微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注3证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时此时1n k N +>有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =-1n ,说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>,,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立;3. 利用夹逼定理证明：1 lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； 2 lim n →∞2!n n =0.证：1因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=,2lim 0n n→∞=,所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. 2因为22222240!1231n n n n n<=<-,而且4lim 0n n →∞=,所以,由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. 1 x n =11n e +,n =1,2,…；2 x 1,x n +1n =1,2,…. 证：1略;2因为12x =<,不妨设2k x <,则故有对于任意正整数n ,有2n x <,即数列{}n x 有上界,又 1n n x x +-=,而0n x >,2n x <,所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>, 即数列是单调递增数列;综上所述,数列{}n x 是单调递增有上界的数列,故其极限存在;习题2-21※. 证明：0lim x x →fx =a 的充要条件是fx 在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .证：先证充分性：即证若0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==,则0lim ()x x f x a →=. 由0lim ()x x f x a -→=及0lim ()x x f x a +→=知： 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时,有()f x a ε-<,20δ∃>当020x x δ<-<时,有()f x a ε-<;取{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<, 于是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 所以 0lim ()x x f x a →=.再证必要性：即若0lim ()x x f x a →=,则0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==, 由0lim ()x x f x a →=知,0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<,由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<,于是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<.所以 0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→== 综上所述,0lim x x →fx =a 的充要条件是fx 在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .2. 1 利用极限的几何意义确定0lim x → x 2+a ,和0lim x -→1e x； 2 设fx = 12e ,0,,0,xx x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩,问常数a 为何值时,0lim x →fx 存在.解：1因为x 无限接近于0时,2x a +的值无限接近于a ,故2lim()x x a a →+=.当x 从小于0的方向无限接近于0时,1e x 的值无限接近于0,故10lim e 0xx -→=. 2若0lim ()x f x →存在,则00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=, 由1知 22lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--→→→=+=+=, 所以,当0a =时,0lim ()x f x →存在;3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞sin x 不存在.解：因为当x →+∞时,sin x 的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x 不无限接近某一定直线y A =,亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线,所以lim sin x x →+∞不存在;习题2-31. 举例说明：在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.解：例1：当0x →时,tan ,sin x x 都是无穷小量,但由sin cos tan xx x=当0x →时,cos 1x →不是无穷大量,也不是无穷小量;例2：当x →∞时,2x 与x 都是无穷大量,但22xx=不是无穷大量,也不是无穷小量; 例3：当0x +→时,tan x 是无穷小量,而cot x 是无穷大量,但tan cot 1x x =不是无穷大量,也不是无穷小量;2. 判断下列命题是否正确：1 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；2 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；3 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；4 有限个无穷小量之和为无穷小量；5 有限个无穷大量之和为无穷大量；6 y =x sin x 在-∞,+∞内无界,但lim x →∞x sin x ≠∞；7 无穷大量的倒数都是无穷小量；8 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：1错误,如第1题例1； 2正确,见教材§定理3；3错误,例当0x →时,cot x 为无穷大量,sin x 是有界函数,cot sin cos x x x =不是无穷大量； 4正确,见教材§定理2；5错误,例如当0x →时,1x 与1x -都是无穷大量,但它们之和11()0x x+-=不是无穷大量； 6正确,因为0M ∀>,∃正整数k ,使π2π+2k M >,从而ππππ(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222f k k k k M ==>,即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界,又0M ∀>,无论X 多么大,总存在正整数k ,使π>k X ,使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<,即x →+∞时,sin x x 不无限增大,即lim sin x x x →+∞≠∞；7正确,见教材§定理5；8错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量;零是无穷小量,但其倒数无意义; 3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量. 1 fx =234x -,x →2; 2 fx =ln x ,x →0+,x →1,x →+∞； 3 fx = 1e x,x →0+,x →0-； 4 fx =2π-arctan x ,x →+∞;5 fx =1x sin x ,x →∞; 6 fx = 21xx →∞. 解：122lim(4)0x x →-=因为,即2x →时,24x -是无穷小量,所以214x -是无穷小量,因而234x -也是无穷大量;2从()ln f x x =的图像可以看出,1lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +→→+∞→=-∞==+∞,所以,当0x +→时,x →+∞时,()ln f x x =是无穷大量；当1x →时,()ln f x x =是无穷小量;3从1()e x f x =的图可以看出,110lim e ,lim e 0x xx x +-→→=+∞=, 所以,当0x +→时,1()e xf x =是无穷大量； 当0x -→时,1()e xf x =是无穷小量; 4πlim (arctan )02x x →+∞-=, ∴当x →+∞时,π()arctan 2f x x =-是无穷小量;5当x →∞时,1x是无穷小量,sin x 是有界函数, ∴1sin x x是无穷小量; 6当x →∞时,21x 是无穷小量,∴是无穷小量; 习题2-41.若0lim x x →fx 存在,0lim x x →gx 不存在,问0lim x x →fx ±gx , 0lim x x →fx ·gx 是否存在,为什么解：若0lim x x →fx 存在,0lim x x →gx 不存在,则10lim x x →fx ±gx 不存在;因为若0lim x x →fx ±gx 存在,则由()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得0lim x x →gx ,与题设矛盾;20lim x x →fx ·gx 可能存在,也可能不存在,如：()sin f x x =,1()g x x=,则0limsin 0x x →=,01lim x x →不存在,但0lim x x →fx ·gx =01limsin 0x x x→=存在; 又如：()sin f x x =,1()cos g x x =,则π2limsin 1x x →=,π21limcos x x→不存在,而lim x x →fx ·gx π2lim tan x x →=不存在; 2. 若0lim x x →fx 和0lim x x →gx 均存在,且fx ≥gx ,证明0lim x x →fx ≥0lim x x →gx .证：设0lim x x →fx =A,0lim x x →gx =B ,则0ε∀>,分别存在10δ>,20δ>,使得当010x x δ<-<时,有()A f x ε-<,当020x x δ<-<时,有()g x B ε<+令{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<时,有 从而2A B ε<+,由ε的任意性推出A B ≤即lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.3. 利用夹逼定理证明：若a 1,a 2,…,a m 为m 个正常数,则limn →∞nm a ++=A ,其中A =max{a 1,a2,…,a m }.n nn m a m A ≤++≤,即而lim n A A →∞=,1lim nn mA A →∞=,由夹逼定理得nm n a A ++=.4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x 1＝,x 2x n +1=1,2,…,则limn →∞x n 存在,并求该极限.证：因为12x x ==有21x x >今设1k k xx ->,则1k k x x -=>=,由数学归纳法知,对于任意正整数n 有1n n x x +>,即数列{}n x 单调递增;又因为12x =<,今设2k x <,则12k x -=<=,由数学归纳法知,对于任意的正整数 n 有2n x <,即数列{}n x 有上界,由极限收敛准则知lim n n x →∞存在;设limn n x b →∞=,对等式1n x+两边取极限得b =,即22b b =+,解得2b =,1b =-由极限的保号性,舍去,所以lim 2n n x →∞=.5. 求下列极限：1 lim n →∞33232451n n n n n +++-+；2 lim n →∞1cos n ⎡⎤⎛-⎢⎥ ⎝⎣⎦；3 lim n →∞4 limn →∞11(2)3(2)3n nn n ++-+-+； 5 lim n →∞1112211133n n ++++++. 解：1原式=23232433lim 11155n n n nn n→∞++=+-+；2因为lim(10n →∞-=,即当n →∞时,1是无穷小量,而cos n 是有界变量,由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim (10n n →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；322lim(n n n →∞=而0n n→∞→∞==,2n n→∞∴==∞；41111121(1)()(2)31333lim lim2(2)33(1)()13n nn nn nn n n n++→∞→∞++-+-+==-+-+；5111111()21111114[1()]42222lim lim lim11113 11()3[1()]3333113nnnn n nn nn++→∞→∞→∞++-+++--===+++---.6. 