南方新课堂高考数学文科一轮总复习配套111直线

(2)直线 2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是
A.π6，π3
√B.π4，π3
C.π4，π2
D.π4，23π
直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α. 由于 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23， 因此 k＝2cos α∈[1， 3]. 设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]. 由于θ∈[0，π)， 所以 θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.
跟踪训练3 (1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点 _(_1_，__－__4_)_，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是_[_3_，__＋__∞__)_.
直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0， 令xx－＋1y＋＝30＝，0， 解得xy＝＝1－，4， ∴直线l过定点(1，－4)， ∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3， 又直线l不经过第三象限， ∴－ a－a3＋≥10，<0， 解得 a≥3.
第

二 部 分
探究核心题型
题型一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1)若直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段
有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
A.[－ 3，1]
C.－
33，1
√B.(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
D.－∞，－
33∪[1，＋∞)
如图，当直线 l 过点 B 时，设直线 l 的斜率为 k1，则 k1＝ 03－－10＝－ 3；当直线 l 过点 A 时， 设直线 l 的斜率为 k2，则 k2＝12－－01＝1，所以 要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的 斜率的取值范围是(－∞，－ 3]∪[1，＋∞).

(2)设点 A 关于直线 x＋2y＝0 的对称点为 A′，
∵已知 AA′为圆的弦， ∴A 与 A′的对称轴 x＋2y＝0 过圆心． 设圆心 P(－2a，a)，半径为 R，
则 R＝|PA|＝ －2a－22＋a－32. 又弦长 2 2＝2 |－2a－a＋1| R －d ，d＝ ， 2
2 2
2 2 3 a － 1 3 a － 1 2 2 ∴R2＝2＋ ， 4( a ＋ 1) ＋ ( a － 3) ＝2＋ . 2 2
第3讲
圆的பைடு நூலகம்程
考纲要求
考情风向标 通过分析近几年的高考试题可以看 出，对于本节内容的考查主要侧重以下
1.掌握确定圆的几何要素．
两点：(1)利用配方法把圆的一般方程转
2．掌握圆的标准方程与一般 化为标准方程，并能指出圆心坐标及半
方程. 径长；(2)求圆的方程，方法主要有配方 法、待定系数法、数形结合法等．考查
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)求经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2x－y－3＝
0 上的圆的方程；
(2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x＋2y＝0 的对称点仍在这个 圆上，且与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为 2 2 ，求圆的方程．
解：(1)方法一，从数的角度，选用标准式． 设圆心 P(x0，y0)，则由|PA |＝|PB|，得 (x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2. 又 2x0－y0－3＝0，两方程联立，得 ∴|PA |＝ 10. ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
1．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( A．x2＋(y－4)2＝25 C．(x－4)2＋y2＝25
A )
B．x2＋(y＋4)2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25

【解答过程】过点 M 且与 x 轴垂直的直线显然不合题意， 故可设所求直线方程为 y＝kx＋1，与两已知直线 l1、l2 分别交 于 A、B 两点，联立方程组
y＝kx＋1 x－3y＋10＝0 .① y＝kx＋1 2x＋y－8＝0 ，② 由①解得 xA＝3k－7 1，由②解得 xB＝k＋7 2.
D．[π4，π2)∪[34π，π)
【思路点拨】 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以 及倾斜角的取值范围，已知三角函数值的范围求角的范围， 得到 0≤α＜π，－1≤tanα＜0，是解题的关键．
【解答过程】 直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的斜率等于 －a2＋1 1，
由于 0＞－a2＋1 1≥－1， 设倾斜角为 α，则 0≤α＜π，－1≤tan α＜0， 所以34π≤α＜π. 答案：B
【温馨提示】求倾斜角取值范围的一般步骤： (1)求出斜率 k＝tanα 的取值范围； (2)利用 的取值范围；在求角过程中要特别注意 斜率是否存在．
【跟踪训练 1】直线 2xcosα－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角
的取值范围是( )
则a4＋－b3＝1 ⇒x＋y－1＝0. 若 ab＝0，则 a＝b＝0. 设 y＝kx，由－3＝k·4⇒k＝－34⇒y＝－43x， 即 3x＋4y＝0.
一 直线的倾斜角及斜率
【例 1】直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范
围是( )
A．[0，π4]
B．[34π，π)
C．[0，π4]∪(π2，π)
在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程为
.
解析：当截距为 0 时，设直线方程为 y＝kx， 则－5k＝2，所以 k＝－25， 所以直线方程为 2x＋5y＝0， 当截距不为 0 时，设直线方程为2xa＋ay＝1. 由题意，－2a5＋2a＝1，所以 a＝－21. 所以 x＋2y＋1＝0. 综上，2x＋5y＝0 或 x＋2y＋1＝0.

抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定
点，定值，探讨性问题等；三、椭圆、双曲线、抛物线综合起 来考查．一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们 都是考纲要求理解的内容．
下面几点对同学的备考必定大有裨益：
(1)直线与圆锥曲线相交的问题，牢记“联立方程，把要求
的量转化为韦达定理”，当然别忘记判别式Δ>0 的范围限制和 直线斜率不存在的情况． (2)涉及弦中点的问题，牢记“点差法”是联系中点坐标和
y1 证法三： 设点 P(x1， y1)， 直线 AP 的方程为 y＝ (x＋1)， x1＋1 y1 y＝x1＋1x＋1， 联立方程组 2 y x2＋ ＝1， 4
2 2 2 2 整理，得4x1＋1 ＋y1x2＋2y2 x ＋ y － 4( x ＋ 1) ＝0. 1 1 1
几何定义，点的坐标可以代入方程”．
(7)求最值的问题，牢记“转化为只含一个变量的目标函 数，确定变量的范围”或“考虑几何意义”． (8)存在探索性问题，牢记“利用几何性质把问题转化”， 例如转化为方程根存在的问题．
题型 1 圆锥曲线与平面向量的整合 2 y 例 1：(2012 年广东广州一模)已知椭圆 x2＋ 4 ＝1 的左、右
2 2 y y 1 2 2 2 所以 x1－ 4 ＝1，x2＋ 4 ＝1. 2 2 2 即 y2 1＝4(x1－1)，y2＝4(1－x2)． 2 4x2 － 1 4 － x x1－1 1－x2 1 2 所以 ＝ . 2＝ 2 ，即 x1＋1 x2＋1 x1＋1 x2＋1
所以 x1· x2＝1.
(2)证法一：设点 P(x1，y1)，T(x2，y2)(xi>0，yi>0，i＝1,2)， 直线 AP 的斜率为 k(k>0)， 则直线 AP 的方程为 y＝k(x＋1)，

y2－y1
其斜率 k＝ x2－x1 .
提醒：直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k0
k>0
不存在
k<0
当直线 l 的倾斜角 α∈0，π2时，α 越大，直线 l 的斜率越大；当 α∈π2，π时，α 越大， 直线 l 的斜率也越大．
4．直线方程的五种形式
0°. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 [0°，180°) ．
3．直线的斜率公式 (1)定义：把一条直线的倾斜角 α 的
正切值 叫做这条直线的斜率，常用小写
字母 k 表示，即 k＝ tanα (α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式：如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，则
考点三 直线方程的综合应用 角度 1：直线过定点问题 【例 2】 设直线 2x＋(k－3)y－2k＋6＝0 过定点 P，则点 P 的坐标为( B ) A．(3,0) B．(0,2) C．(0,3) D．(2,0)
【解析】 直线方程可化为 2x－3y＋6＋k(y－2)＝0，当 y＝2 时，x＝0，所以直线过 定点(0,2)．故选 B.
3．在△ABC 中，已知 A(5，－2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，则直线 MN 的方程为____5_x_－__2_y_－__5_＝__0_______．
【解析】 设 C(x0，y0)，则 Mx0＋2 5，y0－2 2，Nx0＋2 7，y0＋2 3. 因为点 M 在 y 轴上，所以x0＋2 5＝0，解得 x0＝－5.因为点 N 在 x 轴上，所以y0＋2 3＝0， 解得 y0＝－3.所以 M0，－52，N(1,0)，所以直线 MN 的方程为1x＋－y52＝1，即 5x－2y－5 ＝0.

图 8-4-2
解析：如图①，∵MN∥AC，NP∥AD，∴平面 MNP∥平 面 ADBC，∴AB∥平面 MNP.如图②，假设 AB∥平面 MNP，设 BD∩MP＝Q，则 NQ 为平面 ABD 与平面 MNP 的交线，∴AB ∥NQ.∵N 为 AD 的中点，∴Q 为 BD 的中点，但由 M，P 分别 1 为棱的中点，知：Q 为 BD 的4分点，矛盾，∴得不到 AB∥平 面 MNP.如图③，∵BD 与 AC 平行且相等，∴四边形 ABDC 为 平行四边形，∴AB∥CD.又∵MP 为棱的中点,∴MP∥CD.∴AB ∥MP.从而可得 AB∥平面 MNP.如图④，假设 AB∥平面 MNP，
无数个交点 1 个交点 定义 若一条直线和平面平行，则它 们没有公共点
相交
个 平行
交 点
判定定理 1 a⊄α，b⊂α，且 a∥b⇒a∥α 判定定理 2 α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质定理
a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l
(续表)
相交
定义
平面
与平 面的 平行 0
无数个交点
若两个平面平行，则它们没 有公共点
(2)若 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 体积．
2，求三棱锥 CA1DE 的
图 8-4-1
图 D34
(1)证明：如图D34，连接AC1，交A1C 于点F，则F 为AC1
的中点．
又∵在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 是 AB 的中点， 故 DF 为三角形 ABC1 的中位线，故 DF∥BC1. 由于 DF⊂平面 A1CD，而 BC1⊄平面 A1CD，
∴EF∥平面 ABC.
同理，FG∥平面 ABC. 又∵EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面 EFG， ∴平面 EFG∥平面 ABC. (2)∵平面 SAB⊥平面 SBC，且交线为 SB，

A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
2．(2021年浙江)设a∈R，那么“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分没必要要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也没必要要条件
3．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所取得的直线为( )
∵ ＋ ＝1，∴a＝ .
面积S＝－ ab＝－ · ＝
＝(b＋2)＋ ＝ ＋4
≥2 ＋4＝8.
当且仅当b－2＝ ，即b＝4时，S最小．
现在a＝－4，b＝4.故x－y＋4＝0为所求．
方式二，设所求直线方程为y－2＝k(x＋2)，显然k>0，由题意，S＝ · ＝4＋2 ≥8.
当且仅当k＝1时取等号．故x－y＋4＝0为所求直线方程．
9．解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，即方程为3x＋y＝0.
当直线不通过原点时，∵截距存在且均不为0，
∴ ＝a－2，即a＋1＝1.
∴a＝0，即方程为x＋y＋2＝0.
(2)方式一，将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴ 或 ∴a≤－1.
综上所述，a的取值范围是(－∞，－1]．
1．在空间直角坐标系中，点P(2,1,3)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－2,1,3) B．(2，－1，－3)
C．(－2，－1,3) D．(－2,1，－3)
2．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|为( )
A. B.
C. D.
①存在如此的直线，既不与坐标轴平行又不通过任何整点；