【名校复习专用】黑龙江省哈尔滨三中2020年高考数学四模试题 文(含解析)

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2253.已知a⃗=(3,4)，|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗·b⃗ 的值是()A. 7B. 12C. 5D. 254.函数f(x)=(x+1)ln(|x−1|)的图象大致为()A. B.C. D.5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于点A，B，且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为163，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为()A. 2√3B. 2√5C. 2√10D. 2√156.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法预测7.某一算法框图如图，输出的S值为()A. √32B. −√32C. √3D. 08. 函数f(x)=3sin(ωx −π6)(ω>0)在区间[0,π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为( )A. (76,136]B. [76,136)C. (56,116]D. [56,116)9. 若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a，在R 上是单调函数，则a 的取值范围为( )A. (1,10]B. (1,+∞)C. (0,10]D. [10,+∞)10. 在三棱锥A −BCD 中，ΔBCD 是等边三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD 的距离为√3，则三棱锥A −BCD 的体积的最大值为( )A. 3√3B. 9√3C. 27D. 8111. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，当x >0时，f(x)=log 2(2x +1)，则f(−12)等于( )．A. log 23B. log 25C. 1D. −112. 如图，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C和y 轴分别交于点A ，B ，E 为准线l 上一点，且|AF|=|AB|=|AE|，则△BEF 的面积为( )A. 2√3B. 3√22C. 3√2D. 2√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanα=−34，则cos2α=______．14.设x，y满足约束条件{x−y≥1x+y≤4x≥0y≥0，则z=x−3y的取值范围为_________．15.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=2asinB，则∠A=______．16.设函数f(x)=e x(2x−3)−a2x2+ax，若函数f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设各项均为正数的数列{a n}满足4S n=(a n+1)2(n∈N∗)．(Ⅰ)求a n的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n⋅a n+1，n∈N∗，求b n的前n项和T n．18.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87919.如图，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N，SA=AD．(1)求证：SC⊥MN；(2)若SA=2，求三棱锥M−ANC的体积．20. 椭圆mx 2+ny 2=1与直线x +y =1相交于A 、B 两点，C 为AB 中点，若|AB|=2√2，O 为坐标原点，OC 的斜率为√22，求m ，n 的值．21. 已知函数f(x)=x −lnx −a(a ∈R ).(1)讨论f(x)的零点个数；(2)若g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，a ∈(1,e −1]，求g(x)的极小值ℎ(a)的值域．22. 已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)，定点A(0,−√3)，F 1、F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；(Ⅱ)设(Ⅰ)中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|⋅|F1N|．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解． 解：∵集合A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x <3}， ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：B ．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题． 利用数量积的定义即可得出． 解：∵a⃗ =(3,4)，∴|a ⃗ |=5． 又|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60°=5×2×12=5． 故选C ．4.答案：B解析：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的图象，属于基础题．可从对数的运算性质和函数的单调性取特值(或范围)入手用排除法解此题．解：当x>2时，x+1>3，ln(x−1)>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)=(x+1)ln(x−1)>0，且随着x→+∞时，f(x)→+∞，故排除A、C；当x<−1时，，x+1<0，|x−1|>2，ln|x−1|>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)<0，故排除D．故选B．5.答案：C解析：本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和离心率公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．【解得】解：由题意可得e=ca =√52，a2+b2=c2，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠AOB=2aba2−b2，设FB⊥OB，则F到渐近线y=bax的距离为d=b，即有|OB|=a，则△OAB的面积可以表示为12⋅a⋅atanθ=a3ba2−b2=163，解得a=2√2,b=√2,c=√10，则2c=2√10，故选C．6.答案：A解析：本题考查了简易逻辑推理，属于基础题．分别假设甲，乙，丙预测正确，再根据其他人预测错误逐个判断各人的名次．解：(1)若只有甲预测正确，则甲为第一名或第二名，由于乙预测不正确，故乙是第一名或第二名，于是丙为第三名，故丙预测正确，矛盾；(2)若乙预测正确，则甲预测也正确，矛盾；故而只有丙预测正确，即丙为第二或第三名，由于甲预测不正确，故而甲为第三名，于是丙为第二名，乙为第一名．故选A．7.答案：D解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3的值，由于y=sin nπ3的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336，故S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3=336×0=0，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查函数的零点存在性问题，涉及三角函数的图像及性质的应用，属于中档题目．解：∵x∈[0,π]，ω>0，，∵函数f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点， ∴π≤ωπ−π6<2π，解得76≤ω<136．故选B ．9.答案：A解析：解：若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a ，在R 上是单调函数，由y =lgx ，x >a 是增函数， 所以{a −1>01+lga ≥(a −1)a −88，当a >1时，lga −a 2+a +89>0，画出函数y =1+lga ， 以及y =a 2−a −88的图象如图： 可得，a ∈(1,10]． 故选：A ．判断函数的单调性，利用函数的单调性的性质，列出不等式，即得所求．本题主要求函数的单调性的性质，分段函数的应用，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．由题意画出图形，再由已知求出底面三角形的边长，数形结合可知，当△ABC 为等边三角形时，三棱锥A −BCD 的体积取最大值，则答案可求． 解：如图，取等边三角形BCD的中心G，过G作三角形BCD的垂线GO，截去GO=√3．则O为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，由4πR2=60π，得R2=15．即OD=√15，∴DG=√15−3=2√3．则DE=3√3，可得BC=6，过O作OF⊥平面ABC，则F为三角形ABC的外心，连接DG并延长，角BC于E，则E为BC的中点，要使三棱锥A−BCD的体积最大，则AFE共线，即△ABC为等边三角形，此时三棱锥A−BCD的高为3√3．∴三棱锥A−BCD的体积的最大值为V=13×12×6×3√3×3√3=27．故选C．11.答案：D解析：解：∵由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−x)=−f(x)，∴f(−12)=−f(12)=−log2(2×12+1)=−1．故选：D．由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−12)=−f(12)，由此可解得f(−12)的值．本题主要考察函数奇偶性的性质，属于基础题．12.答案：B解析：本题考查了抛物线的性质，三角形的面积计算，属于中档题．根据抛物线的性质，求出a值，即可计算三角形的面积．解：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x =−1．设E(−1,2a)，则A(a 2,2a)，由中点公式可得B(0,4a)，故2a 2=1，解得a =√22， 故E (−1,√2)，B(0,2√2)， ∴直线BF ：2√2x +y −2√2=0，故可得点E 到直线BF 的距离d =√2+√2−2√2|√(−2√2)2+1=√2，又|AB|=√(0−1)2+(2√2−0)2=3，∴△BFE 的面积为12×3×√2=3√22． 