高三数学上学期期中(11月)试题 理(扫描版)(1)

2022—2023学年高三上学期期中检测试题数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|280A x x x =--≤，{}1,0,2,4,5,7,8B =-，则A B = （）A.{}1,0,4- B.{}1,0,2,4-C.{}0,4,7,8 D.{}4,5,7,8【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A ，再去求A B ⋂即可解决【详解】由2280x x --≤，得24x -≤≤，则{}{}{}1,0,2,4,5,7,81,0,2,4|24A B x x -=⋂=-≤≤⋂-故选：B.2.已知命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<，则命题p 的否定为（）A.,(0,1)∀∈x y ，2x y +≥B.,(0,1)∀∉x y ，2x y +≥C.00,(0,1)∃∉x y ，002+≥x y D.00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y 【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，再否定结论即可.【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<的否定为“()0000,0,1,2x y x y ∃∈+≥”.故选：D【点睛】本题考查全称命题的否定的求解，注意只否定结论即可，属简单题.3.设命题p ：关于x 的不等式210x ax ++≥对一切R x ∈恒成立，命题q ：对数函数()43log a y x -=在()0,∞+上单调递减，那么p 是q 的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】p 为真，利用判别式小于0求解a 的范围；q 为真时，由对数函数的单调性求解a 的范围，然后利用充分必要条件的判定得答案.【详解】关于x 的不等式210x ax ++>对一切R x ∈恒成立，则240a -<，即22a -<<，∴p 为真：22a -<<；对数函数()43log a y x -=在()0,∞+上单调递减，则0431a <-<，即413a <<.∴q 为真：413a <<.∵41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,2-∴p 是q 的必要不充分条件.故选：C.4.已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（）A .9B.－9C.212 D.214-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-,∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-；当5836a a =⎧⎨=-⎩时,3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-.故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.5.垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中a ，b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg 20.3≈）A .20个月B.40个月C.28个月D.32个月【答案】D 【解析】【分析】根据题意先确定,a b 的值，令()1v t =，求得时间t .【详解】依题意()()61260.05120.1v a b v a b ⎧=⋅=⎪⎨=⋅=⎪⎩，解得160.0252a b =⎧⎪⎨⎪=⎩，故()60.0252t v t =⨯.令()60.02521t v t =⨯=，得6240t=，即2log 406t=，则212lg 2120.36log 406632lg 20.3t ⎛⎫++⨯⎛⎫==⨯≈⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过32个月.故选：D.6.函数()2cos 1x x e xf x e =-的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得正确结论．【详解】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，当0x ≠时，2e cos cos ()e 1e ex x xxx xf x -==--，cos cos ()()e e e ex xx x x xf x f x ----===---（），所以()f x 为奇函数，故排除B 、D 选项.当02x π<<时，cos 0x >，e e x x ->，所以cos ()0e e xx x f x -=>-，排除C ，故选：A ．7.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.34-B.34C.1-D.1【答案】B 【解析】【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】π2sin()4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.8.已知函数()()21ln 2145f x x x x =-+--+，则()1f -、()2e f 、()e2f 的大小关系是（）A.()()()e212e f f f -<< B.()()()2e1e 2f f f -<<C.()()()2ee12f f f <-< D.()()()e22e 1f f f <<-【答案】A【解析】【分析】分析可知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，可得出()()15f f -=，分析函数()f x 在()2,+∞上的单调性，构造函数()ln xg x x=，利用导数分析函数()g x 在(]0,e 上的单调性，可得出2e 、e 2的大小，并比较e 2与5的大小，结合函数()f x 的单调性可得出结论.【详解】因为()()()()2211ln 21ln 214521f x x x x x x =-+-=-+--+-+，对任意的()(),22,x -∞⋃∈+∞，()()()()()()22114ln 21ln 212121f x x x f x x x -=-+-=-+-=-+-+，所以，函数()f x 的图象关于直线2x =对称，则()()15f f -=，当2x >时，()()()21ln 121f x x x =---+，因为二次函数()221y x =-+在()2,+∞上为增函数，且()2210y x =-+>，所以，函数()ln 1y x =-、()2121y x =--+在()2,+∞上为增函数，所以，函数()f x 在()2,+∞上为增函数，令()ln x g x x=，其中0e x <≤，则()1ln 0xg x x -'=≥，故函数()g x 在(]0,e 上为减函数，所以，()()2e g g <，即ln 2ln e2e<，所以，e 2e ln 2ln 22ln e ln e =<=，所以，2e e 2>，又因为5e2225>=>，即2e e 25>>，所以，()()()()2ee251f f f f >>=-.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知实数x ，y 满足x y a a <（0<a <1），则下列关系式恒成立的有（）A.33x y> B.11x y< C.ln(1)0x y -+> D.sin sin x y>【答案】AC 【解析】【分析】先根据题干条件，得出x y >，再进行判断，BD 选项可以通过举出反例进行证明，AC 选项可以通过函数的单调性进行证明.【详解】因为01a <<，所以()xf x a =是单调递减函数，因为x y a a <，所以x y >，而()3g x x =是定义在R 上单调递增函数，故33x y >，A 正确；当1x =，=2y -时，满足x y >，此时11xy>，故B 错误；因为x y >，所以11x y -+>，所以ln(1)0x y -+>，C 正确；当πx =，π2y =时，sin π=0，πsin 12=，所以sin sin x y <，D 错误.故选：AC10.将函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度后得到的部分图象如图所示，有下列四个结论：①()102f =；②()y f x =在[]0,π上有两个零点；③()f x 的图象关于直线π6x =-对称；④()f x 在区间2π8π,33⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，其中所有正确的结论是（）A.①B.②C.③D.④【答案】BD 【解析】【分析】根据平移后的函数图象，结合函数周期以及特殊点求得参数,ωϕ，可得()f x 解析式，由此计算()0f判断①，求出()y f x =-在[]0,π上的零点，判断②，将π6x =-代入函数解析式验证，判断③，根据正弦函数的单调性可判断④，即得答案.【详解】将函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为：()π2sin[()]2f x x ωϕ=++，由图像知7ππ2π1)4π,4π2664(T ω-∴====,将点π(,2)6代入()f x 表达式中，得1ππ22sin[()]262ϕ=++，即π1sin()3ϕ=+，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，则()1π2sin()26f x x =+；故()π02sin16f ==，故①错误；()y f x =即1π1π2sin()sin()26262x x +=+=，由[]0,π得1ππ2π[,2663x +∈，故1ππ263x +=或2π3，即π3x =或π，即()y f x =-在[]0,π上有两个零点，②正确；将π6x =-代入()1π2sin(26f x x =+，得ππ(2sin2612f -=≠±，即()f x 的图象不关于直线π6x =-对称，③错误；当2π8π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1ππ3π[,]2622x +∈，由于正弦函数sin y x =在π3π[,]22上单调递减，故()f x 在区间2π8π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，④正确，故选：BD11.已知函数()322f x x ax x =--，下列命题正确的是（）A.若1x =是函数()f x 的极值点，则12a =B.若1x =是函数()f x 的极值点，则()f x 在[]0,2x ∈上的最小值为32-C.若()f x 在()1,2上单调递减，则52a ≥D.若()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，则1a ≥-【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由()01f '=可求出a 的值，对于B ，由选项A ，可求得()f x ，然后利用导数可求出()f x 在[]0,2x ∈上的最小值，对于C ，由题意可得()0f x '≤，可求出a 的范围，对于D ，将问题转化为2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，构造函数2()ln h x x x x=--，再利用导数求出其最大值即可【详解】对于A ，由()322f x x ax x =--，得()2322f x x ax '=--，因为1x =是函数()f x 的极值点，所以(1)3220f a '=--=，得12a =，经检验1x =是函数()f x 的极小值点，所以A 正确，对于B ，由选项A ，可知()32122f x x x x =--，则()232f x x x '=--，由()0f x '>，得23x <-或1x >，由()0f x '<，得213x -<<，所以()f x 在2(,)3-∞-和(1,)+∞递增，在2(,1)3-上递减，所以当[]0,2x ∈时，1x =时，()f x 取得最小值()1311222f =--=-，所以B 正确，对于C ，因为()f x 在()1,2上单调递减，所以()0f x '≤，即()23220f x x ax '=--≤，得312a x x≥-在()1,2上恒成立，令31()((1,2))2g x x x x =-∈，则231()02g x x'=+>，所以()g x 在()1,2单调递增，所以(1)()(2)g g x g <<，即15()22g x <<，所以52a ≥，所以C 正确，对于D ，由()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，得232ln 2x x x ax x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，即2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，令2()ln h x x x x =--，[]1,2x ∈，则222122()10x x h x x x x -+'=-+=>，所以()h x []1,2x ∈上单调递增，所以max ()(2)2ln 211ln 2h x h ==--=-，所以1ln 2a ≥-，所以D 错误，故选：ABC12.对于给定数列{}n c ，如果存在实数,t m ，对于任意的*N n ∈均有1n n c tc m +=+成立，那么我们称数列{}n c 为“M 数列”，则下列说法正确的是（）A.数列{}21n +是“M 数列”B.数列{}21n+不是“M 数列”C.若数列{}n a 为“M 数列”，则数列{}1n n a a ++是“M 数列”D.若数列{}n b 满足11b =，123nn n b b p ++=⨯，则数列{}n b 不是“M 数列”【答案】AC 【解析】【分析】根据“M 数列”的定义，判断一个数列是不是“M 数列”，即判断是否存在实数,t m ，对于任意的*N n ∈均有1n n c tc m +=+成立，由此一一判断各选项，即得答案.【详解】对于选项A ，由“M 数列”定义，得()2()2111n t n m ++=++，即()2130n t t m -+--=，存在1,2t m ==对于任意的N n *∈都成立，故A 正确；对于选项B ，由“M 数列”定义，得()12121n n t m ++=++，即()2210nt t m -⋅++-=，存在2,1t m ==-，对于任意的N n *∈都成立，即数列{}21n+是“M 数列”，故选项B 错误；对于选项C ，若数列{}n a 为“M 数列”，则121,n n n n a ta m a ta m +++=+=+，所以121()2n n n n a a t a a m ++++=++，所以数列{}1n n a a ++是“M 数列”，故C 正确；对于选项D ，若数列{}n b 是“M 数列”，存在实数,t m ，对于任意的*N n ∈，有1n n b tb m +=+，可得121()2n n n n b b t b b m ++++=++，即123232n n p t p m +⋅=⨯⨯+，故()23320np t m -+=，对于任意的N n *∈都成立，则2(3)020p t m -=⎧⎨=⎩，所以3,0t m ==或0p m ==，当3,0t m ==时，13n n b b +=，符合“M 数列”定义，此时数列{}n b 是“M 数列”；当0p m ==时，1n n b b +=-，符合“M 数列”定义，此时数列{}n b 是“M 数列”，D 错误，故选：AC【点睛】关键点点睛：判断一个数列是不是“M 数列”，关键是要理解其定义的含义，如果判断数列是“M 数列”，就要求出实数,t m ，对于任意的*N n ∈均有1n n c tc m +=+成立，如果不是“M 数列”，说明其不符合定义即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2,0()2,0x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若f [f (-1)]=4，且a >-1，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用分段函数的性质求解.【详解】解：因为函数2,0()2,0x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，所以(1)1f a -=+又因为a >-1，所以(1)10f a -=+>，所以[]()12(1)1242a f f f a +-=+===，则12a +=，解得1a =，故答案为：1.14.已知ABC 的内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，4a =，7cos 225A =-，则ABC 外接圆半径为______．【答案】522.5【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式化简已知，结合sin 0A >，可求sin A 的值，然后利用正弦定理即可求出ABC 外接圆的半径【详解】由7cos 225A =-得2712sin 25A -=-，又()0,πA ∈所以sin 0A >，4sin 5A =.则由正弦定理可得ABC 外接圆半径44542sin 225R A ===⨯.故答案为：52.15.已知数列{}()*Nn c n ∈是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若1c 、数列{}2nc 的第2项、数列{}2n c 的第5项恰好构成等比数列，则数列{}n c 的通项公式为______．【答案】21n c n =-【解析】【分析】通过等差数列的通项公式用d 分别表示{}n c ，{}2n c ，{}2n c ，再通过等比中项的性质列出()()2131124d d +=⨯+即可求解.【详解】设等差数列{}n c 的公差为()0d d >，所以()()1111n n d n d c c =+-=+-，所以()2121n d c n =+-，()2211n d c n =+-，又因为1c 、数列{}2n c 的第2项、数列{}2n c 的第5项恰好构成等比数列，即113124d d ++，，构成等比数列，所以()()2131124d d +=⨯+，解得20d d ==，（舍去），所以21n c n =-.故答案为：21n c n =-.16.已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得()()00f x g x =，()()00''f x g x =，联立后把b 用含有a 的代数式表示，再由导数求最值得答案．【详解】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b 的最大值是1144b e elne ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故答案为【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|(2)(31)0}A x x x a =---<，函数()22lg 1a xy x a -=-+的定义域为B ．（1）若2a =求集合B ；（2）若A B =，求实数a 的值．【答案】（1）{|45}B x x =<<；（2）1a =-．【解析】【分析】（1）对数的真数大于零；（2）按2与31a +的大小分类讨论求解.【详解】（Ⅰ）由405xx ->-，得45x <<，故集合{|45}B x x =<<；（Ⅱ）由题可知，2(2,1)B a a =+①若231a <+，即13a >时，(2,31)A a =+，又因为A B =，所以222131a a a =⎧⎨+=+⎩，无解；②若231a =+时，显然不合题意；③若231a >+，即13a <时，(31,2)A a =+，又因为A B =，所以223112a a a =+⎧⎨+=⎩，解得1a =-．综上所述，1a =-．【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算.求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、tan x 中2x k ππ≠+.18.如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 2b A c a =-.（1）求角B ；（2）若2sin sinC sin A B ⋅=，2AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）π3B =（2）4+2 3.【解析】【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到ABC 为等边三角形，在ADC △中，利用余弦定理表达出2=88cos x θ-，然后根据三角形面积公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A=C A ⋅-,所以()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A+A=A B A B A B⋅+=+即sin 2sin cos A=A B⋅()10,π,sin 0cos 2A AB ∈∴≠⇒= ,()π0,π3B B ∈∴=【小问2详解】由2sin sin sin A C =B ⋅2b =ac∴由余弦定理得222222222cos b a c ac B a c ac a c b =+-=+-=+-，222+2a c =b ∴()222222+2+20a c =a c ac =a cb =∴---a c∴=ABC ∴ 为等边三角形，设=AC =x ADC θ∠，，在ADC △中，24+4cos 222x =θ-⨯⨯，解得2=88cos x θ-2++2sin 88cos +2sin 44ABC ACD ABCD S =S S =x =θθθ- 四边形（）π4sin 3=θ-（）当ππ=32θ-，即5π6=θ时，S有最大值19.已知数列{}n a 的前项和为n S ，若()12n n nS n S +=+，且11a =.（1）求{}n a 的通项公式;（2）设()2112n n n b n a a -=≥，11b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证32n T <.【答案】（1）n a n =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知等式可得12n n S n S n++=，采用累乘法可求得当2n ≥时的n S ，利用1n n n a S S -=-可求得n a ，检验首项后可得结论；（2）由（1）可得2n ≥时n b 的通项，由()()112122n b n n n n =<--，采用裂项相消法可求得11112n T n ⎛⎫<+- ⎪⎝⎭，由10n>可得结论.【小问1详解】由()12n n nS n S +=+得：12n n S n S n++=，则当2n ≥时，()123211232111143123212n n n n n n n n n S S S S S S n n n S S S S S S n n n -----++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---，又111S a ==，()12n n n S +∴=，()()11122n n n n n n n a S S n -+-∴=-=-=，经检验：11a =满足n a n =；()n a n n *∴=∈N .【小问2详解】由（1）得：当2n ≥时，()()11111212221n b n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪---⎝⎭；123111111111112223341n n n T b b b b b n n -⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅++<+-+-++⋅⋅⋅+- ⎪-⎝⎭11112n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n >，111n∴-<，1113111222n T n ⎛⎫∴<+-<+= ⎪⎝⎭.20.已知函数()2πcos sin 34f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求()f x 在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（3）将函数()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数()g x 的图象，求函数()4y g x =-在[]0,2π上所有零点之和．【答案】（1）()511,1212ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）最小值为12-，最大值为14（3）13π3【解析】【分析】（1）先将函数()f x 化简成一个三角函数，再根据单调区间公式求得即可；（2）先由ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出整体角的取值范围，再求得()f x 的最大值和最小值；（3）先根据图形变换求出()4y g x =-，在求其零点得出结果.【小问1详解】函数()22π1cos sin sin cos cos 34224f x x x x x x x ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭1πsin 223x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z 解得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，所以函数的单调递减区间为()511,1212ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，【小问2详解】由（1）得()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,366x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()11,24f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当π12x =-时，函数()f x 的取最小值，最小值为12-，当π4x =时，函数()f x 的取最大值，最大值为14.【小问3详解】将函数的图象()f x 向左平移π3个单位得到函数()1ππ1πsin 2sin 223323g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，令()304y g x =-=，[]0,2πx ∈，即1πsin 2234x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，整理得πsin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ22π33+=+x k 或()2π2π3k k +∈Z ，当0k =时，ππ233x +=或2π3，即0x =，π6；当1k =时，πx =，7π6；当2k =时，2πx =；故所有零点之和为π7π13π0π2π663++++=．21.小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）【答案】（1）第三年；（2）第5年.【解析】【分析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣＜x ＜，∵2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立，∴小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.22.已知函数2()2ln 21,f x x ax x =-+-()()()23g x f x ax a R =-+∈.（1）若()11f =-，求函数()y f x =的单调增区间；（2）若关于x 的不等式()0g x ≤恒成立，求整数a 的最小值；（3）当01a <<时，函数()g x 恰有两个不同的零点12,x x ，且12x x <，求证：124733x x a+>.【答案】（1）单调增区间为()0,1（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出2a =，再利用导数求出()f x 的单调增区间；（2）先利用分离参数法得到()22ln 12x x a x x+++≥对()0,x ∈+∞恒成立.令()()22ln 12x x h x x x++=+，求导得到()()()()22212ln 2x h x x x xx '-++=+，再令()2ln x x x ϕ=+，判断出01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()00x ϕ=，得到()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，求出()max 01h x x =，得到()011,2a x ∈≥.由a Z ∈，求出整数a 的最小值；（3）用分析法证明：当01a <<时，把题意转化为只需证122x x a+>.先整理化简得到()()()()221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，只需证()()()()2212121212122ln ln x x x x x x x x x x -+-+>-+-.令()120,1x t x =∈，构造函数()()21ln 1t G t t t-=-+，利用导数证明出()21ln 1t t t -<+.即证.【小问1详解】当()11f =-时，()1211f a -=-+-=-，所以2a =，则()22ln 221f x x x x =-+-，定义域为()0,∞+.令()()()2121'0x x f x x--+=>，解得：01x <<.所以()f x 的单调增区间为()0,1.【小问2详解】依题意()()230g x f x ax =-+≤对()0,x ∈+∞恒成立，等价于()22ln 12x x a x x+++≥对()0,x ∈+∞恒成立.令()()22ln 12x x h x x x++=+，则()()()()22212ln 2x h x x x x x '-++=+令()2ln x x x ϕ=+在()0,∞+上是增函数，()110ϕ=>，()11112ln 14ln 202222ϕ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭所以01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()00x ϕ=即002ln 0x x +=对()00,x x ∀∈，()0x ϕ<，()0h x '>，所以()h x 在()00,x 上单调递增；对()0,x x ∞∀∈+，()0x ϕ>，()0h x '<，所以()h x 在()0,x +∞上单调递减.所以()()()()()0000max 000002ln 12122x x x h x h x x x x x x +++====++.所以()011,2a x ∈≥.又a Z ∈，所以整数a 的最小值2【小问3详解】当01a <<时，由（2）知()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减且10g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()g x →-∞；依题意存在1x ，()20,x ∈+∞使得()()12g x g x =已知12x x <可得1210x x a<<<要证124733x x a+>成立，只需证122x x a +>因为12,x x 是()g x 的零点，所以()()()()21111222221110201112lnx ax a x g x g x lnx ax a x ⎧⎧=+-+⎪⎪=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=+-+⎪⎪⎩⎩，两式相减得：()()221212121ln ln (1)2x x a x x a x x -=-+--即()()()()221212121222ln ln xx x x a x x x x -+-=-+-只需证()()()()2212121212122ln ln xx x x x x x x x x -+-+>-+-又因为12x x <只需证()()22221121212122ln2x x x x x x x x x x -++<-+-即证()1212122ln x x x x x x -<+令()120,1x t x =∈则()()21ln 1t G t t t -=-+，所以()()()22101t G t t t -'=>+，所以()G t 在()0,1增函数，所以()()10G t G <=即()21ln 1t t t -<+.即()1212122lnx x x x x x -<+成立.所以原不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数证明不等式．-21-。

