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22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课前预习1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）.当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，此时抛物线有最低点，即当x=0时，y取得最小值0 ；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时抛物线有最高点，即当x=0时，y取得最大值0 .|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.课堂练习知识点1 二次函数y=ax2的图象1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：（1）将表格中的空格补全；（2）这个二次函数的解析式为y=-1x2；2（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.解：（3）函数图象如图所示.知识点2 二次函数y=ax2的性质3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是m>2 .4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（ B ）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，4）5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ C ）A.它的图象是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）课时作业1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是y=-x2.2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）.当x= 0 时，函数有最大值0 ；当x ＞0时，y随x的增大而减小.3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（ C ）A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大C.它的图象关于y轴对称D.它的图象在第一、第三象限内4.已知A （-1，y ₁），B （-2，y ₂）都在二次函数y=x 2上，则y ₁，y ₂之间的大小关系是（ C ）A.y ₁>y ₂B.y ₁=y ₂C.y ₁<y ₂D.不能确定 5.二次函数y=ax 2（a ＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（ C ） A.（3，-4） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（4，3）6.如图，当ab ＞0时，函数y=ax 2与函数y=bx+a 的大致图象是（ C ）7.二次函数y=2x 2，y=-2x 2，y=12x 2的共同性质是（ B ） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大 8.已知函数y=（m+2）226m m x +-是关于x 的二次函数. （1）求m 的值；（2）当m 为何值时，函数图象的顶点为最低点？ （3）当m 为何值时，函数图象的顶点为最高点？ 解：（1）根据二次函数的定义得22026 2.m m m +≠+-=⎧⎨⎩，解得⎩⎨⎧-==.4,221m m ∴m 的值为2或-4；（2）当m=2时，抛物线的开口向上，函数有最小值，函数图象的顶点为最低点； （3）当m=-4时，抛物线的开口向下，函数有最大值，函数图象的顶点为最高点.9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x 2；②y=12x 2；③y=-x 2；④y=-12x 2.从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？解：列表如下描点、连线，函数图象如图所示a的绝对值相同，抛物线的形状相同；a的绝对值越大，开口越小.10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若2.解：∵AB=22∴BC=122∴点B的横坐标为2代入抛物线的解析式得y=2.∵AB∥x轴，∴点B与点C的纵坐标相同.∴OC=2，即圆的半径为2.由二次函数的对称性得，图中阴影部分的面积等于圆面积的14， 即S 阴影=14π×22=π.11.函数y=ax 2（a ≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b ）. （1）求a 和b 的值；（2）x 在什么范围时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？ （3）求抛物线y=ax 2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积. 解：（1）把点（1，b ）代入y=2x-3，得b=-1. ∴交点坐标为（1，-1）. 把（1，-1）代入y=ax 2，得a=-1. ∴a=-1，b=-1；（2）由（1）得y=-x 2，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大； （3）根据题意，得2,2.y x y ⎧=-⎨=-⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴两交点坐标分别为（-2），（-2）.故S △=12×。
二次函数y=ax2的图象导读：本文二次函数y=ax2的图象，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
教学设计示例1 课题：二次函数的图象教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象；2、根据图象观察、分析出二次函数的性质；3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质教学难点：渗透数形结合的数学思想方法教学用具：直尺、微机教学方法：谈话、探究式教学过程：1、列表、描点画出函数与的图象，引入新课例：画出函数与的图象解：列两个表x-3-2-112348 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8x -2-1-0.50.511.5284.520.50.524.58分别描点画图2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.（4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y 轴近，离y轴远.从列表中可以看出：如过点（2，2），而过点（2，8）也就是说，当x=2时，的图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.3、画出函数的图象与中的a都是正数，当a 我们看例2例2、画出函数的图象解：列表：x-3-2-1123y-9-4-1-1-4-9描点画图：4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质(1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数，，即，因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）(2)此图象仍然是关于y轴对称的(3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x 的增大而减小5、得出一般的规律一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线的开口向上，当a 6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数的性质，体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具，希望大家能自觉地应用.7、作业：习题13.6A组1、2B组1、2教学设计示例2课题：二次函数的图象第一课时一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生知道二次函数的意义；2．使学生会用描点法画出二次函数的图像，并结合的图像，初步理解抛物线及其有关概念。
