3.2017-2018学年北京市西城区初三第一学期期末数学试题(答案)

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷九年级数学2018. 1一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.如图，在 Rt∆ABC中，ZACB=90% 如果 AC=3, AB=5,那么 SinB 等于（B.- D.2.点Aay l）, B（Iyj是反比例函数y = ~图象上的两点，那么）「儿的大小关系是（）・ JlA. y1 > y2B. y1 = y2C. y l < y2 D •不能确左3.抛物线y = （x-4）-5的顶点坐标和开口方向分别是（）.A.（4,-5）,开口向上 B∙（4,-5）,开口向下 C.（-4,一5）,开口向上 D.（-4,-5），开口向下n4.圆心角为60。

，且半径为12的扇形的而积等于（）・A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB是OO的直径，CD是G）O的弦，如果ZACD=34°,那么ZBAD等于（）.A. 34oB. 46oC. 56oD. 66o6•如果函数y = √+4x-,n的图象与X轴有公共点.那么加的取值范用是A.,w<4B. ∕7∕<4C. m>-4D. m>一47.如图，点P在AABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到ACB.那么以下添加的条件中，不正确的是（）・AB ACA. ZABP=ZCB. ZAPB=ZABCC. AB2=AP AC8.如图，抛物线y = ax2+bx + 3（c^^对称轴为直线X = 1, 如果关于X的方程"F + bχ-8 = 0（"≠0）的一个根为4,那么该方程的另一个根为（）.A・-4 B. -2 C. 1 D・ 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.抛物线y = x2+3与y轴的交点坐标为________ .10.如图，在ZiABC 中，D, E 两点分别在AB, AQ 边上，DE//BC.A Fl 7如果—=-,AC=IO,那么 EC=DB 2 ------11・如图，在平而直角坐标系兀Oy 中，第一象限内的点 ‰,y)与点A(2,2)在同一个反比例函数的图象上，PCLy 轴于点、C, PD 丄X 轴于点D 那么矩形ODPC 的而积等于 _______ .12.如图,直线y l =kχ + n(k≠0)与抛物y 2=ax 2+bx + c(a≠0)分别交于4(—1,0), B(2,-3)两点，那么当X ＞儿时，X 的 取值范围是 ______ ・13.如图，00的半径等于4,如果弦AB 所对的圆心角等于120。

北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数()257y x =-+的最小值是 A ．7- B ．7 C ．5-D ．52．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35B ．53C ．45D ．343．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．C ．．4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)，AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为 A ．(2-，4)B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与 灯塔P 的距离BP 的长可以表示为 A ．40海里B ．40tan37°海里C ．40cos37°海里D ．40sin37°海里8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点， 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为 A ．30° B ．45° C ．50°D ．70°9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+ C．300(6020)y x =- D ．(60)(30020)y x x =--10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10- C ．42-D ．24-二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a bb+的值为． 12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB =20．点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件 的AD 的长度值：AD =．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺，CD =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为． BAC16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是；由此可证明直线P A ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD 求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠BDC ．（2）若AB =12，AD =8，CD =15，求DB 的长．21．某小区有一块长21M ，宽8M 的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x M 的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方M ，人行通道的宽度应是多少M ？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ． （1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为直接写出∠BAF 的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90M 到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少M ．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：∠PCE =∠PEC ； （2）若AB =10，ED =3，sin A =3，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+双曲线2ky x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点． 观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式kax b x+>的解集． 有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<；（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中 画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解读式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数21y x bx c =-++的表达式；（2（328．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC = 4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________； （2）当4<BD <8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1 图2 图3（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；，0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在②自点A(1第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．图4北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=24………………………………………………………3分=162-=112．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=12AB=6，…………………………………1分AD=AB·cos∠BAD =12·cos30°=2分∵BC=15，∴CD= BC－BD=15－6=9．………………………………………………………3分∴在Rt△ADC中，tan C=ADCD……………………………………………………4分=9=3．………………………………………5分19．解：（1）令0=y ，则2230x x -++=．解得 11-=x ，32=x ．………………………………………………………1分 ∵点A 在点B 的左侧，∴A （1-，0），B （3，0）．…………………………………………………2分 对称轴为直线1=x ．…………………………………………………………3分 （2）∵当1x =时，4=y ，∴顶点C 的坐标为（1，4）．…………………………………………………4分∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（1，4-）．∵AB =4，∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1442162=⨯⨯⨯=．………………………………5分20．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ．……………………1分 ∵∠A =∠BDC ，∴△ABD ∽△DCB ．……………………3分（2）解：∵△ABD ∽△DCB ，∴AB ADDC DB=．…………………………………………………………4分 ∵AB =12，AD =8，CD =15， ∴12815DB=． ∴DB =10．………………………………………………………………5分21．解：根据题意，得 (213)(82)60x x --=．…………………………………………2分整理得 211180x x -+=．解得 12x =，29x =．…………………………………………………………3分 ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =．……………………………………………………………………………4分答：人行通道的宽度是2M ．……………………………………………………5分 22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．∴2(4)420k ∆=--⨯=．……………………………………………………1分 解得 2k =．…………………………………………………………………2分（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0），抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ．…………………………………………………………………4分（3）31m -<<．