3.2017_2018学年北京市西城区初三第一学期期末数学试题(答案)

北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数()257y x =-+的最小值是 A ．7- B ．7 C ．5-D ．52．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35B ．53C ．45D ．343．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．C ．．4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)，AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为 A ．(2-，4)B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与 灯塔P 的距离BP 的长可以表示为 A ．40海里B ．40tan37°海里C ．40cos37°海里D ．40sin37°海里8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点， 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为 A ．30° B ．45° C ．50°D ．70°9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+ C．300(6020)y x =- D ．(60)(30020)y x x =--10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10- C ．42-D ．24-二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a bb+的值为． 12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB =20．点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件 的AD 的长度值：AD =．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺，CD =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为． BAC16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是；由此可证明直线P A ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD 求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠BDC ．（2）若AB =12，AD =8，CD =15，求DB 的长．21．某小区有一块长21M ，宽8M 的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x M 的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方M ，人行通道的宽度应是多少M ？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ． （1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为直接写出∠BAF 的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90M 到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少M ．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：∠PCE =∠PEC ； （2）若AB =10，ED =3，sin A =3，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+双曲线2ky x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点． 观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式kax b x+>的解集． 有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<；（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中 画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解读式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数21y x bx c =-++的表达式；（2（328．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC = 4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________； （2）当4<BD <8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1 图2 图3（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；，0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在②自点A(1第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．图4北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=24………………………………………………………3分=162-=112．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=12AB=6，…………………………………1分AD=AB·cos∠BAD =12·cos30°=2分∵BC=15，∴CD= BC－BD=15－6=9．………………………………………………………3分∴在Rt△ADC中，tan C=ADCD……………………………………………………4分=9=3．………………………………………5分19．解：（1）令0=y ，则2230x x -++=．解得 11-=x ，32=x ．………………………………………………………1分 ∵点A 在点B 的左侧，∴A （1-，0），B （3，0）．…………………………………………………2分 对称轴为直线1=x ．…………………………………………………………3分 （2）∵当1x =时，4=y ，∴顶点C 的坐标为（1，4）．…………………………………………………4分∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（1，4-）．∵AB =4，∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1442162=⨯⨯⨯=．………………………………5分20．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ．……………………1分 ∵∠A =∠BDC ，∴△ABD ∽△DCB ．……………………3分（2）解：∵△ABD ∽△DCB ，∴AB ADDC DB=．…………………………………………………………4分 ∵AB =12，AD =8，CD =15， ∴12815DB=． ∴DB =10．………………………………………………………………5分21．解：根据题意，得 (213)(82)60x x --=．…………………………………………2分整理得 211180x x -+=．解得 12x =，29x =．…………………………………………………………3分 ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =．……………………………………………………………………………4分答：人行通道的宽度是2M ．……………………………………………………5分 22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．∴2(4)420k ∆=--⨯=．……………………………………………………1分 解得 2k =．…………………………………………………………………2分（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0），抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ．…………………………………………………………………4分（3）31m -<<．……………………………………………………………………5分 23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，∴AD =DB ， ……………………………………1分∠ADO =90°．∵AB =∴AD =∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，∴∠AOD =60°．………………………………………………………………2分∵在Rt △AOD 中，， ∴OA =︒=∠60sin 32sin AOD AD =4．………………………………………………3分 （2）∠BAF =75°或15°．……………………………………………………………5分24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°，∴∠BAD =90°—∠B =45°． ∴∠BAD =∠B ．∴AD =DB ．……………………………1分 设AD =x ，∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =ADDC，∠ACD =58°， ∴DC =tan 58x．………………………………………………………………3分∵DB = DC + CB =AD ，CB =90，∴tan 58x+90=x ．……………………………………………………………4分将tan58°≈1.60代入方程，解得x ≈240．…………………………………………………………………5分答：最高塔的高度AD 约为240M ．25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵ PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴OC ⊥PC ．……………………………1分∴∠PCO =∠1+∠2=90°．∵PD ⊥AB 于点D ，∴∠EDA =90°．∴∠A +∠3=90°．∵OA =OC ，∴∠A =∠1．∴∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．即∠PCE =∠PEC ．…………………………………………………………2分（2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5A =， ∴BC =AB ·sin A =6．∴AC =22BC AB -=8．………………………………………………………3分∵在Rt △AED 中，ED =32， ∴AE =sin ED A =52． ∴EC=AC －AE =112． ∵∠2=∠4，∴PE=PC ．∵PF ⊥EC 于点F ，∴FC=124分 ∠PFC =90°．图1 图2∴∠2+∠5=90°．∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°．∴∠A =∠5．∴sin ∠5 =35． ∴在Rt △PFC 中，PC =sin 5FC ∠=1255．……………………………………5分26．解：（2）抛物线如图所示； ……………………1分（3）x =4-，1-或1； ……………………3分（4）41x -<<-或1x >．……………………5分27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++， 当0x =和5x =时所对应的函数值相等， ∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称 轴是直线52x =． ∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0）， ∴10,25.2b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………1分 解得 2,5.2c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-．………………………………2分 （2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点， ∴2153222x x x -+=-+-． 