2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效．一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的．）1. 若集合{}3,P x x x =<∈Ζ且,(){}30,Q x x x x =-≤∈Ν且,则PQ 等于（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}0,1,2,3 【答案】A考点：集合运算.2. 设i 是虚数单位,如果复数i2ia +-的实部与虚部相等,那么实数a 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．3 D ．3- 【答案】C 【解析】 试题分析：∵i 21(2)i2i 5a a a +-++=-,∴212a a -=+,3a =,故选C. 考点：复数的概念及运算.3. 设角A ,B ,C 是ABC ∆的三个内角,则“C B A <+”是“ABC ∆是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若 C B A <+,则.2π>C 若ABC ∆是钝角三角形,则C 不一定为钝角,C B A <+不一定成立,故选A.考点：充分条件与必要条件.4. 如图所示的算法框图中,e 是自然对数的底数,则输出的i 的值为（参考数值：ln 20167.609≈）（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】试题分析：∵609.72016ln ≈,∴8e 2016>∴ 8i =时,符合2016a ≥,∴ 输出的结果8i =,故选C.考点：程序框图.5. 数列{}n a 满足：11n n a a λ+=-（n *∈Ν,λ∈R 且0λ≠）,若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．2 【答案】D考点：等比数列.6. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,π2ϕ<）的部分图象如图所示,则()f x 的递增区间为（ ）A ．π5π2π,2π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ B ．π5ππ,π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈ΖC ．π5π2π,2π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ D ．5,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ【答案】B考点：三角函数的图象与性质.7. 给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数,()f x ''是函数()f x '的导函数,若方程()0f x ''=有实数解0x ,则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00,M x f x ,则点M （ ）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上C ．在直线4y x =-上D ．在直线4y x =上 【答案】B 【解析】试题分析： ()34cos sin f x x x '=++,()4sin cos 0f x x x ''=-+=,004sin cos 0x x -=, 所以003)(x x f =,故00(())M x f x ，在直线x y 3=上.故选B. 考点：直线方程；导数应用.8. 已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π6【答案】A考点：向量的线性运算与向量的数量积.9. 如果点(),x y P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上,则()221x y ++的最大值和最小值分别是（ ） A ．3．9,95 C ．9,2 D ．3【答案】B 【解析】试题分析：如图,先作出点()P x y ，所在的平面区域.22)1(++y x 表示动点P 到定点(01)Q -，距离的平方. 当点P 在(10)-，时,22PQ =,而点Q 到直线012=+-y x 的距离的平方为925<；当点P 在(02)，时,离Q 最远,92=PQ .因此22)1(++y x 的最大值为9,最小值为95.故选B. 考点：线性规划10. 设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的右顶点和右焦点,直线2a x c=交双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A ．3 C ．2 【答案】D考点：双曲线的性质.11. 一个几何体的三视图如图所示,其体积为（ ） A ．116B．32 D ．12【答案】A 【解析】试题分析：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,如图 所示,则其体积为：611111213121221=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=V .故选A. 考点：三视图；几何体的体积.12. 设函数()(),0111,101x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩,()()4g x f x mx m =--,其中0m ≠．若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点,则实数m 的取值范围是（ ）A ．14m ≥或1m =- B ．14m ≥ C ．15m ≥或1m =- D ．15m ≥【答案】C考点：分段函数；函数与方程.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－第24题为选考题,考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13. 若抛物线26y x =的准线被圆心为()2,1-则该圆的半径为 ． 