相比，组合更加注重元素的选择而非顺序。

在高中数学中，我们常常遇到这样的问题：“从n个不同的元素中取出m个进行组合，有多少种不同的组合方式？”这时，可以使用组合数进行计算。

组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / [m! × (n - m)!]组合数的性质包括以下几点：1. 组合数存在一个特殊情况，即全组合，它表示从n个元素中取出n个进行组合，全组合的计算公式为C(n, n) = 1。

2. 组合数满足对称性，即C(n, m) = C(n, n - m)。

3. 当m > n时，C(n, m) = 0。

三、排列与组合的应用排列与组合在高中数学中的应用非常广泛。

以下是一些常见的应用场景：1. 利用排列与组合计算概率：在概率问题中，我们常常需要计算事件发生的概率。

高中数学排列与组合的解题思路与应用在高中数学中，排列与组合是一个非常重要的概念和技巧，它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在现实生活中也有很多实际的应用。

掌握排列与组合的解题思路和应用方法，对于高中学生来说是非常有益的。

本文将通过具体的题目举例，详细介绍排列与组合的解题思路和应用。

一、排列问题排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的问题。

在解决排列问题时，我们需要关注以下几个方面的内容。

1.1 排列的基本概念考虑一个简单的排列问题：有5个人要排队，问有多少种不同的排队方式？这个问题可以用排列的概念来解决。

对于这个问题，我们可以先考虑第一个位置，有5种选择；然后考虑第二个位置，有4种选择；以此类推，直到考虑第五个位置，有1种选择。

根据乘法原理，总的排队方式数为5×4×3×2×1=120种。

1.2 排列问题的应用排列问题在实际生活中有很多应用，比如在组织活动时，需要确定参与活动的人员的座位安排；在密码学中，需要确定密码的不同排列方式以提高密码的安全性。

通过解决排列问题，我们可以提高思维的灵活性和逻辑推理能力。

二、组合问题组合是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的组合方式进行组合的问题。

在解决组合问题时，我们需要关注以下几个方面的内容。

2.1 组合的基本概念考虑一个简单的组合问题：有7个人中选取3个人组成一个委员会，问有多少种不同的选取方式？这个问题可以用组合的概念来解决。

对于这个问题，我们可以先考虑选取的第一个人，有7种选择；然后考虑选取的第二个人，有6种选择；最后考虑选取的第三个人，有5种选择。

由于选取的人员顺序不重要，所以需要除以选取人数的阶乘。

根据组合的定义，总的选取方式数为7×6×5/(3×2×1)=35种。

2.2 组合问题的应用组合问题在实际生活中也有很多应用，比如在购买彩票时，需要从指定的数字中选取若干个数字进行投注；在统计学中，需要确定不同样本的组合方式以进行数据分析。

模块九 排列与组合、二项式定理第一部分：排列、组合 一。

计数原理加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m 类，每一类的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1+N 2+N 3+…..+N m 种方法。

（又称分类计数原理）乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m 步，每一步的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1⨯N 2⨯N 3⨯…..⨯N m 种方法。

（又称分类计数原理） 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。

正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。

排列数、组合数的定义①排列数：从n 个元素中取出m 个排成一列（即排入m 个位置），共有mn A 种排法。

A m n =n （n －1）（n －2）…（n －m +1）.特别的：!n A nn = ②组合数：从n 个元素中取出m 个形成一个组合，共有mn C 种取法。

C m n =!)!(!m m n n -特别地：1,10==nn n C C组合数的两个性质： （1）C m n =C mn n-； （2）C m n 1+=C m n +C 1-m n. 三。

解决排列、组合问题的四大原则及基本方法1. 特殊优先原则该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．范例甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（ ） Ａ．90种 Ｂ．89种 Ｃ．60种 Ｄ．59种解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有25C 种；②从剩下的4天中选2天安排乙有24C 种；③仅剩2天安排丙有22C 种．由分步乘法计数原理可得一共有22254260C C C =··种，即选Ｃ． 评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑． 2.先取后排原则该原则充分体现了mmmn m n C A A =·的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必要的重复与遗漏．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）． Ａ．12种 Ｂ．24种 Ｃ．36种 Ｄ．48种解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有24C 种分法，再将这三组分配到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有234336C A =·种不同分配方案．评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有34372A =·种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则．3.正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到１件次品的不同取法的种数是（ ） Ａ．12694C CＢ．12699C CＣ．3310094C C -Ｄ．3310094A C -解析：从100件次品中取3件产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，即从94件正品中取3件正品有394C 种取法，所以满足条件的不同取法是3310094C C -，故选Ｃ．如果从正面考虑，则必须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单．而本例最易迷惑人的是Ｂ：12699C C ，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次品为ABCDEF ，正品为甲乙丙丁戊…则12699C C 可以是ＡＢ甲，也可能是ＢＡ甲，因而重复．评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则． 4.策略针对原则不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．①相邻问题捆绑法（整体法），不相邻问题插空法人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高中数学复习排列与组合在高中数学学习中，排列与组合是不可或缺的基础知识点。

