2019-2020学年黑龙江省大庆一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(9月份)

2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。

大庆中学2019—2020学年度上学期月高一年级数学试题一、选择题1.关于集合下列正确的是（ ） A. 0N ∉ B. R ∅∈C. *0N ∉D.12Z ∈ 【答案】C 【解析】0∉N 错误，R ∅∈错误，0∉N *正确，12∈Z 错误，故选C .2.已知集合{}{}1,2,0,1A B ==，则A B = ( )A. {}1B. {}0,1C. {}1,2D. {}0,12， 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的概念，求得两个集合的并集. 【详解】依题意可知{}0,1,2AB =，故选D.【点睛】本小题主要考查并集的概念及运算，属于基础题.3.设全集U =R ,集合{}2|30?A x x x =-->，{}|1?B x x =<-，则图中阴影部分表示的集合为A. {}|0?x x > B. {}|3 1 x x -<<- C. {}|30 x x -<<D. {}| 1 x x <-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，再求A∩B 得解.【详解】∵{}{}23030A x x x x x =-->=-<<，{}1B x x =<-，图中阴影部分表示的集合为A∩B， ∴{}31A B x x ⋂=-<<-. 故选B ．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，考查韦恩图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.下列各组函数中,表示同一函数的是 A. ()f x =1,()g x x =B. ()f x =(),x g x =C. ()f x =()2,x g xD. ()(),f x x g x ==【答案】D 【解析】选项A ，B ，C 中，两个函数的对应关系不同，所以这两个函数不是同一函数；选项D 中，()g x x ==，故两个函数定义域、对应关系均相同，所以这两个函数是同一函数．选D 。

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黑龙江省大庆实验中学2019届高三数学上学期第一次月考试题 理一、单选题(每小题5分，共12题）1．已知集合{|A y y ==和集合2{|}B y y x ==，则A B ⋂等于A ．(0,1)B ．[0,1]C ． (0,)+∞D ． {(0,1),(1,0)}2．0,2sin x x x ∀>>“”的否定是( ）A ． 0,2sin x x x ∀><B ．0,2sin x x x ∀>≤C ． 0000,2sin x x x ∃≤≤D ．0000,2sin x x x ∃>≤3．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-， 且a b , 则||b = （ ）A ．B ． ． ． 4．已知角α的终边经过点P (4，－3），则2sin cos αα+的值等于( ）A ． 25-B ．45C ．35- D ．25 5．sin17sin 223cos17cos(43)+-等于（ )A ．12B ．12- C ． 6．ABC ∆中,,A B C 的对边分别是,,a b c 其面积2224a b c S +-=，则中C 的大小是（ ） A ．30 B ．90 C ． 45 D ．1357．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件．．．．．．．是（ ） A ．1(,)6a ∈-∞ B ． 1(,)2a ∈-+∞ C ． 1(,)2a ∈+∞ D ． 11(,)26a ∈- 8．已知ABC ∆的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为 （ ）A ． 15B ． 18C ． 21D ． 249.已知函数()sin()f x A wx ϕ=+（其中0,0,0A w ϕπ>><<）的图象关于点5(,0)12M π成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3N π-，则对于下列判断：①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点(,0)12π-是函数()f x 的一个对称中心；③函数1y =与35()()1212y f x x ππ=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π。

