1.2集合间的基本关系 课件

2 设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什 么关系？并用列举法写出B？
典型例题讲解 1、设集合A {x | x 2 4x 0}, B {x | x 2 2(a 1)x a 2 - 1 0, a R}, 若B A，求实数a的值.
解： A {0，4} B A，于是可分类处理. - ， (1)当A B时，B {0，4}. 由此知： - 4是方程x 2(a 1) a 1 0的两根， 0，
1.1.2集合间的基本关系
思考
实数有相等关系、大小关 系，如5＝5，5＜7，5＞3， 等等，类比实数之间的关系， 你会想到集合之间的什合之间 的关系吗？
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合,
3.空集
我们知道，方程x 1 0没有实数根，所以，方程
2
x 1 0的实数组成的集合没有元素.
2
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 并规定：空集是任何集合的子集 .
空集是任何非空集合的真子集.
4.集合之间的基本关系.
（）任何一个集合是它本身的子集，即 1 A A （ ）对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么 2 A C.
y-3 2.设x, y R，A {(x, y) | y - 3 x - 2}, B {(x, y) | 1}, x-2 则A，B的关系是______.
3.已知A { x | 2 x 5}, B { x | a 1 x 2a 1}, B A, 求实数a的取值范围.
2 2
由韦达定理得 - 2(a 1) 4 2 a 解得 a 1
(2)当B A时，又可分为： (a) B 时，即B {0} ，或B {-4} ， 4(a 1)2 4(a 2 1) 0, 解得a 1 B {0}满足条件； (b)B 时， 4(a 1) 4(a 1) 0, 解得a 1

1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0} 关系的Venn图是( )
B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{ 0,1} ，易得N M，其对应的 Venn图如选项B所示．]
子集、真子集的个数问题 【例2】 已知集合M满足：{1,2} M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有 的可能情况．
[解] (1)若 A B，则集合 A 中的元素都在集合 B 中，且 B 中有不 在 A 中的元素，则 a>2.
(2)若 B⊆A，则集合 B 中的元素都在集合 A 中，则 a≤2. 因为 a≥1， 所以 1≤a≤2.
谢谢~
3．在具体情境中，了解空集的含义．(难 解，培养数学运算素养.
点)
自主预习 探新知
1．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
都是
A＝B
A⊆B
B⊇A
A≠B
AB
BA
思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ 提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就 没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系； 而“⊆”表示集合与集合之间的关系．
[思路点拨] B＝{x|m＋1≤x≤2m－1} ――分―B结＝―合― ∅和 数―B轴―≠―∅→ 列不等式组 ―→ 求m的取值范围
[解] (1)当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2. (2)当B≠∅时，如图所示．
m＋1≥－2，
∴2m－1<5， 2m－1≥m＋1
m＋1>－2，
或2m－1≤5， 2m－1≥m＋1，

1.集合有哪两种表示方法？
列举法，描述法
2.元素与集合有哪几种关系？
属于、不属于
3.对于集合这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？
类比法
问题
• 实数间的基本关系
关系
大小
关系
相等
关系
5<7
5>3
5=5
集 合间的 基本 关系
图示法(Venn图)
常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例如 ,
A B
B
A
人教A版（ 2019） 数学必 修第一 册1.1. 2集合 间的基 本关系 课件( 共16张P PT)
概念理解
问
通过类比实数关系中的性质 “若a b且b a, 则a b"
你能发现集合之间的关系有哪些性质？
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 ⊆ ； 反身性
(2)对于集合，，，如果 ⊆ ，且 ⊆ ，那么 ⊆ .
1.2集合间的基本关系
一、教学目标
1.理解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集的概念，在具体情
境中，了解空集的含义.
2.能识别给定集合的子集，掌握列举有限集的所有子集的方法.
3.能用符号和Venn图表示集合间的关系.
二、教学重难点
1、教学重点
集合之间包含与相等的含义.
2、教学难点
子集、真子集的关系.
图1-1表示任意一个集合A
图1-2表示集合 {1，2，3，4，5}
A
图1-1
1,2,3,4,5
图1-2
优点： 直观，体现了数形结合思想，可以作为同学
们学习集合这一章的辅助手段。
问题 类比实数之间的相等关系、大小关系，集合与集