故选B ． 13.答案：725解析：解：∵tanα=−34，∴cos2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−9161+916=725， 故答案为：725．利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要求的式子，可得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．14.答案：[−2,4]解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x −y ≥1x +y ≤4x ≥0y ≥0作出可行域如图，联立{x +y =4x −y =1，解得A(52,32)， 联立{y =0x +y =4，解得B(4,0)， 由图可知，当目标函数z =x −3y 过A 时，z 有最小值为−2；当目标函数z =x −3y 过B 时，z 有最大值为：4．故答案为：[−2,4]．15.答案：π6解析：解：∵b =2asinB ，∴sinB =2sinAsinB ，∵sinB ≠0，∴sinA =12，∵A 为锐角，∴A =π6， 故答案为：π6根据正弦定理即可求出．本题考查了正弦定理，以及解三角形，属于基础题． 16.答案：(0,1)解析：解：函数f(x)=e x (2x −3)−a 2x 2+ax ，∴f′(x)=e x (2x −1)−ax +a ，若要使f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，只需f′(x)=0在(−∞,1)内有两个解，可转换为函数g(x)=e x (2x −1)与ℎ(x)=a(x −1)的图象在(−∞,1)内有两个交点，由g′(x)=e x (2x +1)知，当x ∈(−∞,−12)时，g′(x)<0，函数g(x)在(−∞,−12)上为减函数;当x ∈(−12,1)时，g′(x)>0，函数g(x)在(−12,1)上为增函数，当直线ℎ(x)=a(x −1)与曲线g(x)=e x (2x −1)相切时，设切点坐标为(x 0,y 0)，由导数的几何意义可以得到{e x 0(2x 0+1)=ay 0=e x 0(2x 0−1)y 0=a(x 0−1)，解得x 0=0或x 0=32(不合题意，舍去)，可知a =e 0(2×0+1)=1，由图象可知，g(x)与ℎ(x)的图象在(−∞,1)内有两个交点，则a 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1)．本题考查了利用函数的导数判断函数极值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)4S n =(a n +1)2(n ∈N ∗)，n =1时，4a 1=4S 1=(a 1+1)2，解得a 1=1，当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=(a n +1)24−(a n−1+1)24，整理可得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，因为数列{a n }各项均为正数，a n −a n−1=2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以{a n }的通项公式为a n =2n −1；(Ⅱ)由b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1．解析：(Ⅰ)由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算x=1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，近视不近视合计长时间使用手机651075不长时间使用手机101525合计7525100由表中数据，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841，∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值；(3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：(1)证明：由已知，得DC⊥SA，DC⊥DA，又SA∩DA=A，SA，DA⊂平面SAD，∴DC⊥平面SAD，∵AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA =AD ，M 是SD 的中点，∴AM ⊥SD ，又AM ⊥DC ，SD ∩DC =D ，DC ⊂平面SDC ，∴AM ⊥平面SDC ，又SC ⊂平面SDC ，∴SC ⊥AM ．由已知SC ⊥AN ，则SC ⊥平面AMN ．∵MN ⊂平面AMN ，∴SC ⊥MN ；(2)解：由题意可知，在Rt △SAC 中，SA =2,AC =2√2,SC =2√3，由SA ⋅AC =SC ⋅AN ，可得AN =√22√3=√2√3， 则CN =2−AN 2=4√33，∴CN SC =4√332√3=23， 故三棱锥M −ANC 的体积V =12V D−ANC =12V N−ACD =12×23V S−ACD =(13)2×12×2×2×2=49．解析：(1)由已知利用线面垂直的判定可得DC ⊥平面SAD ，得到AM ⊥DC.再由已知得到AM ⊥SD ，可得AM ⊥平面SDC ，从而得到SC ⊥AM ，结合SC ⊥AN ，利用线面垂直的判定可得SC ⊥平面AMN.则SC ⊥MN ； (2)由已知求解三角形得到AN ，进一步求得CN ，得到CN SC =23，然后利用等积法求三棱锥M −ANC 的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 20.答案：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将A ，B 点坐标代入方程得：mx 12+ny 12=1，mx 22+ny 22=1，两式相减得：m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，{x 1+x 2=2x 0y 1+y 2=2y 0， mx 0+ny 0⋅y 1−y0x 1−x 0=0， ∴mx 0+ny 0k OC =0，m =−ny 0x 0⋅k OC =−n ×√22×(−1)=√22n ，即n =√2m ，∴椭圆mx 2+√2my 2=1联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +1，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0， x 1+x 2=√2√2+1，x 1x 2=√2m−1√2+1，2√2=|AB|=√2⋅(6√2√2+1)−49√2m−1√2+1，解得m =13,n =√23．解析：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由点差法得m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，得n =√2m ，椭圆mx 2+√2my 2=1，联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +3，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0，由椭圆弦长公式能求出m ，n 的值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和椭圆弦长公式的合理运用． 21.答案：解：(1)因为f(x)=x −lnx −a ，所以f′(x)=1−1x =x−1x ，则当x ∈(0,1)时，f′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)min =f(1)=1−a ．①当a <1时，f(x)无零点；②当a =1时，f(x)有一个零点； ③当a >1时，因为f(e a )=e a −2a >0，f(1e )=1e>0，f(1)=1−a <0，所以f(x)有两个零点． (2)因为g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，所以g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a ．由(1)可知当a ∈(1,e −1]时，f(x)有两个零点x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，同时x 1，x 2也是F(x)=e x−a −x 的两个零点，且在定义域内f(x)与F(x)的符号完全相同， 所以g(x)在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，所以g(x)的极小值为ℎ(a)=g(x 2)=e x 2−a −x 2lnx 2+(1−a)x 2．因为x 2满足e x 2−a −x 2=0，所以a =x 2−lnx 2，则ℎ(a)=g(x 2)=x 2−x 2lnx 2+(1−x 2+lnx 2)x 2=2x 2−x 22． 因为a =x 2−lnx 2∈(1,e −1]，所以x 2∈(1,e]，所以ℎ(a)=g(x 2)∈[2e −e 2,1)．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题，(1)求出f′(x)=1−1x =x−1x ，判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后判断零点的个数．(2)通过g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，求出g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a.通过函数的零点与函数的单调性转化求解即可．22.答案：解：(1)圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)， ∴普通方程为C ：x 24+y 23=1，A(0,−√3)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，k AF 2=√3，直线l 的方程为y =√3(x +1)，∴直线l 极坐标方程为：ρsinθ=√3ρcosθ+√3，化为2ρsin(θ−π3)=√3．(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t(t 为参数)， 代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，∴t 1t 2=−125．∴|F 1M|⋅|F 1N|=|t 1t 2|=125．