它们是数学中与选择、安排、计数相关的概念，广泛应用于概率、统计、组合数学等领域。

本文将从排列与组合的基本概念入手，逐步深入探讨相关内容，并通过例题进行巩固和练习。

一、排列与组合的概念1.1 排列的概念排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序取出若干元素进行排列。

对于含有 n 个元素的集合，从中取出 r 个元素进行排列的方式数称为排列数，用符号 P(n,r) 表示。

1.2 组合的概念组合是指从给定的元素集合中任意取出若干元素进行组合。

对于含有 n 个元素的集合，从中取出 r 个元素进行组合的方式数称为组合数，用符号 C(n,r) 表示。

二、排列的计算方法2.1 全排列当从 n 个不同元素中取出 n 个元素进行排列时，所有可能的排列方式数为 n! (n 的阶乘)。

2.2 有限排列当从 n 个不同元素中取出r (r≤n) 个元素进行排列时，所有可能的排列方式数为 P(n,r) = n!/(n-r)!。

2.3 循环排列当从 n 个同类元素中取出 r 个元素进行排列时，所有可能的循环排列方式数为 P(n,r)/r，其中 P(n,r) 表示全排列方式数，r 表示每个循环中的元素个数。

三、组合的计算方法3.1 组合数的计算公式组合数通过以下公式进行计算：C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]，其中 n 为总元素个数，r 为取出的元素个数。

3.2 组合数的性质组合数具有以下性质：- 互补性质：C(n,r) = C(n,n-r)- 加法原理：C(n,r) + C(n,r+1) = C(n+1,r+1)- 递推关系：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)四、排列与组合的应用4.1 概率问题在概率问题中，排列与组合常被用于计算事件发生的可能性。

通过计算排列与组合数，可以得出不同事件的发生概率，并进行概率的运算与推导。

排列组合问题的常见模型一、相异元素不许重复的排列组合问题这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。

这类问题有如下一些常见的模型。

模型１：从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都包含在内，则：组合数：1m k n k N C --= 排列数：2m m k m n k N A C --=例１．全组有12个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下列情形中，各有多种不同的选法？（１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作．解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中选出，故不同的选法有：53112336(N C --==种)（２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有：553522512359120364320(N A C A C --===⨯=种)模型２．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都不包含在内，则： 组合数：1m n k N C -= 排列数：2m m m m n k n k N A C A --==例２．某青年突击队有15名成员，其中有５名女队员，现在选出７人，如果５名女队员都不当选，试问下列情形中，各有多少种不同的选法？(1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作．解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有：77311551010120N C C C -====（种）（２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有：7721551010987654604800N A A -===⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（种）模型３．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包含某k 个元素中的某s 个元素。

高中数学排列组合模型讲义定义：从n 个不同的元素中取出m(n m ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列。

