【小初高学习】2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十章 第四节 直接证明与间接证明 Word

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有() A．21种B．315种C．143种D．153种答案 C解析可分三类：一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63种；二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45种；三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35种；∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．故选C.2．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．()A．8 B．12 C．14 D．9答案 B解析由题意知本题是一个分类计数问题．当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4种情况，当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类计数原理得到共有12种结果，故选B.3．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37种．故选C.4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为()A．42 B．30 C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．故选A.5．(2017·石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A．10种B．25种C．52种D．24种答案 D解析每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．故选D.6．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是() A．60 B．48 C．36 D．24答案 B解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.故选B.7．(2017·山东模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．279答案 B解析由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.8．(2018·南宁调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个答案 B解析依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15(个)．故选B.9．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，若从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有() A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．∴共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．故选C.10．(2018·湖南长沙模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有()A．12对B．18对C．24对D．30对答案 C解析依题意，注意到在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线AC构成异面直线且所成的角为60°的直线有BC1，BA1，A1D，DC1，注意到正方体ABCD－A1B1C1D1中共有12条面对角线，可知所求的“黄金异面直线对”共有4×122＝24对，故选C.二、填空题11．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．答案17解析当A＝{1}时，B有23－1＝7种情况；当A＝{2}时，B有22－1＝3种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1＝3种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况．故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．12．(2018·湖南十二校联考)若m，n均为非负整数，在做m＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3802＝3936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是________．答案300解析第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.13．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，集合A＝{a1，a2，…，a10}，从A中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列的个数为________．答案24解析当公比为q时，满足题意的等比数列有7种，当公比为1q时，满足题意的等比数列有7种，当公比为q2时，满足题意的等比数列有4种，当公比为1q2时，满足题意的等比数列有4种，当公比为q3时，满足题意的等比数列有1种，当公比为1q3时，满足题意的等比数列有1种，因此满足题意的等比数列共有7＋7＋4＋4＋1＋1＝24(种)．14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(用数字作答)．答案72解析解法一：区域1有C14种着色方法；区域2有C13种着色方法；区域3有C12种着色方法；区域4,5有3种着色方法(4与2同色有2种，4与2不同色有1种)．∴共有4×3×2×3＝72种不同着色方法．解法二：区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑．区域1有4种涂法．若区域2,4同色，有3种涂色，此时区域3,5均有两种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48种；若区域2,4不同色，先涂区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法．此时区域3,5也都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24种．因此涂法共有48＋24＝72种．三、解答题15．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？解根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法．(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法．(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有3×2×1＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，3×6＝18种不同的放法．综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．16．(2018·江阴模拟)用n(n∈N*)种不同颜色给如图的4个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色．(1)当n＝6时，图①、图②各有多少种涂色方案？(要求：列式或简述理由，结果用数字作答)(2)若图③有180种涂色法，求n的值．解(1)当n＝6时，图①A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有5种方法，共有涂色方法6×5×4×5＝600种．图②若A，C相同，则A有6种方法，B有5种方法，D有4种方法，共有6×5×4＝120种．若A，C不同，则A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有3种方法，共有6×5×4×3＝360种．∴共有涂色方法120＋360＝480种．(2)A有n种方法，B有n－1种方法，C有n－2种方法，D有n －2种方法，共有涂色方法n(n－1)(n－2)·(n－2)种，由n(n－1)(n－2)(n－2)＝180，解得n＝5.。

课时达标检测(五十）直接证明与间接证明[练基础小题——强化运算能力]1．(2017·南京金陵中学模拟)用反证法证明命题：“若a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的假设为________．解析：用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，则结论“a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定是“a ，b ，c ，d 全都为非负数”．答案：a ，b ，c ，d 全都为非负数2．(2018·盐城中学模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a ”索的因应是________．解析：b 2－ac ＜3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇔－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔(a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0.答案：(a －b )(a －c )＞03．设a ，b ，c 均为正实数，则对于三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a，下列叙述中正确的是________．(填序号)①都大于2；②都小于2；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2.解析：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案：④4．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：∵a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6，且7＋6＞6＋5＞3＋2＞0，∴a ＞b ＞c .答案：a ＞b ＞c[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·南通模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：因为a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是单调减函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C .答案：A ≤B ≤C2．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.答案：③3．已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．若a 1＝6，则集合M ＝________.解析：由题可知，a 2＝2a 1＝12，a 3＝2a 2＝24，a 4＝2a 3－36＝12，a 5＝2a 4＝24，a 6＝2a 5－36＝12，…，所以M ＝{6,12,24}．答案：{6,12,24}4．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.∵1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴1＋a 2＞a .∴b ＝1＋a 2＞a .∴c ≥b ＞a .答案：c ≥b ＞a5．已知a ，b ∈R ，m ＝6a36a ＋1＋1，n ＝13b 2－b ＋56，则m 与n 的大小关系是________．解析：m ＝6a36a ＋1＋1＝6a62a ＋2＋1＝1626a ＋6－a ≤1262＝112，n ＝13b 2－b ＋56＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋112≥112，所以n ≥m .答案：n ≥m6．(2018·泰州中学模拟)设函数f (x )＝e x＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝e x＋x －a 在定义域内是增函数，由f (f (b ))＝b ，猜想f (b )＝b . 反证法：若f (b )＞b ，则f (f (b ))＞f (b )＞b ，与题意不符，若f (b )＜b ，则f (f (b ))＜f (b )＜b ，与题意也不符，故f (b )＝b ，即f (x )＝x 在[0,1]上有解．所以e x ＋x －a ＝x ，a ＝e x －x 2＋x ，令g (x )＝e x －x 2＋x ，g ′(x )＝e x －2x ＋1＝(e x＋1)－2x ， 当x ∈[0,1]时，e x＋1≥2,2x ≤2，所以g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上是增函数， 所以g (0)≤g (x )≤g (1)， 所以1≤g (x )≤e，即1≤a ≤e. 答案：[1，e]7．(2018·苏州模拟)用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．答案：a ，b 中没有一个能被5整除8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n . 答案：c n ＋1＜c n9．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________． 解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x＜0，故得－1＜1x ＜－13或12＜1x＜1，解得－3＜x ＜－1或1＜x ＜2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案：(－3，－1)∪(1,2)10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．解析：依题意有f (－1)＞0或f (1)＞0，所以－2p 2＋p ＋1＞0或－2p 2－3p ＋9＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，得－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，故满足条件的p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32二、解答题11．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明：要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)＞tan x 1＋x 22，只需证明12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2＞tan x 1＋x 22， 只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2＞sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)．∴cos x 1cos x 2＞0，sin(x 1＋x 2)＞0,1＋cos(x 1＋x 2)＞0， 故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)＞2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2＞2cos x 1cos x 2， 即证cos(x 1－x 2)＜1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立， 因此12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.12．对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是否是理想函数．解：(1)证明：取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.(2)对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函数．对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，有f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．对于f(x)＝x，x∈[0,1]，显然满足条件①②，对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2x1x2＋x2)＝－2x1x2≤0，即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.∴f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数．综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数．*)．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

