备战2018年高考数学回扣突破30练第26练极坐标与参数方程理 Word版 含答案

角度7.3 极坐标与参数方程的综合应用1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线l 的参数方程为0{x tcos y y tsin αα==+（t 为参数， α为l 的倾斜角），曲线E 的极坐标方程为4sin ρθ=，射线θβ=，4πθβ=+， 4πθβ=-与曲线E 分别交于不同于极点的三点,,A B C .（1）求证： OB OC +； （2）当7=12πβ时，直线l 过,B C 两点，求0y 与α的值. 【答案】(I) 见解析;(II) 02y =， 6πα=．试题解析：(I)证明：依题意， 4sin OA β=， 4sin 4OB πβ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 4sin 4OC πβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则4sin 4sin 44OB OC OA ππβββ⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (II) 解：当712πβ=时， B 点的极坐标为7754sin ,2,1241246πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 点的极坐标为774sin ,1241243πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为直角坐标，即()B ， )C，则直线l 的方程为0x +=， 所以02y =， 6πα=．2.已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为{(x a tcos t y tsin θθ=+=为参数，θ为倾斜角)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=. (1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)点(),0Q a ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求使2211||||QA QB +为定值的a 值. 【答案】（1）24y x = （2）14试题解析：（1）∵ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ=0，∴ρ2﹣ρ2cos 2θ﹣4ρcos θ=0， ∴x 2+y 2﹣x 2﹣4x=0，即y 2=4x ． （2）把为{x a tcos y tsin θθ=+=（t 为参数，θ为倾斜角）代入y 2=4x 得：sin 2θ•t 2﹣4cos θ•t﹣4a=0， ∴t 1+t 2=24cos sin θθ ，t 1t 2=24sin aθ- ， ∴()2221211222222212122111116cos 8sin ||||16t t t t a QA QB t t t t a θθ+-++=+== ∴当a=2时，为定值14． 3.已知直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程)； (2)设直线与曲线交于两点，求.【答案】（1）；（2）2。

第讲 参数方程)．参数方程和普通方程的互化()曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．()如果知道变数，中的一个与参数的关系，例如＝()，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系＝()，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使，的取值范围保持一致．．直线、圆和圆锥曲线的参数方程参数方程与普通方程的互化已知曲线：，＝＋ ))(为参数)，曲线：(θ为参数)．化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】 曲线：(＋)＋(－)＝，曲线：＋＝，曲线是以(－，)为圆心，为半径的圆；曲线是中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法()将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如θ＋θ＝等．()将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．() ()θ，＝θ＋θ.))()两式相除，得＝，将其代入得＝，化简得所求的普通方程是＋－＝(≠)．()由( θ＋θ)＝＋θ＝－(－θ)，＝－θ∈，得＝－.即所求的普通方程为＝－，∈．参数方程的应用(·兰州市实战考试)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为ρ＝θ.()写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；()若点坐标为(，)，圆与直线交于、两点，求＋的值．【解】()由得直线的普通方程为＋－－＝.又由ρ＝θ得圆的直角坐标方程为＋－＝，即＋(－)＝.()把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得＋＝，即－＋＝.由于Δ＝()－×＝＞，故可设、是上述方程的两实数根，所以＋＝，·＝.又直线过点(，)，、两点对应的参数分别为、，。

