2 静电场中的导体和电介质习题详解

第十章 静电场中的导体和电介质一选择题 1.半径为R 的导体球原不带电, 则导体球的电势为 （） q B.羊 4 n o a 今在距球心为 a 处放一点电荷q （ a >R 。

设无限远处的电势为零, qa D . 4 n o （a R ）解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷 C.4 n o (a R) q 分布在导体球表面上，且 q （ q ） 0 ,它们在球心处的电势 1 V 乩q 4 n o R点电荷q 在球心处的电势为 47^ q dq V J 据电势叠加原理，球心处的电势 4 n o aV o V Vq 。

4 n o a 所以选（A ） 2.已知厚度为d 的无限大带电导体平板, 则板外两侧的电场强度的大小为 （ 2 A. E B. E 2 o o两表面上电荷均匀分布, 电荷面密度均为 ，如图所示,d C. E 二一 D. E=—— ⑰ 2匂解：在导体平板两表面外侧取两对称平面， 做侧面垂直平板 的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为2 S ，可得E —。

0选择题2图 所以选（C ） 3.如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 量为+q 的点电荷。

（） R,在腔内离球心的距离为 用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心 d 处（d<R ，固定一电o 处的电势为A. C.B. 4 n o d q 1 D. (—4 n 0 d 解：球壳内表面上的感应电荷为 q _q 4n o d 4n o R 选择题3图 1R ） -q,球壳外表面上的电 (+q . j 荷为零，所以有V o 所以选（D ） 4.半径分别为 在忽略导线的影响下，A . R/r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为 分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则 QR 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电， 两球表面的电荷面密度之比 R / r 为（） B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D. r / R Q q ,因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀 所以选（D ）R Q/4 R 2r q /4 r 2「的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为 E,则导体球面的自由电荷面密度 为（） 上D S S ，即 所以选（B ）6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为 煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（£ A . —E g £ £（£ 1 ）匸 B . E 0£不管是否注入电介（£ 1） C. E 。

习题二一、选择题1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。

设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］（A ）200, 44Q QE U r rεε==ππ；（B ）010, 4QE U r ε==π；（C ）00, 4QE U rε==π；（D ）020, 4Q E U r ε==π。

答案：D解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得000202Q Q Q QU r r r r εεεε-=++=4π4π4π4π2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。

设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］（A ）0； （B ）2q ； （C ）2q-； （D ）q -。

答案：C解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U dRπεπε'=+=（球面上所有感应电荷到球心的距离相等，均为R ），由此解得2R q q q d '=-=-。

3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2200,44r Q Q E D rr εεε==ππ； （B ）22,44r Q Q E D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）2200,44Q QE D r r εε==ππ。

答案：C解：由高斯定理得电位移 24QD r=π，而 2004D Q E r εε==π。

4．一大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图所示。

当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m 、带电量为+q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡。

