奥林匹克训练题库·相对位置与空间想象

空间想象不仅是认识现实世界空间形式不可缺少的能力因素，而且是形成和发展创造力的源泉，因此，空间想象能力是数学教学必须培养的基本数学能力之一。

空间想象能力的培养与几何教学有关。

直观几何教学的主要任务是通过学生制作模型、搭积木、画图、识图，对图形进行描述、分类、整理等学习活动，认识、理解我们所处的现实世界的几何空间，以形成空间观念。

综合几何教学的主要任务是运用逻辑推理的方法研究图形的性质，帮助学生从逻辑的角度进一步弄清几何空间的意义，学会几何思考的方法，培养空间想象能力和逻辑推理能力。

模块一、对称图形【例1】将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，再展开正方形纸片，得到图1中的。

（填序号）①②③④【考点】几何中的空间想象【难度】1星【题型】填空【解析】逆推法③【答案】③【例2】(希望杯五年级一试第8题，6分)下面四幅图形中不是轴对称图形的是。

（填序号）（注：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做对称图形。

）【考点】几何中的空间想象【难度】1星【题型】填空【解析】③④【答案】③④模块二、平面图形【例3】(希望杯四年级二试第5题，6分)将一张长方形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是。

（填“三角形”、“长方形”、“梯形”或“菱形”）例题精讲知识点拨4-1-4.几何中的空间想象展开②①【考点】几何中的空间想象 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 菱形【答案】菱形【例 4】 (希望杯六年级一试第18题，6分)如图，房间里有一只老鼠，门外有一只小猫，如果每块正方形地砖的连长为50厘米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方厘米.(将小猫和老鼠分别看作两个点,墙的厚度忽略不计)猫【考点】几何中的空间想象 【难度】4星 【题型】填空 【解析】猫看不到的地方如图所示阴影部分，其中梯形面积为（1+3.5）×2.5÷2=5.625平方米.三角形的面积为2×1÷2=1平方米.老鼠的活动范围共6.625平方米，即66250平方厘米.【答案】66250平方厘米模块三、立体图形【例 5】 用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？【考点】几何中的空间想象 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在能看见的9个面中红色出现的次数最多．观察图8—4中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、黄色相邻，所以它的对面不可能是黑黄两色．同理，由第二个正方体可知，红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理，黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色，所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了．【答案】红色的对面是绿色 黄色的对面是蓝色黑色的对面是白色【例 6】 将“猫”“狗”“兔”“鸡”“猴”“虎”六个动物名称分别写在六个正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中，判断这个正方体上哪些动物名名称分别写在相对面上.兔狗猫鸡狗兔猫猴兔【考点】几何中的空间想象 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题给的是一组立方图形，在这三幅图中，“兔”所在的一面始终不改变位置，因此，这三个图的转化只能是前后转动.把第一幅图向后反转一次得到第二幅图，由此可知，“猫”的对面是“鸡”；把第一幅图向前翻转一次得到第三幅图，所以“狗”的对面是“猴”，那么剩下的只有“兔”和“虎”相对.【答案】猫的对面是鸡；狗的对面是猴； 兔的对面是虎。

相遇问题41 甲车每时行 40千米，乙车每时行 60千米，甲车从 A地、乙车从B地同时出发相向而行，两车相遇后4.5时，甲车到达B地，A，B两地相距多少千米？42 A，B两村相距 2800米，小明从 A村步行出发 5分后，小军骑车从B村出发，又经过10分两人相遇。

已知小军骑车比小明步行每分多行130米，小明步行每分行多少米？43 甲、乙同时从 A， B两地相向走来。

甲每时走 5千米，两人相遇后，乙再走10千米到A地，甲再走1.6时到B地。

乙每时走多少千米？44 甲、乙沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍。

已知甲上午8点经过邮局门口，乙上午10点经过邮局门口，问：甲、乙在中途何时相遇？45 一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过18时两车在某处相遇，已知客车每时行50千米，货车每时比客车少行8千米，货车每行驶3时要停驶1时。

问：两地之间的铁路长多少千米？46 甲、乙两车的速度分别为 52千米／时和 40千米／时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。

求这辆卡车的速度。

47 甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已30分钟。

问：甲、乙每分钟各走多少米？48 甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。

49 甲、乙两车同时从两地相向而行，2.5时后相遇。

已知甲车速度是乙50 甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。

有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？51 两辆汽车从两地同时出发，相向而行。

已知甲车行完全程比乙车多用1.5时，甲车每时行40千米，乙车每时行50千米，出发后多长时间两车相遇？52 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。