解析：(1)利用cos 2θ+sin 2θ=1可得曲线C 的普通方程，即可得出焦点坐标，得到直线l 的点斜式方程，化为极坐标方程即可；(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t (t 为参数)，代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，利用参数的意义即可得出．本题考查了直线的直角坐标方程化为极坐标、椭圆的参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1．不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1， 解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m ≥3，n ≥3，所以f(m)+f(n)=|m −3|+|n −3|=m −3+n −3=3， 即m +n =9．所以1m +4n =19(m +n)(1m +4n )=19(1+4+n m +4m n )≥19(5+2√n m ⋅4m n )=1，当且仅当n m =4m n ，即m =3，n =6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，说明x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，求出a ，然后转化不等式f(x)<2f(x +1)−1为|x −3|<2|x −2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m +n =9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。

2020届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)一、选择题1.设集合{}30A x x =-<,集合{}220B x x x =--≤,则A B =（ ）A. (),2-∞B. (),3-∞C. (]1,2-D. []1,2-【答案】B 【解析】先解不等式得集合A,B,再根据并集定义求结果. 【详解】{}30(,3)A x x =-<=-∞,{}220(1,2)B x x x =--≤=-(,3)A B ∴=-∞故选：B2.复数z 的共轭复数为z ,且满足5z z ⋅=,则复数z 的模是（ ）A. 1B. 2 D. 5【答案】C 【解析】根据复数、共轭复数和复数模的概念,即可求出结果. 【详解】设复数z a bi =+,则z a bi =-, 又5z z ⋅=,所以225a b +=,又z =,所以复数z 故选：C.3.已知向量()3,2m =,()4,n x =,若m n ⊥,则x =（ ） A. －6B. 83-C. 83D. 6【答案】A 【解析】由题得3420m n x ⋅=⨯+=,解方程即得解. 【详解】因为m n ⊥, 所以3420m n x ⋅=⨯+=, 所以6x =-. 故选：A.4.中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ,信道内信号的平均功率S ,信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W ,而将信噪比SN从1000提升至4000,则C 大约增加了（ ）附：lg 20.3010≈ A. 10% B. 20% C. 50% D. 100%【答案】B 【解析】根据题意,计算出22log 4000lg 400032lg 2 3.60201.2log 1000lg100033+==≈≈即可. 【详解】当1000S N=时,2log 1000C W =,当4000SN =时,2log 0004C W =因为22log 4000lg 400032lg 2 3.60201.2log 1000lg100033+==≈≈ 所以将信噪比SN从1000提升至4000,则C 大约增加了20% 故选：B5.若,x y 满足约束条件1215y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩,则3z x y =-的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 11D. 14。

数学试卷（理工类）第1页共8页2020年高三学年第四次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.设集合{}03<-=x x A ,集合{}022≤--=x x x B ,则=⋃B A A.()2,∞- B.()3,∞- C.(]2,1- D.[]2,1-2.复数z 的共轭复数为z ,且满足5=⋅z z ,则复数z 的模是A.1B.2C. D.53.已知向量m )2,3(=,n ),4(x =,若m ⊥n ,则=x A.6- B.38- C.38 D.6数学试卷（理工类）第2页共8页4.中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ,信道内信号的平均功率S ,信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中S N叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W ,而将信噪比S N从1000提升至4000,则C 大约增加了附：3010.02lg ≈A.10% B.20% C.50% D.100%5.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥5121y x x y y ,则y x z -=3的最大值为A.2B.4C.11D.146.函数x x x x x f -++=55sin 5)(3的图象大致为C DAy o x 1－1o xy1－1B o x y 1－1o xy1－1。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1} B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2B ．5C ．2D ．53．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 56．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩…在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．211．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，()f x =13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= ．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 ．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B = ．16．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（12分）设直线:AB y =与直线:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅【解答】解：Q 集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}， {0A B ∴=I ，1}．故选：B ． 2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2 B ．5 C ．2 D ．5【解答】解：22(2)12i i iz i i i++===-，则22||1(2)5z =+-=， 故选：B ．3．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【解答】解：Q ||1,||2,3a b a b ===r rr r g， ∴3cos ,a b <>=r r ，且0,a b π<>rr 剟，∴向量,a b r r 的夹角为6π．故选：A ．4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当12a =时，12(),()f x x g x log x ==，选项B 符合． 故选：B ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 5【解答】解：双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0)F ，F 到渐近线520x y +=的距离35554FA ==+则222352AO OF FA =--=． 则1152522OAF S FA OA ∆==g 故选：D ．6．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【解答】解：模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i = 满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i = 满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i = 此时，不满足条件100i <，退出循环，可得(12)(34)(56)(99100)50S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数， 所以2πϕ=，()cos f x x ω=；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 则()f x 在[0，2)π内的零点个数为3个． 故选：C ．9．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]【解答】解：要使得函数2,01(),1aa x x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞上为增函数，则满足120a a >⎧⎨-⎩„，故12a <„；则a 的取值范围为(1，2]． 故选：C ．10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．11．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解答】解：()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)(1)f x f x f x ∴+=-=--，则(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，则函数的周期是4，[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+()f x 在[1-，1]上为增函数，1333333(log 54)(log 54)(3log 2)(3log 24)(log 21)(1log 2)f f f f f f =-=-+=-+-=--=-，20191111()(10081)(1)(1)()22222f f f f f =++=+=-= f （3）(34)(1)f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， 31(1)()(1log 2)2f f f ∴-<<-，即c b a <<， 故选：C ．