高中数学数列特殊解法

数列常见数列公式数列是数学中常见的一种数值排列模式，通常由一个初始项和一个通项公式来确定。

不同类型的数列有不同的求解方法，下面将介绍常见的数列公式及其解法。

1.等差数列（Arithmetic Progression）：等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的差等于一个常数d。

例如，1，3，5，7，9，…，其中公差d=2通项公式：an = a1 + (n - 1) * d求和公式：Sn = (n / 2) * (a1 + an)2.等比数列（Geometric Progression）：等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的比例等于一个常数r。

例如，2，6，18，54，162，…，其中公比r=3通项公式：an = a1 * r^(n-1)求和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)3. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）：斐波那契数列是指数列中的每一项等于前两项之和。

例如，1，1，2，3，5，8，13，…。

通项公式：an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 14. 平方数列（Square Numbers Sequence）：平方数列是指数列中的每一项都是一些自然数的平方。

例如，1，4，9，16，25，…。

通项公式：an = n^25. 立方数列（Cube Numbers Sequence）：立方数列是指数列中的每一项都是一些自然数的立方。

例如，1，8，27，64，125，…。

通项公式：an = n^36.等差-等比数列（Arithmetic-Geometric Progression）：等差-等比数列是指数列中的前一部分是等差，后一部分是等比。

例如，1，4，9，16，32，64，…，其中前四项是等差数列，后两项是等比数列。

通项公式：an = a + (n - m) * d * r^(n - m - 1)，其中n >= m。

以上是一些常见的数列公式及其解法。

数列通项公式的解法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。

而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。

本文给出了求数列通项公式的常用方法。

小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。

做题时要不断总结经验，多加琢磨。

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.1.直接法2.公式法3.归纳猜想法4.累加（乘）法5.取倒（对）数法6.迭代法7.待定系数法8.特征根法9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1 （4） ,54,43,32,21-- ◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。

◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

数列求和公式的几种方法数列求和是数学中的一个重要问题，其解法有多种，下面将介绍几种常用的求和方法。

1.等差数列求和公式：当数列为等差数列时，可以使用等差数列求和公式来求和。

设首项为a，公差为d，共有n项，则等差数列的和Sn可以通过公式给出：Sn=(n/2)*(2a+(n-1)d)这个公式的推导比较复杂，不再详述。

2.等差数列求和的几何解释：我们可以通过对等差数列进行几何解释来得到求和公式。

首先，我们将等差数列排列成一个逆序的数列，然后把它与原数列叠加。

下面以等差数列1,2,3,4,5为例，进行解释。

1,2,3,4,55,4,3,2,1相加得到：6,6,6,6,6其和是n(a+an)/2，等差数列求和公式的等效形式。

3.等差数列和的差分法：我们可以利用数列的差分来求等差数列的和，方法如下：令Sn为等差数列的和，An为等差数列的第n项。

则Sn=A1+A2+A3+...+An=(A1+An)+(A2+An-1)+(A3+An-2)+...+(An)将上两行相加得到：2Sn=(A1+An)+(A1+An)+...+(A1+An)=(n/2)*(A1+An)这样就得到了等差数列求和公式。

4.等比数列求和公式：当数列为等比数列时，可以使用等比数列求和公式来求和。

设首项为a，公比为r，共有n项，则等比数列的和Sn可以通过公式给出：Sn=(a*(1-r^n))/(1-r)这个公式的证明需要使用数学归纳法。

5.级数求和：在数学中，级数是指无限等差数列的和。

常见的级数求和有等差级数、等比级数和调和级数等。

对于等差级数，其和可以通过等差数列求和公式得出。

对于等比级数，其和可以通过等比数列求和公式得出。

调和级数的和是一个无穷大，它表示为：S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...调和级数有很多有趣的性质和应用，但关于调和级数的求和公式目前还没有找到。

6.微积分方法：在微积分中，我们可以使用积分来求和。

对于连续函数f(x)，我们可以通过积分得到其在区间[a,b]上的和：S = ∫[a, b] f(x) dx这种方法可以求解一些特殊的数列求和问题，比如调和级数的和。