一、填空题1．已知函数f (x )＝，若f (a )＝，则f (－a )＝________.x 2＋x ＋1x 2＋123解析：根据题意，f (x )＝＝1＋，而h (x )＝是奇函数，x 2＋x ＋1x 2＋1x x 2＋1xx 2＋1故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－＝.2343答案：432．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，值域为(－∞，4]，则该函数的解析式为f (x )＝________.解析：由f (x )＝bx 2＋a (b ＋2)x ＋2a 2是偶函数，可得a (b ＋2)＝0.又其值域为(－∞，4]，∴b <0，且2a 2＝4，从而b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋43．若f (x )＝＋a 是奇函数，则a ＝________.12x －1解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，则＋a ＝－(＋a )，∴a ＝.12－x －112x －112答案：124．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有<0，则f (3)，f (－2)与f (1)的大小关系是________．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1解析：由已知<0，得f (x )在[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1f (3)<f (－2)<f (1)．答案：f (3)<f (－2)<f (1)5．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ()＝________.2解析：由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，x ∈R ，令x ＝－，得－f ()＝f (－)．1212121212又f (x )为偶函数，∴f ()＝0.12又令x ＝，得f ()＝f ()，∴f ()＝0.121232321232答案：06．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－17．偶函数f (x )是以4为周期的函数，f (x )在区间[－6，－4]上是减函数，则f (x )在[0,2]上的单调性是________．解析：∵T ＝4，且f (x )在[－6，－4]上单调递减，∴函数在[－2,0]上也单调递减，又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．答案：单调递增8．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________．解析：∵f (x )是奇函数，∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )．当x >0时，f (x )<－1，即log 2 x <－1，得0<x <；12当x <0时，f (x )<－1，即－log 2 (－x )<－1，得x <－2.故解集为(－∞，－2)∪(0，)．2答案：(－∞，－2)∪(0，)129．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝Error!则f (2 016)＝________.解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )；进而f (2016)＝f (336×6)＝f (0)＝3－1＝.13答案：13二、解答题10．已知函数f (x )＝Error!是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知Error!所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知f (x )＝是奇函数．x －ax 2＋bx ＋1(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间，并加以证明；(3)求f (x )的值域．解析：(1)∵f (x )＋f (－x )＝0恒成立，即－＝0恒成立，x －a x 2＋bx ＋1x ＋ax 2－bx ＋1则2(a ＋b )x 2＋2a ＝0对任意的实数x 恒成立．∴a ＝b ＝0.(2)∵f (x )＝(x ∈R)是奇函数，xx 2＋1∴只需研究f (x )在区间[0，＋∞)上的单调区间即可．任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－＝.x 1x 21＋1x 2x 2＋1(x 2－x 1)(x 1x 2－1)(x 21＋1)(x 2＋1)∵x ＋1>0，x ＋1>0，x 2－x 1>0，212而x 1，x 2∈[0,1]时，x 1x 2－1<0，x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，∴当x 1，x 2∈[0,1]时，f (x 1)－f (x 2)<0，函数y ＝f (x )是增函数；当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，f (x 1)－f (x 2)>0，函数y ＝f (x )是减函数．又f (x )是奇函数，∴f (x )在[－1,0]上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数．又x ∈[0,1]，u ∈[－1,0]时，恒有f (x )≥f (u )，等号只在x ＝u ＝0时取到，故f (x )在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]，[1，＋∞)上是减函数．(3)当x ＝0时，f (x )＝＝0；xx 2＋1当x >0时，f (x )＝＝≤，xx 2＋11x ＋1x 12即0<f (x )≤；12当x <0时，f (x )＝＝－≥－，1x ＋1x 1(－x )＋(1－x )12即－≤f (x )<0，12综上可知：函数f (x )的值域为[－，]．121212．已知函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，对定义域内的任意x 1、x 2，都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.(1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：(1)因对定义域内的任意x 1、x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，令x ＝x 1，x 2＝－1，则有f (－x )＝f (x )＋f (－1)．又令x 1＝x 2＝－1，得2f (－1)＝f (1)．再令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝0，从而f (－1)＝0，于是有f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数．(2)设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f (x 1·)x 2x 1＝f (x 1)－[f (x 1)＋f ()]＝－f ()，x 2x 1x 2x 1由于0<x 1<x 2，所以>1，从而f ()>0，x 2x 1x 2x 1故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。

一、填空题1．函数y ＝|sin x |的最小正周期为________．解析：由图象知T ＝π.答案：π2．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________．解析：由已知得sin x －cos x >0，即sin x >cos x .在[0,2π]内满足sin x >cos x 的x 的集合为(π4，54π)．又正弦、余弦函数的周期为2π，∴所求定义域为{x |π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z}．答案：{x |π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z}3．函数y ＝sin x (－π4≤x ≤3π4)的值域是________．答案：[－22，1]4．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是________．解析：f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12， ∵π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤56π. 从而可得f (x )max ＝1＋12＝32. 答案：325．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为________．解析：当|MN |最小时，点M ，N 必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设为M (π4，2π2)，N (5π4，－2π2)，根据两点间距离公式得|MN |＝π2＋(2π)2＝3π.答案：3π6．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．解析：f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.答案：327．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离π则f (x )的单调递增区间是________．解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期， ∴2πω＝π，ω＝2.f (x )＝2sin(2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)．答案：[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z8．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．解析：由3sin(ωx －π6)＝0，得ωx ＝k π＋π6(k ∈Z)， ∴x ＝k πω＋π6ω，即对称中心为(k πω＋π6ω，0)(k ∈Z)．由3cos(2x ＋φ)＝0得2x ＝k π＋π2－φ(k ∈Z)，∴x ＝k π2＋π4－φ2，即对称中心为(k π2＋π4－φ2，0)(k ∈Z)．∴k πω＝k π2得ω＝2，故f (x )＝3sin(2x －π6)，∵x ∈[0，π2]，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，故－32≤f (x )≤3.答案：[－32，3] 9．某学生对函数f (x )＝2x ·cos x 的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数f (x )在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点(π2，0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心；③函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π对称；④存在常数M >0，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立．其中正确的结论是________．(填写所有你认为正确的结论序号)解析：对于①，f (－2π3)＝2π3>－π3＝f (－π3)，不正确；对于②，f (0)＝0，f (π)＝－2π，不正确；对于③，f (0)＝0，f (2π)＝4π，不正确．答案：④二、解答题10．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈R.(1)求f (π12)的值；(2)试写出一个函数g (x )，使得g (x )f (x )＝cos 2x ，并求g (x )的单调区间．解析：(1)因为f (x )＝2sin(x ＋π4)，。