第6章静电场中的导体和电介质习题讲解第6章静电场中的导体和电介质⼀、选择题1. ⼀个不带电的导体球壳半径为r , 球⼼处放⼀点电荷, 可测得球壳内外的电场．此后将该点电荷移⾄距球⼼r/2处, 重新测量电场．试问电荷的移动对电场的影响为下列哪⼀种情况?[ ] (A) 对球壳内外电场⽆影响(B) 球壳内外电场均改变 (C) 球壳内电场改变, 球壳外电场不变 T6-1-1图(D) 球壳内电场不变, 球壳外电场改变2. 当⼀个导体带电时, 下列陈述中正确的是[ ] (A) 表⾯上电荷密度较⼤处电势较⾼ (B) 表⾯上曲率较⼤处电势较⾼ (C) 表⾯上每点的电势均相等 (D) 导体内有电⼒线穿过3. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 [ ] (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零(C) 导体内的电势与导体表⾯的电势相等(D) 导体内的场强⼤⼩和电势均是不为零的常数4. 当⼀个带电导体达到静电平衡时[ ] (A) 导体内任⼀点与其表⾯上任⼀点的电势差为零 (B) 表⾯曲率较⼤处电势较⾼(C) 导体内部的电势⽐导体表⾯的电势⾼ (D) 表⾯上电荷密度较⼤处电势较⾼T6-1-5图5. ⼀点电荷q放在⼀⽆限⼤导体平⾯附近, 相距d, 若⽆限⼤导体平⾯与地相连, 则导体平⾯上的总电量是 [ ] (A)qq(B) - (C) q (D) -q 226. 在⼀个绝缘的导体球壳的中⼼放⼀点电荷q, 则球壳内、外表⾯上电荷均匀分布．若使q偏离球⼼, 则表⾯电荷分布情况为[ ] (A) 内、外表⾯仍均匀分布 (B) 内表⾯均匀分布, 外表⾯不均匀分布 (C) 内、外表⾯都不均匀分布 (D) 内表⾯不均匀分布, 外表⾯均匀分布7. 带电量不相等的两个球形导体相隔很远, 现⽤⼀根细导线将它们连接起来．若⼤球半径为m, ⼩球半径为n, 当静电平衡后, 两球表⾯的电荷密度之⽐σ m／σ n 为mnm2n2[ ] (A) (B) (C) 2 (D) 2nmnm8. 真空中有两块⾯积相同的⾦属板, 甲板带电q, ⼄板带电Q．现将两板相距很近地平⾏放置, 并使⼄板接地, 则⼄板所带的电量为 [ ] (A) 0 (B) －q (C) -q+Qq+Q(D) 22T6-1-8图9. 在带电量为+q的⾦属球的电场中, 为测量某点的电场强度E, 现在该点放⼀带电量为(+q/3)的试验电荷, 电荷受⼒为F, 则该点的电场强度满⾜ 6F 3F[ ] (A) E> (B) E> qq 3F 3FT6-1-9图 (C) E< (D) E= qq测得它所受⼒为F．若考虑到q不是⾜够⼩, 则此时F/q⽐P点未放q时的场强[ ] (A) ⼩ (B) ⼤(C) 相等 (D) ⼤⼩不能确定10. 在⼀个带电量为Q的⼤导体附近的P点, 置⼀试验电荷q, 实验T6-1-10图 q11. 有⼀负电荷靠近⼀个不带电的孤⽴导体, 则导体内场强⼤⼩将[ ] (A) 不变 (B) 增⼤ (C) 减⼩ (D) 其变化不能确定12. ⼀个带正电的⼩球放⼊⼀个带等量异号电荷、半径为R的球壳中．在距球⼼为r(r(B) 放⼊⼩球后场强增加 (C) 因两者电荷异号, 故场强减⼩ T6-1-12图 (D) ⽆法判定13. 真空中有⼀组带电导体, 其中某⼀导体表⾯处电荷⾯密度为σ, 该表⾯附近的场强⼤⼩E=σ/ε0, 其中E是[ ] (A) 该处⽆穷⼩⾯元上电荷产⽣的场(B) 该导体上全部电荷在该处产⽣的场(C) 这⼀组导体的所有电荷在该处产⽣的场(D) 以上说法都不对14. 