12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED∆的面积为2，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设2(4b B ，)b ，(D D x ，0)，由题意可得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，所以可得(1,)C b -，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得2(4E b x -，1)(12E E y b x -=-，)E y -，可得226E b x +=，23E b y =，即22(6b E +，2)3b ，因为C ，E ，D 三点共线，可得CDCE k k =，即2232116Db bb b x -=+----， 可得232D b x =+，因为BED ∆的面积为22，所以3213(1)22BFD BED D S S x b ∆∆===-g ，即34620b b +-=，可得2b =， 所以2(2)34D x =+=，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= 45- ．【解答】解：tan 3α=-Q ，2222221194cos21195cos sin tan cos sin tan ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 9 ．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9． 故答案为：9．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =45． 【解答】解：因为4sin 5sin c B b A =， 由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =， 因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =，由余弦定理可得，22222225941616cos 5254a a a a c bB aca α+-+-===g g ．故答案为：4516．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 21(e -，0) ． 【解答】解：()2x f x xe ax =-+在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则()(1)0x f x x e a '=+-=在(,0)-∞的区间内有两个解，即(1)x a x e =+在(,0)-∞的区间内有两个解，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，易得，当(,2)x ∈-∞-，()0g x '<，函数单调递减，当(2,0)x ∈-，()0g x '>，函数单调递增， 又x →-∞时，()0g x <，且21(2)g e-=-， 故210a e -<<， 故答案为：21(e -，0) 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ． 【解答】解：（1）证明：11323n n n a a ++=+⨯， 可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则12(1)21n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得(21)3n n a n =-g，*n N ∈； （2）2113521(121)2n S n n n n =+++⋯+-=+-=，2(1)(1)n n n n c S n =-=-g g ，22222222801234567980(21)(21)(43)(43)(65)(65)(8079)(8079)T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+1123456798080(180)32402=++++++⋯++=⨯⨯+=．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．)【解答】解：（1）由频率分布直方图知，(20.10.20.1)21a a a +++++⨯=，解得0.025a =，计算200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计这批树苗的平均高度为25.5cm ；（2）优质树苗有1200.2530⨯=，根据题意填写列联表，A 试验区B 试验区合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计7050120计算观测值2120(10306020)7210.2910.828309070507K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．【解答】（1）证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M =Q I ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD ⊂Q 平面DMB ，PA BD ∴⊥；（2）解：由（1）知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形PAB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =，又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．∴1223232DBM S ∆=⨯⨯=． 则118323433P ABD BDM V S PA -∆=⨯⨯=⨯⨯=．∴1632P ABCD P ABD V V --==．20．（12分）设直线6:AB y =与直线6:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD 6 （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．【解答】解：（1）由22612y x y m m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223214x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴6||||m x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由椭圆的对称性可知，四边形ACBD 64||||6x y m ==g，1m ∴=， 故椭圆1C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，点P 为椭圆1C 的左或右顶点，其坐标为())2,02,0-或，不妨取左顶点，即(2,0)P -，此时||2OP =，且直线l 与x 轴垂直，将2x =-代入22142x y +=得，21y =，||2MN ∴=， 所以||22MN OP ==②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，点P 的坐标为0(x ，0)y ，M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=， Q 直线l 与椭圆1C 相切，∴△2222164(12)(22)0k m k m =-+-=，化简整理得，2221m k =+，由韦达定理知，2220222241212m k x k k -==++， ∴222222200022214||2212x x k OP x y x k-++=+=+==+， 联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4240k x kmx m +++-=，由韦达定理知，12221224122412km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12|||MN x x =-===，∴2222222218||1112()888314||144112k MN k k k OP k k k +++===++-++g g g „，当且仅当20k =时，等号成立，∴||||MN OP ∈ 综上所述，||MNOP的取值范围为(0,． 21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >． 【解答】解：（1）当0x =时，(0)2f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2x e a x=，设2()xe g x x=，22(1)()x e x g x x -∴'=， 当1x <且0x ≠时，()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞，(0,1)上单调递减， 当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(1,)+∞上单调递递增， 当1x =时，()g x g =极小值（1）2e =，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点，即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点． （2）证明：当0x =时，(0)2(0)4f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224xe ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a Q …，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >，只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设2()22x h x e x x =-+-，0x >， ()22x h x e x ∴'=--，令()22x x e x ϕ=--，0x >， ()2x x e ϕ∴'=-，∴当2x ln >时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在(2,)ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ在(0,2)ln 上单调递减， ()(2)220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()(0)10x g ϕ<=-<Q ，ϕ（1）40e =-<，ϕ（2）260e =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0000()()220x h x x e x ϕ'==--=， ∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，0220000()()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a „时，当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），消去参数t 可得普通方程：x y m -=．曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．可得曲线C 的直角坐标方程：22222()()12x y x y +--=，∴曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为(22,0)-，故m =-C 的方程221124x y +=．（2）直线l的参数方程为x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12||||||2FA FB t t ''==g ，12||||||FA FB t t ''+=-= 故2||||(||||)24||||||||FA FB FA FB FB FA FB FA ++=-=g ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．【解答】解：（1）1111()()|||||()|2222f x f x x x x x +-+=-+--+-=…，当且仅当1()02x x -„时等号成立，()f x Q 对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…，∴12m „，m ∴的取值范围为1(,]2-∞．（2）由（1）知，12m „，又m N ∈，0m ∴=． 要证22(sin )(cos 1)f f m αα-+„，即证22(sin )(cos 1)0f f αα-+„， 222211(sin )(cos 1)|sin ||cos |22f f αααα-+=--+Q2222212sin 2,sin 1112|sin |cos 1221,0sin 2ααααα⎧-⎪⎪=---=⎨⎪-<⎪⎩剟„，当21sin 12α剟时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-„； 当210sin 2α<„，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-， 综上，22(sin )(cos 1)0f f αα-+„，∴原命题成立．。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={2,5，9}，B={x|x=2m−1,m∈A}，则A∪B=()A. {2,3，5，9，17}B. {2,3，5，17}C. {9}D. {5}2.若z是复数，z=1−2i1+i.则z⋅z.=()A. √102B. √52C. 1D. 523.已知向量a⃗=(−5,6)，b⃗ =(6,5)，则a⃗与b⃗ ()A. 平行且同向B. 不垂直也不平行C. 垂直D. 平行且反向4.下列命题中正确的是()A. 若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题B. 命题“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x≠1或x≠−1”C. 命题p为“存在x∈R使得x02+x0+1<0”，则￢p为“任意x∉R，都有x2+x+1≥0D. “x<1”是“x2−5x+4>0”的充分不必要条件5.已知实数x,y满足约束条件{x−y+1≥03x−y−3≤0y≥0，则z=2x+y的最大值为()A. 8B. 7C. 2D. −16.将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向右平移π12个单位长度后得到的图象的一条对称轴是()A. x=π4B. x=3π8C. x=5π12D. x=7π247.函数y=x33x−1的图象大致是()A. B.C. D.8.直线y=kx+3与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2√3，则k的取值范围是()A. [−34,0] B. [−∞,−34]∪[0,+∞]C. [−√33,√33] D. [−23,0]9.已知a>0，b>0，且满足ab=a+b+3，则a+b的最小值是()A. 2B. 3C. 5D. 610.中国的5 G技术领先世界，5 G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了()附：lg2≈0.3010A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 4B. 3C. 2D. 112. 已知f(x)=ax 2−x +1在区间[−1,2]内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. {14}B. (−2,14)C. [−2,14]D. (−2,14] 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f(x)=(x +1)(x +a)x 4为R 上的偶函数，则a =________．14. 已知sinα=23，则cos(π−2α)=______．15. 书架上有2本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为______ ．16. 设A 、B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点，点P 在C 上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为−13，则C 的离心率为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 3=6，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n ，求数列a n +b n 的前n 项和S n ．18.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．(Ⅰ)证明平面PDC⊥平面ABCD；(Ⅱ)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．19.下表数据为某地区某基地某种农产品的年产量x(单位：吨)及对应销售价格y(单位：万元/吨)．x123y543(1)若y与x有较强的线性相关关系，请用最小二乘法求出y关与x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)若每吨该农产品的成本为1万元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润z最大？最大利润是多少？参考公式：b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(n x−x)2=n i=1i i)−nxy∑x2n−nx2，â=y−b̂x．20.如图，在平面直角坐标系x，圆E：x2a2+y2b2(ab>0)的离心率为√22直线l：y=12与椭圆E相交，B两点，AB=4√5，C，D是椭圆上异于A，点且直线AC，相于点M，直线AD，B相交于点．求证：直线M的率定值．21. 设函数f(x)=x 2+ax −blnx ，若函数f(x)在x =1处与直线y =2相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求实数f(x)在[1e ,e]上的最大值．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C3与曲线C2相交于M，N两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合A ={2,5，9}，B ={x|x =2m −1,m ∈A}={3,9，17}，∴A ∪B ={2,3，5，9，17}．故选：A ．分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.答案：D解析：解：由z =1−2i 1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−3i 2=−12−32i ， 得z .=−12+32i ，则z ⋅z .=(−12−32i)⋅(−12+32i)=52．故选：D ．由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z .，然后代入z ⋅z .计算得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3.答案：C解析：解：∵向量a ⃗ =(−5,6)，b ⃗ =(6,5)，∴a ⃗ ⋅b⃗ =(−5)×6+6×5=0， ∴a ⃗ ⊥b ⃗ ．故选：C ．利用向量垂直的性质求解．本题考查两个平面向量的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题． 4.答案：D。