1．能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的
Venn 图是
()
解析：选 B.解 x2－x＝0 得 x＝1 或 x＝0，故 N＝{0，1}，易得 N M，其 对应的 Venn 图如选项 B 所示．
2．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当 的符号填空：
(多选)已知集合 A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B
A，则 m 的值为 A.13 C．0
B．－12 D．2
()
解析：选 ABC.A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为 B A 且 B＝{x|mx＋1＝0}，
所以 B＝{－3}或 B＝{2}或 B＝∅. 当 B＝{－3}时，
称集合 A 是集合 B 的子集 如果集合 A⊆B，但存在元素 真子集 __x_∈__B_，__且__x_∉__A___，就称集 合 A 是集合 B 的真子集
符号表示 A__⊆__B (或 B__⊇__A)
A____B (或 B____A)
图形表示
定义 如果集合 A 的_任__何___一__个__ 元素都是集合 B 的元素， 集合相等 同时集合 B 的__任__何__一__个__ 元素都是集合 A 的元素， 那么集合 A 与集合 B 相等
1．Venn 图 (1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称 为 Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法． (2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
2．子集、真子集、集合相等 定义
如果集合 A 中_任___意__一__个__元 子集 素都是集合 B 中的元素，就

例题讲解
解 ∵B⊆A， (1)当 B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得 m≥2.
－3≤2m－1，
(2)当 B≠∅时，有m＋1≤4，
2m－1＜m＋1，
解得－1≤m＜2，综上得 m≥－1.
方法总结
1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个 集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合 在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点 值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示， 不含“＝”用空心点表示． 2．此类问题要注意对空集的讨论．
求实数 a 的值． 解 由 A＝B 及两集合元素特征，
a2－1＝0，
a＝±1，
∴
∴
a2－3a＝－2， a＝1或a＝2.
因此 a＝1，代入检验满足互异性．∴a＝1.
例题讲解
例3、 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜ m＋1}且B⊆A.求实数m的取值范围．
[思路探索] 借助数轴分析，注意B是否为空集．
新知导学
2．空集 (1)定义： 不含任何 元素的集合叫做空集． (2)符号表示为： ∅ . (3)规定：空集是任何集合的 子集 ． 3．子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的 子集，即 A⊆A . (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那 么 A⊆C .
互动探究
探究点1 能否把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素 组成的集合”？ 提示 不能．这是因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不 含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有 B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B成立，所以 上述理解是错误的．
第一章 集合与函数概念
1.1.2 集合间的基本关系
新知导学
1．子集及其相关概念

③从集合之间的关系看，Ø⊆{Ø}，Ø {Ø}． (2)分别写出集合{a}，{a，b}和{a，b，c}的所有子集， 通过子集个数你能得出一个规律吗？
提示：集合{a}的所有子集是Ø，{a}，共有2个子集； 集合{a，b}的所有子集是Ø，{a}，{b}，{a，b}，共 有4个，即22个子集； 集合{a，b，c}的所有子集可以分成四类：即Ø；含 一个元素的子集：{a}，{b}，{c}；含两个元素的子集{a， b}，{a，c}，{b，c}；含三个元素的子集{a，b，c}．共有 8个，即23个子集． 规律：集合{a1，a2，a3，…，an}的子集有2n个；真 子集有(2n－1)个；非空真子集有(2n－2)个．
图6 当a<1时，B＝Ф，此时B⊆A成立． 综述，当a≤2时，B⊆A.
• 类型三 集合相等及应用 • [例4] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}， 若A＝B，求c的值．
[解]
a＋b＝ac ①若 2 a＋2b＝ac
，消去b得a＋ac2－2ac
＝0，即a(c2－2c＋1)＝0， 当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集 合中元素的互异性， 故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1. 当c＝1时，集合B中的三个元素也相同， ∴c＝1舍去，即此时无解．
[例3]
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋
1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
－2≤m＋1 2m－1≤5
[错解] 欲使B⊆A，只需
⇒－
3≤m≤3. ∴m的取值范围是－3≤m≤3.
[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合 的子集，因此需要对B＝Ø与B≠Ø两种情况分别确 定m的取值范围．
3．对于A B可以分为两类去讨论： (1)A＝Ø，(2)A≠Ø，特别注意不要遗漏A＝Ø的 情况。在解决子集的有关问题时，常常需要数形结 合，借助于数轴，通过图示找到相应的关系式，从而 使问题获得解决．