一次函数递推数列求通项的方法一次函数递推数列是指每一项与前一项之间存在一个常数差的数列。

为了求出这个数列的通项公式，我们可以使用以下50个方法进行计算：方法一：观察法1. 观察数列的前几项，看是否能够发现规律。

2. 如果发现数列的差值相等，则可以猜测数列的通项公式为一次函数。

方法二：代入法1. 将数列的前几项逐个代入一次函数的通项公式中，求得方程组。

2. 解方程组得到一次函数的通项公式。

方法三：线性方程法1. 假设数列的通项公式为y = ax + b。

2. 代入数列的前几项，得到若干个方程。

3. 解这些方程，得到a和b的值，进而求得一次函数的通项公式。

方法四：差分法1. 对数列进行差分，得到一个新的数列。

2. 如果新数列是等差数列，则可以猜测原数列为一次函数递推数列，并求得通项公式。

方法五：归纳法1. 假设数列的通项公式为y = ax + b。

2. 假设数列的第n项为An。

3. 利用数学归纳法，证明或推导出An = an + b的表达式。

4. 解方程组得到a和b的值，进而求得一次函数的通项公式。

方法六：解复合型一次函数方程法1. 假设数列的一次函数通项为y = ax + b。

2. 如果出现an+1 = f(an) 或者an+1 = f(an, n)的形式，则可以试着将其转化为一次函数方程。

3. 解一次函数方程，得到a和b的值，进而求得一次函数的通项公式。

方法七：根据数列的性质和条件1. 如果数列满足一定的性质或者给出了一些条件，可以根据这些性质或条件来求解一次函数的通项公式。

2. 如果数列的前几项之和等于某个数，则可以通过求解方程的方法得到一次函数的通项公式。

方法八：逆向推导法1. 对于数列的通项公式y = ax + b，我们可以通过逆向推导的方法来求解常数a和b 的值。

2. 从数列的最后一项开始，逆向推导出倒数第二项、倒数第三项等，直到推导出数列的第一项。

3. 通过推导出的数列项，可以建立方程组来求解常数a和b的值，从而得到一次函数的通项公式。

高三数学 特殊数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明知识精讲一. 特殊数列求和：1. 概念：这里所指的“特殊数列”是指中学阶段能够求和的数列，包括：等差、等比数列，常数列，自然数列，自然数的平方数列，自然数的立方数列，项部分相消数列等。

数列求和，就是通过一些手段将数列转化为上述这些特殊数列而达到求和的目的。

2. 常用求和公式（1）等差：S n a a na n n d n n =+=+-()()11212（2）等比：S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()() （3）i n n i n =∑=+1121() （4）i n n n i n 211216=∑=++()() （5）i n n i n 31212=∑=+[()] 3. 常见数列求和的方法大致有五种如：直接由求和公式求和（如等差、等比数列的求和），裂项分组求和，裂项相消求和，错位相减求和，倒序相加求和。

（1）在求等比数列前n 项和S n 时，一定要注意分清公比q =1还是q ≠1；（2）裂项法的关键是研究通项公式，裂项的目的是转化成几个等差或等比数列或自然数的平方组成的数列求和，或者正、负相消；（3）错位相减法求和，主要用于一个等差与一个等比数列相应项相乘所得的数列求和；（4）含有组合数的数列求和，注意考虑利用组合数的性质公式求和或利用倒序相加求和；（5）三角函数求和考虑裂项相消求和或利用复数转化为等比数列求和；学习时，还要注意归纳总结一些常见类型的数列求和方法。

二. 数列极限的意义及运算1. 数列极限的概念对于数列{}a n ，如果存在一个常数A ，无论预先指定多么小的正整ε都能在数列中找到一项a N 使得这一项后面的所有项a n 与A 的差的绝对值都小于ε，（即当n N >时，恒有||a A n -<ε成立），就把常数A 叫做数列{}a n 的极限，记作：lim n n a A →∞=。

(完整版)数列中的数学思想和方法数列中的数学思想和方法数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题,是衡量数学素质和数学能力的重要标志．数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下面我们一起来看一看吧！一、方程思想 方程思想就是通过设元建立方程，研究方程解决问题的方法。

在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程(组），是解数列问题基本方法。

例1 已知等差数列{}n a 的公差d 是正数，且3712,a a =-464a a +=-，求其前n 项和n S .解：由等差数列{}n a 知：3746a a a a +=+，从而373712,4a a a a =-+=-，故37,a a 是方程24120x x +-=的两根，又0d >，解之，得：376,2a a =-=。

再解方程组：112662a d a d +=-⎧⎨+=⎩1102a d =-⎧⇒⎨=⎩， 所以10(1)n S n n n =-+-。

〈法一〉法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程 知三求二点评：本题利用了3746a a a a +=+这一性质构造了二次方程巧妙的解出了376,2a a =-=，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决,由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与n m p q a a a a +=+(或n m p q a a a a ⋅=⋅）找出解题的捷径。

关注未知数的个数，关注独立方程的个数。

点评基本量法：性质法 技巧备用：设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2,a 3＋4构成等差数列．（1）求数列｛a n }的通项;(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n ｝的前n 项和T n .解 （1）由已知得错误!解得a 2＝2。

设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝错误!,a 3＝2q ，又S 3＝7，可知错误!＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0。

特殊数列解法
对于数列形如An^2+A(n+1)^2+B*An*A(n+1)+C=0
有An^2+A(n-1)^2+B*An*A(n-1)+C=0;
则A(n-1),A(n+1)可看作二次方程x^2+B*An*x+An^2+C=0的解，则有A(n+1)+A(n-1)=-B*An,
此时此方程可由特征方程x^2+B*x+1=0求出根x1,x2,
则数列An表达为An=a*x1^n+b*x2^n,将其代入A1,A2中解得a,b, 则可解得数列An.
以下为特征方程法：
设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为
（），其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为
（），其中A、B由初始值确定。

（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）
因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：
，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得
所以。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：。