第一章数字谜一找规律1．根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（1）1，4，7，10，（），16，……（2）2，3，5，8，13，（），34，……（3）1，2，4，8，16，（），……（4）2，6，12，20，（），42，……2．观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（1）2，3，5，7，11，13，（），19，……（2）1，2，2，4，8，32，（），……（3）2，5，11，23，47，（），……（4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（），……3．观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数：（1）1，1，2，4，3，9，4，16，（），25，6，（），……（2） 15， 16， 13， 19， 11， 22，（）， 25， 7，（），……4．按规律填上第五个数组中的数：{1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ }5．下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式：（1）1＋1，2＋3，3＋5，1＋7，2＋9，3＋11，1＋13，2＋15，（2）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，……6．下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上吗？（1）2 6 7 11 （2）2 3 14 4 ( ) 1 35 23 5 5 64 ( ) 37．下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：（1）3，5，7，11，15，19，23，……（2）6，12，3，27，21，10，15，30，……（3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，……（4）2，3，5，8，12，16，23，30，……8．下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：（1） (2)9．观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？10．根据左下图中数字的规律，在最上面的空格中填上合适的数。

最佳方法1甲地有59吨货物要运到乙地，大货车的载重量是7吨，小货车的载重量是4吨，大货车运一趟耗油14升，小货车运一趟耗油9升。

问：运完这批货物最少耗油多少升？2有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔。

商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开包零售。

5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元。

老师买所需要的笔最少要花多少元？3街道旁有A，B，C，D，E五栋居民楼（见下图），现要立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮筒应立在何处？4有一个水塔要供应某条公路旁的6个居民点用水（见下图，单位：千米），要安装的水管有粗细两种，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米花费7000元，细管每千米花费2000元。

粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？5在一条公路上，每隔100千米有一座仓库（见下图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。

现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.5元，那么集中到哪个仓库运费最少？需多少钱？6有八个村庄A1，A2，…，A8分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，并且使汽车站到各村庄的距离之和最小，车站应设在哪里？7商店卖汽枪子弹，每粒1分钱，每5粒4分钱，每10粒7分钱，每20粒1角2分钱。

小明的钱至多能买73粒，小刚的钱至多能买87粒，小明和小刚的钱合起来能买多少粒？8理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要花多少时间？9有16个不同国家的集邮爱好者，想通过邮寄的方法相互交换各国最近发行的邮票，使得每人都有这16个国家的邮票。