解得 12x =，25x =．………………3分∴交点坐标为（2，1），（5，2-）．∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（2，1）．∴点D 的坐标为（2，0）．在Rt △ABD 中，AD =1，BD =1，∴AB 2．…………………………………………………4分（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形．………………………………………5分证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转∴M 是线段BN 的中点．∴MB = MN ．∵M 是线段AC 的中点，∴MA = MC．∴四边形ABCN 是平行四边形．……∵一次函数3y x =-+ 当0y =时，3x =．∴点E 的坐标为（3，0）．∴DE =1= DB ．∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°．同理∠DAB =∠DBA =45°．∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．∴四边形ABCN 是矩形．……………………………………………7分28．解：（1 …………………………2分（2）①补全图形如图所示； ………………3分②结论：（1）中NM 与AB 的位置关系不变．证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠B =45°．∴∠CAN +∠NAM =45°．∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD =AE ，∠DAE =90°．∵N 为ED 的中点，∴∠DAN =12∠DAE =45°， AN ⊥DE ． ∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ．………………………………………………4分在Rt △AND 中，AN AD =cos ∠DAN在Rt △ACB 中，AC AB =cos ∠CAB∵M 为AB 的中点， ∴AB =2AM． ∴22AC AC AB AM ==∴AM AC ． ∴AN AD =AM AC． ∴△ANM ∽△ADC ．∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°．∴∠AMN =90°． ∴NM ⊥AB ．………………………………………………………5分（3）当BD 的长为 6 时，7分29．解：（1）所得图形，如图1所示．……………………1分（2）①45°； ………………………………………3分②(，12)或(12-)； ……………5分 （3）①如图2，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，∴MQ ⊥OQ ．∴∠MQO =90°．∵MO =2，MQ =1， ∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=21=MO MQ ． ∴∠MOQ =30°．M Q∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3．∵QH ⊥x 轴，∴∠QHO =90°．∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°，∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =23．…………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线，∴MD ⊥l ．∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD =∠NPD ．∵PN ∥x 轴，∴∠NPD =∠PDO ．∴∠OPD =∠PDO ．∴OP =OD ．∵OF ⊥PD ，∴∠MFO =90°，PF =FD ．∵cos OMF ∠=MFMOMO MD =，设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1， ∴12212x x +=+．解得x =∵0x >，∴34x -+=．∵PE ⊥OD ，∴∠PED =90°=∠MOD ．∴PE ∥MO ．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos ∠EPD = cos ∠OMF ． ∴MO MFPD PE=． ∴PD MO MFPE ⋅= =122xx +⋅(1)x x =+=158-．…………………………………………………………7分． 可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵坐标的取值范围是15382P y <．………………………………8分。

北京市西城区2018—2018学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．（考最值）二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是A ．1-B ．1C ．2-D ．22．（考圆心角和圆周角的关系）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝40°，则∠AOCA ．20°B ．40°C ．60°D ．80° 3．（两圆位置关系）两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切4．（相似比）三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示.若20cm OA =个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是 A ．5∶2 B ．2∶5 C ．4∶25D ．25∶45．（割补法）如图，正方形ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为O ，EF 与此外接圆的直径，EF =4，AD ⊥GH ，EF ⊥GH ，则图中阴影部分的 面积是A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．（概率）袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是 A ．41 B ．21 C ．32D ．317．（旋转和坐标）如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO B ''，则点B 的对应点B ' A ．（3，4） B ．（7，4） C ．（7，3） D ．（3，7） 8．（和圆有关的性质）如图，△ABC 中，∠B =60°，∠ACB =75°，点D 是BC 边上一个动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若弦EF 长度的最小值为1，则AB 的长为A. 22B.632C. 1.5D.二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．（弧长公式）扇形的半径为9，且圆心角为120°10．（函数的增减性）已知抛物线23y x x =--经过点)2(1y A ， 则1y 与2y 的大小关系是_______． 11．（两个答案，和切线有关的）如图，P A 、PB 分别与⊙O∠APB =60°．若点C 在⊙O 上，且AC∠CAB 的度数为_______．E12．（图像与性质）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(1,0)和(1x ,0)，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点．下列结论：①0>b ；②241b ac <；③a b >；④a c a 2-<<-．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．三角函数值2604cos 30+sin 45tan 60-⋅． 14．（顶点式和平移）已知抛物线241y x x =-+．（1）用配方法将241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式． 15．（解直角三角形）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上．若DB =6，AD =12CD ，sin ∠CBD =23，求AD 的长和tan A 的值．16．（圆心角和圆周角，垂径定理）如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB于点E ．（1）求证：∠BCO =∠D ； （2）若CD =AE =2，求⊙O 的半径．17．【翻折不变形）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，点P 为AC 边中点，点M 是BC 边上一点．将△CPM 沿直线MP 翻折，交AB 于点E ，点C 落在点D 处，∠BME =120°． （1）求∠CMP 的度数；（2）求BM 的长．18．【解直角三角形的应用】如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. （1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【二次函数的图像与性质】已知抛物线322--=x x y . （1）它与x 轴的交点的坐标为_______； （2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）将该抛物线在x 轴下方的部分(不包含与x 轴的交点)记为G ，若直线b x y +=与G 只有一个公EDCMBPA共点，则b 的取值范围是_______．20．【圆的切线与性质】如图，AB 是⊙O 的直径，点C 与AB 的延长线交于点P ，∠COB =2∠PCB . （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ， 若MN · MC =8，求⊙O 的直径.21．平面直角坐标系xOy 中，原点O 是正三角形ABC 外接圆的圆心，点A 在y 轴的正半轴上，△ABC 的边长为6．以原点O 为旋转中心将△ABC 沿逆时针方向旋转α角，得到△A B C '''，点A '、B '、C '分别为点A 、B 、C 的对应点． （1）当α=60°时，①请在图1中画出△A B C '''；②若AB 分别与C A ''、B A ''交于点D 、E ，则DE 的长为_______； （2）如图2，当C A ''⊥AB 时，B A ''分别与AB 、BC 交于点F 、G ，则点A '的坐标为 _______，△FBG 的周长为_______，△ABC 与△A B C '''重叠部分的面积为 _______．22．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y （2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则t 的值为_______．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）． （1）求n m -的值；（2）若此抛物线的顶点为（p ，q ），用含m 的式子分别表示p 和q ，并求q 与p 之间的函数关系式； （3）若一次函数2128y mx =--，且对于任意的实数x ，都有1y ≥22y ，直接写出m 的取值范围.24．以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO =∠DCO =30°．（1）点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM ．①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM EM=_______；②如图2，将图1中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α<<），其 他条件不变，判断FM EM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO =，点N 在线段OD 上，且NO =2．点P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为_______．25．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB ．直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF .（1）若点F 的坐标为（92，1），AF ①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A 、F 、P 、Q 为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；（2）若22b c +=-，2b t =--，且AB 的长为kt ，其中0t >．如图2，当∠DAF =45°时，求k 的值和∠DF A 的正切值.北京市西城区2018—2018学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学参考答案及评分标准 2018.1阅卷说明：第11题写对一个答案得2分．第12题只写②或只写④得2分;有错解得0分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式24=⨯⎝⎭................................................................. 4分3. ........................................................................................................ 5分14．解：（1）241y x x=-+2(44)3x x=-+-2(2)3x=--........................................................................................... 2分（2）∵抛物线241y x x=-+的顶点坐标为(2,3)-，.................................... 3分∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,1)-. .................................................. 4分∴平移后所得抛物线的解析式为22(3)168y x x x=--=-+. . (5)分15．解：如图1.在Rt△DBC中，∠C=90°，sin∠CBD=23，DB=6，∴2sin643CD DB CBD=⋅∠=⨯=. ………… 1分∴AD=12CD=1422⨯=.……………………2分∵CB ............................................................. 3分AC= AD+CD=2+4=6， ......................................................................................... 4分在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tan A=CBAC= ...................................................................................... 5分16．（1）证明：如图2.∵OC=OB，∴∠BCO=∠B. …………………………………………………………1分∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D. …………………………………………………………2分（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE=12CD=12⨯=………… 3分在Rt△OCE中，222OC CE OE=+，设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2，∴222(2)r r=+-. ………………… 4分解得3r=.∴⊙O的半径为3. ……………………… 5分ADBC图1图217．解：如图3.（1）∵将△CPM 沿直线MP 翻折后得到△DPM ，∴∠CMP =∠DMP . ............................................ 1分 ∵∠BME =120°，∴∠CMP =30°. .................................................... 2分（2）∵AC =6，点P 为AC 边中点，∴CP =3. ................................................................. 3分 在Rt △CMP 中，CP =3，∠MCP =90°，∠CMP =30°， ∴CM =33. .......................................................... 4分∴BM =336-. .................................................................................................... 5分 18．解：（1）作PC ⊥AB 于C .（如图4）在Rt △P AC 中，∠PCA =90°，∠CP A =90°-45°=45°.∴cos 45100PC PA =⋅== .................. 2分在Rt △PCB 中，∠PCB =90°，∠PBC =30°.∴2PB PC ==.答：B 处距离灯塔P有. ....................... 3分（2）海轮若到达B 处没有触礁的危险. .......................... 4分理由如下：∵200OB OP PB =-=-而150，∴200200150--.∴50OB >. .................................................................................................... 5分 ∴B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.四、解答题19．解：（ （图象（如图5）；………………… 3分（3）b 的取值范围是31b -≤<或421-=b ． .......................................................... 5分阅卷说明：只写31b -≤<或只写421-=b 得1分.20．（1）证明：∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO . ∴∠COB =2∠ACO . 又∵∠COB =2∠PCB ，图4图3EDCMBPA∴∠ACO =∠PCB . ...................................................................................... 1分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO +∠OCB =90° .∴∠PCB +∠OCB =90°, 即OC ⊥CP . ∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线. ................................................................................. 2分（2）解：连接MA 、MB .（如图6） ∵点M 是弧AB 的中点，∴∠ACM =∠BAM . ∵∠AMC =∠AMN ，∴△AMC ∽△NMA . …………………… 3分 ∴AM MCNM MA=. ∴2AM MC MN =⋅.∵MC·MN =8,∴AM = .............................................................................................. 4分∵AB 是⊙O 的直径，点M 是弧AB 的中点， ∴∠AMB =90°，AM =BM=∴4AB ==. ....................................................................... 5分图621．解：（1）①如图7所示；②DE 的长为2； .（2）点A '的坐标为(，△FBG △ABC 与△A B C ''' 阅卷说明：第（2）问每空1分.22．解：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数22+=x y . （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1-=x ， ∴由对称性可知，4-=x 和2=x 时函数值相等.∴若24≤<-p ，则2=x 时，y 的最大值为17. ................................... 2分 若4-≤p ，则p x =时，y 的最大值为1422++p p . ........................ 3分（3）t 的值为1或-5 . ............................................................................................. 5分阅卷说明：只写1或只写-5得1分;有错解得0分. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵抛物线212(1)y x m x n =+-+经过点（1-，132m +）， ∴213(1)2(1)(1)2m m n +=-+-⨯-+. ∴32n m -=. ................................................................................................ 1分 （2）∵2132(1)2y x m x m =+-++，∴1p m =-， ................................................................................................ 2分2132q m m =-++. .................................................................................. 3分 ∵1p m =-， ∴1m p =+.∴21(1)3(1)2q p p =-++++.∴252q p p =-++. ........................................................................................ 5分（3）m 的取值范围是3122m -≤≤且0m ≠. ........................................................ 7分 阅卷说明：只写3122m -≤≤或只写0m ≠得1分.24．解：（1）①FMEM=2；.......................................................... ………………………1分②结论：FMEM的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点）证明：连接EF、AD、BC.（如图8）∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴3tan30AOBO==∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，∴3tan30DOCO==∴AO DOBO CO=.又∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC.∴△AOD∽△BOC． ................................................................................... 2分∴ADBC=1=∠2.∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，FM∥CB，且12EF AD=，12FM CB=.∴EFFM=............................................................................................ 3分∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5.∵∠2+∠5+∠6=90°，∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°.∴∠EFM=90°. ............................................................................................ 4分∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，tan EFEMFFM∠=∴∠EMF=30°.∴cosFMEMFEM=∠......................................................................... 5分（2）线段PN2.......................... 