设⽆穷远处电势为零, 半径为R的导体球带电后其电势为U, 则球外离球⼼距离为r处的电场强度⼤⼩为UURUR2U[ ] (A) (B) (C) (D) rRr2r3其场强为E0, 电位移为D0; ⽽当两极间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质时, 其间场强为E, 电位移为D, 则有关系[ ] (A) E=E0/εr,D=D0 (B) E=E0,D=D0 (C) E=E0/εr,D=D0/εr T6-1-15图(D) E=E0,D=εrD015. ⼀平⾏板电容器始终与⼀端电压恒定的电源相连．当此电容器两极间为真空时,16. ⼀空⽓平⾏板电容器接上电源后, 在不断开电源的情况下浸⼊媒油中, 则极板间的电场强度⼤⼩E和电位移⼤⼩D的变化情况为[ ] (A) E和D均减⼩ (B) E和D均增⼤ (C) E不变, D减⼩ (D) E不变, D增⼤17. 把⼀个带正电的导体B靠近⼀个不带电的绝缘导体A时, 导体A的电势将[ ] (A) 升⾼ (B) 降低 (C) 不变 (D) 变化与否不能确定18. 有两个⼤⼩不等的⾦属球, 其⼤球半径是⼩球半径的两倍, ⼩球带有正电荷．当⽤⾦属细线连接两⾦属球后[ ] (A) ⼤球电势是⼩球电势的两倍 (B) ⼤球电势是⼩球电势的⼀半 (C) 所有电荷流向⼤球 (D) 两球电势相等19. 在⽆穷⼤的平板A上均匀分布正电荷, ⾯电荷密度为σ,不带净电荷的⼤导体平板B, 则A板与B板间的电势差是σd[] (A)(B)2ε0σd(C)(D)3ε0σdε0ε0dσT6-1-19图20. 导体壳内有点电荷q, 壳外有点电荷Q, 导体壳不接地．当Q值改变时, 下列关于壳内任意⼀点的电势和任意两点的电势差的说法中正确的是[ ] (A) 电势改变, 电势差不变(B) 电势不变, 电势差改变(C) 电势和电势差都不变 (D) 电势和电势差都改变 T6-1-20图21. 两绝缘导体A、B带等量异号电荷．现将第三个不带电的导体C插⼊A、B之间, 但不与A、B接触, 则A、B间的电势差将[ ] (A) 增⼤ (B) 减⼩(C) 不变 (D) 如何变化不能确定T6-1-21图22. 两个薄⾦属同⼼球壳, 半径分别为R和r (R＞r), 若分别带上电量为Q和q的电荷, 此时⼆者的电势分别为U和V．现⽤导线将⼆球壳连起来, 则它们的电势为[ ] (A) U (B) V (C) U＋V (D)1(U+V) 2T6-1-22图23. 就有极分⼦电介质和⽆极分⼦电介质的极化现象⽽论 [ ] (A) 两类电介质极化的微观过程不同, 宏观结果也不同 (B) 两类电介质极化的微观过程相同, 宏观结果也相同 (C) 两类电介质极化的微观过程相同, 宏观结果不同 (D) 两类电介质极化的微观过程不同, 宏观结果相同24. ⼀平⾏板电容器中充满相对电容率为εr的各向同性均匀电介质．已知电介质表⾯极化电荷⾯密度为±σ', 则极化电荷在电容器中产⽣的电场强度⼤⼩为T6-1-24图σ'[ ] (A)ε0σ'(B)2ε0σ'(C)ε0εrσ'(D)εr25. ⼀导体球外充满相对电容率为εr的均匀电介质, 若测得导体表⾯附近场强为E, 则导体球⾯上的⾃由电荷⾯密度σ为[ ] (A) ε0E (B) ε0εrE (C) εrE (D) (ε0εr-εr)E27. 在⼀点电荷产⽣的电场中, 以点电荷处为球⼼作⼀球形封闭⾼斯⾯, 电场中有⼀块对球⼼不对称的电介质, 则 [ ] (A) ⾼斯定理成⽴,并可⽤其求出封闭⾯上各点的场强(B) 即使电介质对称分布, ⾼斯定理也不成⽴ (C) ⾼斯定理成⽴, 但不能⽤其求出封闭⾯上各点的电场强度 (D) ⾼斯定理不成⽴ T6-1-26图28. 在某静电场中作⼀封闭曲⾯S．若有D?dS=0, 则S⾯内必定s[ ] (A) 没有⾃由电荷 (B) 既⽆⾃由电荷, 也⽆束缚电荷(C) ⾃由电荷的代数和为零 (D) ⾃由电荷和束缚电荷的代数和为零29. 关于介质中的⾼斯定理[ ] (A) ⾼斯⾯的D通量仅与⾯内的⾃由电荷的代数和有关(B) ⾼斯⾯上处处D为零, 则⾼斯⾯内必不存在⾃由电荷(C) ⾼斯⾯的D通量由⾯内的⾃由电荷和束缚电荷共同决定(D) ⾼斯⾯内不包围⾃由电荷时, ⾼斯⾯上各点电位移⽮量D为零sD?dS=∑q0, 下列说法中正确的是30. 