……………………………………………………………………5分 23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，∴AD =DB ， ……………………………………1分∠ADO =90°．∵AB =∴AD =∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，∴∠AOD =60°．………………………………………………………………2分∵在Rt △AOD 中，， ∴OA =︒=∠60sin 32sin AOD AD =4．………………………………………………3分 （2）∠BAF =75°或15°．……………………………………………………………5分24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°，∴∠BAD =90°—∠B =45°． ∴∠BAD =∠B ．∴AD =DB ．……………………………1分 设AD =x ，∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =ADDC，∠ACD =58°， ∴DC =tan 58x．………………………………………………………………3分∵DB = DC + CB =AD ，CB =90，∴tan 58x+90=x ．……………………………………………………………4分将tan58°≈1.60代入方程，解得x ≈240．…………………………………………………………………5分答：最高塔的高度AD 约为240M ．25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵ PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴OC ⊥PC ．……………………………1分∴∠PCO =∠1+∠2=90°．∵PD ⊥AB 于点D ，∴∠EDA =90°．∴∠A +∠3=90°．∵OA =OC ，∴∠A =∠1．∴∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．即∠PCE =∠PEC ．…………………………………………………………2分（2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5A =， ∴BC =AB ·sin A =6．∴AC =22BC AB -=8．………………………………………………………3分∵在Rt △AED 中，ED =32， ∴AE =sin ED A =52． ∴EC=AC －AE =112． ∵∠2=∠4，∴PE=PC ．∵PF ⊥EC 于点F ，∴FC=124分 ∠PFC =90°．图1 图2∴∠2+∠5=90°．∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°．∴∠A =∠5．∴sin ∠5 =35． ∴在Rt △PFC 中，PC =sin 5FC ∠=1255．……………………………………5分26．解：（2）抛物线如图所示； ……………………1分（3）x =4-，1-或1； ……………………3分（4）41x -<<-或1x >．……………………5分27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++， 当0x =和5x =时所对应的函数值相等， ∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称 轴是直线52x =． ∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0）， ∴10,25.2b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………1分 解得 2,5.2c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-．………………………………2分 （2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点， ∴2153222x x x -+=-+-． 解得 12x =，25x =．………………3分∴交点坐标为（2，1），（5，2-）．∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（2，1）．∴点D 的坐标为（2，0）．在Rt △ABD 中，AD =1，BD =1，∴AB 2．…………………………………………………4分（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形．………………………………………5分证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转∴M 是线段BN 的中点．∴MB = MN ．∵M 是线段AC 的中点，∴MA = MC．∴四边形ABCN 是平行四边形．……∵一次函数3y x =-+ 当0y =时，3x =．∴点E 的坐标为（3，0）．∴DE =1= DB ．∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°．同理∠DAB =∠DBA =45°．∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．∴四边形ABCN 是矩形．……………………………………………7分28．解：（1 …………………………2分（2）①补全图形如图所示； ………………3分②结论：（1）中NM 与AB 的位置关系不变．证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠B =45°．∴∠CAN +∠NAM =45°．∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD =AE ，∠DAE =90°．∵N 为ED 的中点，∴∠DAN =12∠DAE =45°， AN ⊥DE ． ∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ．………………………………………………4分在Rt △AND 中，AN AD =cos ∠DAN在Rt △ACB 中，AC AB =cos ∠CAB∵M 为AB 的中点， ∴AB =2AM． ∴22AC AC AB AM ==∴AM AC ． ∴AN AD =AM AC． ∴△ANM ∽△ADC ．∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°．∴∠AMN =90°． ∴NM ⊥AB ．………………………………………………………5分（3）当BD 的长为 6 时，7分29．解：（1）所得图形，如图1所示．……………………1分（2）①45°； ………………………………………3分②(，12)或(12-)； ……………5分 （3）①如图2，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，∴MQ ⊥OQ ．∴∠MQO =90°．∵MO =2，MQ =1， ∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=21=MO MQ ． ∴∠MOQ =30°．M Q∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3．∵QH ⊥x 轴，∴∠QHO =90°．∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°，∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =23．…………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线，∴MD ⊥l ．∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD =∠NPD ．∵PN ∥x 轴，∴∠NPD =∠PDO ．∴∠OPD =∠PDO ．∴OP =OD ．∵OF ⊥PD ，∴∠MFO =90°，PF =FD ．∵cos OMF ∠=MFMOMO MD =，设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1， ∴12212x x +=+．解得x =∵0x >，∴34x -+=．∵PE ⊥OD ，∴∠PED =90°=∠MOD ．∴PE ∥MO ．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos ∠EPD = cos ∠OMF ． ∴MO MFPD PE=． ∴PD MO MFPE ⋅= =122xx +⋅(1)x x =+=158-．…………………………………………………………7分． 可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵坐标的取值范围是15382P y <．………………………………8分。

北京市西城区2018-2018 学年度第一学期期末试卷九年级数学考1．本试卷共 7 页，共五道大题，25 道小题，满分120 分。

考试时间120 分钟。

2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

生须3．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其余试卷用黑色笔迹署名笔作知答。

一、选择题（此题共32 分，每题 4 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．1．抛物线的极点坐标是A．B．C． D ．2．如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，若，则∠ ACB 的度数是A．40°B． 50°C． 60°D． 80°3．若两个圆的半径分别为 2 和 1，圆心距为3，则这两个圆的地点关系是A．内含B．内切C．订交 D ．外切4．以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D5．在 Rt △ ABC 中，∠ C＝ 90°，若 BC＝1， AC＝ 2，则 sinA 的值为A．B．C．D．26．如图，抛物线的对称轴为直线．以下结论中，正确的选项是A． a＜0B．当时，y随x的增大而增大C．－1D ．当时，y的最小值是7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ ABC 极点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°获得△ DEF ，则旋转中心的坐标是A．B．C．D．8．若抛物线（m是常数）与直线有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的双侧，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题（此题共16 分，每题 4 分）9．如图，△A BC 中，点 D， E 分别在 AB， AC 边上， DE∥ BC，若，，，则BC的长是．10．把抛物线向右平移1个单位，再向下平移 3 个单位，获得抛物线．11．如图，在△ABC 中，∠ ACB＝ 90°，∠ ABC ＝ 30°，BC ＝2．将△ ABC 绕点 C 逆时针旋转角后获得△A′B′C，当点 A 的对应点 A' 落在 AB 边上时，旋转角的度数是度，暗影部分的面积为．xOy 中，过点作AB⊥x轴于点12 ．在平面直角坐标系B．半径为的⊙ A 与 AB 交于点 C，过 B 点作⊙ A 的切线BD，切点为 D ，连结 DC 并延伸交 x 轴于点 E.