7分阅卷说明：第（2）问每空1分.AFEMO BDC123456图825．解：（1）①∵直线BE 与y 轴平行，点F 的坐标为（92，1）， ∴点B 的坐标为（92，0），∠FBA =90°，BF =1. 在Rt △ABF 中，AF∴4AB . ∴点A 的坐标为（12，0）. ∴抛物线的解析式为2119159()()222228y x x x x =--=-+. ................ 1分②点Q 的坐标为1Q （52，3），2Q （52，5），3Q （52，7）. ........... 4分 阅卷说明：答对1个得1分. （2）∵22b c +=-，2b t =--， ∴22c t =+. ∴21(2)222y x t x t =-+++. 由21(2)2202x t x t -+++=， (2)(22)0x x t ---=. 解得 12x =，222x t =+. ∵0t >，∴点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（22t +，0）.∴AB =2222t t +-=，即 2k =. ............................................................... 5分 方法一：过点D 作DG ∥x 轴交BE 于点G ，AH ∥BE 交直线DG 于点H ，延 长DH 至点M ，使HM =BF ，连接AM.（如图9）∵DG ∥x 轴，AH ∥BE ，∴四边形ABGH 是平行四边形. ∵∠ABF =90°， ∴四边形ABGH 是矩形. 同理四边形CBGD 是矩形. ∴AH =GB =CD =AB =GH =2t . ∵∠HAB =90°，∠DAF =45°， ∴∠1+∠2=45°. 在△AFB 和△AMH 中，AB =AH ，∠ABF =∠AHM =90°，BF =HM ，∴△AFB ≌△AMH . .................................................................................... 6分 ∴∠1=∠3，AF =AM ，∠4=∠M . ∴∠3+∠2=45°.在△AFD 和△AMD 中，AF =AM ， ∠F AD =∠MAD ，AD =AD ， ∴△AFD ≌△AMD .∴∠DF A =∠M ，FD =MD .∴∠DF A =∠4. ……………………………………………………………7分∵C 是AB 的中点， ∴DG =CB =HD =t .设BF =x ，则GF =2t x -，FD =MD =t x +. 在Rt △DGF 中，222DF DG GF =+，∴222()(2)t x t t x +=+-，解得 23tx =.∴2tan tan 4233AB tDFA t FB ∠=∠==÷=. ………………………………8分 方法二：过点D 作DM ⊥AF 于M .（如图10） ∵CD ⊥AB ，DM ⊥AF ， ∴∠NCA =∠DMN =90°. ∵∠1=∠2， ∴∠NAC =∠NDM.∴tan ∠NAC =tan ∠NDM.∴NC NMAC DM=. …………………………… ∵C 是AB 的中点，CD =AB =2t ，∴AC =t ，AD == ∵∠DAM =45°，∴sin 455DM AM AD t ==⋅==设 CN =x ，则DN =2t x -.∴x t =. ∴NM .在Rt △DNM 中，222DN DM NM =+， ∴222(2)))t x x -=+.223830x tx t +-=. (3)(3)0x t x t -+=.∴13tx =，23x t =-（舍）.∴CN =3t， …………………………………………………………………7分AN =. ∵EB ∥y 轴， ∴EB ⊥x 轴. ∵CD ⊥AB ， ∴CD ∥EB .∴12AC AN AB AF ==.∴AF .∴MF = AF -AM =.∴tan 3DM DFA MF ⎫∠=÷=⎪⎪⎝⎭. ………………………………8分。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷九年级数学2018.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5， 那么sin B 等于（ ）．A .35B . 45C . 34D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A .(4,5)-，开口向上 B .(4,5)-，开口向下 C .(4,5)--，开口向上 D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π 5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34° B ．46° C ．56° D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）. A .m ≤4 B .<4m C . m ≥4- D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到 △ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABC C ．2AB AP AC =⋅ D ．AB ACBP CB=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ， 如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴 交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论： ①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长． 19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD =（用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度 h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系， 1.5 2 … 18.75 20…（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写的取值范围）； （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线ky x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图 形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠． （1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）． （1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ； ③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：（用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ． （1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ； （2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷 九年级数学参考答案及评分标准 2018.1一、 选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. (0,3).10. 4.11. 4.12. 12x-<<. 13.2 .14.1154cosα（或2cosCEα⋅）. 15. ②④. 16.1 .三、解答题（本题共68分，第17―20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24 题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解：22sin30cos45tan60︒+︒-︒．2122=⨯+-………………………………………………………………3分112=+…………………………………………………………………………4分32=-. ……………………………………………………………………………5分18.（1）证明：如图1．∵∠ABE=∠ACB，A A∠=∠，∴△ABE∽△ACB．………………………………2分（2）解：由（1）得AB AEAC AB=．………………………3分∴2AB AC AE=⋅．∵AB=6，AE=4，∴29ABACAE==．……………………………………………………………4分∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE．∴CD CEAB AE=．∴()651542AB CE AB AC AECDAE AE⋅⋅-⨯====．……………………………………………5分19.解：（1）(0,0)，(2,0)．……………………………2分（2）画图见图2．………………………………4分2倍．………………………………………5分20.解：（1）45α-︒，45.………………………………2分（2）画图如图3. …………………………………3分连接BE，设AC与BE交于点G.由题意可知，45BAC CAE∠=∠=︒，AB AC AE===2∴90BAE∠=︒，AG⊥BE，BG=EG.∴点A到直线BE的距离即为线段AG的长．………………………………4分∴2BEAG===…………………………………………………5分图2图3图1∴ 当α=45时，点A 到直线BE ．21．解：（1）∵ 0t =时，0h =，∴ 设h 与t 的函数关系式为2h at bt =+（a ≠0）．…………………………1分 ∵ 1t =时，15h =；2t =时，20h =，∴ 15,4220.a b a b +=⎧⎨+=⎩ …………………………………………………………… 2分解得5,20.a b =-⎧⎨=⎩………………………………………………………………… 3分∴ h 与t 之间的函数关系式为2520h t t =-+．…………………………… 4分（2）小球飞行3秒时，3t =（s ），此时25320315h =-⨯+⨯=（m ）．答：此时小球的高度为15 m ． ……………………………………………… 5分 （3）方法一：设t （s ）时，小球的飞行高度达到22 m ． 则252022t t -+=．即2520220t t -+=． ∵2(20)4522<0∆=--⨯⨯，∴ 此方程无实数根．所以小球的飞行高度不能达到22 m ．………………………………………… 6分 方法二：∵ 225205(2)20h t t t =-+=--+，∴ 小球飞行的最大高度为20 m ．∵ 22>20，∴ 小球的飞行高度不能达到22 m ．…………………………… 6分 22．解：（1）2a =-，2k =．……………………………………………………………… 2分（2）证明：∵ 双曲线2y x=上一点P 的横坐标为1， ∴ 点P 的坐标为(1,2)P ．………………………………………………… 3分 ∴ 直线P A ，PB 的函数表达式分别为1y x =+，3y x =-+． ∴ 直线P A ，PB 与x 轴的交点坐标分别为(1,0)M -，(3,0)N ．∴ PM =PN =4MN =．……………………………………4分 ∴ PM=PN ，……………………………………………………………………5分222PM PN MN +=．∴ 90MPN ∠=︒．∴ PM PN ⊥．……………………………………………………………… 6分说明：其他正确的解法相应给分．23．解：如图4，作BD ⊥l 于点D ．……………………………………………………… 1分在Rt △CBD 中，90CDB ∠=︒，BC=13，5cos cos 13C α==，∴ 5cos 13513CD BC C =⋅=⨯=，…………………………………………………2分12BD ===． ……… 3分在Rt △ABD 中，90ADB ∠=︒，BD=12，4sin 5A =， ∴ 12154sin 5BD AB A ===． ……………………… 4分 1294tan 3BD AD A ===．作图：以点D 为圆心，9为半径作弧与射线l 交于点A ，连接AB ．…………5分24．（1）证明：如图5，连接OC ．∵ AB 是半圆的直径，AC 是半圆的弦，∴ 90ACB ∠=︒．……………………………… 1分 ∵ 点D 在弦AC 的延长线上， ∴ 18090DCB ACB ∠=︒-∠=︒． ∴ 90DCE BCE ∠+∠=︒． ∵ OC=OB ， ∴ BCO B ∠=∠． ∵ =DCE B ∠∠，∴ 90BCO BCE ∠+∠=︒，即90OCE ∠=︒．………………………………… 2分 ∴ CE ⊥OC ．∴ CE 是半圆的切线．…………………………………………………………… 3分（2）解：设半圆的半径长为r ．在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，2tan 3B =，设2AC k =，则3BC k =，AB ==．