一、填空题1、若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.解析：∵α∈(－π2，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210.答案：－2 102、已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析：依题意由1－cos 2αsin αcos α＝1得2sin2αsin αcos α＝1，则tan α＝1 2，从而tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)·tan α＝－－13－121＋(－13)×12＝－1.答案：－13、已知tan(α－π6)＝37，tan(π6＋β)＝25，则tan(α＋β)的值为________、解析：tan(α＋β)＝tan [(α－π6)＋(π6＋β)]＝tan(α－π6)＋tan(π6＋β)1－tan(α－π6)·tan(π6＋β)＝37＋251－37×25＝1.答案：14、在等式cos(*)(1＋3tan 10°)＝1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角的度数是________、解析：1＋3tan 10°＝1＋3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin (30°＋10°)cos 10°＝2sin 40°cos 10°，所以填40°. 答案：40°5、设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________、解析：∵a 2＝1＋2sin 14°cos 14°＝1＋sin 28°∈(1，32)，b 2＝1＋2sin 16°cos 16°＝1＋sin 32°∈(32，2)，c 2＝32，且a >0，b >0，c >0，∴a <c <b .答案：a <c <b6、已知A 、B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 等于________、解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22，又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.答案：7π47、若tan(α＋β)＝25， tan(β－π4)＝14，则tan (α＋π4)＝______.解析：tan(α＋π4)＝tan [(α＋β)－(β－π4)]＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝25－141＋25×14＝322.答案：3228、已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4)＝________.解析：由于α，β∈(3π4，π)，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，故cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513，cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝45×(－513)＋(－35)×1213 ＝－5665.答案：－56659、非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan(θ－π4)＝________.解析：因为非零向量a ，b 共线，所以a ＝λb ，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1)，所以λ＝2，sin θ＝2cos θ，得tan θ＝2，所以tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝13. 答案：13二、解答题10、已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值、 解析：(1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2， 1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α(2cos 2α－1)cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α. 因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2 α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.11、如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值、解析：由已知条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－(12)2＝43， ∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.12、已知向量OA →＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])、向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n )、(1)求tan α的值；(2)若cos(β－π)＝210，且0<β<π，求cos(2α－β)、解析：(1)∵OA →＝(cos α，sin α)，∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5)，∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0， 即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②联立方程组解得，cos α＝－255，sin α＝－55.∴tan α＝sin αcos α＝12.(2)∵cos(β－π)＝210，即cos β＝－210，0<β<π，∴sin β＝7210，π2<β<π，又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×(－210)＋45×7210＝22.。

一、填空题1．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题“若x>0，则x2>0”的否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x2>0，则x>0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．答案：假2．设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的________条件．解析：由题意当甲成立时乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．答案：充要3．i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．解析：a⊥b⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，即15i2－16i·j－15j2＝0，∵|i|＝|j|＝1，∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.答案：i⊥j4．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．答案：②③5．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；③若a <b ，则am 2<bm 2；④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)解析：①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z)．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，则“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．答案：①④6．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的________条件．解析：在△ABC 中，A >30°⇒0<sin A ≤1，不能推出sin A >12，而sin A >12⇒30°<A <150°，所以在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．下列命题的否命题为假命题的个数是________．①p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；②p ：有的三角形是正三角形；③p ：所有能被3整除的整数为奇数；④p ：每一个四边形的四个顶点共圆．解析：①p 的否命题：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，为真命题；②p 的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题；③p 的否命题：存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，该命题为真命题；④p 的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题．答案：18．已知||a ＝2||b ，命题p ：关于x 的方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实数根．命题q ：〈a ，b 〉∈[0，π3]，命题p 是命题q 的________条件．解析：方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实根，∴Δ＝||a 2－4a ·b ＝||a 2－4||a ||b cos 〈a ，b 〉＝||a 2－2||a 2cos 〈a ，b 〉<0，∴cos 〈a ，b 〉>12，又∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴0≤〈a ，b 〉<π3，∵[0，π3)⊆[0，π3]，∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要9．“函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是________．解析：函数的图象全在x 轴上方，若f (x )是一次函数，则⎩⎨⎧a 2＋4a －5＝0－4(a －1)＝0⇒ a ＝1.若函数是二次函数，则⎩⎨⎧a 2＋4a －5>0[－4(a －1)]2－12(a 2＋4a －5)<0⇒1<a <19. 反之若1≤a <19，由以上推导，函数的图象在x 轴上方．综上，充要条件是1≤a <19. 答案：1≤a <19二、解答题10．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解析：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0，由4x ＋p <0，得x <－p 4，故－p 4≤－1时，“x <－p 4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．(2)不存在实数p 满足题设要求．11．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈[716，2]，∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B ，由x ＋m 2≥1，∴x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，∴m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．12．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．解析：(1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)当q ＝1时，逆命题为假，当q ＝－12时，逆命题为真，证明如下：数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2·a 1·q m ＋1＝a 1·q m －1＋a 1·q m .∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，有S m ＝ma 1， S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1. 显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假．当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1[1－(－12)m ＋2]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]，S m ＋S m ＋1＝a 1[1－(－12)m ]1＋12＋a 1[1－(－12)m ＋1]1＋12 ＝43a 1[1－(－12)m ＋2]，∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．。

．应用数学归纳法证明凸边形的对角线条数()＝(－)(≥)．证明：①当＝时，三角形没有对角线，()＝，又()＝××(－)＝，命题成立．②假设当＝(≥)时命题成立，即凸边形…有()＝(－)条对角线，再加一个顶点，＋构成凸＋边形，则增加了－条对角线，又原来的边变成了对角线，故对角线增加了－条，即凸＋边形有(＋)＝(－)＋－＝(－＋－)＝(－－)＝(＋)[(＋)－]条对角线，可知当＝＋时，命题成立，综合①②可知命题对于≥的自然数都成立．．是否存在一个等差数列{}，使得对任何正整数，等式＋＋＋…＋＝(＋)(＋)都成立，并证明你的结论．解析：将＝分别代入等式得方程组：(\\(＝，＋＝，＋＋＝，))解得＝，＝，＝，设等差数列{}的公差为，则＝，从而＝＋.故存在一个等差数列＝＋，使得当＝时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立．①当＝时，结论显然成立．②假设＝(≥，且∈*)时，等式成立，即＋＋＋…＋＝(＋)(＋)．那么当＝＋时，＋＋＋…＋＋(＋)＋＝(＋)(＋)＋(＋)[(＋)＋]＝(＋)(＋＋＋)＝(＋)(＋)(＋)＝(＋)[(＋)＋][(＋)＋]．∴当＝＋时，结论也成立．由①②知存在一个等差数列＝＋，使得对任何正整数，等式＋＋＋…＋＝(＋)(＋)都成立．．已知数列{}，≥，＝，＋＋－＝.求证：当∈*时，<＋.证明：()当＝时，因为是方程＋－＝的正根，所以<. ()假设当＝(∈*，≥)时，≤<＋，因为－＝(＋＋－)－(＋＋－)＝(＋－＋)(＋＋＋＋)>，所以＋<＋，即当＝＋时，<＋也成立．根据()和()，可知<＋对任意∈*都成立．．已知>，>，>，∈*.用数学归纳法证明：≥().证明：()当＝时，左边－右边＝－()＝()≥，不等式成立．()假设当＝(∈*，>)时，不等式成立，即≥().因为>，>，>，∈*，所以(＋＋＋)－(＋)＝(－)·(－)≥，于是＋＋＋≥＋.当＝＋时，()＋＝()·≤·＝≤＝，即当＝＋时，不等式也成立．综合()，()知，对于>，>，>，∈*，不等式≥()总成立．。