（ 1）当时，EB的长等于；（ 2）点 E 的坐标为（用含r的代数式表示）．三、解答题（此题共30 分，每题 5 分）13．计算：．14．已知：二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的解读式；（2）求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标；（ 3）将（ 1）中求得的函数解读式用配方法化成的形式．15．如图，在梯形ABCD 中， AB∥ DC，∠ A＝ 90°，点P 在 AD 边上，且．若 AB＝6， DC ＝ 4， PD＝ 2，求 PB 的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改良人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市最近几年来，通过植草、栽树、修筑公园等举措，使城区绿地面积不停增添，2018 年末该市城区绿地总面积约为75 公顷，截止到2018 年末，该市城区绿地总面积约为108 公顷，求从2018 年末至 2018 年末该市城区绿地总面积的年均匀增添率．17．如图，为了估量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥ BD ，∠ ACB ＝ 45°，∠ADB ＝ 30°，并且点B，C， D 在同一条直线上．若测得CD＝30M ，求河宽AB（结果精准到1M ，取，取）．18．如图， AB 是⊙ O 的弦， OC⊥ AB 于点 C，连结 OA， AB＝ 12，．（1）求 OC 的长；（2）点 E， F 在⊙ O 上， EF∥ AB．若 EF＝ 16，直接写出 EFO 与 AB 之间的距离．CA B四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）19．设二次函数的图象为 C ．二次函数的图象与 C11对于 y 轴对称．（ 1）求二次函数的解读式；（ 2）当≤ 0 时，直接写出的取值范围；（ 3）设二次函数图象的顶点为点 A，与 y 轴的交点为点B，一次函数( k， m 为常数， k≠ 0)的图象经过 A， B 两点，当时，直接写出x 的取值范围．20．如图，在矩形ABCD 中， E 是 CD 边上随意一点（不与点C，D 重合），作AF ⊥AE 交 CB 的延伸线于点F ．（1）求证：△ ADE ∽△ ABF ；（2）连结 EF ， M 为 EF 的中点， AB ＝ 4， AD ＝2，设 DE＝x，①求点 M 到 FC 的距离（用含x 的代数式表示）；②连结 BM ，设，求y与x之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．21．如图， AB 是⊙ O 的直径，点C 在⊙ O 上，连结 BC， AC，作 OD∥ BC 与过点 A 的切线交于点 D ，连结 DC 并延伸交 AB 的延伸线于点 E．（ 1）求证： DE 是⊙ O 的切线；（ 2）若，求的值．22．阅读下边资料：定义：与圆的全部切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关系图形．．．．．．．．问题：⊙ O 的半径为 1，画一个⊙O 的关系图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点成立平面直角坐标系xOy 进行研究，他发现能画出好多⊙ O 的关系图形，比如：⊙ O 自己和图 1 中的△ ABC（它们都是关闭的图形），以（及图 2 中以 O 为圆心的DmE （它是非关闭的图形），它们都是⊙ O 的关系图形．而图 2 中以P， Q 为端点的一条曲线就不是⊙ O的关系图形．参照小明的发现，解决问题：（ 1）在以下几何图形中，⊙ O 的关系图形是（填序号）；① ⊙O 的外切正多边形② ⊙O 的内接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于 1 的齐心圆（ 2）若图形G 是⊙ O 的关系图形，而且它是关闭的，则图形G 的周长的最小值是____ ；（DmE（ 3）在图 2 中，当⊙ O 的关系图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为 y=__ ；（ 4 ）请你在备用图中画出一个⊙O 的关系图形，所绘图形的长度 l 小于（ 2）中图形G 的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．五、解答题（此题共22分，第 23题 7分，第 24题 7分，第 25题 8分）23． 已知：二次函数（ m 为常数）．（ 1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点 A ，且 A 点在 x 轴的正半轴上．①求 m 的值；②四边形 AOBC 是正方形，且点B 在 y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰巧经过B ， C两点，求平移后的图象对应的函数解读式；（ 2）当 0≤ ≤2 时 ，求函数的最小值（用含m 的代数式表示）．24． 已知：△ ABC ，△ DEF 都是等边三角形， M 是 BC 与 EF 的中点，连结AD ， BE.（ 1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与 BE 的数目关系和地点关系；（ 2）△ ABC 固定不动，将图 1 中的△ DEF 绕点 M 顺时针旋转（ ≤ ≤ ）角，如图 2 所示，判断（ 1）中的结论能否仍旧成立，若成立，请加以证明；若不可立， 说明原因；（ 3 ）△ ABC 固定不动，将图1 中的△ DEF 绕点 M 旋转 （ ≤ ≤ ）角，作DH ⊥ B C 于点 H ．设 BH ＝x ，线段 AB ，BE ，ED ， DA 所围成的图形面积为 S ．当A B ＝ 6， DE ＝ 2 时，求 S 对于 x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．25．已知：二次函数的图象与x 轴交于点A， B（ A 点在 B 点的左侧），与y 轴交于点C，△ ABC 的面积为 12．（ 1）①填空：二次函数图象的对称轴为；②求二次函数的解读式；（ 2）点 D 的坐标为（－ 2， 1），点 P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且，求点 P 的横坐标；（ 3）点 E 在 x 轴的正半轴上，，点O与点对于EC所在直线对称．作⊥于点 N，交 EC 于点 M．若 EM·EC＝ 32，求点 E 的坐标．北京市西城区 2018-2018 学年度第一学期期末九年级数学试卷参照答案及评分标准一、选择题（此题共 32 分，每题 4 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDBＡDCA二、填空题（此题共16 分，每题4 分）题号 9101112答案60，阅卷说明：第 11 题、第 12 题每空 2 分．三、解答题（此题共 30 分，每题5 分）13．解：．....................................................................................4 分． ................................................................................................................5 分14．解：（ 1）∵ 二次函数的图象经过点A(2， 5)，∴． ..........................................................................................1 分∴．∴ 二次函数的解读式为． ...................................................2 分（ 2）令，则有．解得，．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为和． ..........................4 分（ 3）． .............................................................................................. 5 分15．解：∵ 在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ A=90 °，∴ ∠ D=90°． ∴ ．∵ ， ∴∠ BPC=90°， ．∴∠ DCP=∠ APB ． ................................................ 2 分 ∴．在 Rt △ PCD 中， CD =2， PD=4，∴．在 Rt △ PBA 中， AB =6，∴．∴．∴． ...............................................................................................................4分∴． ...................................................................................5分16．解：设从 2018 年末至 2018 年末该市城区绿地总面积的年均匀增添率是x． ..........1分依题意，得． ......................................................................................2分整理，得． ...........................................................................................3分．解得 x=0.2=20% ， x =－（舍去）． ......................................................................4分12答：从 2018 年末至 2018 年末该市城区绿地总面积的年均匀增添率是20%． .........5分17 ．解：设河宽 AB 为 xM ． ..................................................................................................1分∵AB⊥BC ，∴∠ ABC =90°．∵在 Rt △ ABC 中，∠ AC B=45°，∴ AB = BC = x． ................................... 2 分∵在 Rt △ ABD 中，∠ ADB =30°，∴ BD=． ....................... 3 分∴．∴． ...................................................................................................... 4 分解得41．答：河宽 AB 约为 41M ． ................................................................................................. 5 分18 ．解：（ 1）∵AB 是⊙ O 的弦， OC⊥ AB 于 C，AB =12 ，∴．........................................... 