地板砖的铺设(数学建模)
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大班数学铺地砖教案
大班数学铺地砖教案
1. 教学目标
本课程通过学习铺地砖的方式，帮助幼儿提高手眼协调能力，理解空间概念，学会分析、解决问题的能力，掌握简单数学知识。
2. 教学准备
•坐垫和地砖模型
•比例尺
•卷尺
•教学课件
3. 教学过程
步骤一：引入
老师在黑板上画出教室的布局并贴上地砖模型，介绍地砖的大小、形状、颜色等特征，并引导幼儿发现地砖中的形状和图案，培养幼儿的观察能力和注意力。
步骤二：讲解铺地砖的基本知识
老师通过课件展示铺设地砖的基本知识，比如地面验收、地面材料施工、地面处理等，引导幼儿了解铺设地砖的基本流程。
步骤三：进行数学计算
•首先，老师让幼儿量一下教室的长和宽，然后使用比例尺把教室的地形缩小为一定的比例。
•然后，老师用坐垫模拟地砖大小，邀请幼儿一起测量坐垫的长和宽，计算出每个坐垫所占地面积。
•接着，老师把地面面积计算出来，再用每个坐垫的大小计算出需要多少个坐垫来铺设。
•最后，老师展示数学式子，让幼儿自己解题，培养幼儿的分析、解决问题的能力。
步骤四：实际操作
老师为幼儿提供地砖模型和卷尺，让幼儿实际操作铺设地砖，锻炼幼儿的手眼协调能力和空间认知能力。
步骤五：总结
通过本次铺设地砖的活动，幼儿掌握了铺设地砖的基本流程，了解了简单的数学计算知识，并通过实际操作来加深对空间概念的理解，同时也培养了幼儿的团队协作精神和动手能力。
4. 教育评估
本次活动通过对幼儿的观察、听取幼儿的发言和展示技能等方式进行评估。
同时，为了培养幼儿的自我评估能力，在本次活动结束时，老师要鼓励幼儿积极评价自己的表现，培养幼儿的自我认知能力。
地板砖铺设
值得注意的是，上述方案未考虑切割后废料的再利用和再切割利用， 下面考虑废料的再利用，在运用 MATLAB 进行计算处理的时候建立一 个备忘，将切割后的废料存入备忘，在第一步整砖铺设完成以后，一 方面考虑整砖的切割，另一方面从废料中搜索符合尺寸的废料，原则 是优先选择废料进行填补之后考虑废料和整块的切割工作，通过 MATLAB 进行求解其总费用，通过利用率公式，求得利用率，以及美 观公式，求得美观率，并对利用废料前后各数据进行对比
1 对问题一的分析 问题一要求建立地板砖铺设总成本的模型。以铺设成本为函数，以 寻求该函数的最小值为目标，以房间面积为约束条件。且决策变量取 整数，符合整数线性规划的定义。将所给需铺设的户型分为十三个区 域。先计算每一区域的最小费用，最后叠加求解总的最小费用。 2 对问题二的分析
问题三与问题二不同之处在于用多种砖进行铺设，我们先进行性
对整个布局划分情况如下图所示：
将整个平面布局划分为以上 13 个区域，然后运用整数线性规划知
识对模型进行建立：
min w wi 13
wi
mijtij
nij tij '
13 5
13 5
s.t.si a jbjmij a j'bj'nij
5
5
以上就是建立的总成本模型，值得注意的是对单独一个区域进行矩
切割块数 77 66 78 50 30 22 144 109 61 45
未切割块数 170 170 325 325 721 721 775 775 1449 1449
费用（元） 利用 45974.72 0.8457 43778.54 0.8851 53392.23 0.9214 49394.25 0.9902 60272.84 0.9889 59579.98 0.9996 66999.18 0.9092 64276.55 0.9452 68126.15 0.9837 67359.88 0.9943
1 对问题一的分析 问题一要求建立地板砖铺设总成本的模型。以铺设成本为函数，以 寻求该函数的最小值为目标，以房间面积为约束条件。且决策变量取 整数，符合整数线性规划的定义。将所给需铺设的户型分为十三个区 域。先计算每一区域的最小费用，最后叠加求解总的最小费用。 2 对问题二的分析
问题三与问题二不同之处在于用多种砖进行铺设，我们先进行性
对整个布局划分情况如下图所示：
将整个平面布局划分为以上 13 个区域，然后运用整数线性规划知
识对模型进行建立：
min w wi 13
wi
mijtij
nij tij '
13 5
13 5
s.t.si a jbjmij a j'bj'nij
5
