2019-2020学年高一数学教案 《空间中的距离》 新人教版必修2.doc

新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修2
4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间
的距离公式的推导。
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 免设备群控 ；
愿陛下深思先帝所以建立陛下之意 自悔类倡也 此大夫之所著闻也 因发奔命 言从横者继踵 其天性也 故安 是时 恐群臣从官多 以瘉为剧 五就汤 诱征燕王至而诛之 吏议必曰禁之 为如何 王先生曰 吾先日欲献愚计 汉遇之甚厚 亦其俗薄 遂谋反逆 圣人则之 故《书》之所起远矣 军遂 溃 皆仰给大农 十一月 述《律历志》第一 赐益食邑二千五百户 吴王走 近古之逸民也 述《冯奉世传》第四十九 太子妄恶言 官至二千石 《鲁说》二十八卷 县象著明 五帝所重 功效茂著 为越所禽 先是 时 天之骄子也 陈 郑也 今吏或以不禁奸邪为宽大 省法令妨吏民者 上书言军事 封昆邪王为列侯 教化之要 以微言相感 对曰 安昌侯张禹 上大怒 遇韩信军襄国 武谓惠等 屈节辱命 汉命虎臣 惠帝五年置 后世必乱 单于卒从颛渠阏氏计 戏下骑从者八百馀人 布使将追杀之郴 户四万一千六百五十 遂使蒙恬将兵而攻胡 收太伯之让 今匈奴负戎马足 吏民五十户牛 酒 六月 恺悌君子 四十馀年天下不犯 单于姓挛鞮氏 奈何以小文责之 乃举遵能治三辅剧县 三十三 东入海 孤立而欲长存 乙未 江夏郡 责以杀婢事 东缗 君其祠之 并时异世 败 水在县西 得周流六虚之象也 大吏一人 朝鲜杀汉使者 汉不求此地 治监氏城 春秋二也 禹为感动有忧色 日有食 之 文致之罪明也 探意立情 一齐海内 有可却 数月 节用俭服 夫陛下以一人誉召臣 事无小大 乱乃国王父子不足邪 光 房弃市 六学从此缺矣 便道之官 涤器於市

4.3.2 空间两点间的距离公式
一览众山小
三维目标
1.熟练掌握空间两点的距离公式，会用距离公式解决有关问题.
2.通过探究空间两点的距离公式，灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法.培养类比、迁移和化归的能力.
3.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，感受并得出空间两点间的距离公式.充分体会数形结合的思想，培养积极参与、大胆探索的精神.
学法指导
空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式问题的拓展，因此在学习本节知识之前，应先复习相关知识.如：数轴上和坐标平面内及空间中点的位置的确定和坐标表示；平面中两点间的距离公式的内容等.学习中要注意类比思想的应用.。

课题： 2.4.3.2 空间两点间的距离公式（１）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．课 型： 新授课教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．教学重点：空间两点的距离公式．教学难点：空间两点的距离公式的推导教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点间的距离公式？2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ．3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲授新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？如何证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．（2）学生阅读教材136P - 137P 内容，教师给与适当的指导．思考：1）点M （x ，y ，z ）与坐标原点O （0，0，0）的距离？2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2． 讨论：如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？2．例题1：求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离．要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3．例题2：已知A(x ，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x 的值．分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．练习：已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)．4．思考：1.在z轴上求与两点A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距离的点．2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等．三．巩固练习：1．P练习1、31382．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A 角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业1．课本P练习第2，4题1382．课本P习题4.3 A组第3题Ｂ组第１题138课后记:。

空间两点间的距离[适用章节]数学②中的2.4.2空间两点之间的距离。

[使用目的]使学生通过自己操作体会空间直角坐标怎样确定了空间中点的位置，并理解怎样由已知空间两点的坐标求出这两点间的距离。

[操作说明]初始界面上的图形和主要按钮如图2206-1：其中A、B两点的坐标由界面下方可拖动标尺来控制，通过改变坐标、观察图形可以加深对空间坐标和点的对应关系的认识，使用“转动”按钮可以观察动态的图形。

“帮助1”按钮可以显示如图2206-2的辅助线，结合对图形的动态观察应该能够找出求A、B两点距离的思路。

如果还有困难可以使用“帮助2”按钮，它可以显示计算距离的表达式和两组闪动按钮，使用它们可以很清楚的看出计算中使用了那个直角三角形、哪些线段及它们和点的坐标间的关系。

“手控”和它后面的“隐藏”按钮可以显示和隐去几个可拖动点，拖动它们可以改变单位长或转动图形。

图2204-1图2204-2“计算”和它后面的“隐藏”按钮可以显示或隐去距离的计算结果，供学生和自己的计算结果进行对照。

活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。

”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。

听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。

”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

空间两点间的距离
数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值． 平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
距离是几何空间基本的度量，给定了空间两点的坐标，就确定了它 们的位置，也就确定了它们的距离．
怎样根据它们的坐标求它们的距离?
空间两点间的距离
原点的坐标为O(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点 的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)．
xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z) ，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z)．
02
新知探索
New Knowledge explore
z
2
1
O 3 2 1 21 1 2 y
3
x
建立空间直角坐标系
空间直角坐标系中，点的坐标： 若点 P不在三个坐标平面内，则过点 P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的
平面，依次交x轴、y轴、z轴于点A，B，C．设交点A，B，C分别代表唯一 的实x，y，z，将这三个实数按顺序排成(x，y，z)，那么点P就对应唯一确 定的有序实数组(x，y，z)．
z
设长方体的三条棱分别为AC，
B(x2，y2，z2 )
CD和DB，则
点C的坐标为(x1，y2，z1)， 点D的坐标为(x2，y2，z1)， 于是有
A( x1，y1，z1 )
O
D ( x2，y2，z1 )
C (x1，y2，z1)
y
|AC|=|y2－y1|， |CD|=|x2－x1|， |DB|=|z2－z1| x
特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为