考点测试68 坐标系与参数方程一、基础小题1．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线答案 A解析 化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos30°，y ＝3－t sin60°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．30° B．60° C．90° D．135° 答案 D解析 将直线参数方程化为普通方程为x ＋y －1＝0，其斜率k ＝－1，故倾斜角为135°，故选D.3．在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2D ．ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2答案 B解析 ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，而点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4化为直角坐标是(2,2)，过(2,2)作圆的切线，其方程为x ＝2，即ρcos θ＝2.故选B.4．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．答案 ρcos θ＝3解析 把ρ＝6cos θ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcos θ，所以圆的普通方程为x 2＋y 2－6x ＝0，即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.5．在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．答案 4 3解析 分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x ＋y －22＝0，x 2＋y 2＝16，则圆心O 到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|－22|2＝2，半弦长为16－4＝23，所以弦长为4 3.6．在极坐标系中，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，曲线C 的方程为ρ＝2cos θ，则OA (O 为极点)所在直线被曲线C 所截弦的长度为________．答案2解析 由题意知直线OA 的直角坐标方程为x －y ＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，易知曲线C 为圆，且圆心C 到直线OA 的距离为12，故直线OA 被曲线C 所截弦的长度为21－12＝ 2. 二、高考小题7．[2014²江西高考]若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4答案 A解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.8．[2016²北京高考]在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2解析 直线与圆的直角坐标方程分别为x －3y －1＝0和x 2＋y 2＝2x ，则该圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，圆心(1,0)到直线的距离d ＝|1－3³0－1|1＋3＝0，所以AB 为该圆的直径，所以|AB |＝2.9．[2015²北京高考]在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．答案 1解析 由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3对应的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6对应的直角坐标方程为x ＋3y ＝6，由点到直线的距离公式可得所求距离为|1＋3³3－6|12＋ 32＝1. 10．[2015²广东高考]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．答案522解析 将直线l 的极坐标方程2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2化为直角坐标方程为x －y ＋1＝0，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得A 点的直角坐标为(2，－2)，从而点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|12＋ －1 2＝522. 11．[2015²湖北高考]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2 5解析 直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4得x 2＝12，即x ＝±22，则|AB |＝1＋k 2AB |x A －x B |＝1＋32³2＝2 5.12．[2015²重庆高考]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．答案 (2，π)解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2,0)，对应极坐标为(2，π)．三、模拟小题13．[2017²北京通州月考]下面直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2cos θ相切的是( ) A ．ρcos θ＝1 B ．ρsin θ＝1 C ．ρcos θ＝2 D ．ρsin θ＝2答案 B解析 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1.与x 轴平行且与圆相切的直线方程为y ＝1或y ＝－1，则极坐标方程为ρsin θ＝1或ρsin θ＝－1，所以选B.14．[2016²合肥调研]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( ) A.13 B.15 C ．－13 D ．－15 答案 D解析 ⊙C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线的距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15.一、高考大题1．[2016²全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)，因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 2．[2016²江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.3．[2016²全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.4．[2016²全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ2 2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44， 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 二、模拟大题5．[2017²郑州二检]在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin α，y ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)． (1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．解 (1)由x ＝3cos α＋sin α得x 2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1，所以曲线M 可化为y ＝x 2－1，x ∈[－2,2]，由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t ，得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 可化为x ＋y ＝t .(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点(2,3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t ，y ＝x 2－1得x 2＋x －1－t ＝0，由Δ＝1＋4(1＋t )＝0，解得t ＝－54.综上可求得t 的取值范围是－54≤t ≤5.6．[2016²广东珠海模拟]在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上一动点，试求x ＋y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．解 (1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6， 所以x 2＋y 2＝4x ＋4y －6，x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2为圆C 的直角坐标方程．所求的圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可得x ＋y ＝4＋2(sin θ＋cos θ)＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 当θ＝π4，即点P 的直角坐标为(3,3)时，x ＋y 取得最大值，为6.7．[2017²豫南九校联考]在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |²|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |²|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54. 8．[2016²安徽十校联考]已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝m ＋3t(t 是参数，m 是常数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，且点M 在曲线C 上． (1)求a 的值及曲线C 的直角坐标方程；(2)若点M 关于直线l 的对称点N 在曲线C 上，求|MN |的长．解 (1)将点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π6代入方程ρ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，得4＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3，∴a ＝4.由ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3得ρ＝2sin θ＋23cos θ， ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入化简得x 2＋y 2－23x －2y ＝0，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x －2y ＝0， (2)由x 2＋y 2－23x －2y ＝0配方得(x －3)2＋(y －1)2＝4， ∴曲线C 是圆，且圆心坐标为(3，1)．易知点M 在圆C 上，∴由点M 关于直线l 的对称点N 在圆C 上，得直线l 经过圆C 的圆心，∴⎩⎨⎧3＝－3t ，1＝m ＋3t ，∴m ＝2，这时直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝2＋3t ，消去参数t 得x ＋3y －23＝0， 易知点M 的直角坐标为(23，2)， ∴点M 到直线l 的距离为3， ∴|MN |＝2 3.9．[2016²河南三市联考]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2＋2sin β(β为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)已知射线l 1：θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π6，且射线l 1与曲线C 1交于O 、P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O 、Q 两点，求|OP |²|OQ |的最大值．解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，α)，即ρ1＝4cos α， 点Q 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，α－π6，即ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6. 则|OP |²|OQ |＝ρ1ρ2＝4cos α²4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝16cos α²⎝⎛⎭⎪⎫32sin α－12cos α＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6－4.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6， 当2α－π6＝π2，即α＝π3时，|OP |²|OQ |取得最大值，最大值为4.。

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《2018年高考数学分类汇编》：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,则a=__________．2。