这16人之间总共至少要通信多少封？10锅炉厂厂办王主任要把一个紧急通知传达给宿舍区的975人。

五智巧问题1 某国的货币有1元、50分、20分、10分、5分、2分、1分共七种硬币〔1元=100分〕.某人带了9枚硬币去买东西,凡不超过2元的东西他都能拿出假设干枚硬币支付,钱数正好,无需找钱.这9枚硬币的总面值最多是多少？最少是多少？2 A,B,C,D四人进行围棋比赛,每人都要与其他三人各赛一盘.比赛是在两张棋盘上同时进行,每天每人只赛一盘.第一天A与C比赛,第二天C 与D比赛,第三天B与谁比赛？3 有20间房子,有的开着灯,有的关着灯.在这些房子里的人都希望与大多数房子保持一致.现在,从第1间房子里的人开始,如果其余19间房子的灯开着的多,就把灯翻开,否那么就把灯关上.假设最开始时开灯与关灯的房子各10间,并且第1间房子的灯开着.那么,这20间房子里的人轮完一遍后,开着灯的房子有几间？4 甲、乙、丙三名选手参加长跑比赛.起跑后甲处在第一的位置,在整个比赛过程中,甲与乙、丙的位置次序共交换了7次.比赛结果甲是第几名？5 正义路小学共有1000名学生,为支持“希望工程〞,同学们纷纷捐书,有一半男生每人捐了9本书,另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书,另一半女生每人捐了6本书.全校学生共捐了多少本书？6 某杂志每期定价1.50元,全年共出12期.某班局部同学订半年,其余同学订全年,共需订费720元；如果订半年的改订全年,订全年的改订半年,那么共需603元.问：这个班共有多少名学生？7 某次猜谜语比赛,谜语按难易分两类,每人可以猜三条.每猜对一条较难的谜语得3分,每猜对一条较容易的谜语得1分.结果有8人得1分、7人得2分、6人得3分、5人得4分、4人得5分.恰好猜对两条谜语的有几人？8 一排六棵树〔见下列图〕分别是六个人栽的,A,B,C三人栽的是大树,D,E,F三人栽的是小树.如果A与E栽的树相隔两棵树,B与F栽的树相隔一棵树,那么C栽的树是左起第几棵？9 一个正方形大厅被分隔成16个小间〔见右图〕,每相邻两间都相通,有阴影的四间是休息室,其余布置成展览室.从A处出发,使走过的房间数最少而到达休息室〔可以是任何一间〕的不同走法共有多少种？10 整盒香烟在盒中排列如左下列图所示.抽出2支香烟后〔右下列图〕,剩下的香烟在盒中仍不能移动.要保持剩下的香烟在盒中仍不能移动,最多能抽出多少支香烟？11 有一根长8m的方木,锯成等长的5段,外表积增加了1m2,求这根方木的体积.12 生物学家发现一种胞子,每小时可分裂成3个,每个新胞子同原来的一样,一小时后它们中的每一个又都可以分裂成3个.这种过程连续不断地进行下去.一天早晨,一位生物学家在一个容器中放入一个胞子,到了中午13 兔子和乌龟在一个200米的环形跑道上赛跑,它们从同一地点同时出发,乌龟每爬行5米,兔子超过它1圈.当乌龟爬完1圈时,兔子跑了多少圈？14 兔子跑3步的时间狗跑2步,兔子一步跑1米,狗一步跑1.5米.如果狗和兔子在100米的直跑道上赛跑,赛程为一个往返,狗和兔子调头的时间相等,那么谁将获胜？15 有一口枯井深10米,一只蜗牛从井底向上爬,白天向上爬3米,晚上向下滑2米.问：这只蜗牛几天能爬出井？16 某学校进行乒乓球单打比赛,参赛选手共56人.如果采用淘汰赛,最后产生一名冠军,那么一共要比赛多少场？17 有六条铁链,每条有四个环〔见下列图〕.翻开一个环要用5分钟,闭封一个翻开的环要用7分钟.现在要把六条铁链连成一条长铁链,至少要用多少时间？18 从分别写有3,4,5,6,7,8的6张卡片中任取三张,做三个一位数的加法,问：可能得到多少种不同的结果？19 一个玩具上有红色和白色按钮各一个,还有100个能站能坐的小木偶,按一下红色按钮就会有一个小木偶坐下,按一下白色按钮就可以使站着的小木偶增加一倍.现在只有两个小木偶站着,要想使站着的小木偶增加到27个,最少按几次按钮？怎样按？20 箱子中放着一些茶杯,有一个小朋友从箱子里往外拿,每次拿出箱子里茶杯总数的一半,然后再放回一个.拿了100次之后,箱子里还有两个茶杯,求开始时箱子里的茶杯数.21 某商店规定3个空汽水瓶可以换一瓶汽水,小明有10个空汽水瓶.问：他一共可以换到多少瓶汽水？22 红、蓝墨水各一瓶,用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中,搅拌后,再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中.这时红墨水中的蓝墨水多,还是蓝墨水中的红墨水多？23 足球队有18名队员,其中10人穿大号球衣,8人穿小号球衣.小马虎将10件大号球衣和8件小号球衣领回来后,一人一件地随便发给了每个队员,结果有的大个队员领到了小号球衣,小个队员领到了大号球衣.问：大个队员领到了小号球衣的人数与小个队员领到了大号球衣的人数哪个多？为什么？24 50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3,…依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的同学还有多少名？25 用铁丝制成左下列图的铁丝网,重量是30克.用同型号的铁丝制成右下列图的铁丝网,重量是多少克？26 某幼儿园的孩子中,任意5个孩子的年龄之和不大于20,所有孩子的年龄之和是140.这个幼儿园至少有多少个孩子？甲杯里的水还剩多少克？：甲、乙二人谁分到的蛋糕多？29 右图中AB的长度是20cm,任意相邻两圈的距离都是1cm.求图中所有线段的长度和.30 六年级一班有20个男生,某次测试全班有24人超过90分,问：女生中超过90分的比男生中未超过90分的多几人？31 小明的左衣袋和右衣袋中分别装有相同数目的硬币,两衣袋中硬币总钱数也相等.当任意从左衣袋取出两枚硬币与右衣袋的任意两枚硬币交换时,左衣袋的钱数要么比原来多二分,要么比原来少二分.问：两个衣袋共有几分钱？32 一个人买了D元C分钱的商品〔C为一位数或两位数〕,交给售货员20元钱,售货员错误地看成C元D分,于是找给买主4.88元.按正确的价格,售货员应找给买主多少钱？33 爸爸有一个储钱罐,里面放的都是五分的硬币.爸爸清点时发现,硬币的枚数及总金额都是五位数,这两个五位数刚好由0～9这10个数码组成,即这两个五位数的所有数码互不相同.这些硬币的总金额最多是多少分？34 甲、乙合伙买了一双冰鞋后,他俩带的钱还剩下30元,如果单独买这双冰鞋,那么甲差27元,乙差30.6元,这双冰鞋多少钱？