∴sin AC B AB == ∵ OD AB ⊥，∴ 90D A ∠+∠=︒． ∵ AB 是半圆的直径，∴ 90ACB ∠=︒,90B A ∠+∠=︒． ∴ D B ∠=∠．∴sin sin D B ==．在Rt △AOD 中，90AOD ∠=︒，sin D =又∵ CD=10， ∴OA AD == ∴ 134(210)k k =+．解得8k =．图5 图4经检验，8k =是原方程的解．∴r ==．………………………………………………… 5分 25．解：（1）当3a =时，抛物线G 为262y x x =-+．∴ 222226223332(3)7y x x x x x =-+=-⨯+-+=--．………………1分 此时抛物线G 的顶点坐标为(3,7)-．……………………………………… 2分 （2）①22222221(2)1()1y x ax a x ax a a a x a a a =-+-=-+-+-=--+-．∵ 抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．∴ 2,1.p a q a a =⎧⎨=-+-⎩ ……………………………………………………… 3分②由①得21q p p =-+-．…………………………………………………… 4分 ③C ．…………………………………………………………………………… 5分（3）答案不唯一，如新抛物线H 的函数表达式为222y x ax a a =-++，1k =，0b =．……………………………………………………………………… 6分 26．解：（1）∵ 抛物线M 的顶点坐标为(0,1)B ， ∴ 设抛物线M 的函数表达式为21y ax =+．………………………………1分 ∵ 抛物线M 经过(1,0)A -，∴ 2(1)10a ⨯-+=．解得1a =-． ……………………………………… 2分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为21y x =-+． ……………………………… 3分（2）①1(2,1)B t -．………………………………………………………………… 4分②由题意可知抛物线1M 的顶点1B 的坐标为1(2,1)B t -，二次项系数为1， ∴ 抛物线1M 的函数表达式为2(2)1y x t =--（0t >）． 当抛物线1M 经过点(1,0)A -时（如图6）， 2(12)10t ---=．解得 11t =-，20t =．当抛物线1M 经过点(0,1)B 时（如图6）， 2(2)11t -=．图6解得2t =±． 结合图象分析，因为0t >，当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是0t <． ……………………………………………………… 6分 27．解：（1）150．…………………………………………………………………………… 1分 OM BD '⊥．………………………………………………………………… 2分 （2）OM ⊥BD '，OM '=． 证明：如图7，取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD '于点N ．∵ E ，M 分别为AO ，AC '的中点，∴ EM ∥OC '，2OC EM '=． ∴ 180OEM AOC '∠+∠=︒．∵ 90AOB C OD ''∠=∠=︒，∴ 180BOD AOC ''∠+∠=︒．∴ OEM BOD '∠=∠． ① …… 3分∵ ∠OAB =∠OC D ''=30°， ∴22AOEO AO OB OC EM OC OD===='''， 即EO EM OB OD='． ② ………………………………………………………… 4分 由①②得 △EOM ∽△OBD '． …………………………………………… 5分∴ 12∠=∠，2OM EO AO BD OB OB ==='，即OM '=．……………………… 6分 ∵ 点N 是MO 的延长线与BD '的交点，∠AOB =90°，∴ 1318090AOB ∠+∠=︒-∠=︒．∴ 2390∠+∠=︒．∴ OM ⊥BD '．…………………………………………………………… 7分说明：其他正确的解法相应给分．28．解：（1）①1Q ．（见图8） ……………………………………………………………… 1分②如图9，点(4,1)P -关于AB 所在直线的对称点为(0,1)P '-，………… 2分此时点P '恰好在直线1y x =-上．∵ 点M 是点P 关于线段AB 的内称点，∴ 点M 关于AB 所在直线的对称点M '落在△ABP 的内部（不含边界）．又∵点M 在直线1y x =-上，∴ 点M 应在线段P G '上（点G 为线段AB 与直线1y x =-的交点），且不与两个端点P '，G 重合．∴ 02M x <<． ………………………………………………………… 3分图7（2）如图10．∵点E是点D关于线段AB的内称点，∴点E关于AB所在直线的对称点E'应在△ABD的内部（不含边界）．∵点D关于AB所在直线的对称点为原点O，∴点E应在△ABO的内部（不含边界）．………………………………4分∵(2,2)A，(3,3)C，(4,0)D，可得AC=，AD=CD=．∴222AC AD CD+=．∴90CAD∠=︒．∴AC⊥AD．此时直线DA与以AC为半径的⊙C相切，半径AC=………………5分当直线DE与以CD为半径的⊙C相切，D为切点时，⊙C的半径最大，最大值∴符合题意的⊙C的半径rr≤…………………7分图8 图9 图10。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷2018.1九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在△中，∠90°，如果3，5，那么等于（）．3434 C. A. D. B. 35456图象上的两点，那么，是反比例函数的大，2.点yy(3,y(1,Ay))B?y?2211x小关系是（）．A. B. C. D.不能确定yyyyy??y?2221113.抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（）.25y?(x?4)?A.，开口向上B.，开口向下5)(4,(4,?5)?C.，开口向上D.，开口向下5)5)4,?(??(?4,4.圆心角为，且半径为12的扇形的面积等于（）.?60B. C.A.π24ππ484D.π2OO么的直径，是⊙的弦，如果∠34°，那5.如图，是⊙∠）．等于（．34° B．46°A．66°．56°DC mx的取值范围是6.如果函数的图象与轴有公共点，那么1 / 182m4x?y?x?（）.m≥ D.4 B. C.≤4m<4?m>4?P在△的边上，如果添加一个条件后可以得到7.如图，点．）（△∽△，那么以下添加的条件中，不正确的是．C ．∠∠BA．∠∠ACAB．C． D?2ACAPAB??CBBP a如图，抛物线≠0)的对称轴为直线(，8.23?bx?y?ax1x?ax，如果关于(的方程那么≠0)的一个根为4208?ax?bx?）．该方程的另一个根为（ 3B． C．1 D．A．2??4（本题共16分，每小题2分）二、填空题y . 与轴的交点坐标为抛物线9. 23x?y? ED两点分别在，边上，∥，10. 如图，在△中，，3AD .，如果10，那么?2DB点11. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的)yxP(,y轴⊥与点在同一个反比例函数的图象上，(2,2)A于DxC .轴于点点，⊥，那么矩形的面积等于 2 / 18k≠0)与抛物(12.如图，直线n?y?kx1a≠0)(2c?ax?bxy?2时，两点，分别交于，那么当yy?3)B(2,?1,0)?(A21x的取值范围是 .O于4，如果弦所对的圆心等角13. 如图，⊙的半径等于，?120O .那么圆心到弦的距离等于月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国年14.20179桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥的2所示）（如图1主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨E记与大桥主梁所夹的锐角的中点为最长的斜拉索长，577 m，CED?的三角函数表示主跨长的表达式应为，那么用的长和为??(m) .3 / 18Cy与，轴交于点15.如图，抛物线与20) (ay?ax??bx?c x轴BBA物线，抛，交于的坐标为两点，其中点(4,0)B的对称轴交EDx现有下列结论：轴于点.，∥，并与抛物线的对称轴交于点其中所有；②①；③；④.4??c?0AD??a0CEb?0a4?2b正确结论的序号是 .OOAP上，点的半径为3，两点在⊙，如图，⊙16.OB内，在⊙4如果⊥，那么的长为 .，.APAB??tan?APB3题每22分，第21、17（本题共68分，第－20题每小题5三、解答题分，题每小题65分，第25、26题每小题分，第小题623、24分）、28题每小题7第2717．计算：．2???tan60cos?2sin30?45E．如图，∥，与的交点为18，∠∠．4 / 18（1）求证：△∽△；（2）如果6，4，求，的长．19．在平面直角坐标系中，抛物线：．2xx??2?y C1（1）补全表格：抛物线顶点与轴交点与y轴交点x坐标坐标坐标（2）将抛物线向上平移3个单位得到抛物线，2(0,0)(1,1)xy??x2?请画出抛物线CC21，，并直接CC21回答：抛物线与轴的两交点之间的距离是抛物线与轴xx CC21的两交点之间距离的多少倍．A<180），2．将△绕点逆时针旋转度（0<20．在△中，????45BAC?FEBCD两点的对应点分别为点．，，，所在直线交于点得到△，，，的代数式表示） 11（）当△旋转到图位置时，∠（用? 5 / 18的BFC?；度数为?A中画出△，并求此时点到直线的距离．=45（2）当时，在图2?2图图1．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻21th）满足sm（力的条件下，小球的飞行高度）与它的飞行时间（ht与二次函数关系，的几组对应值如下表所示．6 / 18tth的取值范围）与；之间的函数关系式（不要求写（1）求 3 s 时的高度；（2）求小球飞行22 m？请说明理由．（3）问：小球的飞行高度能否达到k．如图，在平面直角坐标系中，双曲线22?y x1k，≠0）与直线（的交点为)B(2,(a,?1)bAxy?2P直线，的横坐标为1两点，双曲线上一点，NMx与，轴的交点分别为点，连接．ka1（）直接写出的值；，，．（2）求证：PNPM?C的13，以为顶点，为一边23．如图，线段长为满足??5lA的另一边．锐角△的顶点落在???cos?13上，且4满足．求△的高及边的长，并结合你的?sin A5（图中提供的单位长度供补全图计算过程画出高及边．形使用）O作的垂线，与弦24．如图，是半圆的直径，过圆心7 / 18DE在上，的延长线交于点．，点B??DCE=（1）求证：是半圆的切线；2，求半圆的半径．，）若10（2?B tan3Ga为常数）．25．已知抛物线（：21a?y?x??2ax G的顶点坐标；时，用配方法求抛物线（1）当3?a G的顶点坐标为）若记抛物线．（2),qP(papq；，①分别用含的代数式表示pq；②请在①的基础上继续用含的代数式表示Pa的取值变化而变化，③由①②可得，顶点的位置会随着P总落在的图象上．但点 A．一次函数 B．反比例函数 C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中G改为抛物的抛物线Ha Na的代数式为含线（：，为常数），其中2N?yx2?ax?从而使这个H a取何值，它的顶点总落在某个一满足：无论抛物线新次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物H的函数表达式：线a的代数式表示），（用含它的顶点所在的一次8 / 18kbk0为常数，，）函数图象的表达式（?by?kx?．中，，M：经过26．在平面直角坐标系中，抛物线，20)a??bx?c?yax (1,0)?A(且顶点坐标为．(0,1)B M的函数表达式；1）求抛物线（xMF旋转上一点，将抛物线180°得为（2）设绕点轴正半轴,0)F(t．．．到抛物线．M1①抛物线的顶点的坐标为；BM11 t的与线段有公共点时，结合函数的图象，求②当抛物线M1取值范围．9 / 18C在线段上，2，在△中，∠90°，∠30°，点，边上的一27．如图1DO逆时针旋转α度点（90°<α<180°）满足∠30°．将△绕点CD两点的对应点分别为点，，连接，，，，得到△??????ACDOCCBDD M，连接．的中点取?AC和之间的位置∥时，α=，当°，此时（1）如图2???DCBD关系为；（2）画图探究线段和之间的位置关系和数量关系，并加以证?BD 明．AB两点的坐标分别为，，28．在平面直角坐标系中，．对2)(2,A(2,2)?B 于给定的线段PQQ关于所在直线的对称点落在，，给出如下定义：若点及点?Q QP 关于线段的内称点．△的内部（不含边界），则称点是点（1）已知点．1)(4,P?P关于线段的内称点的是；两点中，是点，①在(1,1)Q(1,Q?1) 21MMP关于线段的内称点，在直线上，且点是点②若点1xy??10 / 18M的横坐标求点的取值范围；x M CrED关于，⊙是点的半径为，若点，点）已知点（2(3,3)C(4,0)D Cr的取值范相切，求半径线段的内称点，且满足直线与⊙围．11 / 1812 / 1813 / 1814 / 1815 / 1816 / 1817 / 1818 / 18。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）． A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A.m ≤4B.<4mC. m ≥4-D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB AC BP CB = 8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有 正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）0 8.75 15 18.75 20 … （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的 计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径． 25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ． ①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b=+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。