记作：Km HY2.构成：{⎧⎪⎨⎪⎩原始的元素:n 个取出的元素：m 个【元素】 【位置】m 个元素按照一定的顺序排列【分步】 本质：【顺序】从n 个不同的元素中取出的m 个元素进行排列时顺序是固定的 【集合】有限集合K={}n a a a ......,21{},,|),......,,(.....21j i x x k x x x x K K K K j i i m m ≠≠∈=**=(1)(2)......(1)m mn k n n n n m A =*--*-+=【元素个数】⎪⎩⎪⎨⎧=⊇≥=n A card BA mn mB card )()(【数】m 个不同的元素【个数】从n 个不同的元素中取出m(n m ≤)个元素的所有不同元素的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数【K 集合中的两个元素】1.相邻 2.不相邻3．在特定的位置 4.不在特定的位置 【三个元素】1.相邻 2.不相邻3.在特定的位置4.不在特定的位置【四个元素】从a,b,c,d 四个元素中取出三个元素的排列共有34A 个，abc 是其中一个排列 【m 个元素】1.取出的m 个元素可以重复 2.取出的m 个元素不可以重复 【位置与元素】1.特定的元素排在特定的位置 2.特定的元素不排在特定的位置 3.分类【元素的个数】{【有限】有穷数列【无限】无穷数列【顺序】{组合数列【m 】{时，全排列时，选排列n m n m =<4.条件1.【定义】从n 个不同的元素中取出m(n m ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列2.【位置】元素相同，位置也相同，则是同一个排列；元素完全不同，或元素不完全相同，或元素相同，位置不同都不是同一个排列 5.性质【个数】)!(!m n n A mn -=【m=n 】!n A nn =11--=m n m n nA A排列模型一、 直线排列：元素不完全相同的直线排列⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊃⊃⎢⎣⎡⊃⎢⎣⎡+-+-⊃→置特定元素必不在特定位特定元素必在特定位置元素顺序不固定元素顺序固定必不相邻模型）！元素顺序不固定（）！元素顺序固定（必相邻模型排列数不重复排列m m m m n m m n m !11 模型个人，每个人至少一件映射个数为排列数为重复排列k n m ⊃→→ 元素不完全相同的直线排列走楼梯法排列数⊃→!!!!!321k m m m m n二、 环状排列⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎣⎡⊃→长方形排列正多边形排列项圈排列排列数为无编号直线排列有编号 直线排列一、 不同元素的排列问题 （一） 不重复排列 1、 必相邻模型：站法？必须站在一起，有几种名女生站成一排，女生名男生和例、有）数为（元素进行排列，总排列对个元素顺序不固定个元素排列元素看成一个元素，解析：用捆绑法把）元素顺序不固定：（）、（）总排列数为（个元素顺序一定个元素排列一个元素，然后对元素捆绑在一起，看成解析：把）元素顺序固定：（、元素必相邻的排列数：个不同元素中，34!!11!!12!11!1)1(m m n m m m n m m m n m m n m m n m m n m m n +-∴+-+-+-∴+-+-2、 不相邻模型：有几种站法？女生和女生都不相邻，不相邻，有几种站法？名女生站成一排，女生名男生和例、有方法并按顺序排列，共有种个元素，个空来放个空，从中取出个元素全排列，则有解析：对元素顺序不固定：）、（顺序固定，即有个元素，个空来放个空，从中取出个元素全排列，则有解析：对元素顺序固定：、数：个元素必不相邻的排列个不同元素中，45121)1(m m m n m n m m m m n m n m m n +--+--3、特定元素必在特定位置站法？在两端，有几种不同的必须站中间，乙必须站个人站成一排，其中甲例、排列。