1 分∵在 Rt△ AOC 中，∠ ACO=90°，，O∴． ....................................................... 2 分C∴． ............................... 3 分A B （ 2） 2 或 14． .......................................................................................................... 5 分四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）19 ．解：（ 1 ）二次函数图象的极点对于y 轴的对称点坐标为，····································1 分∴ 所求的二次函数的解读式为，················2 分即．（2）≤ ≤ 3．········································4 分（3）．·········································5 分20 ．（ 1）证明：∵在矩形 ABCD 中，∠ DAB =∠ ABC =∠ C =∠ D =90 °．∴．∵ AF⊥ AE，∴ ∠EAF =．∴．∴ ∠DAE =∠ BAF．∴ △ADE ∽△ ABF ．······························2 分（2）解：①如图，取 FC 的中点 H，连结 MH ．∵M 为 EF 的中点，∴ MH∥DC ，．∵在矩形 ABCD 中，∠ C =90 °，∴ MH⊥ FC，即 MH 是点 M 到 FC 的距离．∵DE=x，DC =AB=4．∴EC=，∴．即点 M 到 FC 的距离为MH．.................................................... 3分②∵△ ADE∽△ ABF ，∴．∴．∴，FC=，FH = CH=．∴．∵，∴在 Rt△ MHB 中，．∴（）， .......................................................... 4 分当时， BM 长的最小值是． ....................................................... 5 分21．（ 1）证明：如图，连结OC ．∵AD 是过点 A 的切线， AB 是⊙ O 的直径，∴ AD⊥AB，∴ ∠ DAB =90 °．∵OD ∥ BC，∴ ∠ DOC =∠ OCB，∠ AOD =∠ ABC ．∵OC =OB ，∴ ∠ OCB =∠ABC ．∴ ∠ DOC =∠AOD．在△ COD 和△ AOD 中，OC = OA，∠DOC=∠ AOD，OD=OD ，∴ △ COD ≌△ AOD ． ............................................................................................... 1 分∴ ∠ OCD= ∠DAB = 90°．∴ OC⊥DE 于点 C．∵ OC 是⊙ O 的半径，∴ DE 是⊙ O 的切线． .............................................................................................. 2 分（ 2）解：由，可设，则． .. .........................................3 分∴．∴在 Rt△DAE 中，．∴．∵在 Rt△OCE 中，．∴，∴．∴在 Rt△AOD 中，． .. ..............................................4 分∴． .. ...............................................................5 分22．解：（ 1）①③；.........2 分（ 2）； ............. 3 分（ 3）； ....4 分（ 4 ）答案不独一，所绘图形是非关闭的，长度l 知足≤ l ＜．比如：在图 1 中 l，在图 2 中 l．....... 5分图1图2阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中绘图正确且图形长度都正确得 1 分，不然得 0 分．五、解答题（此题共22 分，第23题 7分，第 24 题 7分，第 25题 8分）23．解：（ 1）①∵ 二次函数的图象与 x 轴只有一个公共点A，∴． ....................................................................1 分整理，得．解得，，．又点 A 在 x 轴的正半轴上，∴．∴ m=4． ............................................................................................................ 2 分②由①得点 A 的坐标为．∵四边形 AOBC 是正方形，点 B 在 y 轴的负半轴上，∴点B的坐标为，点 C 的坐标为． ...................................... 3 分设平移后的图象对应的函数解读式为(b， c 为常数 )．∴解得∴平移后的图象对应的函数解读式为． .................................... 4 分（２）函数的图象是极点为，且张口向上的抛物线．分三种状况：(ⅰ )当，即时，函数在0≤≤ 2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为；(ⅱ )当 0≤≤ 2，即 0≤≤4 时，函数的最小值为；(ⅲ )当，即时，函数在0≤≤ 2 内 y 随 x 的增大而减小，此时函数的最小值为．综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为．................ 7 分24．（ 1），． ......................................................................................... 2 分（ 2）证明：连结DM ，AM．在等边三角形ABC 中， M 为 BC 的中点，∴，，．∴．同理，，．∴，．··3分∴ △ADM ∽△ BEM．分∴． (4)延伸 BE 交 AM 于点 G，交 AD 于点 K．∴，．∴．5 分∴． ............................................................................................（ 3）解： (ⅰ) 当△ DEF 绕点 M 顺时针旋转(≤ ≤)角时，∵ △ADM ∽△ BEM，∴．∴∴．∴（ 3≤≤）．........................................................ 6分(ⅱ ) 当△ DEF 绕点 M 逆时针旋转(≤≤) 角时，可证△ ADM ∽△ BEM，∴．∴．∴．∴(≤ ≤3)．综上，(≤ ≤)． ........................................................7 分25．解：（ 1）①该二次函数图象的对称轴为直线； ...............................................1 分②∵当 x=0 时， y=－4，∴点C的坐标为．∵＝12，∴ AB=6．又∵点 A ， B 对于直线对称，∴ A 点和 B 点的坐标分别为，．∴．解得．∴ 所求二次函数的解读式为． ......................................2 分（ 2）如图，作 DF ⊥ x 轴于点 F ．分两种状况：(ⅰ )当点 P 在直线 AD 的下方时，如下图．由（ 1）得点 A，点 D，∴DF =1 ，AF =2 ．在 Rt△ ADF 中，，得．延伸 DF 与抛物线交于点P1，则 P1点为所求．∴点 P1的坐标为． ....................................................................... 3 分( ⅱ)当点 P 在直线 AD 的上方时，延伸P1A 至点 G 使得 AG =AP 1，连结 DG ，作 GH ⊥ x 轴于点 H ，如下图．可证△GHA≌△．∴HA = AF ，GH = P1F ，GA = P1A．又∵，，∴ 点的坐标是．在△ ADP 1中，， DP1＝５，，∴．∴．∴DA⊥．∴．∴．∴．设 DG 与抛物线的交点为 P2，则 P2点为所求．作DK ⊥GH 于点 K ，作 P2S∥ GK 交 DK 于点 S．设 P2点的坐标为，则，．由，，，得．整理，得．解得．∵ P2点在第二象限，∴ P2点的横坐标为（舍正）．综上， P 点的横坐标为－ 2 或．.......................................................... 5分（ 3）如图，连结O，交CE于T．连结 C ．∵点 O 与点对于EC所在直线对称，∴ O⊥CE，CE，∠C E．∴C⊥ E．∵ON⊥ E，∴C∥N．∴ C E．∴． ......................................................................................................... 6 分∴．∵在 Rt△ETO 中，，，在 Rt△中，，，∴．∴．同理．∴．∵，∴．∵点 E 在 x 轴的正半轴上，∴ E 点的坐标为) ． ................................................................................ 8 分。

33北京市西城区2016—2017 学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案2017.1一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B C D C B B 二、填空题（本题共18 分，每小题3 分）11．112．本题答案不唯一，如：EF ∥ BC ．13．3 314．0 ≤x ≤315．5016．本题作法不唯一，如：（1）如图所示，点O 即为所求作的圆心．（2）作图的依据：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等；不在同一条直线上的三个点确定一个圆．三、解答题（本题共72 分，第17﹣26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）17．解：原式= 4 ⨯3- 3⨯+ 2 ⨯2⨯24 分2 2 2=1 -． 5 分18．（1）证明：∵等边△ABC ，∴∠BAC = 60︒，AB =AC ．∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，∴ ∠DAE = 60︒ ， AE = AD ．∴ ∠BAD + ∠EAB = ∠BAD + ∠DAC ． ∴ ∠EAB = ∠DAC ． ∴ △EAB ≌△DAC ． ∴ ∠AEB = ∠ADC ． 3 分（2）解：∵ ∠DAE = 60︒ ， AE = AD ，∴ △EAD 为等边三角形． ∴ ∠AED = 60︒ ，又∵ ∠AEB = ∠ADC = 105︒ ． ∴ ∠BED = 45︒ ． 5 分 19．解：（1） y = x 2 + 4x + 3= x 2 + 4x + 22 - 22 + 3= (x + 2)2-12 分（2）列表：x … -4 -3 -2 -1 0 … y (3)0 -1 03…（3）本题答案不唯一，如：当 x < -2 时， y 随 x 的增大而减小，当 x > -2 时， y 随 x 的 增大而增大．