2017-2018学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B 等于（）A．B．C．D．2．（2分）点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．（2分）抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．（2分）圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°6．（2分）如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4 7．（2分）如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为．10．（2分）如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝．11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A （2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于．12．（2分）如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是．13．（2分）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．14．（2分）2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝（m）．15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．（2分）如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．（5分）计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．18．（5分）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：（2）将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．20．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝（用α的代数式表示），∠BFC 的度数为°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．21．（6分）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线P A，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．23．（5分）如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．（5分）如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．25．（6分）已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝，b＝．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A （﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝°，此时OM和BD′之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．2017-2018学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B 等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．（2分）点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3．（2分）抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，4．（2分）圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S＝＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．（2分）如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，∴方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．7．（2分）如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．（2分）如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝4．【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝10，∴EC＝×10＝4，故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A （2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于4．【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，解得：k＝4，因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形ODPC的面积等于4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．12．（2分）如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13．（2分）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．14．（2分）2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．16．（2分）如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为1．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA 的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠P AB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠P AN＝90°，∴∠ABM＝∠P AN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．（5分）计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．（5分）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：（2）将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x与x轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的2倍【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝α﹣45°（用α的代数式表示），∠BFC的度数为45°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE ＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG 的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE ＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．（6分）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线P A，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．【分析】（1）依据双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B （2，b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，k的值；（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线P A，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直线P A，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．【解答】解：（1）∵双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，∴点A与点B关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝1，∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得k＝2；（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1，∴点P的坐标为（1，2），∴直线P A，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，∴直线P A，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．23．（5分）如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cos C＝cosα＝，∴CD＝BC•cos C＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sin A＝，∴tan A＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．24．（5分）如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tan B＝，设AC＝2k，则BC＝3k，根据勾股定理得，AB＝k，∴sin B＝＝，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sin D＝sin B＝，在Rt△CDF中，sin D＝＝，∴cos B＝设CF＝2m，DE＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF＝，在Rt△BOF中，BF＝＝k，∴BC＝BF+CF＝k+＝3k，∴k＝8，∴OB＝k＝4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．25．（6分）已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在C的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝1，b＝0．