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第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。