1．应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．证明：①当n ＝3时，三角形没有对角线，f (3)＝0，又f (3)＝12×3×(3－3)＝0，命题成立．②假设当n ＝k (k ≥3)时命题成立，即凸k 边形A 1A 2…A k 有f (k )＝12k (k －3)条对角线，再加一个顶点A k ＋1，构成凸k ＋1边形，则增加了k －2条对角线，又原来的边A 1A k 变成了对角线，故对角线增加了k －1条，即凸k ＋1边形有f (k ＋1)＝12k (k－3)＋k －1＝12(k 2－3k ＋2k －2)＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]条对角线，可知当n ＝k ＋1时，命题成立，综合①②可知命题对于n ≥3的自然数n 都成立．2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何正整数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立，并证明你的结论．解析：将n ＝1,2,3分别代入等式得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，a 1＋2a 2＝24，a 1＋2a 2＋3a 3＝60，解得a 1＝6，a 2＝9，a 3＝12，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝3，从而a n ＝3n ＋3.故存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，使得当n ＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立．①当n ＝1时，结论显然成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＝k(k＋1)(k＋2)．那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＋(k＋1)a k＋1＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②知存在一个等差数列a n＝3n＋3，使得对任何正整数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)都成立．3．已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a2n＋1＋a n＋1－1＝a2n.求证：当n∈N*时，a n<a n＋1.证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1<a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤a k<a k＋1，因为a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋a k＋2－1)－(a2k＋1＋a k＋1－1)＝(a k＋2－a k＋1)(a k＋2＋a k＋1＋1)>0，所以a k＋1<a k＋2，即当n＝k＋1时，a n<a n＋1也成立．根据(1)和(2)，可知a n<a n＋1对任意n∈N*都成立．4．已知a>0，b>0，n>1，n∈N*.用数学归纳法证明：a n＋b n2≥(a＋b2)n.证明：(1)当n＝2时，左边－右边＝a2＋b22－(a＋b2)2＝(a－b2)2≥0，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k >1)时，不等式成立，即a k ＋b k 2≥(a ＋b 2)k .因为a >0，b >0，k >1，k ∈N *，所以(a k ＋1＋b k ＋1)－(a k b ＋ab k )＝(a －b )·(a k －b k )≥0， 于是a k ＋1＋b k ＋1≥a k b ＋ab k .当n ＝k ＋1时，(a ＋b 2)k ＋1＝(a ＋b 2)k ·a ＋b 2≤a k ＋b k 2·a ＋b 2＝a k ＋1＋b k ＋1＋a k b ＋ab k 4 ≤a k ＋1＋b k ＋1＋a k ＋1＋b k ＋14＝a k ＋1＋b k ＋12， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(1)，(2)知，对于a >0，b >0，n >1， n ∈N *，不等式a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n 总成立．。

一、填空题1．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题“若x>0，则x2>0”的否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x2>0，则x>0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．答案：假2．设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的________条件．解析：由题意当甲成立时乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．答案：充要3．i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．解析：a⊥b⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，即15i2－16i·j－15j2＝0，∵|i|＝|j|＝1，∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.答案：i⊥j4．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③5．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；③若a <b ，则am 2<bm 2；④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)解析：①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z)．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，则“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．答案：①④6．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的________条件．解析：在△ABC 中，A >30°⇒0<sin A ≤1，不能推出sin A >12，而sin A >12⇒30°<A <150°，所以在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．下列命题的否命题为假命题的个数是________．①p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；②p ：有的三角形是正三角形；③p ：所有能被3整除的整数为奇数；④p ：每一个四边形的四个顶点共圆．解析：①p 的否命题：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，为真命题；②p 的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题；③p 的否命题：存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，该命题为真命题；④p 的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题．答案：18．已知||a ＝2||b ，命题p ：关于x 的方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实数根．命题q ：〈a ，b 〉∈[0，π3]，命题p 是命题q 的________条件．解析：方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实根，∴Δ＝||a 2－4a ·b ＝||a 2－4||a ||b cos 〈a ，b 〉＝||a 2－2||a 2cos 〈a ，b 〉<0，∴cos 〈a ，b 〉>12，又∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴0≤〈a ，b 〉<π3，∵[0，π3)⊆[0，π3]，∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要9．“函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是________．解析：函数的图象全在x 轴上方，若f (x )是一次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋4a －5＝0－4(a －1)＝0⇒a ＝1.若函数是二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0[－4(a －1)]2－12(a 2＋4a －5)<0⇒1<a <19. 反之若1≤a <19，由以上推导，函数的图象在x 轴上方．综上，充要条件是1≤a <19. 答案：1≤a <19二、解答题10．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解析：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0，由4x ＋p <0，得x <－p 4，故－p 4≤－1时，“x <－p 4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．(2)不存在实数p 满足题设要求．11．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈[716，2]，∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B ，由x ＋m 2≥1，∴x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，∴m ≥34或m ≤－34. ∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．12．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明． 解析：(1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)当q ＝1时，逆命题为假，当q ＝－12时，逆命题为真，证明如下：数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2·a 1·q m ＋1＝a 1·q m －1＋a 1·q m .∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1. 显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假．当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1[1－(－12)m ＋2]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]，S m ＋S m ＋1＝a 1[1－(－12)m ]1＋12＋a 1[1－(－12)m ＋1]1＋12 ＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．。

一、填空题1．一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为________万元(用数字作答)．解析：1×(1－50%)3＝0.125.答案：0.1252．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案：45.63．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________．解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×(1－13)3＝8 100×827＝2400(元)．答案：2 400元4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．解析：总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.故当Q ＝300时，总利润最大，为2 500万元．答案：2 5005．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：由y ＝⎩⎨⎧ 8＋1， 0<x ≤3，8＋2.15×(x －3)＋1， 3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1， x >8，可得x ＝9.答案：9 6．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y 万元，每年下调率平均为x %，那么y 和x 的函数关系式为________．解析：每年价格为上一年的(1－x %)倍，所以五年后的价格为y ＝30(1－x %)5. 答案：y ＝30(1－x %)57．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意付款432元，实际标价为432×109＝480(元)，如果一次购买标价176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)．答案：582.68．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元，如果购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．解析：设y ＝ax ＋b ，则⎩⎨⎧800a ＋b ＝1 000700a ＋b ＝2 000，解得⎩⎨⎧a ＝－10b ＝9 000， ∴y ＝－10x ＋9 000，由400＝－10x ＋9 000，得x ＝860(元)．答案：8609．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b (0<b ≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意知实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 为单调减函数，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l min ＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：3π二、解答题10．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的解析式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解析：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，所以写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x＝50(x ＋900x ＋79)≥50×(2900＋79)＝6 950，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时，等号成立．所以要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为30层．11．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日生产的产品件数x (x ∈N *)之间的关系为P ＝4 200－x 24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(1)将日利润y (元)表示成产量x (件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．解析：(1)∵y ＝4 000×4 200－x 24 500·x －2 000(1－4 200－x 24 500)·x ＝3 600x －43x 3，∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *，1≤x ≤40)． (2)易得y ′＝3 600－4x 2，令y ′＝0，解得x ＝30.∴当1≤x <30时，y ′>0；当30<x ≤40时，y ′<0.∴ 函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)在[1,30)上是单调递增函数，在(30,40]上是单调递减函数．当x ＝30时，函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3 600×30＝72 000(元)．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元．12．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗，假定A ，B 两组同时开始种植．(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25 h ，种植一捆沙棘树苗用时12 h ．应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1 h 后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25h ，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23 h ，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间．解析：(1)设A 组人数为x ，且0<x <52，x ∈N *，则A 组植树活动所需时间为f (x )＝150×25x ＝60x ，B 组植树活动所需时间为g (x )＝200×1252－x ＝10052－x. 令f (x )＝g (x )，即60x ＝10052－x， 解得x ＝392.所以A ，B 两组同时开始的植树活动所需时间为F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ， x ≤19，x ∈N *，10052－x， x ≥20，x ∈N *.而F (19)＝6019，F (20)＝258，故F (19)>F (20)．所以当A ，B 两组人数分别为20,32时，植树活动持续时间最短．(2)A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367， B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323， 所以植树活动所持续的时间为367 h.。