关于静电场中的电位移线, 下列说法中正确的是 [ ] (A) 起⾃正电荷, ⽌于负电荷, 不形成闭合线, 不中断 (B) 任何两条电位移线互相平⾏ (C) 电位移线只出现在有电介质的空间(D) 起⾃正⾃由电荷, ⽌于负⾃由电荷, 任何两条电位移线不相交31. 两个半径相同的⾦属球, ⼀个为空⼼, 另⼀个为实⼼．把两者各⾃孤⽴时的电容值加以⽐较, 有[ ] (A) 空⼼球电容值⼤ (B) 实⼼球电容值⼤ (C) 两球容值相等 (D) ⼤⼩关系⽆法确定32. 有⼀空⽓球形电容器, 当使其内球半径增⼤到两球⾯间的距离为原来的⼀半时, 此电容器的电容为[ ] (A) 原来的两倍 (B) 原来的⼀半 (C) 与原来的相同 (D) 以上答案都不对33. n只具有相同电容的电容器, 并联后接在电压为?U的电源上充电．去掉电源后通过开关使之接法改为串联．则串联后电容器组两端的电压V和系统的电场能W [ ] (A) V=n?U，W增⼤(B) V=n?U，W不变(C) V=n?U，W 减⼩ (D) V=1?U，W不变 n34. 把⼀充电的电容器与⼀未充电的电容器并联．如果两电容器的电容⼀样, 则总电能将[ ] (A) 增加 (B) 不变 (C) 减⼩ (D) 如何变化不能确定35. 平⾏板电容器的极板⾯积为S, 两极板间的间距为d, 极板间介质电容率为ε．现对极板充电Q, 则两极间的电势差为[ ] (A) 0 (B)QdQdQd (C) (D) εS2εS4εS36. ⼀平⾏板电容器充电后与电源断开, 再将两极板拉开, 则电容器上的[ ] (A) 电荷增加 (B) 电荷减少 (C) 电容增加 (D) 电压增加37. 将接在电源上的平⾏板电容器的极板间距拉⼤, 将会发⽣什么样的变化? [ ] (A) 极板上的电荷增加 (B) 电容器的电容增⼤(C) 两极间的场强减⼩ (D) 电容器储存的能量不变38. 真空中带电的导体球⾯和带电的导体球体, 若它们的半径和所带的电量都相等, 则球⾯的静电能W1与球体的静电能W2之间的关系为[ ] (A) W1＞W2 (B) W1＝W2 (C) W1＜W2 (D) 不能确定39. 如果某带电体电荷分布的体密度ρ增⼤为原来的两倍, 则其电场的能量变为原来的[ ] (A) 2倍 (B) 11倍 (C) 4倍 (D) 倍 2240. ⼀空⽓平板电容器, 充电后把电源断开, 这时电容器中储存的能量为W0．然后在两极板间充满相对电容率为εr的各向同性均匀电介质, 则该电容器中储存的能量W为W[ ] (A) W=εrW0 (B) W=0εr(C) W=(εr+1)W0 (D) W=W041. ⼀平⾏板电容器, 两板间距为d, 与⼀电池联接时, 相互作⽤⼒为F．若将电池断T6-1-40图开, 极间距离增⼤到3d, 则其相互作⽤⼒变为 FF[ ] (A) (B)3F (C) (D) 不变 3942. ⾦属圆锥体带正电时, 其圆锥表⾯[ ] (A) 顶点处电势最⾼(B) 顶点处场强最⼤(C) 顶点处电势最低(D) 表⾯附近场强处处相等T6-1-42图43. 平板电容器与电源相连, 现把两板间距拉⼤, 则[ ] (A) 电容量增⼤(B) 电场强度增⼤(C) 带电量增⼤(D) 电容量、带电量及两板间场强都减⼩T6-1-43图⼊电容器的两极板之间．则插⼊前后, 电容C、场强E和极板上的电荷⾯密度σ的变化情况为 44. 空⽓平⾏板电容器接通电源后, 将电容率为ε的厚度与极板间距相等的介质板插σ不变 (B) C增⼤, E不变, σ增⼤ (C) C 不变, E增⼤, σ不变 (D) C增⼤, E 增⼤, σ增⼤ [ ] (A) C不变, E不变,T6-1-44图45. 空⽓平板电容器与电源相连接．