35 A,B,C,D四个钢珠,用天平两个两个称,共称了六次,最重的是B和C,第二重的是A和B.请将这四个钢珠按重量从重到轻依次排列出来.36 A,B,C,D,E住在同一栋楼里,A住的高度是B的2倍、C的3倍、D 的4倍、E的6倍,又C正好住在D的楼上.试判断他们各住在第几层.37 汽车里程表说明汽车行驶了15951千米,这个数字从两面读都一样.汽车又行驶了3时后,里程表上的数字从两面读仍一样,并且在行驶途中还出现过一次这种情况.问：汽车这3时的平均速度是多少？38 学校组织全校同学去春游,租用甲、乙两种大客车.假设用7辆甲种大客车和4辆乙种大客车那么需跑3趟,假设用8辆甲种大客车和9辆乙种大客车那么只需跑2趟〔假设每辆车都满载〕.甲、乙两种大客车哪种坐的乘客多？39 右图为某邮递员负责的邮区街道图,图中交叉点为邮户,每个小长方形的长为180米、宽为150米.如果邮递员每分行200米,在每个邮户停留半分,那么从邮局出发走遍所有邮户,再回到邮局,最少要用多少分？40 一条公共汽车线路,包括首尾两站共10站.首尾两站同时每隔3分相向发车一辆,每辆汽车行驶一个单程需要27分.要保证首、尾两站随时都有车,至少需要多少辆汽车？41 某路电车每隔5分从甲站发一辆电车到乙站,全程要走20分.有一个人从乙站出发沿电车线路前往甲站,他出发时恰有一辆电车到达乙站,在路上他又迎面遇到了10辆电车,到达甲站时恰有一辆电车从甲站开出.问：他从乙站到甲站用了多长时间？42 一辆公共汽车在线路上行驶,包括起点站和终点站沿途共有10个站.如果在每个车站上车的乘客,在以后的每个站恰好都有1人下车,那么共有多少位乘客乘坐了这辆车？43 长途汽车在甲、乙两地间运行,每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车,单程需要三天时间,到达终点后,休整两天再按原路返回.为了保证这条线路上客运任务能正常进行,这条线路上至少应配备几辆客车？44 长途汽车有甲、乙两个终点站,汽车要用4时才能驶完全程.从上午6点开始,每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车,最后一班车在下午4点发出.问：从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到几辆？45 一个圆的周长是5.4米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行,这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米.它们每次爬行1秒、3秒、5秒……〔连续奇数〕就调头爬行.两只蚂蚁第一次相遇时,已爬行了多长时间？46 马戏团的“猴子骑车〞节目是由5只猴子用5辆自行车表演的,每只猴子至少骑一次车,但一只猴子不能重复骑同一辆车.表演结束后,5只猴子分别骑了2,2,3,5,x次,五辆车分别被骑了1,1,2,4,y次,求x＋y.47 A,B两地相距54千米,有18人共同骑7匹马由A地到B地去,每匹马每次只能驮1人,为了轮换休息,大家决定每人骑马行1千米轮换一次.问：每人骑马、步行各多少千米？48 一次象棋比赛共有10名选手参加,他们分别来自甲、乙、丙三个队.每个人都与其余9名选手各赛一盘,每盘棋的胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.比赛结果,甲队选手平均得9分,乙队选手平均得7.2分,丙队选手平均得18分.甲、乙、丙队参赛选手各有几人？49 四名棋手进行循环赛,胜一局得2分,平一局得1分,负一局得0分.比赛结果,没有人全胜,并且各人的总分都不相同.问：至多有多少局平局？50 一次校友聚会有47人参加,在参加聚会的同学中有个有趣的现象,每个女生熟悉的男生人数各不相同,并恰好构成一串连续的自然数,最多的全熟悉,最少的也熟悉18个.问：这次聚会有多少个女生参加？51 甲、乙、丙、丁四人出同样多的钱合伙买回一批本,分本时甲比其他三人各少拿了8个本,因而这三人分别退给甲0.70元.求每个本多少钱.52 四个小朋友分20块糖,四人分到的糖数各不相同.分到糖数最多的小朋友至少能分到几块糖？53 7个人共有100元钱,他们的钱数各不相同〔均为整数元〕,试证实他们中至少有3人的钱数之和不少于50元.54 有一个吹泡机,一次恰好吹出100个肥皂泡.肥皂泡吹出后,经过12％,这些肥皂泡不到4分钟全部破了.如果吹泡机每分钟吹一次,那么到第10次吹出新的肥皂泡时,没有破的肥皂泡至多有多少个？55 甲、乙、丙和一些同学围坐在一张大圆桌旁.如果从甲开始数起,那么顺时针方向的第13人是乙,逆时针方向的第15人是丙；另外,乙是从丙开始数起,顺时针方向的第7人.问：圆桌旁总共坐有多少人？56 A,B,C,D,E,F,G七人每月都要在一张圆桌上共餐几,但他们对安排座位有个规定,一个月中每个人只能与另外六个人中的每一人相邻一次.根据这个规定,一个月中这七个人至多能坐在一起共餐几次？57 小明从1999年的日历中抽出14张,是从5月14日到5月27日连续14天的,这14天的日期数相加是287.小亮也抽出14张,也是连续的14天,这14天的日期数虽然与小明的不相同,但相加恰好也是287.小亮抽出的14张是从几月几日到几月几日？58 某校毕业生共分9个班,每班人数相等.一班的男生比二、三两个班的女生总数多1；四、五、六三个班的女生总数比七、八、九三个班的男生总数多1.求该校毕业生中男、女生人数的比.59 桌上放有345枚正面朝下的硬币,第1次翻动其中1枚,第2次翻动其中2枚,第3次翻动其中3枚……第345次翻动345枚.经过345次翻动后,能否使这345枚硬币都正面朝上？60 假设干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子没装棋子.小光趁小明不在时偷偷从每个有棋子的盒子中各拿了一个棋子放在空盒中,然后把盒子重新排了一下.小明回来后仔细查看一番,没发现有人动过这些盒子和棋子.问：共有多少个盒子？61 一只用黑、白两种颜色的皮子缝制成的足球如右图所示.这只足球上有黑色皮子12块.问：这只足球上缝了多少块白色皮子？62 甲定于下午3时乘飞机到达机场,乙驾车准时到机场去接,不料飞机早到达1时,甲信步由机场沿公路向单位走去,中途遇到乙,随即乘车返回单位,结果比原来方案提前10分到单位.问：甲下飞机信步走了多长时间？。