高三学年上学期阶段质量检测数学试题（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合}|{2x y y M ==，}2|{22=+=y x y N ，则N M =（ ） A. )}1,1(),1,1{(- B. }1{ C. ]1,0[ D. ]2,0[2．已知i 为虚数单位，复数2i 12iz +=-，则 | z | +1z＝( )A.iB.1i -C.1i +D.i -3．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形面积为 ( )A.112 B . 14 C. 13 D. 7124．已知(1,2),(2,3)a b =--=-，当ka b +与2a b +平行时，k 的值为( )A. 14 B ．－14 C ．－12 D.125.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A. ①④②③ B ．①④③② C ．④①②③D ．③④②①6．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，若()6f x f π⎛⎫≤∈⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则ϕ等于 （ ） A.6πB.56πC.76πD.116π7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ） A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A.16π B.4π C.8πD.2π9．数列{}n a 满足221221,1,(1sin )4cos 22n n n n a a a a ππ+===++，则910,a a 的大小关系为（ ）A.910a a >B.910a a =C.910a a <D.大小关系不确定10．已知函数()f x 在R 上满足2(1)2(1)31,f x f x x x +=--++则曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程是（ ）A.320x y --=B.320x y +-=C.10x y -+=D.20x y --=11．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且1202,2x x <<>，则1ba -的取值范围是 ( ) A.)31,1(-- B .]31,3(-- C.)21,3(-- D.]21,3(--.12．已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足：0)()('<+x f x f ，则122)(+--m m em m f 与)1(f （e 是自然对数的底数）的大小关系是（ ） A. 122)(+--m m em m f >)1(f B.122)(+--m m em m f <)1(f C.122)(+--m m em m f ≥)1(f D. 不确定二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知321()(4)1(0,0)3f x x ax b x a b =++-+>>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为________。

卜人入州八九几市潮王学校夫子2021届高三数学上学期11月份期中检测试题理本卷须知：2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在套本套试卷上无效。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1．集合{}{}02,1A x x B x x =≤≤=<，那么()R A C B ⋂=A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤≤D ．{}x x 0<<22．函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,2π上的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．a ，b 均为单位向量，假设它们的夹角为60°，那么2a b +=AB CD ．44．以下说法正确的选项是 “21x=，那么1x ≠“21x =，那么1x =〞B ．“220x x --=〞的一个必要不充分条件是“1x =-〞．“0x R ∃∈，使得20010x x ++<〞的否认是“x R ∀∈，均有211x x ++>〞“假设x y =，那么cos cos x y =5．函数()log 18a y x =-+的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()f x 的图象上，那么12f ⎛⎫⎪⎝⎭=A ．1B ．12C ．14D ．186．假设奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当()0,1x ∈时，()132x f x =-，那么()3log 54f =A ．1-B ．2-C ．1D ．27．6sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．23-B ．13-C ．23D ．138．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912216,42a a a =+=，那么数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项的和为A ．1920B ．2021C ．2122D ．22239．△ABC 为正三角形，D 是BC 的中点，E 是AC 的靠近A 的三等分点，假设AB AD BE λμ=+，那么λμ+A ．14B ．14-C ．34D ．34-10．将函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移6πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，假设()y g x =在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，那么ω的最大值为A ．3B ．2C ．32D ．3411．函数()()()2sin 0,f x x x R ωϕω=+>∈的局部图象如图，那么图中阴影局部的面积为A ．12B ．14 C ．234- D ．232- 12．函数()y f x =，假设给定非零实数a ，对于任意实数x M∈，总存在非零常数T ，使得()()afx f x T =+恒成立，那么称函数()y f x =是M 的a()y f x =是[)0,+∞上的2级2类周期函数，且当[)0,2x ∈时，()()21,01,2,12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩，又函数()212ln 2g x x x x m =-+++．假设[)()126,8,0,x x ∃∈∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，那么实数m 的取值范围是A ．11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13．向量()()1,1,1,0a b =-=-，假设a b λ-与2a b +一共线，那么实数λ=_____．14．曲线()3sin 1x f x e x x =+-+在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为α，那么tan 2α的值是____________. 15．设函数()f x 在(0，+∞)上可导，其导函数为()f x '，假设()2ln ln f x x x =-，那么()1f '=_____． 16．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，假设()2a c BA BC cCB CA -=，且2BA BC -=，那么ABC ∆面积的最大值为________．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17．(10分) 数列{}n a 是正项等比数列，且1232,12a a a =+=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)求12ln ln ln n a a a +++…．18．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，2,90,AB AC ADC CAB ==∠=∠=设=ACD θ∠．(1)假设=60θ，求BD 的长度： (2)假设=30ADB ∠，求tan θ． 19．(12分) 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，有3,,n n a S 成等差数列．(1)求证：数列{}3n S +为等比数列；(2)设nn b na n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．(12分)函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+-<，与其图象的对称轴6x π=相邻()f x 的一个零点为512π．(1)判断函数()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；(2)设ABC∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c，其中()1c f C ==．假设向量()(1,sin ,sin ,,m A n B m n a b ==⊥，且，求．21．(12分)某同学大学毕业后，决定利用所学专业进展自主创业，经过场调查，消费一小型电子产品需投入固定本钱2万元，每消费x 万件，需另投入流动本钱()Cx 万元，当年产量小于7万件时，()2123C x x x =+〔万元〕；当年产量不小于7万件时，()3=6ln 17e C x x x x++-(万元)．每件产品售价为6元，假假设该同学消费的产品当年全部售完．(1)写出年利润P(x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (注：年利润=年销售收入－固定本钱－流动本钱)(2)当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大最大年利润是多少 (取320e≈)22．(12分) 函数()()21ln 02f x x x a x a =-+>． (1)讨论()f x 的单调性；(2)假设()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且不等式()120f x mx +≥恒成立，务实数m 的取值范围．。

2023届河北省唐山市开滦第一中学高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}32A x x =∈-<<Z ，{}2340B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}2,1,0--C ．{}32x x -<<D ．{}21x x -<<【答案】B【分析】先化简集合A ，B ，再求二者交集【详解】{}{}322,1,0,1A x Z x =∈-<<=--，{}{}234041B x x x x x =+-<=-<<，则{}2,1,0A B =--． 故选：B ． 2．已知复数21iz =-，复数z 是复数z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】C【分析】根据复数的运算性质，得到2z z z ⋅=，即可求解.【详解】根据复数的运算性质，可得2222221i 1i z z z ⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪--⎝⎭. 故选；C ．3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ A ．58 B ．88 C ．143 D ．176【答案】B【详解】试题分析：等差数列前n 项和公式1()2n n n a a s +=，481111111()11()111688222a a a a s ++⨯====． 【解析】数列前n 项和公式．4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16C ．20D ．24【答案】A【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A ：出现的点数为质数，事件B ：出现的点数不小于3，则事件A 与事件B （ ） A ．相互独立 B ．对立C ．互斥但不对立D ．概率相等【答案】A【分析】根据()()()P AB P A P B =即可得到答案。