5 分20．（1）证明：∵ CE = CD ，∴ ∠CDE = ∠CED ．∴ ∠ADB = ∠CEA ． ∵ ∠DAC = ∠B ，∴ △ABD ∽△CAE ．3 分（2）解：由（1） △ABD ∽△CAE ，∴ AB = BD ． AC AE∵ AB = 6 ， AC = 9， BD = 2 ，2∴ AE =3． 5 分221．解：设剪掉的正方形纸片的边工为x cm ． 1 分由题意，得(30 - 2x)(20 - 2x)= 264 ． 3 分整理，得x2- 25x + 84 = 0 ．解方程，得x1=4，x2= 21（不符合题意，舍去）． 4 分答：剪掉的正方形纸片的边长为4 cm ． 5 分22．解：本题答案不唯一，如：（1）以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则A(-4，0)， B (4，0)， C (0，6)．设这条抛物线的表达式为y =a (x - 4)(x + 4)．∵抛物线经过点C ，∴-16a = 6 ．∴a =-3 ．8∴这条抛物线表示的二次函数表达式为y =-3x2 + 6 ． 4 分8（2）当x = 1时，y =45．8∵4.4 + 0.5 = 4.9 <45，8∴这辆货车能安全通过这条隧道． 5 分23．（1）证明：连接OC．∴AB 是O 的直径，∴ ∠ACB = 90︒，即∠1 +∠3 = 90︒．∵O A =OC ，∴ ∠1 = ∠2 ．∴ ∠BCD = ∠CAB = ∠1． ∴ ∠BCD + ∠3 = 90︒ ． ∴ OC ⊥ DC 于点C ． ∴ DC 是 O 的切线．3 分（2）解：在Rt △OCD 中， OC = 3 ， sin D = 3，5∴ OD = 5 ， AD = 8 ，∵ CE = CB ， ∴ ∠2 = ∠4 ． ∴ ∠1 = ∠4 ． ∴ OC ∥ AF ． ∴ △DOC ∽△DAF ．∴ OC = OD ． AF AD∴ AF = 24． 5 分524．本题答案不唯一，如：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺等； 1 分 （2）设CD 表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示． 需要测量的几何量如下：①在点 A ，点 B 处用测角仪分别测出仰角α ， β ；②测出 A ， B 两点之间的距离 s m ． 3 分（3）求解思路：a ．设CD 为 x m ．在Rt △DBC 中，由∠DBC = β ，可得 BC = x；tan β同理，在Rt △DAC 中，可得 AC =x．tan α b ．由 AB = AC - BC 得 s = x tan α- xtan β ，x 可求．5 分25．（1）证明：∵直径 DE ⊥ AB 于点 F ，∴ AF = BF ． ∴ AM = BM ． 2 分 （2）解：连接 AO ， BO ，如图．3 6 2∵ DE ⊥ AB ，AO = BO ， ∴ ∠AOF = ∠BOF = 1∠AOB ．2由（1）可得 AM = BM ， ∵ AM ⊥ BM ，∴ ∠MAF = ∠MBF = 45︒ ． ∴ ∠CMN = ∠BMF = 45︒ ． ∵ ∠N = 15︒ ，∴ ∠ACM = ∠CMN + ∠N = 60︒ ，即∠ACB = 60︒ ．∵ ∠ACB = 1∠AOB ，2∴ ∠AOF = ∠ACB = 60︒ ． ∵ D E = 8 ， ∴ AO = 4 ．在Rt △AOF 中，由sin ∠AOF = AF，得 AF = 2 ．AO在Rt △AMF 中， AM = BM = 2AF = 2 ． 在Rt △ACM 中，由tan ∠ACM = AM ，得CM = 2 2 ．CM∴ BC = CM + BM = 2 + 2 26．解：（1）补全表格如下：． 5 分方 程 两 根 的 情 况对应的二次函数的大致图象 a ， b ， c 满足的条件方 程 有 一 个 负实 根 和 一 个 正 实根⎧a > 0 ⎪∆ = b 2 - 4ac > 0 ⎪ ⎨- b> 0⎪ 2a ⎪ ⎪⎩c > 06⎪⎩ 3 分（2）解：设一元二次方程x2-(2m + 3)x - 4m = 0 对应的二次函数为：y =x2-(2m + 3)x - 4m ，∴一元二次方程x2-(2m +3)x-4m = 0 有一个负实根和一个正实根，且负实根大于-1，⎧⎪-4m < 0∴⎨(-1)2 -(2m + 3)⋅(-1)- 4m > 0．。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5， 那么sin B 等于（ ）．A .35 B .45C .34D .432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）．A .12y y >B .12y y =C .12y y < D .不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A .(4,5)-，开口向上B .(4,5)-，开口向下C .(4,5)--，开口向上D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π 5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34° B ．46° C ．56° D ．66° 6.如果函数24yxx m=+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A .m ≤4B .<4mC . m ≥4-D .>4m - 7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到 △ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABC C ．2A B A P A C=⋅ D ．A B A C B PC B=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23yx=+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ， 如果23=DBAD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n=+(k ≠0)与抛物22y a xb x c=++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角C E D ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y a x b x c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴 交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论： ①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4A D C E +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4t a n 3A PB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：22sin 30c o s 45ta n 60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45B A C ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），B F C ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21在h （m ） 1.5 2 …18.75 20 …（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写的取值范围）； （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线k yx=（k ≠0）与直线12yx=的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，P M P N ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5c o s 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且满足4sin5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图 形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=D C E B ∠∠． （1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2ta n 3B=，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221yx a x a =-+-（a为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ； ③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．图2A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：22=-+（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个y x a x N新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y k x b=+（k，b为常数，k≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：2(0)=++≠经过(1,0)y a x b x c aA-，且顶点坐标为(0,1)B．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设(,0)M．F t为x轴正半轴．．．上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线1①抛物线M的顶点1B的坐标为；1②当抛物线M与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．127．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点C在线段OB上，OC=2BC，AO 边上的一点D满足∠OCD=30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△O C D''，C，D两点的对应点分别为点C'，D'，连接A C'，B D'，取A C'的中点M，连接OM．（1）如图2，当C D''∥AB时，α= °，此时OM 和B D'之间的位置关系为；28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为(2,2)A，(2,2)B-．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q'落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点(4,1)P-．①在1(1,1)Q-，2(1,1)Q两点中，是点P关于线段AB的内称点的是____________；②若点M在直线1y x=-上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标Mx的取值范围；（2）已知点(3,3)C，⊙C的半径为r，点(4,0)D，若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷九年级数学2018.