2020年高三学年第四次高考模拟考试数学试卷（文史类）一、选择题1.设集合{}30A x x =-<，集合{}220B x x x =--≤，则A B =（ ）A. (),2-∞B. (),3-∞C. (]1,2-D. []1,2-【★答案★】B 【解析】 【分析】先解不等式得集合A,B ，再根据并集定义求结果. 【详解】{}30(,3)A x x =-<=-∞,{}220(1,2)B x x x =--≤=-(,3)A B ∴=-∞故选：B【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.复数z 的共轭复数为z ，且满足5z z ⋅=，则复数z 的模是（ ） A. 1B. 25 D. 5【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数、共轭复数和复数模的概念，即可求出结果. 【详解】设复数z a bi =+，则z a bi =-， 又5z z ⋅=，所以225a b +=， 又22z a b =+z 5故选：C.【点睛】本题主要考查了复数、共轭复数和复数模的概念，属于基础题. 3.已知向量()3,2m =，()4,n x =，若m n ⊥，则x =（ ） A. 6-B. 83-C. 83D. 6【★答案★】A 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于x 的等式，进而可求得x 的值.【详解】()3,2m =，()4,n x =且m n ⊥，则3421220m n x x ⋅=⨯+=+=，解得6x =-. 故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题. 4.下列命题错误的是（ ）A. 若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题B. 命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C. 若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D. “1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件 【★答案★】B 【解析】 【分析】由复合命题的真假结合充分条件，必要条件的概念可判断A ，B ，D ，由命题否定的概念可判断C.【详解】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确； 故选：B.【点睛】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.5.若x 、y 满足约束条件1215y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 11D. 13【★答案★】C 【解析】 【分析】化直线方程为斜截式得3y x z =-，作出不等式组所表示的可行域，平移直线3y x z =-，找出使得该直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】化目标函数为直线的斜截式方程得3y x z =-，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立150y x y =⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩，即点()4,1A ，平移直线3y x z =-，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线3y x z =-在y 轴上的截距最小，此时z 取最大值，即max 34111z =⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.6.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴可以是（ ） A. 6x π=B. 3x π=C. 712x π=D. 512x π=【★答案★】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，然后利用代入检验法可得出函数()y g x =的图象的一条对称轴方程.【详解】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，则()sin 2sin 2333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， sin 006g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，3sin 332g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，751sin 1262g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5sin 1122g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因此，函数()y g x =的图象的一条对称轴可以是512x π=. 故选：D.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数图象的对称轴方程，考查计算能力，属于基础题.7.函数()35sin 55x xx x f x -+=+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【★答案★】A 【解析】 【分析】根据(0)0f =排除选项,C D ，再根据()10f >确定★答案★. 【详解】由题得()000055x xf -+==+，所以排除选项,C D . 由题得()3115sin111055f -+=>+，所以选A. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根据函数的解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.直线y x m =+与圆22:16O x y +=相交于M 、N 两点，若23MON π∠≥，则m 的取值范围是（ ）A. []22-,B. []4,4-C. 22,22-⎡⎣D.0,22⎡⎤⎣⎦【★答案★】C 【解析】 【分析】由23MON π∠≥，可得出圆心到直线y x m =+的距离d 满足4cos 3d π≤，由此可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围.【详解】由题意可知，圆O 是圆心为坐标原点，半径4r =的圆，直线方程为0x y m -+=，圆心O 到直线0x y m -+=的距离为d =，由于23MON π∠≥，4cos 23d π∴≤=，2≤，即m ≤解得m -≤≤因此，实数m 的取值范围是-⎡⎣.故选：C.【点睛】本题考查利用直线截圆所对的圆心角求参数，一般将问题转化为弦心距来求解，考查计算能力，属于中等题.9.若正实数a 、b 满足112a b+=ab 的最小值为（ ）B.C. 4D. 8【★答案★】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可得出关于ab 的不等式，即可解得ab 的最小值.112a b =+≥，2≥，解得ab ≥.当且仅当2a b =时，等号成立，因此，ab . 故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题. 10.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg20.3010≈A. 10%B. 20%C. 50%D. 100% 【★答案★】B【解析】【分析】根据题意，计算出22log4000lg400032lg2 3.60201.2log1000lg100033+==≈≈即可.【详解】当1000SN=时，2log1000C W=，当4000SN=时，2log0004C W=因22log4000lg400032lg2 3.60201.2log1000lg100033+==≈≈所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%故选：B【点睛】本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题.11.已知正方体1111ABCD A B C D-的外接球的体积为43π，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的体积为（）234383163【★答案★】C【解析】 【分析】根据三视图可知：该几何体为一个正方体截去四个三棱锥剩余部分，然后根据正方体1111ABCD A B C D -的外接球的体积为43π，求得球的半径，再根据正方体的棱长与球的半径之间的关系，求得棱长，利用柱体和锥体的体积公式求解.【详解】由三视图可知：该几何体为正方体1111ABCD A B C D - 截去三棱锥111A A B D -和三棱锥1D ACD -和三棱锥111C B C D -和三棱锥1B ABC -剩余部分，如图所示：设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ， 因为正方体1111ABCD A B C D -的外接球的体积为43π， 所以34433R ππ=， 解得1R =， 因为23R a =，解得23a =所以V 几何体= 111111111111ABCD A B C D A A B D C B C D D ACD B ABC V V V V V --------- =3331114323a a a -⨯⨯⨯=3123833327⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12.定义：()(){}N f x g x ⊗表示()()f x g x >的解集中整数的个数.若()()2log 1f x x =--，()()232g x a x =--，且()(){}2N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)22log 3,-+∞ B. ()22log 3,2- C. (]22log 3,2- D. [)22log 3,2-【★答案★】D 【解析】 【分析】利用对数函数的图象经过平移翻折变换得到()f x 的图象，同时画出()g x 的图象，由图象观察可知a 所满足的条件，解之即得.【详解】将2y log x =的图象向右平移一个单位得到()21y log x =-的图象，再将x 轴上方图象部分向下翻折对称，得到()()21f x log x =--的图象如图所示，注意到()()()()20,31323f f g f ==-=-<，,结合函数()g x 的对称性可知，为使()()f x g x >的解集中整数的个数为2（整数解只能是2和3），必须且只需()20g <,且()()44g f ≥，即20a -<且223,a log a -≥-∴的取值范围是[)22log 3,2-. 故选：D.【点睛】本题考查新定义型函数运算，不等式的整数解的个数问题，涉及函数的图象的平移和翻折变换，二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，数形结合思想，属中档题. 二、填空题13.已知函数()()4213f x x x a x =-+-+为偶函数，则2a =______.【★答案★】2 【解析】 【分析】首先根据()()f x f x -=得到1a =，再计算2a 即可. 【详解】因为()f x 为R 上偶函数，所以()()f x f x -=. 即()()()()42421313x x a x x x a x -----+=-+-+， 解得1a =，故22a =. 故★答案★为：2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于简单题. 14.已知4sin 5α，则()cos 2πα-=______. 【★答案★】725【解析】 【分析】由诱导公式和二倍角公式可得()2cos 2cos22sin 1πααα-=-=-，将条件代入可得★答案★.