A B
记作A B(或B A). 如 : {1,2} {1,2,3,4} 符号语言： 若A B, 且存在x B但x A,则A B. 图形语言： 若A B,且A B,则A B.
A B
新知探究：空集
问题4 方程x2+1=0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？ 我们知道，方程x2+1=0是没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根
集合
元素个数 子集个数
真子集 非空子集
个数
个数
结论：
0
1
{a}
1
2
集合A有n(n≥0)个元素,则 A的子集有2n个,
{a,b}
2
4
A的真子集或非空子集有2n-1个, {a,b,c}
3
8
A的非空真子集有2n-2个(n≥1). {a,b,c,…} n
2n
0 1 3 7
2n 1
典例解析 例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： （1）A={1, 2, 3}，B={x|x是8的约数}； （2）A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 解：(1) 因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. (2) 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合A是集合B的子集.
如：{x||x|=1}={x|x2=1}
符号语言： 若A⊆B且B⊇A，则A=B.
图形语言：
A(B)
A B BA
集合相等是集合包含关系中的特殊情况。
集．
(1) A＝{1,3,5}，B＝{1,2,3,4,5}； (√)
(2) A＝{1,3,5}，B＝{1,3,6,9}； (×)
变式 已知集合A满足{1，2}⫋A⊆{1,2,3, 4},写出满足条件的集合A.

2019年8月23日星期五
练习：用适当的符号填空
Z R ； N N+
◆注：任何一个集合是它本身的子集即
A A
2019年8月23日星期五
2.在数学中，经常用平面上的封闭 曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.
A
B
思考1
包含关系 {a} A与属于关系a A 有什么区别吗？
2019年8月23日星期五
1.1.2集合间的基本关系
实数有相等关系、大小关 系，如5＝5，5＜7，5＞3， 等等，类比实数之间的关系， 你会想到集合之间的什么关系？
思考
2019年8月23日星期五
• 下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？ • （1）设A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}. • （2）设A ={x|x是正方形} ,B ={x|x是平行四边形} . • （3）设A为高一(2)班所有的女生组成的集合，B为高一(2)
A B(或B A) 读作：A真含于B（或B真包含A）
2019年8月23日星期五
注 意
由此可见，集合A是集合B 的子集，包含了A是B
的真子集和A与B相等两种情况.
与实数中的关系类比是：≤
思考4
方程 x2 +1 = 0 的实数根能够组成集合！ 那你们能找出它的元素吗？
2019年8月23日星期五
我们规定： 不含有任何元素的集合叫做空集，
注 与 的区别：前者表示集合与集合之间的关系；
意 后者表示元素与集合之间的关系.
思考2
a与{a}一样吗？有什么区别？
一般地，a表示一个元素，而{a}表示只 有一个元素的一个集合. a ={a}是错误的.
2019年8月23日星期五

新知探究1：子集
子集的定义： 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包 含关系，称集合A为集合B的子集. 记作：A B (或B A ). 读作：“A包含于B” (或“B包含A”). 符号语言：任意x A，有x B, 则A B.
新知探究1：子集
人教版数学课本必修一 第一章 第二节
集合间的基本关系
复习引入
1.集合中元素的三大特性：确定性 、互异性、无序性．
2.元素与集合的关系
意义
读法 符号表示
a 是集合 A 的元素 a 属于集合 A a∈A
a 不是集合 A 的元素 a 不属于集合 A a A
3.常用数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示 N
N 或N
Z
Q
R
4.集合的表示法：列举法 、描述法．
新知探究1：子集
思考1：两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5＜7，5＞3， 等等.类比两个实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
新知探究1：子集
观察下面三组集合，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能 发现下面两个集合之间的关系吗？
(× ) (× ) (√ )
新知探究2：集合的相等
第三组集合
③ A={x| x是两条边相等的三角形}, B={x | x是等腰三角}. 集合A中的元素和集合B中的元素相同，集合A与集合B相等
思考2：能否仿照实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”， 用集合的语言描述集合A和集合B相等?
a ≥b
BHale Waihona Puke Ab ≥aA Ba=b
A= B
新知探究2：集合的相等