求下列极限：13limx→239xx--； 21limx→22354xx x--+；3 limx→∞3426423xx x++;42limxπ→sin coscos2x xx-;5limh→33()x h xh+-; 63limx→;71limx→21nx x x nx+++--; 8limx→∞sinsinx xx x+-；9 limx→+∞101limx→313()11x x---；11limx→21(sin)xx.解：23333311(1)lim lim lim9(3)(3)36x x xx xx x x x→→→--===--++2211lim(54)0,lim(23)1x xx x x→→-+=-=-3344226464lim lim03232x xx x xx xx→∞→∞++==++；4π2ππsincos sin cos 22lim1cos 2cos πx x xx →--==-； 5[]223300()()()()lim limh h x h x x h x h x x x h x h h→→⎡⎤+-+++++-⎣⎦= 222lim ()()3h x h x h x x x →⎡⎤=++++=⎣⎦；633(23)92)x x x →→+-=3343x x →→===；72211(1)(1)(1)limlim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--1123(1)2n n n =++++=+； 8sin lim0x x x →∞=无穷小量1x与有界函数sin x之积为无穷小量sin 1sin lim lim 1sin sin 1xx x x x x xx x x→∞→∞++∴==--； 922limlimx x→+∞=limlim1x x ===；101lim x →313()11x x---231(1)3lim 1x x x x →++-=- 11当0x →时,2x 是无穷小量,1sinx是有界函数, ∴它们之积21sinx x 是无穷小量,即201lim sin 0x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭;习题2-5求下列极限其中a ＞0,a ≠1为常数： 1. 0limx →sin 53x x; 2. 0lim x →tan 2sin 5xx ; 3. 0lim x →x cot x ;4. 0lim x→; 5. 0lim x →2cos5cos 2x x x -; 6. lim x →∞1xx x ⎛⎫⎪+⎝⎭; 7. 0lim x →()cot 13sin xx +; 8. 0lim x →1x a x-; 9. 0lim x →x x a a x --;10. lim x →+∞ln(1)ln x x x +-; 11. lim x →∞3222xx x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭; 12.lim x →∞211xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 13. 0limx →arcsin x x ; 14. 0lim x →arctan xx; .解：1. 000sin 55sin 55sin 55lim lim lim 335353x x x x x x x x x →→→===；2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x x x x x x x→→→== 0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55x x x x x x x x →→→==； 3. 0000lim cot limcos lim limcos 1cos01sin sin x x x xx xx x x x x x →→→→=⋅==⨯=；4. 000sin2lim lim 22xx x x x x x →→→→=== 0sin22122x xx →===； 5. 2200073732sin sin sin sin cos5cos 2732222lim lim lim (2)732222x x x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤-⎢⎥-==-⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦0073sin sin 212122limlim 732222x x x x x x →→=-⋅=-； 6. 111lim lim lim 111e (1)xxx x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪+⎝⎭； 7. 3cos cos 1cot sin 3sin 0lim(13sin )lim(13sin )lim (13sin )xx xxx x x x x x x →→→⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦8.令1xu a =-,则log (1)a x u =+,当0x →时,0u →,1011ln log elimlog (1)a ua u a u →===+. 9. 000(1)(1)11lim lim lim x x x x x x x x x a a a a a a x x xx ---→→→⎛⎫------==+ ⎪-⎝⎭ 利用了第8题结论01limln x x a a x→-=； 10. ln(1)ln 11limlim lnx x x x xx x x→+∞→+∞+-+=⋅ 1111lim ln(1)lim lim ln(1)0x x x x x x x→+∞→+∞→+∞=+=+=； 11. 22223211lim lim 1lim 1222222x xxxxx x x x x x x --→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1232lim e 22xx x x -→∞-⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭； 12. 1221222111ln (1)lim ln(1)2211lim(1)lim (1)lim ee x x xxx xx x x xx x x x x →∞⎡⎤++⎢⎥⎣⎦→∞→∞→∞⎡⎤+=+==⎢⎥⎣⎦2121lim lim ln(1)0lne 0e e e 1xx x x x→∞→∞+⋅====；13.令arcsin x u =,则sin x u =,当0x →,0u →,000arcsin 1limlim 1sin sin limx u u x u u x u u→→→===；14.令arctan x u =,则tan x u =,当0x →,0u →,00000arctan 1lim lim lim cos lim limcos 1sin tan sin x u u u u x u u u u u x u uu→→→→→====. 习题2-61. 证明： 若当x →x 0时,αx →0,βx →0,且αx ≠0,则当x →x ０时,αx ～βx 的充要条件是limx x →()()()x x x αβα-＝０.证：先证充分性. 若0limx x →()()()x x x αβα-＝０,则0lim x x →()(1)()x x βα-＝0,即0()1lim 0()x x x x βα→-=,即0()lim 1()x x x x βα→=. 也即0()lim 1()x x x x αβ→=,所以当0x x →时,()()x x αβ. 再证必要性：若当0x x →时,()()x x αβ,则0()lim 1()x x x x αβ→=, 所以0lim x x →()()()x x x αβα-＝0lim x x →()(1)()x x βα-＝0()1lim ()x x x x βα→-=011110()lim ()x x x x αβ→-=-=. 综上所述,当x →x 0时,αx ～βx 的充要条件是0lim x x →()()()x x x αβα-＝０. 2. 若βx ≠0,0lim x x →βx =0且0lim x x →()()x x αβ存在,证明0lim x x →αx =0. 证：0000()()lim ()lim ()lim lim ()()()x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→==0()lim 00()x x x x αβ→== 即 0lim ()0x x x α→=. 3. 证明： 若当x →0时,fx =ox a ,gx =ox b ,则fx ·gx ＝o a b x+,其中a ,b 都大于0,并由此判断当x →0时,tan x－sin x 是x 的几阶无穷小量.证: ∵当x →0时, fx =ox a ,gx =ox b ∴00()()lim(0),lim (0)a bx x f x g x A A B B x x →→=≠=≠ 于是: 0000()()()()()()lim lim lim lim 0a b a b a b x x x x f x g x f x g x f x g x AB x x x x x +→→→→⋅=⋅=⋅=≠ ∴当x →0时, ()()()a b f x g x O x +⋅=,∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-而当x →0时, 2tan (),1cos ()x O x x O x =-=,由前面所证的结论知, 3tan (1cos )()x x O x -=,所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量.4. 利用等价无穷小量求下列极限：1 0lim x →sin tan ax bx b ≠0；2 0lim x →21cos kx x-； 3 0lim x→； 4 0lim x→5 0lim x →arctan arcsin x x ；6 0lim x →sin sin e e ax bx ax bx-- a ≠b ； 7 0lim x →ln cos 2ln cos3x x ； 8 设0lim x →2()3f x x -＝100,求0lim x →fx . 解 00sin (1)lim lim .tan x x axaxabx bx b →→==8由20()3lim 100x f x x →-=,及20lim 0x x →=知必有0lim[()3]0x f x →-=,即 00lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=,所以 0lim ()3x f x →=.习题2-7１.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形：1 fx = 31,01,3,12;x x x x ⎧+≤<⎨-≤≤⎩2 fx ＝,111,1 1.x x x x -≤<⎧⎨<-≥⎩，或解: 1300lim ()lim(1)1(0)x x f x x f ++→→=+==∴ fx 在x =0处右连续,又11lim ()lim(3)2x x f x x ++→→=-=∴ fx 在x =1处连续.又22lim ()lim(3)1(2)x x f x x f --→→=-==∴ fx 在x =2处连续.又fx 在0,1,1,2显然连续,综上所述, fx 在0,2上连续.图形如下:图2-12 11lim ()lim 1x x f x x --→→==∴ fx 在x =1处连续.又11lim ()lim 11x x f x -+→-→-==故11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠∴ fx 在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点.又fx 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.综上所述函数fx 在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下:图2-22. 说明函数fx 在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同又有什么联系 略.3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在试举例说明.解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在. 例如0(),010x x f x x x x ≤⎧⎪==⎨>⎪⎩是其的一个第二类间断点,但00lim()lim 0x x f x x --→→==即在0x =处左极限存在,而001lim ()lim x x f x x ++→→==+∞,即在0x =处右极限不存在.4.