【详解】由4sin 5α()2247cos 2cos 22sin 121525πααα⎛⎫-=-=-=⨯-= ⎪⎝⎭故★答案★为：725【点睛】本题考查诱导公式和余弦的二倍角公式，属于基础题.15.我国在北宋年间（公元1084年）第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰，哈三中图书馆中正好有这十本书，但是书名中含有“算”字的书都已经借出，现在小张同学从剩余的书中任借两本阅读，那么他借到《数书九章》的概率为_______. 【★答案★】25【解析】 【分析】首先根据题意列出全部基本事件，并求出借到《数书九章》的基本事件个数，再利用古典概型公式计算即可.【详解】设《议古根源》，《测圆海镜》，《益古演段》，《四元玉鉴》分别为,,,A B C D ， 《数书九章》为m .从5本书中选2本书共有：AB ，AC ，AD ，Am ，BC ，BD ，Bm ，CD ，Cm ，Dm ，共10个基本事件.借到《数书九章》共有4个基本事件，故概率为25. 故★答案★为：25【点睛】本题主要考查古典概型，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 16.已知直线l 为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于,P Q 两点，点B 为椭圆上异于,P Q 的任意一点，若直线BP 和BQ 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】 【分析】首先设(),B x y ，()P m n ,，(),Q m n --，根据14BP BQk k ⋅=-得到222214y n x m -=--，根据B ，P 在椭圆C 上，得到2214b a =，再计算离心率即可.【详解】由题知：设(),B x y ，()P m n ,，(),Q m n --. 则BP y n k x m -=-，BQ y n k x m+=+. 因为14BP BQk k ⋅=-，所以222214y n y n y n x m x m x m -+-⋅==--+-. 又因为B ，P 在椭圆C 上，所以22221x y a b +=，22221m n a b +=，两式相减得2222220x m y n a b --+=，即222222y n b x m a-=--. 所以2214b a -=-，即2214b a =.则e ====【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法，同时考查学生的计算能力，属于中档题. 三、解答题17.已知在递增等差数列{}n a 中，11a =，3a 是1a 和9a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若112n an n n b a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【★答案★】（1）n a n =；（2）11211n n S n +=--+. 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >，根据题意得出关于d 的方程，求得d 的值，利用等差数列的通项公式可求得n a ； （2）求得()1112211nn n bn n n n =+=+-++，利用分组求和法、裂项相消法以及等比数列求和公式可求得n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >，3a 是1a 和9a 的等比中项，2319a a a ∴=⋅，()()212118d d ∴+=⋅+，整理得20d d -=，解得1d =，因此，()()11111n a a n d n n =+-=+-⋅=；（2）()1112211nn n b n n n n =+=+-++，123111111121222223341n n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-++-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12312121112222112111211nn n n n n +-=+++++-=+-=--+-++.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项相消法与分组求和法，考查计算能力，属于基础题.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，且PA PD ⊥，点N 为BC 的中点.（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 和平面PAD 所成的角为45，求直线PN 与平面PCD 所成角的正弦值.【★答案★】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）推导出AB ⊥平面PAD ，可得出PD AB ⊥，再由PA PD ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出PD ⊥平面PAB ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取AD 中点O ，连接PO ，NO ，取PD 中点M ，连接OM ，由AB ⊥平面PAD ，可得出直线PB 和平面PAD 所成的角为APB ∠，计算出AB 、AD ，推导出PO ⊥平面ABCD ，计算出PN ，计算出点N 到平面PCD 的距离为d ，进而可得出直线PN 与平面PCD 所成角的正弦值为dPN. 【详解】（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，AB平面ABCD ，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥，又PA PD ⊥，且PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，PA AB A =，PD ∴⊥平面PAB ， 又PD ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ；（2）取AD 中点O ，连接PO 、NO ，取PD 中点M ，连接OM ，由（1）知AB ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，AB PA ∴⊥，APB ∴∠即为直线PB 和平面PAD 所成的角，45APB ∴∠=，又2PA PD ==，PA PD ⊥，2AB ∴=，22AD = O 为AD 中点，PO AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，ON ⊂平面ABCD ，PO ON ∴⊥，222PN ON PO ∴=+，且2ON =，PO =，PN ∴=O 、M 分别为AD 、PD 中点，//OM PA ∴，又PA PD ⊥，OM PD ∴⊥，//CD AB ，AB ⊥平面PAD ，CD 平面PAD ，OM ⊂平面PAD ，CD OM ∴⊥，CD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =，OM ⊥平面PCD ，且1OM =，在矩形ABCD 中，//AD BC 且AD BC =，O 、N 分别为AD 、BC 的中点，//OD CN ∴且OD CN =，∴四边形CDON 为平行四边形，//ON CD ∴，CD ⊂平面PCD ，ON ⊄平面PCD ，//ON ∴平面PCD ，∴点O 与点N 到平面PCD 距离相等，设点N 到平面PCD 距离为d ，则1d OM ==，设直线PN 与平面PCD 所成角为θ，则sind PN θ===.则直线PN 与平面PCD 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用定义求线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发疫苗成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）根据上表中的数据，建立y 关于x 的线性回归方程y bx a =+（用分数表示）； （2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【★答案★】（1）3729130130y x =+；（2）销售量为47769盒. 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据和题中所给参考公式可计算出()x y ，，利用最小二乘法求b 的值，代入a y bx =-，可得a ，进而求出回归方程3729130130y x =+. （2）将16x =，代入回归方程即可. 【详解】（1）23610131486+++++==x ，1+1+2+2.5+4+4.5=2.56=y ，61157i ii x y==∑，6120x y ⋅=，621514i i x ==∑，2384nx =37130∴=b 29130=-⋅=a yb x ， 3729130130y x =+（2）当16x =时，代入回归方程621130y =（万盒）47769≈（盒） 当研发费用为16000000时，销售量为47769盒.【点睛】本题考查了线性回归方程，最小二乘法等基本知识，考查了数学运算能力、数据分析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.20.已知圆M 经过点()0,1且与直线1y =-相切，圆心M 的轨迹为曲线C ，点(),1A a ()0a >为曲线C 上一点.（1）求a 的值及曲线C 的方程；（2）若,M N 为曲线C 上异于A 的两点，且AM AN ⊥.记点,M N 到直线2x =-的距离分别为12,d d ，判断12d d 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【★答案★】（1）24x y =；2.（2）是定值，定值为16. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用抛物线的定义得到曲线C 的轨迹，根据焦点和准线方程写出其标准方程；（2）设AM 的斜率k ,利用点斜式写出直线AM 的方程，与抛物线的方程联立，根据A 是一个交点，利用韦达定理求得M 的横坐标，进而得到1d ,同理得到2d ，计算可得12d d 是定值.【详解】（1）由圆M 经过点()0,1且与直线1y =-相切，可知M 到(0,1)的距离等于到直线1y =-的距离，由抛物线的定义可得，M 点的轨迹为以(0,1)为焦点，以直线1y =-为准线的抛物线，所以其方程为24x y =， 将(),1A a 的坐标代入，得到24,0,2a a a =>∴=；（2）当AM 的斜率为k 时（显然斜率存在且不为零），AN 的斜率为1k-，对应():12AM y k x -=-,即:21AM y kx k =-+,与抛物线方程联立消去y ，整理得：24840,x kx k -+-=∵()2,1A 是直线AM 与抛物线C 的一个交点，∴24,M x k += 同理42,N x k+=-∴122216M N x d d x =++=（定值）.