“标准化良好行为企业”工作总结“标准化良好行为企业”工作总结I、工作目标和任务作为一个标准化良好行为企业的工作负责人，我的工作目标和任务是全面推进企业的标准化建设，提高企业管理水平，促进企业可持续发展。

具体工作任务包括以下方面：1. 加强标准化意识，制定企业标准化管理制度，保障标准化管理的落实。

2. 对企业各项业务展开标准化研究，拓宽公司标准化知识储备。

3. 推进企业各类标准、规程、政策、法规等体系化建设，保证企业标准化管理的有效实施。

4. 改进标准化管理的质量，完善标准考核体系，建立标准化管理之间的互通机制。

5. 深入开展标准化宣传，提高员工标准化意识和技能，提升标准化管理水平。

II、工作进展和完成情况在全面贯彻落实上述工作目标和任务的过程中，我注意到了一些重要进展和情况，具体如下：1. 加强标准化意识，制定企业标准化管理制度，保障标准化管理的落实：我们改进了标准化体系的建设，对标准化制度的制定和执行进行了持续深入的研究和探讨，制定了一些有效的标准化考核办法，使得标准化的实施更加完善，为标准化管理奠定了基础。

2. 对企业各项业务展开标准化研究，拓宽公司标准化知识储备：我们在标准化研究中拓宽了视野，参加了许多标准化会议、论坛等，通过专业培训和学习，积极提高员工的标准化知识水平；建立标准化研发室，保证标准化体系的完善和创新。

3. 推进企业各类标准、规程、政策、法规等体系化建设，保证企业标准化管理的有效实施：我们积极倡导扩大标准化体系建设，加强标准与规则贯通，把标准体系与法律政策贯通，把其他管理体系与标准体系贯通，得到了非常显著的效果。

4. 改进标准化管理的质量，完善标准考核体系，建立标准化管理之间的互通机制：我们通过大量的调研和分析，在现有基础上完善标准化管理和评审规范，同时针对标准化管理的缺陷提出建议，建立了标准化管理之间的互通机制，确保公司标准化管理的纵深推进。

5. 深入开展标准化宣传，提高员工标准化意识和技能，提升标准化管理水平：我们积极倡导员工标准化意识的提高，开展多样化的标准化学习和培训，普及标准化知识，树立标准化意识；加强标准化宣传，表彰标准化工作中涌现出的标准化模范和先进典型。

2021年11月山东省青岛市普通高中2022届高三上学期11月期中考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

满分150分,考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答案卡一并交回。

第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)．1．已知集合()(){}21,0,1,2,3,lg 5A B x y x =-==-,则A B ⋂=A. {}0,1B. {}1,1-C. {}1,0,1-D. {}1,0,1,2- 2．已知命题2:,230p x R x x ∀∈++≠,则命题p 的否定是A ．2,230x R x x ∃∈++>B ．2,230x R x x ∀∈++≤C ．2,230x R x x ∃∈++=D ．2,230x R x x ∀∈++=3．若复数z 满足235z i --=,则复数z 的共轭复数不可能为A ．2+8iB ．26i --C ．5+iD ．5-7i4．若tan 2α=,则21cos sin 2aα+= A ．6 B ．3 C ．1 D ．325．函数sin x xx x y e e -+=+的函象大致为6．在ABC ∆中,4,30AB BC B ===,P 为边AC 上的动点,则BC BP ⋅的取值范围是A ．[]0,12B ．[12,16]C ．[]4,12D ．413,16⎡⎤⎣⎦ 7．已知,,,a b c d 是四条直线,如果,,,a c a d b c b d ⊥⊥⊥⊥．则结论“a //b ”与“c//d ”中成立的情况是A ．一定同时成立B ．至多一个成立C ．至少一个成立D ．可能同时不成立8．已知a >b>0,且a +b=1,下列不等式中一定成立的是A ．b a a b <B ．22log log 2a b +>-C ．b a a <D ．2log 1a b b a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．已知,a b R ∈,则下列叙述中正确的是A ．若a b <,则11a b< B ．若0a b ->,则0a b +>C ．“a >1”是“2a a >”的充分不必要条件D ．若1ab =,则222a b +的最小值为2210．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且137,15a S =-=-,则下列结论正确的是A ．29n a n =-B ．{}n a 为递减数列C ．6a 是4a 和9a 的等比中项D ．n S 的最小值为16-11．如图,底面ABCD 为边长是4的正方形,半圆面APD ⊥底面ABCD ．点P 为半圆弧AD (不含A,D 点)一动点．下列说法正确的是A ．三梭锥P —ABD 的每个侧面三角形都是直角三角形B ．三棱锥P —ABD 体积的最大值为83C ．三梭锥P —ABD 外接球的表面积为定值32πD ．直线PB 与平面ABCD 所成最大角的正弦值为306。

2021年高三数学上学期11月第三次月考试题 理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则集合 A ．B ．C ．D ．2.以下说法错误的是A.命题“若”,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则”B.“x=1”是“”的充分不必要条件C.若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D.若命题p:∃∈R,++1<0,则﹁p:∀x ∈R,≥0 3.在下列函数中，图象关于原点对称的是A ．y=xsinxB ．y=C ．y=xlnxD ．y= 4.已知，则“”是 “”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知R A. B. C. D.6. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为A ．B ．C ．D ． 7.若，，则（A ） （B ） （C ） （D ）8. 已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0, ⎥ϕ⎢<π2)的部分图象如图所示，则y=f(x+π6)取得最小值时x 的集合为（ ）A. {x ⎢x= k π-π6, k ∈Z }B. {x ⎢x= k π-π3, k ∈Z }C. {x ⎢x=2k π-π6, k ∈Z }D. {x ⎢x=2k π-π3, k ∈Z }9.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，则 (A) (B) (C) (D) 10.定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为 A.(1,2] B.（1,2）． C. （0,2） D. （0,1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.山东省中学联盟11.设是等差数列的前项和，,则;12.已知函数则=_______________．13.若函数在内有极小值，则实数的取值范围是_____________．14．设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.15. 已知数列、都是等差数列，、分别是它们的前项和，且，则的值为_______________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）==(sin,1),(3cosm x n A6.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象向左平移错误！不能通过编辑域代码创建对象。