天文奥赛练习题选自《天文奥赛指南》1．是否可能晚上在东方看见水星（或金星）？2．在距离太阳20度的距离上看到某行星，它是内行星还是外行星？3．某年的5月19日火星冲日，在什么星座里能看到它？同年的2月5日金星大距，它位于什么星座？4．在什么季节里最适合观测黄昏时的水星？5．在地球上的什么地方能在子夜看到金星？6．同一时刻拍摄相距3度的两颗小行星的照片，在曝光时间内它们相对于恒星有了移动，因此在底片上各自留有线状的痕迹。

这两颗行星中哪一颗的位置比较接近地球和太阳？是痕迹较长的那颗还是痕迹较短的那颗？7．从太阳上看，地球在一昼夜内超前火星多少度？已知这两颗行星的公转周期各是天和687天。

8．火星是否每年都能接近地球到最小距离，也就是说，能否每年有一次冲？9．一颗行星的公转周期与会合周期相等，它的公转周期为多少？它可能是一颗什么星？10．某一年木星冲日发生在7月15日，它下次冲日应发生在何时？答案1．不能2．内行星3．人马座，如不是特定的年，则有两种可能：东大距宝瓶座，西大距人马座（金星在摩羯座）4．春季（黄昏看水星东大距时，水星的赤纬比太阳高，地平高度可能比较高；春分日落时，黄道与地平线的夹角最大）5．高纬度地区6．主带小行星应该是近的走得快，远的慢，所以是长的近。

7．360/6878．不能9．2年，小行星10．8月中下旬（一年约晚34天）11．某年某月某日，我们观测金星，记下了它离太阳的方位角和位置，问再过几年，会在同一日期再次看到金星位于这个位置？12．对想象的火星上的居民而言，地球像金星那样，时而是昏星，时而是晨星。

每经过多少时间，在火星上能看见地球作为昏星出现？13．地球和火星的轨道都是椭圆，不过火星的轨道明显更扁些。

因此，火星的冲日距（冲日时与地球的距离）常是不同的。

当冲日距离最短时（即火星大冲），地球到火星的距离（55×106千米）要比最不利的冲近一半。

而此时，在望远镜中观测火星要比其他任何时候都好。

划分图形
41在一个3米×4米的矩形中，任意点 5个点。

证明：至少有2个点的距离不大于2.5米。

42在边长为1的正三角形中，任意放入5个点。

证明：其中至少有两
43在边长为1的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有2个点的
44在一个半径为10米的圆形旱冰场上，有七位同学在滑旱冰。

证明：一定有两个同学间的距离不大于10米。

45在边长为1的正方形内，任意放入9个点，则其中必有3个点，它
46在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。

证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

综合题121 甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每时比乙快6千米，中午12时甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。

问：东、西两村相距多远？122 甲、乙两人分别从圆的直径两端同时出发，沿圆周行进。

如果逆向行走则50秒相遇，如果同向行走则甲追上乙需300秒。

求甲、乙的速度比。

123 张涛坐在行驶的公共汽车上，忽然发现李梅正在向相反的方向步行，2分后汽车到站，张涛下车去追李梅。

如果张涛的速度是李梅的2倍，是汽124 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。

甲、乙同时出发10分后，两人与十字路口的距离相等，出发后100分，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？125 甲、乙两人步行速度之比是3∶2，甲、乙分别由A，B两地同时出发，若相向而行，则1时后相遇。

若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？126 一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发地装车，每次拉4根，线路上每两根电线杆间距离为50米，共运了两次，装卸结束后返回原地共用3时。

其中装一次车用30分，卸一根电线杆用5分，汽车运行时的平均速度是24千米／时，求第一根电线杆离出发点的距离。

127 红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分步行60米，队尾的王老师以每分行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分。

求队伍的长度。

128 小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米／时、48千米／时和42千米／时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分又遇到大客车。

问：甲、乙两地相距多远？129 甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙。

求A，B两地的距离。

130 甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走10米，比丙多走31米。

上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场310米处遇到乙。

4-1-4.幾何中的空間想像知識點撥空間想像不僅是認識現實世界空間形式不可缺少的能力因素，而且是形成和發展創造力的源泉，因此，空間想像能力是數學教學必須培養的基本數學能力之一。