【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,32⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A,B 两点，则ABC △的面积为 。

二、解答题1。

【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+。

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=。

(1）求2C 的直角坐标方程；(2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程。

2。

【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）,直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3。

【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． (1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案一、填空题1.21+2.21二、解答题1。

x 中，⊙ 的参数方程为cos ，（ 为参数）， xOy O过点 0， 2 且倾斜角为 的直线 与⊙ 交于 ， 两点．l O AB Ptl,（ 为参数），设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 ． m l l P k P Cm y , k（1）写出 的普通方程： C（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l : (co s s in ) ， 为 与 M lxC3 cosx 3、（2016 全国 I I I 卷高考）在直角坐标系s in1坐 标 原 点 为 极 点 ， 以 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ，， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线) 2 2 . 41（II ）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求|P Q |的最小值及此时 P 的直角坐标.4、（成都市 2018 届高三第二次诊断）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标2s ins in ( ) 5 2 0 ，直线的极坐标方程为 . 44（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；5、（成都市 2018 届高三第三次诊断）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是 ，直线l 的2 s in 在直线l 上.以极点为坐标原点 O ，极轴为 x 轴的4正半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度.（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点 A，求 Q A Q B 的值.6、（达州市 2017 届高三第一次诊断）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴2tx 2建立极坐标系，直线l 的参数方程为.t 2y 2 t2 2（1）若l 的参数方程中的t1 1(0, 2) l （2）若点 P， 和曲线C 交于 两点，求.7、（德阳市 2018 届高三二诊考试）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： （t 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：x.0,0l与直线 和曲线C 的交点分别为点M 和点 N （异于点O ）， 2 O N 求 的最大值.O M8、（广元市 2018 届高三第一次高考适应性统考）在平面直角坐标系x Oy4cos a 2(a 为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方y程为 ( ) .R 6C（2）设直线 与曲线 相交于 , 两点，求的值.ABC A B 轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 3 c os s inC3 0 ， 的极坐标方程为．4s in( ) 6（I ）求直线 l 和 的普通方程；C （II ）直线 l 与 有两个公共点 A 、B ，定点 P (2, 3) ，求|||| 的值．C 10、（绵阳市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是yx（1）求曲线C 的极坐标方程；C, AOB与曲线 分别交于异于原点的 A B 两点，求 的面积.（2）设l， ，若631211、（南充市 2018 届高三第二次高考适应性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1:1 ，以坐标原点O 为极点，以 轴正半轴y1x22 2(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；12C C,与曲线 ， 分别交于 A B 两点，求61 212、（仁寿县 2018 届高三上学期零诊）在平面直角坐标系xoy 中 ，圆 C 的参数方程为l3）=7． 43 t 2 (t 为参数)，以坐标原 1224 c os(3（1）求圆C 的直角坐标方程； 2（2）若 P(x, y )是直线l 与圆面 4cos( )的公共点，求 3x y的取值范围.32 0（ PQ （1）求点 的轨迹C 的直角坐标方程；3 （2）若C 上点 M 处的切线斜率的取值范围是，求点 M 横坐标的取值范围. 315、（雅安市 2018 届高三下学期三诊）在直角坐标系中，已知圆 的圆心坐标为(2,0) ，半径为CXCl（2）点 的极坐标为 1,，直线 与圆 相交于 ， ，求 PAC 的值.P l A B 235 cos16、（宜宾市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系 中，曲线C 的参数方程为xOy 5 s iny(其中参数 ).xCx 1 t c os （2）直线l 的参数方程为(其中参数 , 是常数)，直线l 与曲线 交于t RC y点，且 ，求直线l 的斜率．AB2 3 l2t ， x 2 y 4 t的极坐标方程为 4cos ．（1）写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）过点 M (1，0) 且与直线 平行的直线 交 于 A ， B 两点，求| AB | .l l C 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴x si n 2 cos ( 0) ，过点 的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为 a a2x 2 （ 为 t参数），直线 与曲线 相交于 两点. 