x 2+1 a 11 月学业质量检测题（满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={-1, 0,1, 2}，集合B={x ∈ R 1 ≤ 2x -1≤ 4}，则A B =A. {-1,1}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {1,2}22. 设i 为虚数单位， a ∈ R ，“复数 z = - i2020是纯虚数” 是 “ a = 1” 的什么条件2 1- iA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 在∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，若c cos B = a ,则这个三角形的形状为 A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 等腰或直角三角形4. 已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x 上， 则sin 2θ =A. -4 5B. -3 C.3 D. 45555. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式， 标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往 上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的10 10 倍，若视力 4.1 的视标边长为 a ，则视力 4.9 的视标边长为4A. 105aB. 9 1010aC. - 4 10 5a- 9 D. 10 10a6. 向量a , b 满足a = (1, 3 ), b = 1, a + b = 3, 则b 在a 方向上的投影为A. -1B. -1 C. 122D. 17. 已知函数 f (x ) = lg ( + x )，若等差数列{a n}的前 n 项和为S n，且f (a 1 - 1) = -10, f (a 2020 - 1) = 10 则 S 2020 = （）A. －1010B. －2020C. 2020D. 10108. 已知变量 x ， x 2 ∈(0, m )(m > 0) ，且 x < x ，若 x x 2 < x x 1 恒成立，则 m 的最大值为11212（ e=2.71828 ⋅⋅⋅为自然对数的底数）GA + GB + GC = 0 ⎡⎤ A. eB.C. 1eD. 1二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}2A x x =≥{}260B x x x =--≥()R A B ⋂=ðA ．B ． {}23x x ≤<{}23x x <≤C ．D ．{}23x x -<≤{}32x x -<≤【答案】A 【分析】先求出集合，然后进行补集和交集的运算即可．B 【详解】或，{|2B x x =- …3}x …，{|23}R B x x ∴=-<<ð且，{|2}A x x =…．{|23}R A B x x ∴=< …ð故选：A.2．设复数满足（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）z i 12i z ⋅=+i z A ．2B ．C ．D ．2-11-【答案】D【分析】由求出复数，从而可求出其虚部.i 12i z ⋅=+z 【详解】由，得， i 12i z ⋅=+2212i (12i)i (i 2i )2i i i z ++===-+=-所以复数的虚部是为，z 1-故选：D3．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图，记这组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（ ） M N PA ．B ． N M P <<M N P <<C ．D ．M P N <<P N M <<【答案】B 【分析】根据众数、中位数、平均数的概念，由统计图，可直接得出结果.【详解】由统计图可得，众数为；5M =共有个数据，处在中间位置的两个数据为，所以中位数为23106322230+++++++=5,6； 56 5.52N +==平均数， 233410566372829210 5.9730P ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈所以.M N P <<故选：B.4．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）()24ln f x ax ax x =--()f x ()1,3A ． B ． 1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ． D ． 1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零()f x ()1,32()241=--g x ax ax (1,3)点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而0a =0a ≠a 可得正确的选项.【详解】， ()2124124ax ax f x ax a x x--'=--=若在上不单调，令，()f x ()1,3()2241g x ax ax =--对称轴方程为，则函数与1x =()2241g x ax ax =--轴在上有交点．当时，显然不成立；x ()1,30a =当时，有解得或． 0a ≠()()21680,130,a a g g ⎧∆=+>⎪⎨⋅<⎪⎩16a >12a <-四个选项中的范围，只有为的真子集， 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,,26⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴在上不单调的一个充分不必要条件是. ()f x ()1,31,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故选：C ．5．已知α∈（），若sin2α，则cosα＝ ππ4，45=A ．BC ．D 【答案】D【分析】先根据三角函数的值，缩小的范围，根据和得到和 α4sin25α=22sin cos 1αα+=sin a cos α【详解】， ,4παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2,22παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭而 即 4sin25α=22，παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos 0αα∴>>，两式相加、相减得 22425sin cos 1sin cos αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩()()229sin cos =51sin cos5αααα⎧+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩sin cos sin cos αααα⎧+⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩sin cos αα⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩故选D 项. 【点睛】本题考查通过三角函数值的正负缩小角的范围，对三角函数求值，属于中档题. 6．设函数，则（ ） ()ln |31|ln |31|f x x x =+--()f x A ．是偶函数，且在单调递增 11(,33-B ．是偶函数，且在单调递增 1(,)3-∞-C ．是奇函数，且在单调递减 11(,)33-D ．是奇函数，且在单调递减 1(,)3-∞-【答案】D【解析】根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论．【详解】函数定义域是， 1{|}3x x ≠±，是奇函数，排除AB ，()ln 31ln 31ln 31ln 31()f x x x x x f x -=-+---=--+=-()f x ，时，，，即，而312()ln ln 13131x f x x x +==+--11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2310x -<-<2231x <--21031x +<-是减函数，∴是增函数，∴在上是增函数，排除C ．只有D 可131u x =-2131v x =+-()f x 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭选．故选：D ．【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．与的单调性相反，()y f x =()y f x =-在恒为正或恒为负时，与的单调性相反，若，则与()f x ()y f x =1()y f x =()0f x <()y f x =的单调性相反．时，与的单调性相同．()y f x =0a >()y af x =()y f x =7．如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（ ）A ．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B ．()()1002P x P x -≤≤<≤≤乙丙C ．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙D ．三种品牌手表中甲品牌的质量最好【答案】B【分析】根据三种品牌手表误差的正态分布曲线的图象，结合正态分布曲线的性质，逐项判定，即可求解.【详解】根据正态分布曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态分布曲线的对称轴都是轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A 正确；y 乙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积与丙品牌对应点的正态分布曲线在[]1,0-x 区间之间与围成的面积相等，所以B 不正确；[]0,2x 由正态分布曲线的形状，可得，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次σσσ<<甲乙丙为甲､乙､丙，所以C 正确；由，可得甲种品牌手表的最稳定，质量最好，所以D 正确.σσσ<<甲乙丙故选：B.8．设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（ ）a λA ．的方向的方向相反B ． a a λ a a λ-≥C ．与方向相同D ． a 2a λ a a λλ≥【答案】C 【分析】根据数乘向量运算的定义判断各选项.【详解】对于A ，当时，与方向相同，因此A 不正确；0λ>a a λ 对于B ，时，，因此B 不正确；||1λ<a a λ-< 对于C ，因为，所以与同向，C 正确；20λ>a 2a λ 对于D ，是实数，是向量，不可能相等．||a λ ||a λ 故选：C ．9．化简=（ ） 21sin 352sin 20︒︒-A ．B ．C ．D ．1212-1-1【答案】B 【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】依题意，原式，故选B. 1cos 7011cos 701sin 20122sin 202sin 202sin 202--==-⨯=-⨯=- 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.10．已知函数则下列结论中正确的是（ ） 1(),f x x x =+()g x =A ．是奇函数 B ．是偶函数()()f x g x +()()f x g x ⋅C ．的最小值为D ．的最小值为 ()()f x g x +4()()f x g x ⋅3【答案】B【解析】根据奇偶函数的定义，结合基本不等式进行判断即可.【详解】函数的定义域为非零的实数集.(),()f x g x 选项A ：设 ()()()h x f x g x x =+=+因为，()()h x x h x -=-=所以函数 ()()()h x f x g x x =+=+选项B ：设 ()()()m x f x g x x ==+因为，()()m x x m x -=-=所以函数 ()()()h x f x g x x =+=+选项C ：由上可知：函数 ()()()h x f x g x x =+=+当时，，当且仅当时，取等号，即0x >1()(2h x x x =+≥+=1x x =时，取等号，由偶函数的性质可知：函数的最小值为，故本选项不正确； 1x =()()f x g x +2选项D ：由上可知：函数 ()()()m x f x g x x ==+当时，时，取等号，即0x >1()(h x x x =+≥=1x x =1x =时，取等号，由偶函数的性质可知：函数的最小值为，故本选项不正确； ()()f x g x ⋅故选：B【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，考查了函数最小值的判断，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力. 11．甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙不相邻的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 23131256【答案】B【分析】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数，甲、乙二人不相邻可知有2种方法，进6n =而求得概率.【详解】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数， 336n A ==甲、乙二人不相邻包含的基本事件个数，2m =甲、乙二人不相邻的概率. ∴2163m P n ===故选：B. 12．如图，已知点平面，点，直线，点且，则“直线直线”A ∈αO α∈a α⊂P α∉PO α⊥a ⊥OA 是“直线直线”的（ ）a ⊥PAA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理及充分条件、必要条件即可判断.【详解】因为，所以，且PO α⊥PO a ⊥PO OA O = 则平面，OA a a ⊥⇔⊥POA P a A ⇔⊥所以“直线a ⊥直线”是“直线a ⊥直线的充要条件”，OA PA 故选：C二、填空题13．已知两个单位向量的夹角为，若向量，则12,e e 3π1122122,34b e e b e e =-=+ 12b b ⋅= _____________.【答案】6-【解析】根据平面向量数量积定义,结合向量的运算律,化简即可求解.【详解】由题意为单位向量,且夹角为 12,e e 3π则,且, 121e e == 12121cos 32e e e e π⋅==⋅⋅ 所以 ()()121212234b b e e e e ⋅=-⋅+221122328e e e e =-⋅- 132862=-⨯-=-故答案为:6-【点睛】本题考查了平面向量数量积定义,平面向量数量积的运算律,属于基础题.14．的展开式中的系数是__________．4()(2)x y x y -+23x y 【答案】-16【分析】先将化为，再结合展开式的通项公式即可()()42x y x y -+()()4422x x y y x y +-+()42x y +得出结果.【详解】因为，()()()()4442 22x y x y x x y y x y -+=+-+又展开式的通项为，()42x y +44142k k k k k T C x y --+=求的展开式中的系数，只需令或， ()()42x y x y -+23x y 2k =3k =故所求系数为.34322442216C C --=-故答案为 16-【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于常考题型.15．已知函数若，则____________． 31(){ 1.x x f x x x ≤=->，，，()2f x =x =【答案】3log 2【详解】当时，令=2得，且成立，当时，令=2得=-1x ≤3x 3log 2x =33log 2log 31<=1x >x -x 2，而-2所以不成立，故1<3log 2x =16．已知P 为上的点，过点P 作圆O ：的切线，切点为M 、N ，若使得||||x y m +=221x y +=的点P 有8个，则m 的取值范围是_______.60MPN ∠=︒【答案】.(2,【分析】根据给定条件，结合圆的切线的性质求出，再借助对称性将问题转化为线段||OP 与以点O 为圆心，为半径的圆有两个公共点（除线段端点外）求解作答.(0,0)x y m x y +=≥≥||OP 【详解】因过点P 的圆O ：的切线（M 、N 为切点），满足，因此221x y +=,PM PN 60MPN ∠=︒有，,30OM PM OPM ⊥∠= 则有，点P 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，而点P 在上， ||2OP =224x y +=||||x y m +=曲线是以点为顶点的正方形，圆与曲线都关于x x y m +=()(),0,0,m m ±±224x y +=||||x y m +=轴、y 轴成轴对称，要符合条件的点P 有8个，则线段与圆有两个公共点（除线段端点(0,0)x y m x y +=≥≥224x y +=外），于是得点都在圆外，且直线与圆相交，(,0),(0,)m m 224x y +=x y m +=224x y +=，而，解得242m⎧>0m >2m <<所以m 的取值范围是.(2,故答案为：(2,【点睛】结论点睛：曲线C 的方程为，(1)如果，则曲线C 关于y 轴对称；(),0F x y =(),0F x y -=(2)如果，则曲线C 关于x 轴对称；(3)如果，则曲线C 关于原点对称.(),0F x y -=(),0F x y --=三、解答题17．已知向量,函数．1(sin ,1),,)2a xb x =-=- ()()2f x a b a =+⋅- （1）求函数的最小正周期;()f x T （2）已知分别为内角的对边, 其中为锐角,,且,求和,,a b c ABC A ,,A B CA 4a c ==()1f A =,A b 的面积．ABC A S 【答案】（1）；（2）T π=【分析】（1）根据数量积公式与三角恒等变换公式可得，进而得到周期； ()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据可得，再结合余弦定理求得，结合面积公式可得()sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3A π=2b =的面积ABC A S 【详解】（1） ()()·2f x a ba =+-22·21sin 1cos 221cos 2122212cos 22sin 26a a b x x x x x x x x π=+-=++--=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为，所以； 2ω=22T ππ==（2）， ()sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭因为， 50,,2,2666A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，2,623A A πππ-==又，2222cos a b c bc A =+-所以， 211216242b b =+-⨯⨯即，则，2440b b -+=2b =从而 11sin 24sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=18．在正三棱柱中，点是的中点.111ABC A B C -D BC（1）求证：//面；1AC 1AB D （2）设是棱上的点，且满足.求证：面面.M 1CC 1BM B D ⊥1AB D ⊥ABM 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）记与交于，先证明//，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平1A B 1B A O OD 1AC 面AB 1D ；（2）先证明面，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．BM ⊥1AB D 【详解】（1）设，连. 11A B AB O ⋂=OD因为四边形是矩形，∴是的中点. 11AA B B O 1A B 又是的中点，∴//.D BC 1AC OD 又面，面， 1A C ⊄1AB D OD ⊂1AB D ∴//面. 1AC 1AB D（2）因为是正三角形，是的中点，∴.ABC ∆D BC AD BC ⊥∵平面面，又平面面，面. ABC ⊥11BB C C ABC ⊥11BB C C BC =AD ⊂ABC ∴面，∵面，∴. AD ⊥11BB C C BM ⊂11BB C C AD BM ⊥又∵，，，面， 1BM B D ⊥1AD B D D ⋂=AD 1B D ⊂1AB D ∴面，又面， BM ⊥1AB D BM ⊂ABM ∴面面.1AB D ⊥ABM 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．在平面直角坐标系中，已知点是轴与圆的一个公共点（异于原xOy Q x 22:(2)4C x y -+=点），抛物线的准线为，上横坐标为的点到的距离等于. 2:2(08)E y px p =<<l E 52P l PQ （1）求的方程；E （2）直线与圆相切且与相交于，两点，若的面积为4，求的方程. m C EA B OAB ∆m 【答案】（1）；（2）或24y x =20x +=20x +=【分析】（1）由抛物线定义可得，点P 到l 的距离等于|PF|=|PQ|，以及点P 在线段FQ 的中垂线上，则解得p=2，即可求出E 的方程，45222p +=（2）设m 的方程为x=ny+b ，A （x 1，y 1），B （x 1，y 1），根据直线m 与圆C 相切，可得b 2-4b=4n 2，再根据韦达定理和三角形的面积公式以及弦长公式即可求出b 的值，即可求出m 的方程 【详解】（1）由已知得，焦点，()4,0Q ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭由抛物线定义得，点到的距离等于， P l PF PQ =因为，所以，所以、两点不重合， 08p <<042p<<F Q 所以点在线段的中垂线上，则，P FQ 45222p +=解得，故的方程为.2p =E 24y x =（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为，，，m y m x ny b =+()11,A x y ()22,B x y则，所以，2r 2244b b n -=由化简得， 2,4,x ny b y x =+⎧⎨=⎩2440y ny b --=判别式，且 216160n b ∆=+>12124,4,y y n y y b +=⎧⎨=-⎩直线与轴交于点， m x (),0M b 1212AOB AOM BOM S S S OM y y ∆∆∆=+=-，24b ==所以，2b =±因为，或，所以，22440n b b =-≥0b ≤4b ≥2b =-n =所以方程是或.m 20x +=20x +=解法二：（1）由已知得，设，的准线方程为，()4,0Q 05,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭E 2px =-由到的距离等于得，P l PQ 5+22p ==则，解得：或， 210160p p --=2p =8p =因为，所以，故的方程为.08p <<2p =E 24y x =（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为，，， m y m x ny b =+()11,A x y ()22,B x y 则，所以，2r 2244b b n -=由化简得， 2,4,x ny b y x =+⎧⎨=⎩2440y ny b --=判别式，且 216160n b ∆=+>12124,4,y y n y y b+=⎧⎨=-⎩所以AB===又原点到直线的距离，O m d =所以，所以， 2142OAB S d AB b ∆===2b =±因为，或，所以，22440n b b =-≥0b ≤4b ≥2b =-n =所以的方程是或.m 20x +=20x +=【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，利用直线与椭圆的联立，韦达定理求弦长是常用方法，属于中档题．20．某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系.y x 模拟函数；模拟函数. 1:by ax c x=++2:s y m n s =⋅+(1)已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？(2)受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.【答案】(1)； by ax c x=++(2). 13.875【分析】（1）借助题设条件运用已知建立方程组，利用待定系数法求出函数解析式，把x =4分别代入，即可判断；（2）根据函数的发展趋势，对照两个函数分析探求，即可得到结论. 【详解】（1）若用模拟函数1：，则有 by ax c x=++，解得， 1012221333a b c b a c b a c ⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩125,3,22a b c ==-=即，当时，； 32522x y x =-+4x =13.75y =若用模拟函数2：，则有x y m n s =⋅+，解得，23101213mn smn s mn s=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩18,,142m n s =-==即，当时，. 3142x y -=-4x =13.5y =所以选用模拟函数1好.（2）因为模拟函数1：是单调增的函数，所以当时，生产量远大于他的最高32522x y x =-+12x =限量，模拟函数2：，也是单调增，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模3142x y -=-14y <拟函数2：好.3142x y -=-当时，， 6x =3614213.875y -=-=所以预测6月份的产量为万件. 13.87521．设，函数.a R ∈()ln f x a x x =-（1）若无零点，求实数的取值范围；()f x a （2）当时，关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的1a =x ()22x f x x b -=+1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦b 取值范围；（3）求证：当，时.2n ≥*n ∈N 22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】（1）（2）（3）见解析[)0,e 5ln 2,24b ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，确定满足条件的的范a a 围即可；（2）令，，，结合二次函数的性质以及函数的单调性求出2()3g x x x lnx b =-++1([2x ∈2])b 的范围即可；（3）根据时，，令，累加即可证明． 1x >1lnx x <-*211(2,)x n n N n=+∈…【详解】（1）①若时，则，是区间上的减函数， a<0()'10af x x=-<()f x ()0,∞+∵，，()110f =-<111aa f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而，则，即， 10a<101a e <<1110aa f e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭∴，函数在区间有唯一零点；()110a f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭()f x ()0,∞+②若，，在区间无零点； 0a =()f x x =-()0,∞+③若，令，得，0a >()'0f x =x a =在区间上，，函数是增函数； ()0,a ()'0f x >()f x 在区间上，，函数是减函数；(),a +∞()'0f x <()f x故在区间上，的最大值为，由于无零点， ()0,∞+()f x ()ln f a a a a =-()f x 则，解得， ()ln 0f a a a a =-<0a e <<故所求实数的取值范围是.a [)0,e （2）由题意，时为，1a =()22x f x x b -=+2ln 2x x x x b -+=+∴，23ln 0x x x b -++=设，()()23ln 0g x x x x b x =-++>则， ()()()22111231'23x x x x g x x x x x---+=-+==当变化时，，的变化情况如下表：1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()'g x ()g xx121,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,2 2()'g x 0 - 0 +()g x 5ln 24b -- A 2b - A2ln 2b -+∵方程在上恰有两个不相等的实数根，()22f x x x b +=+1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴，∴， ()()1021020g g g ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩5ln 204202ln 20b b b ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩∴，即. 5ln 224b +≤<5ln 2,24b ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭（3）由（1）可知当时，即， 1a =()()1f x f ≤ln 1≤-x x ∴当时，， 1x >ln 1x x <-令时， ()*2112,x n n N n=+≥∈222222111111ln 1+ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()111111122311n n n <++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-<⨯⨯⨯++即，222111ln 11+1123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴. 22211111+123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了等价问题转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点xOy 1C cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩t O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标系方程为. x 2C 2222sin 6ρρθ+=(1)求曲线的普通方程，并求的直角坐标方程；1C 2C (2)曲线与轴交于点与交于两点，若，求的值.1C x 1,M C 2C ,A B 2AM MB =tan α【答案】(1)，()1:1sin cos 0C x y αα--=222:36C x y +=(2)tan α=【分析】（1）直接消去参数可得的方程，由可得的方程.t 1C 222,sin x y y ρρθ=+=2C (2) 设对应的参数为，将的参数方程代入，得出韦达定理，由A B ､12t t ､1C 222:36C x y +=，可得，消去可得答案.2AM MB =u u u r u u u r122t t =-12t t ､【详解】（1）由，消去参数，可得，cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩t ()1:1sin cos 0C x y αα--=由，结合公式 可得 2222sin 6ρρθ+=222,sin x y y ρρθ=+=22262x y y ++=；222:36C x y +=（2）设对应的参数为，将代入中，可得：A B ､12t t ､cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩2236x y += ()221212222cos 512sin 2cos 50,,12sin 12sin tt t t t t ααααα--++-=+=⋅=++由，可得2AM MB =u u u r u u u r122t t =-所以 222222cos 5,212sin 12sin t t ααα---=-=++从而得到 ，即 ()2214cos 2512sin αα-=-⨯+()22214cos 25cos 3sin ααα=⨯+所以，解得()2142513tan α=⨯+tan α=23．设函数.()1f x x =+（1）求不等式的解集；()()53f x f x ≤--（2）若关于的不等式在上的解集非空，求实数的取值范围. x ()24f x x a x ++≤+[]1,1-a 【答案】（1）；（2）.{}23x x -≤≤24a -≤≤【分析】（1）由已知得，然后分，和三种情况解不等式； 125x x ++-≤1x <-12x -≤≤2x >（2）由题意可得将原问题转化为在上有解，即在上有解，2x a x +≤-[]1,1-222a x -≤≤-[]1,1-从而可求得答案【详解】解析：（1）不等式，即，()()53f x f x ≤--125x x ++-≤等价于或或 1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得，23x -≤≤∴原不等式的解集为.{}23x x -≤≤（2）当时，不等式，即， []1,1x ∈-()24f x x a x ++≤+2x a x +≤-由题意可得在上有解， 2x a x +≤-[]1,1-即在上有解， 222a x -≤≤-[]1,1-∴.24a -≤≤。