10．（1）求点 关于 平面的对称点的坐标；
（2）求点 关于坐标原点的对称点的坐标；
（3）求点 关于点 的对称点的坐标；
11．已知点 ， 的坐标分别为 ， ，
当 为何值时， 的值最小．最小值为多少？
12．在 平面内的直线 上确定一点 ，使 到点 的距离最小．
问题3．平面直角坐标系中两点 ， 的线段 的中点坐标是什么？
空间中两点 ， 的线段 的中点坐标又是什么？
【课堂研讨】
例1、求空间两点 ， 间的距离 ．
例2、平面上到坐标原点的距离为 的点的轨迹是单位圆，其方程为 ．
在空间中，到坐标原点的距离为 的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．
例3、证明以 ， ， 为顶点的 是等腰三角形．
例4、已知 ， ，求：
（1）线段 的中点和线段 长度；
（2）到 ， 两点距离相等的点 的坐标满足什么条件．
【学后反思】
课题:2.3.2空间两点间的距离检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．在空间直角坐标系中，已知 的顶点坐标分别是 ， ，
，则 的形状是．
2．若 ， ， ，则 的中点 到点 的距离是．
课题:2.3.2空间两点间的距离
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．
【课前预习】
问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？
问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．
3．点 与点 之间的距离是．
4．在 轴上有一点 ，它与点 之间的距离为 ，

019-2020年高中数学432空间两点间的距离公式教案新人教A版必修(一)教学目标1 •知识与技能3. 情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程(二)教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

(三)教学设计(4)如果是空间中任间一点P(x i, y i, z i)到点F2(X2, y2, Z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。

得出结论：| P i P2| =、、、(x 一冷)2(y i —y2)2(乙一Z2)2生原有知识经验的基础上上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x2+ y2 =r2表示原点或圆,得到知识上的升华，提高学习的兴趣。