现将极板间充满油液, ⽐较充油前后电容器的电容C、电压U和电场能量W的变化为[ ] (A) C增⼤, U减⼩, W减⼩(B) C增⼤, U不变, W增⼤(C) C减⼩, U不变, W减⼩(D) C减⼩, U减⼩, W减⼩46. ⼀空⽓平⾏板电容器充电后与电源断开, 然后在两极间充满某种各向同性均匀电介质．⽐较充⼊电介质前后的情形, 以下四个物理量的变化情况为[ ] (A)(B)(C)(D)E增⼤, C增⼤, ?U增⼤, W增⼤ E减⼩, C增⼤, ?U 减⼩, W减⼩ E减⼩, C增⼤, ?U 增⼤, W减⼩ E增⼤, C减⼩, ?U 减⼩, W增⼤47. 平⾏板电容器两极板(可看作⽆限⼤平板)间的相互作⽤⼒F与两极板间电压?U的关系是:1 ?U12 (C) F∝?U (D) F∝ ?U2[ ] (A) F∝?U (B) F∝48. 在中性导体球壳内、外分别放置点电荷q和Q, 当q在壳内空间任意移动时, Q 所受合⼒的⼤⼩[ ] (A) 不变 (B) 减⼩(C) 增⼤ (D) 与q、Q距离有关49. 在⽔平⼲燥的玻璃板上, 放两个⼤⼩不同的⼩钢球, 且⼩球上带的电量⽐⼤球上电量多．发现两球被静电作⽤⼒排开时, ⼩球跑得较快, 这是由于[ ] (A) ⼩球受到的斥⼒较⼤(B) ⼤球受到的斥⼒较⼤(C) 两球受到的斥⼒⼤⼩相等, 但⼤球惯性⼤ T6-1-49图 (D) 以上说法都不对50. ⼀带电导体球壳, 内部没有其它电荷, 则 [ ] (A) 球内、内球⾯、外球⾯电势相等(B) 球内、内球⾯、外球⾯电场强度⼤⼩相等 (C) 球壳内电场强度为零,球⼼处场强不为零 (D) 球壳为等势体, 球⼼处电势为零51. 如果在平⾏板电容器的两极板间平⾏地插⼊⼀块与极板⾯积相等的电介质板, 则由于电介质的插⼊及其相对于极板所放置的不同, 对电容器电容的影响为 [ ] (A) 使电容减⼩, 但与电介质板的位置⽆关 (B) 使电容减⼩, 且与电介质板的位置有关(C) 使电容增⼤, 但与电介质板的位置⽆关(D) 使电容增⼤, 且与电介质板的位置有关 T6-1-51图52. ⼀均匀带电Q的球体外, 罩⼀个内、外半径分别为r和R的同⼼⾦属球壳. 若以⽆限远处为电势零点, 则在⾦属球壳r＜R＇＜R 的区域内[ ] (A) E＝0, U＝0 (B) E＝0, U≠0(C) E≠0, U≠0(D)E≠0, U＝053. 把A、B两块不带电的导体放在⼀带正电导体的电场中，如T6-1-52图T6-1-53图所⽰，设⽆限远处为电势零点，A的电势为UA，B的电势为UB，则[ ] (A) UB > UA≠0 (B) UB > UA = 0(C) UB = UA⼆、填空题(D) UB < UAT6-1-53图1. 两⾦属球壳A和B中⼼相距l，原来都不带电．现在两球壳中分别放置点电荷q和Q，则电荷Q作⽤在q上的电⼒⼤⼩为F = A，此时，电荷Q作⽤在q上的电⼒⼤⼩是．ACBT6-2-1图 T6-2-2图2. 在T6-2-2图所⽰的导体腔C中，放置两个导体A和B，最初它们均不带电．现设法使导体A带上正电，则这三个导体电势的⼤⼩关系为．3. 半径为r的导体球原来不带电．在离球⼼为R (R>r)的地⽅放⼀个点电荷q, 则该导体球的电势等于．4. ⾦属球壳的内外半径分别r和R, 其中⼼置⼀点电荷q, 则⾦属球壳的电势为．T6-2-4图d处 (d < R) 固定⼀电量为＋q的点电荷，⽤导线把球壳接地后，再把地线撤去，选⽆穷远处为电势零点，则球⼼O处的电势为．T6-2-5图5. ⼀个未带电的空腔导体球壳内半径为R．在腔内离球⼼的距离为6. T6-2-6图所⽰的11张⾦属箔⽚平⾏排列，奇数箔联在⼀起作为电容器的⼀极，偶数箔联在⼀起作为电容器的另⼀极．如果每张箔⽚的⾯积都是S，相邻两箔⽚间的距离为d，箔⽚间都是空⽓．忽略边缘效应，此电容器的电容为C = ．T6-2-6图 T6-2-7图7. T6-2-7图中所⽰电容器的电容C1、C2、C3已知，C4的值可调．当C4的值调节到A、B两点的电势相等时，C4=．