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【解答】解：（1）当a＝3时，y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a，∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x，∴k＝1，b＝0，故答案为：y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A （﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为（2t，﹣1）；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y ＝ax2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得x＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150°，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM∥OC′，EM＝OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM ＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C′D′∥AB，∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，∴∠BOD′＝120°，∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM⊥BD′；故答案为：150，垂直；（2）OM⊥BD′，OM＝BD′，证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，∵AC′的中点M，∴EM∥OC′，EM＝OC′，∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，。

北京市西城区2018-2018 学年度第一学期期末试卷九年级数学考1．本试卷共 7 页，共五道大题，25 道小题，满分120 分。

考试时间120 分钟。

2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

生须3．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其余试卷用黑色笔迹署名笔作知答。

一、选择题（此题共32 分，每题 4 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．1．抛物线的极点坐标是A．B．C． D ．2．如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，若，则∠ ACB 的度数是A．40°B． 50°C． 60°D． 80°3．若两个圆的半径分别为 2 和 1，圆心距为3，则这两个圆的地点关系是A．内含B．内切C．订交 D ．外切4．以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D5．在 Rt △ ABC 中，∠ C＝ 90°，若 BC＝1， AC＝ 2，则 sinA 的值为A．B．C．D．26．如图，抛物线的对称轴为直线．以下结论中，正确的选项是A． a＜0B．当时，y随x的增大而增大C．－1D ．当时，y的最小值是7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ ABC 极点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°获得△ DEF ，则旋转中心的坐标是A．B．C．D．8．若抛物线（m是常数）与直线有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的双侧，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题（此题共16 分，每题 4 分）9．如图，△A BC 中，点 D， E 分别在 AB， AC 边上， DE∥ BC，若，，，则BC的长是．10．把抛物线向右平移1个单位，再向下平移 3 个单位，获得抛物线．11．如图，在△ABC 中，∠ ACB＝ 90°，∠ ABC ＝ 30°，BC ＝2．将△ ABC 绕点 C 逆时针旋转角后获得△A′B′C，当点 A 的对应点 A' 落在 AB 边上时，旋转角的度数是度，暗影部分的面积为．xOy 中，过点作AB⊥x轴于点12 ．在平面直角坐标系B．半径为的⊙ A 与 AB 交于点 C，过 B 点作⊙ A 的切线BD，切点为 D ，连结 DC 并延伸交 x 轴于点 E.（ 1）当时，EB的长等于；（ 2）点 E 的坐标为（用含r的代数式表示）．三、解答题（此题共30 分，每题 5 分）13．计算：．14．已知：二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的解读式；（2）求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标；（ 3）将（ 1）中求得的函数解读式用配方法化成的形式．15．如图，在梯形ABCD 中， AB∥ DC，∠ A＝ 90°，点P 在 AD 边上，且．若 AB＝6， DC ＝ 4， PD＝ 2，求 PB 的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改良人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市最近几年来，通过植草、栽树、修筑公园等举措，使城区绿地面积不停增添，2018 年末该市城区绿地总面积约为75 公顷，截止到2018 年末，该市城区绿地总面积约为108 公顷，求从2018 年末至 2018 年末该市城区绿地总面积的年均匀增添率．17．如图，为了估量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥ BD ，∠ ACB ＝ 45°，∠ADB ＝ 30°，并且点B，C， D 在同一条直线上．若测得CD＝30M ，求河宽AB（结果精准到1M ，取，取）．18．如图， AB 是⊙ O 的弦， OC⊥ AB 于点 C，连结 OA， AB＝ 12，．（1）求 OC 的长；（2）点 E， F 在⊙ O 上， EF∥ AB．若 EF＝ 16，直接写出 EFO 与 AB 之间的距离．CA B四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）19．设二次函数的图象为 C ．二次函数的图象与 C11对于 y 轴对称．（ 1）求二次函数的解读式；（ 2）当≤ 0 时，直接写出的取值范围；（ 3）设二次函数图象的顶点为点 A，与 y 轴的交点为点B，一次函数( k， m 为常数， k≠ 0)的图象经过 A， B 两点，当时，直接写出x 的取值范围．20．如图，在矩形ABCD 中， E 是 CD 边上随意一点（不与点C，D 重合），作AF ⊥AE 交 CB 的延伸线于点F ．（1）求证：△ ADE ∽△ ABF ；（2）连结 EF ， M 为 EF 的中点， AB ＝ 4， AD ＝2，设 DE＝x，①求点 M 到 FC 的距离（用含x 的代数式表示）；②连结 BM ，设，求y与x之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．21．如图， AB 是⊙ O 的直径，点C 在⊙ O 上，连结 BC， AC，作 OD∥ BC 与过点 A 的切线交于点 D ，连结 DC 并延伸交 AB 的延伸线于点 E．（ 1）求证： DE 是⊙ O 的切线；（ 2）若，求的值．22．阅读下边资料：定义：与圆的全部切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关系图形．．．．．．．．问题：⊙ O 的半径为 1，画一个⊙O 的关系图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点成立平面直角坐标系xOy 进行研究，他发现能画出好多⊙ O 的关系图形，比如：⊙ O 自己和图 1 中的△ ABC（它们都是关闭的图形），以（及图 2 中以 O 为圆心的DmE （它是非关闭的图形），它们都是⊙ O 的关系图形．而图 2 中以P， Q 为端点的一条曲线就不是⊙ O的关系图形．参照小明的发现，解决问题：（ 1）在以下几何图形中，⊙ O 的关系图形是（填序号）；① ⊙O 的外切正多边形② ⊙O 的内接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于 1 的齐心圆（ 2）若图形G 是⊙ O 的关系图形，而且它是关闭的，则图形G 的周长的最小值是____ ；（DmE（ 3）在图 2 中，当⊙ O 的关系图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为 y=__ ；（ 4 ）请你在备用图中画出一个⊙O 的关系图形，所绘图形的长度 l 小于（ 2）中图形G 的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．五、解答题（此题共22分，第 23题 7分，第 24题 7分，第 25题 8分）23． 已知：二次函数（ m 为常数）．（ 1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点 A ，且 A 点在 x 轴的正半轴上．①求 m 的值；②四边形 AOBC 是正方形，且点B 在 y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰巧经过B ， C两点，求平移后的图象对应的函数解读式；（ 2）当 0≤ ≤2 时 ，求函数的最小值（用含m 的代数式表示）．24． 已知：△ ABC ，△ DEF 都是等边三角形， M 是 BC 与 EF 的中点，连结AD ， BE.（ 1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与 BE 的数目关系和地点关系；（ 2）△ ABC 固定不动，将图 1 中的△ DEF 绕点 M 顺时针旋转（ ≤ ≤ ）角，如图 2 所示，判断（ 1）中的结论能否仍旧成立，若成立，请加以证明；若不可立， 说明原因；（ 3 ）△ ABC 固定不动，将图1 中的△ DEF 绕点 M 旋转 （ ≤ ≤ ）角，作DH ⊥ B C 于点 H ．设 BH ＝x ，线段 AB ，BE ，ED ， DA 所围成的图形面积为 S ．当A B ＝ 6， DE ＝ 2 时，求 S 对于 x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．25．已知：二次函数的图象与x 轴交于点A， B（ A 点在 B 点的左侧），与y 轴交于点C，△ ABC 的面积为 12．（ 1）①填空：二次函数图象的对称轴为；②求二次函数的解读式；（ 2）点 D 的坐标为（－ 2， 1），点 P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且，求点 P 的横坐标；（ 3）点 E 在 x 轴的正半轴上，，点O与点对于EC所在直线对称．作⊥于点 N，交 EC 于点 M．若 EM·EC＝ 32，求点 E 的坐标．北京市西城区 2018-2018 学年度第一学期期末九年级数学试卷参照答案及评分标准一、选择题（此题共 32 分，每题 4 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDBＡDCA二、填空题（此题共16 分，每题4 分）题号 9101112答案60，阅卷说明：第 11 题、第 12 题每空 2 分．三、解答题（此题共 30 分，每题5 分）13．解：．....................................................................................4 分． ................................................................................................................5 分14．解：（ 1）∵ 二次函数的图象经过点A(2， 5)，∴． ..........................................................................................1 分∴．∴ 二次函数的解读式为． ...................................................2 分（ 2）令，则有．解得，．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为和． ..........................4 分（ 3）． .............................................................................................. 