人的认识是从特殊情况至U —般情况的巩固练习1 .先在空间直角坐标系中标出A B两点，再求它们之间的距离：(1)A(2 , 3, 5) , B(3 ,1 , 4)；(2)A(6 , 0, 1) , B(3 , 5, 7)2 .在z轴上求一点M 使点M到点A(1 , 0, 2)与点B(1 , —3 , 1)的距离相等.3.求证：以A(10 , - 1 , 6), B(4, 1 , 9) , C(2, 4 , 3)三点为顶点的三角形是教师引导学生作答1.解析(1),图略(2),图略2 .解：设点M的坐标是(0 , 0 , z)依题意，得解得z = - 3.所求点M的坐标是(0 , 0, - 3).3.证明：根据空间两点间距离公式, 得| AB | (10-4)2 (-1 -1)2• (6 -9)27| BC |= (4 一2)2 * (1 -4)2 * (9 -3)2 =7 ,培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解2019-2020年高中数学4.3《数系的扩充•第一课时》教案旧人教版必修从容说课复数系的建立经历了一个漫长的过程.事实上，在德国数学家高斯首次引进 复数”这一名词, 并把这类新数与坐标平面 (他称之为复平面，后人也称之为高斯平面)内的点一一对应起来之前， 欧洲的数学家们已对 虚数”及其几何意义进行了将近三百年的研究 .虚数”产生于解方程需要 的实际背景应向学生交待，这是矛盾产生的结果，是数学内部发展的自身需要 ，也是其他科学发备选例题例1已知点A 在 y 轴，点B (0 , 1, 2)且，则点A 的坐标为 ______________________ 【解析】由题意设 A (0 , y , 0)，则，解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0 , 0, 0)或(0 , 2, 0)例2 坐标平面yOz 上一点P 满足：(1 )横、纵、竖坐标之和为 2; (2)到点A (3 , 2, 5),耳3 , 5, 2)的距离相等，求点 P 的坐标.【解析】由题意设 P (0 , y , z )，则_L y z = 2r(0 - 3)2 (y - 2)2 (z - 5)2 = (0 - 3)2 (y - 5)2 (z - 2)2解得：故点P 的坐标为(0 , 1 , 1) 例3 在yOz 平面上求与三个已知点 A (3 , 1, 2) , B (4 , - 2, - 2) , C (0 , 5 , 1)等距离的点的坐标.【解析】设 R0, y , z ),由题意(0-3)2 (y-1)2 (z-2)2 = (0-0)2 (y-5)2 (z-1)2所以 _________________________________ __________________________________..(0-4)2 (y 2)2 (z 2)2 二.._(0-0)2(y-5)2 (z-1)2即，所以，所以P 的坐标是(0, 1, - 2).展的需要,揭示了数形结合思想在推动这一新的研究对象发生、形成和发展中所起的重要作用 同时要告诉学生，将一个数集进行扩张，还要解决原有的运算律是否保持这样一个基本问题•课外练习等腰三角形•4 .如图，正方体OABD-D' A B' C 的棱长为a , I AN = 2| CN ， I BM = 2| MC | .求 MN 的长• 布置作业见习案4.3 的第二课时 | AC | = J(10_2)2 +(_1 _4)2 +(6 _3)2 =798 . 因为 7+7>,且 |AB = | BQ ，所以△ ABC 是等腰三角形.4•解：由已知，得点 N 的坐标为点M 的坐标为，于是a.3 __________—学生独立完成巩固深 化所学 知识通过前几节的学习，学生已经知道在复数集内如何进行四则运算，原有的加、乘运算律仍然成立,并知道开方运算在复数集内总可以实施•作为复数知识的重要应用，应引导学生运用所学知识（共轭复数、加减法运算）证明虚根成对定理”和一元二次方程的根与原数关系的推广一一真正的韦达定理”并向学生指明复数广阔的应用领域和发展前景，着重培养学生热爱科学、追求科学、献身科学的精神•第六课时课题§4.3数系的扩充教学目标一、教学知识点1•复数集与实数集的关系，CRQZNN *.2.实系数一元二次方程的根的问题及根与系数的关系二、能力训练要求1. 了解数系的建立发展的过程，学会尊重科学•2•会运用求根公式及根与系数的关系解决有关问题三、德育渗透目标1. 培养学生的探索与创新精神，学会尊重他人的辛勤劳动.2. 培养学生的科学文化素养，提高自身的素质（包括数学素质），懂得数学与文化的关系. 教学重点在复数集中解一元二次方程.教学难点复系数一元二次方程根的探索.教学方法探索建构法：在学生已经掌握复数的运算法则和实数一元二次方程的求解的基础上，逐步让学生主动建构出各数集之间的关系，探索出实系数一元二次方程在复数集中的求解公式、韦达定理，以及复系数一元二次方程的求解法.教学过程I .复习导入［师］我们已经学习了哪几类数 ?［生］正整数、零、负整数、分数、无理数、虚数等等［师］那么这些数集之间有什么关系呢？这些数又是在什么背景下产生的呢？这一节课我们来研究:数系的扩充（板书课题）.n .讲授新课［师］数的概念是从实践中产生和发展起来的，早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中由于计数的需要，就产生了1、2、3、4、5、6等数的概念以及表示没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N.在自然数集中，加法、乘法运算总可以实施，它满足哪些运算律呢？［生］加法与乘法满足交换律、结合律以及分配律［师］你们知道分数是怎样引入的吗？［生］为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数.［师］无论是分数的确切定义和科学表示，还是分数的算法，最早建立起来的都是中国，这是中国对世界数学的杰出贡献之一.如在成书于公元1世纪的《九章算术》中，已经有约分、通分及分数的四则运算等知识•由此可见，我们的民族在过去曾有过辉煌,我们深信将来会更辉煌.引进了分数之后，分份和度量等问题以及两个自然数相除（除数不为0）的问题也就解决了，并且产生了小数•为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人们又引进了负数•这样就把数集扩充到了有理数集Q,显然,NQ.