求下列函数的间断点,并说明间断点的类型：1 fx = 22132x x x -++；2 fx ＝sin sin x xx +；3 fx = ()11x x +； 4 fx = 224x x +-；5 fx = 1sin x x .解: 1由2320x x ++=得x =-1, x =-2∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点.2由sin x =0得πx k =,k 为整数.∴ x =0是跳跃间断点.4由x 2-4=0得x =2,x =-2.∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点. 5 001lim ()lim sin 0,()x x f x x f x x →→==在x =0无定义故x =0是fx 的可去间断点.5.适当选择a 值,使函数fx = ,0,,0x e x a x x ⎧<⎨+≥⎩在点x =0处连续.解: ∵f 0=a ,要fx 在x =0处连续,必须00lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==.即a =1.6※.设fx = lim x →+∞x xx x a a a a ---+,讨论fx 的连续性.解: 22101()lim lim sgn()10100x x xx x x a a x a aa f x x x a a a x --→+∞→+∞-<⎧--⎪====>⎨++⎪=⎩ 所以, fx 在(,0)(0,)-∞+∞上连续,x =0为跳跃间断点. 7. 求下列极限：1 2lim x →222x x x +-； 2 0lim x→； 3 2lim x →ln x -1; 4 12lim x →5 lim x e→ln x x . 解: 222222(1)lim 1;2222x x x x →⨯==+-+- 习题2-81. 证明方程x 5-x 4-x 2-3x =1至少有一个介于1和2之间的根.证: 令542()31f x x x x x =----,则()f x 在1,2上连续,且 (1)50f =-<, (2)50f =>由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =.即 542000031x x x x ---=, 即方程54231x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根.2. 证明方程ln １＋e x -2x =0至少有一个小于1的正根.证: 令()ln(1)2e x f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在0,1上连续,且 0(0)ln(1)20ln 20e f =+-⨯=>由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =.即方程ln(1)20e xx +-=至少有一个小于1的正根.3※. 设fx ∈C -∞,+∞,且lim x →-∞fx =A , lim x →+∞fx =B , A ·B ＜0,试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x 0∈－∞,＋∞,使得fx 0＝０.证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞→+∞=>=<,及函数极限的保号性知,10X ∃>,使当1x X <-,有()0,f x >20X ∃<,使当2x X >时,有()0f x <.现取1x a X =<-,则()0f a >,2x b X =>,则()0f b <,且a b <,由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.4.设多项式P n x ＝x n +a 11n x-+…+a n .,利用第3题证明： 当n 为奇数时,方程P n x =0至少有一实根. 证: 122()1n n n n a a a P x x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()lim 10n nx P x x →∞∴=>,由极限的保号性知. 0X ∃>,使当X x >时有()0nn P x x>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以2X n 与-2X n 异号,于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.。

参考答案及提示第一章 函数习题一1、（1）-1、2、-3. （2）-4、23、.86443222-+--x x x x 、(3)有界. 2、略.3、解：∵362)(2-+=x x f x∴3623)(6)(2)(22--=--+-=-x x x x x f ∴64)]()([21)(2-=-+=x x f x f x ϕxx f x f x 12)]()([21)(=--=φ又∵)(646)(4)(22x x x x ϕϕ=-=--=-，即)(z ϕ是偶函数；)(6)(6)(x x x x ψψ-=-=-=-，即)(x ψ是奇函数.4、（1）解：由题知，设c bx ax x R ++=2)(且满足方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=++==0421*******0c b a cb ac b a c∴.4212x Rx +-=（2）解:由题列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+=⋅+=2510905030432c b a c b a c b a c b a即2510p Q ⋅+=.（3） 解：由题意有：⎩⎨⎧≤<⨯⨯-+⨯≤≤=10007009.0130)700(1307007000130x x x x R5、（1）解：∵Z k k x ∈≠+，＋21ππ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±=-+≠ ,2,1,0,12|k k x x ππ.（2）∵131≤-≤-x ,∴]4,2[∈x .（3）∵⎩⎨⎧≠≥-03x x ,∴]3,0()0,(⋃-∞.（4）∵,0ln ≥x ∴1≥x ,∴),1(+∞∈x .*6、解：由题有x e x f x -==1))(()(2ϕϕ，∴).1,(,)1ln()(-∞∈-=x x x ϕ7、（1）uy =u = 3x-1. (2)2u y = u = lgv v = arccosw 2x w =(3)y=au 3v u = v=1+x. * (4)ua y =u=sinv wv =12+=x w8、（1）47-=x y . （2）1)1(2-+=x x y . （3）2arcsin31x y =. （4）21-=-e x y*9、略.第一章 单元测验题1、（1）,8)2(,6)1(,4)0(πππ===g g g .2)2(,125)3(ππ=-=-g g2、解：由题知)3,2(]2,7[04913032⋃-∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠->-x x x x ，且342lg 1))7((+=-f f .3、解：令t x =ln ，即te x =，则ttee tf )1ln()(+=，∴ee xx x f )1ln()(+=.4、解：11)()(9333+=+=x x x f ， 12)1()]([36232++=+=x x x x f .5、证明：∵)(loglogloglog)()1()1(1)1()1)(1()1)((222222x f x f x x ax x ax x x x x x ax x a-=-====-++++++++-++-+-∴)(x f 为奇函数.6、解：由题知：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0100011110111)(11)(01)(1)]([x x x ee e x g x g x g x gf xx x ， ⎪⎩⎪⎨⎧>=<=⎪⎩⎪⎨⎧>=<==--1||1||11||1||1||1||)]([1101)(x e x x e x e x e x e ex f g x f .第二章 极限与连续习题二1、（1）3231,1615,87,43,21 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛564534235432,,,,2（3）5sin 51,82,63,21,0π（4）,!3)2)(1(,!2)1(,---m m m m m m !4)3)(2)(1(---m m m m ，!5)4)(3)(2)(1(----m m m m m2、（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛3、（1）证明：对0>∀ε，]1[ε=∃N ，当Nn >时，ε<+=-+1111n n n ，则11lim =+∞→n n n ；（2）证明：对0>∀ε，]11[2+=∃εN ，当N n >时，ε<=-nn111，则01l i m=∞→nn .4、（1）2 （2）∞+ （3）∞- （4）∞ （5）∞+ （6）0 （7）∞ （8）0（9）不存在 （10）∞- （11）不存在 （12）不存在 （13）0 （14）∞ 5、提示：用左右极限来证. 证明：∵1lim lim==++→→x x x xx x ，1lim lim 0-=-=--→→xx x x x x∴xx xxx x -+→→≠0lim lim，即xx x 0lim →不存在.6、解: 1lim )(lim ,3)2(lim )(lim 1111-===-=++---→-→-→-→x x f x x f x x x x ，,3)(lim ,1)(lim 11==+-→→x f x f x x∵)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠，∴)(lim 1x f x →不存在.7、（1）证明：对0>∀ε，01>=∃εM ，当M x >时，ε<=-xx101，则01lim=∞→xx ；（2）证明：对0>∀ε，0>=∃εδ，当δ<--)2(x 时，ε<+=--+-2)4(242x x x 成立则424lim22-=+--→x x x .8、（1）（2）（4）是无穷小. 9、（1）xsinx 是无穷小，x25是无穷大 （2）10,52x x-是无穷小，xex ),2lg(+是无穷大.10、当∞→→x x 或0时，f(x)是无穷大量，当21→x 时，f(x)是无穷小量.11、（1）∵1sin ≤n 为有界变量，且011lim =+∞→n n ，∴01sin lim=+∞→n n n .（2）∵2arctan π≤x 为有界变量，且01lim2=∞→xx ，∴0arctan lim2=∞→xx x .（3）∵当0→x 时，11cos ≤x为有界变量，且0lim 0=→x x ，∴01coslim 0=→x x x .（4）∵011lim1=+-→x x x ，∴∞=-+→11lim1x x x .12、（1）原式75342452=+⨯-⨯=； （2）原式213)1(4)1(212=--⨯+---=；（3）∵0123lim23=+-+-→x x x x ，∴原式∞=； （4）原式1lim 1)1(lim1221==--=→→t t t t t t ；（5）原式42221lim)22(lim)22()22)(22(lim-=+--=+--=+-+---=→→→t t t t t t t t t t t ；（6）原式＝0； （7）原式＝21；（8）原式＝)23)(4(23lim)23)(4()23)(23(lim22222-+-+-=-+--+--→→x x x x x x x x x x x x x x161)23)(2()1(lim)23)(2)(2()1)(2(lim22=-++-=-++---=→→x x x x x x x x x x x x ；（9）原式323)131(lim)131)(131()131(lim=++=++-+++=→→x x x x x x x x x ；*（10）原式21)11(11lim)11(1)11)(11(lim-=+++-=++++++-=→→t t t t t t t t t .13、解：∵+∞==--→→21lim)(lim xx f x x ，0)2(lim )(lim 20=-=++→→x x x f x x∴0→x 时，f(x)极限不存在.又∵0)2(lim )(lim 222=-=--→→x x x f x x ，0)63(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x∴2→x 时极限存在. 由题知，01lim)(lim 2==-∞→-∞→xx f x x ，)(lim x f x +∞→不存在.14、解：由题知，当3→x 时，→+-k x x 22k= -3.*15、解：∵左边011)()1(lim11lim222=+-++--=+----+=∞→∞→x bx b a x a x bax bx axx x x ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a . 16、（1）原式2211211lim=--=∞→nn ；（2）原式21)221(lim =-+=∞→n n n .*17、证明：（1）∵1)22(lim 21=++-→x x x ，11lim 1=-→x ，∴由夹逼定理有1)(lim 1=-→x f x .