8. 位于边长为l的正三⾓形三个顶点上的点电荷电荷量分别为q、2q和-4q，这个系统的静电能为．9. 有⼀半径为R的均匀带电球体, 若球体内、外电介质的电容率相等, 此时球内的静电能与球外的静电能之⽐为．10. 电荷q均匀分布在内外半径分别为R1和R2的球壳体内，这个电荷体系的电势能为，电场能为．11. ⼀平⾏板空⽓电容器, 极板⾯积为S, 间距为d, 接在电源上并保持电压恒定为U．若将极板距离拉开⼀倍, 则电容器中的静电能改变量为． 12. 有⼀半径为R的均匀带电球体, 若球体内、外电介质的电容率相等, 此时球内的静电能与球外的静电能之⽐为．三、计算题1. 真空中⼀导体球A原来不带电．现将⼀点电荷q 移到距导体球A的中⼼距离为r处，此时，导体球的电势是多少?2. 真空中⼀带电的导体球A半径为R．现将⼀点电荷q 移到距导体球A的中⼼距离为r处，测得此时导体球的电势为零．求此导体球所带的电荷量．qT6-3-1图3. ⼀盖⾰-⽶勒计数管，由半径为0.1mm的长直⾦属丝和套在它外⾯的同轴⾦属圆筒构成，圆筒的半径为10mm．⾦属丝与圆筒之间充以氩⽓和⼄醇蒸汽，其电场强度最⼤值为4.3?10V?m-1. 忽略边缘效应，试问⾦属丝与圆筒间的电压最⼤不能超过多少?64. 设有⼀电荷⾯密度为σ0(>0)放置⼀块原来不带电，有⼀定厚度的⾦属板，不计边缘效应, (1)板两⾯的电荷分布；(2) 把⾦属板接地，⾦属板两⾯的电荷⼜将如何分布T6-3-4图6. ⼀平⾏板电容器两极板的⾯积都是S，其间充有N它们的电容率分别为ε1、ε2、ε3、εN,厚度分别为d1、d2、d3、 dN．忽略边缘效应，求此电容器的电容．7. 如T6-3-7图所⽰，⼀球形电容器由半径为R1的导体球和与它同⼼的半径为R2的导体球壳组成．导体球与球壳之间⼀半是空⽓，另⼀半充有电容率为ε的均匀介质．求此电容器的电容．T6-3-6图 T6-3-8图8. 静电天平的原理如T6-3-8图所⽰：⾯积为S、相距x的空⽓平⾏板电容器下板固定，上板接到天平的⼀端．电容器不充电时，天平恰好处于平衡．欲称某物体的质量，可将待称物放⼊天平另⼀端，再在电容器极板上加上电压，使天平再次达到平衡．如果某次测量测得其极板上的电压值为U, 问此物的质量是多少?9. 两块⾯积相同的⼤⾦属平板A、B, 平⾏放置，板⾯积为S，相距d， d远⼩于平板的线度．今在A，B板之间插⼊另外⼀⾯积相同，厚度为l的⾦属板，三板平⾏．求 A、B之间的电容．10. 真空中两个同⼼的⾦属薄球壳，内外球壳的半径分别为R1和R2，(1) 试求它们所构成的电容器的电容；(2) 如果令内球壳接地，它们之间的电容⼜是多⼤? 11. 已知⼀均匀带电球体(⾮导体)的半径为R，带电量为q．如果球体内外介质的电容率均近似为ε，在半径为多⼤的球⾯空间内的电场能量为其总能量的⼀半? 12. 半径为R的⾬点带有电量q．现将其打破，在保持总体积不变的情况下分成完全相同的两点，并拉开到“⽆限远”．此系统的电能改变量是多少? 解释出现这个结果的原因．13. ⼀⾯积为S、间隔为d的平板电容器，最初极板间为空⽓，在对其充电±q以后与电源断开，再充以电容率为ε的电介质; 求此过程中该电容器的静电能减少量．试问减少的能量到哪⼉去了?14. ⼀种利⽤电容器控制绝缘油液⾯的装置⽰意如T6-3-14图，平⾏板电容器的极板插⼊油中，极板与电源以及测量⽤电⼦仪器相连．当液⾯⾼度变化时，电容器的电容值发⽣改变，使电容器产⽣充放电，从⽽控制电路⼯作．已知极板的⾼度为a，油的相对电容率为εr，试求此电容器等效相对电容率与液⾯⾼度h的关系．15. 如T6-3-15⼊⼀电矩为图所⽰，在场强为E的均匀电场中，静⽌地放p、转动惯量为J的电偶极⼦．若电矩 p与场强E 之间的夹⾓θ很⼩，试分析电偶极⼦将作什么运动，并计算电偶极⼦从静⽌出发运动到 p与E ⽅向⼀致时所经历的最短时间．T6-3-14图T6-3-15图 10。