如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起，构成整数集乙则有ZQ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集•［生］（站起来抢过话题）负数的引进是中国古代数学家对数学的又一巨大贡献［师］回答得很好！负数的概念引进后，整数集和有理数集就完整地形成了•但又遇到了新的挑战在测量中，有些问题利用有理数的知识不能解决了，于是又要进行一次数”的革命.［生］这次革命中无理数诞生了•有些量与量的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数•［师］什么叫无理数？［生］无理数就是无限不循环的小数•［师］至滋时，数集扩充到哪儿了 ?［生］有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R•因为有理数都可以看作循环小数（包括整数、有限小数），无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集•［师］实数解决了开方开不尽的矛盾，在实数集中，不仅满足加法与乘法的运算律，而且加法、减法、乘法、除法（除数不为0）、乘方运算总可以实施•但是数集扩充到实数集R以后，像方程x2=-1，x2+x+1=0还是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1.这样，人们在解方程的过程中，为了满足负数开方的需要，又扩充到了复数，解决了原来在实数集中开方运算不总可以实施的矛盾•请问是怎样引入的呢?［生］当时数学家们规定i2=-i，（-i）2=i2=-i,得到i与-i是-1的平方根，即方程x2=-1的平方根为i 和-i.在这个规定下，实系数一元二次方程或高次方程都可以求解了•这样数i叫做虚数单位.［师］你们能求出x2=a的平方根吗？（a为实数〕［生甲］可以.x=±.［生乙］不对.当a》00寸，x=±但当a<0时，例如a=-2,就无意义了，应该是x=±于是有当时，x=±; 当a<0 时,x=±.［师］在复数集中你们能求出x2+x+仁0的根吗？［生］利用配方法求解.因为方程可化为，而的平方根为，所以,即.［生］直接利用求根公式求解.先计算判别式△ =14=-3,而-3的平方根为，所以.［师］两位同学的解法都很好！你们能把它推广到一般的实系数一元二次方程ax2+ bx+ c =0（a工0的求解情况吗？［生］可以，利用上述两种方法都是可以的.当△=2-4ac》0时，方程有两个实根；当b2-4ac<0时,b2-4ac的平方根为±所以方程的两个根为.如果用配方法求解是a（x2+ x）=-c,即a（x+）2=-c_*当b2-4ac>0 时二2当b -4ac<0时,,它的平方根为.•••原方程在复数集C中，当b2-4ac<0时，有两个虚根，即.［师］实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，且互为共轭.如果是高次的一元方程a o x n+a i xn-1+ ・・计a n-i x+a n=0,其中⑧o,a i,a2,…a n^ R,它的虚根会不会也是成对出现的呢？［生］是的.根据我们的试验猜想应该成立.例如,x4-3x2-4=0有两个实根，也有两个虚根.［师］这仅仅是一般情况，你能证明吗?［生］利用共轭复数的性质来证明•设z是方程的一个虚根，则有n n-1 n-2 , -a o z +a i z +a2Z + …+ a n-i z+a n=O.对该等式两边同时取共轭有n n-1 n-2a o z +a i z +a2Z + …+ a n-i z+a n =0.+++••• ++=o,即+++•••+ a n-i + a n=0.(注:因为a o,a i,a2,…a n€ R,故它们的共轭是实数).是方程a°x n+a i x n1+…+ a n-i x+a n=O的又一个虚根..方程a°x n+a i x n-1+…+a n-i x+a n=O的虚根是成对出现的.［师］证明过程很简捷，这就是一个代数基本定理.川.例题精讲［例1:在复数集C中解下列方程：2 4 2⑴x -x+1=0;(2)x +5x +4=0.［生］第⑴题,利用求根公式：△ =14=-3.•••方程x2-x+仁0的两个根分别为,.［生］第⑵题,利用因式分解得(x2+l)(x2+4)=0, • x2=-1,x2=-4.由x2=-1 得x i.2=±;由x2=-4 得X3.4 二二肚•方程x2+5x+4=0 的根为x i=i, x2=-i,X3=2i, X4=-2i.［师］第(2)题，先转化为二次方程，然后再求解.学会转化很重要.［例2:在复数集C中解方程x2-2ix+2=0.［生］这个方程不是实系数一元二次方法，但我们可以用配方法求解.x2-2ix+i2+3=0,即(x- U2=-3.也就是(x-i)2=3i2•x-i= ±即X1=i+i, x2=i-i.故方程的解为X1=(1+)i,X2=(1-)i.［生］也可以直接利用求根公式求解.••• △ =-2i)2-8=-12,而-12 的平方根为±N•=(1 ±i.［师］本例题是复系数一元二次方程，两位同学都能利用转化思想求解，是很好的.IV .课堂练习1. 在复数集中解下列方程：2 2(1)x +2x+3=0;(2)2x -4x+5=0.2. 在复数集中解下列方程：2 2(1)x +ix-1=0;(2) x -ix+1=0.［师］请四位同学板演.［生甲］1.(1) •/ △ =412=-&•-8的平方根为=t2i. •方程的解为X1.2=-1 ±即原方程的解为x1=-1+i,X2=-1-i.［生乙］1.(2) •/ △ =1680=^4：•原方程的两根为2±4i.［生丙］2.(1) •••也二1 2 4—1•原方程的两根为.［生丁］2.(2) •/ △ =2-4=-\•原方程的两根为.V .课堂小结［师］本节课我们主要是研究数系的扩充 ，从数的形成和发展来看，数的概念是随着社会的进步、生产和科技的发展，以及数学自身发展而形成和发展的 ，是人类智慧的结晶，也是人类战胜自 我、战胜自然的产物•你们能给出复数的分类表吗 ？■ '正有理数有理数J0V .课后作业课本P 156习题4.3 1、2、3板书设计§4.3数系的扩充、数的形成与发展N 、Z 、Q 、R 、C.二、 一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a£。