（2）∵2222212111nn nnn n nnn<++⋅⋅⋅++++<+且1lim2=+∞→nn nn ，1lim2=∞→nn n ，∴由夹逼定理有，原式＝1，得证.18、（1）原式1cos lim sin limcos sin lim===→→→x xx x xx x x x ；（2）原式2sin lim2sin sin 2lim2===→→xx xx xx x ；（3）原式xx xx n nn =⋅=∞→22sinlim； （4）原式353551sin513131sinlim=⋅⋅=∞→x x x x xxx .19、（1）原式222101)21(lim )21(lim ex x xx xx =+=+=⋅→→++； （2）原式22)11(lim e xx x =+=⋅∞→；（3）原式e x x x =++=-+∞→21212)1221(lim .20、（1）原式31111arccoslim arccoslim 2π=++=++=+∞→+∞→x xx x x x x ；（2）原式3ln 3113lnlim 313lnlim 2222=++=++=∞→∞→xxx x x x .21、（1）∵1lim )(lim 211==--→→x x f x x ，1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，∴1)(lim 1=→x f x .且==1)1(f )(lim 1x f x →，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数，即)(x f 在 ]1,0[和]2,1(上连续，及)(x f 在]2,0[上连续.（2）∵1lim )(lim 1)(lim 111-==≠=++--→-→-→x x f x f x x x ，∴－1为)(x f 的其间断点.又∵)(lim 1lim )(lim 111x f x x f x x x +--→→→===，且1)1(=f ，∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数∴)(x f 在)1,(--∞与),1(+∞-内连续.22、解：∵22lim )(lim 11==--→→x x f x x ，d c d cx x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 211且d c f +=)1(；dc d cxx f x x +=+=--→→4)(lim )(lim 222，84lim )(lim 22==++→→x x f x x 且d c f +=4)2(，又∵)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+02842d c d c d c .23、（1）∵)(x f 在1-=x 处无定义，∴1-=x 为)(x f 的间断点.（2）∵2)1(lim 11lim)(lim 1211-=-=+-=-→-→-→x x x x f x x x ，且)(lim 6)1(1x f f x -→≠=∴1-=x 是)(x f 的间断点. （3）∵-∞=--=→→))1(1lim()(lim 211x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 为)(x f 的间断点.（4）∵1)1(lim )(lim 22-=-=--→→x x f x x ，0)2(lim )(lim 222=-=++→→x x x f x x ，∴)(lim 2x f x →不存在，即2=x 为)(x f 的间断点.24、（1）证明：令32)(45---=x x x x f . ∵075)3(,05)2(>=<-=f f ,∴由介值定理的推论，)(x f 在)3,2(中至少存在一个根. （2）证明：令1)(2+-=x x x f . ∵034)2(,021)1(>-=<-=f f∴. 由介值定理的推论，)(x f 在)2,1(中至少存在一个根.第二章 单元测验题1、（1）原式0cos 1sinlim lim sin lim 21cos sin 21sinlim0000=⋅⋅=⋅⋅=→→→→x xx x x x x x x x x x x x ；（2）原式211lim 2=++=+∞→xx x x ；（3）原式2121lim 1134322321lim=+=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n . 2、解：∵55lim )(lim ,0lim )(lim 01a x a x f e x f x x x x x =+===++--→→→→∴由题知，要使)(x f 在整个数轴上连续，必须满足005=⇒=a a .3、解：∵01sin lim )(lim ,1ln )1ln(lim )(lim 01)1(1=-=-==-=++--→→--⋅-→→x x x f ex x f x x xx x∴)(lim 0x f x →不存在，0=x 是)(x f 的间断点.又∵∞=-=→→1sin lim)(lim 11x x x f x x ，即极限不存在，∴1=x 是)(x f 间断点.因此，)(x f 的连续区间为),1()1,0()0,(+∞⋃⋃-∞.4、解：∵111sinlim22=-+→axxx ， ∴左边＝aaxxx aaxaxx x x x 2)11(lim )sin (lim 1)11(sin lim220222=++⋅=++→→→，∴2=a .。

微积分(二)课后题答案-复旦大学出版社-第五章第五章习题5-11.求下列不定积分： (1) 2(5)x x -d x ;(2) 2xx ;(3)3exx⎰d x ；(4) 2cos 2x ⎰d x ；(5)23523x x x⋅-⋅⎰d x ； (6)22cos 2d cos sin xxx x ⎰.解 5151732222222210(1)(5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x x C-=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)242235d d d d x x x x x xx xx x x x x xx x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系.解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d d d d d d d d d d d d d d d d d e e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222222222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )11(10)1(2)121113(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==-----=-==-----=+22322231(arctan 3)1932(12)2)2)122(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∴=+=∴=+-=-=--∴-=---=-∴-=-2.求下列不定积分：(1) 5e d tt ⎰; (2)3(32)x -⎰d x ;(3) d 12x x -⎰; (4) 323x-(5) sin d t t t; (6)d ln ln ln x x x x⎰;(7) 102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9) d sin cos xx x⎰; (10) 22tan 11x x++⎰(11) d ee xxx-+⎰; (12)223xx-;(13)343d 1x xx -⎰; (14)3sin d cos x xx ⎰;(15) 294xx-; (16)32d 9x xx +⎰;(17) 2d 21x x -⎰; (18)d (1)(2)xx x +-⎰;(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;(21) sin2cos3d x x x ⎰; (22)cos cos d 2xx x ⎰; (23) sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tan sec d x x x ⎰;(25) arctan d (1)x x x x +; (26)22(arcsin )1x x-;(27) ln tan d cos sin xx x x⎰; (28) 21ln d (ln )x xx x +⎰;(29) 222,0x a a x>-; (30) 23(1)x +(31) 29d x x -; (32)21x x+-(33) 211x+-; (34)d ,0a xx a a x+>-;(35) 24d x x -; (36)22d x xx +;(37) 2sec ()d 1tan xx x+⎰; (38) (1)d (1e )x x xx x ++⎰(提示：令xt e =).解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e ttt tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰1223333111(3)(12)ln 121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)332223sin (5)22()2111(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x Cx t t t t t t t C t t x x x x x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+-===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n 1(7)tan sec tan (tan )tan 11111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x Cx x x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x x C Cx x x x x ----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos 1tan ln tan os sin cos tan d d x x x Cx x x x x =⋅==+⎰⎰⎰222222222222234(10)111ln 111(11)()arctan 11()11(12)6323232231123233333(13)14d d d e d d e e e e e e d x x xx xx x x x x Cx x x x C x x xx x xx x Cx x x -+=++=-+++===++++'=-=----=--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰344443233222224313(1)ln 11414sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2(15)9494941218)2382941()3121d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x xx x xx x xx x ---=--=-+----=-=-=+=----=+---=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰1222221(94)(94)382()3)d x x x x -+--⎰⎰2121arcsin 94234x x C =+-3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212222121212121)21)22212221x x x x xx x x x x x xx x x x x C x x x x xx x x x x x x x x +-==-+++=-+=-+++==---+-+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d 2212121222222211111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11(19)cos ()cos(22224x C Cx x x x x x x x x x x x x x C Cx x x t t t t t t ωϕωϕωω-=+=+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d d d d d d 223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos ()sin()cos ()cos()1cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t Ct t t t t t C x x ϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰d d d d 111(sin 5sin )sin 55sin 210211cos5cos 10213133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()22223222213sin sin 3221(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x xx x x x xCx x x =-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d d d 2cos 2)11cos12(12)cos 2(2)24411sin12sin 2244x x xx x x x x x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰d d d32232222(24)tan sec tan (sec )(sec 1)sec 1sec sec 3arctan (25)2arctan 2(1)2(1)(arctan )1(26)(arcsin )(arcsin )1d d d d d d x x x x x x x x x Cx x x x x x x x x x x Cx x x==-=-+==++=+=⋅-⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin )arcsin x C x =-+⎰22222222222222222ln tan 1(27)ln tan sec cos sin tan 1ln tan (ln tan )(ln tan )21ln 111(28)(1ln )(ln )(ln )ln (ln )ln (29)()d d d d d d d d d d x x x x xx x xx x x Cx x x x x x C x x x x x x x x a x x a a x a x a x a x =⋅⋅==++=+==-+=-=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x利用教材§5.2例16及公式(20)可得: 原式=222222211arcsin arcsin arcsin 2222x a x a x a x a x C x a x Ca a a ---=--.(30)令tan ,(,)22ππx t t =∈-,则2secd d x t t=.所以22323sec cos sin sec (1)(tan 1)d d d d tt t t t t C tx t ====+++⎰⎰22tan ,sin 11 原式x t t Cxx=∴=∴=+++.(31)令3sec ,(0,)2πx t t =∈,可求得被积函数在x >3上的不定积分,此时23sec tan 93tan d d x t t t x t=⋅-=故 22293tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec d d d d x tx t t t t t t t t-=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰3tan 3t t C=-+.由3sec ,(0,)2πx t t =∈得29tan x t -=,又由3sec x t =得33sec ,cos ,arccos 3x t t t x x===, 22293393arccos 93arccos )d x x x C x C x x x-∴=-+=-+⎰又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.22211293393arccos 93(arccos )393arccos d π x x x C x C x xx Cx-=-+=--+=-+综上所述有229393arccos d x x x C x-=-+.(32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 2211cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 111111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .122d d d d d t t t tt t tt t t tx x t t t t C t t t t x C x x ++-=⋅=+++-=++=++++=++-⎰⎰⎰⎰(33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =222cos 1(1)sec ()1cos 1cos 221111tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t x t xt C x C ∴==-=-+++---=-+=+⎰⎰⎰(34) 22222221(2d d d a x x a x x a a x a x a x a x +=+=----⎰22arcsinxa a x C a=⋅-.(35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=, 所以 222242cos 2cos cot csc 4sin d d d d x t x t t t t t t t t-=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰24cot arcsin 2x xt t C C-=--+=-+.(36) 22222222222d d d x x x x x x x x x x x x x x +==++++⎰2122(1)ln 122(1)1d d x x C x x x x xx =+=+++++-⎰由被积函数知x ≤-2或x >0,令1x t =, 当x >0时,(此时t >0)22221222222112211211222(12)(12)121222221.d d d d d x t tt tt xx xt t t tt t t C tx x x xC C C x x--==-+++=-=-++=-++++=-+=-=+⎰当x ≤-2时,此时102t -≤<22221232233112211211222(12)(12)212122222212.d d d d x t tt tt xx t t t t tt t t t C tx x x xC C C x x x--==-+++⋅==++=++++=+=+=-+⎰综上所述:原式= 222ln 212x x C x x x x+++.(37)2222sec sec 11()(1tan )1tan (1tan )(1tan )1tan d d d x x x x x C x x x x==+=-+++++⎰⎰⎰.(38)令e x =t ,则x =ln t ,d x =1td t . 11ln 1111(ln )(ln )(1)ln (1ln )ln (1ln )ln 1ln 11(ln )(1ln )ln ln ln 1ln ln 1ln ln ln ln ln ln ln 111d d d d e d d e e e e ex x x x x xx t x t t t t t x x t t t t t t t t t t t t t t t t C t t t t t t t txC C x C x x x x x ++⎡⎤=⋅==-⎢⎥++++⎣⎦=-+=-+++=-+=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题5-31.求下列不定积分：(1) sin d x x x ⎰; (2) e d xx x -⎰; (3) arcsin d x x ⎰; (4) e cos d xx x -⎰;(5) 2e sin d 2xxx -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰; (7) 2ed tt t-⎰;(8)2(arcsin )d x x ⎰;(9) 2e sin d xx x⎰; (10) 3ed xx⎰;(11)cos(ln )d x x⎰; (12)2(1)sin 2d x x x-⎰;(13)ln(1)d x x x-⎰; (14)22cos d 2x x x⎰;(15)32ln d x xx ⎰;(16)sin cos d x x x x ⎰; (17)2cot cscd x x x x⎰; (18)22(1)e d xx x x+⎰;(19)1(ln ln )d ln x x x +⎰; (20)e ln(1e )d xx x+⎰;(21) 23sin d cos x xx ⎰;(22)222ln(1)d (1)x x x xx ++⎰;(23)2e d (1)xx xx +⎰;(24)arctan 322e d (1)x x xx +⎰.解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰22221(3)arcsin arcsin arcsin (1)211arcsin 1d x x x x x x x x x x xx x x C=-=+---=-⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x x xx x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin 1(arcsin )2arcsin 1(arcsin )21211(arcsin )212e d d t Cx x x x x x xx x x x x x x x x x xxx x x x x -+=-⋅-=+-=+----=+--⎰⎰⎰⎰⎰222(arcsin )2121cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x x C x x x x x x x x x=+--+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2ed de e e d e de xx x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x=+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)3x t=,则32,3d d x t x t t ==3322222223233336363663663(22)32)e d e d de e e d e de e e e d e e e e e x t t t t t t t t t t t t t x x t t t t t tt t t t t t t C t t C x x C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t ttttttx x t t t t t t t t t t t tx x x x x xxx x x x C===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x xx x x x x x Cxx x x C-=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x Cx x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x+=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x Cx x x x x Cx --+=-++++11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x C==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰()222221(17)cot csc csc csc csc 211csc csc csc cot 2222d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C=-=-=-+=--+⎰⎰⎰⎰222222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111(1)2(1)()2222111(1)222e d e d dee e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C+=+=+=+-⋅=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x Cx x+=+=-⋅⋅+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(20)ln(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)e e e d e d e e e e d ee e e d e e e xxxxxxxxxx x x x x x x x x C+=++=++-+⋅+=++-=++-+⎰⎰⎰⎰2233sin (21)tan sec tan (sec )tan sec sec cos d d d d x x x x x x x x x x x x=⋅==-⎰⎰⎰⎰2223323cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos sin tan sec ln sec tan cos d d d d x x xx x x x x x x xx xxx x xx x x+=-=--=--+⎰⎰⎰⎰ 于是213sin 2tan sec ln sec tan cos d x x x x C x x x=-++⎰,所以23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰.22222222222ln(1)11(22)ln(1()21ln(1)112111ln(1)12(1)2(1)1d d d d x x x x x x xx x xx x x x x x x x x ++=-+++++=+++++++=-++++⎰⎰令x =tan t ,(,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t d t21132221sec cos sin sec (1)11d d d t t t t t C C t x xx=⋅==+=++++⎰⎰∴原式=222ln(12(1)21x x Cx x+++++.211(23)()(1)111111e e d e d e e d e e ee d e x x x x xxxxx x x x x x x x x x x x x x x C C x x x=-=-+⋅+++++=-+=-++=++++⎰⎰⎰⎰arctan arctan arctan arctan 3222222(24)11(1)1(1)e e d e x x xx x x xx x x xx ==+++++⎰⎰arctan arctan arctan arctan arctan 32222221111(1)e 1e e e xx x x xx xxxxx =-=+++++⎰于是 arctan arctan 1322221(1)e e d x xx x C xx =++⎰, 所以 arctan arctan 322221(1)e e d x x x x Cxx =++⎰.习题5-4求下列不定积分： (1)21d 1xx +⎰; (２)5438d x x xx x +--⎰;(３) sin d 1sin x x x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰. 解 (1)令 322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++从而01A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 1136331(1)ln 6133d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x Cx x x x Cx x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x xx x x xx x x x xx x x x x x xx x x x x x x Cx x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x xx x C x x x Cx-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰注 本题亦可用万能代换法(4)令tan 2xt =,则222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x tt t t t --=====+++则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t t x x t C Ct --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。

第十章习题10_11.指出下列各微分方程的阶数:)3 5(y，)4-y5 x°=0;(1) 2x(y' ) -2yy,xd0; ⑵(y〃⑶Xy 2y'' χ2yq ⑷ 2 2 2 2(X -y )dx (X y )dy=0.解: (1)因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程(2) 二阶.(3) 三阶.(4) 一阶.2. 验证下列给定函数是其对应微分方程的解：(1) y=(x C)e», y' y=e»;X X(2) Xy=C I e C2e , xy'' 2y' -Xy ^0;(3) X -cos2t Cιcos3t C2sin3t, x" 9x=5cos2t;2 2⑷X -1, Xyy" X(y' )2-yy' oC l C2解(1):y = e」_(x C) e」y y = e~ -(X C)e」(X C)e」=ey = (x c)e」是微分方程y、y =e *的解.X _X . X X、 .(2) 在方程Xy =C l e ∙ c?e 两边对X求导有y ■ x√ = C l e -^e 上方程两边对X求导有 2 y Xy =C I eX c2e」，即2 y Xy =Xy 即Xy 2 y - xy = 0所以X y = C l^ ■ c2e」所确定的函数y = y( x)是方程x^ 2 y - xy = 0的解.(3)X= -2 Sin 2t 7c1sin 3t 3c2cos 3tX = -4 cos 2t —9c1cos 3t —9c2Sin 3tX 9^=-4 cos 2t —9c1cos 3t —9c2Sin 3t■ 9 cos 2t ' 9c1cos 3t 9c2Sin 3t=5 cos 2t所以X=CoS 2t c1cos 3t ■ c2 Sin 3t 是微分方程√ 9 5 cos 2t 的解.2 2Xy(3)方程 1两边对X 求导得C1c2C 2X C I yy=O(1)(1) 式两边对X 求导得2C 2 ■ C1( y )- syy = 0 (2)(2) 式两边同乘以X 得2C 2XC 1X (y ) C I Xyy =0(3)(3) -(2)得 Xyy (K^- y y 02 2所以 —^y ^ =1是方程Xy^ X(y ) - yy ■ = 0的解. C 1 C3. 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程.解：设(X , y)是曲线y = f (X )上任一点，则过该点的切线方程为 Y - y = y∙(X - x),由已知X =0时,Y = x,得x -y = -xy ■即xy "-y ∙ x = 0为y = f (x)所满足得微分方程 4. 求通解为y=Ce x ∙χ的微分方程，这里 C 为任意常数.解：由y=CeX-χ得√ = C e 1 ,而由已知C^ =^X 得 y >y -x T 故通解为 ^Ce XX 的微分方程为y ■ = y 一 X 1 .习题10-21. 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解: (2) xydx 、.一1 一 X 2 dy=0;2 2⑶(Xy x)dx (y -χ y)dy=0;2 I 2(4) Sin XCoS ydχ cos xdy=0;(6) yy'∙χe y =0, y(1)=0; ⑺ y'=e 2τ,y x ^=0 .(1) y =⑸亠d X-丄d y=0,y1 y 1 X解:(1)原方程分离变量得dy dx 1 y 1 - X(V^Z 0),两边积分得2In 1+y| = _ln 1 _x +G 即 In (1 一x)(1 + y) = G , 即 ∣(1 —x)(1 +y)∣ =e c1 , (1 — x)(1 +y) =±e c1 , 记_e c1 =c,有(1 —x)(1 ∙ y) =c(c =0),而当 y∙1=0即y = —1时,显然是方程的解，上又y = 0显然是方程的解方程的通解为 y = ce 1 * (C 为任意常数).2 y 2 X(3) ---------------------------- 分离变量得 dy = ——dx,两边积分得In(1 +y 2)=ln X^^C 1 ,即1 + y X -1In —2^^- =c 1从而 I J ry^= ±e°1 (x? -1),记 C= ±e°1有『 =c(x? -1) —1.X -1(4) 分离变量得，一S i n 2X dx ,两边积分得，tan y-— C 即 CoS y CoS XCoS Xtan y ■ SeC x = c .2 3 2 3(5) 原方程可化为：y(1 ∙ y)dy =x(1 - x)dx,两边积分得 - - - X C 2 3 23亠 11 5 、 由yχ±=1 得c=—+—=—,所以原方程满足初始条件的特解为2 3 6 23 23yy x x5 33 22即 2 (x 3 - y 3)3X 2 - y 2 )= . 52 32 362(6) 分离变量得-ye^y dy =xdx,两边积分得 y^ e C21由y(1) =0得C ,故原方程满足初始条件的特解为2.y 12(y 1)e(X 1). 21(7) 分离变量得 e y dy=e 2x dχ ,两边积分得e y =-e 2x +c,由yxτ=0 得式取C =O 时包含了 y - _1 ,故方程的解为(1 _x)(1 y) =c(C 为任意常数)(2)分离变量得21 一 X = 0, y = 0 ,两边积分得XdX dyJ 1 -x? =In y +c 1,可知1ιC,所以,原方程满足初始条件的特解为 e y (e 2x 1).2 22.物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T o 的物体放在保持常温为:•的室内，求温度 T 与时间t 的关系. 解：设t 时刻物体的温度为 T,由题意有dTk(T-：.) (k 为比例系数)dt -J —p分离变量得 --------- =_kdt,两边积分得，In τ _- -kt ■ C 1 ,得 T =Ce —工,由题意有T 「： t =0时,T =T O ,代入上式得 ,C =T 0 —「・.T=(T O —:・)e*(k 为比例系数).3. 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解: y y⑵ y = Sin ；X X23 3、，⑶ 3χy dy = (2y -X )dχ;2 2⑷ xy'∙χy=y ,y(1)=1 ；(5) χy =y(lny-lnx),y(1) =1;(6) (y-x 2)dx =(x y 4)dy;⑺(X y)dx (3x 3y -4)dy =0.r du dxXU :=叮 U 即两边积分得 √V∏u 2 X即 u . 1 U =CX将u = 丫代入得 y X y =CXX 、V(2)令U 贝U y = uχ, y =U XU 代入原方程得X du du dχSin U 即 ------- =—dχS i ruX两边积分得I n t a-in := XnC l ,≡ta U n= =cx,u = 2 arctan CX ,22(1) ×y -y-χ2解:(1)原方程可化为1 (；)2 ,令=_yXy =U XU 代入原方程得：l n U 亠 1 U )= Xn 亠C将U='代入得y二2xX arctan CX .(3)原方程可化为找=2(Y)1X 2(一)”y du,令U ,则X U V,代入上式得dχ 3 X 3 y X dχdχ23U两边积分得ln(1 ：：U 3)-_ I n X ■ C1 ,即 3x( j U )=CyU 代入得X原方程可化为du2U 「2U XdxU - 2 =GUXy(1) =1 得C »12二CXy - =(-)2,X X_u -2 Udxdu=UX , — =U X ,代入上式dxdy=I n X,两边积分得■ c1将U='代入得'-2=GXyy—2 = -Xy ,即2x2X所以原方程满足初始条件的特解为2x2 1 X(5)原方程可化为3lndx X 令UJ dyUdx• X巴，上方程可化为dxduU 亠X — =Ul n udu dXdx U(InUT) X两边积分得I n∣nu _ 1= IrX 即InU —1 =CX亦即u =e1 CX将U=Y 代入得 1 -CX^=Xe由初始条件y(i) =1得c--i故原方程满足初始条件的特解为^=Xe 1 -X(6)原方程可化为dydx X亠y亠4解方程组y —X 2=0X y 4=0 y ~ -3X=U _1,原方程化为y =V -3 dv du这是一个齐次方程，按齐次方程的解法：令' =~ ,方程可化为-^τdUdu两边积分可得，整理可得，2arctan ' ∙ In up 「2) = C 将∙=V 代入上式得UV222 arctan — In(U V)=C U将U=X 亠1,v = y 亠3代入上式得2即(3)dt =2dx ,t -2积分得 3t 2 In ∣t 「2 = 2 x C .将 t = X + y 代入上式得，x+3y+2ln x + y-2 = c∙4. 