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3.3.1 单调性学习目标：1.了解函数的单调性与导数的关系． 2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法，会求函数的单调区间．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )2.一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上1．判断正误：(1)函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则函数f (x )在定义域上单调递增．( ) (2)f (x )在区间(a ，b )上是增函数，则f ′(x )一定大于零．( )(3)若f (x )＝1x (x ≠0)，则f ′(x )＝－1x2＜0，所以f (x )是单调减函数．( )【解析】 (1)×.反例：f (x )＝－1x ，f ′(x )＝1x2＞0，但f (x )在其定义域上不是增函数．(2)×.反例：f (x )＝x 3在(－1,1)上是增函数，但f ′(0)＝0.(3)×.f (x )＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在其定义域上不是减函数．【答案】 (1)× (2)× (3)×2．函数f (x )＝13x 3－x 的单调减区间是__________．【解析】 f ′(x )＝x 2－1，令f ′(x )＜0，即x 2－1＜0，得－1＜x ＜1，∴函数减区间(－1,1)． 【答案】 (－1,1)[合 作 探 究·攻 重 难](1)如图331，设f )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是________(填序号)．图331(2)已知函数y＝xf′(x)的图象如图332(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y ＝f(x)的图象大致是________(填序号).【导学号：95902215】图332[思路探究] (1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件．(2)根据y＝xf′(x)函数图象中所反映的f′(x)的符号，确定y＝f(x)的单调区间，确定y＝f(x)的图象．【自主解答】(1)①，②，③均有可能；对于④，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)由题图知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，∴当x＜－1时，函数y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，∴当－1＜x＜0时，函数y＝f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，∴当0＜x＜1时，函数y＝f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，∴当x＞1时，y＝f(x)单调递增．综上可知，③是y＝f(x)的大致图象．【答案】(1)④(2)③[规律方法]1．利用原函数图象可以判断导函数的正负，原函数的单调增区间即为应为f′(x)＞0的区间，原函数的减区间就是导函数应为f′(x)＜0的区间．2．利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间，导函数在x轴上方的区间就是原函数的增区间，导函数在x轴下方的区间就是原函数的减区间．[跟踪训练]1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数f′(x)图象如图333所示．。
第三课 导数及其应用[体系构建][题型探究]运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程．还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等．导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现．对于较为复杂的此类问题，一般要利用k ＝f ′(x 0)((x 0，f (x 0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解．求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程.[思路探究] 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解.【规范解答】 设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0.∵y ′＝3x 2－2，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2，∴切线方程为y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴切点为(1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，78，相应的切线斜率为k ＝1或k ＝－54.故所求切线方程为y －(－1)＝x －1或y －78＝－54·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y－1＝0.[跟踪训练]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值，并且它的图象与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，则函数f (x )的表达式为________.【导学号：95902257】【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－3，f ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－3，①1＋a ＋b ＋c ＝0.②∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝0.③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝2.∴f (x )＝x 3－3x 2＋2.【答案】 f (x )＝x 3－3x 2＋21x )＞0，f ′(x )＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点．2．求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f ′(x )＝0有无根，(2)f ′(x )＝0根的大小，(3)f ′(x )＝0的根是否在定义域内．另外当f ′(x )＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.3．已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f ′(x )＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f ′(x )＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围．已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．[思路探究] (1)求出f ′(x )，讨论f ′(x )＝0的根是否存在，求函数的单调区间； (2)根据题意有f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a 的取值范围．【规范解答】 (1)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a 3；当x ＞3a 3或x ＜－3a3时，f ′(x )＞0；当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数， 所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]．[跟踪训练]2．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：95902258】【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x)． 若x ＜0，则1－e x＞0，所以f ′(x )＜0； 若x ＞0，则1－e x＜0，所以f ′(x )＜0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )＞m 恒成立．即实数m 的取值范围是(－∞，2－e 2).1.2．求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．注意事项：(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． (2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．[思路探究] (1)利用f ′(1)＝3、f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0、f (1)＝4构建方程组求解； (2)令fx ＝0→列表→求极值和区间端点的函数值→比较大小→得最大值和最小值【规范解答】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：由表可知，函数y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值．(1)求c 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，求d 的取值范围.【导学号：95902259】【解】 (1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )有极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个实数解，从而Δ＝1－4c ＞0，∴c ＜14.(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2.∴ f (x )＝13x 3－12x2－2x ＋d .∵f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，当x ∈(－1,2]时，f ′(x )＜0，函数单调递减．∴x ＜0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值76＋d ， ∵x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，∴ 76＋d ＜16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)＞0，∴d ＜－7或d ＞1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).在含参数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0.(1)求a 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值. [思路探究] (1)求出函数f (x )的最小值用a 表示解方程可得a 的值；(2)构造函数g (x )＝f (x )－kx 2，分类讨论求其在[0，＋∞)的最大值，使其最大值≤0可得k 的取值范围，即得其最小值．【规范解答】 (1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)．f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，f (x )a ＝1. (2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln 2＞0，故k ≤0不合题意． 当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.g ′(x )＝x x ＋1－2kx ＝－x [2kx －－2kx ＋1.令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k2k＞－1.①当k ≥12时，1－2k2k≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立．故k ≥12符合题意．②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0，对于x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 时， g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立．故0＜k ＜12不合题意.综上，k 的最小值为12.[跟踪训练]4．设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a ＞0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝ f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值.【解】 (1)f ′(x )＝a e x－1a e x， 当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减．①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b;②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.[链接高考]1．曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程是__________.【导学号：95902260】【解析】 因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率k ＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.【答案】 y ＝x ＋12．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．【解析】 ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. 【答案】 1 3．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．【解析】 f ′(x )＝x －－x x －2＝－1x －2，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.【答案】 24．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902261】【解析】 因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a .【解】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0.又a >0，故b ＝2a 29＋3a.因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.列表如下：12从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2. 当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0， 从而g (t )在⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增． 因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3. 因此b 2>3a .。