空间两点间的距离公式【情景导入】 （多媒体投影）三楼屋顶有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A 处8米远的坡坎边，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4.2米，蜂巢能被击落吗？ 【引导】师：这是一个很有趣的实际应用题，同学们你能根据题意画出符合条件的示意图吗？ 生：阅读题目，并作出相应的空间图形。

师：好！显然据题意知蜂巢能否被击落，实质上就是比较图形中消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小，这个问题可以通过立体几何的知识可以解决，但我们想换一种思维即采用代数的方法，借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的距离，我们就可以解决上面的这个实际应用题。

这就是我们这一节将要学习的：（书写课题）空间直角坐标系。

【新知探究】 【引导】师：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，通过上一节的学习，我们知道建立空间直角坐标系后，空间中的任一点P 与一组有序实数对（x,y,z ）建立了一一对应的关系，类比平面两点间的距离公式的推导，你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？生：空间两点),,(1111z y x P、),,(2222z y x P 间的距离公式为： 22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=（由于有前面学习的基础学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=。

）师：很好！猜想是我们探索未知世界的一种重要的思维方法，但终归是猜想只有和严格的数学逻辑思维的证明，这样才算是一个完整的思维过程。

课题：2.4.3.2 空间两点间的距离公式（2）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便． 课 型： 新授课教学要求：使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用． 教学重点：空间两点的距离公式的应用． 教学难点：空间两点的距离公式的应用． 教学过程：一．复习提问：1．两点间的距离公式． 二．例题讲解：1．例题1．在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离．解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ，则P(0，0，0)，A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，0，a ）.过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．PA=PB=PC ，∴H 为∆ABC 的外心，又∆ABC 为正三角形，∴H 为∆ABC 的重心．由定比分点公式，可得H 点的坐标为)3,3,3(aa a ∴|PH|=a aaa33)30()30()30(222=-+-+-．∴点P 到平面ABC 的距离为a 33． 2．例题2．在棱长为a 的正方体ABCD -1111D C B A 中，求异面直线11CC BD 与间的距离．解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x ， y ， z)、(0，1,z a )，则由正方体的对称性，显然有x=y ．要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离．xHA BCD xyz1A 1B 1C 1D P Q H设P 在平面AC 上的射影是H ，由在∆!BDD 中，BDBH D D PH =1，所以a x a a z -=，∴x=a-z ， ∴P 的坐标为(a-z ， a-z ， z)∴|PQ|=2122)()(z z z z a -++-=2)2(2)(2221a a z z z +-+-∴当21a z z ==时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22． ∴异面直线11CC BD 与间的距离为a 22． 3．例题3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1，2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？分析：因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线． 解：设点P 的坐标为(x ， y ， z)． 点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0|PA|=5，∴5)4()2()1(222=-+-++z y x ，即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1，2，0)．点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5， ∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3．∴点P 的轨迹是圆2)1(+x 2)2(-+y =9，z=0．小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决． 三：巩固练习：1．课本139P 习题4.3 B 组 第2题2．点P 在坐标平面xOz 内，A 点的坐标为(1，3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹方程．答案：点P 的轨迹方程是2)1(-x 2)2(++z =16，y=0． 四．小结１．空间两点的距离公式的应用． 五．作业１．课本139P 习题4.3 Ｂ组 第3题课后记:。