13静电场中的导体与电介质 13.1静电平衡1. 当一个带电导体达到静电平衡时： (A) 表面上电荷密度较大处电势较高． (B) 表面曲率较大处电势较高． (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高． (D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． 答案：(D) 参考解答：静电平衡时的导体电荷、场强和电势分布的特点： (1) 电荷仅分布在导体的表面,体内静电荷为零.(2) 导体表面附近的场强方向与导体表面垂直,大小与导体表面面电荷密度成正比;(3) 导体为等势体,表面为等势面.答案(D)正确，而(A)(B)(C)均需考虑电势是一个相对量，在场电荷的电量以及分布确定的同时,还必须选定一个电势零点,在这样的情况下,场中各点电势才能确定。

给出参考解答，进入下一题：2. 设一带电导体表面上某点附近电荷面密度为σ，则紧靠该表面外侧的场强为0/εσ=E . 若将另一带电体移近，(1) 该处场强改变，公式0/εσ=E 仍能用。

(2) 该处场强改变，公式0/εσ=E 不能用。

上述两种表述中正确的是(A) (1) . (B) (2).答案：(A) 参考解答：处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与相应表面外侧紧邻处的电场强度的大小成正比，即0εσ=E . 将另一带电体移近带电导体，紧表面外侧的场强会发生改变，电荷面密度为σ也会改变，但公式0εσ=E 仍能用。

给出参考解答，进入下一题：3. 无限大均匀带电平面（面电荷密度为σ）两侧场强为)2/(0εσ=E ，而在静电平衡状态下，导体表面（该处表面面电荷密度为σ）附近场强为0/εσ=E ，为什么前者比后者小一半？参考解答：关键是题目中两个式中的σ不是一回事。

下面为了讨论方便，我们把导体表面的面电荷密度改为σ′，其附近的场强则写为./0εσ'=E对于无限大均匀带电平面(面电荷密度为σ)，两侧场强为)2/(0εσ=E .这里的 σ 是指带电平面单位面积上所带的电荷。