黑龙江省大庆实验中学2019届高三数学上学期第一次月考试题 文本试卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知全集U ＝R ，集合(){}lg 1A x y x ==-，集合{B y y ==，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．(1，＋∞) 2.若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝ ( )A ．lg101B ．2C ．1D ．0 3.命题“3,30x R x x ∀∈->”的否定为( ) A. 330x R x x ∀∈-≤， B. 330x R x x ∀∈-<， C. 300030x R x x ∃∈-≤，D. 300030x R x x ∃∈->，4.已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A.可由函数()cos2g x x =的图象向左平移3π个单位而得 B.可由函数()cos2g x x =的图象向右平移3π个单位而得 C.可由函数()cos2g x x =的图象向左平移6π个单位而得D.可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得 5.函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是 ( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2，2]6.若12,e e u r u u r 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+r u r u u r r u r u u r的夹角为（ ）A. 30︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒ 7.已知()()320,f x ax bx ab =++≠若()2018f k =，则()-2018f =（ ） A.k B.k - C.4-k D. 2-k8.已知函数f (x )是R 上的偶函数，在(－3，－2)上为减函数,对∀x ∈R 都有f (2－x )＝f (x )，若A ，B 是钝角三角形ABC 的两个锐角，则( ) A ．f (sin A )<f (cos B ) B ．f (sin A )>f (cos B )C ．f (sin A )＝f (cos B )D ．f (sin A )与f (cos B )的大小关系不确定 9.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3 = ( )A ．－45 B. 45 C. －35 D. 3510.△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若2AB AC AO +=u u u r u u u r u u u r ，且OA AC =u u u r u u u r，则向量BA u u u r在向量BC uuu r 方向上的投影为( )A. 32B. 32 C ．3 D.－3211.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，不等式()()'0f x xf x +<成立，若(),a f ππ=()()()22,1b f c f =--=，则,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c >>B.c b a >>C.c a b >>D.a c b >> 12.函数()x xf x e=，方程()()()2110f x m f x m ⎡⎤-++-=⎣⎦有4个不相等实根，则m 的取值范围是( )A. 22,1e e e e ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ B. 221,e e e e ⎛⎫-++∞ ⎪+⎝⎭ C. 221,1e e e e ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭D. 22,e e e e ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知向量()()2,4,3,4a b =-=--v v ，则向量a v 与b v夹角的余弦值为_________． 14.已知函数()()322,f x x ax bx a a b R =+++∈且函数()f x 在1x =处有极值10，则实数b 的值为_______.15.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ， C 所对的边，若cs in A ＝－a cos C ，则3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋3π4的取值范围是________.16.设函数()f x 是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()'22f x xf x x +>，则不等式()()()220142014420x f x f ++-->的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题10分）已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式;(2)已知△ABC 的内角分别是A 、B 、C ，其中A 为锐角，且 12122A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos B ＝45，求sin C 的值．18.（本小题12分）在ABC ∆中， 3B π=， 2BC =.（1）若3AC =，求AB 的长；（2）若点D 在边AB 上， AD DC =， DE AC ⊥，E 为垂足， 62ED =，求角A 的值. 19. （本小题12分）已知函数()λωωωω++-=x x x x x f cos sin 32cos sin 22的图像关于直线π=x 对称,其中λω,为常数且⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ω.(1)求()x f 的最小正周期.(2)若函数()x f 的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π,求()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡53,0π上的值域.20．（本小题12分）在△ABC 中，已知sin B ＝74，cos A sin A ＋cos C sin C ＝477， (1)求证：sin A sin C ＝sin 2B(2)若内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：0<B ≤π3； (3)若BA →·BC →＝32，求|BC →＋BA →|.21．（本小题12分）设函数x x x ax x x f ln )(2)(22-++-=. （1）当2=a 时，讨论函数)(x f 的单调性；（2）若),0(+∞∈x 时，0)(>x f 恒成立，求整数a 的最小值. 22．（本小题12分）设k R ∈，函数()ln f x x kx =-． （1）若2k =，求曲线()y f x =在(1,2)P -处的切线方程； （2）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；大庆实验中学高三月考试题答案（文科数学） 1----5 CBCDC 6----10 BCABA 11---12AC13. 514. -11 15. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，6＋22 16. (－∞，－2 016) 17.解：(1)由周期12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2 (2)当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π6＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6.故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 (4)f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3 ，k ∈Z (6)(2)由(1)可知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π12＋π6＝1，即sin A ＝12，又因为A 为锐角 ∴A ＝π6………………………………………………………………..8 ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝35…………………………………10 ∴sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )，＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝12×45＋32×35＝4＋3310…………………12 18. 解：设AB x =，则由余弦定理有：2222cos AC AB AC AB AC B =+-⋅ 即2223222cos60x x =+-⋅o 解得：61x =+ 所以6 1.AB =+…….6分（2）因为6ED =，所以6sin ED AD DC A ===. 在BCD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC CDBDC B=∠，因为2BDC A ∠=∠，所以26sin22sin sin60A A =︒.所以cos 2A =，所以4A π=………………………12分19. 解：（1）()22sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-++2cos 2x x ωωλ=-+2sin 26x πωλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ (2)由已知，()f x 的图像关于直线π=x 对称 当x π=时，()262k k Z ππωππ⋅-=+∈解得()123k k Z ω=+∈ 又⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ω56ω∴=……………………………………………………………………… (4)()52sin 36f x x πλ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭65T π∴=………………………………………………………………………………… (6)()2由已知52sin 04346f πππλλλ⎛⎫⎛⎫=⨯-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴= (8)30,555,366652sin 1236x x x πππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎡∴----- ⎪⎣⎝⎭Q∴值域是1⎡--⎣ (12)20.解：(1)因为cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋cos C sin Asin A sin C＝sin A ＋C sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝477＝1sin B ，所以sin A sin C ＝sin 2B ………………………………………………………3 （2）由正弦定理可得，b 2＝ac .因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac cos B ， 当且仅当a ＝c 时等号成立．所以cos B ≥12，即0<B ≤π3……………………………………………….6 (3)因为sin B ＝74，且a ，b ，c 成等比数列，所以B 不是最大角， 于是cos B ＝ 1－sin 2B ＝1－716＝34.所以32＝BA →·BC →＝ca cos B ＝34ac ，得ac ＝2，…………………………….8 又b 2＝ac ，因而b 2＝2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 所以(a＋c )2＝9，即a＋c＝3 (10)所以|BC →＋BA →|2＝a 2＋c 2＋2BC →·BA →＝a 2＋c 2＋2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac ＋2ac cos B ＝9－4＋2×2×34＝8，即|BC →＋BA →|＝22………………………………………………12 21.解：(1)由题意知)(x f 的定义域为),0(+∞，x x x x x x x f ln )24(22ln )24(22)('-=-+-++-=.∴当210<<x 时，0)('>x f ；当121<<x 时，0)('<x f ；当1>x 时，0)('>x f . ∴函数)(x f 在)21,0(，),1(+∞上为增函数，在)1,21(上为减函数 (4)(2)0)(>x f 恒成立，即0ln )(222>-++-x x x ax x 恒成立. ∵0>x ，∴不等式可化为0ln )1(2>-++-x x a x ，即x x x a ln )1(2-->，令x x x x g ln )1(2)(--=，则max )(x g a >， (6)xx x x x x g 2ln 21ln 2)1(21)('+--=---=， ∵)('x g 在),0(+∞上为减函数，且01)1('>=g ，02ln 2)2('<-=g ， ∴)('x g 在)2,1(上存在唯一的一个零点0x ，即02ln 2100=+--x x ，即0021ln 2x x +-=…………………………………………………………………………8 322)21)(1(ln )1(2)()(000000000max -+=+---=--==x x x x x x x x x g x g ， ∴32200-+>x x a …………………………………………………………………10 ∵)2,1(0∈x ，且32200-+=x x y 在)2,1(上为增函数，则)2,1(32200∈-+=x x y ，又∵Z a ∈，∴2min =a ……………………………………………………………12 22.解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，11'()kx f x k x x-=-=， 当2k =时，'(1)121f =-=-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++=．………………………………………………………………………4 （2）①若0k <时，则'()0f x >，()f x 是区间(0,)+∞上的增函数， ∵(1)0f k =->，()(1)0k a k f e k ke k e =-=-<，∴(1)()0k f f e ⋅<，函数()f x 在区间(0,)+∞有唯一零点；②若0k =，()ln f x x =有唯一零点1x =；……………………………………8 ③若0k >，令'()0f x =，得1x k=， 在区间1(0,)k 上，'()0f x >，函数()f x 是增函数；在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数；故在区间(0,)+∞上，()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f k k k=-=--，由于()f x 无零点，又()(1)0k a k f e k ke k e =-=-<，所以须使1()ln 10f k k =--<，解得1k e>，故所求实数k 的取值范围1(,)e+∞． (12)- 11 -。