的直线 的参数方程为2 y 42 (1)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； 2 PA PB AB 求 的值 (2)若 ,. a 1、解答：的参数方程为的普通方程为 22yl : x 0 与e O有两个交点，当| 0 0 2 |t an2 ，由直线l 与e O时，设直线l 的方程为 y x1 两个交点有，得 ，∴或，综上时，点P 坐标为 (0,0)ly 22A22为 y， 1 1 2 2③2 2k 2(1 k )x 2 2kx 1 0 2 2 ，∴，∴得121222y ④2xk 代入④得 x y 2y 0 .当点 P(0,0) 时满足方程 x y 2y 0 ，∴ AB 中点的 P2 2 2 2 y22 2 的 轨 迹 方 程 是 x， 即 xy2 22 2 2 222 2 22B (y 0 ，故点 P 的参数方程为 ，则22 2 2 2y s in2 2 0）.2、【解析】⑴将参数方程转化为一般方程l : y k x 2 112k① ②消 可得： 4k x 2 y 2 即 的轨迹方程为 4 ；P ⑵将参数方程转化为一般方程……③Cl3422x 2y2 c os解得 5y．5s in c os 10 0.4c oss in ，可得直线的直角坐标方程为y ， 2 3 c osx x 2 y 2 将曲线C 的参数方程C12 4（2）设Q(2 3cos ,2s in ) (0 ).(4 2, ) 化为直角坐标为(4, 4).4则 M.2s in( ) 103 cos s in 103.225s in ( ) 1，即 当 3 6∴点 M 到直线的距离的最大值为6 25、.316C242 2 t ) (2 2 22 2121 21121 121 2，4. s in c os2由得：2，所以 x 2 y 2 y ，所以曲线C 的直角坐标方程为： x .224 2s in， s in c oss in s in cos 2O N所以，4 4 23由于0 ，所以当时， 取得最大值：.2844cos a 2得曲线 的普通方程：C所以曲线 的极坐标方程为： 4 c os 12 C 2（2）设 , 两点的极坐标方程分别为( , ),( , ) ,661224 c os 12 0 的两根2是 C2∴ 2 3, 12121 29、解：（I ）直线 l 的普通方程为： 3 3 0， ·································································· 1 分x y因为圆 的极坐标方程为， C 63 1所以 2 4( s i n cos ) ， ··············································································· 3 分2 2所以圆 的普通方程 22 3 0 ；·························································· 4 分 C x 2 y 2 x y （II ）直线 l ： 3 3 0的参数方程为： x y3 y 3 t2代入圆 的普通方程 22 3 0 消去 x 、y 整理得： x 2 y 2 x y 2 9 17 0 ， ··········································································································· 6 分t t | | | ，| | | |，··························································································· 7 分PB tPA t 1 2|| PA | | PB |||| t | | t ||| t t | (t t ) ······························································· 8 分2 12122 12219 417 13 .··································································································· 10 分2 10、解：（Ⅰ）将 C 的参数方程化为普通方程为(x -3) +(y -4) =25，2 2 22．（Ⅱ）把 代入 6 c os 8s in ，得，6 1∴ ． ……………………………………………………………6 分A66 c os 8s in32∴ ． ……………………………………………………………8 分B31s in AOB2 1 21225 3． 4211、解：（Ⅰ）由2.3yx 2所以曲线 的普通方程为C 2.13 c os1 s i n 1，得到，化简得到曲线把 x，代入22的极坐标方程为2 cos.C 2（Ⅱ）依题意可设 A,曲线C 的极坐标方程为 2.2 261211代入C 的极坐标方程得 2 2，解得 .621.622.12）=7．根据 ρcosθ=x ，ρsinθ=y 可得：﹣y+x=7． 即直线 l 的直角坐标方程为 x．---------------------------5 分（θ 为参数），其圆心为（﹣1，2），半径r=4．----6 分5 2．---------------------8 分2∴ AB 的最小值为圆心到直线的距离 d ﹣r ，即 AB min4 c os( )13、【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为323 14 c os ( cos )∴ ， 322又∵ 2222∴圆C 的普通方程为 x 22（2）设 z，y 2x 2 3y 0 (x 1) (y 3) 4 ，22 2 2 ∴圆C 的圆心是(1, 3)3 t2 3x y 得 z t ， 代入 z 12，圆C 的半径是 ，2 3，即 x y 的取值范围是∴，∴.……10 分 2 0 14、解：（1）由，得22设，，1 1x 2 yx 2x 2, y 2y则 x ，122111 1得22，∴221,0 为圆心，1半径的半圆，如图所示，，设点处切线 的倾斜角为 lM设253 由l 斜率范围， …………7 分3 3 63 而，∴，∴ ，26 3 22M , 所以，点 横坐标的取值范围是 ． …………10 分22，，化简得圆 的极坐标方程：，:由l 得 ，y1l 的极坐标方程为.4(1,0)， （2）由 PP22 t x2直线 的参数的标准方程可写成2y 1 t2 2 2t 2) (1 t) 2 ，2 2 2 2，，.3 5 cosx Q 16、解： （1）5 s iny 的普通方程 x 22x 1t c osQ1 直线l 的普通方程 y k xy3k 0 k k 122 t ，217、（1）由2y 4 t2 又由 4cos 得 4cos ，则 的直角坐标方程为 0 ． ··············5 分2C x 2 y 22 t , x2 （2） 过点 M ( 1，0) 且与直线 平行的直线 的参数方程为l l 2 y t .2 将其代入 4 0 得 2 23 0 ，则 t t，x 2 y 2 x tt 1 2 所以| AB ||t t | (t t ) 4t t14 ． ······················································10 分2 1212(1)由 整理得= ,,(2)将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 = 得,.设两点对应的参数分别为,则有∵=,即=,解得或者(舍去),。

