数列基础知识点
《考纲》要求：
1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；
2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；
3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
数列的概念
1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *
或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，…，简记为{}，其中是数列{}的第 项． 2．数列的通项公式
一个数列{}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．在数列{}中，前n 项和与通项的关系为：
=n a ⎪⎩
⎪⎨⎧≥==2
1n n a n
4．求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －
3
12⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…；
⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ ＝(－1)
n
)
12)(12(1
2+--n n n
⑵ ＝)673(2
12+-n n
（提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，－－1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得
)673(2
1
)43)(1(2
1
1)]53(10741[12+-=
--+=-++++++=n n n n n a n
⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为
,2
1
3,202,211+++ ,,2
6,215,204 +++ ∴4
)1(122
2)1(11
1
++-++=
-++
=
n n n n n a 变式训练1.某数列{}的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ① ＝
22[1＋(－1)n
] ② ＝n )(11-+ ③ ＝ ⎩⎨
⎧)
(0
)
(2为奇数为偶数n n 其中可作为{}的通项公式的是 （ ） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 解：D
例2. 已知数列{}的前n 项和，求通项．
⑴ ＝3n
－2
⑵ ＝n 2
＋3n ＋1
解 ⑴ ＝－－1 (n ≥2) a 1＝S 1 解得：＝⎩⎨⎧
=≥⋅-)
1(1)2(3
21
n n n ⑵ ＝⎩⎨
⎧≥+=)
2(22)1(5
n n n
变式训练2：已知数列{}的前n 项的和满足关系式(－1)＝n ，(n ∈N *
)，则数列{}的通项公式为 ．
解：,110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n ≥2时，＝－－1＝10n
－10n －1
＝9·10
n －1
．故＝⎪⎩⎪⎨
⎧≥⋅=-)2(10
9)
1(111
n n n
例3. 根据下面数列{}的首项和递推关系，探求其通项公式．
⑴ a 1＝1，＝2－1＋1 (n ≥2) ⑵ a 1＝1，＝113--+n n a (n ≥2) ⑶ a 1＝1，＝
11
--n a n
n (n ≥2) 解：⑴ ＝2－1＋1⇒(＋1)＝2(－1＋1)(n ≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n
，∴＝2n
－1． ⑵＝（－－1）＋（－1－－2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1
＋3
n －2
＋…＋33
＋3＋1＝)13(2
1
-n ．
(3)∵
n
n a a n n 1
1-=-
∴＝
⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅-----1
2
111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n n
n n 112123=⋅⋅⋅-- 变式训练3.已知数列{}中，a 1＝1，＋1＝2
2+n n a a (n ∈N *
)，求该数列的通项公式． 解：方法一：由＋1＝
2
2+n n
a a 得 21111
=-
+n n a a ，∴{n a 1}是以111=a 为首项，2
1为公差的等差数列． ∴
n a 1＝1＋(n －1)·21,即＝1
2+n 方法二：求出前5项，归纳猜想出＝
1
2
+n ，然后用数学归纳证明． 例4. 已知函数)(x f ＝2x
－2－x
，数列{}满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{}通项公式． 解：n a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2-=-=-
n a a n
n 21
-=-
得n n a n -+=12 变式训练4.知数列{}的首项a 1＝5．前n 项和为且＋1＝2＋n ＋5（n ∈N *
）． (1) 证明数列{＋1}是等比数列；
(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1
(1)． 解：(1) 由已知＋1＝2＋n ＋5，∴ n ≥2时，＝2－1＋n ＋4，两式相减，得： ＋1－＝2(－－1)＋1，即＋1＝2＋1 从而＋1＋1＝2(＋1)
当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6, 又a 1＝5，∴ a 2＝11 ∴
1
1
1+++n n a a ＝2，即{＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列. (2) 由(1)知＝3×2n
－1
∵ )(x f ＝a 1x ＋a 2x 2
＋…＋
∴ )('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋－1
从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋
＝(3×2－1)＋2(3×22
－1)＋…＋n(3×2n
－1)
＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n
)－(1＋2＋…＋n) ＝3[n ×2
n ＋1
－(2＋ (2)
)]－
2
)
1(+n n ＝3(n －1)·2n ＋1
－
2
)
1(+n n ＋6
1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.
2．由求时，用公式＝－－1要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．