【点睛】本题考查抛物线的定义和标准方程，考查抛物线中的定值问题，属中档题，关键点在于利用韦达定理求得M 的横坐标，进而得到1d ,同理得到2d ，然后得到12d d . 21.已知函数()xf x e ax =+的图象与直线()221y e x e =+-相切.（1）求实数a 的值； （2）函数()ln 11x g x x+=+，b R ∈，若对任意的0x >，()()()b f x x g x -≥恒成立，求实数b 的取值范围.【★答案★】（1）1；（2）[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）由()xf x e a '=+，设切点为()00,x y ， 根据条件可得021x k e a e =+=+，()0220001x y e ax e x e =+=+-，两式联立可得00200x x x e e e --=，设()2x x h x xe e e =--，讨论出函数()h x 的单调性，从而得出方程的根为02x =，进而求出参数a 的值. （2）对任意的0x >，()()()b f x x g x -≥恒成立,即()ln 10xx x b x xe++≥>，令()()ln 10xx x F x x xe++=>，则原问题等价于()max b F x ≥，讨论出函数()F x 的单调性，得出其最大值即可.【详解】解：（1）设切点为()00,x y ，()xf x e a '=+所以函数()xf x e ax =+的图象在点()00,x y 处的切线的斜率为021x k e a e =+=+又()0220001xy e ax e x e =+=+-消a 得00200xxx e e e --=，令()2xx h x xe e e =--，得()xh x xe '=，当0x >时，()0h x >，所以()h x 在区间()0,∞+单调递增，且()20h =， 又因为当0x ≤时，()0h x <，所以02x =. 则221k e a e =+=+，所以1a =.（2）()()()b f x x g x -≥即()ln 11xx b e x x x++-≥+ 即ln 1xx x be x ++≥即()ln 10xx x b x xe++≥>. 令()()ln 10xx x F x x xe ++=>，则原问题等价于()max b F x ≥()()()()()()22111ln 11ln x xxx xe x e x x x x x x F x x e xe ⎛⎫+-+++ ⎪-++⎝⎭'==， 令()()ln 0x x x x ϕ=+>，则()110x xϕ'=+>， 所以函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增，因为1110e e ϕ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110ϕ=>，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()000ln 0x x x ϕ=+=，所以当00x x <<时，()0x ϕ<，()0F x '>；当0x x >时，()0x ϕ>，()0F x '<， 所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，由00ln 0x x +=，得00ln x x -=，即000ln ln x e x x --==，所以00xx e -=所以()()000000max 0ln 111x x x x x F x F x x e e e-++====， 所以1b ≥，故b 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查根据函数图像的切线求参数和不等式恒成立求参数的范围，考查分离参数的思想方法和“隐零点”的代换.属于难.题22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为,212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）若()P ，求PA PB +；（2）若点M 是曲线C 上不同于,A B 的动点，求MAB △面积的最大值. 【★答案★】（1）5；（24. 【解析】 【分析】（1）将圆的极坐标方程化为直角方程，再利用直线参数方程中参数的几何意义可求PA PB +的值.（2）先求出直线的普通方程，再分别求出AB 的长及圆心到直线的距离，从而可求MAB △面积的最大值.【详解】解：（1）设1122,11,,22A t t A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭， 因为2:4sin 4sin C ρθρρθ==，，所以224x y y +=，将212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入224x y y +=得到2530t t -+=，2512130∆=-=>,故12,t t 是该方程的两个正根，又12125PA PB t t t t +=+=+=. （2）直线AB的直角方程为13y x =+即0x -+=. 又()22:24C x y +-=，故圆心坐标为()0,2，圆心到直线的距离为d ==，故M 到AB的距离的最大值为22+.故AB ==， 故MAB S的最大值为122AB ⎫⨯=⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查圆的极坐标方程与直角方程的互化、直线的参数方程与直角方程的互化，注意非直角方程下的最值问题，一般需转化到直角方程下去讨论求解. 23.已知函数()3f x x k =+，()1f x <的解集为113x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.（1）若存在x ，使()31f x x a ++≤成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对于,x y 满足214x y -+≤，713y -≤≤，求证：()9f x ≤. 【★答案★】（1）1a ≥；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据()1f x <， 得到1133k k x +-+-<<，再由()1f x <的解集为113x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，由113k +-=-求解，然后将存在x ，使()31f x x a ++≤成立，转化为3132x x a +++≤成立，利用绝对值三角不等式求解.（2）将()32f x x =+，利用绝对值三角不等式转化为()313121212323⎛⎫⎛⎫=-+++≤-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x y y x y y ，再根据713y -≤≤求解. 【详解】（1）因为()1f x <，所以131x k -<+<， 所以1133k k x +-+-<<， 又()1f x <的解集为113x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 所以113k +-=-， 解得2k =，此时1133k -+=-， 所以2k =.因为存在x ，使()31f x x a ++≤成立， 所以3132x x a +++≤成立， 因为()313231321x x x x +++≥+-+=，当13x =-时等号成立，所以1a ≥.（2）由（1）知()32f x x =+，3431313222121232323x x x y y x y y ⎛⎫⎛⎫+=+=-+++≤-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为713y -≤≤， 所以14233y -≤+≤，于是123y +≤， 所以()()31321429232f x x y y ⎛⎫≤-+++≤+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及解集的应用，不等式有解，不等式证明和绝对值三角不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

黑龙江省哈三中2020届高三上学期第四次验收（期末）考试数学（文）试题及答案考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合 ，则B 中所含元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知复数（i 是虚数单位），则的虚部为A ． -3B ．-3iC ．3D ．3i3．给定命题p ：函数ln[(1)(1)]y x x =-+为偶函数；命题q ：函数为偶函数，下列说法正确的是 A ．是假命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且472a a 与的等差中项为54，则5S =A ．36B ．33C ．31D ．295．下列几个命题中，真命题是 A ．,.l m n 是空间的三条不同直线，若B ．α，β，γ是空间的三个不同平面，若C ．两条异面直线所成的角的范围是D ．两个平面相交但不垂直，直线，则在平面β内不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与垂直．6．已知a,b 是两个互相垂直的向量，|a|=1，|b|=2，则对任意的正实数t ，的最小值是A ．2B ．C ．4D ．7．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则的值是AB ．2C ．2D ．38．函数的零点所在的区间是A ．B ．C ．D ．9．已知正三棱锥P —ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为10．已知直线交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有，那么实数k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．设关于x ，y 的不等式组表示的平面区域内存在点P(a ，b),满足a-3b=4，则实数m 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．12．在平面直角坐标系中，定义之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中真命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若直线平行，，则m+n= 。