[正解] 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1，连接 BO、OO1，可得 BO⊥AC，分 别以 OB、OC、OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵三棱柱 各棱长均为 1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12，OB＝ 23，∵A、B、C 均在坐标轴上，
∴A(0，－12，0)、B( 23，0,0)、C(0，12，0)， 点 A1 与 C1 在 yOz 平面内，A1(0，－12，1)、C1(0，12， 1)，点 B1 在 xOy 面内投影为 B，且 BB1＝1.B1( 23，0,1)， ∴各点的坐标为 A(0，－12，0)、B( 23，0,0)、C(0，12， 0)、A1(0，－12，1)、B1( 23，0,1)、C1(0，12，1)．
2．坐标 如右图所示，设点 M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的___平__面___，依次交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P、 Q 和 R.设点 P、Q 和 R 在 x 轴，y 轴和 z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z，那么点 M 就和有序实数组(x，y，z)是_一__一__对__应_ 的关系，有序实数组_(x_，__y_，__z_)叫做点 M 在此空间直角坐标 系中的坐标，记作M__(x_，__y_，__z_)___，其中 x 叫做点 M 的 _横__坐__标___，y 叫做点 M 的_纵__坐__标___，z 叫做点 M 的_竖__坐__标___.
1．下列点在x轴上的是( C ) A．(0.1,0.2,0.3)
B．(0,0,0.001)
C．(5,0,0)
D．(0,0.01,0)
[解析] x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0，故选C．
2 ． 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 点 M( － 1,2 ， － 4) 关 于 x 轴 的 对 称 点 的 坐 标 是

432 空间两点间的距离公式(一)教学目标1 •知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式3. 情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程(二)教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

(三)教学设计原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程X1 2 3+ y2 =r2表示原点或圆，得到知识上的升华，提教师引导学生作答1.解析(1) -6 ,图略(2) .70 ,图略2 .解：设点M的坐标是(0 , 0 , z).依题意，得,(0-1)2 0(Z-2)2 =、(0 -1)2(0 3)2 (z-1)2 .解得Z = -3.所求点M的坐标是(0 , 0, 43).3 .证明：根据空间两点间距离公式，得|AB .(10-4)2(-1-1)2 (6 -9)2=7|BCF ,4 —2)2 (1—4)2 (9—3)2=7 ,高学习的兴趣。

(4)如果是空间中任间一点P l (X I,y i, Z i)到点P2 (X2, y2, Z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。

得出结论：时2| =' (X -X z)2卜1 一丫2)2 (Z —Z2)2人的认识是从特殊情况到一般情况的巩固练习1 .先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：(1)A(2, 3, 5), B(3, 1 ,4)；(2)A(6, 0, 1), B(3, 5, 7)2 .在z轴上求一点M, 使点M到点A(1 , 0, 2)与点B(1 , 43 , 1)的距离相等.3 .求证：以A(10 , -1 , 6) , B(4 , 1, 9) , C(2 , 4 , 3)三点为顶点的三角形是等腰三角形•培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解| AC |=,］（10匚2）2—（二1 匚4）2—（6匚3）2 =对98 .因为 7+7 > . 98，且 |AB| = |BC|,所以△ ABC 是等腰三角形•a a 2 2a 2 2a 2 |MN =（3—3）（3"）（°一3）课外 布置作业见习案 4.3 学生独立完成练习的第二课时备选例题例1已知点A 在y 轴，点B （0，1，2）且|AB|N #5，则点A 的坐标为 _________________________ 【解析】由题意设 A （0，y ，0），则..（y -1）24 = ,5，解得：y = 0或y = 2,故点A 的坐标是（0，0，0）或（0，2，0） 例2 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（ 2）到点A （3，2,5），B （3，5，2）的距离相等，求点 P 的坐标.【解析】由题意设 P （0，y ，z ），贝Uy z = 2（0-3）2 （y-2）2 （z-5）2 =（0 -3）2 （y_5）2 （z - 2）2丄y = 1解得：丫z =1故点P 的坐标为（0， 1， 1） 例3 在yOz 平面上求与三个已知点 A （3，1，2），B （4，42，42），C（0，5，1）等距离的点的坐标.所以•可兀十厂矛一可兀旺兀厂疗■, （0 - 4）2 （y 2）2 （z 2）2 二■, （0 - 0）2 （y - 5）2 （z - 1）27y 3z -1 =0，所以厂1lz = —2/AK4•解：由已知，得点 N 的坐标为a 2a（3,3,0）点M 的坐标为（a ,a,2a ），于是3 34.如图，正方体OABD -DAB'C 的棱长为 a, |AN| =2|CN|, |BM| = 2|MC |.求 MN 的长•巩固深化 所学知识【解析】设 P （0，y ，z ），由题意|PA|=| PC||PB|=| PC|所以P的坐标是（0，1，-）.。

《空间两点间的距离公式》教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题。

【过程与方法】
通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空
间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁
移的能力。

【情感态度与价值观】
充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神。

二、教学重难点
【重点】
空间两点间的距离公式。

【难点】
一般情况下,空间两点间的距离公式的推导。

三、教学过程
(一)导入新课
思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那
么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.
(二)新课教学
(四)小结作业
布置作业：三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-
1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.
四、板书设计。