1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1t ，y ＝3(t ＋1t )(t 为参数，t >0)．求曲线C 的普通方程． 解析：由x ＝t －1t 平方得x 2＝t ＋1t －2，又y ＝3(t ＋1t )，则t ＋1t ＝y3，代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．2．已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，试判断它们的公共点个数．解析：圆的方程可化为(x ＋1) 2＋(y －2)2＝4，其圆心为C (－1,2)，半径为2.由于圆心到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75<2，所以直线l 与圆C 相交．故直线l 与圆C 的公共点的个数为2.3．已知点P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点．(1)求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)求t ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解析：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则 (1)∵z ＝x 2＋y 2＝4cos 2θ＋sin 2θ＝1＋3cos 2θ，∴当cos θ＝±1，即x ＝±2时，z 的最大值为4；当cos θ＝0，即x ＝0时，z 的最小值为1.(2)∵t ＝2x ＋y ＝4cos θ＋sin θ＝17sin(θ＋φ)，其中tan φ＝4，当sin(θ＋φ)＝1时，t 的最大值为17；当sin(θ＋φ)＝－1时，t 的最小值为－17.4．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)(θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解析：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin(θ＋π4)，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋(－1)2＝255<2， 所以直线l 和圆C 相交．。

一、填空题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________. 解析：∵α∈(－π2，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45， ∴cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210. 答案：－2102．已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________. 解析：依题意由1－cos 2αsin αcos α＝1 得2sin 2 αsin αcos α＝1，则tan α＝12， 从而tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝－－13－121＋(－13)×12＝－1. 答案：－13．已知tan(α－π6)＝37，tan(π6＋β)＝25，则tan(α＋β)的值为________． 解析：tan(α＋β)＝tan [(α－π6)＋(π6＋β)] ＝tan (α－π6)＋tan (π6＋β)1－tan (α－π6)·tan (π6＋β)＝37＋251－37×25＝1.答案：14．在等式cos(*)(1＋3tan 10°)＝1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角的度数是________．解析：1＋3tan 10°＝1＋3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin (30°＋10°)cos 10°＝2sin 40°cos 10°，所以填40°.答案：40°5．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：∵a 2＝1＋2sin 14°cos 14°＝1＋sin 28°∈(1，32)，b 2＝1＋2sin 16°cos 16°＝1＋sin 32°∈(32，2)，c 2＝32，且a >0，b >0，c >0，∴a <c <b . 答案：a <c <b6．已知A 、B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 等于________． 解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22， 又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4. 答案：7π47．若tan(α＋β)＝25， tan(β－π4)＝14，则tan (α＋π4)＝______. 解析：tan(α＋π4)＝tan [(α＋β)－(β－π4)] ＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝25－141＋25×14＝322.答案：3228．已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4)＝________.解析：由于α，β∈(3π4，π)，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，故cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513，cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝45×(－513)＋(－35)×1213 ＝－5665. 答案：－56659．非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan(θ－π4)＝________. 解析：因为非零向量a ，b 共线，所以a ＝λb ，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1)，所以λ＝2，sin θ＝2cos θ，得tan θ＝2，所以tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝13.答案：13 二、解答题10．已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2. (1)求tan α的值； (2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．解析：(1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2，1＋tan α＝2－2tan α， 所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α(2cos 2α－1)cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2 α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解析：由已知条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－(12)2＝43， ∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2， ∴α＋2β＝3π4.12．已知向量OA →＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])．向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n )． (1)求tan α的值；(2)若cos(β－π)＝210，且0<β<π，求cos(2α－β)．解析：(1)∵OA →＝(cos α，sin α)， ∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5)， ∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0， 即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②联立方程组解得， cos α＝－255，sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝12. (2)∵cos(β－π)＝210， 即cos β＝－210，0<β<π， ∴sin β＝7210，π2<β<π，又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×(－210)＋45×7210＝22.。