2018年高考数学专项训练-极坐标和参数方程1.【2017·黑龙江伊春二中期末】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．2.极坐标系中，已知圆ρ=10cos（1）求圆的直角坐标方程．（2）设P是圆上任一点，求点P到直线距离的最大值．3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．4.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=，直线l 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．5.【2017·普宁一中】已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ+ρcos θ=10，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标系，曲线C 1的参数方程为（α为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值及该点坐标．6.【2018·成都龙泉中学】在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．7.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2﹣2ρcos （θ﹣）=2．（1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设两圆交点分别为A 、B ，求直线AB 的参数方程，并利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长|AB|．8.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l的参数方程为（t 为参数），α为直线l 的倾斜角，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB|=，求l 的斜率．9.【2017·江苏高考】在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,2,8ty t x （t 为参数）,曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,22,22s y s x （s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.10.【2017·全国Ⅱ卷】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为4cos =θρ。

极坐标与参数方程专练1．(2017²江西5市联考三)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝322，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α(α是参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解析 (1)因为ρsin(θ＋π4)＝322，所以2ρ(22sin θ＋22cos θ)＝3，即ρsin θ＋ρcos θ－3＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线l 的直角坐标方程是x ＋y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －2＝sin α 所以曲线C 的普通方程是x 2＋(y －2)2＝1.(2)由(1)得曲线C 是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，又圆心(0，2)到直线l 的距离d ＝|0＋2－3|2＝22，所以直线l 与曲线C 相交，故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋22. 2．(2017²郑州预测三)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数，0<θ<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2α－2cos α＝0. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 解析 (1)由ρsin 2α－2cos α＝0，得ρ2sin 2α＝2ρcos α， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x.(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2θ－2tcos θ－1＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2cos θsin 2θ，t 1²t 2＝－1sin 2θ， |AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2θsin 4θ＋4sin 2θ＝2sin 2θ. 当θ＝π2时，|AB|取得最小值，最小值为2.3．(2017²湖南十校联考三)在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B.(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求|PA|²|PB|的值．解析 (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直线坐标为(92，332)．(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得 (cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|PA|²|PB|＝|t 1t 2|＝|8cos 2α－sin 2α|＝|8（1＋tan 2α）1－tan 2α|， 由已知得tan α＝2，故|PA|²|PB|＝403.4．(2017²武汉调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acost ，y ＝2sint (t 为参数，a>0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－2 2.(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝2时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围．解析 (1)由ρcos(θ＋π4)＝－22，得22(ρcos θ－ρsin θ)＝－22，化成直角坐标方程，得22(x －y)＝－22，即直线l 的方程为x －y ＋4＝0. 依题意，设P(2cost ，2sint)，则点P 到直线l 的距离d ＝|2cost －2sint ＋4|2＝|22cos （t ＋π4）＋4|2＝22＋2cos(t ＋π4)．当t ＋π4＝2k π＋π，即t ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d min ＝22－2.故点P 到直线l 的距离的最小值为22－2. (2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， ∴对∀t ∈R ，有acost －2sint ＋4>0恒成立， 即a 2＋4cos(t ＋φ)>－4(其中tan φ＝2a )恒成立，∴a 2＋4<4，又a>0，∴0<a<2 3. 故a 的取值范围为(0，23)．5．(2017²山西5月联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋tcos φ，y ＝3＋tsin φ(t为参数，φ∈[0，π3])，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C 的极坐标为(2，π3)，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．解析 (1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0， 故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos(π3－θ)．(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋tcos φ)2＋(3＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－23(3＋tsin φ)＝0， 整理得，t 2＋2tcos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1²t 2＝－3， ∴|MN|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1²t 2＝4cos 2φ＋12， ∵φ∈[0，π3]，∴cos φ∈[12，1]，∴|MN|∈[13，4]．。