空間想像能力的培養與幾何教學有關。

直觀幾何教學的主要任務是通過學生製作模型、搭積木、畫圖、識圖，對圖形進行描述、分類、整理等學習活動，認識、理解我們所處的現實世界的幾何空間，以形成空間觀念。

綜合幾何教學的主要任務是運用邏輯推理的方法研究圖形的性質，幫助學生從邏輯的角度進一步弄清幾何空間的意義，學會幾何思考的方法，培養空間想像能力和邏輯推理能力。

例題精講模組一、對稱圖形【例 1】將一塊正方形紙片沿對角線折疊一次，然後在得到的三角形的三個角上各挖去一個圓洞，再展開正方形紙片，得到圖1中的。

（填序號）①②③④【考點】幾何中的空間想像【難度】1星【題型】填空【解析】逆推法③【答案】③【例 2】(希望杯五年級一試第8題，6分)下麵四幅圖形中不是軸對稱圖形的是。

（填序號）（注：如果一個圖形沿一條直線折疊後，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做對稱圖形。

）【考點】幾何中的空間想像【難度】1星【題型】填空【解析】③④【答案】③④模組二、平面圖形【例 3】(希望杯四年級二試第5題，6分)將一張長方形紙對折再對折（如圖），然後沿著圖中的虛線剪下，得到①、②兩部分，將①展開後得到的平面圖形一定是。

（填“三角形”、“長方形”、“梯形”或“菱形”）②展开①【考點】幾何中的空間想像【難度】2星【題型】填空【解析】菱形【答案】菱形【例 4】(希望杯六年級一試第18題，6分)如圖，房間裏有一只老鼠，門外有一只小貓，如果每塊正方形地磚的連長為50釐米，那麼老鼠在地面上能避開小貓視線的活動範圍為_________平方釐米.(將小貓和老鼠分別看作兩個點,牆的厚度忽略不計)【考點】幾何中的空間想像【難度】4星【題型】填空【解析】貓看不到的地方如圖所示陰影部分，其中梯形面積為（1+3.5）×2.5÷2=5.625平方米.三角形的面積為2×1÷2=1平方米.老鼠的活動範圍共6.625平方米，即66250平方釐米.【答案】66250平方釐米模組三、立體圖形【例 5】用紅、黃、藍、白、黑、綠六種顏色分別塗在正方體的各個面上，每一個面只塗一種顏色．如圖所示，現有塗色方式完全一樣的四塊小正方體拼成了一個長方體．試回答：每個小正方體中，紅色面的對面塗的是什麼色？黃色面的對面塗的是什麼色？黑色面的對面是什麼色？【考點】幾何中的空間想像【難度】3星【題型】解答【解析】在能看見的9個面中紅色出現的次數最多．觀察圖8—4中最上面的一個正方體，由於紅色和黑色、黃色相鄰，所以它的對面不可能是黑黃兩色．同理，由第二個正方體可知，紅色的對面不能是白色；由第三個正方體知，紅色的對面不能是藍色．所以紅色的面的對面只可能是綠色．同理，黃色面的對面不可能是紅色、黑色或白色，又已推知不可能是綠色，所以黃色面的對面只可能是藍色．這樣黑色面的對面就只可能是塗白色的了．【答案】紅色的對面是綠色黃色的對面是藍色黑色的對面是白色【例 6】將“貓”“狗”“兔”“雞”“猴”“虎”六個動物名稱分別寫在六個正方體的六個面上，從下麵三種不同擺法中，判斷這個正方體上哪些動物名名稱分別寫在相對面上.兔狗猫鸡狗兔猫猴兔【考點】幾何中的空間想像 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 本題給的是一組立方圖形，在這三幅圖中，“兔”所在的一面始終不改變位置，因此，這三個圖的轉化只能是前後轉動.把第一幅圖向後反轉一次得到第二幅圖，由此可知，“貓”的對面是“雞”；把第一幅圖向前翻轉一次得到第三幅圖，所以“狗”的對面是“猴”，那麼剩下的只有“兔”和“虎”相對.【答案】貓的對面是雞；狗的對面是猴； 兔的對面是虎。