-周宁一中与政和一中第三次月考试卷理科数学考试总分：150分；考试时间：120分钟；命题人：王仁娇，审核：黄金凤一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置上．）1.已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |4x ≥2}，则A ∪B =（ ） A.B.C. （-∞，3]D. [-1，+∞）2.已知i 是虚数单位，复数z 满足z （3+4i ）=1+i ，则复平面内表示z 的共轭复数的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若1021⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，2151b -⎪⎭⎫ ⎝⎛=，1031log c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A. a ＞b ＞c B. a ＞c ＞b C. c ＞b ＞a D. b ＞a ＞c 4.用数学归纳法证明1++31+…+1n 21-＜n （n ∈N *，n ＞1），第一步应验证不等式（ ） A.2211<+ B. 331211<++ C.34131211<+++ D. 231211<++ 5．两曲线x y =，2x y =在x ∈[0，1]内围成的图形面积是（ ）A. 31B. 32C. 1D. 26若cos （-α）=61，则cos （43π+2α）的值为（ ） A. 1817 B. 1817-C.1918 D.1918-7．已知等差数列{a n }的前n 项为S n ，且a 1+a 5=-14，S 9=-27，则使得S n 取最小值时的n 为（ ）A. 1B. 6C. 7D. 6或78.已知函数f （x ）=ln x +2x -6的零点位于区间（m -1，m ）（m ∈Z ）内， 则m 3m1log 27+ =（ ）218πA. 1B. 2C. 3D. 49.已知命题P ：若△ABC 为钝角三角形，则sin A ＜cos B ；命题q ：∀x ，y ∈R ，若x +y ≠2，则x ≠-1或y ≠3，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ∨（¬q ）B. （¬p ）∧qC. p ∧qD. （¬p ）∧（¬q ）10.已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=4上的两个动点，|AB |=2，OC =OB OA 3235-，若若M 是线段AB 的中点，则 OM OC •的值为（ ）A. 3B. 23C. 2D. -311.下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ）A. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43B. 观察（x 2）′=2x ，（x 4）′=4x 3，（cos x ）′=-sin x ，可得偶函数的导函数为奇函数C. 在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D. 已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应12.定义在（0，+∞）的函数f （x ）的导函数)(/x f 满足08)(/3>+x f x ，且f （2）=2，则不等式的解集为（ ）A. （-∞，2）B. （-∞，ln2）C. （0，2）D. （0，ln2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卷相应位置．）13．在等比数列{}n a 中，22=a ，且451131=+a a ，则31a a +的值为______． 14.曲线f （x ）=x ln x 在点P （1，0）处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ______ ．15.已知O 为坐标原点，点A （5，-4），点M （x ，y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥+2y 12x y x 内的一个动点，则OM OA •的取值范围是 ______ ．16设向量OA =（1，-2），OB =（a ，-1），OC =（-b ，0），其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值为 ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

河北省邢台市南和区等4地2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}2ln ,20A xy x B x x x ===--≤∣∣，则A B = （）A ．[]0,2B ．(]0,2C ．[)2,+∞D ．()2,+∞2．函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞上是（）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定3．设平面向量,a b 均为单位向量，则“33a b a b +=-”是“a b ⊥ ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C 会按确定的比率衰减（称为衰减率），C 与死亡年数t 之间的函数关系式为0.5tk C =（k 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年我国某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的80%，则可推断该文物属于（）参考数据：2log 0.80.32≈-；A ．战国B ．汉C ．唐D ．宋5tan43tan17tan43++=（）A ．3B ．CD ．3-6．函数sin |21|xy x π=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．若0.2sin0.1,0.1sin0.2a b c ===，则（）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c<<D ．a c b<<8．设函数()f x 的定义域为R ，且()32f x +是奇函数，()31f x +是偶函数，则一定有（）A ．()40f =B ．()10f -=C ．()30f =D ．()50f =二、多选题9．已知函数()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数()f x 的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移3π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度10．已知函数()ln f x x x =，下列说法正确的有（）A ．曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-B ．()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 的极大值为1e-D ．方程()1f x =有两个不同的解11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x =-B ．()ln 3f x x x=-C ．()331f x x x =-+-D ．()exf x x -=12．已知函数()()sin π,0f x a x a =>，将()f x 的图象向右平移13a个单位长度后得到函数()g x 的图象，点,,A B C 是()f x 和()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 为钝角三角形，则a 的值可能为（）A ．13B ．14C ．12D ．1三、填空题13．写出一个同时满足下列三个性质的函数：()f x =__________．①()f x 为偶函数；②()f x 关于()1,0-中心对称；③()f x 在R 上的最大值为3．14．已知向量()()6,2,2,0a b == ，则a 在b上的投影向量c = __________．15．设函数()πsin sin (0)3f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有675个极值点，则ω的取值范围是__________．16．已知()ππ0,0,3sin cos sin 22A B A A B B <<<<=+,则tan A 的最大值为__________．四、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，记ABC 的面积为S ，且满足)222S b a c =--．(1)求角B ；(2)若b ，且tan tanA C +=S ．18．设()2π2sin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调递增区间及对称中心；(2)当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π163f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos2x 的值．19．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km /h ，步行的速度是5km /h,t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离．(1)请将t 表示为x 的函数()t x ；(2)如何行使用时最短，最短时间是多长？20．已知函数()2sin sin2f x x x =+．(1)求()f x 在2x π=的切线方程；(2)求()f x 的最值．21．阅读下面的两个材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜､中斜和大斜，记小斜为a ，中斜为b ，大斜为c ，则三角形的面积为S =．这个公式称之为秦九韶公式；材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为,,a b c ，则它的面积为S ，其中()12p a b c =++，这个公式称之为海伦公式．请你解答下面的两个问题：(1)已知ABC 的三条边为7,8,9a b c ===，求这个三角形的面积S ；(2)已知ABC 的三条边为a b c ==，求这个三角形的面积S ；(3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分）．22．函数()()ln 3,f x a x bx a b =++∈R ，在点()()1,1f 处的切线方程为22y x =+．(1)求()f x ；(2)0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：()2sin x x f x π+>．参考答案：1．B【分析】分别化简集合A 和B ,再求交集即可．【详解】{}|0A x x =>，()(){}{}1|2120xx x B x x =-+≤-≤=≤∣,∴{}|02A B x x =<≤ ,故选:B.2．A【分析】对函数进行求导，与0比较即可求解【详解】由()cos f x x x =+可得()1sin 0f x x '=-≥，所以()f x 在(),-∞+∞上是增函数，故选：A 3．C【分析】利用定义法进行判断即可.【详解】充分性：因为向量,a b 均为单位向量，且“33a b a b +=-”，所以2233a b a b +=- ，即22226996a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即106106a b a b+⋅=-⋅所以120a b ⋅=，所以a b ⊥ .即充分性满足；必要性：因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=.而22222236910,39610a b a a b b a b a a b b +=+⋅+=-=-⋅+= ，所以2233a b a b +=- ，所以33a b a b +=-.即必要性满足.故选：C 4．B【分析】由半衰期可求得k ，进而解方程1082.t k⎛⎫= ⎪⎝⎭可得答案.【详解】因大约每经过5730年衰减为原来的一半，则573057300.50.5kk ==⇒，又因出土时碳14的残余量约为原始量的80%，则57305730108052..t t ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得()2085730032183365730log ...tt =-⇒≈⨯=，又2022183361884..-=，由时间轴可知文物属于汉.故选：B 5．C【分析】根据两角和的正切公式求得正确答案.【详解】()tan17tan 43tan 60tan 17431tan17tan 43︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒所以)tan17tan 431tan17tan 43︒+︒=-︒⋅︒，tan43tan17tan43++= 故选：C 6．D【解析】确定函数图象关于直线12x =对称，排除AC ，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B ，得出正确结论．【详解】函数定义域是1|2x x ⎧⎫≠⎨⎩⎭，由于21y x =-的图象关于直线12x =对称，sin y x =π的图象也关于直线12x =对称，因此()f x 的图象关于直线12x =对称，排除AC ，sin y x =π有无数个零点，因此()f x 也有无数个零点，且当x →+∞时，()0f x →，排除B ．故选：D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．D【分析】由对数函数的性质判断出0a <，排除AB ，设sin ()xf x x=，利用导数确定它的单调性，从而得出,b c 两数的大小即可求解．【详解】ln10a == ，0.2sin 0.10b =>，0.1sin 0.20c =>，排除答案A ，B ；由sin 0.10.2sin 0.10.1sin 0.20.1sin 0.20.2b c ==，设sin ()x f x x =，π()0,x ∈，则cos sin ()2x x x f x x -'=，令()cos sin g x x x x =-，则()cos sin cos sin 0((0,π))g x x x x x x x x '=--=-<∈，所以()g x 在()0,π上单调递减，从而()()00g x g <=，即()0f x '<，所以()f x 在()0,π上单调递减，从而()()0.10.2f f >，即sin 0.1sin 0.20.10.2>，所以0.2sin 0.10.1sin 0.2>，即b c >，综上可知a c b <<.故选：D ．8．A【分析】根据所给条件结合函数的奇偶性赋值求解.【详解】因为()32f x +是奇函数，所以()()3322f x f x -+=-+，令0x =可得(2)0f =，又因为()31f x +是偶函数，所以()31(31)f x f x +=-+，令13x =则有(2)(0)0f f ==，()()3322f x f x -+=-+中令3x 2=可得(0)(4)0f f =-=，所以(4)0f =，故选:A.9．AD【分析】根据左加右减原理，逐项平移然后利用诱导公式进行化简，结合余弦函数的奇偶性进行判断即可得解.【详解】对A，平移后得()2(263g x x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦为偶函数，故A 正确；对B，平移后得2()2()633g x x x πππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦无奇偶性，故B 错误；对C，平移后得()2()333g x x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦无奇偶性，故C 错误；对D，平移后得()2())233g x x x x πππ⎡⎤=--=-=⎢⎥⎣⎦为偶函数，故D 正确.故选：AD10．AB【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 1f x x '=+.A 选项，()()10,11f f '==，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-，A 选项正确.B 选项，令()ln 10f x x '=+=解得1ex =，所以在区间10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，()()0,f x f x '<单调递减，B 选项正确.C 选项，()f x 在区间()1,,0e f x ⎛⎫'+∞> ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，所以()f x 有极小值，无极大值，C 选项错误.D 选项，()f x 的极小值为1111ln e e ee f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当01x <<时，()0f x <；当1x >时，()0f x >，方程()1f x =有一个解，D 选项错误.故选：AB 11．BCD【分析】根据“二阶导函数”的概念，结合导数运算公式求解即可.【详解】对于A ，()()πcos sin ,sin cos sin()4f x x x f x x x x '''=+=-+=--，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πsin()04x -<，()πsin()04f x x ''=-->，故A 错误；对于B ，()()2113,0f x f x x x'''=-=-<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，故B 正确；对于C ，()()233,60f x x f x x '''=-+=-<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，故C 正确；对于D ，()()e e (1)e ,e (1)e (2)e x x x x x xf x x x x x x f ------'=-=-=---=--''，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20x ->，所以()(2)e 0xx f x -=--'<'恒成立，故D 正确.故选：BCD.12．ABC【分析】先由平移变换的得到1π()sin π(sin(π)33g x a x a x a =-=-，然后将()f x 和()g x 联立求出两图像相邻交点,,A B C 的坐标，根据ABC 为钝角三角形即可求解.【详解】由题意可知：1π()sin π(sin(π)33g x a x a x a =-=-，令πsin(π)sin(π)3a x a x -=，解得：tan(π)a x =πππ,Z 3a x k k =-∈，因为点,,A B C 是()f x 和()g x 图象的连续相邻的三个交点，不妨令0k =可得：13x a =-，1π()sin()33f a -=-=-1(,3A a --，令1k =可得：23x a =，22π(sin()332f a ==，所以2(,32B a ，令2k =可得：53x a =，55π()sin(332f a ==-，所以5(,)32C a -，623AC a a ==，AB ==BC AB ===，因为ABC 为钝角三角形，由余弦定理可得：222222211433cos 0122(3)AB BC AC a a a B AB BC a+++-+-==<+，所以213a <，因为0a >，所以0a <<，故选：ABC .13．π3cos2x（答案不唯一）【分析】根据题意，选择三角函数，根据对称性和最值，选择()f x =π3cos 2x.要注意答案不唯一.【详解】由题意：函数()f x 为偶函数，所以()f x 关于y 轴对称，又()f x 关于()1,0-中心对称，且在R 上的最大值为3，所以可以取三角函数()f x =π3cos 2x（答案不唯一）.故答案为：()f x =π3cos 2x（答案不唯一）.14．()6,0【分析】利用投影向量的定义直接求解.【详解】因为()2,0b =的单位向量为()1,0i = ，所以a 在b上的投影向量()()62201,06,02a b c i b⋅⨯+⨯=== .故答案为：()6,015．20232026,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简()f x 的解析式，求得()f x '，根据极值点以及余弦函数零点的知识列不等式，由此求得ω的取值范围.【详解】依题意0ω>，()π3sin sin sin cos 322f x x x x x ωωωω⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭π6x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()πcos6f x x ω⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，πππ,N 62x k k ω+=+∈，由于()f x 在[]0,π上有且仅有675个极值点，所以πππ674π675π262x ω+<+≤+，解得2023202633ω<≤，所以ω的取值范围是20232026,33⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：20232026,33⎛⎤⎥⎝⎦16．12【分析】将A A B B =+-代入()3sin cos sin A A B B =+中,展开化简,即可得()3tan 4tan A B B +=,再将A A B B =+-代入tan A 中,结合()3tan 4tan A B B +=即可得tan A 关于tan B 的等式,根据基本不等式求出最值即可.【详解】解:由题知()3sin cos sin A A B B =+,所以有:()()3sin cos sin A B B A B B +-=+,即:()()()3sin cos 3cos sin cos sin A B B A B B A B B +-+=+,化简可得()()3sin cos 4cos sin A B B A B B +=+,即()3tan 4tan A B B +=,所以()()()tan tan tan tan 1tan tan A B B A A B B A B B +-=+-=++()()3tan 3tan 33tan tan A B BA B B+-=++2tan 34tan BB=+134tan tan B B =+,因为π02B <<,所以tan 0B >,所以34tan tan B B +≥=当且仅当34tan tan B B =,即tan B =,此时1tan 3124tan tan A B B=≤+,所以tan A故答案为1217．(1)2π3B =【分析】（1）结合余弦定理以及三角形的面积公式化简已知条件，从而求得角B .（2）结合三角恒等变换、正弦定理等知识求得S .【详解】（1）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2221()2cos cos sin 4422S b a c ac B ac B ac B =--=-⨯=-=，所以tan B =，所以2π3B =．（2）sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos A C A C A C A C A C A C++=+=sin()sin 32cos cos cos cos cos cos 4A CB AC A C A C +====，所以2cos cos 3A C =．tan tan 4tan tan()1tan tan 1tan tan A C B A C A C A C+=-+=-=-=---所以1sin sin sin sin tan tan 24cos cos 3A C A C A C A C ===，所以1sin sin 6A C =，由正弦定理可得，2sin sin sin 2a c b A C B===，所以2sin ,2sin a A c C ==，所以11sin 4sin sin sin 22S ac B A C B ==⨯18．(1)单调递增区间是πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；对称中心为π,1,Z 2k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭6-【分析】（1）化简()f x 的解析式，利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间及对称中心.（2）结合同角三角函数的基本关系式以及三角恒等变换的知识求得cos 2x .【详解】（1）由题意得：π()sin 2cos 212sin 212f x x x x ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭，由ππ2π22π(Z)22k x k k -+≤≤+∈，可得ππππ(Z)44k x k k -+≤≤+∈；所以()f x 的单调递增区间是πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；令2πx k =，Z k ∈，解得：π2k x =，Z k ∈，此时函数值为-1，所以对称中心为π,1,Z 2k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．（2）∵ππ12sin 21633f x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴π1sin 233x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ4π2333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∵当πππ2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，ππ1sin 2sin 3323x ⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭，∴ππ2π32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，πcos 233x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11232326=-+⨯．19．(1)12(),0125x t x x -=≤≤(2)当32x =，()t x 有最小值44h 15【分析】（1）利用勾股定理，结合速度、路程、时间的关系，根据题意可以求出t 关于x 的函数的解析式；.（2）先求函数的导数,再根据导数得出函数的单调区间,得出最小值即可.【详解】（1）如图，1d =,此人坐船所用时间为13d ，步行所用时间为12h,5x -()12(),01235x t x x -∴=+≤≤；（2）12(),01235x t x x -=≤≤，所以1(),0125t x x '=≤≤，令()0t x '<，则032t ≤<；令()0t x '>，则3122t <≤，所以()t x 在30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在3[,12]2单调递增，所以当32x =，()t x 有最小值44h 15．20．(1)22y x π=-++(2)()max f x =()min f x =【分析】（1）将2x π=代入()f x 求出切点纵坐标，再由导数求出切线的斜率，即可根据点斜式求出切线；（2）根据函数的周期性与奇偶性的定义求出()f x 是奇函数且周期为2π，则研究()f x 的最值，只需研究[]0,x π∈即可，根据导数可以得出()max 3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可根据奇函数得出()min f x .【详解】（1）2sin s 22in 2f πππ⎛⎝+⎫== ⎪⎭，则切点为22π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2cos 2cos 2f x x x '=+，则切线的斜率为2cos 2cos 222f πππ⎛⎫'=- +⎭=⎪⎝，所以()f x 在2x π=的切线方程为22y x π=-++．（2）()()()()22sin 2sin 242sin sin 2f x x x x x f x πππ+=+++=+=，则()f x 的周期为2π，()()()()2sin sin 22sin sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，则()f x 为奇函数，则研究()f x 的最值，只需研究[]0,x π∈即可，因为()()()()22cos 2cos 22cos 22cos 122cos 1cos 1x x x f x x x x =+=+-=-+'，在[]0,x π∈上，由()0f x ¢>得1cos 12x <<，即03x π<<时()f x 单调递增，由()0f x '<得11cos 2x -<<，即3x ππ<<时()f x 单调递减，所以当3x π=时，()max 32f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，又因为()f x 为奇函数，所以()min f x =．21．(1)(3)证明见解析【分析】（1）利用海伦公式求解即可；（2）利用秦九韶公式求解即可（3）在ABC 中，过点A 作AD BC ⊥，设AD h =，BD x =，CD y =，算出h =【详解】（1）由题意得：()1789122p =⨯++=，由海伦公式得：12S =（2）由题意得：2225,6,7a b c ===，由秦九韶公式得：2S =．（3）证明秦九韶公式如下：在ABC 中，AB c =，AC b =，BC a =，过点A 作AD BC ⊥，设AD h=，BD x =，CD y =，由222222x y a h c x h b y +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩得：2222a c b x a +-=，2222a b c y a +-=，h=1122ABC S ah a ∴==⋅证明海伦公式如下：ABC S ===设()12p a b c =++，ABC S ∴=．22．(1)()ln 3f x x x =++(2)证明见解析【分析】（1）根据已知结合曲线的切线得出()()1211ln1322a f b f a b ⎧=+=⎪⎨⎪=++=+⎩'，即可解出a ，b ，即可得出答案；（2）令()()()22ln 1g x f x x x x =-+=-+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数得出()()()max 10g x g x g ≤==，即()22f x x ≤+，则要证明2sin ()x x f x π+>，只需证明2sin 22x x x π+>+，令()sin h x x x =-，根据导数得出()()00h x h >=，即sin x x >，要证明2sin 22x x x π+>+，只需证明22sin π22x x +≥+，令()22sin 2π2F x x x =-+-，根据导数即可证明22sin π22x x +≥+，即可得出答案.【详解】（1）()a f x b x'=+，()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为22y x =+，()()1211ln1322a f b f a b ⎧=+=⎪∴⎨⎪=++=+⎩'，解得1a =，1b =，所以()ln 3f x x x =++．（2）令()()()22ln 1g x f x x x x =-+=-+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()111x g x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()()max 10g x g x g ≤==，即()22f x x ≤+．若要证明2sin ()x x f x π+>，只需证明2sin 22x x x π+>+，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=->在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00h x h >=，即sin x x >，所以22sin 2sin x x x >．故只需证明22sin π22x x +≥+．令()22sin 2π2F x x x =-+-，则()4sin cos 22sin 220F x x x x =-=-≤'，所以()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2ππ212π2022F x F ⎛⎫≥=⨯-⨯+-= ⎪⎝⎭，所以22sin π22x x +≥+．综上知，()2sin π22x x x f x +>+≥．。