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解: (1) y'-y =Si nx;n X⑵ y - y=x e ；X⑶(x-2y)dy dx=0;(4) (1 XSiny)y '-cosy -0;yX⑸ y -(x 1)e , y(0)=1;X +1 ,1 2⑺ y - y Inx, y(1)W; X X2(8) y'N xy =(xsinx) ∙, y(0)=1;(10) y=— X y Xy(9) y =X 4 y 32Xy2 arctan— In(X 1)2 (y 3)2 =C(7)原方程可化为巴dxX 亠y 3x 3y —4 d t令 t = X ■ y ,≡ 一 =1dxdy 、,代入上方程得dxdt 2t — 4 dx3t — 4,丄2x⑹y "22xy=Cy (o )二;3二 e ^y (2 ye'dy c) _yy=e (2e (y -1) C) =2( y -1) ce~y(4)原方程可化为Xtan y = SeC y ,这是一个关于y 的一阶非齐次线性微分方程dy且 P (y) = - tan y ,Q ( y) = SeC y ,所以解：(1)这是一阶非齐次线性微分方程P(X)= _1, Q(X) =Sin X_P(x)dxP.y =e ∙( Q(x)e- (X) dx dχ +c)dx卫X=e ( Sin χe 一 dx C) =e x ( Sin X e ^dχ ■ C)XXX-Sin x e 一 一CoS x e-=e (C)X1= Ce- -(Sin x 亠 CoS x)2这是一阶非齐次线性微分方程 ，P(x) =-n ,Q(x)Xn X=Xe-P (X )dχP.y =e( Q(x)e(x)dx dx +c)dx^e Xn X_严= nln X(X e e dx c) = e ( XX_pln X ■e e dx C)nn Xnx」n X =x ( X e X dχ c) = x ( e dχ c) = x (e C)原方程可化为 竺∙χ=2y,这是一个关于y 的一阶齐次线性微分方程,且dyP(y) =1,Q(y) =2y ,所以(Q(y)e；(y)dydy +c)(y )dy=eI d y(2y e dy C)_p (y)dyP X =e ∙ ( Q(y)e ■ tan ydy_ t=e ∙( SeC ye ■1 X------- (SeC y CoS ydy ■ C) CoS y ' 1 (y ■ C)cos y(5)这是一阶非齐次线性微分方程且P(X) J,Q(x) = (X - 1)e x ,所以 X 十1------dx—dx=e x 1 ( (X 1)e x e -X 1 dx C) ・ x ・X=(X 1)( e dx C)=(X 1)(e C)故,原方程满足初始条件的特解是2X2 X ,且 P(X)2 ,Q(x)2 ,所以1 +x1 + x_ P(x)dxy =e(Q(X)e(X)dXdx +c)将初始条件 y(0) =1代入上式中得C=O-P (x)dy = e(Q(X)e(X )dχdχ +c)22x^e-x 2dx c) 2C JD (I ÷ ), =e(I X( 一 .I X22Xeln(1 ∙x 2 )dy e dχ +c) 12 ( 2x 2dx ■ C) 1 x^(-x 3 ' C) 1 X 32将初始条件y(0) =1代入上式得C=,所以原方程满足初始条件的特解是3I 32(1 ■ X )χ2)(7)这是一阶非齐次线性微分方程,且 P(X)12,Q (X) = InX 所以 X X(y )d ydy +c)tan ydydy +c)(6)这是一阶非齐次线性微分方程Xdx c) = χ3( 3dx c) = 3χ4 cx 533 43z = y 代入上式得原方程的通解为y = 3x CX .d X3 3 1 _3 2(10)原方程可化为-Xy=X y ,这是关于y 的〉=3的伯努利方程，令Z=X X , dy上述方程可化为dx X dz 33z = 3X 3 ,这是一阶非齐次线性微分方程_ P (X)dχP(x)dχy =e_( Q(x)e dx C)1 1X dX 2 - 7d×1=e ( InXe dx 亠 C)X 2 =x^ - — In XdX 亠 C)2 2 二 x(_ In X ——C) X X =2(1 In x) CX 将初始条件 y(1) =1代入上式得 C = _1 所以,原方程满足初始条件的特解是 (8)这是一阶非齐次线性微分方程 -"P(x)dxy = 2(1 In x) - X . 2,且 P(X)= 2X , Q(x) = xsin X e^ ,所以 ∣P (x)dxy =e ( Q(x)e dx C) _2XdX 」2 2xd X=e ( XSin X e e dx ■ C )2=e ( X Sin XdX - C) 2 =e (Sin X-X cos X C) 将初始条件y(0) =1 代入上式得 C =：1 ,故原方程满足初始条件的特解是 2 y =e * (Sin X- XCaS X 亠1).(9)原方程可化为* 13y y = X X 1 3 3—y =X X-2 ,这是-2的伯努利方程，方程两边同除以14』)^y3=y ,则上面方程化为P(X) --,Q(x) =3X 3,其通解为XI dX 3 -z = e x( 3x e试求y=f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y(2)的特解.9解：依题意有πtπI f (x)dx t2f(t)-f(1),两边同时对t 求导有:3 π- 2f (t) 2tf (t) t f3 -(t) t 2 f (t) =3f 2(t) —2tf (t)亦即χ2y ^3y 2 —2Xy故y=f(x)所满足的微分方程是χ2y'=3y 2-2Xy ,该方程可化为y 2 y=3( ) -2(), X X这是齐次方程•可求得该齐次方程的通解为3y —X 二CXy 将初始条件 y(2)2代入上式得 c = -1 ,所以，该微分方程满足条件 92y(2) 的特解是9*6 .设某生物群体的出生率为常数 a ,由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比 (比例系数为b >0).如果t=0时生物个体总数为 X 0,求时刻t 时 的生物个体的总数(注：将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待).解：设时刻t 时的生物个体的总数为 X,依题意得dxdx a bx 即 dtdt bx = a解得 Jata btX =e (_eC)b又t =0时x = X 0 ,代入上式得C =X oa ,, ,故 bdz32 yz = _2 y dy这是关于y 的一阶非齐次线性微分方程 ，且P (y) =2 y,Q( y) = _2 y 3 ,其通解为：2 2.y 3 y-e( (-2y e )dy C)2 2_y / y2=e (e (1 - y2_y 2=1 一 y CeZ=e-fydy((-2y 3)e∙2 ydyIdy■ C))■ C)将 ^X-代入上式得原方程的通解为1F =1X-y 2 ce 』5. 设函数f(x)在［1, + ∞)上连续，若由曲线 平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 y=f(x),直线x=1,x=t(t > 1)与X 轴所围成的bt za bta 、 a Z a 、 btX =e (— e+ x 0 — — ) = — +(x 0 — — )ebb b b 3x7.已知 f(x) = [ f-d X + 3x4,求 f(x).I 3 .丿解：方程两边对X 求导得f (X) =3f (x) ∙ 3 即 y '3y =3这是一阶非齐次线性微分方程 ，P(x) = _3,Q(X)=3 ,其通解为--∙3dχ∙3dχ .3x 3xy =e ( 3e dχ ∙ C) =e ( 3e 一 dx ∙ C)3x_3x3 X=e ( _e ∙ m e) - 一 1 x ・ce3xt由已知f (X) = f (―)dt ∙ 3x - 3 得 f (O) - -3 ,代入上式得 e - -2 ,所以 b 3&已知某商品的成本C = C(X)随产量X 的增加而增加，其增长率为且产量为零时，固定成本 C(O) = C O > 0.求商品的生产成本函数C(x).H 1 +x + C /白 H 1解：由C (X)得CC =1 ,这是一阶非齐次线性微分方程1 +x1+X1P(X),Q(x) =1,其通解为1 +x由初始条件C(0) =C °代入上式得 C 1 =c °∙所以商品的生产成本函数C(X)=(I - X) Iln(1 X) C 0 ].9.某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间 X 的延长，它的保养维修费会加倍增长， 因而平均单位时间的使用费 S 也在增加，即S 为X 的函数Sgx), 其变化率为d S b b 1 S — a , d X X X其中a,b 均为正常数•若当x=×0时S = S 0,试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的 使用费S 最高？解：原方程 竺=b s -b Ja 可化为 竺- b s = -(b 2I)a ,这是一阶非齐次线性微分方 dx X X dx X X 程,且 P(X) - -b ,Q(x) - -(b 2I)a ,其通解为，X XC '(X)=IxC=(1 x)〔In(1 x) C 1 1丄dχ1 xdx C 1)2习题10；1.求下列微分方程的通解：(1) y :::=xe X；(2) y 〃 1 ；2 ；1 X2 (3) (1 x)y''∙ 2xy'=0; ⑷y 〃 -(y)2O 23d X(5) X2 仁0;(6) yy " -(y')2 (y)3=od t解：(1)对方程两端连续积分三次得Il- Xy =(X - 1)e' C 1X V 1“y =(X - 2)e 亠c 1x 亠 C 22X L C I X y = (x -3) e C 2X C 32这就是所求的通解•(2) 对方程两端连续积分两次得y =arctan X C 1由已知X b bS =e X dX ( J b I)a ^,dXb dχ Xb _1 b =X (ax C) e X dx c^x b ( -(b 2I)aX __bχ- dx 亠 C) =-CX bX =X o 时，S = S o 代入上式得 s o x o f a,C = X o b1S 二--a r bcx X ,令S y O 得唯一驻点 x =(2)r7 ,将C bc s o x o - bΓ x o =( ) bs 0x 0 -ab X o,由问题的实际意义知，最值存在，所 b ,rC X 得a代入得是时间=( )bs 0 X 0 - abX o时,其平均单位时间的使用费 S 最高.y = arctan XdX C I X=XarCtan1 X -―In(12X)C I XC 2这就是所求的通解(3) 令y = p(x),则y =P(X)，于是原方程可化为2 *(IX)P 2xp = 0分离变量得 空 2^xτdx ,积分得P 1 X再积分得 y = c 1 arctan X C 2.d⅞=dX P亦即dx X C 1| X ■ C i | ■ C 2(5)令 X=P (X ),则 X=P,原方程变为 dxdp 卄 P 1=0,即 PdP = dx 13dx.X2两边积分得P 2 -1 C1X2C i Xd X亦即兰―dtXIdx =dt . 1 ■ cx 2 积分得一..1 C 2 . 从而 1 亠c 1χ2 =(C I t 亠C 2)2 . 这就是所求的通解• (6)令y =P(y),则∙ p,代入原方程得. dy dp 2 3 yp ——-P + P =0 即 P y dy J些-P P 2dy =O若P=O,则y = 0, y = c 是方程的解.c ι p=C ,即 y(4)令 y= P(X),则 y =P ■,原方程可化为两边积分得1 -=X PC i ,即1 X C 1dy再积分得若 y d ^.p.p 3 =O ,分离变量得y.dyp — Py积分得C l yp “y(1 - P )即 P^C l y于是：dyc1y Hn J即( c 1 )dy =c 1dx.dt 1 ■ c 1yy积分得 C l (X _y)y =c 2e 2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：3⑴ y F nx , y(1)T, y '⑴,y 〃(1)=1; 32(2) xy 〃 对=1, y(l)=0, y ' (1)=1; (3) y 〃 y 2 =1,y(0)=0, y ' (0)=1.解：(1)方程两边积分得：y " = X In X —X ∙ q ,由 y 1 =1- 得 C 1 = 0 ,于是 y " = x In x - x ,2上式两边再积分得y = — In X -∙3 X?c 2.2 43由y(1)得C 2 4由 y (1) =1 得 C 1 =1 ,于是 (In X 1),从而X3X In 2=0 ,于是 两边再积分得 由y(1) =0得I3X In 6 II 11X- — X36 C 3.36所以，原方程满足初始条件的特解为 11 3In X-——X36 11+—— 36 (2)令y ■ = p(x)，则y = p :原方程化为 X 2空XP =1.即如1P dx Xdx一阶非齐次线性方微分方程1 P(X)= 一，Q(x) =X ,X-2其通解为 dx X-2(Xe1dx y X1dx c 1) = 一(In X ■ c 1)X1即 y (In X G ),X1 1 2y (In x 1)dx = j(ln X 1)d(ln X 1) (11 n x) c2• x 21由y(1) =O 得c221 2 1 1 2y (1 In x) 即y = In x In x.2 2 2(3)令y J p ,则y χ = p ■,原方程可化为d P 21 一p ,由y (0) =1 ,即X =0 时，P =1 . dxdy显然p =1是上述方程的解，即 1 ,积分得y = x ∙ c,由y(0) =0得C=O ,所以，dx原方程满足初始条件的特解为y = X .3. 