5
以上就是建立的总成本模型，值得注意的是对单独一个区域进行矩
切割块数 77 66 78 50 30 22 144 109 61 45
未切割块数 170 170 325 325 721 721 775 775 1449 1449
费用（元） 利用 45974.72 0.8457 43778.54 0.8851 53392.23 0.9214 49394.25 0.9902 60272.84 0.9889 59579.98 0.9996 66999.18 0.9092 64276.55 0.9452 68126.15 0.9837 67359.88 0.9943
地板砖的铺设(数学建模)
地板砖的铺设在问题1中，由于整个建筑的平面图较复杂，我们把整个图进行分割简化为14个矩形区域。
首先我们采用高斯函数求未被切割的地板砖的块数，利用自定义的向上取整公式得到所需总的地板砖的块数，然后根据0－1规划算出被切割的长度，加上安装工人的费用则得到总费用的表达式；在问题2中，首先我们利用问题1中的向上取整算出各种规格的地板砖所需要的总块数分别是800*800需要260块，600*600需要421块，600*300需要804块，400*400需要934块，300*300需要1509块，然后再用计算所需每种规格地板砖的总面积与被铺设的区域的总面积得的利用率分别是800*800利用率0.78 ，600*600利用率0.85 ，600*300利用率0,89，400*400利用率0.87，300*300利用率0.95。
在用0－1规划算和高斯函数计算出各个规格地板砖的切割总长度，再分别乘于切割单价，由于铺设的面积大小相同所以安装费用相同，因此我们暂时不考虑，只计算各个规格地板砖的切割费与购买费用之和分别是800*800费用是47207元，600*600费用是55131元，600*300费用是64714.5元，400*400费用是67648.25元，300*300费用是68300元，经过比较可以知道800*800规格的费用最低在问题3中，在问题3中，先考虑使用整块铺设，且整块铺设优先选用边长的，我们只考虑四种变长情况，即800*800，600*600，400*400和300*300最后不能被整块铺设的地方用300*300铺设，因为剩下的面积往往很小（且靠矩形总面积的边界），用大砖切割不经济。
最后每个区域300*300的块数>=2时，我们同样把2块300*300换成1块300*600的。
在这个问题的考虑中我们使用了多元目标的线性规划，在考虑区域的边长被组合铺设后是否有剩余，采用了0—1规划。
利用了C语音编程求解在问题4中，则是对模型改进的建议，我们认为要考虑墙体的厚度及余料的利用，这样我们就能更节省问题概述假定工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示的5种类型的地板砖。
地板砖的优化铺设
重庆理工大学第十七届数学建模竞赛电子信息与自动化学院参赛作品参赛学生信息：姓名学号联系电话所在学院所选题目：A竞赛题目：A地板砖铺设问题B 金融市场价格波动分析地板砖的优化铺设摘要：本文讨论了将一种固定形状的材料铺设到某种物体表面的最佳布置方案及最少费用问题，即最优化问题。
通过构建线性规划的目标函数和约束条件、分类讨论，遍历法以及编写程序，并借助lingo 软件，分别给出了三个问题的解决方案，建立了三个模型。
求出了地板砖铺设总成本的模型、同规格地板砖铺设及不同规格地板砖混合铺设两种情况下的最优地板铺设方案和最少费用。
我们以铺设费用为主要因素，并且充分考虑了地板砖利用率，给出各自权重，根据不同情况调整权重来计算对铺设方案的综合影响。
针对问题一需要得出所需地板砖与房屋面积的关系，综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。
我们采用线性规划的目标函数和约束条件的方法，切割地板增加了附加费用。
首先题目根据所给各因素，列出目标函数，然后结合几何知识进行推理分析，得到约束条件，转化为非线性问题，最后建立目标函数模型。
算出图表（见附录2）。
针对问题二只用一种地板铺设的情形，首先，对五种地板的估计数据，根据现实实际考虑因素设立权重，得到较合理的一个数据。
然后，在第一问的基础上，将i（模块）不同而j（同规格地板砖）相同下的Qij相加后得到各种规格的铺设总费用。
