安徽省安庆市2009年高三模拟考试（二模）09.3.26数 学 试 题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和（第Ⅱ卷）（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、 复数z 满足()1z i i i -=+，则复数z 的模为 A 、2 B 、1 CD2、下面框图表示的程序所输出的结果是 A 、2021 B 、1920 C 、 4121D 、39203、一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体外接球的表面积为 A 、3πB 、43πC 、83πD 、163π4、极坐标方程2cos21ρθ=表示的曲线为A 、两条直线B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ==，则过点P(n ，)n a 和2(2,)n Q n a ++()n N *∈的直线的一个方向向量的坐标是A 、（2，1)2B 、1(,2)2--C 、1(,1)2-- D (1,1)-- 6、已知直线L 经过点（2，1)2，其横截距与纵截距分别为,a b (,a b 均为正数），则使a b c +≥恒成立的c 的取值范围（第2题图） 2 2 2 22 2 侧视图俯视图第3题图A 、9(,]2-∞ B 、(0,1] C 、(,9)-∞ D 、(,8]-∞7、设()lg(101)xf x ax =++是偶函数，4()2x xbg x -=是奇函数，那么a b +为A 、2B 、1C 、12D 、0 8、在锐角三角形ABC 中，设(1sin )(1sin ),(1cos )(1cos )x A B y A B =++=++，则x 、y 大小关系为 A 、x>y B 、x y ≥ C 、x<y D 、x y ≤9、已知命题p ：不等式|x|+|x-1|>m 的解集为R ，命题q ：命题()(52)x f x m =-- 是减函数，则p 是q 的A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、即不充分也不必要条件 10、已知定义在R 上的函数()y f x =满足()(2)f x f x -=-+，当x>1 时，()f x 单调递减，若122x x +<且12(1)(1)0x x --<，则12()()f x f x +的值为A 、恒小于0B 、恒大于0C 、可能等于0D 、可正可负11、已知椭圆C 的方程为2214x y +=，双曲线D 与椭圆有相同的焦点12,,F F P 为它们的一个交点，若120PF PF =，则双曲线的离心率e 为 ABC 、D12、某同学在自己房间的墙上挂了一块边长为3的正方形木板， 上面画有振幅为1的正弦曲线半个周期的图案用于练习投镖， 如图所示。
假设每次投镖都能击中木板并且击中木板上每个 点的可能性相同，则他击中图中阴影部分的概率为 A 、23π B 、2π C 、1πD 、 12π 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、 填空题（本大题共4个小题，每小题4分） 13、甲乙两个小组各8名同学的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示，那么甲乙两组的平均数与中位数之差较大的组是___________。
14、已知变量x 、y 满足约束条件 23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若z ax y =+（其中0a >） 仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为______________。
15、若012,,,n a a a a 成等差数列，则有等式 012012(1)0n nn n n n n C a C a C a C a -+++-=成立，（第12题）甲 乙 6 7 9 9 4 7 6 4 3 2 1 8 0 2 4 9 9 1类比上述性质，相应地：若 012,,,n b b b b 成等比数列，则有等式_________成立。
16、给出下列四个结论：①合情推理是由特殊到一般的推理，得到的结论不一定正确，演绎推理是由一般到特殊的推理，得到的结论一定正确；②一般地，当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量之间有很强的线性相关关系。
如果变量y 与x 之间的相关系数0.9568r =-，则变量y 与x 之间具有线性关系；③用独立性检验（22⨯列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量2k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大；④命题:,P x R ∃∈使得210x x ++≥，则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++≥。
其中结论正确的序号为_____________________ .（请写出你认为正确的所有结论的序号） 三、 解答题（本大题共6个小题，17-20题每题12分，21-22题每题13分） 17、在△ABC 中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 所对的三边，22()a b c bc --=， （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若B 等于x 周长为y ，求函数()y f x =的取值范围。
18、如图四棱锥P —ABCD 的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=600，P A ⊥平面ABCD ，设E 为BC 的中点，二面角P —DE —A 为045（１）在ＰＡ上确定一点Ｆ，使ＢＦ／／平面ＰＤＥ；（２）求平面ＰＤＥ与平面ＰＡＢ所成的锐二面角的正切值。
19、甲盒中有6个红球，4个白球；乙盒中有4个红球，4个白球，这些球除颜色外完全相同。
（1）从甲盒中任取3个球，求取出红球的个数ξ的分布列与期望；（2）若从甲盒中任取2个球放入乙盒中，然后再从乙盒中任取一个球，求取出的这个球是白球的概率。
ＰＡ Ｂ Ｃ ＤＥ20、设函数2()||()(),f x x x a x R =-∈其中a R ∈。
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（2，f(2)）处的切线方程； （2）当2,(0,2]a x ≥∈时，函数()f x 的最大值为8，求a ；（3）当0,0a k ≥<时，22()()x x f k e f k e -≤--对任意的0x ≥恒成立，求k 的取值范围。
21、已知数列{}n a 的前n 项和{}n S 满足12,n n S kS +=+又122,1a a == （1）求k 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T ； （3）是否存在整数m 、n ，使112n n S m S m +-<-成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由。