创作；朱本晓 2022年元月元日创作；朱本晓 2022年元月元日第五中学2021届高三数学上学期11月阶段性考试试题 理一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题有且只有一个正确选项)1. 集合211|log -,|,022xA x y xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫====<⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭（），那么A B = 〔 〕 A ． ()1,+∞ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2. z 是z 的一共轭复数，且13i -=+z z ，那么z 的模是〔 〕 A ．3 B ．4C ．5D ．103. 假设(),,2,0->a b a b 可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么(a +1)(b +1)的值是〔 〕A. 10B. 9C. 8D. 7 4. 函数2()ln(1)2=+-+f x x x ，那么212(log 3)(log 3)+=（ ）f f A ．0 B ．22log 3 C ．4 D ．15. 822log 5,log 3,3a b c ===，那么,,a b c 的大小关系是〔 〕 A ．>>a b c B. >>b a c C ．>>b c a D ． >>c a b6. 曲线πsin(2)6y x =+向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点π(,1)12-，那么〔 〕 A ．函数()y g x =的最小正周期π2T =B ．函数()y g x =在11π17π[,]1212上单调递增C ．曲线()y g x =关于直线π6x =对称 D ．曲线()y g x =关于点2π(,0)3对称7. 函数y =|x -1|+|x -2|+|x -3|的最小值为〔 〕A.1B.2C.3D.6 8．函数3()e xf x x =的图象大致为〔 〕A B C D9. 正数a 、b 满足111+=a b ，那么94-1-1+a b 的最小值是〔 〕 A. 6 B. 12 C. 24 D. 3610. 平面α过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1AB ，且α⊥平面1C BD，α平面11ADD A AS=，点S 在直线11A D 上， 那么AS 的长度为〔 〕A. 5B.2C.5211. 实数a,b 满足225ln 0,a a b c R --=∈，那么 22()()a c b c -++的最小值为 〔 〕 A.22 B.322 C. 92 D.1212．如图，腰长为4的等腰三角形ABC 中，120A ∠=，动圆Q 的半径1R =,圆心Q 在线段BC 〔含端点〕上运动，P 为圆Q 上及其内部的动点，假设(,)AP mAB nAC m n R =+∈，那么m n +的取值范围为〔 〕A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分)13. 实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，那么|2|z x y =-的最小值为 ．10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()sin 22cos f x x x =+的最大值为______. 15. 如下图的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现中国文化阴阳转化、对立统一的哲学理念．定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两局部的函数称为圆的一个“太极函数〞，那么以下命题正确的选项是_____(1) 函数()sin f x x =可以同时是无数个圆的“太极函数〞； (2) 函数()ln()f x x =可以是某个圆的“太极函数〞；(3) 假设函数()f x 是某个圆的“太极函数〞，那么函数()f x 的图象一定是中心对称图形；(4) 对于任意一个圆，其“太极函数〞有无数个. 16． *n N ∈，集合13521{,,,,}2482n n n M -=，集合n M 所有非空子集的最小元素之和为n T ，那么使得180≥n T 的最小正整数n 的值是 ．三、解答题(本大题5小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17.〔12分〕在△ABC 中，D 是BC 的中点，AB=1，AC=2，AD=32. 〔1〕求△ABC 的面积.〔2〕假设E 为BC 上一点，且=()+AB AC AE ABACλ，求λ的值.18.〔12分〕函数sin ()cos a xf x x-=〔1〕假设a =3且x 是锐角，当()3=f x ，求x 的取值.〔2〕假设函数f (x )在区间ππ(,)63上单调递增,务实数a 的取值范围.19.〔12分〕数列{}n a 满足11232,2n n n a a n ---=≥，且1232a a =. (1) 求证：数列{}2n n a -是等比数列.(2) 设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，记n T 为数列1n n a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，假设,n n N T m *∀∈<，,m N *∈求m 的最小值.20.〔12分〕如图，在三棱锥 中，顶点 在底面上的投影 在棱上，，，， 为的中点． 〔1〕求证：； 〔2〕求二面角 的余弦值；〔3〕点 为的中点，在棱BD 上是否存在点P ，使得 ABE PQ ⊥平面，假设存在，求BPBD的值；假设不存在，说明理由．创作；朱本晓 2022年元月元日创作；朱本晓 2022年元月元日21.〔12分〕函数2()2ln f x x x x =++.〔1〕求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程.〔2〕假设正实数12,x x 满足12()()4f x f x +=，求证：122x x +≥.说明：请在22、23题中任选一题做答，写清题号．假如多做，那么按所做第一题记分． 22．［选修4—4：坐标系与参数方程］〔10分〕在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=⎩〔其中t 为参数，α为l 的倾斜角，且π(0,)2α∈〕，曲线2C 的参数方程为11()211()2x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为π()2θρ=∈R .〔1〕求曲线C 2的普通方程及曲线C 3的直角坐标方程；〔2〕点(2,0)P -，曲线1C 与2C 交于,A B 两点，与3C 交于点Q ，且2PA PB PQ ⋅=，求l 的普通方程.23．［选修4—5：不等式选讲］〔10分〕c b a ,,为正数,且1=++c b a ,证明:(1)13ab bc ac ++≤； (2)1222≤+⋅+⋅+ca acc b bc b a ab .高三数学理答案一.选择题. ACACB DBCBC BA 二.填空题. 13.314.215.〔1〕〔4〕 16.19三、解答题17.( 1) 由1()2=+AD AB AC 可得：221()4=+AD AB AC求得= -1⋅AB AC ，1cos BAC 2AB AC AB AC⋅∠==-⋅所以BAC=120∠，ABC S =2∆〔2〕由ABC ABE ACE S =S +S ∆∆∆可得1112sin +sin =sin 232323AB AE AC AE AB AC πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 从而2AE=3，由+AB ACAE AB ACλ=（）可得2=3λ 18.(1)由sin ()cosa x f x x-=x x =,即sin +=32x π（）又x 为锐角，所以3x π=(2)因为函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立,22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--'==因为2cos 0x >,所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立所以1sin a x≥ 19.〔1〕由条件可得：12932a a ==， 由11232,2n n n a a n ---=≥得112(2)2n n n n a a ---=-所以112122n n n n a a ---=- 那么数列{}2n n a -是以1为首项，12为公比的等比数列（2）由上可知112()2nn n a -=+，+1112-()2n n n S -=所以n n n S a )21(•31=+1，故31<)21-131=n n T （可得m 的最小值为1.20.〔1〕因为顶点在底面上的射影在棱上，所以， 因为，所以，因为，所以，因为，，所以， 又，所以，由，，得，所以，因为且，，，所以． 〔2〕连接，因为为的中点，为的中点，，所以，如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，设为平面的一个法向量，那么取，得，设平面的一个法向量，那么取，那么，平面的法向量，创作；朱本晓 2022年元月元日创作；朱本晓 2022年元月元日设二面角的平面角为，那么，所以二面角的余弦值为．〔3〕设0(0,,0)P y ，，011(,,)22PQ y =-因为，所以PQ n ，011(,,)(1,1,1)22y λ-=-， 所以，，所以34BP BD =.21.〔1〕530x y --=. 〔2〕'2()210f x x x=++>，()f x 在(0,)+∞上单调递增. 因为(1)2f =，12()()4f x f x += 所以不妨设1201x x <≤≤.记()()(2)4F x f x f x =+--，01x <≤.3'4(1)()0(2)x F x x x -=≥-，()F x 在(]0,1上单调递增.因为(]10,1x ∈，(1)0F =.所以1()0F x ≤，即114()(2)f x f x -≥-. 所以21()(2)f x f x ≥-，212x x ≥-. 即212x x +≥.22.〔1〕曲线的1C 直角坐标方程为0x =， ························ 2分方程可化为224x y -=.〔2〕由直线l 的参数方程为2cos ,sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=⎩〔其中t 为参数，α为l 的倾斜角，且π(0,)2α∈〕，那么点Q 对应的参数值为2cos α，即2cos PQ α=代入221x y -=，得22(2cos )(sin )1t t αα-+-=， 整理，得222(cos sin )4cos 30t t ααα--+=， 设,A B 对应的参数值分别为12,t t ， 那么12224cos cos sin t t ααα+=-，12223cos sin t t αα=-，因为2PA PB PQ ⋅=，所以22234cos sin cos ααα=-， 所以22234cos sin cos ααα=-或者22234cos sin cos ααα=--， 解得1tan 2α=或者7tan 2α=，故l 的普通方程为112y x =+或者772y x =+.23.〔1〕〔2〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期11月考试数学（理）试题一、单选题1．设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-,ln 4x e x =+的实根,则 A ．123x x x <+ B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<【答案】C【分析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-的图像,如图所示,可得210x -<<；对于ln 4x e x =+,由4x y e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x <<【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想 2．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 3．已知幂函数()()()22421m m f x m x m R -+=-∈在()0,∞+上单调递减，设153a =，51log 3b =，5log 4c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f b f a f c <<【答案】C【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出m ，在根据指数函数与对数函数的单调性得到b ac -<<，根据幂函数的单调性得到()()()f b f a f c -<<，再结合偶函数可得答案.【详解】根据幂函数的定义可得2(1)1m -=，解得0m =或2m =， 当0m =时，2()f x x =，此时满足()f x 在()0,∞+上单调递增，不合题意，当2m =时，2()f x x -=，此时()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以2()f x x -=.因为10555551330log 1log 3log 4log 51=<=<<<=，， 又155log 3log 3b -=-=，所以bc a -<<，因为()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()()()f b f c f a ->>， 又因为2()f x x -=为偶函数，所以()()f b f b -=， 所以()()()f b f c f a >>. 故选：C4．函数()()ln 1f x x =-的定义域是 A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．[)1,+∞ D ．()1,+∞【答案】A【详解】试题分析：，解得，故选A ．【解析】对数函数5．若122log log 2a b +=，则有A ．2a b =B ．2b a =C ．4a b =D ．4b a =【答案】C【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2a b=,再求解即可. 【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b a b-==, 所以224ab==， 即4a b =， 故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题. 6．已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log 2log log log 32a b =<=<=，即a c b <<. 故选：C.7．已知实数a ，b ，c 满足ln b a e c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c b >>【答案】D【分析】构造函数()ln f x x x =-，利用导数可证ln x x >，据此可比较大小. 【详解】令()ln (0)f x x x x =->，则1()1.f x x'=-当01x <<时，()0,()'<f x f x 单调递减， 当1x <时，()0,()'>f x f x 单调递增， 所以()(1)10f x f ≥=>， 即ln x x >.所以ln a a c >=，ln ln b c c e b >==， 故选：D8．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．e C ．24e D ．21e 【答案】C【解析】由题意可知，()()xg x f e =，由()()()120f x g x k k ==<可得出101x <<，20x <，利用导数可得出函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，函数()y g x =在区间(),0∞-上单调递增，进而可得出21x x e =，由此可得出()22221x x x g x k x e ===，可得出2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()2kh k k e =，利用导数求出函数()y h k =在(),0k ∈-∞上的最大值即可得解. 【详解】()ln x f x x =，()()ln xx x x x e g x f e e e===， 由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <，函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x -'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0∞-上单调递增， ()()()212x f x g x f e∴==，则21x x e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()2kh k k e =，其中0k <，则()()()222k k h k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减.所以，()()2max 42h k h e =-=. 故选：C.【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.9．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-且()00f =，当](0,4x ∈时,()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x a f x +⋅>⎡⎤⎣⎦在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围为 A ．]1ln 6,ln 23⎛- ⎝B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(]1ln 2,ln 63--【答案】D【分析】判断f （x ）在（0，8）上的单调性，根据对称性得出不等式在一个周期（0，8）内有4个整数解，再根据对称性得出不等式在（0，4）上有2个整数解，从而得出a 的范围． 【详解】当0＜x≤4时，f′（x ）=21ln 2xx -， 令f ′（x ）=0得x=2e，∴f （x ）在（0，2e ）上单调递增，在（2e，4）上单调递减，∵f （x ）是偶函数，∴f （x+4）=f （4﹣x ）=f （x ﹣4）， ∴f （x ）的周期为8，∵f （x ）是偶函数，且不等式f 2（x ）+af （x ）＞0在[﹣200，200]上有且只有200个整数解， ∴不等式在（0，200）内有100个整数解， ∵f （x ）在（0，200）内有25个周期，∴f （x ）在一个周期（0，8）内有4个整数解，（1）若a ＞0，由f 2（x ）+af （x ）＞0，可得f （x ）＞0或f （x ）＜﹣a ， 显然f （x ）＞0在一个周期（0，8）内有7个整数解，不符合题意； （2）若a ＜0，由f 2（x ）+af （x ）＞0，可得f （x ）＜0或f （x ）＞﹣a ， 显然f （x ）＜0在区间（0，8）上无解， ∴f （x ）＞﹣a 在（0，8）上有4个整数解， ∵f （x ）在（0，8）上关于直线x=4对称， ∴f （x ）在（0，4）上有2个整数解， ∵f （1）=ln2，f （2）=ln 42=ln2，f （3）=ln 63， ∴f （x ）＞﹣a 在（0，4）上的整数解为x=1，x=2． ∴ln 63≤﹣a ＜ln2， 解得﹣ln2＜a≤﹣ln 63． 故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是分析出函数f(x)的周期性和对称性，f （x ）在一个周期（0，8）内有4个整数解.其二是对a 分类讨论，得到a 的取值范围. 10．形如11y x =-的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数()()()2log 10,1a f x x x a a =++>≠有最小值，则“囧函数”与函数log a y x =的图像交点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6【答案】C【分析】令21u x x =++，根据函数()log 0,1a y u a a =>≠有最小值，可得1a >，由此可画出“囧函数”11y x =-与函数log a y x =在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果. 【详解】令21u x x =++，则函数()log 0,1a y u a a =>≠有最小值．∵2133244u x ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，∴当函数log a y u =是增函数时，log a y u =在3,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有最小值，∴当函数log a y u =是减函数时，log a y u =在3,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上无最小值，∴1a >.此时“囧函数”11y x =-与函数log a y x =在同一坐标系内的图象如图所示，由图象可知，它们的图象的交点个数为4. 所以本题答案为C.【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.11．已知11e 2,e ,x y z ππ===，则,,x y z 的大小关系为（ ） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y x z >> D ．y z x >>【答案】D【分析】将11e2,e ,x y z ππ===变为111ln ln 2,ln ln e,ln ln 2e x y z ππ===，构造函数()()ln 0xf x x x =>，利用导数判断函数的单调性，再结合11ln ln 2ln 424x ==，根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：由11e 2,e ,x y z ππ===， 得111ln ln 2,ln ln e,ln ln 2e x y z ππ===，令()()ln 0x f x x x =>，则()()21ln 0xf x x x-'=>， 当0e x <<时，0f x，当e x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上递增，在[)e,+∞上递减， 又因11ln ln 2ln 424x ==， e 34,<<且[)e,3,4e,∈+∞， 所以()()()e 34f f f >>， 即ln ln ln y z x >>， 所以y z x >>.故选：D.12．已知函数()()21e ,043,0x x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ++的取值范围为（ ） A ．(]5,3e + B ．[)4,4e +C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞【答案】A【分析】根据导函数判断函数()f x 的单调性，画出函数图像，将()y f x a =-有四个零点转化为()y f x =的图像与y a =有四个不同交点，分析可知1e a <≤，由韦达定理可得12344ln ++=+-x x x x a a ，设()4ln =+-g a a a ，1e a <≤，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.【详解】解：0x ≤时，2(1)()e x f x +=，2(1)()e 2(1)x f x x +'∴=⋅+， ()f x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，(1)1,(0)e f f -==，0x时，4()3f x x x=+-， ()f x ∴在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，(2)1f =，画出()f x 的图像如下图，()y f x a =-有四个零点即()y f x =的图像与y a =有四个不同交点，由图可得1e a <≤，12,x x 是方程2(1)e x a +=，即221x x ++-ln 0a =的两根， 34,x x 是方程43x a x+-=，即2(3)x a x -+40+=的两根， 121ln x x a ∴=-，343x x a +=+，则12341ln 34ln (1e)x x x x a a a a a ++=-++=+-<≤， 设()4ln =+-g a a a ，1e a <≤，则1()10'=->g a a，()g a ∴在(1,e)上单调递增，∴当1e a <≤时，(1)()(e)g g a g <≤，即5()3e g a <≤+.故选：A.二、填空题13．已知函数2,01()12,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，若a >b ≥0且f (a )=f (b )，则bf (a )的取值范围是_____.【答案】5,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【解析】根据单调性确定,a b 的关系，再确定a 的取值范围，()bf a 化为a 的函数，然后可得其范围． 【详解】由题意()f x 在[0,1)上递增，在[1,)+∞上也递增，∴由a >b ≥0且f (a )=f (b )，得1222a b +=+，[0,1)b ∈，由11222a+=+得12a =，∴25log 2a =，∴251,log 2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭令122at =+，∴5,32t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()bf a =223122(2)2(1)122a a t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+=-=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，记2(1)1y t =--，∵5,32t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴5,34y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．∴()bf a 的取值范围是5,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：5,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数的单调性，利用单调性确定,a b 的关系，并确定a 的取值范围，利用此关系式化二元函数()bf a 为一元函数，然后利用换元法求得取值范围． 14．给出下列四个命题：①函数f （x ）＝ln x －2＋x 在区间（1 ,e ）上存在零点； ②若()00f x '=，则函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处取得极值；③若m ≥－1，则函数()212log 2y x x m =--的值域为R ； ④“a =1”是“函数()e 1exxa f x a -=+ 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件． 其中正确的是_________ 【答案】①③④【分析】①根据函数零点的判断条件即可得到结论；②根据对数函数的性质即可得到结论；③根据函数极值的定义和导数之间的关系即可得到结论；④根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件即可得到结论【详解】①函数f （x ）=ln x ﹣2+x 在区间（1，e ）单调递增， ∵f （1）=1﹣2=﹣1＜0，f （e ）=lne ﹣2+e=e ﹣1＞0，∴函数f （x ）=ln x ﹣2+x 在区间（1，e ）上存在零点，故①正确；②函数f （x ）=x 3，满足f ′（0）=0，但此时函数f （x ）无极值，故函数y =f （x ）在x =x 0处取得极值错误，故②错误；③要使函数y= 12log （x 2﹣2x ﹣m ）的值域为R ，则函数y=x 2﹣2x ﹣m 能取得所有的正值，即判别式△=4+4m≥0，解得m≥﹣1，故③正确；④当a =1，函数f （x ）=e 1e =1e 1ex xx xa a --++ ，则f （﹣x ）=1e e 11e 1e x x x x ----=++=﹣1e 1e xx -+=﹣f （x ）是奇函数， 当a =﹣1时f （x ）=1e e 1=1e e 1x x x x --+-- ，满足f （﹣x ）=e 11e e 11e x x x x--++=--=﹣e 1e 1x x +-=﹣f （x ），此时f （x ）是奇函数，但a =1不成立， 即④“a =1”是“函数f （x ）=e 1e xx a a -+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故④正确．故答案为①③④15．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅； ②()()()1212f x x f x f x ⋅=+； ③()()12120f x f x x x ->-；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是________． 【答案】②③【分析】根据对数的运算法则计算得到①不正确，②正确，根据对数函数的单调性得到③正确，代入计算结合均值不等式得到④不正确，得到答案.【详解】()()1212lg f x x x x +=+，()()121212lg lg lg f x f x x x x x +=+=，则①不正确；()1212lg f x x x x ⋅=，()()121212lg lg lg f x f x x x x x +=+=，故②正确；()lg f x x =在()0,∞+上单调递增，则当12x x <时，()()12f x f x <，则()()12120f x f x x x ->-，同理12x x >时成立，故③正确；1212lg 22x x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()1212lg lg 22f x f x x x ++==122x x +>则 12lg 2x x +>④不成立. 故答案为：②③16．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为_______【答案】4【详解】试题分析：先根据曲线y=g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为y=2x+1，可得g′（1）=2，再利用函数f （x ）=g （x ）+x 2，可知f′（x ）=g′（x ）+2x ，从而可求曲线y=f （x ）在点（1，f（1））处切线的斜率．解：由题意，∵曲线y=g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为y=2x+1，∴g′（1）=2，∵函数f （x ）=g （x ）+x 2，∴f′（x ）=g′（x ）+2x ∴f′（1）=g′（1）+2∴f′（1）=2+2=4∴曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处切线的斜率为4，故答案为4【解析】导数的几何意义点评：本题考查的重点是曲线在点处切线的斜率，解题的关键是利用导数的几何意义．三、解答题17．函数()()ln 11f x x x a x =-++．(1)若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间[]1,e 上最大值为m ，最小值为n ，求m n -的最小值．【答案】(1)0a > (2)1e 1e ee 1---【分析】（1）利用导数求出函数()f x 的单调性和最小值，结合函数图象，由最小值小于0即可解得结果；（2）分类讨论a ，求出,m n ，得到m n -，再构造函数求出最小值即可得解.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()ln (1)ln f x x x a x a x '=+⋅-+=-， 当0e a x <<时，()0f x '<，当e a x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,e )a 上为减函数，在(e ,)a +∞上为增函数，所以当e a x =时，()f x 取得最小值，为(e )e ln e (1)e 1a a a a f a =-++=1e a -，因为当x 趋近于0时，()f x 趋近于1，当x 趋近于正无穷时，()f x 也趋近于正无穷，所以要使函数()f x 有2个零点，则1e 0a -<，解得0a >.（2）()ln f x x a '=-，[1,e]x ∈，ln [0,1]x ∈，（i ）当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上为增函数，所以(e)1e m f a ==-，(1)n f a ==-，所以(1e)1m n a -=-+，令()(1e)1p a a =-+，则函数()p a 在区间(,0]-∞上单调递减，所以()p a 的最小值为(0)1p =，即m n -的最小值为1.（ii ）当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上单调递减，所以(1)m f a ==-，(e)1e n f a ==-，所以(e 1)1m n a -=--，令()(e 1)1h a a =--，则函数()h a 在区间[1,)+∞上单调递增，所以()h a 的最小值为(1)e 2h =-，即m n -的最小值为e 2-.（iii ）当01a <<时，由()0f x '>，得e e a x <≤，由()0f x '<，得1e a x ≤<，所以函数()f x 在区间[1,e )a 上单调递减，在区间(e ,e]a 上单调递增，所以(e )1e a a n f ==-，①当11e 1a ≤<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--≥，此时(1)m f a ==-， 所以(1)(e )e 1a a m n f f a -=-=--，令()e 1a a a ϕ=--，则()e 10a a ϕ'=->，所以函数()a ϕ在区间1[,1)e 1-上单调递增， 所以函数()a ϕ的最小值为1()(1)e 2e 1ϕϕ<=--， 所以m n -的最小值为11e 1e 111e ()e 1e e 1e 1e 1ϕ--=--=----. ②当10e 1a <<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--<，所以(1)1e m f a ==-， 所以(e)(e )e e a a m n f f a -=-=-，令()e e a q a a =-，则()e e 0a q a '=-<，所以函数()q a 在区间1(0,)e 1-上单调递减， 所以1e 11e ()()e e 1e 1q a q ->=---， 综上所述：m n -的最小值为1e 1e e e 1---. 【点睛】关键点点睛：（1）中，利用导数求出函数的最小值，利用最小值小于0求解是解题关键；（2）中，对a 分类讨论，利用导数求出,m n ，然后作差构造函数求最小值是解题关键.18．已知函数()ln (0,e 2.71828e x a f x x a =->=为自然对数的底数）.(1)当1a =时，判断函数()f x 的单调性和零点个数，并证明你的结论；(2)当[]1,e x ∈时，关于x 的不等式()2ln f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)函数()f x 的零点个数为1个，证明见解析(2)()e 1e ,∞++【分析】（1）利用函数单调性证明，再利用零点存在性定理即可知零点个数.（2）将()2ln f x x a >-转化为ln ln e ln e ln a x x a x x -+-+>，构造函数()e x g x x =+，转化为ln ln a x x ->，即ln ln a x x >+，即()max ln ln a x x >+，求解即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+.当1a =时，函数()e1ln x f x x =-在()0,∞+上单调递减，证明如下： 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()12121212211111ln ln ln ln e e e ex x x x f x f x x x x x -=--+=-+-211221e e ln e e x x x x x x -=+⋅ ∵120x x <<，∴21211,e e 0x x x x >->，21ln 0x x ∴> ∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以函数()e 1ln xf x x =-在()0,∞+上单词递减. 又1111(1)ln10,(e)ln e 10e e e ex x f f =-=>=-=-< ∴()e 1ln xf x x =-在区间()1,e 上存在零点，且为唯一的零点. ∴函数()f x 的零点个数为1个（2）()2ln f x x a >-可化为ln 2ln e xa a x x +>+. 可化为ln e ln ln a x a x x x -+->+.可化为ln ln e ln e ln a x x a x x -+-+>.令()e x g x x =+，可知()e x g x x =+在R 单调递增，所以有ln ln a x x ->，即ln ln a x x >+令()ln h x x x =+，可知()ln h x x x =+在(0,)+∞上单调递增.即()ln h x x x =+在[]1,e 上单调递增，max ()(e)ln e e 1e h x h ==+=+e 1max ln ()e 1ln e a h x +∴>=+=，e 1e a +∴>所以实数a 的取值范围是()e 1e ,∞++. 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.19．已知定义域为R 的函数13()33xx n f x +-=+是奇函数. （1）求()y f x =的解析式；（2）若428log log (42)0f x f a x ⎛⎫⋅+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）113()33xx f x +-=+；（2）4116a >. 【解析】（1）由()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-()()1310x n ⇒-+=，从而可求得n 值，即可求得()f x 的解析式；（2）由复合函数的单调性判断()f x 在R 上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为221log (3log )242x x a ⋅-<-，令2log t x =，利用二次函数的性质求得21(3)2t t -的最大值，即可求得a 的取值范围．【详解】（1）因为函数13()33xx n f x +-=+为奇函数， 所以()()f x f x -=-，即11333333x xx x n n --++--=-++， 所以113133333x xx x n n ++⋅--=-++，所以()()3031113x x x n n n ⋅-=-+⇒-+=， 可得1n =，函数113()33xx f x +-=+. （2）由（1）知()11313112()333313331x x x x x f x +--==-⋅=-++++ 所以()f x 在(),-∞+∞上单调递减. 由428log log (42)0f x f a x ⎛⎫⋅+-> ⎪⎝⎭，得428log log (42)f x f a x ⎛⎫⋅>-- ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 是奇函数， 所以428log log (24)f x f a x ⎛⎫⋅>- ⎪⎝⎭， 所以()42log 3log 24x x a ⋅-<-，整理得()221log 3log 242x x a ⋅-<-， 设2log t x =，t R ∈， 则()213242t t a -<-， 当32t =时，()2132y t t =-有最大值，最大值为98. 所以9248a ->，即4116a >. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.20．已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中k 为常数， 2.71828e =…为自然对数的底数. （1）若2e k =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上单调，求k 的取值范围.【答案】（1）极小值为2ln 2e -极大值为2e e -；（2）)2(,],e e ⎡-∞+∞⎣.【解析】（1）利用导数求解函数的极值即可。