再计算出不同规格地板砖总费用。
最后借助lingo软件，分别给出问题的解决方案，并计算出前后不同规格的地板砖利用率，进而得到不同规格的地板砖铺设方案和最少花费。
最后由所得数据分析得：只用一种规格地板砖铺设时，用800mm*800mm所用费用最少，为最优选择，具体结果见正文。
针对问题三多种地板混合铺设情形复杂，我们采用遍历法。
主要思想由已知可推断出，面积越大的地板，单位价格越小，故在选择地板时候，首先优先选择遍历面积大的地板，切割时候优先选择切割费用小的地板。
9.3用正多边形铺设地面ppt课件
8
规律：
使用给定的某种正多边形，当围 绕一点拼在一起的几个内角和加在 一起恰好组成一个周角( 360°)时， 就能拼成一个平面图形。
9
数学模型：正多边形个数×正多边形一个 内角度数=360º
这就说明：当 360°÷(n-2)n×180°
即
2n
n2
为正整数时，
用这样的n边形就可以铺满地板．
探究
2n ＝ 2(n 2) 4
4
＝２＋
n只能是n 哪2些数？
n2
３
４
n2
６
10
二、用多种正多边形铺设地 面
11
我是小小设计师（基础篇）
▪ 请同学们利用边长相等的正 三角形、正方形、正六边形 的拼图纸，设计不同拼法， 比一比哪个组设计得又多又 漂亮。
12
.。 360 13
.360。
14
.。 360 15
.。 360 16
1
一、用相同的正多边形铺设 地面
2
正三角形、正四边形、正五 边形、正六边形、正七边形、 正八边形...........等能单独 铺满地板吗？为什么？
3
能！
.360。
4
能！
.。 360
5
正五边形瓷砖
108°
108° 108°
不能！
围绕每一点有3个角，3个角和为3×108°= 324°≠360°
6
能！
.。 360 7
正七边形正八边形 呢？
想一想， 为什么？
正八边形的每个内角为 (8-2) ×180°÷8=135°
围绕每一点有3个角,3个角和为3×135°=405°>360°不能！
正七边形的每个内角为 (7-2) ×180°÷7≈128.6°
规律：
使用给定的某种正多边形，当围 绕一点拼在一起的几个内角和加在 一起恰好组成一个周角( 360°)时， 就能拼成一个平面图形。
9
数学模型：正多边形个数×正多边形一个 内角度数=360º
这就说明：当 360°÷(n-2)n×180°
即
2n
n2
为正整数时，
用这样的n边形就可以铺满地板．
探究
2n ＝ 2(n 2) 4
4
＝２＋
n只能是n 哪2些数？
n2
３
４
n2
６
10
二、用多种正多边形铺设地 面
11
我是小小设计师（基础篇）
▪ 请同学们利用边长相等的正 三角形、正方形、正六边形 的拼图纸，设计不同拼法， 比一比哪个组设计得又多又 漂亮。
12
.。 360 13
.360。
14
.。 360 15
.。 360 16
1
一、用相同的正多边形铺设 地面
2
正三角形、正四边形、正五 边形、正六边形、正七边形、 正八边形...........等能单独 铺满地板吗？为什么？
3
能！
.360。
4
能！
.。 360
5
正五边形瓷砖
108°
108° 108°
不能！
围绕每一点有3个角，3个角和为3×108°= 324°≠360°
6
能！
.。 360 7
正七边形正八边形 呢？
想一想， 为什么？
正八边形的每个内角为 (8-2) ×180°÷8=135°
围绕每一点有3个角,3个角和为3×135°=405°>360°不能！
正七边形的每个内角为 (7-2) ×180°÷7≈128.6°
常见地面装饰样式建模方法
常见地面装饰样式建模方法一、瓷砖地面。
瓷砖地面那可是相当常见的哦。
如果要给瓷砖地面建模呢，咱们可以把每块瓷砖当成一个小方块。
就像搭积木似的，先确定好瓷砖的尺寸，是正方形的还是长方形的。
比如说正方形瓷砖边长是60厘米，那就在建模软件里创建一个边长60厘米的正方形平面。
要是有花纹的瓷砖呢，可就更有趣啦。
可以给这个小方块贴上有花纹的材质贴图，就像给小方块穿上漂亮衣服一样。
而且呀，瓷砖之间有缝隙，这个缝隙也不能忘记哦。
可以用细线或者小凹槽来表示，这样看起来就特别逼真啦。
二、木地板地面。
木地板建模也不难呢。
木地板一般是长条形状的。
咱们可以想象自己在拼木地板拼图。
先创建一个长条形状的平面，这个平面的长度和宽度就按照实际木地板的尺寸来。