22、如图，过抛物线24x y =的对称轴上一点P （0，b ） (b>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，0OA OB =。
（1）求b 的值；（2）设以A 、B 为切点的抛物线的切线交于点M ，起点M 的轨迹方程；（3）是否存在直线y a =，被以AB 为直径的圆截得的弦长为定值，如果存在，请求出此直线的方程；如果不存在，说明理由。
2009年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题(理科)参考答案一．选择题1.B2.C3.D4.C5. B6.A7. C8.A9.A 10. B 11.B 12. A 13.乙组 14.a >1215. 012(1)0121nn n n n nC C C C n b b b b --⋅⋅⋅⋅= 16. ②③④17.解:（1）由bc c b a bc c b a -=--=--22222:)(得212cos 222=-+=∴bc a c b A ，又π<<A 0， 3π=∴A ………………6分(2),sin sin A BC x AC =x x x BC AC sin 4sin 2332sin 3sin =⋅=⋅=∴π同理：)32sin(4sin sin x C A BC AB -=⋅=π，24sin 4sin())36y x x x ππ∴=+-+=++3π=A ∴0＜x ＜32π故)65,6(6πππ∈+x ，1sin ,162x π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，(y ∴∈..………12分18. 解法一:（1）F 为PA 的中点。
下面给予证明：延长DE 、AB 交于点M ，由E 为BC 中点,知B 为AM 的中点， 连接BF,则BF ∥PM ，PM ⊂平面PDE,∴BF ∥平面PDE 。
……6分 （2）DE 为正△BCD 的边BC 上的中线，因此DE ⊥BC ，∴DE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，即 DE ⊥PA, 所以 DE ⊥平面PAD. 由此知平面PDE ⊥平面PAD. 作AH ⊥PD 于H ，则AH ⊥平面PDE. 作HO ⊥PM 于O ，则∠AOH 为所求二面角的平面角， 又在Rt ∆PAD 中∠PDA = 45°,PA = AD = 2，因此AH =2，又AO =554,HO= 530315tan =∠AOH …………12分解法二：以AD 为X 正半轴，AP 为Z 轴，建立空间坐标系，则F(0,0,a),B(1,），03,P(0,0,2),D(2,0,0),E(2,），03 )2,0,2(-=,)2,3,2(--=,令),,,(z y x =⊥面PDE,）故可令1,0,1(,,0,0232,022=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+--=+-∴x z y z y x z x因为BF ∥面PDE, ∴-1+a=0, ∴a=1, ∴F(0,0,1) ………………6分 (2)作DG ⊥AB,可得G （0,23,21），∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥DG ,又因为AB ⋂AP=A, ∴DG ⊥平面PAB, 设平面PDE 与平面PAB 所成的锐二面角为θ，DG=(46,cos 02323-=>=<-DG n ），，，，所以tan θ=315.…12分 19．解: ⑴由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且343101(0)30C P C ξ===,21463103(1)10C C P C ξ⋅===，12463101(2)2C C P C ξ⋅===，363101(3)6C P C ξ=== , 所以ξ的分布列为：0123 1.8301026E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分 ⑵ 记“取出的这个球是白球”为事件B ，“从甲盒中任取2个球”为事件A ， 1A ={从甲盒中任取2个球均为红球},2A ={从甲盒中任取2个球为一红一白}, 3A ={从甲盒中任取2个球均为白球},显然123A A A A =⋃⋃，且123,,A A A 彼此互斥. 123()()()()P B P BA P BA P BA =++ 112233()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A =++211266442221010104561210101025C C C C C C C =⋅+⋅+⋅=. ………………12分 20．解:(1) 当a=1时，f(x)= 2)1(-x x .,5)2(,2)2(='=f f因此,曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为:5x-y-8=0…3分 (2) x ∈(0，2]时, f(x)= 2)(a x x -))(3()(a x a x x f --='若2≤a<6,则)(x f '=0在(0，2)上有根x=3a ,且在(0，3a)上 )(x f '>0,在(3a ,2)上)(x f '<0, 因此, f(x)在x=3a处取极大值,由于只有一个极值点,所以极大值也是最大值. 由此得33238274=∴=a a ，. 若a ≥6,则在(0，2)上)(x f '>0，因此，f(x)在x ∈(0，2]时单调递增， ∴当 ｘ=2时f(x)最大，即2(2-a)2=8∴a=0或4 ,均不合,舍去. 综上知 a=323 . ………………8分(3) x<0时，f(x)= 2)(a x x --,))(3()(a x a x x f ---='＜0. f(x)单调递减，由k<0时，f(k-xe )≤f(-xek 22-)对任意的x ≥0恒成立,知：k-xe ≥-xe k 22-对任意的x ≥0恒成立,即xxe e k k 22-≥+对任意的x ≥0 恒成立,易得xx e e 2- 的最大值为0.1,0,02-≤∴<≥+∴k k k k 又. ………………12分21．解：（1）由2S 12+=kS 得 21=k , ………………3分 (2) ）（4S 214,221S n 1n 1n -=-∴+=++S S n ,所以数列}4{-n S 是以-2为首项，21为公比的等比数列，211)21(,4)21(2---=-=∴+⨯-=n n n n n n S S a S ，22101)21()21(4)21(3)21(2)21(--++++++=n n n T ,1-n 2321021)21(1)21(4)21(3)21(2)21(21）（）（n n T n n +-++++++=- ,.21(2(8)21)(2(4)21()21()21()21()21(2212-n 112210））+-=∴+-=-+++++=---n T n n T n n n n n ,………8分(3) 假设存在整数m 、n ，使211<--+m S m S n n 成立，则022231<---+）（m S mS n n ， 因为,0S 4223(221)2S 23,4)211(4S 1>-=--+=--∴<-=+n n n n n nn S S S ）（ 只要即可。
