8-1向量及其线性运算

8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。

第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。

习题8-1向量及其线性运算1.在yOz 平面上，求与三点(3,1,2)A 、(4,2,2)B --和(0,5,1)C 等距离的点。

2.设已知两点1M 和2(3,0,2)M ，计算向量12M M的模、方向余弦和方向角。

3. 设向量r的模是4，它与u 轴的夹角是3π，求r在u 轴上的投影。

4. 设358m i j k =++，247n i j k =-- 和54p i j k =+- ，求向量43a m n p =+- 在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量。

5. 从点()2,1,7A -沿向量8912a i j k =+-方向取长为34的线段AB ，求点B 的坐标。

解 设点B 的坐标为(),,x y z ，则()2,1,7AB x y z =-+-，且AB a λ= ，即28,19,712x y z λλλ-=+=-=-，34AB ==从而2λ=，所以点B 的坐标为()18,17,17-习题8-2数量积 向量积1. 设32a i j k =--，2b i j k =+- ，求（1）a b 及a b ⨯ ；（2）(2)3a b - 及2a b ⨯；（3）a 、b 的夹角的余弦。

2．已知1(1,1,2)M -、2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求与12M M 、23M M同时垂直的单位向量。

3.求向量(4,3,4)a =-在向量(2,2,1)b = 上的投影。

4. 已知3OA i k =+ 、3OB j k =+ ，求OAB ∆的面积。

5. 设()()3,5,2,2,1,4a b =-= ，问λ与μ有怎样的关系能使a b λμ+与z 轴垂直？解 ()32,5,24a b λμλμλμλμ+=++-+ ，在z 轴上取单位向量()0,0,1e =， 要使它与a b λμ+互相垂直，只须()0a b e λμ+⋅=，即()()()320502410,240,2λμλμλμλμλμ+⨯++⨯+-+⨯=∴-+==，即为所求λ与μ的关系习题8-3曲面及其方程1.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程。

第八章；向量代数与空间解析几何 1.向量及其线性运算1.1向量概念及线性运算1.2 向量的方向角，方向余弦，在某轴的投影例：(,,)OA x y z =，则，cos ||||x x OA r α==，cos ||||y y OA r β==，cos ||||z z OA r γ== 投影||cos ba a Prj ϕ=2.向量的数量积，向量积，混合积：||||cos a b a b θ⋅= ，||||||sin a b a b θ⨯=，xy z xyzi j ka b a a a b b b ⨯=()xy z xy z x yza a a abc b b b c c c ⨯⋅=3.平面 3.1 平面方程（1） 平面的点法式方程：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= （2） 平面的一般方程:0Ax By Cz D +++=（3） 平面的截距式方程:1x y za b c++= （知三点求平面方程：利用任意两点做差乘得法向量，在利用另一点用点法式可得）3.2两平面的夹角11111:0A x B y C z D ∏+++=22222:0A x B y C z D ∏+++=夹角余弦：cos θ=121212120A A B B C C ∏⊥∏⇐⇒++=11112222//A B C A B C ∏∏⇐⇒==4.空间直线4.1 空间直线的方程（1）一般式：可看作两平面交线 （2）对称式：000x x y y z z m n p---== （3）参数式：000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩4.2空间直线的位置关系121212120L L m m n n p p ⊥⇐⇒++=；11112222//m n p L L m n p ⇐⇒==5.点线面距离：66设()()()000011112222,,,,,,,,M x y z M x y z M x y z === （1）两点间距离公式：12M M =（2）点线距离，直线过M1，方向向量为v ，|1|||MM v d v ⨯=（3）两直线间距离：设L1,L2 分别过M1,M2, 且方向向量分别为1s ，2s， 则()1212|1||MM s s d s s ⋅⨯=⨯ 6.曲面及其方程6.1旋转曲面：平面曲线绕其坐标轴旋转时，则该坐标轴对应的变量不变，另一变量改为该变量与第三个变量平方和的正负平方根，如设有曲线(,)0:0f x y L z =⎧⎨=⎩其绕x 轴旋转形成的旋转曲面方程为:(,0f x =绕Y 轴旋转形成的旋转曲面方程为:()0f y =例：球面：2221x y z ++= 圆锥面：222x y z +=旋转双曲面：2222221x y z a a c+-=6.2柱面： 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面，这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. （曲面方程缺一个变量） 例：圆柱面：222x y R += 抛物柱面：22(0)x pyp =>椭圆柱面：22221x y a b+=6.3二次曲面（1）椭球面：2222221x y z a b c++=(2) 椭圆抛物面：（3）马鞍面：2222x y z p q-+=（4）单叶双曲面2222221x y z a b c +-=（5）双叶双曲面：2222221x y z a b c --=（6）双曲抛物面2222x y z a b-=（马鞍面）（7）椭圆锥面：22222x y z a b+=（z=xy 为马鞍面）7. 空间曲线方程,投影(1)空间曲线的一般方程:(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩(2)空间曲线的参数方程:()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(3) 曲线在xoy 面上的投影曲线为:(,)0H x y z =⎧⎨=⎩练习题：1. 椭圆222210y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩绕oy 轴旋转而成的曲面方程为（ ）。