然后呢，木地板有不同的颜色和纹理，就去找那种有木头纹理的材质，给这个长条平面贴上。
还有哦，木地板安装的时候会有拼接的方式，像平接或者榫卯接。
在建模的时候，我们可以通过调整模型的边缘形状来体现这种拼接效果。
比如说平接的话，边缘就做得平滑一点；榫卯接呢，就做出那种小凸起和小凹槽的形状，是不是很有成就感呀？三、地毯地面。
地毯就更柔软的感觉啦。
在建模的时候，我们可以把地毯当成一块有厚度的柔软面片。
先创建一个平面，这个平面的大小就是地毯的大小。
然后给这个平面增加厚度，让它看起来像真的能踩上去软软的。
地毯的图案那可丰富啦，有纯色的，有带花纹的。
如果是带花纹的，就找那种超美的花纹材质贴图贴上去。
而且地毯的边缘有时候会有流苏或者包边呢。
流苏可以用一些小线条来模拟，包边就创建一个窄窄的条状物沿着地毯边缘围起来，这样一个超级温馨的地毯地面就建模好啦。
四、大理石地面。
大理石地面那可高大上啦。
大理石通常是大块的，而且每块大理石的纹理都特别独特，就像大自然的艺术品。
建模的时候，创建一个比较大的平面，这个平面的大小就是大理石块的大小。
然后重点来喽，大理石的纹理很关键。
我们要找那种超级逼真的大理石纹理材质，而且要注意纹理的走向，让它看起来自然。
死理性派的酷炫搬砖法：这样铺地板，值一座诺贝尔奖！
死理性派的酷炫搬砖法：这样铺地板，值一座诺贝尔奖！2011年诺贝尔化学奖授予以色列人丹尼尔·舍特曼（Daniel Shechtman），他观察到自然界中基本粒子存在非周期性排列的现象。
这个准晶模型的发现，拓展了整个晶体学界的知识域和审美视野。
但其实，在此之前数学界就已经研究过这个问题，并且持续探索了半个世纪之久，到今天虽然依旧留有悬念，不过结果已然精彩纷呈。
问题的起源可以非常简单，不妨让我们从地板砖说起。
你注意过脚下的地板砖是什么形状吗？它们通常都是正三角形、正方形和正六边形。
事实上，如果想要用单一的一种正多边形铺满整个平面，那么正三角形、正方形和正六边形是仅有的三种选择。
这是因为，这三种图形的内角分别是60° 、90° 和120° ，它们都是360 的约数。
如果换作内角为108° 的正五边形，那么它无论如何也没法既无重复又无遗漏地铺满整个平面——三个正五边形相接，不能摆满360° ；四个正五边形相接，又超过360° 了。
正多边形平铺平面的能力不过，如果允许多种形状不同的砖块组合，我们就能得到几乎是无穷无尽的地板砖设计方案。
我们甚至能构造出这么一种极端的情况：单看每一种砖块都不是平铺平面的料，但把它们合在一起，就能得到一个漂亮的平铺方案。
在下图中，基本的砖块只有四种，正五边形、正十边形、正五角星和一个包含 16 条边的 8 字形砖块。
这四种砖块都没法单独平铺平面，但彼此合作就能得出一个不错的平铺图：一个非周期性的平铺方案请注意，这个平铺方案和我们之前的那些方案有一个很大的不同：它不是周期性的！换句话说，它不是某一种基本模式的重复排列，不管怎样对整个平面进行平移，图案都不能和原来重合。
但这其实有些故弄玄虚的味道。
因为事实上，我们可以用这四种砖块实现一个简单的周期性平铺：一个周期性的平铺方案于是我们想问：存在一组砖块，它可以平铺整个平面，但只能用非周期性的方法才能平铺整个平面吗？其实，为了给这个问题找出一个完美的回答，数学家们已经奋斗了整整半个世纪。
大班数学操作活动：铺地砖（二篇）
大班数学操作活动：铺地砖活动名称：铺地砖活动目标：通过模拟铺地砖的操作实践，培养学生的观察力、动手能力和团队合作精神。
活动对象：大班幼儿活动准备：1. 第一组：足够数量的塑胶砖。
2. 第二组：足够数量的大型铺地图纸。
3. 第三组：准备数个区域模拟地面。
活动步骤：第一步：介绍活动（10分钟）1. 组织学生坐成一个大圆圈，引导他们观察铺地图纸和地面模拟区域。
2. 分享关于铺地砖的一些基本知识，例如地砖的种类、形状和颜色。
3. 引导学生讨论铺地砖的方法和步骤。
第二步：分组准备（10分钟）1. 将全班随机分成若干小组，每个小组由3-4名学生组成。
2. 每个小组领取一定数量的塑胶砖和地砖图纸。
3. 展示给学生一张已经铺好地砖的图片，鼓励他们就地砖的形状和颜色进行讨论和观察。
第三步：团队合作（20分钟）1. 确定每个小组的地面模拟区域。
2. 引导学生根据图纸上的线来认真铺砖，并以图纸为参考。
3. 鼓励学生相互合作，共同完成任务。