【答案】 1考点：圆的方程；抛物线的性质.14. 将344x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开后,常数项是 ．【答案】 160- 【解析】试题分析：展开后的通项是3334C C ()(4)mnmn m nm x x---⋅⋅-,当n m =时为常数.于是332333344C C ()(4)C C ()(4)m n m n m n m mm m m m m x x x x -----⋅⋅-=⋅⋅-. 若0m =,则3(4)64-=-；若1m =,则1132C C 4(4)96⋅⋅-=-.故常数项是.1609664-=--或：63)2()44(x x x x -=-+展开后的通项是66266C ((2)C k k k k kk --⋅=-. 令620k -=,得3k =. 所以常数项是336C (2)160-=-.考点：二项式定理.15. 在平行四边形ABCD 中,AB BD ⊥,22421AB BD +=．将此平行四边形沿BD 折成直二面角,则三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ． 【答案】π2考点：球与几何体的切接.16. 已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,且n a =（n *∈Ν）．若不等式8nn a nλ+≤对任意n *∈Ν恒成立,则实数λ的最大值为 ． 【答案】 9 【解析】试题分析：n n a a ===,2(21)n n a n a ⇒=- 21n a n ⇒=-,n *∈N .8nn a nλ+≤就是(8)(21)8215n n n n n λλ+-⇒-+≤≤.8215n n-+在1n ≥时单调递增,其最小为9,所以9λ≤,故实数λ的最大值为9.考点：等差数列；基本不等式的应用.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,AC =． （I ）若30DAC ∠=,求角B 的大小；（II ）若2BD DC =,且AD =求DC 的长．【答案】 （I ）60B ∠=°；（II ）2.（Ⅱ）设DC x =,则2BD x =,3BC x =,AC =.于是sin AC B BC ==,cos B =,.6x AB = ……………9分在ABD ∆中,由余弦定理,得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅,即222264222x x x x =+-⨯= ,得2x =. 故.2=DC ……………12分 考点：正弦定理、余弦定理.18．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDEFG 中,面ABCD 是边长为2的菱形,120BAD ∠=,DE////CF BG ,CF ⊥面ABCD ,//AG EF ,且24CF BG ==． （I ）证明：//EG 平面ABCD ；（II ）求直线CF 与平面AEG 所成角的正弦值．【答案】 （I ）见试题解析；（II ）55连接AF 交EG 于M ,连接AC ,BD 交于O ,连接MO ,如图1所示. 则//MO CF ,且12MO CF BG ==,故BOMG 为平行四边形,所以//MG BO . 又BO ⊂平面ABCD ,MG ⊄平面ABCD ,所以//MG 平面ABCD ,即//EG 平面ABCD . ……………6分解法二、由（Ⅰ）易知,.2==BG DE 以O 为坐 标原点,分别以直线AC 、BD 为x 、y轴,建立空间直角坐标系xyz O -,如图2所示.则有(100)A ，，、(02)E ，,(02)G ,(100)C -，，,(104)F -，，,所以(12)AE =-，,(00)EG =，,(004)CF =，，.设面AEG 的法向量为()n x y z =，，,由n AE ⊥, n EG ⊥,得200.x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩， 令1=z ,则2=x所以(201)n =，，,于是cos n CF <>==，………10分 故直线CF 与平面AEG 所成角的正弦值为.55………12分 考点：线面平行；线面角的求法；空间向量的应用.19．（本小题满分12分）近年来,全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气,而燃放烟花爆竹会加重雾霾．是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．一般来说,老年人（年满60周岁）从情感上不太支持禁放烟花爆竹,而中青年人（18周岁至60周岁以下）则相对理性一些．某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对400位老年人和中青年市民进行了随机问卷调查,结果如下表：（I ）有多大的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关？请说明理由； （II ）从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出13人,再从这13人中随机的挑选2人,了解它们春节期间在烟花爆竹上消费的情况．假设老年人花费500元左右,中青年人花费1000元左右．用X 表示它们在烟花爆竹上消费的总费用,求X 的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关. （II ）X 的分布列为所以 1462EX ≈. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出24004.3956 3.84191K ==≈>,由临界值表可以判断有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关. （II ）先缺13人中有老年人7人,中青年人6人. 2000X =,1500,1000.由26213C 5(2000)C 26P X ===,1176213C C 7(1500)C 13P X ===,27213C 7(1000)C 26P X===,进一步确定分布列,再由期望定义求出期望.