江苏省学物理竞赛讲义-7.2振动能量
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高中物理竞赛讲义目录高中物理竞赛讲义 (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况.....................................错误!未定义书签。
二、知识体系....................................................错误!未定义书签。
第一部分力&物体的平衡 (5)第一讲力的处理 (13)第二讲物体的平衡 (15)第三讲习题课 (16)第四讲摩擦角及其它 (21)第二部分牛顿运动定律 (24)第一讲牛顿三定律 (24)第二讲牛顿定律的应用 (25)第二讲配套例题选讲 (35)第三部分运动学 (35)第一讲基本知识介绍 (35)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (37)第四部分曲线运动万有引力 (40)第一讲基本知识介绍 (40)第二讲重要模型与专题 (42)第五部分动量和能量 (52)第一讲基本知识介绍 (52)第二讲重要模型与专题 (55)第三讲典型例题解析 (70)第六部分振动和波 (70)第一讲基本知识介绍 (70)第二讲重要模型与专题 (75)第三讲典型例题解析 (86)第七部分热学 (86)一、分子动理论 (87)二、热现象和基本热力学定律 (89)三、理想气体 (91)四、相变 (98)五、固体和液体 (102)第八部分静电场 (103)第一讲基本知识介绍 (104)第二讲重要模型与专题 (107)第九部分稳恒电流 (120)第一讲基本知识介绍 (120)第十部分磁场 (134)第一讲基本知识介绍 (134)第二讲典型例题解析 (138)第十一部分电磁感应 (146)第一讲、基本定律 (146)第二讲感生电动势 (150)第三讲自感、互感及其它 (154)第十二部分量子论 (157)第一节黑体辐射 (158)第二节光电效应 (161)第三节波粒二象性 (168)第四节测不准关系 (172)第0部分绪言全国中学生物理竞赛内容提要--理论基础(2013年开始实行)说明:.本次拟修改的部分用楷黑体字表示,新补充的内容将用“※”符号标出,作为复赛题和决赛题增补的内容;※※则表示原属预赛考查内容,在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。
第六部分 振动和波第一讲 基本知识介绍《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同,必须做一些相对详细的补充。
一、简谐运动1、简谐运动定义:∑F = -k x①凡是所受合力和位移满足①式的质点,均可称之为谐振子,如弹簧振子、小角度单摆等。
谐振子的加速度:a= -mk x2、简谐运动的方程回避高等数学工具,我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动(以下均看在x 方向的投影),圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。
依据:∑F x = -m ω2Acos θ= -m ω2x对于一个给定的匀速圆周运动,m 、ω是恒定不变的,可以令:m ω2 = k这样,以上两式就符合了简谐运动的定义式①。
所以,x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。
从图1不难得出——位移方程:x= Acos(ωt + φ) ②速度方程:v= -ωAsin(ωt +φ) ③加速度方程:a= -ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词:(ωt +φ)称相位,φ称初相。
运动学参量的相互关系:a = -ω2xA =2020)v (x ω+ tg φ= -x v ω 3、简谐运动的合成a 、同方向、同频率振动合成。
两个振动x 1 = A 1cos(ωt +φ1)和x 2 = A 2cos(ωt +φ2) 合成,可令合振动x = Acos(ωt +φ) ,由于x = x 1 + x 2 ,解得A =)cos(A A 2A A 12212221φ-φ++ ,φ= arctg 22112211cos A cos A sin A sin A φ+φφ+φ显然,当φ2-φ1 = 2k π时(k = 0,±1,±2,…),合振幅A 最大,当φ2-φ1 = (2k + 1)π时(k = 0,±1,±2,…),合振幅最小。
b 、方向垂直、同频率振动合成。