第四步：分享和评价（10分钟）1. 学生完成铺地砖的任务后，邀请他们集体观察各组的成果，并一起分享各组的经验和困难。
2. 引导学生回顾整个活动，提出对铺地砖操作的改进建议。
活动延伸：1. 鼓励学生根据自己的想象和创造力设计地砖图案。
2. 引导学生进行更复杂的地砖铺设，例如斜铺、拐角等。
活动背景：铺地砖是一个需要细心观察和动手操作的活动。
通过这个活动，幼儿可以锻炼自己的空间感知能力和动手能力。
同时，通过小组合作，他们还可以培养团队合作和沟通交流的能力。
这个活动可以在室内进行，通过模拟地面和地砖，让幼儿们充分参与和体验真实的铺设过程。
大班数学操作活动：铺地砖（二）教学目标：1. 学生能够理解铺地砖的基础概念和操作步骤。
2. 学生能够通过实际操作，掌握正确的铺砖方法和技巧。
教学准备：1. 地面铺砖素材，可以是实际的瓷砖或者图片，以供学生观察。
2. 教师准备一些小方块的模型，以进行操作演示。
大班数学操作活动：铺地砖
大班数学操作活动：铺地砖活动名称：铺地砖活动目标：通过模拟铺地砖的操作实践，培养学生的观察力、动手能力和团队合作精神。
活动对象：大班幼儿活动准备：1. 第一组：足够数量的塑胶砖。
2. 第二组：足够数量的大型铺地图纸。
3. 第三组：准备数个区域模拟地面。
活动步骤：第一步：介绍活动（10分钟）1. 组织学生坐成一个大圆圈，引导他们观察铺地图纸和地面模拟区域。
2. 分享关于铺地砖的一些基本知识，例如地砖的种类、形状和颜色。
3. 引导学生讨论铺地砖的方法和步骤。
第二步：分组准备（10分钟）1. 将全班随机分成若干小组，每个小组由3-4名学生组成。
2. 每个小组领取一定数量的塑胶砖和地砖图纸。
3. 展示给学生一张已经铺好地砖的图片，鼓励他们就地砖的形状和颜色进行讨论和观察。
第三步：团队合作（20分钟）1. 确定每个小组的地面模拟区域。
2. 引导学生根据图纸上的线来认真铺砖，并以图纸为参考。
3. 鼓励学生相互合作，共同完成任务。
第四步：分享和评价（10分钟）1. 学生完成铺地砖的任务后，邀请他们集体观察各组的成果，并一起分享各组的经验和困难。
2. 引导学生回顾整个活动，提出对铺地砖操作的改进建议。
活动延伸：1. 鼓励学生根据自己的想象和创造力设计地砖图案。
2. 引导学生进行更复杂的地砖铺设，例如斜铺、拐角等。
活动背景：铺地砖是一个需要细心观察和动手操作的活动。
通过这个活动，幼儿可以锻炼自己的空间感知能力和动手能力。
同时，通过小组合作，他们还可以培养团队合作和沟通交流的能力。
这个活动可以在室内进行，通过模拟地面和地砖，让幼儿们充分参与和体验真实的铺设过程。
地板砖的铺设(数学建模)
地板砖的铺设在问题1中，由于整个建筑的平面图较复杂，我们把整个图进行分割简化为14个矩形区域。
首先我们采用高斯函数求未被切割的地板砖的块数，利用自定义的向上取整公式得到所需总的地板砖的块数，然后根据0－1规划算出被切割的长度，加上安装工人的费用则得到总费用的表达式；在问题2中，首先我们利用问题1中的向上取整算出各种规格的地板砖所需要的总块数分别是800*800需要260块，600*600需要421块，600*300需要804块，400*400需要934块，300*300需要1509块，然后再用计算所需每种规格地板砖的总面积与被铺设的区域的总面积得的利用率分别是800*800利用率0.78 ，600*600利用率0.85 ，600*300利用率0,89，400*400利用率0.87，300*300利用率0.95。
在用0－1规划算和高斯函数计算出各个规格地板砖的切割总长度，再分别乘于切割单价，由于铺设的面积大小相同所以安装费用相同，因此我们暂时不考虑，只计算各个规格地板砖的切割费与购买费用之和分别是800*800费用是47207元，600*600费用是55131元，600*300费用是64714.5元，400*400费用是67648.25元，300*300费用是68300元，经过比较可以知道800*800规格的费用最低在问题3中，在问题3中，先考虑使用整块铺设，且整块铺设优先选用边长的，我们只考虑四种变长情况，即800*800，600*600，400*400和300*300最后不能被整块铺设的地方用300*300铺设，因为剩下的面积往往很小（且靠矩形总面积的边界），用大砖切割不经济。
最后每个区域300*300的块数>=2时，我们同样把2块300*300换成1块300*600的。