4.3.2空间两点间的距离公式一、教学目标(一)核心素养通过这节课学习,理解空间两点间距离的概念、体会平面点的距离与空间点的距离之间的关系,会用距离公式表示空间中两点间的距离,在直观想象、数学抽象中感受距离的几何意义.(二)学习目标1.了解平面两点间的距离与空间两点间的距离之间的关系.2.理解空间两点间的距离公式的概念.3.掌握用距离公式计算空间两点间的距离的方法.(三)学习重点1.不同维度下距离公式的特点.2.两点间的距离公式的含义.3.空间中两点间的距离的计算方法.(四)学习难点1.平面距离与空间距离的差别.2.距离公式的几何意义.3.建立适当的空间直角坐标系计算空间两点间的距离.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第136页至第137页,填空:在空间中,点P (x ,y ,z )到坐标原点O 的距离|OP |在空间中,P 1(x 1,y 1,z 1)与P 2(x 2,y 2,z 2)的距离|P 1P 2|(2)写一写:线段中点的坐标是什么？在空间直角坐标系中,若已知点A (x 1,y 1,z 1)与点B (x 2,y 2,z 2),则线段AB 的中点坐标是121212(,,)222x x y y z z +++. 2.预习自测1.已知空间三点的坐标为A (1,5,2-),B (2,4,1),C (p ,3,q +2),若A 、B 、C 三点共线,则p 、q 的值分别为( )A.3,2B.2,3C.3-,2D.3,2-答案：A.2.正方体不在同一平面上的两顶点为A (1-,2,1-),B (3,2-,3),则正方体的体积是()A.16B.192C.64D.48答案：C.3.点P (1,2,3)关于点Q (4,5,6)的对称点的坐标为()A.(7,8,9)B.(9,8,7)C.(5,7,9)D.(9,7,5)答案：A.(二)课堂设计1.知识回顾（1）空间一点M 的坐标可以用三元有序实数组(x ,y ,z )来表示,有序实数组(x ,y ,z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作M (x ,y ,z ).（2）点(x ,y ,z )关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(x ,y ,-z );关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为(-x ,y ,z );关于坐标平面zOx 的对称点的坐标为(x ,-y ,z ).（3）中点公式：1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点的坐标为(122x x +,122y y +,122z z +). 2.问题探究探究一 重温平面距离,认识空间距离●活动①数形结合,重温平面距离平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.【设计意图】回忆点与线段之间的关系,体会数形结合的思想.●活动②数形结合,重温平面距离设A (x ,y ,z )是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算?图1如图1,设A (x ,y ,z )是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B ,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D ,E .根据坐标的含义知,AB =z ,BD =x ,BE =OD =y ,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d 【设计意图】回忆点的投影关系,体会数形结合的思想.●活动③类比推广,认识空间距离给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性. 探究二 探究两点间的距离的计算方法●活动①类比推广,认识空间在空间直角坐标系中,空间两点之间的距离应怎样计算？由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d =212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d =212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 ●活动②类比推广,认识空间平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？图2平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 ●活动③类比推广,认识空间试根据②③推导两点之间的距离公式.如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M ,N ,则M (x 1,y 1,0),N (x 2,y 2,0),于是可以求出|MN |=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N ,垂足为H ,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H |=|MN |=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d =212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 探究三 结合实例、探究空间两点间距离的表示方法●活动①归纳梳理、理解提升例1.已知A (3,3,1),B (1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M (x ,y ,z )是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得x =213+=2,y =203+=23,z =215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得d (A ,B )=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P (x ,y ,z )到A ,B 的距离相等, 所以有等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0,因此,到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练：1.在z 轴上求一点M ,使点M 到点A (1,0,2),B (1,-3,1)的距离相等.解:设M (0,0,z ),由题意得|MA |=|MB |,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z =-3,所以M (0,0,-3).【设计意图】通过学生自主阅读与归纳,培养学生的数学抽象、归类整理意识.●活动②互动交流、初步实践例2.证明以A (4,3,1),B (7,1,2),C (5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB |,|BC |,|CA |的长,根据边长来确定.证明:由两点间距离公式得：|AB |=,72)12()31()47(222=-+-+-|BC |=6)23()12()75(222=-+-+-,|CA |=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC |=|CA |=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练2.三角形△ABC 的三个顶点坐标为A (1,-2,-3),B (-1,-1,-1),C (0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动:学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB |,|BC |,|CA |的长,利用勾股定理的逆定理来判定.证明:因为三个顶点坐标为A (1,-2,-3),B (-1,-1,-1),C (0,0,-5),所以|AB |=222)13()12()11(+-++-++=3,|BC |=23)15()10()10(222=+-++++,|CA |=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB |2+|CA |2=|BC |2,所以△ABC 是直角三角形.【设计意图】通过几何的直观性与代数的严谨性,培养数形结合的基本功.3.课堂总结知识梳理(1)空间两点间的距离公式的推导与理解.(2)空间两点间的距离公式的应用.(3)建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.重难点归纳(1)结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ,y ,z ),培养立体思维,增强空间想象力.(2)学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则,切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.(3)在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用,突出化空间为平面的解题思想.(三)课后作业基础型自主突破1.若A (1,3,-2)、B (-2,3,2),则A 、B 两点间的距离为( ) A.61B.25C.5D.57答案：C.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.=.5点拨：根据距离公式进行计算.2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3),则对角线AC1的长为( )A.9B.29C.5D.2 6答案：B.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】由已知求得C1(0,2,3),∴|AC1|＝29.点拨：根据距离公式进行计算.3.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足( )A.x＋y＋z＝－1B.x＋y＋z＝0C.x＋y＋z＝1D.x＋y＋z＝4答案：B.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】|AC|＝|BC|⇒(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2.即x＋y＋z＝0. 点拨：根据距离公式进行计算.4.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则下列说法中正确的是( )A.A、B、C三点可以构成直角三角形B.A、B、C三点可以构成锐角三角形C.A、B、C三点可以构成钝角三角形D.A、B、C三点不能构成任何三角形【知识点】两点间距离与勾股定理.【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB|＝2,|BC|＝3,|AC|＝1,∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.故构成直角三角形. 点拨：根据距离公式进行计算.答案：A.5.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x-2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为( )A.19B.-8 7C.8 7D.19 14答案：C.解析：【知识点】两点间距离与二次函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB|＝14x2－32x＋19,∴当x＝－－322×14＝87时,|AB|最小.点拨：先转化为二次函数,再求函数最值.6.点P(x,y,z)2=,则点P在( )A.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上B.以点(1,1,-1)为中心,以2为棱长的正方体内C.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上D.无法确定答案：C.解析：【知识点】两点间距离与球面公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】视为动点P (x ,y ,z )到定点(1,1,-1)的距离为2.点拨：根据几何意义进行判断.能力型师生共研7.在空间直角坐标系中,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3,-1,2),其中心M 的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________.【知识点】立方体的对称性.【数学思想】数形结合.=点拨：根据几何意义进行计算. 答案：2393.8.已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3,其中A (3,5,-7),B (-2,4,3),则z ＝________. 答案：0或-4.解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】利用中点坐标公式,则AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2,|PC |＝3,即3=,解得z ＝0或z ＝-4. 点拨：根据距离公式进行计算.探究型多维突破9.在空间直角坐标系中,已知点A (1,0,2),B (1,-3,1),点M 在y 轴上,且M 到A 与到B 的距离相等,则M 的坐标是________.答案：(0,-1,0).解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】设M 的坐标为(0,y,0),由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2,整理得6y ＋6＝0,∴y ＝-1,即点M 的坐标为(0,-1,0).点拨：根据距离公式进行计算.10.在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ,使它到点N (6,5,1)的距离最小. 答案：(1,0,0).解析：【知识点】两点距离与二次函数最值.【数学思想】数形结合.【解题过程】∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上,∴可设M (x,1-x,0).∴|MN |=≥当且仅当x ＝1时取等号,∴当点M 坐标为(1,0,0)时,|MN |min ＝51.点拨：先转化为二次函数,再求最值.自助餐1.已知A (x ,5-x ,2x -1),B(1,x +2,2-x ),则|AB |的最小值为( ) A.0 B.735 C.75 D.78 答案：B.解析：【知识点】两点距离与二次函数最值. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB |=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x =78时,|AB|的最小值为735.故正确选项为B. 点拨：先转化为二次函数,再求最值.2.已知点A (1-t,1-t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为( )B.答案：A.解析：【知识点】两点距离与二次函数最值. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB≥当t＝15时，|AB|取最小值，最小值为355.故正确选项为A.点拨：先转化为二次函数,再求最值.3.已知A(1,2,3)、B(6,5,4),到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件为_________.答案：10x＋6y＋2z-63＝0.解析：【知识点】两点间的距离公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】因为点P(x,y,z)到A、B的距离相等,=,化简得10x＋6y＋2z-63＝0,即到A、B距离相等的点P的坐标(x,y,z)满足的条件是10x＋6y＋2z-63＝0.点拨：先根据几何意义写出恒等式,再化简得到轨迹方程.4.如图所示,BC＝4,原点O是BC的中点,点A的坐标为(32,12,0),点D在平面yOz上,且∠BDC＝90°,∠DCB＝30°,面积AD的长度为_______.6.解析：【知识点】解三角形.【数学思想】数形结合.【解题过程】由题意得B (0,-2,0),C (0,2,0),设D (0,y ,z ),则在Rt △BDC 中,∠DCB ＝30°,∴BD ＝2,CD ＝23,z ＝3,y ＝-1.∴D (0,-1,3).又∵A (32,12,0),∴|AD |＝=点拨：根据距离公式进行计算.5.已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,且平面ABCD ⊥平面ABEF ,点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2).(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时,MN 的长最小.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12;(2)当a ＝22时,|MN |最短. 解析：【知识点】立方几何与二次函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ,AB ⊥BE ,∴BE ⊥平面ABCD ,∴AB 、BC 、BE 两两垂直.过点M 作MG ⊥AB ,MH ⊥BC ,垂足分别为G 、H ,连接NG ,易证NG ⊥AB .∵CM ＝BN ＝a ,∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ,∴以B 为原点,以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0. (1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12, (2)由(1)得,当a ＝22时,|MN |最短,最短为22,这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点.点拨：先转化为二次函数,再求函数最值.6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,|AB |＝|AD |＝3,|AA 1|＝2,点M 在A 1C 1上,|MC 1|＝2|A 1M |,N 在D 1C 上且为D 1C 中点,求M 、N 两点间的距离.答案：212.解析：【知识点】立方体的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知C (3,3,0),D (0,3,0),∵|DD 1|＝|CC 1|＝2,∴C 1(3,3,2),D 1(0,3,2),∵N 为CD 1的中点,∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点,∴M (1,1,2).由两点间距离公式,得|MN |＝212. 点拨：根据立方体的对称性进行计算.。