高中奥林匹克数学竞赛讲座平面与空间问题的类比许多平面几何中的命题可以推广成立体几何中的相应命题.反之，解决立体几何的问题，常常先研究该问题在平面内的相应命题及解决方法，然后推广到空间，寻求相应的解决方法.例1：等腰三角形底边上任意一点两腰距离和为定值.分析：这是一个平面几何中很基本的问题，有多种证法.我们关心的是该命题在三维空间中的推广，以及它的各种证法如何推广，以及它的各种证法如何推广到三维空间中去.证法一：如图1—1，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上一点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，连接AD ，作BG ⊥AC 于G. ∵DF AB DE AC S S ADB ADC ⋅+⋅=+∆∆2121 )(21DF DE AC += BG AC S ABC ⋅=∆21 又∵AD B AD C ABC S S S ∆∆∆+= ∴DE+DF=BG=定值该命题推广到空间，变成相应命题：“正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离和等于定值”.它的证明方法与证法1相仿，只是“三角形面积转化成了三棱锥体积”.证法2：作DH ⊥BG 于H ，DEGH 是矩形，得DE=HG ，在△BHD 与△DFB 中，∠BHD=∠DFB=Rt ∠，BD 是公共边，∠HBD=∠EDC=90°－∠B=∠FDB.于是得△BHD ≌△DFB ，BH=DF ，所以DE+DF=BG .这一证明方法推推广到空间，得相应的证法.在平面问题中“作DH ⊥BG 于H ”，相当于在空间问题中“过点D 作垂直于AH 的平面，与AH 交于K ”（如图1—2）.在平面问题中将BG 截成两段，一段HG 与DE 相等，另一段BH 与DF 相等；在空间问题中，可将AH 截成两段，一段KH=DE ，另一段AK 欲证它等于DF+DG ，只需再作一次截面：过D 点作截面与面A VC 平行，这个平面将M 点到ANS 的垂线段分成两截，其中一段与DG 相等，另一段与DF 相等.证法3：如图1—1，DE=DC ·sinC ，DF=DB ·sinB ，∵∠B=∠C ，∴DE+DF=（DC+DB ）sinC=BC ·sinC=BG .这一证法的思路是利用等腰三角形两底角相等的性质，将DE 与DF 转化成用底边上线段表示.推广到空间，就可利用正三棱锥各侧面与底面所成角相等（设此角为θ），将D 点到三侧面的距离和转化成底面上D 点到△ABC 三边距离和与sinθ的乘积，由于△ABC 是正三角形，D 到三边距离和等于一边上的高，于是得证.另外还有其他证明方法，也都可以空间找到相应的方法.例2：四面体ABCD 内接于半径为R 的球O 内，球心O 在该四面体内，连结AO 、BO 、CO 、DO 并延长分别与对面交于A 1、B 1、C 1、D 1.求证：AA 1+BB 1+CC 1+DD 1≥R 316分析：相应的平面内的命题是“△ABC 内接于圆O ，且O 点在△ABC 内，连结AO 、BO 、CO 并延长分别交对边于A 1、B 1、C 1，则AA 1+BB 1+CC 1≥R ''29.如图1—3，1111111=++=++∆∆∆∆∆∆ABCOAB ABC OAC ABC OBC S S S S S S CC OC BB OB AA OA 即 1111111=-+-+-CC R CC BB R BB AA R AA ， 即RCC BB AA 2111111=++.由哥西不等式，得 （AA 1+BB 1+CC 1）9)111(111≥++CC BB AA ∴AA 1+BB 1+CC 1.29R ≥ 将平面问题的证明方法推广到空间，就得到了本例的证明方法.证明：∵ABCDABC O ABCD ABD O ABCD ACD O ABCD BCD O V V DD OD V V CC OC V V BB OB V V AA OA ----====11111111,,, 且V ABCD =V O —BCD +V O —ACD +V O —ABD +V O —ABC ，∴ 111111111=+++DD OD CC OC BB OB AA OA 即 111111111=-+-+-+-DD R DD CC R CC BB R BB AA R AA RDD CC BB AA 311111111=+++ 由哥西不等式，得 16))(1111(11111111≥++++++DD CC BB AA DD CC BB AA ∴AA 1+BB 1+CC 1+DD 1R 316≥例3：A 、B 是平面α同侧的两个定点，在α上找点P ，使∠APB 最大.分析：本题相应的平面内的命题是“A 、B 是直线l 同侧的两个定点，在l 上找点P ，使∠APB 最大”.为解决这一问题，可以AB 为弦作圆（见图1—4），其中至少有一个圆与直线l 相切，较小圆与l 的切点即为所求p 点（当AB 与l 垂直时，两圆相等，这时p 点有两个）.解：如图1—5，设直线AB 与α相交于O ，若AB ⊥α，则p 点轨迹为以O 为圆心，以BO AO ⋅为半径的圆周.若AB 与α不垂直，则可过AB 作唯一平面f ， 使β⊥α，且α与β交于l .在l 上取点P ，使OP=BO AO ⋅.这样的P 点有两个，现取使∠AOP 为锐角时的P 点即为所求.现就此一般情况下证明∠APB 最大.（1）若Q 点是l 上的任意点（与P 不重合），因为OP=BO AO ⋅，所以过A 、B 、P 的圆与l 相切.若Q 与P 在O 点同侧，则必有∠AQB<∠APB （圆外角小于同弧上的圆周角）.若Q 与P 在O 点异侧，可先作⊙ABP ′，使其与l 相切于P ′，P ′与P 在O 点两侧，则有∠AQB<∠AP ′B<∠APB.（2）若Q 点是α上任意点且不在l 上，则连结AQ 、BQ 、OQ ，由于∠AOP 是AB 与α所成角，所以∠AOP<∠AOQ.