在这个问题的考虑中我们使用了多元目标的线性规划，在考虑区域的边长被组合铺设后是否有剩余，采用了0—1规划。
利用了C语音编程求解在问题4中，则是对模型改进的建议，我们认为要考虑墙体的厚度及余料的利用，这样我们就能更节省问题概述假定工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示的5种类型的地板砖。
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地板砖的铺设在问题1中，由于整个建筑的平面图较复杂，我们把整个图进行分割简化为14个矩形区域。
首先我们采用高斯函数求未被切割的地板砖的块数，利用自定义的向上取整公式得到所需总的地板砖的块数，然后根据0－1规划算出被切割的长度，加上安装工人的费用则得到总费用的表达式；在问题2中，首先我们利用问题1中的向上取整算出各种规格的地板砖所需要的总块数分别是800*800需要260块，600*600需要421块，600*300需要804块，400*400需要934块，300*300需要1509块，然后再用计算所需每种规格地板砖的总面积与被铺设的区域的总面积得的利用率分别是800*800利用率0.78 ，600*600利用率0.85 ，600*300利用率0,89，400*400利用率0.87，300*300利用率0.95。
在用0－1规划算和高斯函数计算出各个规格地板砖的切割总长度，再分别乘于切割单价，由于铺设的面积大小相同所以安装费用相同，因此我们暂时不考虑，只计算各个规格地板砖的切割费与购买费用之和分别是800*800费用是47207元，600*600费用是55131元，600*300费用是64714.5元，400*400费用是67648.25元，300*300费用是68300元，经过比较可以知道800*800规格的费用最低在问题3中，在问题3中，先考虑使用整块铺设，且整块铺设优先选用边长的，我们只考虑四种变长情况，即800*800，600*600，400*400和300*300最后不能被整块铺设的地方用300*300铺设，因为剩下的面积往往很小（且靠矩形总面积的边界），用大砖切割不经济。
最后每个区域300*300的块数>=2时，我们同样把2块300*300换成1块300*600的。
在这个问题的考虑中我们使用了多元目标的线性规划，在考虑区域的边长被组合铺设后是否有剩余，采用了0—1规划。
利用了C语音编程求解在问题4中，则是对模型改进的建议，我们认为要考虑墙体的厚度及余料的利用，这样我们就能更节省问题概述假定工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示的5种类型的地板砖。
根据需要铺设的房屋地面结构用地板砖进行铺设。
假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。
⒈综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，并建立计算地板砖铺设总成本的模型。
假如只使用一种尺寸的地板砖进行铺设，设计一种算法进行地板砖的自动铺设，⒉同时计算出铺设地板砖的块数、利用率和总费用，综合比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。
⒊若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，设计一种算法是的实现地板砖的自动铺设，并且计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。
⒋根据以上3问得出的模型、算法及计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。
问题分析由于本题中，用地板砖对房屋的铺设需要考虑的因素有：购买地板砖的费用，安装工人的工资，切割工人的工资，美观程度地板砖的规格参数以及切割方式的限制，我们对题目的分析如下：1 对于问题一的分析首先要得出在铺设地板砖中未被切割的块数以及总需要的块数（已把损耗考虑进去），则被切割的地板砖的块数就是两者之差，然后算出美观的程度，利用总数得出所需要的地板砖的总成本，再加上安装工人的安装费，所有之和就是总费用2 对于问题2的分析利用每种规格的地板砖自分别计算出所需的总的地板砖的块数（已把损耗考虑进去）和不需要被切割的地板砖的块数，用铺设的面积除于所购瓷砖的总面积则计算出利用率3 对于第3问的分析用多种地板砖进行铺设，要考虑其规格对矩形区域的限制，因此可以进行多目标线性规划，对各种规格的地板砖进行逐一考虑，在计算美观度，利用率，总费用与第二问中的数据进行对比，体现多种地板砖进行混铺时的优缺点。