绝密★启用前黑龙江省大庆市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}{}2|,|01A x x x B x x =≤=<≤，则A B =（ ）A ．(]0,1B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()(],00,1-∞2．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3．已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（ ） A ．4B ．3C D4．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ） A ．829B ．415C ．429D ．2155．设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．4x =-6．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．327．某公司安排甲、乙、丙3人到,A B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为（ ） A ．15B ．16C ．13D ．148．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．-2B ．2C ．D9．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B ．若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥10．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．10B ．3C ．4D ．311．设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．3B．43C ．2D ．53第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z xy =-的最大值为____________.14．若函数()222,0,0x mx m x f x x m x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且()()12f f =，则m 的值为__________.15sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.16．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.A 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：90，AB PB中点……○…………订…………线…………○……_______班级：___________考号：……○…………订…………线…………○……（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的正弦值.20．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，且短轴长为12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点B 为椭圆E 与y 轴正半轴的交点，是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于,M N 两点，且F 恰是BMN ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由. 21．已知函数()()2ln 1,2x f x ax b g x ax bx x =--=+. （1）当2,3a b ==-时，求函数()f x 在x e =处的切线方程； （2）若函数()y f x =的两个零点分别为12,x x ，且12x x ≠，求证：1212x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭. 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r +-=>，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。