现将△AOQ 绕AO 旋转到β平面内，由于∠AOP<∠AOQ ，Q 点必转到l 的下方，设为Q ′.AQ ′与l 交于K ，则∠AQB=∠AQ ′B<∠AKB ≤∠APB.说明：在证明∠AQB<∠APB （Q 点不在l 上）时，可能会想到OH ⊥l 于H ，欲证∠AQB<∠AHB ，但这一结论是错误的（如当H 与O 重合时，显然有∠AQB<∠AHB ）.例4：已知四面体A 1A 2A 3A 4的六条棱上二面角的大小分别为342423141312,,,,,θθθθθθ，且这些角都是锐角.求证：.7291cos cos cos cos cos cos 342423141312≤⋅⋅⋅⋅⋅θθθθθθ 分析：本题在平面内的相应命题是“△ABC 中81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ”.这一命题有多种证法，现在要选择一种容易推广到三维空间去的证法.不妨设△ABC 是锐角三角形.BA ab A bB a cC A ca c a A c b CB bc B cC b a cos cos 2cos cos cos cos 2cos cos cos cos 2cos cos ≥+=≥+=≥+=将三个不等式相乘，两边消去a bc ，即得81cos cos cos ≤C B A 这一证明用到了三角形中的射影定理及平均不等式.三角形中的射影定理推广到空间，就是三棱锥中的面积射影定理.证明：过A 1作对面A 2A 3A 4的垂线A 1H ，垂足为H ，则有+⋅=∆∆23cos 321432θA A A A A A S S 3cos cos 2434241431≥⋅+⋅∆∆θθA A A A A A S S · 3243423cos cos cos 241431321θθ⋅⋅⋅⋅⋅∆∆∆A A A A A A A A A S S S同样可得 3321≥∆A A A S · 3231213cos cos cos 432241431θθ⋅⋅⋅⋅⋅∆∆∆A A A A A A A A A S S S 3431≥∆A A A S · 3413413cos cos cos 432241321θθ⋅⋅⋅⋅⋅∆∆∆A A A A A A A A A S S S 3241≥∆A A A S · 3124214cos cos cos 432431431θθ⋅⋅⋅⋅⋅∆∆∆A A A A A A A A A S S S将上面四个不等式相乘、并消去142143432321,,,A A A A A A A A A A A A S S S S ∆∆∆∆得.7291cos cos cos cos cos cos 342423141312≤⋅⋅⋅⋅⋅θθθθθθ 不难看出，当且仅当正四面体时等式成立.例5：已知空间n 个不全共面的点，求证：必存在一个圆，它恰好经过其中三个点. 分析：平面内相应命题是“已知同一平面内n 个不全共线的点，必存在一条直线恰好经过其中两个点”.这就是著名的西尔维斯特定理.现在的关系在于如何将空间问题转化成平面问题，从而运用这一定理.证明：设n 个点为A 1、A 2、…、A n ，连结A 1A i （i =2，3，…，n ），共n －1条直线，必存在一个与A 1A i 均不平行的平面α，设A 1A i 与α交于点'i A （对于不同的i ，j ，可能有'='j i A A ，但由于A 1、A 2、…、A n 不全共面，至少存在三个不同的'i A ），所得'i A 不全共线（否则这几个点共面）.由西尔维斯特定理，至少存在一条直线恰通过其中两点''j i A A ,.这时，过A 1，''j i A A ,的圆恰好过这三个点（在平面j i A A A 1上可能还有这n 个点中的其他点，但即使有，也都在直线A 1A i 或A 1A j 上，而过A 1，j i A A ,三点的圆与直线A 1A i 及A 1A j 交点仅A 1，j i A A ,三个）.例6：已知空间坐标系中一定点P 的坐标为),,(000z y x .试求一点),,(z y x Q ，使满足 ||,PQ z y x 且≤≤最小.分析：先退回平面，其相应的问题是“已知定点y x y x Q y x P ≤使求点),,(),,(00且|PQ|最小”.这一问题不难解决，若0000,,y y x x y x ==≤那么当（即Q 与P 重合）时，|PQ|最小，且最小值为零；若那么,00y x >过P 点作直线y=x 的垂线，垂足即为所求Q 点，这时200y x y x +==.现证明此时|PQ|达到最小. 20002000)2()2(||y x y y x x PQ +-++-= 对于任一其他点))(,(y x y x Q ≤'，则2020)()(||y y x x Q P -+-='0))(()2()2(||||002000200022≥--++-++-=-'x y y x y x y y x x PQ Q P ∴|PQ ′|≥|PQ|解：若000000,,,z z y y x x z y x ===≤≤则当叶.|PQ|=0，取得最小值，且满足 .z y x ≤≤ 若010011000,2,z z y x y x z y x =+==≤>则取，若此时00011,2,z z y x y x z y =+==≤则，使|PQ|最小；若,3,00011z y x z y x z y ++===>则令能使|PQ|最小. 若2,,001101000z y z y x x z y x +===>≤则当.此时，若,2,,00111z y z y x x y x +===≤则令能使|PQ|取得最小值；若3,00011z y x z y x y x ++===>则令，能使|PQ|取得最小值. 若3,000000z y x z y x z y x ++===>>则令，此时|PQ|最小. 证明：略（证明方法与平面问题完全类似）说明：由二维问题推广到三维问题，解决方法类似，仅仅情况多一些，有些情况还需要分步调整.本例还可推广到四维、五维甚至n 维空间去.。