4 对于问题4的分析由于以上的问题没有将余料的考虑进行利用，则需要进行余料重新利用的考虑问题假设1假设在铺设地板砖的过程中，进过切割后的剩余的的余料不再利用。
2假设在进行对铺设的区域的面积时，忽略墙体的厚度。
3假设地板砖在切割的过程中，不会产生损耗。
符号说明铺设第k 个矩形地板砖的安装费用kA第i 种地板砖的长 i a第i 种地板砖的破损概率。
i B第i 种地板砖的宽i b切割单位长度的地板砖所需费用0.005/mm （C 元） C地板砖类型 （i=1,2,3,4,5） i被铺设的矩形区域（编号为k=1,2,3。
14）k铺设第k 个矩形所需的第i 种地板砖的块数。
i k铺设第k 个矩形购买地板砖的费用 k L 第k 个矩形的长k Length第k 块区域切割长度k M被切割的块数i m所需i 型地板砖的数量 i n第i 种地板砖的单价i p铺设第k 个矩形地板砖的切割费用。
k Q户型面积fs所需地板砖的面积 z s第k 块区域的面积k S第k 个矩形的宽k Width房屋地板砖铺设总花费W铺设第k个矩形地板砖所需总费用。
Wk单位面积的安装费用Zη利用率美观度λ模型的建立与求解问题1首先由于铺设的平面比较复杂，我们把平面分为如图1.1所示，图1.1建立模型一房屋地板砖铺设总花费计算公式为：141kk W W==∑ (1)其中铺设第个矩形区域地板砖所需总费用计算公式：k k k k W L A Q =++(2)则铺设第个矩形购买地板砖的费用计算公式：51k i ii L p n ==⨯∑ (3)定义*R I ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为向上取整公式，即不小于的最小整数*1R R R I I I R Y I R R R I I I ⎧⎡⎤⎡⎤+>⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎨⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩(4) 其中不需要被切割的地板砖的块数：= 1k k i i i iLength Width a b n B **⎡⎤⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- (5)铺设第个矩形地板砖的安装费用计算公式：= Z k k A S ⨯ (6)铺设第个矩形地板砖的切割费用计算公式 ：k k Q C M =⨯ (7)而对于切割费用的的计算，运用0－1规划，令10,0G = 1,0k k i i k k i i Length Length a a Length Length a a **⎧⎡⎤⎪-=⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪-≠⎢⎥⎪⎣⎦⎩(8)*2*0,0G = 1,0k k i i k k i i Width Width b b Width Width b b ⎧⎡⎤⎪-=⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪-≠⎢⎥⎪⎣⎦⎩(9)则切割长度的数学表达为：12G k k k M Length G Width ⨯=+⨯ (10)美观度计算公式**(1)k i i i k k i Length Width B a b Length Width a bi λ⎡⎤⎡⎤-⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (11) 问题2 模型二对于用同一种尺寸的地板砖进行铺设，先利用模型一中的以下公式：= 1k k i i iiLength Width a b n B **⎡⎤⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- (12)可求的所需的第种地板砖的总块数则利用率的可表示为:f