已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解y1=x, y2^∙e x和y3=1∙χ∙e x,求这个方程的通解.解：因为y1, y2, W是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则y? - y1= e x, y3 - y? = 1是Xe某对应的齐次微分方程的特解且一=e x=常数，故e x和1是其对应的二阶齐次线性微分方1程的两个线性无关的特解，故对应齐次线性方程的通解为y = C1亠c2e x又y1 =x是这个二阶非齐次线性微分方程的特解，故这个方程的通解是y = C1亠C2e x亠X .4. 求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解：(1) y〃My' 4y=0; (2) y〃-y' -2y=0;(3) y〃5y' 6y=0, y(0)=1, y' (0) ≡6;πππ 6⑷ y" -2y' -10y=0, y( )=0, y'(—)= e .6 6解：(1)特征方程为r2 -4r ∙4 = 0 ,它有两个相等的特征根r1 = r2 = 2 ,所以，所求的通解为y = (c1■ c2x)e2x .(2) 特征方程为r —r —2 = 0 ,它有两个不相等的实特征根r1 = T,r2 = 2,故所求的通解为y = c1e ■ c2e2x.(3) 特征方程为r2 5r，6 = 0 ,它有两个不相等的实特征根r1 = -2, r2 = -3 ,故所求的通解为y =c1e I +c2e'x由y(0) =1 得G +c2=1 ,又由y(0) =6 及厂=—2c1e'x—3c2e'x得2c1 +3c2 = —6 ,解方程组c1 c2 =1 C1 = 91 2得42c1 3c2 = -6 J c2 = -8所以，原方程满足初始条件的特解为y =9e'x _8e^.(4) 特征方程为r2-2r -10 = 0,它有两个共轭复数根,1 X Oy = --e cos 3X35. 求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解:(1) y'' +3y' -10 y =144xe-2x;2⑵ y'' -6y' 8y=8x 4x-2;ππ(3) y" y=cos3x, y( )=4, y'(-)=-1;2 24x⑷ y〃-8y,16y=e , y(0)=0,y' (0) =1.2解: (1)特征方程r ∙ 3r -10 = 0有两个不相等的实数根r1 = -5, D = 2 ,故对应齐次方程的通解为Y ^C I e^X■ c2e2x因为■ - -2不是特征方程的根，故可特解为* 2 Xy =(AXB )e代入原方程可解得 A =「12, B =1.所以y =(1 -12 X) =e X .所求通解为-2 X -5 X 2 Xy = (1 —12 x)e ■ c1e ■ c2e(2)特征方程r2 - 6r= 0有两个不同的特征根r1 = 2, r2 = 4 ,故对应齐次方程的通4-2x=(-2 Ax A -2B)e 仏=1±3i ,故方程的通解为y =e x(c1CoS 3x 亠c2sin 3x),ππ- π Z由y( ) =o, y ( ) = e 得G =6 61-,C2 =0,故所求特解为3y = ( -4 AX 4B 4 Ax )e -2x2x 4 xY =c1e 亠c2e 又因为∙=O不是特征方程的根，故可设特解为* 2y =AX bx = 2Ax∙B,y =2A ,代入原方程可解得2 2=X 2x 1 =(x 1) ∙Y=G CoS X c2 Sin X为: 考察方程y y则y*l3iAe3ix3i X=e 因为w =3i不是特征方程的根，故可设特解为* 3ixy = Ae1■ -9 Ae ,代入方程y ■ y = e?",得A ,所以8* 1 3i x 1y e (cos 3x 亠i Sin 3x)8 8取y的实部，即得到方程y y = cos 3x的特解.故原方程y亠y = cos 3x的通解为由初始条件y — =4,12 J(4)特征方程r2 -8r* 1y 1 = -一cos 3x81y cos 3x c1 cos X c2 Sin X8y = 3 sin 3x - c1 Sin x 亠c2 cos X8y - =1得G =-,c^4,故所求的特解为2 81 丄5 丄y = --cos 3X 一cos X 4 sin x8 81^=0有两个相等的实根r1 = r2 = 4，故对应齐次方程的通解解为A =1,B =2,C =1,所求通解为y =(X ∙ 1)2 2x亠c1e 4x亠c?e(3)特征方程为r2 1 =0 , 它有两个共复数根r1,2=±i ,故对应齐次方程的通解为因为.=4是特征方程的重根，故可设特解为*2 4xy =AXe1将其代入方程y“—8y'16y =e 4x得A,故特解为 2所以原方程的特解为 y = 1x 5e 4x (c 1 ■ c 2 x)e 4x24x -24x4 X4x_又由 y =Xe 2x e c 2e 4c 2xe 及 y (0) = 1 ,得 C 2 =1 .1所以，所求特解为y =丄x 2e 4x xe 4x2 6. 设对一切实数X,函数f(x)连续且满足等式f '(x )=x 2 ∙ ∖ (t)dt ,且 f(0)=2,求函数f(x). f (x) = 2x 亠f (x)，即y —y = 2x ，特征方程r —1=0有两个不同的实根r 1 =1,r 2 =-1,故对应齐次方程的通解为Y =C I e X ∙c 2e^因为■ =0不是特征方程的根，故可设特解为Y= Ax B,代入原方程得--2xC 1 e x ■ C 2e J又由题设得「(0) = 0 ,及 y • = -2 ■ C I e X -■ C 2得y " +ay ' +by=θe xf^c 1 +c 2 =2 解方程得C 1 =2, C 2C1 -C2 =2所以满足题设条件特解为y - -2x 2e x--2, B =0 ,故特解为y =…2 ∏,所以方程的通解为C i -C 2 = 2 .=0f(x)X--2x 2e .7.设二阶常系数非齐次线性微分方程12 4x =—X e 2解：方程两边求导得由已知 f (0) =2 得 c 1 ■ C 2 =2的一个特解为y=e2x∙(1 x)e x,试确定常数a,b「并求该微分方程的通解. 解：将已给的特解代入原方程，得(4 2a b)e2x (3 2 a b)e X (I a b)Xe X= : e x比较两端同类项的系数，有4 2a b =OIab=O3 2a b =:解得a = _3, b = 2, = _1.于是原方程为y J3y 2y 二_e x .其特征方程为r2-3r∙2=0,特征根为r1=1,r2=2 ,对齐次方程的通解为X 2 X= c1e 亠c2e又因为，=1是特征方程的单根，故设特解为y = AXe X ,代方程y'"—3y ' 2y = -e x，可解得A=1,故特解为y^xe x所以该微分方程的通解为X 丄2χ丄Xy = c1e 亠c2e 亠Xe .& 设函数(X)可微，且满足X X「(x)=e 亠I (t 一X):(t)d t，求(X) •X X X解：由:(X) = e X亠I (t —x) '(t)d t 得:(0) = 1,又：(x) = e X亠∣ t「(t)d t —x ∣(t)d t ⅛*0*0X两边求导得：:(x)=e X∙χ>(x)-°:(t)dt -X :(x),即X「(X) =e x - 0 ;：(t)dt ,从而：(0) =1再求导得：：(X)= ^^(X),即、、二e可求得对应齐次方程的通解为Y =C I CoSX ∙ C2 sin X ,又因为，=1不是特征方程2r 7=0的根，故可设特解为* Xy =Ae1将其代方程y'y=e x中可求得 A = 1,故方程的通解为y=c一一--1XI CoS X c2 Sin X — e ..又2 2由1(0) =1, ：(0) =1 及y - -G Sin X c2 cos X e得1 1C l, C2 ,所以2 2 2y1 X. 1 X =-(C ox S S i, r即(Xe = 丁(CoS X Sin X e ).2 29∙求方程y'' -y' -2y=3e^在x=0处与直线^X相切的解.解：特征方程r 2 —r _2=0有两个实根r 1=-1,r 2=2,故对应的齐次方程的通解为Y =c 1e* ■ c 2e 2x ,又因为‘ --1是特征方程的单根，故可方程的特解为*Xy = AXe _代入原方程可解得 A=-I ,故原方程的通解为_x2x_xy = c 1e _ ■ c 2e—xe _ , (1)由已知在X =O 处与直线y =X 相切，则y(0)= 0, y (0) =1 ,又X2 XXXy = -c 1 e ^ - 2c 2e-e ^ ■ Xe 一， (2)将y(0) =0, y(0) =1分别代入(1)，( 2)式中得2可解得c 1 , c 2 32 2所以，所求的解为 y--—e -Xe3 310.设函数y(x)的二阶导函数连续且 y'(0)=0,试由方程y(x)=1 1 ∙ y (t)-2y(t) 6t e 」d t3占确定此函数.1解:方程两边对X 求导得y (x) = —[ —y ∙(x) — 2 y(x)亠6xe 」],即y 亠3 y 亠2 y = 6xe 」 (1)3 它的特征方程r 2 3r ∙2 =0有两个相异的实根 r 1 =-1,r 2 =-2,故方程(1)对应的齐次方程的通解是Y ^C I e ^ ■ c 2e^x又• = -1是特征方程的单根，故方程(1)的特解可设为*-K 2y =X(AX B)e (AX Bx) =e将其代入方程(1),可解得A=3, B=—6 ,从而特解为y =(3x 2—6x)e 」，方程(1)的 通解为_V2 X2 _Vy = c 1e C 2e(3 X - 6x)e ,…⑵1由 y(x) =1— ；［ —y (t) —2y(t) 6te 丄］dt 得 y(0) =1 ,又 3 •V2 Yy2 __x^=-C I e —2c 2e (6 x —6)e—(3 X —6x)e ,… ⑶c 1 c 2 = 0 c 1 2C 2 - -2由y(0) =1,y(0) =0 及(2),(3)式可得G c 2 =1 G 亠 2c 2 - -6X2 X2Xy =8J7e 一 (3x -6x)e 一即由所给方程确定的函数为y(x^8e^ -7e-x (3χ6 _6x)e 」11. 一质点徐徐地沉入液体， 的运动规律.解：由题设条件与牛顿第二定律有习题10∙41.某公司办公用品的月平均成本 C 与公司雇员人数 X 有如下关系:C ' =C 2e^-2C6m g2 •因而有 kd 2sm —7 = mg dt -k 空 （k 为比例系数） dt 2d S k ds即 g,…⑴ dt m dt这是一个二阶线性非齐次方程，它的特征方程 kr = 0有两个不相等的实根 mk r =0, r ,它对应的齐次方程的通解m c 2 e k tm,又因∙ =0特征方程的单根，故 可设特解为S =At ,代入方程（1）可得A mg kk ,故方程（1）的通解为 c 1 c 2e m mg t. k且 s _ _kc 2e mkηm mg,又开始沉入时即kt=0 时,s = 0, ds = 0 ,将其代入上两式可解得dtC1C22m g S 厂 k2m g2kmg t.k故方程（1）的满足已知条件y(0) =1, y (0) =0 的特解为 当沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求质点且C（0）=1,求C（X）.解：方程C ∙ = C 2e* _2C 可变形为:C 2C =e~ C=这是：• = 2的伯努利方程,令 Z -C I --C J ,方程可化为：Z •一2Z ,这是一阶非齐次线性微分方程且P(X)= -2 ,Q(x) = _e —,其通解为：= e 2x (1e~x dx m) =1e3311(为了与成本C 区别，这里的任意常数用 m 表示),于是 e 」 me 2x ,由已知C(O)=I ,可C 3其中a , b 为正的已知常数，若R o) =0, S (0) =S(购买成本)，求R(t)与S (t ).解：先解一阶线性方程 S - _bS ,求出S(t),分离变量得：竺-_bdt ,积分得 ^C I e^tSS(0) = S 0 ,可得C 1 = S 0 ,所以S(t) = S 0M ,将S(t) = S 0/ 代入所给方程—e bt ,积分得:R(t) — e bt C 2,由已知条件R(0) =0得C ? SCbS3.设D=D(t)为国民债务，Y=Y(t)为国民收入，它们满足如下的关系:D' R Y +P , Y' ="Y其中：■, ^-,为正已知常数. (1)若 D(O)=D 0,Y(0)=Y °,求 D(t)和 Y(t);⑵求极限Iim D°tτ 乂 丫⑴解：(1)先解方程Y= Y,求出Y(t)；分离变量得：也 =dt ,积分得Y=C 1e t ,由Y(O)=Y O 得YC l =丫0 ,所以 Y(t) =Λe t ,将 Y(t) =Y °e t 代入D 丄〉丫「中得：D =〉Y °e t 「，积分得 O(Y O Y QG Y OD -e ,-C ?,由 D(O)=D O 得 C^D O,所以Z =e^-2dx-Jdx.X ∣~i'2x .3x((-e 一)edx m) = e ( -e~ dx m) 得:m =2,从而 1=1e js 2e 2x3 C 333x1 2eX3e2.设R=R(t)为小汽车的运行成本, 3e x,所以 C(X)=FS=S(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程: aR'-,S ' --bS, S由已知条件 所以R(t)=a bS。