2022年秋季高三年级阶段性质量抽测数学试题参考答案一、选择题二、填空题13.－2114.215.)330,（16.0123=--y x (2分))2e e e 22,+（(3分)三、解答题17.解（1）)1,1(),8,2(2--=-+=+m b a m b a （2分）48)1)(2()()2(-=--+=-∙+∴m m b a b a 2=∴m 或3-=m （4分）0>m 2=∴m （5分）（2）82453=∙==+b a a a a 10,42104===∴b a a （6分）66410==-∴d a a 1=∴d nd n a a n =∙-+=∴)4(4（7分）2)1(+=∴n n s n )111(2)1(21+-=+=∴n n n n s n （8分）12111(2111.......3121211(2+=+-=+-++-+-=∴n n n n n T n （10分）18：解1、选①)3sin(sin π+=A b B a )3sin(sin sin sin π+=∴A B B A （3分）)3sin(sin π+=∴A A ππ=++∴3A A 3π=∴A （5分）②A bc A bc S cos 23sin 21==3tan =∴A 3π=∴A （5分）选③cc b A C tan )2(tan -= CCC B A A Ccos sin )sin sin 2(cos sin sin -=∴（3分）题号123456789101112答案BADBACCBBDCDBCDACD21cos =∴A 3π=∴A （5分）2、Abc S sin 2132==∆ 8=∴bc BCAB AD 32+= （6分）AC AB AD 3231+=∴（8分）916814291694919494912222222+≥++=+∙+=∴c b b c AC AC AB AB AD （10分）94891694=+=bc 此时⎩⎨⎧==82bc bc 即⎩⎨⎧==42b c AD ∴的最小值为334（12分）19.解：①2=A ，2121252πππ=--=）（T π=∴T 2=∴W （2分）)2sin(2)(ϑ+=∴x x f 当12π-=x 时，0)(=x f 0)6sin(=+-∴ϑπ6πϑ=∴)62sin(2)(π+=∴x x f （3分）)62sin(2)(π+-=-∴x x f 62cos(26)4(2sin 2)(πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∴x x x g （4分）ππππk x k 2622≤-≤+- 12125ππππ+≤≤+-∴k x k ∴函数)(x g 的单调递增区间为)(12,125z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ（6分）②m x g x f =+)()(21 )()(12x f m x g -=∴由3121ππ≤≤-x ππ656201≤+≤∴x 1)62sin(01≤+≤∴πx （7分）[]m m x f m ,2)(1-∈-∴（8分）又ππ4362≤≤x346262πππ≤-≤∴x 23)62cos(12≤-≤-∴πx （9分）nn a )21(-=由2x 的唯一性可得：23)62cos(212≤-<-πx 即(]3,1)(2-∈x g （10分）[](]3,1,2-⊆-∴m m ⎩⎨⎧≤->-∴312m m 31≤<∴m ∴当31≤<m 时，使m x g x f =+)()(21成立。