[解] ①当 B＝∅时，由 m＋1>2m－1，得 m<2. ②当 B≠∅时，如图所示，
∴m2m＋－1≥ 1<－5，2， 2m－1≥m＋1
或m2m＋－1>1≤－52，， 2m－1≥m＋1，
解这两个不等式组，得 2≤m≤3. 综上可得，m 的取值范围是{m|m≤3}．
[方法技巧] 已知集合间的关系求参数问题的解题策略
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)实数中“≤”类似于集合中“⊆”．
()
(2)若 a∈A，集合 A⊆B，则必有 a∈B.
()
(3)若 A B，则集合 A 中必定存在元素不在集合 B 中． ( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( )
有元素“1”，而集合 N 不含元素“1”，故 N M. 法二：由列举法知 M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7，9，…}，所以 N M.
[方法技巧] 判断集合间关系的常用方法
列举 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得 观察法 出集合之间的关系
集合元素 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利 特征法 用集合元素的特征判断关系
(3)集合 A＝{x|1<x<b}中一定含有元素吗？当 A 中含有元素时，试用数 轴表示其所包含的元素．
提示：不一定．当 b≤1 时，A＝∅，其不含有任何元素．当 b>1 时，集 合 A 中的元素用数轴可表示为：
【学透用活】 [典例 3] 已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B A， 求实数 m 的取值范围．
(二)基本知能小试

因此集合A的子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}，{4,-1,4}.
集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是
集合A的子集（B A），此时，集合A与集合B中
的元素是一样，因此，集合A与集合B相等，记作：A＝B
如：A={x|(x-3)(x+4)集合
元素个数
子集个数

0
1
0
{a}
1
2
1
{a,b}
2
4
3
{a,b,c}
3
8
7
{a,b,c,…}
n
2n
集合A有n(n≥0)个元素,则
A的子集有2n个,
A的真子集或非空子集有2n-1个,
A的非空真子集有2n-2个(n≥1).
2n 1
规律总结：
1. 写集合子集的一般方法：
先写空集，然后按照集合
解 : 集合{a , b, c }的所有子集为：
，{a }, {b}, {c }, {a , b}, {a , c }, {b, c }，{a , b, c }.
集合{a , b, c }的所有真子集为：
，{a }, {b}, {c }, {a , b}, {a , c }, {b, c }.
观察与推理——元素个数与子集个数的关系
教学难点：
元素与子集，即属于与包含之间的区别.
【温故知新】
1. 集合中的元素具有的特性：
确定性，互异性，无序性
2. 常用数集及其记法：
自然数集：N．
正整数集： N* 或 N+ ．
整数集：Z ．
有理数集： Q．
实数集：R．

2．已知a＝ 5，A＝{x|x> 3，x∈R}，则( )
A．a⊆A
B．{a}⊆A
C．{a}∈A D．{a}＝A
答案：B
解析：因为a＝ 5，A＝{x|x> 3，x∈R}，所以a∈A或{a}⊆A.故选B.
3．已知集合A＝{x|2<x<6，x∈N}，则集合A的子集的个数为( )
A．3
B．4
C．7
D．8
即m∈∅. 故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
题后师说
根据集合的包含关系求参数的策略
跟踪训练3 已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1，3，2m－1}，若A⊆B， 求实数m的值．
解析：因为A⊆B，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，B＝{－1，3，1}，A＝{3，1} 满足A⊆B.
1.2 集合间的基本关系
预学案
共学案
预学案
一、子集❶
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的___子_集____
记法与读法 记作___A_⊆_B___(或B⊇A)，读作“_A包__含_于__B__”(或“B包含A”)
图示
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即___A_⊆_A___； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则___A_⊆_C___
题型 3 由集合间的关系求参数范围 例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若 A⊆B，求实数m的取值范围．
2m − 1 > m − 6，
m > −5，
解析：∵A⊆B，∴ቐ m − 6 ≤ −2， 解得ቐ m ≤ 4，