一、填空题1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋)(ω>0)，若f ()＝f ()，且f (x )在区间(，)上有最大π3π6π2π6π2值，无最小值，则ω＝________.解析：由题意f ()＝1，即ω·＋＝＋2k π，k ∈Z ，所以ω＝＋6k ，k ∈Z.π3π3π3π212又<，所以0<ω<6，故ω＝.π32πω12答案：122．函数y ＝sin(＋x )cos(－x )的最大值为________．π2π6解析：y ＝sin(＋x )cos(－x )π2π6＝cos x ·cos(－x )π6＝cos x (cos ·cos x ＋sin ·sin x )π6π6＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos 2x ＋sin x ·cos x32123212＝·＋sin 2x ＝＋cos 2x ＋sin 2x 321＋cos 2x 214343414＝＋(sin 2x ＋cos 2x )34121232＝＋sin(2x ＋)，3412π3∴当sin(2x ＋)＝1时，y max ＝.π32＋34答案：2343．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象如图所示，则f ()＝________.7π12解析：由图象可知，T ＝π，从而T ＝＝，ω＝3，322πω2π3得f (x )＝2sin(3x ＋φ)，又由f ()＝0可取φ＝－，π43π4于是f (x )＝2sin(3x －)，则f ()＝2sin(－)＝0.3π47π127π43π4答案：04．若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点(，0)π4π3对称，则|φ|的最小值是________．解析：将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移个单位后得到y ＝2sin[3(x －)＋φ]π4π4＝2sin(3x －＋φ)的图象．因为该函数的图象关于点(，0)对称，所以2sin(3×3π4π3－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0，故有＋φ＝k π(k ∈Z)，解得φ＝k π－(k ∈Z)．当π33π4π4π4π4k ＝0时，|φ|取得最小值.π4答案：π45．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤|f ()|对x ∈R 恒成立，π6且f ()＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是________．π2解析：由∀x ∈R ，有f (x )≤|f ()|知，当x ＝时f (x )取最值，∴f ()＝sin(＋φ)π6π6π6π3＝±1，∴＋φ＝±＋2k π(k ∈Z)，π3π2∴φ＝＋2k π或φ＝－＋2k π(k ∈Z)．π65π6又∵f ()＞f (π)，∴sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，π2∴－sin φ＞sin φ，∴sin φ＜0.∴φ取－＋2k π(k ∈Z)．5π6不妨取φ＝－，则f (x )＝sin(2x －)．5π65π6令－＋2k π≤2x －≤＋2k π(k ∈Z)，π25π6π2∴＋2k π≤2x ≤＋2k π(k ∈Z)，π34π3∴＋k π≤x ≤＋k π(k ∈Z)．π62π3∴f (x )的单调递增区间为[＋k π，＋k π](k ∈Z)．π62π3答案：[k π＋，k π＋](k ∈Z)π62π36．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin(x ＋)＝a 有两个不同的实数解，则实数π3a 的取值范围为________．解析：令y 1＝2sin(x ＋)，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如π3图所示，若2sin(x ＋)＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则π3y 1与y 2应有两个不同的交点，所以<a <2.3答案：(，2)37．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期是，π2直线x ＝是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<，则函数解析式为π3π2________．解析：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝时，π3sin (π＋φ)＝±1，故φ＝.43π6所求解析式为y ＝2sin (4x ＋)＋2.π6答案：y ＝2sin (4x ＋)＋2π68．在矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y ＝a sin ax (a ∈R ，a ≠0)的一个完整周期图象，则当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为________．解析：根据题意，设矩形ABCD 的周长为c ，则c ＝2(AB ＋AD )＝4|a |＋≥8，4π|a |π当且仅当a ＝±时取等号．π答案：π9．关于函数f (x )＝sin(2x －)，有下列命题：π4①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋)；π4②直线x ＝－是f (x )图象的一条对称轴；π8③f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向右平移个单位得到；π4④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立．则其中真命题的序号为________．解析：对于①，f (x )＝sin(2x －)＝cos[－(2x －)]π4π2π4＝cos(2x －π)，故①错；34对于②，当x ＝－时，f (－)＝sin[2×(－)－]π8π8π8π4＝sin(－)＝－1，故②正确；π2对于③，g (x )＝sin 2x 的图象向右平移个单位得到的图象解析式为y ＝sin 2(x －π4)＝sin(2x －)，故③错；π4π2对于④，因为f (x )的周期为π，故当α＝时，f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，所以④正确．π2答案：②④二、解答题10．已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋)－sin 2x ＋sin x cos x .π33(1)求f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，]时，求f (x )的值域．π4解析：(1)f (x )＝2cos x sin(x ＋)－sin 2x ＋sin x cos xπ33＝2cos x (sin x ＋cos x )－sin 2x ＋sin x cos x12323＝2sin x cos x ＋(cos 2x －sin 2x )3＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋)．3π3由2k π－≤2x ＋≤2k π＋(k ∈Z)，π2π3π2解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z)，5π12π12∴f (x )的单调递增区间为[k π－，k π＋](k ∈Z)．5π12π12(2)∵x ∈[0，]，∴2x ＋∈[，]．π4π3π35π6则sin(2x ＋)∈[，1]，∴f (x )的值域为[1,2]．π21211．已知函数f (x )＝sin 2x sin φ－2cos 2x cos(π－φ)－sin(＋φ)(0<φ<π)在x ＝时取π2π6得最大值．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (α)＝，求sin α的值．13解析：(1)因为f (x )＝sin 2x sin φ－2cos 2x cos(π－φ)－sin(＋φ)(0<φ<π)，π2所以f (x )＝sin 2x sin φ＋2cos 2x cos φ－cos φ＝sin 2x sin φ＋(1＋cos 2x )cos φ－cos φ＝sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ＝cos(2x －φ)，又函数y ＝f (x )在x ＝时取得最大值，π6所以cos(2·－φ)＝cos(－φ)＝1，π6π3因为0<φ<π，所以φ＝.π3(2)由(1)知f (x )＝cos(2x －)，π3所以g (x )＝f (x )＝cos(x －)，12π3于是有g (α)＝cos(α－)＝，π313所以sin(α－)＝±.π3223所以sin α＝sin[(α－)＋]π3π3＝sin(α－)·cos ＋cos(α－)·sin π3π3π3π3＝.3±22612．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下面是某日各时的浪高数据：t (时)03691215182124y (米) 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00至20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解析：(1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝＝＝，2πT 2π12π6由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；①由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，②∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为，12∴y ＝cos t ＋1(0≤t ≤24)．12π6(2)由题知，当y ≥1时才可对冲浪者开放，∴cos t ＋1≥1，12π6∴cos t ≥0，π6∴2k π－≤t ≤2k π＋，k ∈Z ，π2π6π2即12k －3≤t ≤12k ＋3，k ∈Z ，③∵0≤t ≤24，故可令③中的k 分别为0,1,2，得0≤t ≤3，或9≤t ≤15，或21≤t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.。

一、填空题1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．解析：只有①②正确，其余错误．答案：22．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)解析：设g(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，∵g(x)≥0对x∈R恒成立，∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n≤0，∴a1＋a2＋…＋a n≤n.答案：a1＋a2＋…＋a n≤n3．如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则a6＝________；1a3＋1a4＋1a5＋…＋1a99＝________.解析：a n ＝n (n ＋1)，∴a 6＝6×7＝42.1a 3＋1a 4＋…＋1a 99＝13×4＋14×5＋…＋199×100＝13－14＋14－15＋…＋199－1100＝13－1100＝97300.答案：42 973004．对于等差数列{a n }，有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题：“________________________________________________________________________________________________________________________________________________.”答案：若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s5．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n(n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为________．解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.答案：11406．观察下列等式：32＋42＝52，102＋112＋122＝132＋142，212＋222＋232＋242＝252＋262＋272，362＋372＋382＋392＋402＝412＋422＋432＋442，……由此得到第n (n ∈N *)个等式为________．解析：由归纳推理直接写出即可．答案：(2n 2＋n )2＋(2n 2＋n ＋1)2＋…＋(2n 2＋n ＋n )2＝(2n 2＋2n ＋1)2＋(2n 2＋2n ＋2)2＋…＋(2n 2＋2n ＋n )27．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋2π3)＋s in(α＋4π3)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________．解析：类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图．答案：sin α＋sin(α＋π2)＋sin(α＋π)＋sin(α＋3π2)＝08．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC的重心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM ＝________.解析：由题知，O 为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h ，由等体积法可求内切球半径为14h ，外接球半径为34h ，所以AO OM ＝3.答案：39.正方形ABCD 的边长是a ，依次连结正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是________．解析：由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－(12)10]1－12＝1 0232 048a 2. 答案：1 0232 048a 2二、解答题10．通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假．sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 260°＋sin 2120°＋sin 2180°＝32；sin 245°＋sin 2105°＋sin 2165°＝32；sin 215°＋sin 275°＋sin 2135°＝32. 解析：猜想：sin 2(α－π3)＋sin 2α＋sin 2(α＋π3)＝32.证明：∵左＝(sin αcos π3－cos αsin π3)2＋sin 2α＋(sin αcos π3＋cos αsin π3)2＝32(sin 2α＋cos 2α)＝32＝右，∴待证式成立．11．圆x 2＋y 2＝R 2(R >0)上任一点P (不在x 轴上)，与圆上两点A (－R,0)，B (R,0)的连线P A ，PB 的斜率k P A ，k PB 有下面的等式成立：k P A k PB ＝－1，类比这个命题，写出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中对应的命题，并加以证明．解析：命题：对椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点P (不在x 轴上)，与椭圆上两点A (－a,0)，B (a,0)的连线P A ，PB 的斜率k P A ，k PB 有下面的等式成立：k P A k PB ＝－b 2a 2.证明：设P (x ，y )，则有x 2a 2＋y 2b 2＝1，k P A ＝y x ＋a ，k PB ＝y x －a ，∴k P A k PB ＝y 2x 2－a 2＝b 2x 2－a 2(1－x 2a 2)＝－b 2a 2.12．小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案，现按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含f (n )个“福娃迎迎”．(1)试写出f (5)、f (6)的值；(2)归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并求出f (n )的表达式；(3)求证：1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<32.解析：(1)f (5)＝1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41，f (6)＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝61.(2)因为f (2)－f (1)＝3＋1＝4，f (3)－f (2)＝5＋3＝8，f (4)－f (3)＝7＋5＝12，…，归纳得f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，则f (n ＋1)－f (n )＝4n .f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1) ＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝2n2－2n＋1.(3)证明：当k≥2时，1f(k)＝12k2－2k＋1<12k2－2k＝12(1k－1－1k)．则1f(1)＋1f(2)＋1f(3)＋…＋1f(n)<1＋12·[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1－1n)]＝1＋12(1－1n)<1＋12＝32.。