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5， 那么sin B 等于（ ）．A .35B . 45C . 34D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A .(4,5)-，开口向上 B .(4,5)-，开口向下 C .(4,5)--，开口向上 D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π 5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34° B ．46° C ．56° D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）. A .m ≤4 B .<4m C . m ≥4- D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到 △ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABC C ．2AB AP AC =⋅ D ．AB ACBP CB=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ， 如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴 交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论： ①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长． 19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD =（用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度 h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系， 1.5 2 … 18.75 20…（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写的取值范围）； （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线ky x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图 形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠． （1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）． （1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ； ③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：（用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ． （1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ； （2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷 九年级数学参考答案及评分标准 2018.1一、 选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. (0,3).10. 4.11. 4.12. 12x-<<. 13.2 .14.1154cosα（或2cosCEα⋅）. 15. ②④. 16.1 .三、解答题（本题共68分，第17―20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24 题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解：22sin30cos45tan60︒+︒-︒．2122=⨯+-………………………………………………………………3分112=+…………………………………………………………………………4分32=-. ……………………………………………………………………………5分18.（1）证明：如图1．∵∠ABE=∠ACB，A A∠=∠，∴△ABE∽△ACB．………………………………2分（2）解：由（1）得AB AEAC AB=．………………………3分∴2AB AC AE=⋅．∵AB=6，AE=4，∴29ABACAE==．……………………………………………………………4分∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE．∴CD CEAB AE=．∴()651542AB CE AB AC AECDAE AE⋅⋅-⨯====．……………………………………………5分19.解：（1）(0,0)，(2,0)．……………………………2分（2）画图见图2．………………………………4分2倍．………………………………………5分20.解：（1）45α-︒，45.………………………………2分（2）画图如图3. …………………………………3分连接BE，设AC与BE交于点G.由题意可知，45BAC CAE∠=∠=︒，AB AC AE===2∴90BAE∠=︒，AG⊥BE，BG=EG.∴点A到直线BE的距离即为线段AG的长．………………………………4分∴2BEAG===…………………………………………………5分图2图3图1∴ 当α=45时，点A 到直线BE ．21．解：（1）∵ 0t =时，0h =，∴ 设h 与t 的函数关系式为2h at bt =+（a ≠0）．…………………………1分 ∵ 1t =时，15h =；2t =时，20h =，∴ 15,4220.a b a b +=⎧⎨+=⎩ …………………………………………………………… 2分解得5,20.a b =-⎧⎨=⎩………………………………………………………………… 3分∴ h 与t 之间的函数关系式为2520h t t =-+．…………………………… 4分（2）小球飞行3秒时，3t =（s ），此时25320315h =-⨯+⨯=（m ）．答：此时小球的高度为15 m ． ……………………………………………… 5分 （3）方法一：设t （s ）时，小球的飞行高度达到22 m ． 则252022t t -+=．即2520220t t -+=． ∵2(20)4522<0∆=--⨯⨯，∴ 此方程无实数根．所以小球的飞行高度不能达到22 m ．………………………………………… 6分 方法二：∵ 225205(2)20h t t t =-+=--+，∴ 小球飞行的最大高度为20 m ．∵ 22>20，∴ 小球的飞行高度不能达到22 m ．…………………………… 6分 22．解：（1）2a =-，2k =．……………………………………………………………… 2分（2）证明：∵ 双曲线2y x=上一点P 的横坐标为1， ∴ 点P 的坐标为(1,2)P ．………………………………………………… 3分 ∴ 直线P A ，PB 的函数表达式分别为1y x =+，3y x =-+． ∴ 直线P A ，PB 与x 轴的交点坐标分别为(1,0)M -，(3,0)N ．∴ PM =PN =4MN =．……………………………………4分 ∴ PM=PN ，……………………………………………………………………5分222PM PN MN +=．∴ 90MPN ∠=︒．∴ PM PN ⊥．……………………………………………………………… 6分说明：其他正确的解法相应给分．23．解：如图4，作BD ⊥l 于点D ．……………………………………………………… 1分在Rt △CBD 中，90CDB ∠=︒，BC=13，5cos cos 13C α==，∴ 5cos 13513CD BC C =⋅=⨯=，…………………………………………………2分12BD ===． ……… 3分在Rt △ABD 中，90ADB ∠=︒，BD=12，4sin 5A =， ∴ 12154sin 5BD AB A ===． ……………………… 4分 1294tan 3BD AD A ===．作图：以点D 为圆心，9为半径作弧与射线l 交于点A ，连接AB ．…………5分24．（1）证明：如图5，连接OC ．∵ AB 是半圆的直径，AC 是半圆的弦，∴ 90ACB ∠=︒．……………………………… 1分 ∵ 点D 在弦AC 的延长线上， ∴ 18090DCB ACB ∠=︒-∠=︒． ∴ 90DCE BCE ∠+∠=︒． ∵ OC=OB ， ∴ BCO B ∠=∠． ∵ =DCE B ∠∠，∴ 90BCO BCE ∠+∠=︒，即90OCE ∠=︒．………………………………… 2分 ∴ CE ⊥OC ．∴ CE 是半圆的切线．…………………………………………………………… 3分（2）解：设半圆的半径长为r ．在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，2tan 3B =，设2AC k =，则3BC k =，AB ==．∴sin AC B AB == ∵ OD AB ⊥，∴ 90D A ∠+∠=︒． ∵ AB 是半圆的直径，∴ 90ACB ∠=︒,90B A ∠+∠=︒． ∴ D B ∠=∠．∴sin sin D B ==．在Rt △AOD 中，90AOD ∠=︒，sin D =又∵ CD=10， ∴OA AD == ∴ 134(210)k k =+．解得8k =．图5 图4经检验，8k =是原方程的解．∴r ==．………………………………………………… 5分 25．解：（1）当3a =时，抛物线G 为262y x x =-+．∴ 222226223332(3)7y x x x x x =-+=-⨯+-+=--．………………1分 此时抛物线G 的顶点坐标为(3,7)-．……………………………………… 2分 （2）①22222221(2)1()1y x ax a x ax a a a x a a a =-+-=-+-+-=--+-．∵ 抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．∴ 2,1.p a q a a =⎧⎨=-+-⎩ ……………………………………………………… 3分②由①得21q p p =-+-．…………………………………………………… 4分 ③C ．…………………………………………………………………………… 5分（3）答案不唯一，如新抛物线H 的函数表达式为222y x ax a a =-++，1k =，0b =．……………………………………………………………………… 6分 26．解：（1）∵ 抛物线M 的顶点坐标为(0,1)B ， ∴ 设抛物线M 的函数表达式为21y ax =+．………………………………1分 ∵ 抛物线M 经过(1,0)A -，∴ 2(1)10a ⨯-+=．解得1a =-． ……………………………………… 2分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为21y x =-+． ……………………………… 3分（2）①1(2,1)B t -．………………………………………………………………… 4分②由题意可知抛物线1M 的顶点1B 的坐标为1(2,1)B t -，二次项系数为1， ∴ 抛物线1M 的函数表达式为2(2)1y x t =--（0t >）． 当抛物线1M 经过点(1,0)A -时（如图6）， 2(12)10t ---=．解得 11t =-，20t =．