四川省岳池县第一中学高中数学必修二学案：第四章 课题：空间两点间的距离公式一、学习目标(1) 知识目标：掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算和证明。

（2）能力目标：培养观察、分析、联想的能力以及归纳概括的能力，认识新公式产生的过程和根源培养逻辑思维能力。

（3）情感目标：运用类比的办法，体验从二维空间过度到三维空间的过程，激发学习兴趣和探求知识规律的愿望培养勇于探索的精神。

二、学习重点、难点：重点：空间两点间的距离公式及应用 难点：公式的推导三、学习方法：自主探究 合作交流 四、学习思路：通过创设情景五、知识链接:空间坐标系的建立、点的坐标的确定、有关图形的特点 知识点 自学已解决的问题共性问题个别问题（预习教材 P136~ P137，找出疑惑之处） 1. 平面两点的距离公式？2. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数(,)x y 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(,,)x y z 表示出来呢？3. 建立空间直角坐标系时， 为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？ (二)、新课导学 ※ 学习探究1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？3.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22212121212()()()PP x x y y z z =-+-+-注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中121212,,,,,x x y y z z 可换位置； ⑶公式的证明充分应用矩形对角线长222a b c =++这一依据. 探究：⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离？⑵如果OP 是定长r ,那么2222x y z r ++=表示什么图形？※ 典型例题例 1 求点1(1,0,1)P -与2(4,3,1)P -之间的距离变式：求点(0,0,0)A 到(5,2,2)B -之间的距离例 2 在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是(1,2,3)A - ，(2,2,3)B -,15(,,3)22C ,求证：ABC ∆是直角三角形.※ 动手试试练 1. 在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.练 2. 试在xoy 平面上求一点，使它到(1,1,5)A -, (3,4,4)B 和(4,6,1)C 各点的距离相等.（三）、总结提升 ※ 学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球. ※ 知识拓展1. 空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22212121212()()()PP x x y y z z =-+-+- 3.空间中球心在原点的球的方程为2222x y z r ++= 八、学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 自我检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1． 空间两点(3,2,5)A -,(6,0,1)B -之间的距离是 （ ）. A ．6 B ．7 C ．8 D ．92． 在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P 的距离为30 ，则点P 为（ ）. A ．(9,0,0) B ．(-1 ,0,0) C ．(9,0,0) ,(-1 ,0,0) D ．都不是 3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB = （ ）. A ．10 B ．10 C ．38 D ．384．已知(3,5,7)A -和点(2,4,3)B -，则线段AB 在坐标平面yoz 上的射影长度为 . 5．已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2)A ,(4,2,2)B --,(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为 .九、课后作业1. 已知三角形的顶点为(1,2,3)A ,(7,10,3)B 和(1,3,1)C -.试证明A 角为钝角.2. 在河的一侧有一塔5CD m =，河宽3BC m = ，另侧有点A ，4AB m =，求点A 与塔顶D 的距离.十、学习反思。

高一数学教案 《空间中的距离》 新人教版必修2例题：1. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面，且6==AB PA ，则直线AD 与平面PBC 之间的距离为_________；2. 正方体中，棱长为1，若点F E ，分别是棱1DD BC ，的中点，则点1B 到平面ABF 之间的距离为_______；3. 棱长为1的正方体中，点O 为棱11C A 的中点，则点O 到平面11D ABC 的距离为__________；空间中的角异面直线成角：求异面直线所成的角，通常把异面直线通过找平行线（平行四边形或中位线）平移到同一个三角形中，通过解三角形求得.但要注意异面直线成角的范围是(]00900，；直线与平面成角： 范围是[]00900，，若成角为00，则直线在平面内或直线与平面平行；若成角为090，则称直线与平面垂直；若成角为()00900，，则直线与平面相交但不垂直，求解的一般方法是： ⑴确定斜线与平面的交点，即斜足；⑵经过斜线上除去斜足外任意一点做平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影（斜足与垂足连线）；⑶确定由垂线，斜线及其射影构成的直角三角形，其中斜线与射影的夹角即为直线与平面的成角；例题：1.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，090=∠BAC ，AB PA =，求直线PB 与平面ABC 所成的角；2.BMC Rt ∆中，斜边5=BM ，BM 在平面ABC 上的射影4=AB ， 060=∠MBC ，求MC 与平面ABC 所成角的正弦值；练习：1.正方体中，F E ，分别是111D A AA ，的中点，点O 是平面1BC 的中心，求：().1B A 1与平面1BD 所成的角；()EF .2与面11C A 所成的角；().3AO 与平面ABCD 所成角的正切值；AB C D EFO2.如图，⊥DC 平面ABC ，EB ∥DC ，22====DC EB BC AC ，0120=∠ACB ，点Q P ，分别是AB AE ，的中点.()PQ .1∥平面ACD ；().2求AD 与平面ABE 所成角的正弦值；平面与平面成角： 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；二面角的平面角：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角多少度，二面角就多少度；平面角为直角的二面角叫做直二面角，此时，两个平面垂直；二面角的范围：[]01800，，若成角为00，则两个平面平行或两个半平面重合；若成角为0180，则两个半平面展开成一个整平面；若成角为090，则称两个平面垂直；若成角为()001800，，则两个半平面相交但不垂直，表示方法：如果两个半平面α与β的交线为l ，则二面角的平面角可以表示成βα--l ；也可以从两个半平面α与β中各找一点B A ，，表示成B l A --；二面角B CD A --表示以CD 为交线的两个半平面ACD 与BCD 所成的角；求解二面角平面角的一般方法是：1.定义法：在二面角的棱上任取一点，以此点为垂足，在两个半平面内分别作棱的垂线，则两条垂线构成的角叫做二面角的平面角.（适合垂线很明显，两个面是同底的等腰，等边三角形，或正方形，矩形的题目）2.三垂线法：从二面角βα--l 其中一个面α内任一点P 向另一个面β引垂线PQ ，垂足为Q ，再通过点P 向二面角的交线l 引垂线PA ，垂足为A ，连QA ，则QA 为PA 在面β内的射影，则PA 与QA 的夹角即为二面角的平面角；例题：1.正方体中，求二面角D BC D --1的大小；2.已知三棱锥ABC D -的三个侧面与底面全等，且23===BC AC AB ，，求D BC A --的大小；3.四棱锥ABCD P -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱a PC PA a PD 2===，，求D BC P --的大小；4.在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠BAC ，1AA AB AC ==，点G E ，是1CC BC ，的中点，求：().1二面角G AE C --的正切值； ().2二面角E AG C --的正切值；错误！未找到引用源。