当质点同时参与两个垂直的振动x = A 1cos(ωt + φ1)和y = A 2cos(ωt + φ2)时,这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程,消去参数t 后,得一般形式的轨迹方程为212A x +222A y -221A A xy cos(φ2-φ1) = sin 2(φ2-φ1) 显然,当φ2-φ1 = 2k π时(k = 0,±1,±2,…),有y = 12A A x ,轨迹为直线,合运动仍为简谐运动;当φ2-φ1 = (2k + 1)π时(k = 0,±1,±2,…),有212A x +222A y = 1 ,轨迹为椭圆,合运动不再是简谐运动;当φ2-φ1取其它值,轨迹将更为复杂,称“李萨如图形”,不是简谐运动。
7.2振动能量一、水平弹簧振子平衡位置时,弹性势能为0,动能为212k m E mv =;振动幅度最大处,动能为0,弹性势能为212p E kA =。
由于振动过程中机械能守恒,因此:221122m E mv kA ==。
任意时刻t 时,总能量为:222222222111111sin ()cos ()222222m E mv kx mA t kA t mv kA ωωϕωϕ=+=+++==上式推导中利用了ω=二、竖直弹簧振子设弹簧原长l 0,劲度系数k ,重物质量为m ,平衡时弹簧伸长x 0,某时刻,弹簧伸长x 。
1、以弹簧原长处为零势能点(包括重力势能和弹性势能)221122E mv kx mgx =+- 2、以弹簧平衡位置为零势能点(包括重力势能和弹性势能) 22200111()222E mv kx kx mg x x =+--- 利用0mg kx =可得22011()22E mv k x x =+- 上式的物理意义为:竖直弹簧振子的能量可以看成动能加“等效弹性势能”,“等效弹性势能”的零势能点为平衡位置,即伸长x 0长度处。
“等效弹性势能”包括了通常意义的弹性势能和重力势能。
三、几种特殊的振动形式1、阻尼振动由于受到阻力作用,振幅不断减小,但周期不变2、受迫振动在周期性的外力作用下发生的振动。
受迫振动的周期等于外力的周期。
3、共振当外力的周期与系统的固有周期相同,系统发生共振。
理想情况下,共振的振幅和能量可以无限的增加,趋近于无穷大。
实际上,由于阻力存在,振动的振幅会达到某个确定值,这个值与阻力有关例1、两个相同的小球用长度一样的细线挂在同一个钩子上。
其中第一个小球向左偏转一个小角度α,第二个球(同一平面内)向右偏转α/2。
两球同时释放,经过时间t后发生弹性对心碰撞。
问碰撞后经过多少时间,挂第二个球的线又再一次偏转α/2角度?例2、如图所示,弹簧振子系统中M=2kg,k=100 N/m,t=0时,x o=10 cm;v o=0,在h=1 cm高处有一质量为m=0.4 kg的小物体下落,当M沿x轴负向通过平衡位置时,小物体刚好落在M上,且无反弹,试求此后两物体一起运动的规律.例3、不能发生形变的天花板上悬挂着一只轻弹簧,弹簧下端挂着的一铁块处于静止状态,这时弹簧伸长量为L,在离铁块的正下方1.5L处有一弹簧枪口,从枪口射出质量等于铁块质量的橡皮泥做成的子弹,初速度v=3gL.子弹击中铁块和铁块一起振动起来,求:(1)系统振动周期;(2)铁块从击中开始向上运动的最大位移;(3)铁块从开始振动到第一次达到最大速度所需时间.例4、平台A质量为m,由劲度系数为k的弹簧支持。
7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置:物体受合力为0的位置2、回复力F :物体受到的合力,由于其总是指向平衡位置,所以叫回复力3、简谐运动:回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比,方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解(解微分方程的一种重要方法)cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得:2m x kx ω-=-解得: 22T πω== 对位移函数对时间求导,可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出:222()vx A ω+= 2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。
因此ω叫做振动的角频率或圆频率,ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角,也叫做相位,φ为初始时刻质点位置对应的圆心角,也叫做初相位。