选修2-3第一章第二节和第三节 排列组合一、排列.1. 排列定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2. 排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号表示.3. 排列数公式：注意： 规定0! = 1规定 二、组合.2. 组合定义：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2. 组合数公式：3. 两个公式：① ②①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C ，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m 个元素，所以共有C 种，依分类原理有.三、排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.四、几个常用组合数公式m n A ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ!)!1(!n n n n -+=⋅111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 10==n n n C C )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n-=+--==Λ;m n n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+1m n 111m n C C C --=⋅m n C 1-m n m n m n m n m n C C C 11+-=+n n nn n n C C C 2210=+++Λλ五、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有.⑦隔板法：常用于解正整数解组数的问题.II. 排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（线组合再排列）；④间接法；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略；2. 组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（其中A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K 组均匀分组应再除以. ②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为 ③均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为. 例题（简单）例1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ΛΛΛkk n nn n k n kn A C C C Λ)1(-⋅rr A A /k kA m mA A ⋅m mrr A A A ⋅/不同的报名方法共有( )A．10种B．20种C．25种D．32种例2．用数字1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A．8 B．24 C．48 D．120例3. 6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有种站法.例题（稍难）例1. 某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为（）A．85 B．86 C．91 D．90例2. 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 .例3. 将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.（1）不出现空盒子时放入方式共有种.（2）可出现空盒时的放入方法共有种.例题（难）例1. 从0,1,2,3,4,5,这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300 B．216 C．180 D．162例2. 用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.例题（很难）例1. 国家教育部为了发展贫困地区的教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有种不同的分派方法. 例2. 将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有种.例3. 将6名教师分到3所学校任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法.例4. 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有种. 例5. 4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，恰好有1个空盒子的放法有种.例6. 如图所示的花圃中的5个区域中种入4种不同颜色的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法．同步基础排列1．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有( )A．48个B．36个C．24个D．18个2．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种3．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )A．24种 B．36种 C．48种 D．72种4．某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A、B排序方式有( )A．192种B．144种C．96种D．72种5．某中学一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A．600种B．480种C．408种D．384种6．5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答)7．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)．8．由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成________个数字不重复含2,3且2,3相邻的四位数.9．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？10．用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数的个数是多少个？组合1．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为( )A．50B．45 C．40 D．352．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A．70种 B．80种 C．100种 D．140种3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．14 B．24 C．28 D．484．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A．10种 B．20种 C．36种 D．52种5．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )A．15 B．45 C．60 D．756．从0,1,2,3,4,5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有________个．(用数字作答)7．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．8．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有________种．(以数字作答)9．有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生．(2)某女生一定要担任语文科代表．(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．10．一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球(球的大小均一样)(1)从中任取3个球，恰好为同色球的不同取法有多少种？(2)取得一个红球记为2分，一个白球记为1分．从口袋中取出五个球，使总分不小于7分的不同取法共有多少种？过关训练1．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A．24 B．48 C．120 D．72 2．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A．33 B．34 C．35 D．36 3．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有( )A．120种 B．96种 C．60种 D．48种4．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A．150种B．180种C．300种D．345种5．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种 B．36种 C．42种 D．60种6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有________种．7．安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种．8．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)9．某小组学生举行毕业联欢会，人员到齐后大家彼此握手，其中有2名学生各握了3次手后提前离开，其他学生都彼此握了手．若知握手的总次数为83次，试问该小组共有多少名学生？10．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法？自我超越1. 12名同学合影，站成了前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数是( )A. 168B. 20 160C. 840D. 5602. 将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是( )A. C28C26C24A44A44B. A28A26A24A44C. C28C26C24A44D. C28C26C243. 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )A. C14C44种 B. C14A44种 C. C44种 D. A44种4. 从45名男生和15名女生中按分层抽样的方法，选出8人参加国庆活动．若此8人站在同一排，则不同的排法种数为( )A. C645C215B. C645C215A88C. C545C315D. C545C315A885. 某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班．选课结束后，有四名学生要求改修数学，但每班至多可再接收两名学生，那么不同的分配方案有( )A. 72种B. 54种C. 36种D. 18种6. 从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答)．7. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________．8. (创新题)在一次文艺演出中，需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，以不同的点亮方式增加舞台效果，设计要求如下：恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮，则不同的点亮方式为________种．9. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．10. 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．11. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )A. 54B. 90C. 126D. 15212.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）A.136B.19C.536D.1613. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A. 10种B.15种C. 20种D. 30种超级挑战1. 把1个圆分成4个扇形，依次记为D1，D2，D3，D4，每个扇形都可以用3种不同颜色中任何1种涂色，要求相邻的扇形颜色不同，则共有 种不同涂色方法.2. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同颜样色的花，不同的栽种方法有3. 集合A ∪B ∪C={a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，且A ∩B={ a 1，a 2}，求，A ，B ，C 的所有可能组合的个数.4. 如图，ABCD 为海上的四个小岛，要建三座桥将这四个小岛连接起来，则不同的剑桥方案共有（ ）.A .8种 B.12种 C .16种 D .20种5. 甲、乙、丙、丁四个做互相传球练习，第一次传给除甲外其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了4次，则第四次仍传回到甲的概率是（ ）.A.277B. 275C. 87D. 6421 6. 一楼梯共12级，每步可以向上跨1级或2级，共有 种上楼梯方法.。

高中数学-排列组合21种模型1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.)1()2)(1(+---=m n n n n A m n )!(!m n n -=2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m nm n +---== )!(!!m n m n -=1、特殊元素和特殊位置优先策略：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

（转化思想，转特殊选排为任意，便能用排列数，减少分步次数）例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =2.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.（同样是转化思想）例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高中数学排列组合一．基础知识1.分类计数原理：完成一件事情有n 类方法，在第一类办法里有m 1种不同的方法，在第二类办法里有m 2种不同的方法......在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n +++...21种不同的方法。

2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法......做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n ...21⨯⨯种不同的方法。