一、填空题1、执行如图所示的流程图，若p ＝4，则输出的s ＝________.解析：s ＝121＋122＋123＋124＝8＋4＋2＋124＝1516. 答案：15162、在如图所示的流程图中，当程序被执行后，输出s 的结果是________、解析：数列4,7,10，…为等差数列，令a n ＝4＋(n －1)×3＝40，得n ＝13，∴s ＝4＋7＋…＋40＝(4＋40)×132＝286. 答案：2863、如图所示，给出了一个流程图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值、若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有________个、解析：由流程图可知，当x ≤2时，若x 2＝x ，则x ＝0,1，当2<x ≤5时，若2x －3＝x ，则x ＝3，当x >5时，若1x ＝x ，则x ＝±1(舍去)、∴满足x ＝y 的x 值共有3个、答案：34、下列伪代码运行后输出的结果为________、解析：最后一次执行循环体时，S ←2×(7＋2)＋3＝21.答案：215.如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋129的值的一个流程图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是________、解析：1＋13＋15＋…＋129是连续奇数的前15项倒数之和，所以n ←n ＋2，即执行框中的①处应填n ←n ＋2；根据流程图可知，循环一次后s ＝1，i ＝2，循环两次后s ＝1＋13，i ＝3，所以求s ＝1＋13＋15＋…＋129需要循环15次，i ＝16时，跳出循环，所以判断框中的②处应填i >15.答案：n←n＋2，i>156、执行伪代码：最后的结果是________、解析：S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：257、如图所示的流程图的输出结果为sum＝132，则判断框中？处应填________、解析：∵i初始值为12，sum初始值为1，第一次运算sum＝1×12＝12，每循环一次i值减1,12×11＝132，循环2次，∴应填11.答案：118.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组(x，y)依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…，则流程图运行结束时输出的最后一个数组为________、解析：x＝1，y＝0，n＝1，输出(x1，y1)＝(1,0)；n＝3，x＝3，y＝－2，输出(x2，y2)＝(3，－2)；n＝5，x＝9，y＝－4，输出(x3，y3)＝(9，－4)；n＝7，x＝27，y＝－6，输出(x4，y4)＝(27，－6)；n＝9，x＝81，y＝－8，结束、答案：(27，－6)9、随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)后获得身高数据的茎叶图如图甲，在这20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为A 1、A 2、A 3、A 4，图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数算法流程图，由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是________班；图乙输出的S ＝________.(用数字作答)解析：由茎叶图可知，甲班学生身高的平均数为170.3，乙班学生身高的平均数为170.8，故乙班的平均身高较高，由题意可知，A 1＝2，A 2＝7，A 3＝9， A 4＝2，由流程图易知，最后输出的结果为S ＝7＋9＋2＝18.答案：乙 18二、解答题10.已知流程图如图所示，求输出的S 值、解析：由题意，S ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10×210，两边同乘以2，得2S ＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210＋10×211，∴－S ＝2＋22＋23＋…＋29＋210－10×211，∴S ＝10×211－2×(1－210)1－2＝10×211－211＋2＝9×211＋2＝9×2 048＋2＝18 434.11、甲、乙两位同学为解决数列求和问题，试图编写一程序、两人各自编写的流程图分别如图1和如图2.(1)根据图1和图2，试判断甲、乙两位同学编写的流程图输出的结果是否一致？当n ＝20时分别求它们输出的结果；(2)若希望通过对图2虚框中某一步(或几步)的修改来实现“求首项为2，公比为3的等比数列的前n 项和”，请你给出修改后虚框部分的流程图、解析：(1)图1的功能是求2＋4＋6＋8＋…＋2n的和，当n＝20时，S＝2＋4＋6＋…＋40＝420.图2的功能是求2＋4＋6＋…＋2n的和，当n＝20时，S＝2＋4＋6＋…＋40＝420. 所以甲、乙两位同学编写的程序输出的结果是一致的、(2)修改后部分流程图为↓S←S＋a↓a←a×3↓i←i＋1↓12、陈老师购买安居工程集资房92 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担、房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，按复利计算利息，那么每年应付款多少元？(计算结果精确到百元)请用语句描述算法、解析：设每年应付款x元，依题意：x·(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510 ＝48 800×1.07510.基本语句如下：S ←0x ←0m ←1a ←48 800For I from 1 to 10S ←S ＋mm ←1.075mEnd Forx ←am SPrint x。

一、填空题 1．给出下列命题： ①a <b <0⇒ba <1； ②a <b <0⇒a －2<b －2；③a >b ，c >d ，abcd ≠0⇒a c >bd ； ④a >b >0，c >d >0⇒a d> b c. 其中为真命题的是________．(填所有正确命题的代号)解析：利用不等式的性质，根据条件利用综合法可知①②④正确，③不正确． 答案：①②④2．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，则A 、B 、C 的大小关系为________． 解析：∵a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数， ∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b )，即A ≤B ≤C . 答案：A ≤B ≤C3．设m ，n 为两条线，α，β为两个平面，给出下列四个命题：①⎭⎬⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；② ⎭⎬⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③ ⎭⎬⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 异面；④⎭⎬⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β.其中真命题是________．解析：对于命题②，也可能n ⊂β，故②错误；对于命题③直线m 、n 也可能平行或相交，故③错误；对于命题④，m 与β也可能平行，故④错误；命题①正确． 答案：①4．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a、b、c的大小顺序是________．解析：∵a＝3－2＝13＋2，b＝6－5＝16＋5，c＝7－6＝17＋6，∴若比较a，b，c的大小，只要比较3＋2，6＋5，7＋6的大小．∵7＋6>6＋5>3＋2>0，∴17＋6<16＋5<13＋2，∴c<b<a.答案：a>b>c5．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三数________．①至少有一个不大于2②都小于 2③至少有一个不小于2④都大于2解析：a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x≥6，因此a，b，c至少有一个不小于2.答案：③6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<1 2.那么他的反设应该是________．解析：该命题为全称命题，其否定为特称命题．答案：“存在x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|且|f(x1)－f(x2)|≥1 2”7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，x＝S2n＋S22n，y＝S n(S2n＋S3n)，则x与y的大小关系为________．解析：由条件知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，所以S n (S 3n －S 2n )＝(S 2n －S n )2，展开整理得S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )，所以x ＝y .答案：x ＝y8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b9．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是________． ①△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 ②△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形③△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形 ④△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B1C 2＝π2－C1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 答案：④ 二、解答题10．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：证法一(分析法) 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因为a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立．只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立，由此命题得证． 证法二(综合法)a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .(*) 而a ，b 均为正数， ∴a ＋b >0，由(*)式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )， ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11．已知a ，b ，c 是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根． 证明：假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b 2－4ac ≤0， Δ2＝4c 2－4ab ≤0， Δ3＝4a 2－4bc ≤0. 上述三个式子相加得：a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0. 即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.由已知a ，b ，c 是互不相等的非零实数，∴上式“＝”不能同时成立，即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2<0，与事实不符， ∴假设不成立，原结论成立．即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．12．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． 解析：(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )． 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n－1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0， 故a n ＝(－1)n －11－34·(23)n －1.b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝(1－34·(23)n )－(1－34·(23)n －1) ＝14·(23)n －1.(2)证明：(反证法)假设数列{b n }存在三项b r ，b s ， b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为 23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．所以2·14·(23)s －1＝14·(23)r －1＋14·(23)t －1，两边同乘3t －121－r ,化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