i is n s η=（13）总费用可表示为14121((G ))i i k k k k W n s C Length G Width A ==⨯+⨯+⨯+∑（14）经过计算的到的数据如图2.1所示图2.1问题3准别条件：优先使用整块铺设，且整块铺设优先选用边长的，五中砖的规格中，4种是正方形，剩下的300*600，可以切分为2块300*300，在考虑问题的时候，因为任何一种长宽不同矩形都会有两种铺法，而对与正方形来就没有这种考虑我们只考虑四种变长情况，即800*800，600*600，400*400和300*300，而当整块300*300的块数出现>=2时，我们把两块300*300的合并成一块300*600，根据单位面积的价格，大砖更加经济。
最后不能被整块铺设的地方用300*300铺设，因为剩下的面积往往很小（且靠矩形总面积的边界），用大砖切割不经济。
当计算所用300*300的块数>=2时，我们同样把2块300*300换成1块300*600的。
首先，根据尽量铺大块的砖，（且在考虑中只有涉及4种规格的正方形砖），从矩形的长和宽分别进行考虑。
长（length）的考虑使得四种规格组合的边长相加最大程度达到到区域边长，且限制条件1：边长越长的砖块越优先。
限制条件2区域总变长-组合边长<300,同理从宽（width ）的角度使得四种规格组合的边长相加最大程度达到到区域宽长，限制条件1：边长越长的砖块越优先。
限制条件2区域宽长-组合宽长<300。
数学公式 区域长的角度 设需要边长800的数量i1,边长是600的数量为i2，边长为400的数量为i3,边长为300的数量是i4 区域宽的角度 设需要边长800的数量j1,边长是600的数量为j2，边长为400的数量为j3,边长为300的数量是j4数学模型3根据题目的要求，我们得到以下的限制条件:Length-(800*i1+600*i2+400*i3+300i4)<300（15）Width-(800*i1+600*i2+400*i3+300i4)<300（16）1800length i ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (17)2800800600length lengthi⎡⎤⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(18)3800800600600=400lengthlengthlengthi⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(19) 1800widthj⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(20) 2800800600widthwidthj⎡⎤⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(21) 3800800600600=400widthwidthwidthj⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(22)运用程序求解代码得到最佳组合数据如下砖块计算公式某个区域需要的砖块数量1111800800800width length k i j i j ⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （23） 2222600600600width length k i j i j ⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （24）3333400400400width length k i j i j ⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （25） 4444300300300width length k i j i j ⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （26）进过C 语言计算得到每个区域的各种规格的地板砖的最佳结果，如下表所示再考虑剩下剩下来的面积用300*300的铺设。