试题解析：（Ⅰ）因为22400(6012014080)4004.3956 3.84114026020020091K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯, 所以有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关.……… 5分考点：独立性检验；随机变量的分布列与期望. 20．（本小题满分12分）已知定圆:A (2216x y +=,动圆M 过点)B,且和圆A相切．（I ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（II ）设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P 、Q ,点()4,0N ．若P 、Q 、N三点不共线,且ONP ONQ ∠=∠．证明：动直线PQ 经过定点．【答案】 (Ⅰ) 1422=+y x ；（II ）见试题解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由两圆相切的结论可得||||4MA MB +=,由此可得动点M 的轨迹E 是以A 、B 为焦点,长轴长为4的椭圆,其方程为1422=+y x . （II ） 设直线l 的方程为(0)y kx b k =+≠,联立2244y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y 得,222(14)8440k x kbx b +++-=, 2216(41)k b ∆=-+. 设11()P x kx b +，,11()Q x kx b +，,由ONP ONQ ∠=∠可得0=+Q N PN k k ,利用根与系数的关系可得b k =-,故动直线l 的方程为y kx k =-,过定点(10)，.即 21212224482(4)()82(4)81414b kbkx x k b x x b k k b b k k----+-=---++3222288328801414k k k b kb b k k--=+-=++,得b k =-,216(31)0k ∆=+>. 故动直线l 的方程为y kx k =-,过定点(10)，. …………12分 考点：直线、圆与椭圆.21．（本小题满分12分）设函数()()21f x x =-,()()2ln g x a x =,其中a ∈R ,且0a ≠． （I ）若直线e x =（e 为自然对数的底数）与曲线()y f x =和()y g x =分别交于A 、B 两点,且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线互相平行,求a 的值； （II ）设()()ln h x f x m x =+（m ∈R ,且0m ≠）有两个极值点1x ,2x ,且12x x <,证明：()212ln 24h x ->． 【答案】,（I ）2a e e =-；见试题解析.（Ⅱ）222()2(1)m x x mh x x x x-+'=-+=,0x >.因为()h x 有两个极值点1x ,2x ,所以1x ,2x 是方程2220x x m -+=的两个实数根,考点：导数的几何意义；导数的应用.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分．做答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）如图,以ABC ∆的边AB 为直径作圆O ,圆O 与边BC 的交点D 恰为BC 边的中点,过点D 作DE AC ⊥于点E ．（I ）求证：DE 是圆O 的切线； （II ）若30B ∠=,求AEDC的值．【答案】. （I ）见试题解析；（II ）6【解析】试题分析：（Ⅰ）由OD //AC ,OD DE ⊥可得OD DE ⊥,所以DE 是⊙O 的切线.（Ⅱ）根据BC AD ⊥.D 是BC 的中点,可得 AB AC =, 30=∠=∠B ACD .再由AC DE ⊥,所得30=∠ADE .在直角三角形AED 中,30tan =DE AE ；在直角三角形DEC 中, 30sin =DCDE. 故AE DE =.考点：圆的性质.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数,α为直线的倾斜角）．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小．【答案】（I ）当π2a =时,直线l 的普通方程为1x =-；当2π≠a 时,直线l 的普通方程为(tan )(1)y x a =+；曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（II ）π6或5π6. 【解析】试题分析： （I ）把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩中的α消去,即得l 的普通方程,由θρcos 2=得θρρcos 22=,利用222x y ρ=+,cos x ρθ=,可得曲线C 的直角坐标方程；（II ）把a t x c o s 1+-=,sin y t a =代入222x y x +=整理得24cos 30t t a -+=,再由0∆=求角α的大小.考点：参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化及应用,直线与圆的位置关系. .24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()3f x x x a =--+,其中a ∈R ．（I ）当2a =时,解不等式()1f x <；（II ）若对于任意实数x ,恒有()2f x a ≤成立,求a 的取值范围．【答案】（I ）(0)+∞，；（II ）[3)+∞，. 【解析】试题分析：（I ）采用零点分区间法求解；（II ）先求出)(x f 的最大值为3+a ,把问题转化为32a a +≤求解.试题解析：（Ⅰ）2=a 时,1)(<x f 就是.123<+--x x当2-<x 时,321x x -++<,得51<,不成立；当23x -<≤时,321x x ---<,得0x >,所以30<<x ；当3x ≥时, 321x x ---<,即51-<,恒成立,所以3x ≥.综上可知,不等式1)(<x f 的解集是(0)+∞，. …………5分考点：.绝对值不等式的解法；不等式恒成立问题。