一、填空题1．已知集合A ＝{2,7，－4m ＋(m ＋2)i}(其中i 为虚数单位，m ∈R)，B ＝{8,3}，且A ∩B ≠∅，则m 的值为________．解析：由题设知－4m ＋(m ＋2)i ＝8或－4m ＋(m ＋2)i ＝3，所以m ＝－2. 答案：－22．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，∴x 2－1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1.答案：－13．在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于第________象限．解析：∵z ＝i(1＋2i)＝－2＋i ，∴复数z 在复平面内对应的点为Z (－2,1)，位于第二象限．答案：二4．复数(1－2i)2(i 是虚数单位)的共轭复数是________．解析：因为(1－2i)2＝－3－4i ，所以其共轭复数为－3＋4i.答案：－3＋4i5．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是________． 解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15(－5＋15i)＝－1＋3i ， 又1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R)， ∴a ＝－1且b ＝3.故ab ＝－3.答案：－36．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．解析：(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－207．设t 是实数，且t 1－3i ＋1－3i 2是实数，则t ＝________. 解析：由题可知，t 1－3i ＋1－3i 2＝t (1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＋1－3i 2＝t 4＋12＋(34t －32)i 是实数，所以34t －32＝0，解得t ＝2.答案：28．若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：因为z 1·z 2＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 答案：－19．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第________象限，复数z 对应点的轨迹是________．解析：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，得z 的实部为正数，z 的虚部为负数．∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，则⎩⎨⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2). 消去a 2－2a 得y ＝－x ＋2(x ≥3)，∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．答案：四 一条射线 二、解答题10．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值． 解析：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5－5i 5＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，即(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝4.11．设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ∈R)，求z 的值和|z －ω|的取值范围．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，代入4z ＋2z ＝33＋i 中，得4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，即6a ＋2b i ＝33＋i ，所以⎩⎨⎧ 6a ＝33，2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋12i.|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －(sin θ－icos θ) ＝ (32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2 ＝ 2－3sin θ＋cos θ＝ 2－2sin (θ－π6).因为－1≤sin(θ－π6)≤1，所以0≤2－2sin(θ－π6)≤4，即0≤|z －ω|≤2.12．设等比数列z 1，z 2，z 3，…，z n ，其中z 1＝1，z 2＝a ＋b i ，z 3＝b ＋a i(a ，b ∈R ，a >0)．(1)求a ，b 的值；(2)若等比数列的公比为q ，且复数μ满足(－1＋3i)μ＝q ，求|μ|.解析：(1)由等比数列得z 22＝z 1·z 3，即(a ＋b i)2＝1·(b ＋a i)且a >0，∴a 2－b 2＋2ab i ＝b ＋a i ，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝b 2ab ＝a . ∵a >0，∴b ＝12，代入a 2－b 2＝b 得a 2＝b 2＋b ＝14＋12＝34，∴a ＝32.∴a ＝32，b ＝12.(2)q＝z2z1＝32＋12i，∵(－1＋3i)μ＝q，∴μ＝32＋12i－1＋3i＝－12i(－1＋3i)－1＋3i＝－12i，∴|μ|＝1 2.。

一、填空题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．解析：由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，又a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6. 答案：π62．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为________km.解析：由余弦定理知，AC 2＝102＋202－2×10×20cos 120°＝700.∴AC ＝107 km. 答案：1073.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD 的张角为________．解析：依题意可得AD ＝2010 (m)，AC ＝30 5 (m)，又CD ＝50 (m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案：45°4．锐角△ABC 的三边a ，b ，c 和面积S 满足条件S ＝c 2－(a －b )24k，又角C 既不是△ABC 的最大角也不是△ABC 的最小角，则实数k 的取值范围是________．解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴c 2－a 2－b 2＝－2ab cos C ，由S ＝c 2－(a －b )24k，得4kS ＝c 2－(a －b )2，即4k ·12·ab sin C ＝c 2－a 2－b 2＋2ab ， ∴2kab sin C ＝－2ab cos C ＋2ab ，即k sin C ＝1－cos C ，∴k ＝1－cos C sin C ，∴k ＝tan C 2，又π4<C <π2， ∴2－1<k <1.答案：(2－1,1)5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________．解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ， ∴cos B ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ＝a ＋c ，则角B 的取值范围是________．解析：∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－(a ＋c )242ac＝3(a 2＋c 2)－2ac 8ac＝3(a 2＋c 2)8ac －14≥34－14＝12， 即cos B ∈[12，1)，∴B ∈(0，π3]．答案：(0，π3]7．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是________．解析：依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc sin 60°，得bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7.答案：78．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________. 解析：S ＝12bc ·sin A ＝12×1·c ·sin 60°＝3，∴c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A＝1＋42－2×1×4×cos 60°＝1＋16－2×4×12＝13，∴a ＝13.∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案：23939．如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．解析：由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)>n ，所以α与β的关系满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．答案：m cos αcos β>n sin(α－β)二、解答题10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 的面积的最大值．解析：(1)∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或－2(舍去)，又0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理，知b 2＋c 2－a 2＝2bc cosA ．又a 2－c 2＝b 2－mbc ，可得cos A ＝m 2，∴m ＝1.(2)由余弦定理及a ＝3，A ＝π3，可得3＝b 2＋c 2－bc ，再由基本不等式b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝34bc ≤334，故△ABC 的面积的最大值为334.11．设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解析：(1)由a ＝2b sin A 及正弦定理a sin A ＝b sin B ＝2R ，得sin A ·2R ＝2sin B ·2R ·sin A ，即sin B ＝12，∵△ABC 是锐角三角形，∴B ＝π6.(2)由(1)，知C ＝π－A －B ＝5π6－A ，∴cos A ＋sin C＝cos A ＋sin(5π6－A )＝32cos A ＋32sin A＝3(32cos A ＋12sin A )＝3sin(A ＋π3)．∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π2，0<C <π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π2，0<5π6－A <π2， 则π3<A <π2.∴2π3<A ＋π3<5π6. 则12<sin(A ＋π3)<32. ∴32<3sin(A ＋π3)<32.∴cos A ＋sin C 的取值范围为(32，32)．12．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA →成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x＋cos 2θcos x (x ∈R)的值域．解析：(1)连结BC ，在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700，BC ＝107.即处于C 处和乙船和遇险渔船间的距离为107海里．(2)∵sin θ20＝sin 120°107，∴sin θ＝37，∵θ是锐角，∴cos θ＝47，∴f (x )＝sin 2θsin x ＋cos 2θcos x ＝37sin x ＋47cos x＝57sin(x ＋φ)，∴f (x )的值域为[－57，57]．。