当抛物线1M 经过点(0,1)B 时（如图6）， 2(2)11t -=．图6解得2t =±． 结合图象分析，因为0t >，当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是0t <． ……………………………………………………… 6分 27．解：（1）150．…………………………………………………………………………… 1分 OM BD '⊥．………………………………………………………………… 2分 （2）OM ⊥BD '，OM '=． 证明：如图7，取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD '于点N ．∵ E ，M 分别为AO ，AC '的中点，∴ EM ∥OC '，2OC EM '=． ∴ 180OEM AOC '∠+∠=︒．∵ 90AOB C OD ''∠=∠=︒，∴ 180BOD AOC ''∠+∠=︒．∴ OEM BOD '∠=∠． ① …… 3分∵ ∠OAB =∠OC D ''=30°， ∴22AOEO AO OB OC EM OC OD===='''， 即EO EM OB OD='． ② ………………………………………………………… 4分 由①②得 △EOM ∽△OBD '． …………………………………………… 5分∴ 12∠=∠，2OM EO AO BD OB OB ==='，即OM '=．……………………… 6分 ∵ 点N 是MO 的延长线与BD '的交点，∠AOB =90°，∴ 1318090AOB ∠+∠=︒-∠=︒．∴ 2390∠+∠=︒．∴ OM ⊥BD '．…………………………………………………………… 7分说明：其他正确的解法相应给分．28．解：（1）①1Q ．（见图8） ……………………………………………………………… 1分②如图9，点(4,1)P -关于AB 所在直线的对称点为(0,1)P '-，………… 2分此时点P '恰好在直线1y x =-上．∵ 点M 是点P 关于线段AB 的内称点，∴ 点M 关于AB 所在直线的对称点M '落在△ABP 的内部（不含边界）．又∵点M 在直线1y x =-上，∴ 点M 应在线段P G '上（点G 为线段AB 与直线1y x =-的交点），且不与两个端点P '，G 重合．∴ 02M x <<． ………………………………………………………… 3分图7（2）如图10．∵点E是点D关于线段AB的内称点，∴点E关于AB所在直线的对称点E'应在△ABD的内部（不含边界）．∵点D关于AB所在直线的对称点为原点O，∴点E应在△ABO的内部（不含边界）．………………………………4分∵(2,2)A，(3,3)C，(4,0)D，可得AC=，AD=CD=．∴222AC AD CD+=．∴90CAD∠=︒．∴AC⊥AD．此时直线DA与以AC为半径的⊙C相切，半径AC=………………5分当直线DE与以CD为半径的⊙C相切，D为切点时，⊙C的半径最大，最大值∴符合题意的⊙C的半径rr≤…………………7分图8 图9 图10。

北京市西城区2０１7-2０18学年度第一学期期末试卷ﻩ九年级数学 2０18.1一、选择题(本题共１6分，每小题2分） １. 如图,在Rt △ABC 中,∠AC Ｂ＝9０°,如果ＡＣ=3，AB =5，那么ｓin B 等于（ )．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ,2y 的大小关系是（ ）.Ａ.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. Ａ．(4,5)-,开口向上 Ｂ.(4,5)-，开口向下 C.(4,5)--,开口向上 D.(4,5)--,开口向下4.圆心角为60︒，且半径为1２的扇形的面积等于( ）.A ．48π B.24π C.4π Ｄ.2π 5．如图，A Ｂ是⊙O 的直径,CD 是⊙Ｏ的弦，如果∠A ＣD =34°,那么∠BAD 等于（ ). A.3４°ﻩ Ｂ.4６° C.56° Ｄ．66° 6．如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么ｍ的取值范围是( ). A ．m ≤4 Ｂ.<4m C. m ≥4- D.>4m - ７.如图，点P 在△ABC 的边ＡＣ上,如果添加一个条件后可以得到 △A ＢＰ∽△AC Ｂ,那么以下添加的条件中,不．正确的是（ )． A ．∠ＡBP =∠C Ｂ.∠ＡＰB =∠ＡＢC Ｃ.2AB AP AC =⋅ D.AB ACBP CB=8．如图,抛物线32++=bx ax y (a ≠０)的对称轴为直线1x =, 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为( ）.A.4- Ｂ.2- C.1 D. 3 二、填空题(本题共1６分，每小题2分)9． 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .ﻩ１0． 如图，在△ABC 中,Ｄ,E 两点分别在AB ,AC 边上,DE ∥ＢC , 如果23=DB AD ,ＡC =1０，那么EC = ．11. 如图,在平面直角坐标系ｘOy 中,第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点Ｃ，ＰD ⊥x 轴于点Ｄ,那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图,直线1y kx n =+(ｋ≠０)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0） 分别交于(1,0)A -,(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图,⊙Ｏ的半径等于4,如果弦ＡB 所对的圆心角等于120︒,那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2０１７年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了,我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中,中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中,两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布,大桥主跨ＢD 的中点为E ,最长的斜拉索C Ｅ长577 ｍ,记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α,那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨B Ｄ长的表达式应为ＢＤ= (ｍ) .１５.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点Ｃ,与x 轴 交于Ａ,B 两点,其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交ｘ轴于点Ｄ，CE ∥ＡＢ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论:①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有 正确结论的序号是 .16. 如图,⊙O 的半径为３,A ,P 两点在⊙O 上,点Ｂ在⊙Ｏ内, 4tan 3APB ∠=,AB AP ⊥．如果ＯB ⊥OP ,那么O Ｂ的长为 .三、解答题(本题共６8分,第17-20题每小题5分,第21、2２题每小题6分,第2３、24题每小题5分,第２5、2６题每小题6分,第２７、28题每小题７分) 1７.计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒.18.如图，ＡB ∥CD ,ＡC 与BD 的交点为Ｅ，∠ABE=∠ACB .(1)求证：△AB Ｅ∽△A ＣB ;（2)如果ＡＢ=6，AE=4，求A Ｃ，CD 的长.1９．在平面直角坐标系ｘＯy 中,抛物线1C ：22y x x =-+.(1)补全表格(2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ,请画出抛物线1C ,2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间 距离的多少倍.20.在△ABC 中,AB=AC=２，45BAC ∠=︒．将△A ＢC 绕点A 逆时针旋转α度(０<α＜18０)得到△AD Ｅ,Ｂ，C 两点的对应点分别为点Ｄ,E ，BD ，CE 所在直线交于点F . (1)当△ABC 旋转到图1位置时，∠ＣAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒;(２)当α=４5时,在图2中画出△AD Ｅ,并求此时点A 到直线ＢE 的距离．2１.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出,在不考虑空气阻力的条件下,小球的飞行高度h （m)与它的飞行时间ｔ（s ）满足二次函数关系，t 与ｈ的几组对应值如下表所示．ｔ（s ） ０ 0.5 1 1．5 2 … h (m ）０ 8．７5 15 18.75 20…（1）求与t 之间的函数关系式（不要求写的取值范围）; (2)求小球飞行３ ｓ时的高度;(3）问:小球的飞行高度能否达到２2 m ？请说明理由．２2．如图，在平面直角坐标系x Ｏy 中，双曲线ky x=(k ≠0)与直线12y x =的交点为(,1)A a -,(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为１,直线P A ，P Ｂ与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN . (１)直接写出a ,k 的值;（2)求证：P Ｍ=ＰN ，PM PN ⊥．23．如图,线段ＢC 长为1３,以C 为顶点，C Ｂ为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点Ａ落在α∠的另一边l 上,且 满足4sin 5A =．求△AB Ｃ的高BD 及ＡＢ边的长，并结合你的计算过程画出高ＢD 及AB 边.(图中提供的单位长度供补全图 形使用）24.如图，A Ｂ是半圆的直径,过圆心Ｏ作ＡB 的垂线，与弦ＡＣ的延长线交于点Ｄ,点Ｅ在ＯD 上,=DCE B ∠∠. （1)求证：ＣＥ是半圆的切线;（2）若CD=10,2tan 3B =,求半圆的半径.25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-(ａ为常数). （１)当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； (２）若记抛物线Ｇ的顶点坐标为(,)P p q .①分别用含a 的代数式表示p ,q ;②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ;③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化,但点P 总落在 的图象上.A ．一次函数 Ｂ．反比例函数 C.二次函数（3）小明想进一步对(２)中的问题进行如下改编:将(2）中的抛物线G 改为抛物线Ｈ:22y x ax N =-+(a 为常数),其中Ｎ为含a 的代数式，从而使这个新抛物线Ｈ满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线Ｈ的函数表达式：(用含a 的代数式表示),它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数,k ≠0）中,k= ,b= .