第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。

用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。

忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。

试证明：Rr =21σσ 。

证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R 的导体球的电势为R R V 0211π4επσ=14εσR= 半径为r 的导体球的电势为r r V 0222π4επσ=24εσr= 用细导线连接两球，有21V V =，所以Rr =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得S S d E S∆+==⋅⎰)(10320σσε 故 +2σ03=σ上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ=3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。

解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V由电势叠加原理，球心电势为=O V R qdq R 3π4π4100εε+⎰03π4π400=+'=Rq R q εε 故 -='q 3q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。

静电场中的导体和电解质习题、答案及解法一．选择题1.一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。

在腔内离球心的距离为a 处放一点电荷q +，如图1所示。

用导线把球壳接地后，再把地线撤去。

选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ D ]（A ）aq 02πε； （B ）0 ；（C ）Rq 04πε-； （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-R a q 1140πε。

参考答案：)11(4)11(440020Ra q a R q dl Rq Edl V R aRa-=--===⎰⎰πεπεπε 2.三块互相平行的导体板之间的距离21d d 和比板面积线度小得多，如果122d d =外面二板用导线连接，中间板上带电。

设左右两面上电荷面密度分别为21σσ和，如图2所示，则21σσ为（A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ；（D ）4 。

[ B ]解：相连的两个导体板电势相等2211d E d E =，所以202101d d εσεσ= 1221d d =σσ 3.一均匀带电球体如图所示，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r ,2r 的金属球壳。

设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势分别为[ B ] （A ）204rq πε，0 ； （B ）0，204r q πε ；（C ）0，rq 04πε ； （D ）0，0 。

参考答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-==•+•=•=⎰⎰⎰⎰∞∞∞2020201411441222r Q rQdr r Q ld E l d E ld E U r r r rpp πεπεπε4.带电导体达到静电平衡时，其正确结论是 [ D ]（A ） 导体表面上曲率半径小处电荷密度较小; （B ） 表面曲率较小处电势较高; （C ） 导体内部任一点电势都为零;（D ） 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。

参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势面。

练习二：第1页共6页练习二静电场中的导体和电介质详解练习二一、选择题1．一带电的平行板电容器中，均匀充满电介质，若在其中挖去一个球形空腔，如图所示，则A、B两点的场强 []（A）EA>EB （B）EA<EB（C）EA=EB （C）EA>EB=0答案：（B）解：DA=DB=σ，EA=σσ，EB=. 所以，EA<EB ε0εrε02．点电荷+Q位于金属球壳的中心，球壳的内、外半径分别为R1，R2，所带净电荷为0，设无穷远处电势为0，如果移去球壳，则下列说法正确的是 []（A）如果移去球壳，B点电势增加；（B）如果移去球壳，B点电场强度增加；（C）如果移去球壳，A点电势增加；（D）如果移去球壳，A点电场强度增加。

答案：（C）解：球壳内、外部场强都为E=R1BQ4πε0r2∞R2，移去球壳对A、B处电场强度大小无影响。

有球壳时，A点电势为U=∫Edr+∫Edr。

r无球壳时U=∫Edr. 显然，移去球壳时A点电势增大。

r∞3．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心做一球形闭合面，则对此球形闭合面 [ ]（A）高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强；（B）高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强；（C）由于电介质不对称分布，高斯定理不成立；（D）即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。

答案：（B）解：高斯定理成立，但由于高斯面上场强分布不对称，所以无法用其求出场强。

4．如图所示，将两个完全相同的平板电容器，串联起来，在电源保持连接时，将一块介质板放进其中一个电容器C2的两极板之间，则电容器C1电场强度E1，和电容器C2电场强度E2，及电场能量W1，W2的变化情况 [ ]练习二：第2页共6页练习二静电场中的导体和电介质详解（A）E1不变，E2增大，W1不变，W2增大（B）E1不变，E2减小，W1不变，W2减小，（C）E1减小，E2增大，W1减小，W2增大（D）E1增大，E2减小，W1增大，W2减小答案：（D）解：充介质前的C1，C2等效电容C0=C1 Cεε0S2d，充介质后的C1，C2等效电容C=εrε0S，1+εrd所以电容增大。