四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆(摆角很小)sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此: F k x =-其中: mg k l=周期为:222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2,把在北京走时准确的摆钟拿到南京,它是快了还是慢了?一昼夜差多少秒?怎样调整?例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆,构成一正三角彤框架ABC .C 点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可绕转轴转动.杆AB 是一导轨,一电动玩具松鼠可在导轨运动,如图所示.现观察到松鼠正在导轨上运动,而框架却静止不动,试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管.两管分别与水平面成α角和β角.如图所示.其内盛有长为l、质量为m的液柱,受扰动后,液柱将沿管作往返振荡,求振荡周期(设管壁无阻力).例4、如图所示,假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道,在A处放置一个小球,小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动,忽略一切摩擦阻力,试求小球的最大速度,以及小球从A运动到B所需要的时间,已知地球半径为R,地球半径为R,A和B之间的直线距离为L,设地球内部质量密度均匀,不考虑地球的自转。
7.2振动能量
一、水平弹簧振子
平衡位置时,弹性势能为0,动能为212
k m E mv =
;振动幅度最大处,动能为0,弹性势能为212p E kA =。
由于振动过程中机械能守恒,因此:221122m E mv kA ==。
任意时刻t 时,总能量为:
222222222
111111sin ()cos ()222222
m E mv kx mA t kA t mv kA ωωϕωϕ=+=+++==
上式推导中利用了ω=
二、竖直弹簧振子
设弹簧原长l 0,劲度系数k ,重物质量为m ,平衡时弹簧伸
长x 0,某时刻,弹簧伸长x 。
1、以弹簧原长处为零势能点(包括重力势能和弹性势能)
221122
E mv kx mgx =+- 2、以弹簧平衡位置为零势能点(包括重力势能和弹性势能)
22200111()222
E mv kx kx mg x x =+--- 利用0mg kx =可得
22011()22
E mv k x x =+- 上式的物理意义为:竖直弹簧振子的能量可以看成动能加“等效弹性势能”,“等效弹性势能”的零势能点为平衡位置,即伸长
x 0长度处。
“等效弹性势能”包括了通常意义的弹性
势能和重力势能。
三、几种特殊的振动形式
1、阻尼振动
由于受到阻力作用,振幅不断减小,但周期不变
2、受迫振动
在周期性的外力作用下发生的振动。
受迫振动的周期等于外力的周期。
3、共振
当外力的周期与系统的固有周期相同,系统发生
共振。
理想情况下,共振的振幅和能量可以无限的增加,趋近于无穷大。
实际上,由于阻力存在,振动的振幅会达到某个确定值,这个值与阻力有关
例1、两个相同的小球用长度一样的细线挂在同一个钩子上。
其中第一个小球向左偏转一个小角度α,第二个球(同一平面内)向右偏转α/2。
两球同时释放,经过时间t后发生弹性对心碰撞。
问碰撞后经过多少时间,挂第二个球的线又再一次偏转α/2角度?
例2、如图所示,弹簧振子系统中M=2kg,k=100 N/m,t=0时,x o=10 cm;v o=0,在h=1 cm高处有一质量为m=0.4 kg的小物体下落,当M沿x轴负向通过平衡位置时,小物体刚好落在M上,且无反弹,试求此后两物体一起运动的规律.
例3、不能发生形变的天花板上悬挂着一只轻弹簧,弹簧下端挂着的一铁块处于静止状态,这时弹簧伸长量为L,在离铁块的正下方1.5L处有一弹簧枪口,从枪口射出质量等于铁块质量的橡皮泥做成的子弹,初速度v=3gL.子弹击中铁块和铁块一起振动起来,求:(1)系统振动周期;(2)铁块从击中开始向上运动
的最大位移;(3)铁块从开始振动到第一次达到最大速度所需时间.例4、平台A质量为m,由劲度系数为k的弹簧支持。
弹簧上端
与A相连,下端与地面相连,物体B质量也为m,自由的放在
平台中心。
现用竖直向下的力F=把弹簧压下(在弹
性限度内)当系统静止时撤去外力,求此后A、B的运动情况以
及各自达到的最大高度。
例5、
*例6:两条柔软的弹性绳中间连着一个小球,绳的另一端分别固定在同一竖直线上的O,O′点,上下绳的劲度系数分别为k1=0.8N/m,k2=1.2N/m。
小球静止不动时位于C点,此时上下绳分别伸长了
l1=0.08m,l2=0.03m。
现在将小球沿竖直方向拉到与平衡位置C 距离为l3=0.08m处,然后轻轻释放。
求小球从释放开始到第一次回该释放点所需要的时间。
(g=10m/s2)。