２6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Ｍ:2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（１)求抛物线M 的函数表达式；(２)设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转１80°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ;②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时,结合函数的图象,求t 的取值范围.27．如图1，在Ｒｔ△AOB 中,∠AO Ｂ＝９0°,∠OAB =３0°，点C 在线段O Ｂ上,OC =２ＢC ,AO 边上的一点Ｄ满足∠OCD =３0°.将△OC Ｄ绕点O 逆时针旋转α度(９０°<α<１8０°）得到△OC D ''，Ｃ,Ｄ两点的对应点分别为点C '，D ',连接AC ',BD ',取AC '的中点Ｍ,连接OM ． （1)如图２,当C D ''∥ＡB 时,α= °,此时ＯM 和BD '之间的位置关系为 ； (2)画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系,并加以证明．２8.在平面直角坐标系xO ｙ中，A ，Ｂ两点的坐标分别为(2,2)A ,(2,2)B -.对于给定的线段AB 及点Ｐ,Q ,给出如下定义：若点Ｑ关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ＡＢＰ的内部（不含边界)，则称点Ｑ是点Ｐ关于线段A Ｂ的内称点． (1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -,2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____＿__＿＿__＿; ②若点Ｍ在直线1y x =-上,且点M 是点Ｐ关于线段ＡB 的内称点,求点Ｍ的横坐标M x 的取值范围；（２）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ,若点Ｅ是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线ＤＥ与⊙C 相切,求半径r 的取值范围.。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷2018.1九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在△中，∠90°，如果3，5，那么等于（）．3434 C. A. D. B. 35456图象上的两点，那么，是反比例函数的大，2.点yy(3,y(1,Ay))B?y?2211x小关系是（）．A. B. C. D.不能确定yyyyy??y?2221113.抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（）.25y?(x?4)?A.，开口向上B.，开口向下5)(4,(4,?5)?C.，开口向上D.，开口向下5)5)4,?(??(?4,4.圆心角为，且半径为12的扇形的面积等于（）.?60B. C.A.π24ππ484D.π2OO么的直径，是⊙的弦，如果∠34°，那5.如图，是⊙∠）．等于（．34° B．46°A．66°．56°DC mx的取值范围是6.如果函数的图象与轴有公共点，那么1 / 182m4x?y?x?（）.m≥ D.4 B. C.≤4m<4?m>4?P在△的边上，如果添加一个条件后可以得到7.如图，点．）（△∽△，那么以下添加的条件中，不正确的是．C ．∠∠BA．∠∠ACAB．C． D?2ACAPAB??CBBP a如图，抛物线≠0)的对称轴为直线(，8.23?bx?y?ax1x?ax，如果关于(的方程那么≠0)的一个根为4208?ax?bx?）．该方程的另一个根为（ 3B． C．1 D．A．2??4（本题共16分，每小题2分）二、填空题y . 与轴的交点坐标为抛物线9. 23x?y? ED两点分别在，边上，∥，10. 如图，在△中，，3AD .，如果10，那么?2DB点11. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的)yxP(,y轴⊥与点在同一个反比例函数的图象上，(2,2)A于DxC .轴于点点，⊥，那么矩形的面积等于 2 / 18k≠0)与抛物(12.如图，直线n?y?kx1a≠0)(2c?ax?bxy?2时，两点，分别交于，那么当yy?3)B(2,?1,0)?(A21x的取值范围是 .O于4，如果弦所对的圆心等角13. 如图，⊙的半径等于，?120O .那么圆心到弦的距离等于月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国年14.20179桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥的2所示）（如图1主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨E记与大桥主梁所夹的锐角的中点为最长的斜拉索长，577 m，CED?的三角函数表示主跨长的表达式应为，那么用的长和为??(m) .3 / 18Cy与，轴交于点15.如图，抛物线与20) (ay?ax??bx?c x轴BBA物线，抛，交于的坐标为两点，其中点(4,0)B的对称轴交EDx现有下列结论：轴于点.，∥，并与抛物线的对称轴交于点其中所有；②①；③；④.4??c?0AD??a0CEb?0a4?2b正确结论的序号是 .OOAP上，点的半径为3，两点在⊙，如图，⊙16.OB内，在⊙4如果⊥，那么的长为 .，.APAB??tan?APB3题每22分，第21、17（本题共68分，第－20题每小题5三、解答题分，题每小题65分，第25、26题每小题分，第小题623、24分）、28题每小题7第2717．计算：．2???tan60cos?2sin30?45E．如图，∥，与的交点为18，∠∠．4 / 18（1）求证：△∽△；（2）如果6，4，求，的长．19．在平面直角坐标系中，抛物线：．2xx??2?y C1（1）补全表格：抛物线顶点与轴交点与y轴交点x坐标坐标坐标（2）将抛物线向上平移3个单位得到抛物线，2(0,0)(1,1)xy??x2?请画出抛物线CC21，，并直接CC21回答：抛物线与轴的两交点之间的距离是抛物线与轴xx CC21的两交点之间距离的多少倍．A<180），2．将△绕点逆时针旋转度（0<20．在△中，????45BAC?FEBCD两点的对应点分别为点．，，，所在直线交于点得到△，，，的代数式表示） 11（）当△旋转到图位置时，∠（用? 5 / 18的BFC?；度数为?A中画出△，并求此时点到直线的距离．=45（2）当时，在图2?2图图1．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻21th）满足sm（力的条件下，小球的飞行高度）与它的飞行时间（ht与二次函数关系，的几组对应值如下表所示．6 / 18tth的取值范围）与；之间的函数关系式（不要求写（1）求 3 s 时的高度；（2）求小球飞行22 m？请说明理由．（3）问：小球的飞行高度能否达到k．如图，在平面直角坐标系中，双曲线22?y x1k，≠0）与直线（的交点为)B(2,(a,?1)bAxy?2P直线，的横坐标为1两点，双曲线上一点，NMx与，轴的交点分别为点，连接．ka1（）直接写出的值；，，．（2）求证：PNPM?C的13，以为顶点，为一边23．如图，线段长为满足??5lA的另一边．锐角△的顶点落在???cos?13上，且4满足．求△的高及边的长，并结合你的?sin A5（图中提供的单位长度供补全图计算过程画出高及边．形使用）O作的垂线，与弦24．如图，是半圆的直径，过圆心7 / 18DE在上，的延长线交于点．，点B??DCE=（1）求证：是半圆的切线；2，求半圆的半径．，）若10（2?B tan3Ga为常数）．25．已知抛物线（：21a?y?x??2ax G的顶点坐标；时，用配方法求抛物线（1）当3?a G的顶点坐标为）若记抛物线．（2),qP(papq；，①分别用含的代数式表示pq；②请在①的基础上继续用含的代数式表示Pa的取值变化而变化，③由①②可得，顶点的位置会随着P总落在的图象上．但点 A．一次函数 B．反比例函数 C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中G改为抛物的抛物线Ha Na的代数式为含线（：，为常数），其中2N?yx2?ax?从而使这个H a取何值，它的顶点总落在某个一满足：无论抛物线新次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物H的函数表达式：线a的代数式表示），（用含它的顶点所在的一次8 / 18kbk0为常数，，）函数图象的表达式（?by?kx?．中，，M：经过26．在平面直角坐标系中，抛物线，20)a??bx?c?yax (1,0)?A(且顶点坐标为．(0,1)B M的函数表达式；1）求抛物线（xMF旋转上一点，将抛物线180°得为（2）设绕点轴正半轴,0)F(t．．．到抛物线．M1①抛物线的顶点的坐标为；BM11 t的与线段有公共点时，结合函数的图象，求②当抛物线M1取值范围．9 / 18C在线段上，2，在△中，∠90°，∠30°，点，边上的一27．如图1DO逆时针旋转α度点（90°<α<180°）满足∠30°．将△绕点CD两点的对应点分别为点，，连接，，，，得到△??????ACDOCCBDD M，连接．的中点取?AC和之间的位置∥时，α=，当°，此时（1）如图2???DCBD关系为；（2）画图探究线段和之间的位置关系和数量关系，并加以证?BD 明．AB两点的坐标分别为，，28．在平面直角坐标系中，．对2)(2,A(2,2)?B 于给定的线段PQQ关于所在直线的对称点落在，，给出如下定义：若点及点?Q QP 关于线段的内称点．△的内部（不含边界），则称点是点（1）已知点．1)(4,P?P关于线段的内称点的是；两点中，是点，①在(1,1)Q(1,Q?1) 21MMP关于线段的内称点，在直线上，且点是点②若点1xy??10 / 18M的横坐标求点的取值范围；x M CrED关于，⊙是点的半径为，若点，点）已知点（2(3,3)C(4,0)D Cr的取值范相切，求半径线段的内称点，且满足直线与⊙围．11 / 1812 / 1813 / 1814 / 1815 / 1816 / 1817 / 1818 / 18。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）． A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A.m ≤4B.<4mC. m ≥4-D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB AC BP CB = 8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有 正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）0 8.75 15 18.75 20 … （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的 计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径． 25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ． ①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b=+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。