3.（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （n m ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示（3）)1...(2)(1(+---=m n n n n A mn ）若m=n ，得123)...2)(1(!••--==n n n n A nn ，左边表示n 个不同元素全部取出的排列数，称为全排列数。

右边表示正整数1到n 的连乘积，称为n 的阶乘。

4.（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

（2）组合数：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示 （3）组合数公式)!(!!m n m n AA C m mm n mn -==（4）常用性质：①C C mn n mn -= ②C C C m n mn mn 11-++=5.相邻问题（捆绑问题）n 个元素排列，其中的m 个元素要求相邻，把这m 个元素看成1个元素与其他n-m 个元素排列，在考虑这m 个元素自身的顺序即可，其结果是!)!1(m m n +- 6.相离问题（插空问题）n 个元素排列，其中的m 个元素要求彼此互不相邻，先排其余的n-m 个元素，这n-m 个元素的每相邻的两个元素之间都有一个空，再加上两端，共有n-m+1个空，从这n-m+1个空中选m 个空去排要求彼此互不相邻的m 个元素就可以了，其结果是A mm n m n 1)!(+--7.定位问题：（1）单定位：n 个元素排列，某个元素要求排在某个指定的位置上，等价于没有这个元素和没有这个位置，其结果是（n-1）!（2）复定位：n 个元素排列，k 个元素要求排在m 个指定的位置上，先从这m 个位置中选出k 个位置去排这k 个元素，再排其余n-k 个元素即可，其结果是)!(k n Ak m-8.平均分组问题：把n 个元素平均分成m 组，每组k （k=mn）个元素，共有不同的分法AC C C mmkkn kk n kn ...2--种9.)(......*222111)(N b C baC baC baC a C b a n n n n rrn r n n n n n nn n∈++++++=---+这个公式叫做二项式定理。

排列组合知识点总结及题型归纳嘿！今天咱们来好好聊聊排列组合这个让人又爱又恨的知识点呀！首先呢，咱们得搞清楚啥是排列，啥是组合。

哎呀呀，简单来说，排列就是从一堆东西里选出来，然后再排个顺序；组合呢，只要选出来就行，不管顺序啦！一、排列的知识点1. 排列的定义：从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数，记为A(n,m) 。

哇，这个公式可重要啦，A(n,m) = n! / (n - m)! ，记住没？2. 排列数的计算：咱们来算个例子，比如说从5 个不同的元素里选3 个进行排列，那就是A(5,3) = 5! / (5 - 3)! = 60 呀！二、组合的知识点1. 组合的定义：从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，记为C(n,m) 。

公式是C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。

2. 组合数的计算：就像从6 个不同元素里选4 个的组合数，C(6,4) = 6! / [4!(6 - 4)!] = 15 呢！三、常见的排列组合题型1. 排队问题：比如说，几个人排队，有多少种排法？这就得考虑有没有特殊位置或者特殊的人啦！2. 分组问题：把一些东西分成不同的组，要注意平均分和不平均分的情况哟！3. 分配问题：把人或者物品分配到不同的地方，这里面可藏着不少小陷阱呢！四、解题技巧1. 优先考虑特殊元素或特殊位置：哎呀呀，这可是解题的关键呀！2. 捆绑法：有些元素必须在一起，那就把它们捆起来当成一个整体来处理。

3. 插空法：有些元素不能相邻，那就先排好其他的，再把不能相邻的插进去。

总之呢，排列组合虽然有点复杂，但是只要咱们掌握了这些知识点和题型，多做几道题练习练习，就一定能搞定它！哇，加油呀！。

1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.排列数、组合数的公式及性质顺序有关，组合问题与顺序无关．一、排列问题排列典型例题：有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．648C．328 D．3602.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种二、组合问题组合典型例题：某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120(种)方法．(2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．30种B．36种C．60种D．72种2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种三、排列组合综合问题(1)简单的排列与组合的综合问题；(2)分组、分配问题．1.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15 B．20C．30 D．422.将5位同学分别保送到大学、交通大学、大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A ．150种B ．180种C ．240种D ．540种此题是高考出现频率最高的题型，我把他称为均分问题：对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。

微专题80 排列组合的常见模型一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。

例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。

例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。

从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。

3310785N C C =-=（种）3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。

但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。

例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。

解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。

所以共有213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。

例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有44A 种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种 2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有25C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。