5 分15．解：∵ 在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ A=90 °，∴ ∠ D=90°． ∴ ．∵ ， ∴∠ BPC=90°， ．∴∠ DCP=∠ APB ． ................................................ 2 分 ∴．在 Rt △ PCD 中， CD =2， PD=4，∴．在 Rt △ PBA 中， AB =6，∴．∴．∴． ...............................................................................................................4分∴． ...................................................................................5分16．解：设从 2018 年末至 2018 年末该市城区绿地总面积的年均匀增添率是x． ..........1分依题意，得． ......................................................................................2分整理，得． ...........................................................................................3分．解得 x=0.2=20% ， x =－（舍去）． ......................................................................4分12答：从 2018 年末至 2018 年末该市城区绿地总面积的年均匀增添率是20%． .........5分17 ．解：设河宽 AB 为 xM ． ..................................................................................................1分∵AB⊥BC ，∴∠ ABC =90°．∵在 Rt △ ABC 中，∠ AC B=45°，∴ AB = BC = x． ................................... 2 分∵在 Rt △ ABD 中，∠ ADB =30°，∴ BD=． ....................... 3 分∴．∴． ...................................................................................................... 4 分解得41．答：河宽 AB 约为 41M ． ................................................................................................. 5 分18 ．解：（ 1）∵AB 是⊙ O 的弦， OC⊥ AB 于 C，AB =12 ，∴．........................................... 1 分∵在 Rt△ AOC 中，∠ ACO=90°，，O∴． ....................................................... 2 分C∴． ............................... 3 分A B （ 2） 2 或 14． .......................................................................................................... 5 分四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）19 ．解：（ 1 ）二次函数图象的极点对于y 轴的对称点坐标为，····································1 分∴ 所求的二次函数的解读式为，················2 分即．（2）≤ ≤ 3．········································4 分（3）．·········································5 分20 ．（ 1）证明：∵在矩形 ABCD 中，∠ DAB =∠ ABC =∠ C =∠ D =90 °．∴．∵ AF⊥ AE，∴ ∠EAF =．∴．∴ ∠DAE =∠ BAF．∴ △ADE ∽△ ABF ．······························2 分（2）解：①如图，取 FC 的中点 H，连结 MH ．∵M 为 EF 的中点，∴ MH∥DC ，．∵在矩形 ABCD 中，∠ C =90 °，∴ MH⊥ FC，即 MH 是点 M 到 FC 的距离．∵DE=x，DC =AB=4．∴EC=，∴．即点 M 到 FC 的距离为MH．.................................................... 3分②∵△ ADE∽△ ABF ，∴．∴．∴，FC=，FH = CH=．∴．∵，∴在 Rt△ MHB 中，．∴（）， .......................................................... 4 分当时， BM 长的最小值是． ....................................................... 5 分21．（ 1）证明：如图，连结OC ．∵AD 是过点 A 的切线， AB 是⊙ O 的直径，∴ AD⊥AB，∴ ∠ DAB =90 °．∵OD ∥ BC，∴ ∠ DOC =∠ OCB，∠ AOD =∠ ABC ．∵OC =OB ，∴ ∠ OCB =∠ABC ．∴ ∠ DOC =∠AOD．在△ COD 和△ AOD 中，OC = OA，∠DOC=∠ AOD，OD=OD ，∴ △ COD ≌△ AOD ． ............................................................................................... 1 分∴ ∠ OCD= ∠DAB = 90°．∴ OC⊥DE 于点 C．∵ OC 是⊙ O 的半径，∴ DE 是⊙ O 的切线． .............................................................................................. 2 分（ 2）解：由，可设，则． .. .........................................3 分∴．∴在 Rt△DAE 中，．∴．∵在 Rt△OCE 中，．∴，∴．∴在 Rt△AOD 中，． .. ..............................................4 分∴． .. ...............................................................5 分22．解：（ 1）①③；.........2 分（ 2）； ............. 3 分（ 3）； ....4 分（ 4 ）答案不独一，所绘图形是非关闭的，长度l 知足≤ l ＜．比如：在图 1 中 l，在图 2 中 l．....... 5分图1图2阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中绘图正确且图形长度都正确得 1 分，不然得 0 分．五、解答题（此题共22 分，第23题 7分，第 24 题 7分，第 25题 8分）23．解：（ 1）①∵ 二次函数的图象与 x 轴只有一个公共点A，∴． ....................................................................1 分整理，得．解得，，．又点 A 在 x 轴的正半轴上，∴．∴ m=4． ............................................................................................................ 2 分②由①得点 A 的坐标为．∵四边形 AOBC 是正方形，点 B 在 y 轴的负半轴上，∴点B的坐标为，点 C 的坐标为． ...................................... 3 分设平移后的图象对应的函数解读式为(b， c 为常数 )．∴解得∴平移后的图象对应的函数解读式为． .................................... 4 分（２）函数的图象是极点为，且张口向上的抛物线．分三种状况：(ⅰ )当，即时，函数在0≤≤ 2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为；(ⅱ )当 0≤≤ 2，即 0≤≤4 时，函数的最小值为；(ⅲ )当，即时，函数在0≤≤ 2 内 y 随 x 的增大而减小，此时函数的最小值为．综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为．................ 7 分24．（ 1），． ......................................................................................... 2 分（ 2）证明：连结DM ，AM．在等边三角形ABC 中， M 为 BC 的中点，∴，，．∴．同理，，．∴，．··3分∴ △ADM ∽△ BEM．分∴． (4)延伸 BE 交 AM 于点 G，交 AD 于点 K．∴，．∴．5 分∴． ............................................................................................（ 3）解： (ⅰ) 当△ DEF 绕点 M 顺时针旋转(≤ ≤)角时，∵ △ADM ∽△ BEM，∴．∴∴．∴（ 3≤≤）．........................................................ 6分(ⅱ ) 当△ DEF 绕点 M 逆时针旋转(≤≤) 角时，可证△ ADM ∽△ BEM，∴．∴．∴．∴(≤ ≤3)．综上，(≤ ≤)． ........................................................7 分25．解：（ 1）①该二次函数图象的对称轴为直线； ...............................................1 分②∵当 x=0 时， y=－4，∴点C的坐标为．∵＝12，∴ AB=6．又∵点 A ， B 对于直线对称，∴ A 点和 B 点的坐标分别为，．∴．解得．∴ 所求二次函数的解读式为． ......................................2 分（ 2）如图，作 DF ⊥ x 轴于点 F ．分两种状况：(ⅰ )当点 P 在直线 AD 的下方时，如下图．由（ 1）得点 A，点 D，∴DF =1 ，AF =2 ．在 Rt△ ADF 中，，得．延伸 DF 与抛物线交于点P1，则 P1点为所求．∴点 P1的坐标为． ....................................................................... 3 分( ⅱ)当点 P 在直线 AD 的上方时，延伸P1A 至点 G 使得 AG =AP 1，连结 DG ，作 GH ⊥ x 轴于点 H ，如下图．可证△GHA≌△．∴HA = AF ，GH = P1F ，GA = P1A．又∵，，∴ 点的坐标是．在△ ADP 1中，， DP1＝５，，∴．∴．∴DA⊥．∴．∴．∴．设 DG 与抛物线的交点为 P2，则 P2点为所求．作DK ⊥GH 于点 K ，作 P2S∥ GK 交 DK 于点 S．设 P2点的坐标为，则，．由，，，得．整理，得．解得．∵ P2点在第二象限，∴ P2点的横坐标为（舍正）．综上， P 点的横坐标为－ 2 或．.......................................................... 5分（ 3）如图，连结O，交CE于T．连结 C ．∵点 O 与点对于EC所在直线对称，∴ O⊥CE，CE，∠C E．∴C⊥ E．∵ON⊥ E，∴C∥N．∴ C E．∴． ......................................................................................................... 6 分∴．∵在 Rt△ETO 中，，，在 Rt△中，，，∴．∴．同理．∴．∵，∴．∵点 E 在 x 轴的正半轴上，∴ E 点的坐标为) ． ................................................................................ 8 分。