（二）能力训练点1．进一步培养学生用描点法画函数图像的能力；2．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。
（三）德育渗透点通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。
（四）美育渗透点通过本节课的教学，渗透二次函数图像的对称美，曲线的平滑美。
二、学法引导教师采用引导发现法，观察法，讲解法本节的主要内容是理解二次函数的定义，知道二次函数解析式中字母的意思，在画的图像时，要知道图形是抛物线，是轴对称图形、列表时，自变量x的值的选取，应以0为中心，对称地选取两对（或三对）互为相反数，最好x取整数值。
三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：二次函数的意义及二次函数的图像的画法。
因为它们是研究二次函数的重要基础。
2．教学难点：正确画出二次函数的图像。
因为它的图像是一条曲线，画起来较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数的图像的具体形状和变化趋势，所以不易把握。
3．教学疑点：（1）；（2）的图像的反性质。
4．解决办法：（1）关于二次函数的定义，关键要注意：自变量的最高次数定义，二次项系数；（2）的图像和性质，不可死记硬背，要结合图像理解和掌握二次函数的几个主要特征，如开口方向，顶点坐标（或位置），对称轴，最大值最小值等。
四、教学步骤（一）教学过程首先，我们来看两个实验问题：（出示幻灯）1．圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式？这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培养他们的参与意识和自信心。
然后把答案写在黑板上留用。
2．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。
这个问题其实就是13.2中的例1，可由学生得出结论，若学生给出的是，再继续提问：你能否把函数关系式中的括号去掉？然后把所得的结论写在黑板上。
提问：比较与这两个函数，都是用自变量的几次式来表示的？用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以总结，板书：一般地，如果（a、b、c是常数，），那么，y叫做x的二次函数。
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？2．对于二次函数中的b和c可否为0？若b和c其一为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：；；，使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫．练习一：P108中1、2 口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因提问：根据我们所学知道，一次函数的图像是条直线，那么二次函数的图像又是什么样的呢？这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案．我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究．另一方面也使同学认识到研究问题要由简到繁的基本方法．所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图像方法与步骤，我们应怎样画二次函数的图像呢？可由学生先回答画函数图像的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．然后分步骤来研究这个图像的方法．（1）列表：①自变量x的取值范围是什么？②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好？③看，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有什么关系？学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数时，的值相同．④若选7个点画图，你准备怎样选？通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点，而且也使学生初步学会画二次函数图像时选点的技巧．（2）描点：①在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？②怎样画就可以了呢？答：x轴的正、负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以．通过这两个问题可培养学生的作图技巧．（2）连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线上？②我们应怎样连接这7个点？让学生先连一次试试，然后教师演示。
关于原点附近的变化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也可以．注意：我们所画的只是近似图像．接下来，让学生观察这个函数图像提问：1．函数的图像有什么特点？答：是轴对称图形．2．你是怎样判断函数的图像有上述特征的？这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：（1）观察图；（2）看列表；（3）直接根据解析式，看学生层次定讲解的深度．学生回答完上面的问题之后就可指出：函数的图像是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
实际上，二次函数的图像都是抛物线（板书）在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，不要深讲。
再结合图像指出：抛物线是开口向上的，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即（0，0）点。
关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的解释：从图像上直观得到：抛物线的顶点是图像的最低点：从解析式上看，当时，取得最小值0，（0，0）就是抛物线的顶点坐标。
（二）总结、扩展教师提问，学生思考回答：1．你能否说清二次函数的意义？注意总结：（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）自变量的最高次数是2。
2．二次函数的图像是什么形状的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？五、布置作业教材P114 1、2、3六、板书设计感谢阅读，希望能帮助您！。