2021-2022年高三数学上学期期中（11月）试题 理一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求.）1、设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）.A. 第一象限B. 第二象限 C ．第三象限 D.第四象限2、已知集合A 为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、若非零向量满足且，则向量的夹角为（ ）.A. 30oB. 60oC. 120oD. 150o4、已知命题():0,,02P x f x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．是假命题，():0,,02P x f x π⌝⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．是假命题，()00:0,,02P x f x π⌝⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．是真命题，():0,,02P x f x π⌝⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭D ． 是真命题，()00:0,,02P x f x π⌝⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭5、若函数()()()01x x f x ka a a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是增函数，则的图象是（ ）6、设是第二象限角,为其终边上的一点,且=（ ） A.B.C. D.7、已知等比数列的公比且，又，则( )8、函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）．A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度9、已知点M （a,b ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x 确定的平面内，则点N （a+b,a-b ）所在平面区域的面积是（ ）A.1B.2C.4D.810、已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前五项之和S 5＝25，则{a n }的通项a n ＝________.12、已知()()()312log .f x x f a f b a b a b==≠+，若且则的取值范围是_______.13、曲线与直线和所围成的平面图形的面积为_________.14、已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为______.15.设定义域为的函数同时满足以下三个条件时称为“友谊函数”： （1）对任意的； （2）；（3）若，则有()()()1212f x x f x f x +≥+成立， 则下列判断正确的序号有_________. ①为“友谊函数”，则；②函数在区间上是“友谊函数”；③若为“友谊函数”，且()()121201x x f x f x ≤<≤≤，则.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16、（本小题满分12分）设命题：函数的定义域为；命题对一切的实数恒成立，如果命题“且”为假命题，求实数的取值范围.17、（本小题满分12分）设数列的前n 项和为,且， ，数列满足， 点在直线上，.（Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）设,求数列的前项和 18、（本小题满分12分）已知函数2()sin )sin sin ()(0)2f x x x x x πωωωωω=+-+>，且函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(Ⅰ)求的值和函数的单调递增区间； (Ⅱ) 求函数在区间上的值域.19、（本小题满分12分）在中，角A 、B 、C 所对的边分别是， 且.（I ）求的值；（II ）若b=2，求面积的最大值.20、（本小题满分13分）数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n+2=2a n+1-a n （n ∈N +） （1）求数列{a n }通项公式；（2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ； （3）设（n ∈N +），数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n∈N*，都有T n＜564.21、（本小题满分14分）设函数()2ln()f x ax x a R=--∈．（Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，求证：．聊城一中xx 级xx 第一学期期中考试一、选择题 ABCDA AACCB二、填空题 11、2n-1 12、 13、 14、 15、①②③ 三、解答题16、解：命题：对于任意的，恒成立，则需满足202104a a a >⎧⎪⇒>⎨∆=-<⎪⎩………3 21111:()39(3)2444x x x q g x a =-=--+≤⇒> ………… 6分因为“”为假命题，所以至少一假（1）若真假，则是空集。